UNID_AD_ACADEMICA_DE_INGENIERIA_INGENIER

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UNIDAD ACADEMICA DE INGENIERIA 
INGENIERO CIVIL 
CALCULO VECTORIAL 
 
APUNTES DE CÁLCULO VECTORIAL 
 
 
*LUIS ENRIQUE GALLARDO CHARCO 
*DANIEL NOVA BAILÓN 
*RANFERI SUAREZ CASTRO EQUIPO 10 
 
 
*DOMINIO Y CODOMINO 
 
 R f r 
X1, x2, x3 y 
 
*DOMINIO DE DEFINICIÓN. 
 
Y= F (X1, X2, X3…. Xn) 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD AUTONOMA DE GUERRERO 
U
 
 
 
 
*GRAFICA DE DOMINIO 
 
X + 4 + 3 ≥ 0 (X+4+3) -3 ≥ 0 – 3 -3 -2 -1 
 -1 
 -2 
 -3 
X + Y= -3 -----RECTA 
X= 0 Y= -3 
Y= 0 X= -3 
 
 
 
 
 
Tarea: 1 
DETERMINAR EL DOMINIO DE DEFINICION: 
 
a)√4 − 𝑥2 − 𝑦2 
4 − 𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0 
4 − (𝑥2 + 𝑦2) ≥ 0 
4 − (𝑥2 + 𝑦2) − (𝑥2 + 𝑦2) ≥ 0 + (𝑥2 + 𝑦2) 
4 ≥ 𝑥2 + 𝑦2 
𝑥2 + 𝑦2 = 4 
𝑥2 + 𝑦2 = 4 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 1 
 
-4 
 
-3 
 
-2 
 
-1 1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
 -1 
 
 
 
 
 
 -2 
 
 
 
 
 
 -3 
 
 
 
 
 
 -4 
 
 
 
 
 
 
*OBTENER EL DOMINIO DE LA SIGUIENTE FUNCIÓN; 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2−𝑦2 
 
EVALUANDO LA FUNCION SU DOMINIO SERA 𝑫𝒇{𝒙, 𝒚°|𝒙, 𝒚ℇℝ} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*LIMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES. 
 
 
Lim f(x) = L –1 = F(a) 
x----a 
 
 
Lim f(x, y) = L --- 1 = f(a, y) 
x----a 
 
 
Lim f(x, y)= L --- L = F(x, a) 
 
 
 
EJEMPLO. 
 
Lim f (x, y) = √x² + y² - 2xy = L 
 
 
L= f (-3, y) = √3² + y² - 2(-3)y = √9 + y²-6y 
 
 
Lim (f(x)= 𝒆𝒙𝒚 (x² + y² + 2y)) = L 
L= f( x- 4) 
X (-4) (x²+(-4²)+2 (-4) ) 
L= 𝒆−𝟒𝒙 ( x² + 16 – 8) 
L= 𝒆−𝟒𝒙 ( x² + – 8) 
 
 
 
 
lim
𝑍→3
(√𝑋2 + 𝑌2 − 2𝑍2) 
lim
𝑍→3
(√𝑋2 + 𝑌2 − 2(3)2) 
lim
𝑍→3
(√𝑋2 + 𝑌2 − 2(9)) = (√𝑋2 + 𝑌2 − 18) 
 
 
B) lim
 𝑦→0
(
𝑋2+2𝑋𝑌+𝑌2
𝑋+𝑌
) = 𝐿 
 
𝐿 = 𝑓(𝑋, 0) 
 
𝑓(𝑋) 
𝑥2 + 2𝑋 + (0) + (0)2
𝑋 + 0
 
 
𝑓(𝑋) =
𝑥2 + 0 + 0
𝑋
 
 
𝑓(𝑋) =
𝑥2
𝑥
= 𝑋 
 
c) LIM[𝒆𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐 + 𝒛𝟐] 
X=4 
F(x,y,z)=L 
F(x,y,z)= 𝒆𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
F(4)= 𝒆𝟐(𝟒)𝒚𝒛√(𝟒)𝟐+𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
F(4)= 𝒆𝟖𝒚𝒛√𝟏𝟔 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
 
 
 
 
 
 
*DERIVADAS PARCIALES 
 
 
Obtener fx, fy, fz de las siguientes funciones. 
 
A) 
F (x, y)= e˟ʸ (cos x + sen y) 
 
 
B) 
F (x, y , z) cos(x,y,z) 
 √x²+y²+z 
 
 
c) 
 F( x, y , z) e²˟ʸ ln │ x² + y² + z² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtener fx , fy, fz de las siguientes funciones 
 
B) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) =
𝐜𝐨𝐬(𝒙𝒚𝒛)
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
 
 Con respecto a x 
 𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
 
cos(𝑥𝑦𝑧)
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
 
 
𝑑
𝑑𝑥
=
𝑑1`(𝑑2`)−𝑑1(𝑑2)
𝑑2
 
 Y,Z= constante 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) =
(sen(𝑥𝑦𝑧) ) (√𝑥2+𝑦2+𝑧2 )−(cos(𝑥𝑦𝑧)) (√𝑥2+𝑦2+𝑧2 )
 (√𝑥2+𝑦2+𝑧2 )2
 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = sen(𝑥𝑦𝑧) − cos(𝑥𝑦𝑧) 
Con respecto a y 
 𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
 
cos(𝑥𝑦𝑧)
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
 
 
𝑑
𝑑𝑥
=
𝑑1`(𝑑2`)−𝑑1(𝑑2)
𝑑2
 
 X,Z= constante 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑦) =
(− sen(𝑥𝑦𝑧) ) (√𝑥2+𝑦2+𝑧2 )−(cos(𝑥𝑦𝑧)) (√𝑥2+𝑦2+𝑧2 )
 (√𝑥2+𝑦2+𝑧2 )2
 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = −sen(𝑥𝑦𝑧) − cos(𝑥𝑦𝑧) 
 
Con respecto a Z 
 𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
 
cos(𝑥𝑦𝑧)
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
 
 
 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
=
𝑑1`(𝑑2`)−𝑑1(𝑑2)
𝑑2
 
 X,Y= constante 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) =
(− sen(𝑥𝑦𝑧) ) (√𝑥2+𝑦2+𝑧2 )−(cos(𝑥𝑦𝑧)) (√𝑥2+𝑦2+𝑧2 )
 (√𝑥2+𝑦2+𝑧2 )2
 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = − sen(𝑥𝑦𝑧) − cos(𝑥𝑦𝑧) 
 
 
 
 
TAREA #2 
OBTENER F(X), F(Y), F(Z) 
 (C) 
𝑓(𝑥. 𝑦. 𝑧) = 𝑒2𝑥𝑦 ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2| ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2| 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑒2𝑥𝑦 ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2|) 
F = 𝑒2𝑥𝑦 G = ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2| 
 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑒2𝑥𝑦) = 𝑒2𝑥𝑦 2𝑦 
𝜕
𝜕𝑥
(ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2|)= 
2𝑥
𝑥2+𝑦2+𝑧2 
=𝑒2𝑥𝑦 2𝑦 (ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2|) + (𝑒2𝑥𝑦)(
2𝑥
𝑥2+𝑦2+𝑧2) 
=2𝑒2𝑥𝑦 (
𝑥
𝑥2+𝑦2+𝑧2 + 𝑦 ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2|) 
 
𝑓(𝑥. 𝑦. 𝑧) = 𝑒2𝑥𝑦 ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2| ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2| 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑒2𝑥𝑦 ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2|) 
 
 
 
F = 𝑒2𝑥𝑦 G = ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2| 
 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑒2𝑥𝑦) = 𝑒2𝑥𝑦 2𝑥 
𝜕
𝜕𝑥
(ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2|)= 
2𝑦
𝑥2+𝑦2+𝑧2 
=𝑒2𝑥𝑦 2𝑥 (ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2|) + (𝑒2𝑥𝑦)(
2𝑦
𝑥2+𝑦2+𝑧2) 
=2𝑒2𝑥𝑦 (
𝑦
𝑥2+𝑦2+𝑧2 + 𝑥 ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2|) 
𝑓(𝑥. 𝑦. 𝑧) = 𝑒2𝑥𝑦 ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2| ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2| 
𝜕
𝜕𝑧
(𝑒2𝑥𝑦 ln|𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2|) 
 
Si, 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑈 
=𝑒2𝑥𝑦 𝜕
𝜕𝑈
ln(𝑈)
𝜕
𝜕𝑧
 (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 
𝜕
𝜕𝑈
= ln(𝑈) =
1
𝑈
 
𝜕
𝜕𝑧
 (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) = 2𝑧 
SUSTITUYENDO U POR (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2), OBTENEMOS: 
=𝑒2𝑥𝑦 1
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
2𝑧 
=
2𝑒2𝑥𝑦𝑍
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
 
 
 
 
 
F(x) = 
√𝒙+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
 
 
 
 
.f(x)=
𝒅
𝒅𝒙
 
√𝒙+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
 
. 
𝒅
𝒅𝒙
 
√𝒙+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
 
. 
𝒅
𝒅𝒙
[√𝒙+𝒚] ((𝒙𝟐+𝒚𝟐))−(√𝒙+𝒚)(
𝒅
𝒅𝒙
[(𝒙𝟐+𝒚𝟐)])
((𝒙𝟐+𝒚𝟐))𝟐 
. 
𝒅
𝒅𝒙
 (𝒙 + 𝒚)
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐(𝒙+𝒚))
𝟏
𝟐
 
. 
𝒅
𝒅𝒙
 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 
. 
𝒅
𝒅𝒙
 
√𝒙+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
=
(
𝟏
𝟐(𝒙+𝒚)
𝟏
𝟐
)( 𝒙𝟐+𝒚𝟐)−√𝒙+𝒚(𝟐𝒙)
(𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝟐 
. 
𝒅
𝒅𝒙
 
√𝒙+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
= 
𝟏
𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐)(𝒙+𝒚))
𝟏
𝟐
−
𝟐𝒙√𝒙+𝒚
(𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝟐 
. 𝒇(𝒙) 
𝟏
𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐)(𝒙+𝒚))
𝟏
𝟐
−
𝟐𝒙√𝒙+𝒚
(𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝟐 
 
F(y)= 
√𝒙+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
 
.f(y)=
𝒅
𝒅𝒚
 
√𝒙+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
 
. 
𝒅
𝒅𝒚
 
√𝒙+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
 
. 
𝒅
𝒅𝒙
[√𝒙+𝒚] ((𝒙𝟐+𝒚𝟐))−(√𝒙+𝒚)(
𝒅
𝒅𝒙
[(𝒙𝟐+𝒚𝟐)])
((𝒙𝟐+𝒚𝟐))𝟐 
. 
𝒅
𝒅𝒚
 (𝒙 + 𝒚)
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐(𝒙+𝒚))
𝟏
𝟐
 
 
 
 
. 
𝒅
𝒅𝒚
 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝒚 
. 
𝒅
𝒅𝒙
 
√𝒙+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
=
(
𝟏
𝟐(𝒙+𝒚)
𝟏
𝟐
)( 𝒙𝟐+𝒚𝟐)−√𝒙+𝒚(𝟐𝒙)
((𝒙𝟐+𝒚𝟐))𝟐 
. 
𝒅
𝒅𝒙
 
√𝒙+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐 
= 
𝟏
𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐)(𝒙+𝒚))
𝟏
𝟐
−
𝟐𝒙√𝒙+𝒚
(𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝟐 
. 𝒇(𝒚) 
𝟏
𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐)(𝒙+𝒚))
𝟏
𝟐
−
𝟐𝒙√𝒙+𝒚
(𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝟐 
 
 
 
 
*DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN IMPLICITA. 
 
 
*EJEMPLO 
 
1) X² + 3xy -4z + 2w – 2x + 6y 
 
 
2) x² + 3xy – 4y³ = 4 
 
 
 Igualamos a cero 
 
x² + 3xy – 2x – 4z + 2w – 6y = 0 
 
ɖw/ɖx = ɖ/ɖx (x² + 3xy – 2x – 4z + 2w – 6y) = 0 
 
 
 
 
*LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 
 
F (x)---- d/dx y= f(x) 
 
dy/dx= f’ (x) → d = (f’ (x) ) dx 
 
 
Obtener la tercera derivada de F(z) 
 
f(z)=√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
f(z)=
𝑑
𝑑𝑧
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
.
𝑑
𝑑𝑧
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
..
𝑑
𝑑𝑧
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)1
2
 
.
𝑑
𝑑𝑢
 𝑢1
2
=
1
2𝑢1
2
 
.
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 0 +
𝑑
𝑑𝑧
𝑦2 + 𝑧2 
.
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 0 + 0 +
𝑑
𝑑𝑧
𝑧2 
.
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 0 + 0 + 2𝑧 
.
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑧 
.
𝑑
𝑑𝑢
1
2(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
 
2z 
 
 
 
=
1
2(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
. 𝑧 
.
𝑑
𝑑𝑧
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)1
2
=
𝑧
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
 
 
F(z)= 
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
 
 
2. F(z)= 
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
 
F(z)= 
𝑑
𝑑𝑧
 
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
 
.
𝑑
𝑑𝑧
 
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
 
 
.
(
𝑑
𝑑𝑥
[𝑧]((𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
(𝟏)
𝟐
−(𝒛)(
𝑑
𝑑𝑥
[((𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
]))
((𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏𝟐
)𝟐
 
 
.
𝑑
𝑑𝑧
𝑧 = 1 
.
𝑑
𝑑𝑧
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)𝟏
𝟐
= 
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
 
.
𝑑
𝑑𝑥
 
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
((𝟏)(𝑥2+𝑦2+𝑧2))
𝟏
𝟐−𝒛(
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟏
𝟐
)
((𝑥2+𝑦2+𝑧2)𝟏
𝟐
)𝟐
 
 
.
𝑑
𝑑𝑥
 
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
=
((𝟏)(𝑥2+𝑦2+𝑧2))
𝟏
𝟐−𝒛(
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟏
𝟐
)
((𝑥2+𝑦2+𝑧2)𝟏
𝟐)(𝟐))
 
 
 
 
 
.
𝑑
𝑑𝑥
 
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
=
((𝟏)(𝑥2+𝑦2+𝑧2))
𝟏
𝟐−𝒛(
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟏
𝟐
)
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
 
.
𝑑
𝑑𝑥
 
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
=
((𝟏)(𝑥2+𝑦2+𝑧2))
𝟏
𝟐−𝒛(
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟏
𝟐
)
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
.
𝑑
𝑑𝑥
 
𝒛
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟏
𝟐
=
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
+ y2 + z2 −
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
+𝒚𝟐+𝒛𝟐 
. 
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
+2𝒚𝟐 + 𝒛𝟐+𝒛𝟐 −
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
 
. 
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
+2𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐 −
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
 
 
 
3. . 
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
+2𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐 −
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
 
 
f(z)= 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
+2𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐 −
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
 
. 
𝑑
𝑑𝑧
(
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
) +2𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐 −
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
 
. . 
𝑑
𝑑𝑧
(
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
)+ . 
𝑑
𝑑𝑧
+2𝒚𝟐 +
𝑑
𝑑𝑧
+ 𝟐𝒛𝟐 −
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
 
. . 
𝑑
𝑑𝑧
(
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
) 
.
𝑥2+𝑦2+𝑧2
𝟐𝒙𝟐
 
.. 
𝑑
𝑑𝑢
𝑢
𝟐𝒙𝟐
.
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
.. 
𝑑
𝑑𝑢
𝑢
𝟐𝒙𝟐
=
1
𝟐𝒙𝟐
 
 
 
 
. 
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 0 + 
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 
. 
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 0 + 0 
𝑑
𝑑𝑧
𝑧2 
. 
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 0 + 0 + 2𝑧 
. 
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑧 
. 
𝑑
𝑑𝑢
.
𝑢
𝑥2
 
2z 
=
1
2𝑥2
. 2𝑧 
. 
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2+𝑦2+𝑧2
2𝑥2
=
1
𝑥2
.z 
. 
𝑑
𝑑𝑧
𝑥2+𝑦2+𝑧2
2𝑥2
=
𝑧
𝑥2
 
.
𝑑
𝑑𝑧
 2𝑦2 
0 
. 
𝑑
𝑑𝑧
𝑧2 
4z 
. 
𝑑
𝑑𝑧
−
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
 
.−
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
 
.−
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
 
.
𝑑
𝑑𝑥
[−2𝒛𝟐](𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))−(−2𝒛𝟐)(
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2)])
𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))
 
. 
𝑑
𝑑𝑧
− 2𝒛𝟐 = −𝟒𝒛 
.
𝑑
𝑑𝑧
𝑥4+𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2=-4z 
 
 
 
. 
𝑑
𝑑𝑧
−
2𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
=
(−4𝑧)(𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))−(−2𝑧2)(2𝑥2𝑧)
𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))2
 
. 
𝑑
𝑑𝑥
−
2𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
=
(−4𝑧)(𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))−(−2𝑧2)(2𝑥2𝑧)
(𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))2
 
. 
𝑑
𝑑𝑥
−
2𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
=
(−4𝑧)(𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))−(−2𝑧2)(2𝑥2𝑧)
(𝑥4(𝑥2+𝑦2+𝑧2))2
 
. 
𝑑
𝑑𝑥
−
2𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
=
(−4𝑧)(𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))−(−2𝑧2)(2𝑥2𝑧)
(𝑥4+𝑥2+𝑦2+𝑧2)2
 
. 
𝑑
𝑑𝑥
−
2𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
=
(−4𝑧)(𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))−(−2𝑧2)(2𝑥2𝑧)
(𝑥4+𝑥2+𝑦2+𝑧2)(𝑥4+𝑥2+𝑦2+𝑧2)
 
. 
𝑑
𝑑𝑥
−
2𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
=
(−4𝑧)(𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))−(−2𝑧2)(2𝑥2𝑧)
𝑥4.𝑥4+𝑥4.𝑦2+𝑥4𝑥2𝑧2+𝑥2𝑦2.𝑥4+𝑥2𝑦2.𝑥2𝑦2.𝑥2𝑧2+𝑥2𝑧2.𝑥4𝑥2𝑧2.𝑥4𝑥2𝑧2.𝑥2𝑦2.𝑥2 
. 
𝑑
𝑑𝑥
−
2𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
=
(−4𝑧)(𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))−(−2𝑧2)(2𝑥2𝑧)
𝑥8+2𝑥6𝑦2+2𝑥6𝑧2+𝑥4+𝑦4+2𝑥4𝑦2𝑧2+𝑥4𝑧4
 
. 
𝑑
𝑑𝑥
−
2𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
=
(−4𝑧)(𝑥2(𝑥2+𝑦2+𝑧2))−(−2𝑧2)(2𝑥2𝑧)
𝑥8
+2𝑥6𝑦2 + +2𝑥6𝑧2 +
𝑥4𝑦4 + +2𝑥4𝑦2𝑧2 + 𝑥4𝑧4 
. 
𝑑
𝑑𝑥
−
2𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
=
4𝑧(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝑥6
+2𝑥6𝑦2 + +2𝑥6𝑧2 + 𝑥4𝑦4 +
+2𝑥4𝑦2𝑧2 + 𝑥4𝑧4 +
4𝑧3
6
+2𝑥6𝑦2 + +2𝑥6𝑧2 + 𝑥4𝑦4 + +2𝑥4𝑦2𝑧2 + 𝑥4𝑧4 
. )= 
𝑑
𝑑𝑧
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
+2𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐 −
𝒛𝟐
𝒙𝟐(𝑥2+𝑦2+𝑧2)1
2
=
𝑧
𝑥2
+
−
4𝑧(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝑥6
+2𝑥6𝑦2+2𝑥6𝑧2 + 𝑥4𝑦4 + 2𝑥4𝑦2𝑧2 + 𝑥4𝑧4+
4𝑧2
6
+2𝑥6𝑦2 +
+2𝑥6𝑧2 + 𝑥4𝑦4 + 2𝑥4𝑦2𝑧2 + 𝑥4𝑧4 
4𝑥2𝑦2 + 𝑥4𝑦4 + 𝑥4𝑦4 + 2𝑥6𝑧2 + 2𝑥4𝑦2𝑧2 + 𝑥4𝑧4+
4𝑧3
𝑥6
+2𝑥6𝑦2+2𝑥6𝑧2
+ 𝑥4𝑦4 + 2𝑥4𝑦2𝑧2 + 𝑥4𝑧4 
 
 
 
.4𝑥6𝑦2 + 𝑥4𝑦4 + 𝑥4𝑦4 + 2𝑥6𝑧2 + 2𝑥4𝑦2𝑧2 + 2𝑥6𝑧2 + 2𝑥4𝑦2𝑧2 +
𝑥4𝑧4 4𝑧3
𝑥6
+
𝑧
𝑥2
+ 4𝑧 −
4𝑧(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝑥6
 
.4𝑥6𝑦2 + 𝑥4𝑦4 + 𝑥4𝑦4 + 2𝑥6𝑧2 + 2𝑥4𝑦2𝑧2 + 2𝑥6𝑧2 + 2𝑥4𝑦2𝑧2 +
𝑥4𝑧4 4𝑧3
𝑥6
+
𝑧
𝑥2
+ 4𝑧 −
4𝑧(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝑥6
 
.4𝑥6𝑦2 + 𝑥4𝑦4 + 𝑥4𝑦4 + 2𝑥6𝑧2 + 2𝑥4𝑦2𝑧2 + 2𝑥6𝑧2 + 2𝑥4𝑦2𝑧2 + 𝑥4𝑧4 
((4𝑥12𝑦2 + 2𝑥10𝑦4 + 4𝑥12𝑧2 + 4𝑥10𝑧4 + 4𝑥6𝑧 + 4𝑧3)−4𝑧(𝑥2+𝑦2 + 𝑧2
𝑥6
+ 4𝑧3)−4𝑧(𝑥2+𝑦2 + 𝑧2 
4𝑥12𝑦2 + 2𝑥10𝑦4 + 4𝑥12𝑧2 + 4𝑥10𝑧4 + 4𝑥6𝑧 + 4𝑧3)−4𝑧 𝑥2+𝑦2 + 𝑧2
𝑥6
+ 4𝑧3−4𝑧(𝑥2+𝑦2 + 𝑧2 
F(z)=
𝟒𝒙𝟏𝟐𝒚𝟐+𝟐𝒙𝟏𝟎𝒚𝟒+𝟒𝒙𝟏𝟐𝒛𝟐+𝟒𝒙𝟏𝟎𝒛𝟒+𝟒𝒙𝟔𝒛+𝟒𝒛𝟑−𝟒𝒛𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟔
+ 𝟒𝒛𝟑−𝟒𝒛(𝒙𝟐+𝒚𝟐 +
𝒛𝟐 
 
 DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN. 
 
F (x, y, z) 
 
DT= df/dx dx + df/dy + df/dz dx 
 
EJEMPLO 
Sea la funcion: f (x, y, z) = x² +√𝒙 + 3√y + 2z² x 
Obtener su diferecial total. 
 
DT= (2X + 1 /2√X + 2Z²) dx +√x + 2/2√x) dy + (4zx) dz 
 
F (x,y)= x² + ² / √xy 
df/dx = (√xy) (x² + y² - ( x² + y²) ( √x) 
 df/dx = (√xy) (2x) – (x² + y²) / (√x)² 
 
 
 
 
 
 
*DIFERENCIAL EXACTA 
 
F (x, y) → fx dx + fy dy 
 
Aplicando el teorema de schawarts 
 
Fxy – Fyx 
 
M→ Fx → Fxy → My Mx= My --- es una exacta 
N→ Fy → Fxy →N 
 
Ejemplo 
Determiar si en las siguientes expresiones son difereciales exacta y en cero afirmativo 
obtener la función. 
1) 
2) (2x+ 3) dx + (3x + 2y) 
3) (√xy) )(2x) + (x² + y²) )( y/ 2√xy) dx + (2y√xy) + (x² + y²) (y/ 2√xy) d 
 
M= 2X ´+ 3 MY= 3 ES UNA DIFERENCIAL EXACTA 
N= 3X + 2Y NX= 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*INTEGRACIÓN MULTIPLE 
INTEGRACIÓN DOBLE. 
F(X)= 
 
 F (X)