Sistema de Unidades Físicas

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

FÍSICA I
SISTEMA DE UNIDADES Y VECTORES
Sistema de unidades: Una magnitud física, es una cantidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le puede asignar distintos valores como resultado de una medición o una relación de medidas. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón. Es un conjunto que consiste en unidades de medida, normalizadas y uniformes. En general se definen unas pocas unidades de medida a partir de las cuales se deriva el resto.
Existen magnitudes básicas y derivadas, que constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud, el tiempo, la carga eléctrica, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración y la energía. En términos generales, es toda propiedad de los cuerpos o sistema que puede ser medida.
Clasificación:
Están clasificadas de acuerdo a varios criterios:
· Expresión matemática: En escalares, vectoriales y tensoriales
· Actividad: Extensivas e intensivas.	
Cantidades físicas
· Longitud: metro (m). Es la distancia recorrida por la luz en el vacío en . Este patrón fue establecido en el año 1983.
· Tiempo: segundo (seg). Es la duración de periodos de la radiación correspondiente a la transición en los dos niveles hipertinos del estado fundamental del asio-133. Este patrón fue establecido en el año 1967.
· Masa: kilogramo (kg). Es la masa de un cilindro de aceleración del platino-iridio depositado en la oficina internacional de pesas y medidas. Este patrón fue establecido en el año 1887.
	Múltiplos del metros
	Submúltiplos del metro
	Kilometro (km) = 1000m
	Decímetro (dm) = 0,1m
	Hectómetro (hm) = 100m
	Centímetro (cm) = 0,01m
	Decámetro (dam) = 10m
	Milímetro (mm) = 0,001m
· El sistema C.G.S.: Tiene como magnitudes fundamentales la longitud, la masa y el tiempo.
C -> de centímetro (cm)
G -> de gramo masa (gr)
S -> de segundo (seg)
· El sistema M.K.S.: Tiene como magnitudes fundamentales la longitud, la masa y el tiempo.M -> de metro (m)
K -> de kilogramo masa (kg)
S -> de segundo (seg)
· El sistema técnico o gravitacional: Tiene como magnitudes fundamentales la longitud, la fuerza y el tiempo.La unidad de longitud es metro (m)
La unidad de fuerza es kilogramo fuerza (kgf)
La unidad de tiempo es segundo (seg)
· El sistema inglés: Tiene como magnitudes fundamentales la longitud, la masa y el tiempo.La unidad de longitud es pie
La unidad de masa es la libra
La unidad de tiempo es segundo
Unidades derivadas
Conversión de unidades: Es la transformación del valor numérico de una magnitud física, expresado en cierta unidad de medida, en otro valor numérico equivalente y expresado en otra unidad de medida de la misma naturaleza.
Este proceso suele realizarse con el uso de factores de conversión o a las tablas de conversión de unidades.
Frecuentemente basta multiplicar por una fracción y el resultado es otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades. Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades, se puede utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.
Ejercicios
Transformar las siguientes medidas:
1) 
2) 
3) 
4) 
Análisis dimensional: Es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independiente. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham permite cambiar el conjunto original de parámetro de entrada dimensional de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducidos. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque si lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema.
De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:
· Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio
· Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.
Sistema de referencia: Es un conjunto de conversiones usadas por un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica. Las trayectorias medidas y el valor numérico de muchas magnitudes son relativas al sistema de referencia que se considere, por esa razón, se dice que el movimiento es relativo. Sin embargo, aunque los valores numéricos de las magnitudes pueden diferir de un sistema a otro, siempre están relacionados por relaciones matemáticas tales que permiten a un observador predice los valores obtenidos por otro observador.
Escalar: Es un tipo de magnitud física que se expresa por un solo modulo y tiene el mismo valor para todos los observadores.
Vectores: Es un trazado que se define por su longitud y su dirección; su definición matemática no es tan diferente, ya que esta la distinguen como un trazado lineal en un determinado espacio, donde se mide el espacio que existe entre un punto A y un punto B.V
CINEMATICA DE UNA PARTICULA
Cinemática: Es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos, aunque sin interesarse por las causas que originan dicho movimiento. Un estudio de las causas que lo originan es lo que se conoce como dinámica.
Las magnitudes que define la cinemática son principalmente tres, la posición, la velocidad y la aceleración.
Definición de vector posición y desplazamiento
Posición: De una partícula se describe con vector posición, que dibujamos desde el origen de un sistema de referencia hasta la ubicación de la partícula.
Desplazamiento: Es el cambio del vector de posición de un objeto. Posición de una partícula se describe con un vector posición, que dibujamos desde el origen de un sistema de referencia hasta la ubicación de la partícula.
El desplazamiento es una magnitud relativa: Depende del sistema de referencia escogido
Sistema de referencia: Es el cuerpo o conjunto de cuerpos que se consideran en reposo y que a él o a ellos otro cuerpo cambia de posición.
Posición: Es el lugar en que se encuentra el móvil en un cierto instante de tiempo t.
Suele representarse con el vector de posición. Dada la dependencia de este vector con el tiempo, es decir, si nos dan (t), tenemos toda la información necesaria para los cálculos cinemáticos.
Sistema de referencia inercia: Es el sistema de referencia que está en reposo o tiene un movimiento rectilíneo uniforme.
En este tipo de sistemas se cumple la ley de inercia y en general todas las leyes de la mecánica.
Sistema de referencia no inercial o acelerado: Es el sistema de referencia que tiene un movimiento acelerado.
En parte este tipo de sistema no cumplen las leyes básicas de la mecánica y en particular la de la inercia.
Movimiento: Es el cambio de lugar de un cuerpo con relación a otro que se consideran fijos.
Principio de independencia de movimiento: Si un cuerpo tiene un movimiento compuesto, cada uno de los movimientos componentes se comporta como si los otros movimientos no existieran.
Trayectoria: Es la línea que describe un cuerpo en su movimiento.
Elementos que determinan un movimiento: Los elementos que determinan todo cambio de lugar de un cuerpo son:a) El sistema de referencia
b) La trayectoria del móvil
c) La ley que rige el movimiento
Longitud; Distancia; Desplazamiento: Cuando un móvil pasa de un punto a otro, puede hacerlo por línea curva o línea recta y también puede hacerlo desde A hasta B o desde B hasta A.
Pues bien, cuando consideramos la longitud de la línea curva decimos “longitud entre los puntos”, cuando consideramos la longitud en línea recta decimos “distancia entre los puntos” y cuando consideramos el punto de partida y de llegada decimos “desplazamiento desde el punto tal hasta el punto cual”, teniendo en cuenta que el desplazamiento es un vector.A
B
Velocidad: Es la variación de la posición con el tiempo. Nos indica si el móvil se mueve, es decir,
si varía su posición a medida que varía el tiempo. La velocidad en física se corresponde al concepto intuitivo y cotidiano de velocidad.
Velocidad media: Se define como: 
UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA FACULTAD DE INGENIERÍA
 
Tomando los incrementos entre los instantes inicial y final que se precisen.
Ing. Aurimar Pereira	Página 33
No obstante, aunque la velocidad media es una magnitud útil, hay que destacar que en su cálculo se deja mucha información sin precisar. Así, aunque sepamos que la velocidad media de un móvil desde un instante 1 a otro 2 ha sido \tantos" metros por segundo, no sabremos si los ha hecho de forma constante, o si ha ido muy lento al principio y rápido al final o sí por eso se define una magnitud que exprésela velocidad instantánea, es decir, la velocidad en cierto y determinado instante y que pueda calcularse como una velocidad media donde los intervalos sean tan pequeños que pueda decirse exactamente a qué velocidad se desplazaba el móvil en cada instante. Es fácil darse cuenta de que esta definición se logra tomando como velocidad instantánea: y por tanto, coincide con la definición de derivada respecto al tiempo. 
De esta definición se obtienen algunas consecuencias:
La dirección de ~v va a ser siempre tangente a la trayectoria.
El módulo de ~v puede calcularse, además de operando sobre el vector ~v, sabiendo que siendo s(t) la distancia que el móvil ha recorrido sobre la trayectoria1. 
 -> Es la rapidez
 -> Es la distancia
 -> Es el tiempo
Rapidez: Es el módulo de la velocidad y se mide por el cociente que resulta de dividir la distancia recorrida por el móvil, entre el tiempo que emplea en recorrerla. En el SI -> 
En el M.K.S. -> 
En el C.G.S. -> 
En el técnico -> 
En el Inglés -> 
 
v -> Es la rapidez
d -> Es la distancia
t -> Es el tiempo
Unidades de rapidez: Las unidades de rapidez se obtienen dividiendo cualquier distancia entre cualquier punto.
Las unidades de rapidez en los diferentes sistemas de medidas son:
Diferentes tipos de movimientos: Los movimientos los podemos clasificar en diferentes formas:
· Si consideramos la línea que describe el móvil en su movimiento, habrá tantos movimientos como líneas (rectas, curvas, circunferencia, parábola, etc.).
· Si consideramos la forma de desplazarse el móvil sobre la línea recta, el movimiento puede ser, uniforme o variado.
Aceleración: Indica cuanto varia la velocidad al ir pasando el tiempo. El concepto de aceleración no es tan claro como el de velocidad, ya que la intervención de un criterio de signos puede hacer que interpretemos erróneamente cuando un cuerpo se acelera (a > 0) o cuando se \decelera" (a < 0). 
Aceleración media: Es la variación de la velocidad en la unidad de tiempo. Se puede definir una aceleración media entre dos instantes, inicial y final, como: 
y, de manera análoga a la velocidad, puede definirse una aceleración instantánea llevando estos instantes inicial y final muy cerca uno del otro, hasta tener así que la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo
Clasificación de los movimientos
Fórmulas de movimientos uniformemente variados
Cuando 
Es la rapidez inicial
 Es la rapidez final
 Es la rapidez media
 Es la aceleración
 Es el tiempo
 Es el tiempo máximo
 Es la distancia
 Es la distancia máxima
Ejercicios
1) Un móvil lleva una rapidez de . Acelera a razón de . Calcular:
a) ¿Qué rapidez lleva a los ?
b) ¿Qué distancia ha recorrido a los ?
Estamos en un movimiento uniformemente acelerado, por lo tanto aplicamos las fórmulas que en cada caso nos relacione a los datos y efectuar las operaciones.
Datos:
a) 
b) 
a) 
b) 
2) Un móvil lleva una rapidez de . Cuando ha recorrido su rapidez es de . Calcular que rapidez tendrá cuando haya recorrido .
Tenemos que calcular la aceleración del movimiento para después calcular la rapidez final.
Datos:
Graficas en los movimientos rectilíneos
Interpretación gráfica de la velocidad media de una partículaPosición
Tiempo
· Grafica Posición-Tiempo
Gráfica de posición-tiempo o gráfica de posición como función del tiempo
Es la gráfica que tiene como escala vertical la posición del móvil, que como es un vector puede ser positiva o negativa y como escala horizontal el tiempo que siempre es positivo.
· Grafica Distancia-TiempoDistancia
Tiempo
En la gráfica distancia-tiempo la pendientes de las rectas que se dibujan en ella miden la rapidez del movimiento.
La pendiente de cualquier recta se determina utilizando las coordenadas de dos puntos cualesquiera de ella o el Angulo que forma con el eje de los tiempos
a) Cuando la recta tiene una pendiente positiva, representa a un móvil que se aleja del origen.Distancia
Tiempo
El móvil se aleja
Pendiente Positiva
b) Cuando la recta paralela al eje horizontal, su pendiente es nula y representa a un cuerpo en reposo.
Distancia
Tiempo
Cuerpo en reposo
Pendiente Nula
c) Cuando la recta tiene una pendiente negativa, representa a un móvil que se acerca al origen.Distancia
Tiempo
El móvil se acerca
Pendiente Negativa
Velocidad
Tiempo
· Grafica Velocidad-Tiempo
Es la gráfica que tiene como escala vertical la velocidad del móvil, que como es un vector puede ser positiva o negativa y como escala horizontal el tiempo, que siempre es positivo.
· Grafica Rapidez-TiempoRapidez
Tiempo
Esta grafica es un caso particular de la anterior porque la rapidez siempre es positiva, por ser el módulo de la velocidad, por eso solamente se usa el eje vertical. 
a) Cuando la recta tiene una pendiente positiva, representa a un movimiento uniformemente acelerado. Rapidez
Tiempo
M.U. acelerado
Pendiente Positiva
b) Cuando la recta es paralela al eje horizontal su pendiente es nula y representa a un movimiento uniforme.
Rapidez
Tiempo
Mov. Uniforme
Pendiente Nula
c) Cuando la recta tiene una pendiente negativa, representa a un movimiento uniformemente retardadoRapidez
Tiempo
Mov. U. retardado
Pendiente Negativa
 Aceleración
Tiempo
· Grafica Rapidez-Tiempo
Es la gráfica que tiene como escala vertical la aceleración del móvil que como es un vector puede ser positivo o negativo y como escala horizontal el tiempo que es positivo.
Ejercicios
1) Hacer un estudio de la gráfica adjunta y después dibujar la gráfica distancia-tiempo.
Es una gráfica velocidad-tiempo y en ella obtenemos la siguiente información.
· Como las rectas son paralelas al eje horizontal representan movimientos uniformes.
· El móvil empieza con una velocidad de , que mantiene hasta los . Instantáneamente la velocidad pasa , que mantiene hasta los . . Instantáneamente la velocidad pasa , que mantiene hasta los . Instantáneamente el móvil cambia de sentido moviéndose en sentido contrario al que traía con velocidad de .
· Para dibujar la gráfica distancia-tiempo tenemos que calcular las distancias, teniendo en cuenta que tanto el tiempo como las distancias que vamos a calcular hay que referirlas al origen del movimiento.
Calculo de coordenadas.
Punto A
Punto B
A los de partir esta una distancia de 
Punto C
A los de partir esta una distancia de 
Punto D
A los de partir esta una distancia de 
Velocidad media
Representación gráfica para el movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado
 
· Caída libre: Un objeto en caída libre es un objeto que se mueve únicamente bajo la influencia de la gravedad, independientemente de su estado de movimiento inicial.
En los problemas vamos a suponer que:
· La resistencia del aire puede ser ignorada.
· La aceleración de caída libre es constante.
Módulo sobre la superficie de la Tierra g = 9.80 m/s2 dirigida hacia el centro de la Tierra (hacia abajo).
Curiosidades:
Módulo sobre la superficie de la Luna g = 1.67 m/s2
Módulo sobre la superficie del Sol g = 274 m/s2
Ejercicios
1) Se deja caer libremente un cuerpo.
a) La distancia que recorre en los 3 primeros segundos
b) La rapidez que lleva a los 
Tomar 
2) Desde de altura se deja caer libremente
un cuerpo.
a) Cuánto tarda en llegar el suelo.
b) Que rapidez lleva al llegar al suelo.
Tomar 
DINAMICA DE UNA PARTICULA
La dinámica: Es la parte de la Mecánica que estudia las relaciones entre las causas que originan los movimientos y las propiedades de los movimientos originados. Las Leyes de Newton constituyen los tres principios básicos que explican el movimiento de los cuerpos, según la mecánica clásica. Fueron formuladas por primera vez por Newton en 1687, aunque la primera de ellas ya fue enunciada por Galileo. 
Interacciones
En forma general, todos los cuerpos u objetos físicos se accionan en forma de atracción, repulsión, tracción y empuje.
Clasificación de las interacciones
· Interacciones gravitacionales
· Interacciones magnéticas
· Interacciones eléctricas
· Interacciones elásticas
· Interacciones por contacto
· Interacciones nucleares
Notación de las interacciones: Cuando tenemos que indicar las fuerzas que que se producen en la interacción de dos cuerpos.A
B
Fba Fab
La fuerza con que B empuja a A se denota 
La fuerza con que A empuja a B se denota 
Interacciones a distancia: Cuando los cuerpos no están en contacto los consideramos como partículas y la fuerza de interacción tiene dirección de la recta que la une.
Cuando la fuerza que actúa sobre un cuerpo es de atracción se dibuja apuntando hacia el otro cuerpo y cuando es de repulsión se dibuja alejándose.
La fuerza de atracción que actúa sobre A significa que el cuerpo B atrae a A. A B
FUERZA DE REPULSION FUERZA DE ATRACCION
La fuerza de repulsión que actúa sobre A significa que el cuerpo B repele a A.
Interacciones por contacto
· Peso de un cuerpo
· Normal
· Fuerza de tensión
· Fuerza de rozamiento
· Fuerza elástica
· Primera Ley de Newton
Todo cuerpo que no está sometido a ninguna interacción (cuerpo libre o aislado) permanece en reposo o se traslada con velocidad constante.
Esta ley es conocida como la ley de inercia y explica que para modificar el estado de movimiento de un cuerpo es necesario actuar sobre él. Definimos una nueva magnitud vectorial llamada momento lineal (o cantidad de movimiento) p de una partícula:
	
	
Entonces la primera ley es equivalente a decir que un cuerpo libre se mueve con p constante.
Consideremos el caso de dos partículas que, debido a su interacción mutua, describen un movimiento en el que sus velocidades respectivas varían:
Dos partículas que interaccionan entre sí no se mueven con velocidad constante.
Como el conjunto de las dos partículas está aislado, su momento lineal total se conserva: 
Esta expresión se conoce como principio de conservación del momento lineal y se puede hacer extensivo a un conjunto de N partículas. Operando en la ecuación anterior obtenemos que: 
Esto significa que, como el momento lineal del conjunto de las dos partículas se conserva pero el de cada una de ellas por separado no permanece constante, lo que aumenta el momento lineal de una de ellas ha de ser igual a lo que disminuye el momento lineal de la otra. El ejemplo típico que demuestra este hecho es el retroceso que experimenta un arma al ser disparada.
Estamos ya en disposición de enunciar la segunda ley.
Ley de la inercia o primera ley de newton: Un cuerpo cualquiera tiene tendencia a conservar su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme, siempre que una fuerza no equilibrada no le obligue a modificar su estado.
Inercia: Es la tendencia a los cuerpos a oponerse a que se modifique su estado de movimiento o de reposo.
· Segunda Ley de Newton	
Se define fuerza F que actúa sobre un cuerpo como la variación instantánea de su momento lineal. Expresado matemáticamente: 
La unidad de fuerza en el S.I. es el Newton (N).
Una fuerza representa entonces una interacción. Cuando una partícula no está sometida a ninguna fuerza, se mueve con momento lineal constante (Primera Ley).
Sustituyendo la definición de momento lineal y suponiendo que la masa de la partícula es constante, se llega a otra expresión para la Segunda Ley.
Comentaremos algunos aspectos interesantes de esta ecuación:
· La aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada, y la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo.
· Si actúan varias fuerzas, esta ecuación se refiere a la fuerza resultante, suma vectorial de todas ellas.
· Esta es una ecuación vectorial, luego se debe cumplir componente a componente.
· En ocasiones será útil recordar el concepto de componentes intrínsecas: si la trayectoria no es rectilínea es porque hay una aceleración normal, luego habrá una también una fuerza normal; si el módulo de la velocidad varía, es porque hay una aceleración tangencial, luego habrá una fuerza tangencial.
· La fuerza y la aceleración son vectores paralelos, pero esto no significa que el vector velocidad sea paralelo a la fuerza. Es decir, la trayectoria no tiene por qué ser tangente a la fuerza aplicada.
· Esta ecuación debe cumplirse para todos los cuerpos. Cuando analicemos un problema con varios cuerpos, deberemos entonces tener en cuenta las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos y aplicar la ecuación por separado.
Ley fundamental de la dinámica o segunda ley de newton: Si las fuerzas que actúan simultáneamente sobre el cuerpo no se equilibran resulta una fuerza resultante no equilibrada que modifica o el reposo o el movimiento del cuerpo por medio de una aceleración.
F=m*a
F-> Es la fuerza no equilibrada que actúa sobre m
m-> Es la masa inercial del cuerpo
a -> Es la aceleración que adquiere m
Ejemplo:
1) Con la ayuda de una soga se eleva un cuerpo de 20kg. Si la aceleración que actúa sobre el cuerpo es de . Calcular la tensión de la cuerda.
T>P y el modulo e la fuerza resultante es 
 pero por lo tanto 
.
· Tercera Ley de Newton
Volvamos a la ecuación que relaciona las variaciones del momento lineal de dos partículas que interaccionan entre sí. Si dividimos por el intervalo tiempo transcurrido y tomamos el límite cuando Δt tiende a cero:
 Atendiendo a la definición de fuerza vista en la segunda ley:
Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este último ejerce sobre el primero una fuerza igual en módulo y de sentido contrario a la primera.
Esta ley es conocida como la Ley de Acción y Reacción.
Un error muy común es cancelar las fuerzas que constituyen un par acción-reacción al estudiar un cuerpo, pero hay que tener en cuenta que dichas fuerzas se ejercen sobre cuerpos distintos, luego sólo se cancelarán entre sí cuando consideremos el sistema formado por los dos cuerpos en su conjunto.
Otro factor a tener en cuenta es que las fuerzas que constituyen un par acción-reacción siempre responden al mismo tipo de interacción.
Fuerza de acción y reacción
Cuando hay interacción entre dos cuerpos aparecen dos fuerzas, una en cada cuerpo, que tienen las siguientes características; tienen la misma magnitud y dirección pero sentidos contrarios.
 Efecto de la ley de acción y reacción
m1*v1=m2*v2
m1 -> Es la masa del primer cuerpo
v1 -> Es la velocidad del primer cuerpo
m1 -> Es la masa del segundo cuerpo
v1 -> Es la velocidad del segundo cuerpo
 
Resumimos las leyes de Newton en este cuadro:
	LEYES DE NEWTON
	Primera ley
(partícula libre)
	
	Segunda ley
	
	Tercera ley
	
· Dinámica de una partícula: La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas instantáneas a distancia.
En la teoría de la relatividad no es posible tratar un conjunto de partículas cargadas en mutua interacción, usando simplemente las posiciones de las partículas en cada instante, ya que en dicho marco se considera que las acciones a distancia violan la causalidad física. En esas condiciones la fuerza sobre una partícula, debida a las otras, depende de las posiciones pasadas de la misma.
· Dinámica del sólido rígido: La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento
y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento de un sólido rígido viene dado por un grupo uni-paramétrico de isometrías).
· Dinámica de medios continuos y teoría de campos: En física existen otras entidades como los medios continuos (sólidos deformables y fluidos) o los campos (gravitatorio, electromagnético, etc.) que no pueden ser descritos mediante un número finito de coordenadas que caractericen el estado del sistema. En general, se requieren funciones definidas sobre un dominio cuatri-diomensional o región. El tratamiento de la mecánica clásica y la mecánica relativista de los medios continuos requiere el uso de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, lo cual ocasiona dificultades analíticas mucho más notables que las encontradas en los sistemas con un número finito de coordenadas o grados de libertad (que frecuentemente pueden ser tratadas como sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias).
Ejercicios
1) Dos niños, José de 30kg y Andrés de 40kg están frente a frente en una pista de hielo. José da un empujón a Andrés y este sale despedido con una rapidez de . Calcular la repidez con que retrocede Jose, suponiendo que los patines no ofresen resistencia al movimiento.
Nota: este es un caso de la ley de acción y reacción, se aplica la formula correspondiente.
Datos:
mj José= 30kg
ma Andrés= 40KG
va Andrés= .
vj José= ?
2) Tres cargas eléctricas, -q1; +q2 Y -q3 están en los vértices de un triángulo, en donde q1 está en el vértice correspondiente al ángulo recto. Representar en un diagrama de fuerzas las interacciones eléctricas que actúan sobre cada una de ellas.-q3
-q1
+q2
Ley gravitacional: Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas en inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
F -> Fuerza de atracción entre las masas.
m1 y m2 -> Masas
d -> Distancia que separa las masas
G -> Constante gravitacional
EN EL C.G.S. -> 
EN EL M.K.S. -> 
Aceleración de la gravedad
g -> Es la aceleración de la gravedad
M-> Es la masa de la tierra R -> Es el radio de la tierra G -> Es la constante gravitacional 
h -> Es la altura a que esta el cuerpo sobre la superficie de la tierra
Ley de coulomb: La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas, es directamente proporcional al producto de ellas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
F -> Es la fuerza eléctrica con que se accionan las cargas
q1 Y q2 -> Son las cargas eléctricas
d -> Es la distancia entre las cargas
k -> Es la constante de proporcionalidad
La unidad de carga eléctrica en los sistemas s.i. y m.k.s. se llama coulombio que anotamos coul, y en el sistema c.g.s. se llama statcoulomb que anotamos stc.
1 Coulombio = Electrones
1 Coulombio = STAT Coulombios
1 Microcoulombio = Coulombios
 
Ley de coulomb Ley de la gravitación universal
Ejemplos
2) Calcular la aceleración de la gravedad a 5000km Sobre la superficie de la tierra, sabiendo que su masa mide , su radio y la constante gravitacional 
Datos:g = ?
h = 
M = 
R = 
G = 
3) Dos cuerpos de 200 kg y 400 kg están separados por una distancia de 2cm. Calcular la fuerza con que se accionan.
Datos: 
m1 = 200 kg
m2 = 400 kg
d = 2 cm
G = 
TRABAJO Y ENERGÍA
Se dice que una fuerza realiza trabajo cuando altera el estado de movimiento de un cuerpo. Es un mecanismo de transferencia de energía en un sistema. 
En el sistema internacional de unidades, el trabajo se expresa en julios o joules (J). 
Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y q el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento. 
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales.
· Trabajo de una fuerza constante 
Cuando una fuerza constante se aplica sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento Δx en la dirección de la fuerza aplicada, se dice que la fuerza realiza un trabajo.
Vemos que las unidades en las que se mide el trabajo son las de una fuerza por una distancia, siendo la unidad SI 1 julio = 1 newton·m. 
El trabajo es positivo si la fuerza se aplica en el mismo sentido que se realiza el desplazamiento y negativo si se opone a él. El trabajo es nulo si no hay desplazamiento. Una persona puede ejercer toda la fuerza que quiera contra una pared, hasta agotarse. Si la pared no se mueve, no ha realizado trabajo alguno. 
Si la fuerza, como vector que es, posee una dirección diferente al desplazamiento, solo su componente en la dirección de este realiza trabajo.
Esta cantidad de expresa de manera más sencilla con ayuda del producto escalar	
· El trabajo es una cantidad escalar, con signo. 
· No se realiza trabajo si se ejerce una fuerza, pero no se produce desplazamiento. 
· Una fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo alguno. 
Trabajo efectuado por la fuerza variable 
Si tenemos una partícula que realiza una trayectoria arbitraria, sometida a una fuerza variable con la posición o el tiempo, podemos hallar el trabajo dividiendo el camino en diferenciales casi rectilíneos, calculando el trabajo (diferencial) en cada uno, y sumando (integrando) el resultado.
· Energía cinética y el teorema del trabajo y la energía 
· Energía cinética: Es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa determinada desde el reposo hasta la velocidad indicada. Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para que el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un trabajo negativo de la misma magnitud que su energía cinética. Suele ser simbolizada con letra Ec o Ek. 
En el caso de una partícula sometida a una fuerza neta constante, el resultado es un movimiento con aceleración constante. En este tipo de movimiento se cumple que la velocidad media en un intervalo es igual a la media de la velocidad inicial y final.
Y el incremento de la velocidad lo da la aceleración constante 
Multiplicando la primera ecuación por la segunda y por la masa de la partícula queda
Que podemos abreviar y que Siendo K una cantidad que llamamos energía cinética de la partícula 
El teorema del trabajo y la energía 
El teorema de la energía cinética, también conocido como teorema de fuerzas vivas, es un teorema importante en el contexto de la mecánica clásica, en especial dentro del campo de la dinámica y de los análisis energéticos. 
El teorema establece que: 
El trabajo realizado por la fuerza neta (suma de todas las fuerzas) aplicado a una partícula es igual al cambio que experimenta la energía cinética de dicha partícula. Esto es, 
Este teorema es válido tanto en el ámbito de la mecánica clásica como en el de la mecánica relativista de partículas. Sin embargo, no es como lo esperábamos en la mecánica de medios continuos o deformables y necesita ser reformulado, ya que un sólido deformable sobre el que se realiza trabajo puede almacenar energía en forma de energía potencial elástica o disiparla por deformación plástica, sin que el trabajo realizado se convierta en energía cinética. De hecho, para un sistema que incluya medios continuos deformables, en el que se conserve la energía se puede definir el incremento de energía interna como: 
Por lo que el teorema de las fuerzas vivas original afirmaría que para un cuerpo no deformable, el
trabajo realizado sobre él no produce incrementos de energía interna, siendo todo el trabajo igual al incremento de energía cinética.
Fuerzas conservativas y no conservativas 
· Fuerzas conservativas: Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo total realizado por el campo sobre una partícula que realiza un desplazamiento en una trayectoria cerrada (como la órbita de un planeta) es nulo. El nombre conservativo se debe a que para una fuerza de ese tipo existe una forma especialmente simple (en términos de energía potencial) de la ley de conservación de la energía. Las fuerzas que dependen sólo de la posición son típicamente conservativas. Un ejemplo de fuerza conservativa es la fuerza gravitatoria de la mecánica newtoniana. Las fuerzas dependientes del tiempo o de la velocidad (por ejemplo, la fricción o rozamiento) son típicamente no conservativas. La mayoría de sistemas físicos fuera del equilibrio termodinámico son no-conservativos; en ellos la energía se disipa por procesos análogos al rozamiento. 
· Fuerzas no conservativas: Las fuerzas no conservativas son aquellas en las que el trabajo realizado por las mismas es distinto de cero a lo largo de un camino cerrado. El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es dependiente del camino tomado. A mayor recorrido, mayor trabajo realizado. 
Ejemplos de fuerzas no conservativas serían: 
· Fuerza de rozamiento 
· Fuerza magnética 
· Fuerza de razonamiento: Es la fuerza que existe entre dos superficies en contacto, que se opone al movimiento relativo entre ambas superficies (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del deslizamiento (fuerza de fricción estática). Se genera debido a las imperfecciones, que en mayor parte son microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza perpendicular r entre ambas superficies no lo sea perfectamente, sino que forme un ángulo con la normal n (el ángulo de rozamiento). Por tanto, la fuerza resultante se compone de la fuerza normal n (perpendicular a las superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento f, paralela a las superficies en contacto. 
Rozamiento entre superficies de dos sólidos 
En el rozamiento entre dos cuerpos se ha observado los siguientes hechos: 
1. La fuerza de rozamiento tiene dirección paralela a la superficie de apoyo. 
2. El coeficiente de rozamiento depende exclusivamente de la naturaleza de los cuerpos en contacto, así como del estado en que se encuentren sus superficies. 
3. La fuerza máxima de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza normal que actúa entre las superficies de contacto. 
4. Para un mismo par de cuerpos (superficies de contacto), el rozamiento es mayor un instante antes de que comience el movimiento que cuando ya ha comenzado (estático vs. Cinético). 
El rozamiento puede variar en una medida mucho menor debido a otros factores: 
1. El coeficiente de rozamiento es prácticamente independiente del área de las superficies de contacto. 
2. El coeficiente de rozamiento cinético es prácticamente independiente de la velocidad relativa entre los móviles. 
3. La fuerza de rozamiento puede aumentar ligeramente si los cuerpos llevan mucho tiempo sin moverse uno respecto del otro ya que pueden sufrir atascamiento entre sí. 
Algunos autores sintetizan las leyes del comportamiento de la fricción en los siguientes dos postulados básicos: 
1. La resistencia al deslizamiento tangencial entre dos cuerpos es proporcional a la fuerza normal ejercida entre los mismos. 
2. La resistencia al deslizamiento tangencial entre dos cuerpos es independiente de las dimensiones de contacto entre ambos. 
La segunda ley puede ilustrarse arrastrando un bloque sobre una superficie plana. La fuerza de arrastre será la misma, aunque el bloque descanse sobre la cara ancha o sobre un borde más angosto. Estas leyes fueron establecidas primeramente por Leonardo da Vinci al final del siglo XV, olvidándose después durante largo tiempo; posteriormente fueron redescubiertas por el ingeniero francés Amontons en 1699. Frecuentemente se les denomina también leyes de Amontons.
Tipos de fricción
Existen dos tipos de rozamientos o fricción.
· Fricción estática (fe): Es la resistencia que se debe superar para poner en movimiento un cuerpo con respecto a otro que se encuentra en contacto. 
· Fricción dinámica (fd): Es la resistencia, de magnitud considerada constante, que se opone al movimiento, pero una vez que este ya comenzó.
Efecto de la fricción: Imaginemos un globo. Cuando está en el aire, posee energía potencial de gravitación. Al caer, dicha energía se transforma en energía cinética. 
Sin embargo, cuando el globo golpea el suelo, se deforma y gana energía potencial elástica. Si vuelve atrás, gana nuevamente energía cinética, pero mientras se eleva su energía se convierte en energía potencial gravitatoria. 
Una observación del globo nos permite ver que en lugar de permanecer flotando siempre, este objeto pierde velocidad y se detiene. 
Entonces: ¿dónde quedó la energía extra? La mayor parte de la energía, que se haya en los globos, se convierte en calor y sonido debido a la fricción. Este proceso puede producirse tanto en el aire como en la tierra. 
Las transformaciones de energía en el universo se caracterizan por varios tipos de energía disponible que aparecieron desde el Big Bang, incluyendo energía gravitacional y ondas electromagnéticas. 
Fuerza magnética (fuerza lorentz): La fuerza de lorentz es la fuerza ejercida por el campo electromagnético que recibe una partícula cargada o una corriente eléctrica. 
Forma clásica: Para una partícula sometida a un campo eléctrico combinado con un campo magnético, la fuerza electromagnética total o fuerza de lorentz sobre esa partícula viene dada por la energía potencial.
Energía potencial: El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos. 
Existe una clase de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas, para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro. 
Esto permite definir una función denominada energía potencial como el trabajo, cambiado de signo, para ir desde un punto fijo O (el origen de potencial) hasta un punto fijo.
Entre los casos importantes de fuerzas conservativas tenemos: 
· El peso, para el cual, si el origen de potencial es la superficie terrestre y z la altura sobre ella.
· Más en general la fuerza gravitatoria producida por un cuerpo fijo sobre otro, tomando como origen de potencial el infinito, tiene una energía potencial. 
El oscilador armónico, que cumple la ley de Hooke, tomando el origen de potencial en el punto de equilibrio, tiene una energía potencial, en el caso rectilíneo. 
La energía potencial se obtiene a partir de la fuerza, integrando respecto a la posición. Para ello hay que elegir un camino (que es arbitrario, pero uno hay que elegir) que lleve del origen de potencial al punto donde queremos hallar el potencial. 
En el caso de una fuerza dependiente de la posición a lo largo de una recta que actúa sobre una partícula que se mueve sobre esta recta, el camino es inmediato: es la propia recta de movimiento.
Energía potencial y elástica: Es energía almacenada que resulta de aplicar una fuerza para deformar un objeto elástico. La energía queda almacenada hasta que se quita la fuerza y el objeto elástico regresa a su forma original, haciendo un trabajo en el proceso. 
La energía potencial elástica es la energía almacenada en un objeto cuando hay una tensión temporal en él, como en un resorte enrollado o una banda elástica estirada. 
La energía se almacena en los enlaces entre los átomos. Los enlaces absorben energía a medida que se ponen bajo tensión y liberan la energía a medida que se relajan (cuando el objeto vuelve a su forma original).
La energía elástica es una forma de energía potencial, esta energía almacenada resulta de aplicar una fuerza para deformar un objeto elástico, como un resorte o una liga, la fuerza que actúa sobre los componentes es directamente proporcional a la distancia que se estira o comprime el elástico. Diversos objetos están diseñados específicamente para almacenar energía potencial elástica, por ejemplo: Un arquero que estira su arco, La liga de hule de una resortera, El muelle de un reloj de cuerda, Una pelota de goma, etc.
¿Cómo se produce la energía elástica? 
Una fuerza que actúa sobre un objeto puede hacer que cambie temporalmente su forma, como cuando estiras una banda elástica o aplastas una bola blanda con la mano.
Cuando esto sucede, la energía elástica puede almacenarse en el objeto, lista para ser liberada cuando el objeto vuelve a su forma original, cuando suelta la banda elástica o afloja el agarre sobre la bola de goma. 
¿Cómo se calcula la energía potencial elástica? 
La energía almacenada en un resorte u otro material elástico alargado o comprimido se denomina energía potencial elástica, Ep, y esta se calcula aplicando la siguiente ecuación: 
Aplicaciones de la energía potencial elástica 
El trampolín: Es un ejemplo perfecto de energía potencial elástica. 
Aquí hay una descripción de lo que sucede cuando una persona salta sobre un trampolín. 
1. Un trampolín es una pieza de material flexible sostenida en su lugar por un conjunto de resortes. Cuando no está en uso, la energía potencial elástica es casi cero. 
2. Supongamos que una persona sube al trampolín y salta. El peso de la persona a la altura del salto tiene energía potencial gravitatoria. 
3. Al descender, la energía gravitacional se transfiere a la energía cinética (energía en un objeto en movimiento). Cuando la persona aterriza en el trampolín, la energía cinética de la persona obliga a los resortes a estirarse. En este punto, la energía cinética se transfiere y se almacena momentáneamente en los resortes del trampolín y la superficie como energía potencial elástica. 
4. ¿Qué pasa después? Aquí se realizan dos tipos de trabajo: primero, los resortes absorben el impacto del aterrizaje de la persona. En segundo lugar, la energía potencial elástica se libera de nuevo en la persona cuando salta otra vez. 
Entonces: La energía elástica es la energía almacenada en un objeto debido a una fuerza que cambia temporalmente su forma, como aplastamiento o estiramiento. 
La energía potencial es la energía que se almacena en un objeto o sustancia. La energía elástica es una forma de energía potencial, de hecho, a menudo se la denomina “energía potencial elástica”. 
Energía potencial gravitatoria: Es la energía potencial que depende de la altura asociada con la fuerza gravitatoria. Esta dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa y la aceleración de la gravedad. 
La energía potencial gravitatoria de una masa en un punto del espacio es el trabajo que realiza en un campo gravitatorio para trasladar la masa desde dicho punto hasta el infinito. Según la definición, la energía potencial es siempre negativa y su máximo es siempre cero. 
La energía potencial es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo, dependiendo de la configuración que tengan en un sistema de cuerpos que ejercen fuerzas entre sí. Puede pensarse como la energía almacenada en un sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Más fácilmente, la energía potencial es una magnitud escalar asociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad a un campo tensorial de tensiones). Cuando la energía potencial está asociada a un campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para trasladar la masa m desde el punto B al punto A por cualquier camino.
Causa: La energía potencial gravitatoria se debe a la posición respecto a la del suelo tomado como referencia. Por ejemplo, si estás saltando sobre un trampolín de tres metros de altura, tienes 3 veces más energía que en el trampolín de 1 metro. La energía potencial que depende de la altura se llama energía potencial gravitatoria. El peso determina también la cantidad de energía potencial gravitatoria que tiene un objeto. El dicho “Cuanto más grandes son, con más ruido caen” es una referencia al efecto del peso en la energía gravitacional. Tienes mucha más energía potencial gravitatoria si cargas una mochila pesada que si cargas una liviana. 
Si bien la fuerza gravitacional varía con la altura, en las proximidades de la superficie terrestre la diferencia es muy pequeña como para ser considerada, por lo que se considera la aceleración de la gravedad como una constante. En la tierra, por ejemplo, la aceleración de la gravedad es considerada de 9,8 m/s² en cualquier parte. En cambio, en la Luna, cuya gravedad es muy inferior, se generaliza el valor de 1,66 m/s². 
Formula 
La relación entre la energía potencial gravitatoria, el peso y la altura, puede expresarse con la siguiente fórmula: 
Según esta fórmula, cuanto mayor es el peso, mayor es la energía potencial gravitatoria. Cuanto mayor es la altura sobre una superficie, mayor es la energía potencial gravitacional. 
Este tipo de energía está asociada con la separación entre dos cuerpos, los cuales se atraen mediante la fuerza gravitacional.
Conservación de la energía: El Principio de conservación de la energía indica que la energía no se crea ni se destruye; sólo se transforma de unas formas en otras. En estas transformaciones, la energía total permanece constante; es decir, la energía total es la misma antes y después de cada transformación. 
La ley de la conservación de la energía afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema físico aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no se crea ni destruye solo se transforma, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía térmica en un calefactor.
La conservación de la energía es una ley física que postula que la energía no puede ser creada ni destruida, sólo se transforma de una forma en otra. 
Dichas formas van desde la energía cinética y potencial hasta la luz, el calor y el sonido. Por tanto, la cantidad de energía en cada sistema siempre es una constante, pero se va transformando una y otra vez. 
La masa y la teoría de la relatividad: Einstein comprendió que la masa no es más que otra forma de energía y lo plasmó en su teoría. 
La distinción entre partículas masivas y energéticas no es muy amplia, ambas pueden transformarse en la otra respectivamente. El total de los sistemas cerrados permanece inalterable. 
Una consecuencia directa de esta ley es el hecho de que las máquinas de movimiento perpetuo sólo pueden funcionar continuamente si no liberan energía hacia sus alrededores. 
Sistemas conservativos y no conservativos 
Sistemas conservativos: Es un sistema mecánico en el que la energía mecánica se conserva. En la mayoría de los ejemplos de sistemas conservativos, la conservación de la energía se sigue del hecho de que las interacciones entre las diferentes partículas vienen descritas por fuerzas conservativas. En consecuencia, en dichos sistemas la energía mecánica es una integral del movimiento y, por tanto, una mínima cantidad conservada. 
Los sistemas mecánicos disipativos son ejemplos de sistemas mecánicos no conservativos.
Sistemas no conservativos: Son aquellas en las que el trabajo realizado por las mismas es distinto de cero a lo largo de un camino cerrado. El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es dependiente del camino tomado. A mayor recorrido, mayor trabajo realizado. 
Potencia mecánica: Puede emplearse para nombrar a la cantidad de trabajo que se desarrolla por una cierta unidad de tiempo. Puede calcularse, en este sentido, dividiendo la energía invertida
por el periodo temporal en cuestión. En el lenguaje coloquial, potencia es sinónimo de fuerza o poder. 
Mecánica, por su parte, es algo que ejerce un mecanismo o aquello que puede provocar diversos efectos físicos, como una erosión o un choque. También se trata de la rama de la física dedicada a estudiar el movimiento y el equilibrio de los cuerpos que se someten a una fuerza. 
Con esto en mente, podemos definir qué es la potencia mecánica. Se trata del trabajo desarrollado por una persona o por una maquinaria en un determino espacio temporal. La potencia mecánica, en este sentido, es aquella transmitida mediante la puesta en marcha de un mecanismo o el ejercicio de la fuerza física. 
Un ejemplo de potencia mecánica lo encontramos en el accionar de un grúa que debe levantar una carga. Supongamos que se necesita levantar un contenedor para depositarlo adentro de un camión. Debido a que el contenedor es muy pesado, ninguna persona puede moverlo. Se utiliza, por lo tanto, una grúa que está en condiciones de desarrollar una potencia mecánica superior a aquella que puede conseguir cualquier individuo. De este modo, la grúa levanta el contenedor y lo deposita en el camión que se encargará de su transporte. 
Además de todo lo expuesto, podemos establecer otros datos importantes acerca de la potencia mecánica: 
· Se mide en watts (W). Un watt equivale a un joule (j) de trabajo por segundo (s). 
· Por medio de la potencia mecánica podemos calcular la rapidez o lentitud con la que podemos realizar un trabajo en un determinado periodo de tiempo. Un dato interesante a la hora de llevar a cabo, por ejemplo, construcciones de diversa índole. 
· Además de los dispositivos ya citados, como las grúas, tenemos que saber que existen otras muchas máquinas en las que poder hacer uso y aplicación del concepto de potencia mecánica. Con eso nos estamos refiriendo a excavadoras, manipuladoras de tipo telescópico e incluso a carretillas elevadoras. 
La potencia mecánica también aparece en el elevador que, gracias a un motor, puede levantar hasta trescientos kilogramos de peso.
Velocidad-Tiempo
Y	A
A
B
B
C
C
D
0	3	3	6	6	8	8	10	5	5	20	20	10	10	-20	-20	segundos
m/seg
Distancia-Tiempo
Y	a
b
c
d
C
C
D
0	3	6	8	10	0	15	75	95	55	segundos
metros
image2.png
image3.png
image5.png
image6.png
image7.png
image8.png
image9.png
image10.gif
image11.gif
image12.gif
image13.gif
image14.gif
image15.gif
image16.gif
image17.gif
image18.gif
image19.gif
image20.gif
image21.gif
image22.gif
image23.gif
image24.png
image25.png
image26.png
image27.png
image28.png
image29.png
image30.png
image31.png
image32.png
image33.png
image34.png
image35.png
image36.png
image1.png
image4.jpeg