Automatización de Cálculo de Diagramas

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
“AUTOMATIZACIÓN DEL CALCULO DE DIAGRAMAS DE 
INTERACCIÓN PARA EL DISEÑO EN FLEXOCOMPRESIÓN 
BIAXIAL CON VERIFICACIÓN DE LA CARGA AXIAL MÁXIMA 
DE COLUMNAS DE CONCRETO ARMADO” 
 
Presentada por: 
Richard S. Calle García 
 
 
 
 
TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO DE 
INGENIERO CIVIL 
 
 
 
Piura, Perú 
2014 
DERECHOS DE AUTOR Y MARCAS REGISTRADAS 
 
La presente tesis “Automatización del cálculo de diagramas de interacción para el diseño 
en flexocompresión biaxial con verificación de la carga axial máxima de columnas de concreto 
armado” emplea diversos recursos informáticos, que son debidamente presentados a continuación. 
 
 Microsoft es una marca comercial registrada de Microsoft Corporation. 
 Office y Excel son marcas comerciales registradas de Microsoft Corporation. 
 RAM Advanse es marca comercial registrada de Bentley Systems Incorporated. 
 SAP2000 es marca comercial registrada de Computers and Structures Incorporated. 
 VBA y Visual Basic son marcas comerciales registradas de Microsoft Corporation. 
 
Los nombres de productos mencionados en esta investigación se utilizan sólo con 
propósitos identificativos y pueden ser marcas comerciales y/o marcas comerciales registradas de 
sus respectivas compañías. 
 
 
 
 
“Observando a las criaturas de la naturaleza, he llegado a la conclusión de que, al igual que 
cada criatura de Dios intenta realizar lo que su propia naturaleza le exige, de la misma forma 
ha recibido los medios para alcanzar su meta. El ansia más íntima de los humanos es 
alcanzarla sabiduría y la comprensión; por lo tanto, podemos suponer que también ha recibido 
las facultades para llegar a ellas. Pero si investigamos la esencia de la sabiduría humana, 
pronto nos damos cuenta de que todo conocimiento nace de la comparación de lo ya sabido 
con lo desconocido. Por este camino podemos llegar lejos, pero nunca alcanzaremos lo 
infinito. El hombre no puede alcanzar la absoluta verdad, ni el conocimiento absoluto. Lo 
comprenderás mejor si defino a Dios como la verdad absoluta. Nunca podremos entender la 
esencia de Dios. En consecuencia, todas nuestras verdades quedarán limitadas para siempre, y 
en proporción con lo que ya sabemos. La absoluta verdad es infinita como lo es Dios, y por 
ello no la podemos entender. Tu no comprendes esto –añadió- porque estás acostumbrado a 
mirar todo lo que hay a tu alrededor como seres tangibles. Sin embargo, mis estudios de 
matemáticas me han llevado a comprender que el único conocimiento definitivo que el 
hombre puede alcanzar es la comprensión de que el definitivo conocimiento no es alcanzable 
para él porque, si así fuera, él mismo se convertiría en Dios. A esto lo llamo la ignorancia 
ignorante, ya que nos ofrece la única base firme en que podemos fundar nuestro pensamiento 
razonable, sin caer en fantasías.” 
 
MIKA WALTARI: Juan el Peregrino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quiero dedicar el esfuerzo vertido en este trabajo a quienes 
me debo agradecer en lugar primero, mis padres María y 
Ricardo, por su invaluable apoyo a pesar de las 
dificultades, en especial a mi madre quien aun con sus 
limitaciones supo tener la fortaleza para no desistir en todo 
este tiempo. 
AGRADECIMIENTOS 
 
El autor desea expresar su gratitud hacia todos aquellos Profesores de la Facultad de 
Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Piura que contribuyeron al desarrollo y aplicación 
de las ideas que este proyecto recoge. 
 
Especial reconocimiento merecen la docente Ing. María Josefa Gutiérrez Adrianzén, quien 
fue la responsable de la concepción de orientar el desarrollo de la aplicación COL 3D como 
proyecto de tesis, así mismo lo merece la docente Ing. Adela Soledad Augusto Vílchez, quien en 
el curso de tesis a su cargo proporcionó las pautas tomadas en cuenta para la redacción. 
 
Quienes hicieron posible el manejo regular de los procesos necesarios para la sustentación, 
como la Señora Luz, secretaria de decanato; de igual modo la Ing. Rosario Chumacero Córdova y 
el Ing. Omar Vences Martínez, en cuanto a su apoyo frente a los obstáculos de carácter político 
que incomprensiblemente se presentan a veces. 
 
Asi mismo las personas que contribuyeron con ideas y alguna observación acerca del proyecto 
 
Ronald S. Calle Gracia 
Ing. Miguel Talledo Coveñas 
Ing. Pedro Palacios Almendro 
Ing. Carlos Silva Castillo 
Tania Castro Correa 
Tatiana Miranda Merino 
 
Y todos quienes hicieron posible la culminación del mismo. 
i 
 
ÍNDICE DE CONTENIDOS 
 
CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN 1 
1.1. MICROSOFT EXCEL 2 
1.2 APLICACIÓN DE EXCEL EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL 4 
1.3. COL 3D 5 
1.4. COL 3D ALCANCES Y LIMITACIONES 7 
 
CAPITULO 2: ESTUDIO DE LAS COLUMNAS 8 
2.1. DEFINICIÓN 8 
2.2. LOS MATERIALES: EL CONCRETO Y EL ACERO 9 
2.3. DISEÑO DE COLUMNAS 12 
2.4. DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN 20 
 
CAPITULO 3: ALGORITMOS PARA DETERMINAR LAS 
PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE UNA SECCIÓN 36 
3.1. SECCIONES POLIGONALES 37 
3.2. SECCIONES CIRCULARES 43 
3.3. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE COORDENADAS 44 
 
CAPITULO 4: AUTOMATIZACIÓN DEL DISEÑO POR 
FLEXOCOMPRESIÓN 47 
4.1. DEFINICIÓN DE DATOS DE ENTRADA 48 
4.2. PROCESAMIENTO DE DATOS 54 
4.3. ALGORITMOS BÁSICOS DEL DISEÑO 57 
 
CAPITULO 5: COMPARACIÓN DE RESULTADOS 70 
5.1. COMPARACIÓN CON DISEÑO USANDO SAP2000 V.15 70 
5.2. COMPARACIÓN CON DISEÑO MEDIANTE MÉTODO DE BRESLER 88 
 
ii 
 
CAPITULO 6 : DISCUSIÓN SOBRE LA RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA 
DE UNA COLUMNA EN FLEXOCOMPRESIÓN 102 
6.1. RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA SEGÚN LA NORMA 
TÉCNICA E. 060 102 
6.2. RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA SEGÚN HIPÓTESIS 
GENERALES DE DISEÑO 103 
6.3. ANÁLISIS PARA DIFERENTES SECCIONES Y CUANTÍAS 105 
6.4. COMPARACIÓN DE RESULTADOS 111 
 
CAPITULO 7 : INFERENCIAS DERIVADAS DEL CALCULO/DISEÑO 
MEDIANTE COL 3D 112 
7.1. EVALUACIÓN DE COLUMNAS PRISMÁTICAS 112 
7.2. DETERMINACIÓN DE CUANTÍA ÓPTIMA 116 
7.3. SECCIONES OPTIMIZADAS 123 
 
CONCLUSIONES 129 
RECOMENDACIONES 131 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 132 
 
iii 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
 
Figura 1.1 Logotipo COL 3D 6 
Tabla 2.1 Características del acero según su grado 11 
Tabla 2.2 Características de aceros nacionales 12 
Figura 2.1 Separación máxima de barras sin apoyo lateral 14 
Figura 2.2 Espécimen para ensaye en flexocompresión con agrietamiento típico 20 
Figura 2.3 Diagrama de interacción 22 
Figura 2.4 Estado de equilibrio para compresión pura 22 
Figura 2.5 Estados de deformación en columnas hasta llegar a la 
 condición balanceada 23 
Figura 2.6 Estado de equilibrio para condición balanceada 25 
Figura 2.7 Sección para ejemplo de determinación de centro plástico 28 
Figura 2.8 Diagrama de interacción típico para diseño 30 
Figura 2.9 Ejemplo para determinación de ábaco a emplear 31 
Figura 2.10 Superficie de interacción biaxial 34 
Figura 3.1 Sección para ejemplo de cálculo de propiedades 37 
Tabla 3.1 Modelo de disposición de coordenadas 38 
Figura 3.2 Parámetros de cálculo de una sección circular 43 
Figura 3.3 Traslación de coordenadas 45 
Figura 3.4 Rotación de coordenadas 46 
Figura 4.1 Elementos de sección típica de concreto armado 50 
Tabla 4.1 Definición de una geometría poligonal 50 
Tabla 4.2 Definición de una geometría circular 51 
Tabla 4.3 Modelo de disposición del refuerzo 51 
Figura 4.2 Lista desplegable de diámetros de refuerzo 52 
Tabla 4.4 Modelo de disposiciónde combinaciones de carga modificables 52 
Tabla 4.5 Modelo de disposición de cargas aplicadas 53 
iv 
 
Tabla 4.6 Modelo de disposición de cargas factoradas 53 
Figura 4.3 Dirección de aplicación de cargas (momento) 54 
Figura 4.4 Diagrama de correlación de datos y parámetros 56 
Figura 4.5 Modelo de presentación de datos 57 
Figura 4.6 Ejemplo de generación de algoritmo en hoja de cálculo 58 
Tabla 4.7 Modelo general de configuración de una sección 58 
Figura 4.7 Sección para ejemplo de cálculo de peralte efectivo d 59 
Figura 4.8 Sección con rotación controlada 59 
Figura 4.9 Deformaciones correspondientes a un valor del eje neutro 60 
Tabla 4.8 Disposición de cálculos relativos al refuerzo 62 
Figura 4.10 Descomposición de momento para vista 3D 64 
Tabla 4.9 Cargas aplicadas 64 
Tabla 4.10 Combinaciones de cargas 65 
Tabla 4.11 Cargas resultantes y dirección 65 
Figura 4.11 Carga equivalente y posición angular 66 
Figura 4.12 Vista 3D del diagrama resistente de interacción 67 
Figura 4.13 Vista 3D del diagrama y cargas aplicadas 68 
Figura 4.14 Vista 3D de elevación del diagrama y cargas aplicadas 69 
Figura 5.1 Sección para ejemplo de comparación 72 
Figura 5.2 Columna de pórtico plano para análisis en SAP2000 73 
Figura 5.3 Ventana de asignación en SAP2000 74 
Figura 5.4 Ventana de asignación en SAP2000 75 
Figura 5.5 Desplegables de SAP2000 75 
Figura 5.6 Ventana de SAP2000 76 
Figura 5.7 Ventana de SAP2000 77 
Figura 5.8 Sección creada en SAP2000 78 
Figura 5.9 Elección del tipo de análisis en SAP2000 79 
Figura 5.10 SAP2000 ejecutando análisis 79 
v 
 
Figura 5.11 Diagrama de interacción de SAP2000 80 
Figura 5.12 Asignación de datos en COL 3D 81 
Figura 5.13 Asignación de datos en COL 3D 81 
Figura 5.14 Definición de geometría de sección en COL 3D 82 
Figura 5.15 Ingreso del refuerzo en COL 3D 82 
Tabla 5.1 Valores de axial y momento de COL 3D 83 
Figura 5.16 Diagrama de interacción bidireccional en 2D de COL 3D 84 
Figura 5.17 Definición de direcciones para el análisis comparativo 85 
Tabla 5.2 Comparación de resultados 86 
Tabla 5.3 Resultados dados por SAP2000 y COL 3D 86 
Figura 5.18 Comparación de diagramas de interacción 87 
Tabla 5.4 Comparación de resultados 87 
Figura 5.19 Método de las cargas recíprocas 89 
Figura 5.20 Contornos de cargas de Bresler para Pn constante en 
 la superficie de falla S3 90 
Figura 5.21 Curvas de interacción para el método del contorno de 
 las cargas de Bresler 92 
Figura 5.22 Determinación de cuantía en ábaco de diseño 93 
Figura 5.23 Determinación de cuantía en ábaco de diseño 94 
Figura 5.24 Determinación de cuantía en ábaco de diseño 95 
Figura 5.25 Determinación de parámetro Kn en ábaco de diseño 96 
Figura 5.26 Determinación de parámetro Kn en ábaco de diseño 97 
Figura 5.27 Sección diseñada mediante Bresler 98 
Figura 5.28 Determinación de dirección de análisis a partir de excentricidades 99 
Figura 5.29 Sección orientada según excentricidades para análisis 
 específico en COL 3D 100 
Figura 5.30 Diagrama de interacción de COL 3D y cargas aplicadas 101 
Figura 6.1 Estado de deformación máxima 104 
Figura 6.2 Sección rectangular para análisis 105 
vi 
 
Tabla 6.1 Comparación de resultados según diferentes criterios 106 
Tabla 6.2 Comparación de resultados según diferentes criterios 106 
Figura 6.3 Sección T para análisis 107 
Tabla 6.3 Comparación de resultados según diferentes criterios 107 
Tabla 6.4 Comparación de resultados según diferentes criterios 108 
Figura 6.4 Sección L para análisis 108 
Tabla 6.5 Comparación de resultados según diferentes criterios 109 
Tabla 6.6 Comparación de resultados según diferentes criterios 109 
Figura 6.5 Sección circular para análisis 110 
Tabla 6.7 Comparación de resultados según diferentes criterios 110 
Tabla 6.8 Comparación de resultados según diferentes criterios 111 
Tabla 6.9 Comparación general de resultados 111 
Tabla 7.1 Características de columnas prismáticas en estudio 112 
Figura 7.1 Secciones prismáticas a estudiar 113 
Figura 7.2 Diagramas comparativos para dirección 0.00° 114 
Figura 7.3 Diagramas comparativos para dirección 22.50° 114 
Figura 7.4 Diagramas comparativos para dirección 45.00° 115 
Figura 7.5 Diagramas comparativos para dirección 67.50° 115 
Figura 7.6 Diagramas comparativos para dirección 90.00° 116 
Figura 7.7 Sección rectangular para análisis 117 
Tabla 7.2 Diámetros según variación de cuantía para la sección en análisis 117 
Figura 7.8 Diagramas nominales de interacción para diferentes cuantías 118 
Tabla 7.3 Puntos de resistencia nominal según cuantía 119 
Tabla 7.4 Puntos de resistencia nominal según cuantía 120 
Tabla 7.5 Excentricidades obtenidas según cuantía 121 
Tabla 7.6 Excentricidades relativas obtenidas según cuantía 122 
Tabla 7.7 Variación de relación acero/excentricidad 123 
Figura 7.9 Secciones circulares, compacta y hueca 124 
vii 
 
Figura 7.10 Diagramas de interacción comparativos 125 
Figura 7.11 Secciones rectangulares, compacta y hueca 126 
Figura 7.12 Diagramas de interacción comparativos 126 
Figura 7.13 Secciones pentagonales, compacta y hueca 127 
Figura 7.14 Diagramas de interacción comparativos 128 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMEN 
 
El presente proyecto da a conocer las herramientas para la automatización de la teoría 
del diseño por flexocompresión de columnas de concreto armado, mediante la programación 
en un lenguaje cualquiera, estas herramientas pueden ser aplicadas también a cualquier otra 
teoría o procedimiento; así mismo se busca comprobar los métodos de diseño alternativos, 
las disposiciones de la normativa actual para la carga axial máxima de elementos sometidos 
a flexocompresión, también se coteja los resultados obtenidos con una de las distribuciones 
de software de diseño más conocidas del medio y se hace un estudio generalizado de lo 
correspondiente al diseño de columnas con la finalidad de dar a conocer la diversidad de 
alternativas de que se dispone sin que la arquitectura sea una limitante del diseño. 
 
Para hacer posible este proyecto de automatización se ha hecho uso de los 
conocimientos de la geometría analítica y las herramientas informáticas del programa de 
Microsoft Office: Excel, el cual brinda una interfaz de usuario “muy amigable” para la 
programación; combinando estas dos utilidades se logra automatizar la teoría del diseño de 
columnas de concreto armado por flexocompresión, ya que permite superar las limitaciones 
de la geometría de la sección, puesto que como vemos la mayor dificultad de los cálculos es 
de carácter aritmético, así podemos desarrollar secciones prismáticas y circulares, con la 
posibilidad para ambas de ser compactas o huecas. 
 
De este modo se puede conocer con precisión la resistencia de un elemento sometido 
a flexocompresión mediante la generación del diagrama de interacción en cualquier dirección 
de análisis y así mismo verificar el máximo axial soportado por dicho elemento. Con esto se 
logra la optimización de una estructura y poder verificar directamente su capacidad real. Es 
así que el diseño de una columna no convencional se llevara a cabo de forma segura ya que 
se cumple con todos losparámetros especificados para fines de diseño, sin necesidad de 
recurrir al uso de ábacos de utilidad limitada y complicado manejo. De ser llevado al campo 
experimental, esta programación puede ser útil para ajustar factores o parámetros de diseño. 
 
Los resultados del diseño de columnas hechos con la programación propuesta 
muestran considerables variaciones con respecto a los procedimientos empleados 
comúnmente, así mismo la comparación con el software de diseño admite discrepancias que 
se cuantifican y discuten en el desarrollo de este trabajo. 
1 
 
CAPITULO 1 
INTRODUCCIÓN 
 
Como se puede apreciar el desarrollo de la ciencia está ligado a la capacidad de 
procesamiento de la información obtenida de un determinado estudio, esto es la velocidad con 
la que se sintetiza y testea la misma; ya que para lograr afinar un determinado proceso o sistema 
creativo se deben ejecutar la cantidad necesaria de pruebas que avalen su veracidad y precisión, 
justificando de este modo su utilidad. 
 
Nos referimos así al hecho de lograr sistematizar un proceso, con la finalidad de hacer 
efectiva su aplicación en el diseño de estructuras convencionales o no convencionales, lo que 
además implica un proceso continuo, de implementación y mejora donde se pueda controlar el 
número necesario de variables a fin de hacer frente a la mayoría de situaciones y dando lugar a 
la posibilidad de ensamblar procesos, involucrando la mayor parte posible del diseño, como es 
el caso de algunas corporaciones hoy en día. Esto nos permitirá ver diversas alternativas en poco 
tiempo y elegir la mejor. 
 
Asi mismo se busca que el material sirva para abordar problemas que anteriormente 
eran complicados debido a la aplicación de métodos desactualizados, y esté disponible a la 
comunidad estudiantil, sirviendo de modelo base para difundir la aplicación de la 
automatización y la programación que a pesar de ser parte de la curricular universitaria, a veces 
cae en desuso. 
 
Partiendo de estas premisas en este proyecto se da un pequeño alcance de las 
posibilidades que ofrece un lenguaje de programación como Excel al ser utilizado como 
herramienta para el diseño estructural, al automatizar la teoría del diseño por flexocompresión 
de columnas de concreto armado garantizando un diseño seguro, fiable y económico 
(optimizado) desde el punto de vista de la normatividad actual. 
 
 
2 
 
1.1. MICROSOFT EXCEL 
Excel es una aplicación desarrollada por Microsoft y distribuida en el paquete de Office 
para usarse en Windows o Macintosh. Presenta una interfaz intuitiva y amigable con archivos 
de ayuda incorporados. Es una hoja de cálculo que permite trabajar con tablas de datos, gráficos, 
bases de datos, macros, y otras aplicaciones avanzadas. Ayudando en el cálculo de ejercicios 
aritméticos y siendo de gran utilidad en diversas áreas como educación, administración, 
finanzas, producción, ingeniería, etc. 
La versión de Excel empleada en este proyecto, Excel 15.0, se caracteriza por los 
siguientes aspectos: 
 Hojas de cálculo de gran dimensión, filas y columnas que forman celdas de trabajo. 
 Agrupación de varias hojas de cálculo en un libro. Excel está compuesto por libros, un 
libro es el archivo en que se trabaja y donde se almacenan los datos. Cada libro contiene 
1024 hojas o la cantidad de memoria del PC que es posible emplear, soportando además 
la posibilidad de usar procesadores de varios núcleos, cada hoja contiene 1048576 líneas 
y 16384 columnas ordenadas numérica y alfabéticamente respectivamente. 
 Actualización automática de los resultados obtenidos en la hoja, al modificar los datos 
de los cuales depende un resultado. 
 Gran capacidad de presentación y manejo de los datos introducidos. 
 Realización de distintos tipos de gráficos a partir de los datos introducidos en la hoja de 
cálculo, con la posibilidad de insertarlos en la misma hoja de cálculo o en hojas aparte, 
pudiendo presentar ambas informaciones juntas o separadas. 
 Trabajar con la información de una base de datos introducida en la hoja de cálculo 
mediante operaciones que serían propias de un Gestor de Base de Datos como Access. 
 Análisis de datos instantánea. 
 Guarda y comparte archivos en línea. 
 Creación de tablas dinámicas que se adapten a sus datos. 
 
Desde 1993, Excel ha incluido Visual Basic para Aplicaciones (VBA), un lenguaje de 
programación basado en Visual Basic, que añade la capacidad para automatizar tareas en Excel 
3 
 
y para proporcionar funciones definidas por el usuario para su uso en las hojas de trabajo. VBA 
es una poderosa anexión a la aplicación que, en versiones posteriores, incluye un completo 
entorno de desarrollo integrado (IDE) conocido también como Editor de VBA. La grabación de 
macros puede producir código (VBA) para repetir las acciones del usuario, lo que permite la 
automatización de simples tareas. (VBA) permite la creación de formularios y controles en la 
hoja de trabajo para comunicarse con el usuario. Admite el uso del lenguaje (pero no la creación) 
de las DLL de ActiveX (COM); versiones posteriores añadieron soporte para los módulos de 
clase permitiendo el uso de técnicas de programación básicas orientadas a objetos. 
Excel es una herramienta potente y efectiva que integra la versatilidad necesaria para ser 
utilizada en innumerables ocasiones. La utilidad, eficiencia y variedad de áreas en las que sea 
aplicada dependen del nivel de conocimientos que el usuario posea. Aprender a utilizar la hoja 
electrónica de Excel en la resolución de problemas de investigación de operaciones, destaca el 
potencial de este programa y su gran variedad de usos, esto es posible gracias a la gran variedad 
de funciones que agrupadas en categorías como: 
 Funciones de compatibilidad 
 Funciones de cubo 
 Funciones de base de datos 
 Funciones de fecha y hora 
 Funciones de ingeniería 
 Funciones financieras 
 Funciones de información 
 Funciones lógicas 
 Funciones de búsqueda y referencia 
 Funciones matemáticas y trigonométricas 
 Funciones estadísticas 
 Funciones de texto 
 Funciones definidas por el usuario instaladas con complementos 
 Funciones web 
Estas facilitan su aplicación por parte de los usuarios. Entre las principales aplicaciones 
de Excel se puede mencionar que: permite a los usuarios elaborar tablas y formatos que incluyan 
4 
 
cálculos matemáticos mediante fórmulas; las cuales pueden usar “operadores matemáticos” 
como son: + (suma), - (resta), * (multiplicación), / (división) y ^ (exponenciación); además de 
poder utilizar elementos denominados “funciones” (especie de fórmulas, pre-configuradas) 
como por ejemplo: Suma (), Promedio (), Buscar V (), etc. Así mismo Excel es útil para 
gestionar “Listas” o “Bases de Datos”; es decir agrupar, ordenar y filtrar la información. 
En ocasiones, ante un manejo básico Excel, esta herramienta es utilizada simplemente 
para hacer cálculos sencillos o incluso para ordenar datos aprovechando su estructura de filas y 
columnas. Excel puede colaborar en mucho más que eso para un usuario que posea un nivel 
operativo medio. Algunos ejemplos de áreas donde la aplicación de Excel es utilizada 
generalmente para optimizar y colaborar en la simplificación de diversos procesos son: 
Empresas, Estudiantes, Hogar, Pymes, etc. 
 
1.2 APLICACIÓN DE EXCEL EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL 
La aplicación de Microsoft Excel hoy en día se ha extendido prácticamente a todos los 
campos profesionales en los que se debe procesar grandes cantidades de información numérica 
y lógica, esto gracias a la variada gama de funciones que ofrece, como se vio anteriormente. 
Es por ello que damos cuenta de la muy útil asistencia que nos puede brindar en cuanto 
a programación se refiere, ya que además de realizar una gran cantidad de operaciones con los 
datos de entrada, puede generar un reporte personalizado para los resultados. 
Tales su capacidad que en el campo de la Ingeniería es muy utilizado, particularmente 
en Ingeniería Civil en lo concerniente al Diseño Estructural, ya que permite la automatización 
de prácticamente cualquier teoría de diseño, variando datos de entrada. 
 
 
 
 
 
5 
 
1.3. COL 3D 
“COL 3D” es la denominación dada a una hoja de cálculo programada en Excel que 
permite generar la construcción del Diagrama de Interacción de una columna de sección, cuantía 
y ubicación del acero de refuerzo cualesquiera; también se puede ingresar las cargas aplicadas, 
las cuales se obtienen del análisis estructural, y verificar visualmente si son comprendidas por 
los límites de la superficie de resistencia de la sección analizada. En términos de especificidad 
y precisión COL 3D tiene gran capacidad y su creación se justifica dando a conocer sus 
utilidades: 
 Prescindir del uso de ábacos de utilidad limitada y complicado manejo. 
 Diseñar cualquier columna de sección poligonal o circular, compacta o no compacta, 
con cualquier distribución de refuerzo y cuantía variable. 
 Determinar matemáticamente aplicando las hipótesis básicas de diseño la capacidad 
resistente de una columna cualquiera. 
 Verificar la resistencia de una columna en cualquier dirección de su eje. 
 Generar el diagrama de interacción tridimensional incluyendo las cargas aplicadas, para 
verificar visualmente que la sección en cuestión cumple las exigencias dadas. 
 Variar los factores de reducción, amplificación de resistencia; en el caso de 
modificaciones en el reglamento o debido a criterios propios del diseñador. 
 Servir de material didáctico en la enseñanza superior. 
 Diseñar rápidamente (por flexocompresión) cualquier sección de columna. 
 Servir de ayuda de correlación en investigaciones experimentales. 
Los beneficiarios de esta investigación son todas las personas involucradas en el estudio, 
diseño y peritaje de columnas de concreto armado. Y todos los interesados en la automatización 
y programación. 
Cuenta además con una interfaz sencilla para que el manejo por parte de los usuarios no 
sea complicado, los datos o variables que se pueden controlar le confieren una ventaja frente a 
otros programas empleados para este fin, entre estas variables tenemos: 
 Resistencia de los materiales 
 Factores de reducción de resistencia y de amplificación de cargas 
6 
 
 Geometría de la sección (circular y cualquier forma poligonal, compacta o no compacta) 
 Ubicación y diámetro de cada barra de refuerzo longitudinal 
 Orientación angular (0°-360°) para un análisis especifico 
 Cargas aplicadas (Momentos flectores y Fuerzas axiales) 
 Dirección de aplicación de las cargas 
COL 3D permite visualizar espacialmente o en 3D el Diagrama de Interacción 
Resistente, Nominal, mediante la interfaz gráfica de programas como por ejemplo RAM 
Advanse, y las cargas factoradas aplicadas según la Norma Técnica usada y generar un reporte 
de diseño en 2D. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
1.4. COL 3D: ALCANCES Y LIMITACIONES 
Como se dijo COL 3D ofrece una gran ayuda para el diseño por flexocompresión de 
columnas de concreto armado de forma cualquiera, esto comprende secciones circulares y 
poligonales con la posibilidad para ambas de ser huecas o compactas; pero al ser un prototipo 
tiene una limitación respecto a la cantidad de vértices que en el caso de una sección poligonal 
puede tener, en este caso este límite es de 30 vértices. 
También se mencionó la posibilidad de contar con cualquier cuantía de refuerzo, pero 
así mismo debemos tener en cuenta que la programación hecha abarca un máximo de 31 barras 
de acero como refuerzo longitudinal para los diámetros de 3/8”, ½”, 5/8”, ¾”, 1” y 1 3/8”; según 
esto podemos obtener un área de acero máxima de 296.98 cm2 lo que según la actual NTP E. 
060 que indica una cuantía mínima de 1% se puede trabajar con secciones de un área hasta de 
29697.81 cm2 que traducida dimensionalmente específica para el caso de una columna cuadrada, 
dimensiones de 170 cm x 170 cm, cabe mencionar que también habría que verificar límites de 
espaciamiento para la barras de refuerzo longitudinal. 
 
 
 
 
 
8 
 
CAPITULO 2 
ESTUDIO DE LAS COLUMNAS 
 
2.1. DEFINICIÓN 
La columna es el elemento estructural vertical empleado para sostener la carga de la 
edificación, fundamentalmente transmite las cargas de las losas hacia los cimientos. Es utilizado 
ampliamente en la construcción por la libertad que proporciona para distribuir espacios al 
tiempo que cumple con la función de soportar el peso de la edificación; es un elemento esencial 
en el esquema de una estructura y la adecuada selección de su tamaño, forma, espaciamiento y 
composición influyen de manera directa en su capacidad de carga. Para la columna se indica las 
características que la definen así como el comportamiento para definir los aspectos a tomar en 
cuenta en el diseño de las columnas de madera, acero y concreto armado. 
 
Las columnas son elementos utilizados para resistir básicamente solicitaciones de 
compresión axial aunque, por lo general, ésta actúa en combinación con corte, flexión o torsión 
ya que en las estructuras de concreto armado, la continuidad del sistema genera momentos 
flectores en todos sus elementos. Según el uso actual de la columna como elemento de un 
pórtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la 
compresión es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es por ello 
que el pre dimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces 
de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el 
diseño debido a diversos factores. 
 
Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de geometría, 
lo cuales influyen en el tipo de falla. El efecto geométrico de la columna se denomina esbeltez 
y es un factor importante, ya que la forma de fallar depende de la esbeltez, para la columna poco 
esbelta la falla es por aplastamiento y este tipo se denomina columna corta, los elemento más 
esbeltos se denominan columna larga y la falla es por pandeo. La columna intermedia es donde 
la falla es por una combinación de aplastamiento y pandeo. Además, los momentos flectores 
que forman parte del diseño de columna disminuyen la resistencia del elemento tipo columna. 
 
9 
 
2.2. LOS MATERIALES: CONCRETO Y ACERO 
 
2.2.1. El Concreto 
El concreto es una mezcla de cemento, agregado grueso o piedra, agregado fino o arena 
y agua. El cemento, el agua y la arena constituyen el mortero cuya función es unir las diversas 
partículas de agregado grueso llenando los vacíos entre ellas. En teoría, el volumen de mortero 
sólo debería llenar el volumen entre partículas. En la práctica, este volumen es mayor por el uso 
de una mayor cantidad de mortero para asegurar que no se formen vacíos. 
 
Para obtener un buen concreto no sólo basta contar con materiales de buena calidad 
mezclados en proporciones correctas. Es necesario también tener en cuenta factores como el 
proceso de mezclado, transporte, colocación o vaciado y curado. El muestreo y los ensayos de 
materiales y del concreto deben hacerse de acuerdo con las Normas Técnicas Peruanas – NTP 
correspondientes. 
 
La resistencia a la compresión del concreto que se obtiene a través de ensayos de 
cilindros estándar es la propiedad directamente involucrada en el diseño por flexocompresión, 
puede llegar hasta 980 kg/cm2 o más como el caso de los denominados concretos de ultra alto 
desempeño que se clasifican a partir de los 100 MPa de resistencia a la compresión; dependiendo 
del tipo de mezcla, propiedades del agregado, tiempo y calidad del curado. Las resistencias más 
comunes están en el rango de 210 a 480 kg/cm2. 
 
Es importante tener presente que la resistencia del concreto a la tracción es mucho menor 
que su resistencia ala compresión constituyendo aproximadamente entre un 8% a 15% de ésta. 
Para la determinación de este parámetro no se suele usar ensayos directos debido a las 
dificultades que se presentan sobre todo por los efectos secundarios que generan los dispositivos 
de carga. Para estimarlo se ha diseñado dos métodos indirectos. Por esta razón es que la 
resistencia a la tracción del concreto se desprecia en el cálculo de elementos no preesforzados, 
no siendo considerada tampoco en el desarrollo de esta investigación. 
 
 
10 
 
En cuanto a sus propiedades mecánicas el límite de deformación unitaria es igual a 0.003, 
este valor está estipulado en la Norma Técnica Peruana E. 060 y se considera que una vez 
superado es inminente la falla del concreto. 
 
Otra propiedad importante de concreto es la variación de su volumen debido cambios de 
temperatura, el concreto se expande con el incremento de temperatura y se contrae con su 
disminución. El coeficiente de dilatación térmica varía con la calidad del concreto y con su edad. 
Su valor oscila entre 9.2x10-6/°C y 12x10-6/°C para temperaturas entre -15°C y +50°C. 
Propiedad que como se verá más adelante es fundamental para la construcción empleando el 
Concreto Armado. 
 
2.2.2. El Acero de Refuerzo 
En el punto anterior se mencionó algunas de las características del concreto entre ellas 
su limitada resistencia a la tracción. Para que este material pueda ser utilizado eficientemente 
en la construcción de obras de ingeniería se requiere de elementos que le permitan salvar esta 
limitación. En el caso del concreto armado, el acero es el encargado de esta función. 
 
El acero es una aleación de diversos elementos entre ellos: carbono, manganeso, silicio, 
cromo, níquel y vanadio. El carbono es el más importante y el que determina sus propiedades 
mecánicas. 
 
A mayor contenido de carbono, la dureza, la resistencia a la tracción y el límite elástico 
aumentan. Por el contrario, disminuye la ductilidad y la tenacidad. El manganeso es adicionado 
en forma de ferro-manganeso. Aumenta la forjabilidad del acero, su templabilidad y resistencia 
al impacto. Así mismo, disminuye su ductilidad. El silicio se adiciona en proporciones que 
varían de 0.05% a 0.50%. Se le incluye en la aleación para propósitos de desoxidación pues se 
combina con el oxígeno disuelto en la mezcla. El cromo incrementa la resistencia a la abrasión 
y la templabilidad; el níquel, por su parte, mejora la resistencia al impacto y la calidad 
superficial. Finalmente, el vanadio mejora la temperabilidad. 
 
 
11 
 
Las varillas corrugadas son de sección circular y, como su nombre lo indica, presentan 
corrugaciones en su superficie para favorecer la adherencia con el concreto. Estas corrugaciones 
deben satisfacer requisitos mínimos para ser tomadas en cuenta en el diseño. Existen tres 
calidades distintas de acero corrugado: grado 40, grado 60 y grado 75 aunque en nuestra norma, 
como se indica en 2.3.3 sólo se permite el uso de los dos primeros para elementos con 
responsabilidad sísmica. Las características los tres tipos de acero se muestran en la Tabla 2.1. 
 
 
 
Las barras de refuerzo corrugado deben cumplir con los requisitos para barras corrugadas 
de una de las siguientes normas: 
 
(a) ―HORMIGÓN (CONCRETO) barras de acero al carbono con resaltes y lisas para hormigón 
(concreto) armado. Especificaciones‖ (NTP 341.031); 
(b) ―HORMIGÓN (CONCRETO) barras con resaltes y lisas de acero de baja aleación para 
hormigón (concreto) armado. Especificaciones‖ (NTP 339.186). 
 
 Las barras corrugadas deben cumplir con una de las NTP dadas en el párrafo anterior, 
excepto que para barras con fy mayor que 420 MPa, la resistencia a la fluencia debe tomarse 
como el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0,35%. Se indica que la 
programación de este trabajo está basada en una resistencia de fluencia límite de 420 MPa 
indicada para elementos con responsabilidad sísmica, a la cual corresponde una deformación 
unitaria de 0.0021 ya que el valor de su módulo elástico es de 200000 MPa. 
 
En cuanto al coeficiente de dilatación térmica su valor es muy similar al del concreto: 
11x10-6/°C esto es una gran ventaja pues no se presentan tensiones internas entre refuerzo y 
concreto por los cambios de temperatura del medio. Ambos tienden a dilatarse y contraerse de 
12 
 
modo similar. 
 
Las varillas se denominan por números y sus características geométricas (de las 
existentes en el mercado nacional, algunas empresas pueden fabricar diámetros diferentes a 
pedido) se presentan en la Tabla 2.2. 
 
 
 
 
2.3. DISEÑO DE COLUMNAS 
 
2.3.1. Generalidades 
Las columnas son los elementos de las edificaciones que están principalmente sometidos 
a flexocompresión, similarmente a los muros de corte o placas. El diseño de un elemento 
sometido a flexocompresión se hace en base a las mismas hipótesis del diseño en flexión, 
considerando adicionalmente el problema de la esbeltez. 
 
Los efectos de esbeltez de las columnas, y la consiguiente reducción de su capacidad de 
carga se evalúan en forma independiente al diseño propiamente dicho, mediante la 
consideración de los momentos generados por las deformaciones transversales de las columnas 
(momentos de segundo orden) o mediante procesos aproximados que corresponden a la 
estimación de factores que corrigen a los momentos del análisis estructural (momentos de primer 
orden). En el desarrollo del presente estudio se asume que las cargas aplicadas al diseño 
13 
 
propiamente dicho mediante COL 3D han sido previamente modificadas por los factores 
respectivos según el efecto de la esbeltez. 
 
2.3.2. Normativa en General e Hipótesis de Diseño 
La Norma Técnica Peruana E. 060 en el Capítulo 10 da a conocer las disposiciones que 
se deben aplicar al diseño de elementos sometidos a esfuerzos originados por la flexión o la 
carga axial, o la combinación de estas; así mismo en otros capítulos se mencionan otras 
consideraciones que deben ser tomadas en cuenta en el diseño de este tipo de elementos. En este 
punto se hará mención de aquellas consideraciones con la debida numeración que aparece en la 
NTP. 
 
7.6 LÍMITES DEL ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO 
 7.6.3 En elementos a compresión reforzados transversalmente con espirales o estribos, 
la distancia libre entre barras longitudinales no debe ser menor de 1,5 db ni de 40 mm. 
 
7.7 RECUBRIMIENTO DE CONCRETO PARA EL REFUERZO 
 7.7.1 Concreto construido en sitio (no preesforzado) 
Debe proporcionarse el siguiente recubrimiento mínimo de concreto al refuerzo, excepto 
cuando se requieran recubrimientos mayores según 7.7.5.1 ó se requiera protección 
especial contra el fuego: 
(c) Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo: 
- Vigas y columnas: 
 Armadura principal, estribos y espirales................................................................40 mm 
 
 7.7.3 Concreto prefabricado (fabricado bajo condiciones de control de planta) 
(b) Concreto no expuesto a la acción de la intemperie ni en contacto con el suelo: 
- Vigas, columnas: 
 Refuerzo principal…db, pero no menor de 16 mm sin necesidad de exceder de 40 mm 
 Estribos y espirales...............................................................................................10 mm 
 
 
14 
 
7.10 REFUERZO TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS A COMPRESIÓN 
 7.10.4.2 Para elementos construidos en obra, el diámetro de las barras utilizadas en 
espirales no debe ser menor de 8 mm para barras longitudinales de hasta 5/8”, de 3/8” 
para barras longitudinales de más de 5/8” hasta 1” y de ½” para barras longitudinales de 
mayor diámetro 
 
 7.10.5.1 Todas las barras no preesforzadas deben estar confinadas por medio de estribos 
transversales de por lo menos 8 mm para barras de hasta 5/8”, de 3/8” para barras 
longitudinales de más de 5/8” hasta 1” y de ½” para barras longitudinales de mayor 
diámetroy para los paquetes de barras. Se permite el uso de alambre corrugado o 
refuerzo electrosoldado de alambre con un área equivalente. 
 
 7.10.5.3 Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de 
esquina y cada barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un 
estribo con un ángulo interior no mayor de 135º y ninguna barra longitudinal esté 
separada a más de 150 mm libres de una barra apoyada lateralmente. Cuando las barras 
longitudinales estén localizadas alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso 
de un estribo circular completo. 
 
 
 
 
 
15 
 
9.2 RESISTENCIA REQUERIDA 
 9.2.1 La resistencia requerida para cargas muertas (CM) y cargas vivas (CV) será como 
mínimo: 
U = 1,4 CM + 1,7 CV 
 
 9.2.3 Si en el diseño se tuvieran que considerar cargas de sismo (CS), además de lo 
indicado en 9.2.1, la resistencia requerida será como mínimo: 
U = 1,25 (CM + CV)  CS 
U = 0,9 CM  CS 
 
9.3 RESISTENCIA DE DISEÑO factores de reducción  
 9.3.2.1 Flexión sin carga axial…………………………………………….…………0,90 
 
 9.3.2.2 Carga axial y carga axial con flexión: 
(a) Carga axial de tracción con o sin flexión……………………………….….……..0,90 
(b) Carga axial de compresión con o sin flexión: 
 Elementos con refuerzo en espiral………………………………………….…....0,75 
 Otros elementos………………………………………………………………......0,70 
 
9.4 RESISTENCIA MÍNIMA DEL CONCRETO ESTRUCTURAL 
 9.4.1 Para el concreto estructural, f’c no debe ser inferior a 17 MPa, salvo para concreto 
estructural simple (véase 22.2.4). No se establece un valor máximo para f’c salvo que se 
encuentre restringido por alguna disposición específica de esta Norma (véase 21.3.2). 
 
9.5 RESISTENCIA DE DISEÑO PARA EL REFUERZO 
 9.5.1 Los valores de fy y fyt usados en los cálculos de diseño no deben exceder de 550 
MPa, excepto para los aceros de preesforzado, para los refuerzos transversales en espiral 
en 10.9.3, el refuerzo por cortante y torsión (véase 11.5.2 y 11.6.3.4). Para los elementos 
con responsabilidad sísmica, véase 21.3.3. 
 
 
16 
 
10.2 HIPÓTESIS DE DISEÑO 
 10.2.2 Las deformaciones unitarias en el refuerzo y en el concreto deben suponerse 
directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro. 
 
 10.2.3 La máxima deformación unitaria utilizable del concreto, cu, en la fibra extrema 
sometida a compresión, se asumirá igual a 0,003. 
 
 10.2.4 El esfuerzo en el refuerzo deberá tomarse como Es veces la deformación unitaria 
del acero. Para deformaciones unitarias en el refuerzo mayores que las correspondientes 
a fy, el esfuerzo se considerará independiente de la deformación unitaria e igual a fy. 
 
 10.2.5 La resistencia a la tracción del concreto no debe considerarse en los cálculos de 
elementos de concreto reforzado sometidos a flexión y a carga axial, excepto cuando se 
cumplan los requisitos de 18.4. (Concreto Preesforzado) 
 
 10.2.6 La relación entre la distribución de los esfuerzos de compresión en el concreto y 
la deformación unitaria del concreto se debe suponer rectangular, trapezoidal, parabólica 
o de cualquier otra forma que permita una predicción de la resistencia que coincida con 
los resultados de ensayos de laboratorio representativos. 
 
 10.2.7 El requisito de 10.2.6 se satisface si se asume una distribución rectangular 
equivalente de esfuerzos en el concreto, definida como sigue: 
 
 10.2.7.1 Un esfuerzo en el concreto de 0,85 f’c uniformemente distribuido en una zona 
de compresión equivalente, limitada por los bordes de la sección transversal del 
elemento y por una línea recta paralela al eje neutro, a una distancia a = 1 c de la fibra 
de deformación unitaria máxima en compresión. 
 
 10.2.7.2 La distancia desde la fibra de deformación unitaria máxima en compresión al 
eje neutro, c, se debe medir en dirección perpendicular al eje neutro. 
 
17 
 
 10.2.7.3 Para f’c entre 17 y 28 MPa, el factor 1 se debe tomar como 0,85. Para f’c mayor 
o igual a 56 MPa, 1 se debe tomar como 0,65. Para f’c entre 28 y 56 MPa se debe 
interpolar linealmente entre 0,85 y 0,65. 
 
 
 
10.3 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES 
 10.3.1 El diseño de las secciones transversales sometidas a flexión, carga axial, o a la 
combinación de ambas (flexo-compresión) debe basarse en el equilibrio y la 
compatibilidad de deformaciones, utilizando las hipótesis de 10.2. 
 
 10.3.2 La condición de falla balanceada se produce en una sección transversal cuando el 
refuerzo en tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy al mismo 
tiempo que el concreto en compresión alcanza su deformación unitaria máxima utilizable 
cu de 0,003. Este criterio es general y se aplica a secciones de cualquier forma sin acero 
de compresión o con él. 
 
 10.3.6 La resistencia de diseño Pn de elementos en compresión no debe exceder del 
valor calculado usando las ecuaciones: 
10.3.6.1 Para elementos no preesforzados con refuerzo en espiral: 
Pn max = 0,85  Pon = 0,85  [0,85 f´c (Ag Ast) + fy Ast] 
10.3.6.2 Para elementos no preesforzados con estribos: 
Pn max = 0,80  Pon = 0,80  [0,85 f´c (Ag  Ast) + fy Ast] 
18 
 
 10.3.7 Los elementos sometidos a carga axial de compresión deben diseñarse para el 
momento máximo que puede acompañar a la carga axial. La fuerza axial amplificada 
Pu, a una excentricidad dada, no debe exceder de la resistencia de diseño especificada 
en 10.3.6. El momento máximo amplificado Mu debe incrementarse por los efectos de 
esbeltez. 
 
2.3.3. Disposiciones Especiales para Elementos Sismoresistentes 
Como sabemos los sismos son un factor muy importante en el diseño de estructuras ya 
que originan esfuerzos de considerable magnitud, más aun siendo el caso de la ubicación de 
nuestro territorio, es por ello que la Norma Técnica Peruana E. 060 en el Capítulo 21 hace 
mención de las consideraciones a tener en cuenta para hacer frente a este fenómeno entre las 
cuales hemos extraído aquellas que están directamente involucradas en el diseño de Columnas 
de Concreto Armado por Flexocompresión ya sea para un sistema Dual I o Dual II, en este punto 
se hará mención de la normativa con la debida numeración que aparece en la NTP. Entre estas 
disposiciones tenemos: 
 
21.3 REQUISITOS GENERALES 
 21.3.2.1 La resistencia especificada a la compresión del concreto, f’c, no debe ser menor 
que 21 MPa. 
 
 21.3.2.2 La resistencia especificada a la compresión del concreto, f’c, no debe ser mayor 
que 55 MPa. 
 
 El refuerzo de acero longitudinal y transversal en todos los elementos con 
responsabilidad sísmica será corrugado y deberá cumplir con las disposiciones de ASTM 
A 706M. Se permite el empleo de acero de refuerzo ASTM A 615M, grados 280 y 420, 
en estos elementos siempre y cuando: 
(a) La resistencia real a la fluencia (obtenida en ensayos de laboratorio) no sea mayor 
que el esfuerzo de fluencia especificado fy, en más de 125 MPa; 
(b) La relación entre la resistencia de tracción (fu) y el esfuerzo de fluencia (fy), medida 
en el laboratorio, no sea menor de 1,25. 
19 
 
21.4 REQUISITOS PARA COLUMNAS DE LOS EDIFICIOS CON SISTEMA 
RESISTENTE A FUERZAS LATERALES DE MUROS ESTRUCTURALES O DUAL 
TIPO I 
 21.4.5.1 La cuantía de refuerzo longitudinal no será menor que 1% ni mayor que 6%. 
Cuando la cuantía exceda de 4% los planos deberán incluir detalles constructivos de la 
armadura en la unión viga-columna. 
 
 21.4.5.3 Los estribos serán como mínimo de 8 mm de diámetro para barras 
longitudinales de hasta 5/8” de diámetro, de 3/8” para barras longitudinales de hasta 1” 
de diámetro y de ½” para barras longitudinales de mayor diámetro. Estos diámetros 
también se aplican al refuerzo transversal con espirales. 
 
21.6 REQUISITOS PARA LAS COLUMNAS DE EDIFICIOS CON SISTEMA 
RESISTENTE A FUERZAS LATERALES DE PÓRTICOS Y DUALES TIPO II 
 21.6.1.1 La fuerza amplificada de compresión axial en el elemento, Pu, excedede 0,1 
f’c Ag. 
 
 21.6.1.2 La dimensión menor de la sección transversal, medida en cualquier línea recta 
que pase por su centroide geométrico, no debe ser menor de 250 mm. 
 
 21.6.1.3 La relación entre la dimensión menor de la sección transversal y la dimensión 
perpendicular no debe ser menor que 0,25. 
 
 21.6.3.1 La cuantía de refuerzo longitudinal no será menor que 1% ni mayor que 6% del 
área total de la sección transversal. Cuando la cuantía exceda de 4%, los planos deberán 
incluir detalles constructivos de la armadura en la unión viga-columna. 
 
 
 
 
 
20 
 
2.4. DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN 
 
2.4.1. Generalidades 
El tipo de espécimen usado en investigaciones de elementos sujetos a flexocompresión 
es semejante al que aparece en la figura 2.2, donde se indican esquemáticamente el refuerzo 
usual y una posible configuración de agrietamiento. Generalmente la carga P se aplica a una 
excentricidad constante. Esto hace que toda la zona prismática del espécimen esté sujeta a una 
carga axial y a un momento flexionante que crecen en la misma proporción, hasta el colapso. 
Existen dos modos principales de falla de elementos sujetos a flexocompresión: falla en 
compresión y falla en tensión. 
 
 
En el primer caso la falla se produce por aplastamiento del concreto. El acero del lado 
más comprimido fluye, en tanto que el del lado opuesto no fluye en tensión. El segundo modo 
de falla se produce cuando el acero de un lado fluye en tensión antes de que se produzca el 
aplastamiento del concreto en el lado opuesto, más comprimido. El tipo de falla depende 
esencialmente de la relación entre momento y carga axial en el colapso. 
21 
 
Es posible determinar los puntos de falla para una determinada orientación del eje neutro 
de una columna los cuales generan el diagrama de interacción. Así, si se cuenta con el diagrama 
de interacción de un elemento dado, se conocen todas las combinaciones de carga axial y 
momento que puede soportar. El diagrama de interacción de un elemento puede obtenerse a 
partir de las hipótesis descritas en la sección 2.3.2. 
 
2.4.2. Diseño en Flexocompresión Uniaxial 
Como se mencionó en 2.4.1 si se analiza una sección transversal sometida a 
flexocompresión, para una determinada distribución de acero, se puede tener diferentes valores 
de carga y momento resistentes, conforme se varíe la posición del eje neutro. 
 
A la curva, que indica esta resistencia, teniendo cómo ordenada la carga axial y como 
abscisa el momento, se le denomina Diagrama de Interacción, dicho de otro modo es la 
representación gráfica del lugar geométrico de las combinaciones de carga axial y momento 
flexionante inherentes a una determinada geometría de sección y ubicación de refuerzo 
longitudinal. (Figura 2.3). 
 
22 
 
 
Para su construcción bastará analizar el equilibrio de la sección, variando la ubicación 
del eje neutro. Si se tiene que el momento es nulo, el valor de la carga axial es máximo y se 
denomina Pon. Esta se obtiene considerando la carga máxima del concreto y del acero 
longitudinal colocado en el elemento. 
 
23 
 
Po =  [0.85 f´c Ac + As fy] 
Donde:  = 0.70 para columnas con estribos 
  = 0.75 para columnas con espirales 
 
Al considerar momentos actuantes simultáneos con la carga axial, el diagrama de 
distribución de deformaciones irá variando como se indica en la figura 2.5 
 
 
La figura anterior indica un estado de deformación donde concreto ha llegado en 
comprensión a una deformación máxima de 0.003 (ver hipótesis de flexión) y simultáneamente 
el fierro extremo opuesto en tracción ha llegado a la afluencia con una deformación de 0.0021 
(fy/Es para el caso de fy = 4200 Kg/cm2). A esta condición se le domina condición balanceada, 
y se representa en el diagrama con los puntos Pb, Mb. 
 
La obtención del valor Pb, Mb, se realiza por equilibrio conociendo la extensión del 
bloque comprimido. Así tenemos: 
 
a) Conocido cu = 0.003 y y = 0.0021 se obtiene gráfica o geométricamente el valor del bloque 
comprimido c. 
 
24 
 
b) En base al valor c, se conoce la compresión de concreto Cc: 
Cc = (0.85 f´c) b a donde a = β1 c 
 
c) Conocida la deformación en la sección, se puede conocer el esfuerzo en todos los refuerzos 
de acero colocados. 
 
En la figura 2.6 se muestra una sección rectangular para la cual se calcularán los 
esfuerzos en la condición balanceada: 
 
 Fierro del extremo comprimido As1 
s1 = 0.0027  0.0021 
Por tanto Fs1 = fy As1 = 4200 (As1) 
 
 Fierro del centro As2 
s2 = 0.0008  0.0021 
Por tanto Fs2 = 0.0008 Es As2 
 Fs2 = 0.0008 x 2000000 x As2 
 Fs2 = 1600 As2 
 
 Fierro del extremo en tracción As3 
s3 = 0.0021, el límite 
Por tanto Fs3 = fy As3 = 4200 (As3) 
 
d) La carga Pu será entonces igual a la sumatoria de fuerzas internas que se producen en el 
concreto y el refuerzo. En el ejemplo de la figura 2.6: 
 
Suma de fuerzas internas = Pu externo 
Pu = 0.85 f´c b a + 4200 As1 + 1600 As2 - 4200 As3 
 
Pu en este caso se denomina Pb y para ubicarlo en la gráfica de interacción lo afectamos 
por el factor de reducción  = 0.7, para obtener la resistencia de diseño 
25 
 
e) Para determinar el momento que en este caso llamaremos Mb, se tomara momentos respecto 
al centro plástico de la sección. 
 
Como la sección del ejemplo de la figura 2.6 tiene refuerzo simétrico, el centro de 
gravedad coincidirá con el centro plástico. Tomando momentos: 
 
Mb =  [(0.85 f´c b a) (x1) + As1 (4200) (x2) + As2 (1600) (x3) + As3 (4200) (x2)] 
 
Donde x1, x2 y x3 son las distancias del centro plástico al punto de aplicación de la fuerza. 
(En este caso x3 = 0) 
 
 
 
Para conocer otros puntos del diagrama bastará con ir variando la posición del eje neutro 
(bloque c). Conforme vayamos disminuyendo el tamaño del bloque comprimido "c", la carga 
axial ira disminuyendo. Cuando esta carga axial es cero, lo cual indica que la suma de las fuerzas 
de compresión se iguala con la suma de las fuerzas en tracción, se habrá obtenido el valor, Mo 
el cual representa el caso de flexión pura. 
 
26 
 
Si se sigue disminuyendo el bloque comprimido puede suceder que la suma de fuerzas 
en compresión sea menor de la suma de fuerzas de tracción, lo cual indica que la resultante es 
una tracción; se estará en un caso de flexotracción y la curva será la indicada en la parte inferior 
de la figura 2.3. 
 
Ya que buscamos la resistencia diseño, esto es  veces la nominal, se grafica los valores 
de Pu y Mu obtenidos, afectándolos de , para compresión y flexocompresión la norma 
considerada un factor de reducción de  = 0.70 para columnas con estribos, y = 0.75 para 
columnas con espirales, y para flexión, flexotracción o tracción pura, la norma indica un valor 
de = 0.90. 
 
Esta diferencia entre  = 0.70 y = 0.90 ocasionaría una discontinuidad en el Diagrama 
de Interacción que se ubicaría en la zona inferior, cercana al eje de abscisas, donde la carga de 
compresión es pequeña y prácticamente estamos en flexión pura. 
 
En lugar de tener una discontinuidad, parece más lógico considerar un = 0.70 hasta un 
cierto valor de la compresión, y a partir de ese punto ir incrementando  hasta llegar a 0.9 en el 
punto donde no hay carga axial (sólo flexión). Este último camino es el aceptado por la mayoría 
tratados y códigos y se considera que el punto donde se inicia el cambio de  es el de una carga 
axial que es [0.10 f´c Ag] ó [ Pb], la menor (ver figura 2.3). 
 
2.4.3. Límites en el Diagrama de Interacción para Efectos de Diseño 
Algunos códigos consideran para efectos de diseño una excentricidad mínima, para el 
caso de columnas que el análisis realizado hayan obtenido momentos muy reducidos. 
 
El ACI de 1971 y otros anteriores así como el Código Peruano anterior, consideraba un 
momento mínimo de diseño obtenido con una excentricidad igual al 10% del peralte, en la 
dirección que serealiza el diseño, con un mínimo absoluto de 2.5 cm. 
 
 
 
27 
 
La nueva norma de Concreto Peruana ya no considera el criterio de la excentricidad 
mínima, si no limita la resistencia axial de diseño al 80 u 85% de la carga axial máxima Po. 
 
Esta exigencia obliga a considerar un diagrama de interacción, útil para el diseño, con 
una curva trunca en la parte superior tal como se indica en la figura 2.3. 
 
2.4.4. Determinación del Centro Plástico de la Sección 
Cuando se tiene una sección con refuerzo simétrico, el punto donde se debe tomar 
momentos para la obtención de los momento resistentes (trazo del diagrama de interacción) no 
debe ser el centro de gravedad de la sección (considerando sólo el área de concreto), sino el 
denominado centro plástico y que consiste en el centro de fuerzas obtenido considerando toda 
la sección comprimida en su capacidad máxima. 
 
Esta condición se cumple cuando el concreto esté trabajando a 0.85 f´c y cada uno de los 
fierros a un esfuerzo de fy. 
 
Si por ejemplo tenemos una sección “L” como lo indica en la figura 2.7, la determinación 
del centro plástico se hará de la siguiente manera: 
 
Datos: 
 
 f´c = 210 Kg/cm2 y fy = 4200 Kg/cm2 
 Área de columna = 2125 cm2 
 Área de acero = 8  1” = 40 cm2 
28 
 
 
 
Tomamos momentos con respecto al extremo izquierdo para las fuerzas máximas que se 
producirían en el concreto y el acero: 
 
Concreto: 0.85 x 210 [(55 x 25) (12.5) + (25 x 30) (40)] = 8422968.75 Kg.cm 
 
Acero: (2 x 5) (4200 – 0.85 x 210) (48.75) = 1960481.25 Kg.cm 
(3 x 5) (4200 – 0.85 x 210) (18.75) = 1131046.875 Kg.cm 
(3 x 5) (4200 – 0.85 x 210) (6.25) = 377015.625 Kg.cm 
 
Y lo dividimos entre la fuerza máxima posible: 
 
Fmax = (0.85 x 210) (2125) + (40) (4200 – 0.85 x 210) = 540175.5 Kg 
 
 
 
29 
 
Obtenemos el centro plástico de la sección Xo: 
 � = 6 . + 6 . + 6. + .6. = . � 
 
Si solo se hubiera considerado la sección de concreto tendríamos: 
 � = × × . + × × = . � 
 
Para el ejemplo presentado no hay una diferencia importante entre el centro plástico y el 
centro de gravedad de la sección bruta de concreto, pero es evidente que dependiendo de la 
cuantía del refuerzo y de su asimetría, la diferencia será más o menos importante. 
 
2.4.5. Uso de Ábacos con Diagramas de Interacción 
Existen publicaciones de ACI y de otras instituciones donde se indican una serie de 
ábacos conteniendo Diagramas de Interacción para columnas cuadradas, rectangulares y 
circulares, como el de la figura 2.8. 
 
Estos generalmente tienen armadura simétrica colocada en sólo dos caras o en el 
perímetro y han sido desarrollados para columnas de sección b x h cualquiera, teniendo en el 
eje de ordenadas el valor de Kn y en el eje de abscisas Rn. 
 
Donde Kn es: � = �� ´� 
Entonces Rn es: � = � � ´� ℎ 
 
De tal manera que sirven para diferentes secciones y diferentes calidades de concreto. 
Es importante resaltar la relación entre el peralte del núcleo reforzado y el peralte total, 
denominada “”, ya que estos ábacos varían según esta relación. En la mayoría de los ábacos 
los valores  son: 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 ó 0.9. 
30 
 
El diseñador debe decidir cómo ubicar el refuerzo de tal manera que, en base a su 
determinación, use un ábaco con refuerzo en caras opuestas o en todo el perímetro y con un 
valor determinado de . 
 
Así por ejemplo, si se trata de una columna de 35 x 45 donde se va a verificar la dirección 
de 45 cm. Como peralte, elegirá un ábaco con refuerzo en caras extremas y como un valor de  
igual a 0.7. 
 
 
Si se va a verificar la misma columna, pero la dirección que se considera el peralte de 35 
cm, se usará un ábaco de refuerzo repartido a lo largo del perímetro y como un  de 0.66, lo cual 
se interpolara entre el resultado obtenido con  = 0.6 y con  = 0.7. Esto se calcula como en la 
figura 2.9. 
 
 
 
31 
 
En los casos donde el armado de la columna no se asemeje a las dos opciones definidas 
(refuerzo en caras extremas o a lo largo del perímetro) y /o para secciones no rectangulares ni 
circulares, se deberá construir su propio Diagrama de Interacción, asumiendo el refuerzo 
colocado y verificando que las combinaciones de diseño (Pu, Mu) sean menores o iguales a las 
resistentes. 
 
Es conveniente aclarar que existen ábacos que ya vienen con el factor  incorporado 
(factor de reducción de resistencia) y otros donde uno debe considerarlo. 
 
 
 
2.4.6. Refuerzo Mínimo y Máximo Para Columnas 
La Norma Peruana, como se vio en 2.3.3 considera una cuantía mínima de 1% y una 
cuantía máxima de 6%, y específica que si el diseñador considera una cuantía mayor al 4%, 
debe detallar el cruce de los refuerzos de la columna y de las vigas en cada nudo. 
 
Es por ello que algunos autores recomiendan que el diseño de columnas se lleve a cabo 
con cuantías comprendidas entre 1% y 4%, de tal manera que se evite congestionamiento del 
32 
 
refuerzo, ya que dificulta la calidad de la construcción, sobre todo si se piensa que en el Perú el 
diámetro máximo de refuerzo producido normalmente es de 1 3/8 pulgadas. 
 
Por otro lado autores como el ingeniero A. Blanco Blasco indican que siempre resulta 
más económico una columna armada con una cuantía baja, dado que resulta más cara una 
columna con cuantías mayores al 3% que una equivalente de mayor sección y menor cuantía de 
acero. Este punto será estudiado más adelante a fin de determinar qué cuantía es la óptima desde 
el punto de vista económico, según la cantidad de material empleado. Se define la cuantía de 
acero como el área total de acero dividida entre el área total de la sección ( = As / b t). 
 
2.4.7. Diseño en Flexocompresión Biaxial 
2.4.7.1. Importancia de Considerar la Flexión Biaxial en el Diseño de Columnas 
Si tomamos en cuenta solo el efecto de las cargas de gravedad en el análisis de una 
estructura, la flexión biaxial es importante en el caso de estructuras que consideren losas 
armadas en dos direcciones. 
 
Ahora siendo más realistas, si se considera que hay simultáneamente cargas horizontales 
de sismo, la flexión biaxial es casi siempre crítica, puesto que aun cuando se trate techos o pisos 
conformados por losas armadas en una dirección (aligerados o losas armadas en una dirección), 
siempre será factible tener una columna con momento de carga vertical en una dirección y 
simultáneamente momento de sismo en la otra. 
 
No será crítica la flexión biaxial, a pesar de considerar sismo y carga de gravedad 
simultánea, cuando los momentos de carga de gravedad no sean significativos. 
 
Los criterios expuestos anteriormente no toman cuenta la simultaneidad de momento de 
sismo de las dos direcciones, debido al dicho que normalmente los análisis consideran sismo en 
una dirección, independiente al análisis de sismo en la otra. La realidad sin embargo, es que las 
fuerzas horizontales de sismo se presentan en una dirección cualesquiera, y que se producirán 
esfuerzos en las dos direcciones de la edificación simultáneamente, pero inferiores a las totales 
que se consideren independientemente. 
33 
 
Algunos autores recomiendan diseñar las columnas considerando simultáneamente el 
100% del momento de sismo en una dirección y un 30% del momento de sismo total analizado 
para la otra dirección. 
 
2.4.7.2. Análisis de una Sección Sometida a Flexocompresión Biaxial 
Cuando se tiene una carga axial actuando en un punto, tal que se produzcan 
simultáneamente excentricidades en las dos direcciones de la columna, el problema del diseño 
es complejo, pues aun cuando se puede seguir trabajando con un bloque rectangular equivalente 
de compresiones, la posición del eje neutro no es simple de determinar pues la inclinación de 
este no es perpendicular a la excentricidad de resultante. 
 
Cuando la flexión es solo en un eje, ya se ha visto que es simple el procedimientode 
construir un Diagrama de Interacción, variando la ubicación del eje neutro, pero siempre 
considerando que éste era perpendicular a la excentricidad actuante. Sin embargo, en el caso de 
flexión biaxial, se debe realizar el proceso ya mencionado para una determinada inclinación del 
eje neutro y su distancia por lo que los procedimientos de cálculo son largos y deben hacerse 
mediante procesos iterativos engorrosos. Actualmente con el auxilio de computadoras es 
factible la resolución de estos problemas. 
 
Suponiendo arbitrariamente una inclinación del eje neutro, su posición y una 
determinada distribución de refuerzo, se puede plantear el equilibrio de la sección y tomar 
momentos en X y en Y, obteniéndose para esa condición un valor de Pu, Mux y Muy. Si este 
proceso se repite se podrá construir un Diagrama de Interacción que en realidad será espacial, 
obteniéndose una superficie tal como la indicada en la figura 2.10 
34 
 
 
 
 
2.4.7.3. Diseño Biaxial Según la Norma Peruana 
La NTP E. 060, indica, para el caso de columnas sujetas simultáneamente a momento 
flectores en sus dos direcciones principales, que el diseño deberá hacerse a partir de las hipótesis 
y principios definidos en el punto 2.3.2 en los que se ha basado en la automatización de COL 
3D. 
 
Asimismo la norma indica que alternativamente se podrá usar la ecuación aproximada 
de Bresler en el caso del diseño de columnas cuadradas o rectangulares con armadura 
longitudinal simétrica, el diseño mediante este procedimiento implica hacer una comprobación 
con la siguiente fórmula: 
 
� = � + � − � 
Donde: 
 
Pn es la resistencia nominal a carga axial en flexión biaxial. 
Pnx es la resistencia nominal bajo la acción de momento únicamente en X (ey = 0). 
Pny es la resistencia nominal bajo la acción de momento únicamente en Y (ex = 0). 
35 
 
Pon es la resistencia nominal bajo la acción de carga axial únicamente (ex = ey = 0) que se 
calcula mediante: . ´� � − � + � 
 
Deberá verificarse que la resistencia de diseño no exceda de [Pn max = 0,85  Pon] 
para elementos con refuerzo en espiral o de [Pn max = 0,80  Pon] cuando se use estribos. La 
ecuación N es válida para valores de Pu  0,1  Pon; para valores menores de la carga axial Pu, 
se usará la siguiente ecuación: 
 ��
 � + ��
 � ≤ . 
 
Donde Mnx y Mny son las resistencias de diseño de la sección con respecto a los ejes 
X e Y respectivamente. En el Capítulo 5 se da mayor referencia sobre el método de Bresler. 
 
 
 
 
 
36 
 
CAPITULO 3 
ALGORITMOS PARA DETERMINAR LAS PROPIEDADES 
GEOMÉTRICAS DE UNA SECCIÓN 
 
Para automatizar el cálculo de las propiedades de una sección es necesario que las 
ecuaciones que intervienen en el proceso se encuentren expresadas en función de variables que 
resulten conocidas desde el principio, y que además sean válidas para cualquier caso a estudiar, 
es decir que permitan codificar un programa de aplicación universal para cualquier problema 
dentro de unos parámetros predefinidos. 
 
A tal fin se busca que las formulas o algoritmos que definen las principales propiedades 
de un área se puedan plantear de manera que sean fácilmente codificables en un lenguaje como 
Excel u otro similar. Una de las formas más convenientes es la de expresar dichas fórmulas en 
función de las coordenadas de los vértices del área a estudiar, lo que permite plantear un 
algoritmo aplicable a cualquier sección sin que su forma sea una limitante del análisis, ya que 
el proceso dependerá únicamente de sus coordenadas. O en el caso de secciones circulares, de 
los elementos que la definen. 
 
Sin embargo el alcance de nuestro estudio está limitado a la condición de que la sección 
a estudiar debe tener todos sus lados rectos, sin importar su número, pero sin que existan 
segmentos curvos en su contorno. Pero si es posible trabajar con secciones netamente circulares 
por separado, como ya se dijo en base a los elementos que la definen, haciendo una 
programación independiente para estas secciones que pueden ser huecas o compactas igual que 
en el caso de las poligonales. 
 
En base a lo antes mencionado hay expresiones para cada propiedad en función de las 
coordenadas xi, yi de cada vértice i del total n de la sección o radios de sección. Los principales 
37 
 
algoritmos que permiten calcular las propiedades geométricas de una sección se detallan en los 
puntos siguientes, tanto para secciones poligonales, como para las circulares. 
 
3.1. SECCIONES POLIGONALES 
Para aplicar las formulas correctamente se debe tener definidos mediante coordenadas 
todos los vértices de la sección poligonal en estudio, por ejemplo para el caso de la figura 3.1 
que representa una columna hueca de sección rectangular: 
 
 
 
Para el cálculo del área total comprendida por el polígono 12341 debemos tener 
definidos los vértices mediante coordenadas comenzando por uno cualquiera y seguir en un solo 
sentido ya sea horario o anti horario y luego del último punto debe retomar el primero, puesto 
que la figura 3.1 tiene cuatro vértices, los primeros cuatro puntos estarán conformados por las 
coordenadas de estos mismos y adicionalmente se debe repetir las coordenadas del primer 
vértice como quinto y último punto, esto se ilustra en el siguiente esquema: 
38 
 
 
 
Una vez hecho esto podemos aplicar las formulas correspondientes. 
 
3.1.1. Área 
� = | ∑ �+ + � � − �+�
�= | 
Esta fórmula nos permite calcular de manera general un área poligonal cualquiera en base a las 
coordenadas de sus vértices, con ella podemos calcular el área bruta de la sección (A12341 - 
AABCDA) y determinar su cuantía, resistencia axial máxima, determinar el valor del área 
comprimida según varié la posición del eje neutro (A1´234´D´CBA1́ )́; datos necesarios para la 
construcción del Diagrama de Interacción. 
 
3.1.2. Momento estático 
3.1.2.1. Con respecto al eje x: 
� = ∑ �+ − � �+2 + �2 + � �+6�
�= 
 
 
39 
 
3.1.2.2. Con respecto al eje y: 
� = ∑ � − �+ �+2 + �2 + � �+6�
�= 
El cálculo de los momentos estáticos permite determinar posteriormente el valor del centroide 
de una región, esto es útil para plantear las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas actuantes en 
la sección, ya que según la idealización se debe aplicar en el centroide del elemento en cuestión; 
en este caso se usa para el área de concreto comprimido. 
 
3.1.3. Momento de inercia 
3.1.3.1. Con respecto al eje x: 
� = ∑ �+ − � � + �+ + � �+2 + �2 �+�
�= 
 
3.1.3.2. Con respecto al eje y: 
� = ∑ � − �+ � + �+ + � �+2 + �2 �+�
�= 
El momento de inercia se cita complementariamente ya que no interviene en el cálculo del 
Diagrama de Interacción. 
 
3.1.4. Algoritmo Genérico para Cálculo de Propiedades Fundamentales 
Una vez definidas las fórmulas para calcular las propiedades geométricas de una sección 
en función de las coordenadas de sus vértices, es posible definir el algoritmo que rige el proceso 
de cálculo y posteriormente codificar el programa en VBA utilizando una hoja de Excel para 
escribir los datos de entrada y reportar los resultados del proceso. Lo cual deja de lado el 
problema del cálculo biaxial de Diagramas de Interacción, el cual es fundamentalmente 
aritmético. 
40 
 
Los pasos que conforman el algoritmo se pueden enumerar como sigue: 
 
Dada una sección cualquiera de lados rectos con N vértices, situada sobre un plano xy en una 
posición arbitraria: 
 
1. Identificar las coordenadas de cada vértice comenzando por uno cualquiera y siguiendo 
el sentido horario. 
 
2. Calcular el área de la sección utilizando la ecuación: 
� = | ∑ �+ − � � − �+�
�= | 
 
3. Calcular el momento estático de la sección con respecto al eje x utilizando la ecuación: 
� = ∑ �+ − ��
�= �+2 + �2 + � �+6 
 
4. Calcular el momento estático de la sección con respecto al eje y utilizando la ecuación: � = ∑ �+ − ��
�= �+2 + �2 + � �+6 
 
5. Calcular la abscisadel baricentro de la sección utilizando la ecuación: 
� = �� 
 
6. Calcular la ordenada del baricentro de la sección utilizando la ecuación: 
� = �� 
 
 
 
41 
 
7. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje x utilizando la ecuación 
(las formulas dadas a continuación, incluyendo la misma de este punto, permiten el 
cálculo de otras importantes propiedades de secciones, aplicables en diversos tipos de 
problemas, por ello son citadas solo a manera de complemento) : 
� = ∑ �+ − ��
�= �+ + � + � �+2 + �2 �+
 
 
8. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje y utilizando la ecuación: � = ∑ � − �+�
�= �+ + � + � �+2 + �2 �+
 
 
9. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje x baricéntrico utilizando 
la ecuación (esta ecuación también es conocida como el Teorema de Steiner o de Ejes 
Paralelos): � � = � − � �2 
 
10. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje y baricéntrico utilizando 
la ecuación (esta ecuación también es conocida como el Teorema de Steiner o de Ejes 
Paralelos): � � = � − � �2 
 
11. Calcular el radio de giro de la sección con respecto al eje x baricéntrico utilizando la 
ecuación: 
� � = √� �� 
 
12. Calcular el radio de giro de la sección con respecto al eje y baricéntrico utilizando la 
ecuación: 
� � = √� �� 
42 
 
13. Calcular el módulo de sección superior con respecto al eje x baricéntrico utilizando la 
ecuación: � �´´ = � �́́
 
Donde: ´´ = | � − �| 
� = ordenada del vértice más al norte del baricentro de la sección. 
 
14. Calcular el módulo de sección inferior con respecto al eje x baricéntrico utilizando la 
ecuación: 
� �´ = � �́
 
Donde: ´ = | �� − �| 
�� = ordenada del vértice más al sur del baricentro de la sección. 
 
15. Calcular el módulo de sección superior con respecto al eje y baricéntrico utilizando la 
ecuación: � �´´ = � �́́
 
Donde: x́´ = | − �| 
= abscisa del vértice más al este del baricentro de la sección. 
 
16. Calcular el módulo de sección inferior con respecto al eje y baricéntrico utilizando la 
ecuación: 
� �´ = � �́
 
Donde: x́ = | � − �| 
� = abscisa del vértice más al oeste del baricentro de la sección. 
 
 
43 
 
3.2. SECCIONES CIRCULARES 
En este caso se procede en función del ángulo central “” que se define por la sección 
comprimida delimitada por “a” y el radio “r”. Las fórmulas usadas son: 
 
 
 
3.2.1. Área Total: � = ��2 
Esta fórmula permite encontrar la cuantía de acero en función del área bruta de la sección. 
 
3.2.2. Ángulo de Definición : 
� = cos− � − �� 
La fórmula del ángulo de definición permite calcular el área comprimida según varíe la 
ubicación del eje neutro, así mismo interviene simplificando el cálculo de su centroide. 
 
 
 
44 
 
3.2.3. Área Comprimida: �� = �2 sin � cos � 
Esta se calcula en función de la posición del eje neutro que se puede definir mediante el ángulo 
“”. 
 
3.2.4. Centroide de Área Comprimida: 
̅ = sin � [� + � − � cos �] � − sin � 
Como se vio en el caso de secciones poligonales, es necesario para las ecuaciones de equilibrio 
de fuerzas, dado que en el centroide se supone actúa la resultante de la fuerza del elemento 
analizado. 
 
3.3. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE COORDENADAS 
Estas fórmulas se emplean tanto para las secciones poligonales como para las circulares, 
y dan la posibilidad de rotar y desplazar toda la sección y el acero, según convenga, en caso de 
las primeras o solo el acero en caso de secciones circulares. 
 
La traslación y rotación es necesaria para analizar la sección en distintas posiciones 
angulares de eje neutro, ya que una columna puede ser flexionada en cualquier dirección. 
 
 
 
 
 
 
45 
 
3.3.1. Traslación de Coordenadas 
Sea un punto P de coordenadas (x, y) con respecto de los ejes rectangulares X e Y. Vamos 
a obtener las ecuaciones que relacionan las coordenadas (x´, y )́ del mismo punto P con respecto 
al nuevo referencial también rectangular X´, Y .́ 
 
Sean los nuevos ejes X´ e Y ́obtenidos por una traslación paralela y en el mismo sentido 
con respecto a los ejes X e Y, al nuevo origen (h, k). (fig. 3.3) 
 
 
 
De la figura 3.3, se tiene: = ´ + ℎ = ´ + � 
 
 
 
 
46 
 
3.3.2. Rotación de Coordenadas 
Sea un punto P de coordenadas (x, y) con respecto de los ejes rectangulares X e Y. Vamos 
a obtener las ecuaciones que relacionan las coordenadas (x´, y )́ del mismo punto P con respecto 
al nuevo referencial también rectangular X´, Y ́pero rotado un ángulo  en torno al origen, con 
respecto al eje X en el sentido positivo.(fig. 3.4). 
 
 
 
Según la figura 3.4, se tiene: = ´ cos ∝ − ´ sin ∝ ó ´ = cos ∝ + sin ∝ = ´ sin ∝ + ´ cos ∝ ó ´ = − sin ∝ + cos ∝ 
47 
 
CAPITULO 4 
AUTOMATIZACIÓN DEL DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN 
 
En esta sección se da a conocer el procedimiento empleado para automatizar la teoría 
del diseño de columnas mediante la programación en Excel, aunque es más preciso decir 
diseño en base a verificación; ya que a partir de un predimensionamiento, que casi siempre 
difiere mucho de la sección a emplear finalmente; es que se obtiene una superficie de 
resistencia basada en puntos Momento - Axial, la cual debe contener las cargas factoradas 
obtenidas del análisis estructural. En al caso de que las cargas quedasen fuera de la superficie 
de interacción, es que no se cumple con la resistencia requerida, entonces, se procede a 
modificar alguno de los siguientes factores: 
 Forma de la sección 
 Área bruta de la sección 
 Resistencia del concreto f´c 
 Cantidad de refuerzo longitudinal 
 Diámetro del refuerzo longitudinal 
 
COL 3D es el resultado de una constante evolución de lo que comenzó como un 
proyecto cuyo fin era obtener el Diagrama de Interacción para una sección de cualquier forma, 
luego fue implementado con la rotación para la sección, lo cual al ser posible, dio lugar a la 
obtención de la superficie de interacción. 
 
En los subcapítulos siguientes definiremos los parámetros involucrados en la 
generación de la superficie de interacción, su correlación y los medios aplicados para lograr la 
automatización. 
 
 
48 
 
4.1. DEFINICIÓN DE DATOS DE ENTRADA 
Antes de comenzar a programar es necesario tener bien definidos dos puntos: los 
resultados que buscamos y los datos que son necesarios para obtener dichos resultados, y 
adicionalmente hay que tener conocimiento o nociones de los medios que nos pueden ser 
útiles en la programación, para ello la revisión de diversos artículos bibliográficos es de gran 
ayuda, no es necesario, tener en mente todo el proceso que se ha de aplicar, por ilustrar esto se 
puede decir que es similar a ir conduciendo por la carretera en la noche, sin más iluminación 
que las luces delanteras del vehículo, estas solo nos muestran algunos metros de la carretera, 
pero una vez en marcha iremos descubriendo el resto del camino. Entonces para diseñar por 
flexocompresión nuestros datos de entrada son: 
 
4.1.1. Características de los Materiales 
4.1.1.1. Resistencia del Concreto 
Como lo indica la Norma Técnica Peruana, para el concreto estructural, f’c no debe ser 
inferior a 17 MPa, salvo para concreto estructural simple (véase 22.2.4 NTP E.060), asimismo 
tampoco se establece un valor máximo para f’c; salvo el caso de elementos resistentes a 
fuerzas inducidas por sismo se especifica un rango de resistencia, una mínima de 21 MPa y 
una máxima de 55 MPa. En base a esto el valor de f´c queda a criterio del diseñador. 
 
4.1.1.2. Resistencia del Acero de Refuerzo 
La NTP establece que los valores de fy y fyt usados en los cálculos de diseño no deben 
exceder de 550 MPa, excepto para los aceros de preesforzado. Considerando además que el 
mercado nacional ofrece en cuanto a aceros corrugados, los siguientes: ASTM A615-Grado 60 
para el que