DIBUJO

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DIBUJO 
 
LENGUAJE GRÁFICO 
Como ingenieros necesitamos saber cómo trazar líneas rectas o curvas con 
precisión, es cierto que en este tiempo nuestra herramienta principal es el 
ordenador, pero es necesario saber usar las escuadras, la regla “T” y el compás 
para elaborar aquellos trabajos que no sea posible resolver por medio de éste. 
Por eso es necesario aprender a manejar estas sencillas 
herramientas de dibujo, para que se pueda echar mano de ellas 
cuando así se requiera. 
El espacio de trabajo: Necesitas un espacio para dibujar con 
una iluminación adecuada, libre de objetos ajenos a la tarea de 
dibujar y también sin polvo o cualquier sustancia que pudiera 
ensuciar tus trabajos. Puedes tener una mesa especial para 
dibujo. 
La regla “T”: Es una hoja con una cabeza perpendicular pegada en uno de sus 
extremos, esta cabeza puede ser fija o movible, en esta guía nos ocuparemos de 
la de cabeza fija. 
Las dos partes de la regla T deben estar 
rígidamente sujetas una con la otra en un ángulo 
recto (90°). Es necesario verificar que los bordes 
de nuestra regla sean lisos, al igual los del tablero 
y la mesa de trabajo. Se debe revisar que la regla 
no tenga defectos Si es así debe regresarse al 
vendedor. 
Nunca utilices tu regla para hacer trabajo rudo esto puede estropearla. 
Las escuadras: Estas vienen en pareja. La primera de ellas tiene un ángulo de 
90° y los otros 2 ángulos de 45°. La segunda tiene un ángulo de 90°, otro de 30° y 
otro de 60°, algunas 
traen un biselado que 
puede servir para que 
la tinta de un 
estilógrafo o de un 
plumín no se meta 
debajo de la escuadra 
cuando trazamos y con eso nos manche el trabajo. 
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Las escuadras deben tener sus cantos lisos, para que las líneas que tracemos 
salgan sin defecto. 
El compás: El compás 
trazador se usa para círculos 
desde 25.4 mm de radio 
hasta unos 152 mm de radio, 
si se utiliza la barra de 
extensión se pueden dibujar 
círculos hasta de 305 mm de 
radio. 
Materiales: Los materiales a usar con estos instrumentos de precisión son el 
estilógrafo y algunos de los llamados medios de punta como son el lápiz, los 
plumines y los pulmones. También se puede usar el tiralíneas que es un 
aditamento del compás pero que por ahora no se ocupará. 
Es necesario que tengas a la mano un trapo seco, una navaja de las que 
llamamos “cutter”, un sacapuntas para el lápiz y una goma blanca. 
 Manejo de las escuadras, la regla “t” y el compás 
La regla T se usa poniendo la 
cabeza de la regla por fuera de la 
mesa de trabajo. 
También es necesario que fijes la 
hoja de papel sobre la que vas a 
dibujar por las esquinas con una 
cinta adhesiva para que puedas 
desplazar las herramientas de 
dibujo sin temor de que ésta se 
mueva. 
Alinea la hoja con ayuda de la regla T, es 
decir, has que el borde superior de la hoja 
coincida con el borde superior de la regla T. 
Las escuadras las puedes usar juntas o por 
separado. Al usarlas junto con la regla T 
puedes lograr todos los trazos. La posición 
se recomienda cuando los trazos son largos, 
pero la posición es más rígida y precisa por 
lo que se recomienda para uso general. 
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Si se combinan las dos escuadras se pueden trazar líneas a 15° y a 75° con la 
horizontal. Si se dispone la escuadra superior de manera que descanse sobre la 
hipotenusa, se pueden trazar 
líneas a 15° o a 75° con la 
horizontal más precisa. 
Los 360° se pueden dividir en 24 
sectores de 15° cada uno usando 
las escuadras combinadas 
junto con la regla T. 
Fíjate en la forma de usar la 
escuadra junto con la regla T. 
Cuando uses el compás es 
necesario que pongas la punta 
de aguja en donde debe ir el 
centro de la circunferencia y 
ajustes el compás al radio 
requerido, previamente establecido con algún escalímetro o 
regla. Comienza dibujando el círculo sobre el lado de la 
izquierda, inclina ligeramente el compás hacia adelante y 
traza el círculo hacia la derecha con el mango girando entre 
los dedos índice y pulgar. Los zurdos deben sujetar el 
compás con la mano izquierda y tracen los círculos hacia la 
izquierda. 
 
 Trazos con medios de punta, lápiz, plumines y estilógrafos 
Se les llama medios de punta a 
todos aquellos materiales que 
deben de frotarse directamente 
sobre la superficie al usarse sin 
que se utilice un pincel u otra 
herramienta para aplicarlos. 
Nosotros sólo vamos a necesitar 
lápices. 
Ocupa lápices de alta calidad 
con ello lograrás un dibujo de alta calidad, nunca lápices ordinarios para escribir. 
Los lápices de dibujo son nuestras herramientas más importantes porque nos dan 
la calidad de trazo. 
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Las minas se hacen de grafito, añadiendo arcilla en diferentes proporciones, lo 
que resulta es un abanico de dieciocho grados de distintas durezas desde el 9H, el 
más duro, hasta el 7B, el más blando. 
Los lápices no deben usarse cuando son muy pequeños porque no es posible 
manipularlos. 
También se puede ocupar en lugar del lápiz un portaminas o lapicero, que 
podemos cargar con minas de distinto calibres o grados, tal como los lápices; si se 
utiliza el lapicero con minas de 5 mm o de 3 mm no es necesario sacarles punta 
como a los lápices. 
 Selección del lápiz: Cada lápiz está 
marcado con la dureza que tiene, así 
los lápices con la letra H son los más 
duros, esto es que al dibujar pintan 
suavemente. Por el contrario los que 
llevan la letra B sueltan demasiado 
grafito y pintan intenso, sin embargo, 
cada marca comercial puede variar 
la dureza de sus lápices en relación 
con otra; por lo cual, lo más 
recomendable es probar el lápiz o la mina que vamos a usar, si es que 
utilizas portaminas. 
La dureza del lápiz a usar es de acuerdo con las 
líneas que se van a trazar, por ejemplo para líneas 
de construcción o bocetaje úsense los H, estos 
sueltan poco grafito, para las líneas generales y 
rotuladas se pueden usar lápices más blandos 
pero que no tiren tanto grafito que manchen. 
También puede influir el papel sobre el que se va a dibujar, si éste es duro 
soportará un lápiz duro, pero si el papel es blando debe usarse un lápiz más 
blando. El dibujante debe aprender a seleccionar el lápiz que produzca la calidad 
de línea que necesite. 
Cuando se utilice un lápiz éste debe tener una punta cónica. 
ESCALA Y NORMAS 
 NORMAS DIN Y ASA 
El dibujo técnico es un lenguaje universal de comunicación, es el medio más 
importante a la hora de trasmitir ideas técnicas muy exactas, sobre proyectos y 
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diseños para que otro lo interprete y construya. Tratar de realizar un proyecto 
industrial sin un plano es imposible, por tal razón el dibujo debe ser tan preciso 
como la idea propia. 
Durante la segunda guerra mundial, los países industrializados buscan una 
normalización industrial unificada para todo el mundo, por esta razón se creó la 
ISO (Organización Internacional de Normalización), aunque se han alcanzado 
muchos logros en unificación, aún existen algunas diferencias en el sistema 
americano y europeo. 
Gracias al avance de la globalización, se exige que las compañías definan y 
complementen sus estrategias y procesos ofreciendo estándares técnicos para la 
racionalización, el control de calidad, la seguridad y la protección del medio a fin 
de cooperar con la industria manufacturera, el comercio, los sectores deservicio, 
las organizaciones del consumidor y el gobierno. 
En Colombia se trabaja en un alto porcentaje con el 
sistema americano ANSI (Instituto Nacional Americano de 
Normas), debido a que la industria posee maquinaria 
producida en Norteamérica; Además, ICONTEC (Instituto 
Colombiano de normas Técnicas) homologó las normas 
americanas (ASA) y normas Alemanas (DIN). 
Hay diversas formas de clasificar las normas. Pueden ser 
según su contenido: normas fundamentales de Tipo 
General o de Tipo Técnico; de Materiales y de 
Dimensiones de Piezas y Mecanismos. También las hay 
según su ámbito de aplicación: Internacionales, 
Nacionales, Regionales y Empresariales. 
La normalización con base sistemática y científica nace a finales del siglo XIX, con 
la Revolución Industrial en los países altamente industrializados, ante la necesidad 
de producir más y mejor. Pero el impulso definitivo llegó con la primera Guerra 
Mundial (1914-1918). Ante la necesidad de abastecer a los ejércitos y reparar los 
armamentos, fue necesario utilizar la industria privada, a la que se le exigía unas 
especificaciones de intercambiabilidad y ajustes precisos. 
Fue en este momento, concretamente el 22 de Diciembre de 1917, cuando los 
ingenieros alemanes Naubaus y Hellmich, constituyen el primer organismo 
dedicado a la normalización: 
NADI - Normen-Ausschuss der Deutschen Industrie - Comité de Normalización de 
la Industria Alemana. 
Este organismo comenzó a emitir normas bajo las siglas: 
http://3.bp.blogspot.com/-Khfp12AYAzU/UUd4InrkwoI/AAAAAAAAAFI/z8ubFxWJQN4/s1600/xzxzc.jpg
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DIN que significaban Deustcher Industrie Normen (Normas de la Industria 
Alemana). 
En 1926 el NADI cambio su denominación por: 
DNA - Deutsches Normen-Ausschuss - Comité de Normas Alemanas que si bien 
siguió emitiendo normas bajos las siglas DIN, estas pasaron a significar "Das Ist 
Norm" - Esto es norma. 
Y más recientemente, en 1975, cambio su denominación por: 
DIN - Deutsches Institut für Normung - Instituto Alemán de Normalización. 
Rápidamente comenzaron a surgir otros comités nacionales en los países 
industrializados, así en el año 1918 se constituyó en Francia el AFNOR - 
Asociación Francesa de Normalización. En 1919 en Inglaterra se constituyó la 
organización privada BSI - British Standards Institution. 
En este caso en partículas ofrece los estándares técnicos para la racionalización, 
el control de calidad, la seguridad y la protección del medio a fin de cooperar con 
la industria manufacturera, el comercio, los sectores de servicios, las 
organizaciones del consumidor y el gobierno. 
En la actualidad la mayoría de las normas especialmente en Europa se basa en 
las normas de estandarización DIN. Esta norma es conocida en Alemania como el 
cuerpo de estándares nacional. 
Sus principios son paralelos a la humanidad DIN, son las redactadas y emitidas 
por los diferentes organismos nacionales de normalización, y en concordancia con 
las recomendaciones de las normas internacionales y regionales pertinentes. 
Para la elaboración de los formatos: medidas del formato bruto, del formato final y 
de los márgenes, se utiliza la norma DIN A o serie DIN A. 
La serie DIN A establece que todos los formatos deben ser: 
 Semejantes. 
 Medidos en milímetros. 
 De forma rectangular. 
Y tal que su altura sea igual a su base multiplicada por la raíz de dos. 
DIN designa los trabajos de la comisión alemana de normas, relación de hoja de 
normas, contiene todas las normas existentes y los proyectos. 
En la industria se utiliza para trazar letras, números, la plantilla llamada normo 
grafo es una franja plástica con letras y números perforados que rigen las normas 
DIN16 y DIN17. 
 DIN 16 es la letra inclinada normalizada. 
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 DIN17 es la letra vertical normalizada, es la más utilizada para rotular dibujo 
y dimensiones. 
Los formatos de serie DIN se pueden subdividir racionalmente así: A, O en dos 
formatos AI; en cuatro formatos A; en ocho formatos A3; en dieciséis formatos A4. 
Esta subdivisión se identifica como doblez modular. 
Clasificación de los dibujos según su destino: 
Dibujo de taller o de fabricación: Representación destinada a la fabricación de una 
pieza, conteniendo todos los datos necesarios para dicha fabricación. 
Dibujo de mecanización: Representación de una pieza con los datos necesarios 
para efectuar ciertas operaciones del proceso de fabricación. Se utilizan en 
fabricaciones complejas, sustituyendo a los anteriores. 
Dibujo de montaje: Representación que proporciona los datos necesarios para el 
montaje de los distintos subconjuntos y conjuntos que constituyen una máquina, 
instrumento, dispositivo, etc. 
Dibujo de clases: Representación de objetos que sólo se diferencian en las 
dimensiones. 
Dibujo de ofertas, de pedido, de recepción: Representaciones destinadas a las 
funciones 
mencionadas. 
Todos manejamos a diario lo que muchos 
erróneamente llaman "folios", hojas de papel 
tamaño DIN A4 cuya medida es 210×297 
mm. Pero ¿por qué es exactamente esa la 
medida y no otra? Fue en 1922 cuando a los 
alemanes (tan metódicos ellos), les dio por 
crear una tamaño estándar de papel para 
que a los estudiantes no se les doblasen los 
apuntes -al ser de tamaño folio- porque se 
les salían por las esquinas de sus carpetas 
DIN A4. Bueno, para esto y para ahorrar 
costes de producción. 
Para empezar buscaron un tamaño con unas 
características muy concretas, y a este área 
le llamaron A0 (área 0, por ser la primera). 
Sus medidas serían de exactamente 1 metro 
cuadrado. Para ello se buscó una relación 
http://4.bp.blogspot.com/-vzKA6ShVXCw/UUd4RzwJM_I/AAAAAAAAAFQ/anAhQ9FfHl0/s1600/fsafdsf.jpg
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ideal y ésta sería 1:√2 ¿Por qué? pues porque de esta manera, al doblar a la mitad 
una hoja A0, por ejemplo, el lado más corto pasa a convertirse en el lado más 
largo del tamaño obtenido, que pasa a llamarse A1 y así continuamente. 
Así, si se corta cualquier hoja de la serie por la mitad de su lado más largo, se 
obtiene un par de hojas del tamaño siguiente, que siguen manteniendo la 
proporción ideal entre el largo y el ancho. 
Formatos normas DIN: 
Los formatos de dimensiones menores son, cada uno de ellos, de superficie mitad 
que el anterior. Los formatos mayores que el tomado como origen, serán el doble 
que el anterior. 
La norma DIN 476 
Trata de los formatos de papel y ha sido 
adoptada por la mayoría de los organismos 
nacionales de normalización europeos. 
Su contenido es equivalente al de la norma 
internacional ISO216, a la cual sirve como base. 
La norma alemana fue adoptada casi en todos 
los países. 
NORMAS ASA 
El sistema americano utilizado en los estados unidos y en todos los países bajo su 
influencia industrial, está regido por la American Estandar Association (ASA). 
Estos formatos tienen sus dimensiones en pulgadas. 
Las tablas y los gráficos se enumeran separadamente.la palabra figura para 
referirse a un grafico, es un anglicismo. Si se empleen fotografías u otros 
materiales visuales también se numeran separadamente. Cada tabla y cada 
grafico deben estar perfectamente rotulados, con un titulo descriptivo q acompañe 
al número, en la parte superior. En las tablas no se deben emplear abreviaturas ni 
en los rótulos de fila ni en los de columna, salvo en casos especiales, como los 
nombres de algunas variables estadísticas. En la parte inferior se debe situar la 
fuente de la tabla o gráfico. Lo ideal es q las tablas y gráficos resulten inteligibles y 
porsi mismos, sin recurso al texto que se describe. 
Toda tabla o grafico debe contar con al menos una alusión en el texto. 
Normalmente la ilusión se presenta entre paréntesis, idealmente, los gráficos y 
tablas se emplazan después de la primera alusión en el texto, o en el lugar 
conveniente más cercano. Lo recomendado según ASA es indicar el 
emplazamiento ideal de la tabla. Las normas de estilo ASA son ampliamente 
http://2.bp.blogspot.com/-KgLaM4pJZ1w/UUd4T3iGLfI/AAAAAAAAAFY/zgzJoAKjiL4/s1600/images.jpg
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utilizadas en publicaciones académicas y en requisitos que se exigen a los 
trabajos de los estudiantes en universidades. Emplear algún tipo de norma es 
importante para evitar el plagio, además, se desarrolla la capacidad de escribir 
siguiendo pautas profesionales más exigentes. 
A principios de los años 70 ASA cambió de nombre para pasar a llamarse ANSI. 
Hoy por hoy las normas norteamericanas no son ASA sino ANSI. ANSI sirvió de 
modelo para la confección de la sensibilidad ISO. Simbología: 
A continuación se listan los elementos que poseen una simbología bajo la norma 
ASA: 
 Conductor 
 Contacto 
 Resistencia 
 Pulsadores 
 Unión 
 Interruptores 
 Disyuntores 
 Seccionador 
 Transformador 
 Reactor 
 Motores 
La sensibilidad de la película mide el grado en que la película es sensible a la luz. 
Por ejemplo, una velocidad de la película más alta indica que la película requiere 
menos exposición a la luz, es decir, la exposición más corto, para capturar una 
imagen. Por el contrario, una ASA o ISO número más bajo significa que la película 
es una "película lenta" que necesita la luz ya la exposición para capturar la imagen 
misma. 
Hoy en día, ASA medidas de velocidad de la película han sido sustituidos por la 
ISO (Organización Internacional de Normalización) estándar que incluye tanto las 
dimensiones lineales y logarítmicas. 
El ASA y las escalas de velocidad ISO de la película son importantes porque 
determinan la calidad de la foto: el grano de una foto final. La secuencia es la 
siguiente: los granos más grandes de la película, el más rápido de la película, la 
exposición menor cantidad de luz necesaria. Por lo tanto, muy definido y 
fotografías detalladas, tales como retratos se toman generalmente en una película 
lenta de grano fino. En contraste, las escenas de iluminación que han limitado o se 
encuentran en movimiento en general, se debe tomar con película rápida más 
grande de grano que puede capturar una imagen con un mínimo de exposición a 
la luz. 
http://2.bp.blogspot.com/-wFnZAUS1dEE/UUd4Z0-nWDI/AAAAAAAAAFg/Ep0bEfmU9es/s1600/fdfsd.jpg
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Nota: Esta imagen es realizada en papel reciclaje por tal motivo se denota unas 
líneas en medio de la imagen. 
HOJA DE PAPEL BLANCO 
TIPO CARTA 
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Márgenes externos de la hoja. 1 cm de cada lado. 
 
HOJA DE PAPEL BLANCO 
TIPO CARTA 
FORMATO EN POSICION 
VERTICAL 
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Dimensiones del rotulado. 
 
HOJA DE PAPEL BLANCO 
TIPO CARTA 
FORMATO EN POSICION 
VERTICAL 
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Líneas guías 
 
Rotulado. 
Escala: Cuando tenemos que dibujar 
un edificio de viviendas en un papel 
nos vemos obligados a reducir sus 
dimensiones para que nos entre en el 
papel. Sin embargo, cuando 
queremos dibujar un componente 
electrónico diminuto necesitamos 
ampliarlo. Es aquí donde entran en 
juego las diferentes escalas que se 
usan en el dibujo técnico. 
Vamos aprender que es una escala, 
los tipos de escalas que se utilizan, 
como hacer y sacar una escala, 
como saber a qué escala está 
dibujado un objeto y el escalímetro. 
También al final de la página tienes 
unos ejercicios de escalas sencillos 
para resolver. 
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¿Qué es una Escala? 
La escala es la relación que existe entre las dimensiones del dibujo de un objeto y 
las dimensiones reales del objeto. 
La escala se define por dos números que determinan la relación entre el dibujo y 
la realidad. 
 El primer número de la proporción o relación se refiere al dibujo del papel. 
 El segundo número de la proporción o relación se refiere a la realidad del 
objeto (dimensiones reales) 
Los dos números se separan por dos puntos ( : )o por el signo de la división ( / ). 
Escala= Dibujo: Realidad; también se puede usar el símbolo de la división; 
Escala= Dibujo/Realidad. 
Tipos de escalas 
Las escalas pueden ser de 3 tipos 
 Reducción 
 Ampliación 
 Natural 
Escala de reducción: Se usa cuando el objeto en el 
dibujo es menor que en la realidad, es decir los objetos 
se dibujan más pequeños que su tamaño real. 
La escala de reducción más utilizada son: 1:2, 1:5, 
1:10, 1:20, 1:50, 1:100 y 1:1000 
Escala de ampliación: Se usa cuando necesitamos 
hacer el dibujo más grande que el objeto real. 
Las escalas mas usadas de ampliación son: 2:1, 5:1, 
10:1 y 20:1. 
Escala natural: Es este caso las medidas del objeto y 
las de su dibujo son las mismas. 
La escala más usada es: 1:1. 
 
 
 
 
 
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El escalímetro: Es una regla especial con forma 
prismática y que tiene diferentes escalas en la misma 
regla. Se utiliza normalmente para medir en dibujos 
que utilizan diferentes escalas. En el borde tiene un 
rango con escalas calibradas, solo tenemos que ir 
girando el escalímetro para utilizar la escala 
apropiada. 
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Al tener forma de prisma el escalímetro tiene tres caras y en cada una de sus 
caras existen 2 escalas diferentes, de esta forma un escalímetro posee 6 escalas 
diferentes. 
Se utiliza igual que una regla, se comienza con el valor cero con la cara del 
escalímetro de la escala escogida y se contara hasta donde llegue la línea. 
Esa es la medida real. Hay que recordar que lo que se mide con el escalímetro 
está representado en metros. 
CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS 
Elementos geométricos fundamentales, definición: 
Punto, línea y plano son los elementos geométricos básicos con los que podemos 
todas las figuras geométricas, se denominan propios si pertenecen a un espacio 
finito e impropio si no. 
Los límites de un cuerpo son las superficies, de las superficies las líneas y de las 
líneas los puntos. 
Los planos tienen dos dimensiones, una dimensión las líneas y ninguna dimensión 
los puntos, que únicamente determinan un lugar. 
Punto: Queda definido por la intersección de dos líneas, se designa x, +, o (A). 
Recta: 
 Línea recta. Sucesión de puntos sin principio ni final, se designa: s. 
 Se denomina semirrecta cuando tiene un origen concreto en un espacio 
finito (A. S.) 
 Se denomina segmento cuando está limitada por ambos lados. (A B). 
 Línea curva: Es una sucesión de puntos que no están en la misma 
dirección. 
Plano: Está formado por infinitas rectas, no tiene límites, se designa con 
mayúscula y se lo determinan dos rectas que se cortan, un punto y una recta no 
alineados,tres puntos o dos rectas paralelas. 
Perpendicularidad: Dos rectas o dos planos son perpendiculares entre sí cuando 
se cortan (o cruzan) formando ángulo recto. También se denominan ortogonales o 
normales. 
Símbolos: ⊥, L. 
Axiomas: 
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 Por un punto de una recta pasa una sola perpendicular. 
 Por un punto exterior a una recta solo pasa una perpendicular a dicha recta. 
Teoremas: 
 Recta perpendicular a un plano: Una recta perpendicular a 
un plano lo es a todas las rectas contenidas en dicho plano, 
pasen o no por la intersección recta-plano o pie de la 
perpendicular. 
 Teorema de las tres perpendiculares: Si dos rectas son 
perpendiculares entre sí y una de ellas es paralela a un plano, 
sus proyecciones ortogonales sobre dicho plano, son 
también ortogonales. 
 Perpendicularidad entre planos: Para que dos planos 
sean perpendiculares entre sí, es preciso que uno de ellos 
contenga una recta perpendicular al otro. 
 Mediatriz: Es el lugar geométrico1 de los puntos de un 
plano que equidistan de los extremos de dicho segmento. 
Divide al segmento en dos partes iguales y es perpendicular a éste. 
Se dibuja trazando por los extremos del segmento dos arcos de 
radio arbitrario pero mayor que la mitad del segmento, unidos los 
puntos C y D en donde los arcos segmento cortan, se obtiene la 
mediatriz. 
Trazado de perpendiculares 
 Perpendicular a una recta por un punto de ella: Con 
centro en P trazamos un arco de radio arbitrario que corta 
a la recta en A y B, definido el segmento AB trazamos su 
mediatriz. 
 
 Perpendicular a una recta por un punto exterior: Con 
centro en P trazamos un arco de radio arbitrario que corte a 
la recta en A y B, definido el segmento AB trazamos su 
mediatriz. 
 
 Perpendicular a una semirrecta en su extremo: 
 
 1er método: Basado en el teorema de 
Pitágoras. En todo triángulo rectángulo, el 
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de 
los cuadrados de los catetos. Si los catetos son 
de 3 y 4 unidades y la hipotenusa de 5, tenemos 
que 32 + 42 = 52, luego si trazamos desde el extremo de la semirrecta un 
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arco de radio 4 cm, y a 3 cm de dicho extremo, en C otro arco de 5 cm, 
obtenemos el punto A de corte de ambos arcos que unido con el extremo P 
de la semirrecta nos proporciona la perpendicular buscada. Podemos 
observar que el triángulo ACP es efectivamente rectángulo. 
 2º método: Basado en la construcción del triángulo equilátero3. Con radio 
arbitrario pero fijo, trazamos arcos sucesivos, 
comenzando por P obtenemos A en r, con centro 
en A obtenemos B, desde B, C y desde B y C, D. 
Uniendo D y P obtenemos la perpendicular 
buscada. 
 3er método: Basado en el arco capaz4. Desde 
un punto exterior C cualquiera, trazamos una circunferencia 
que pase por P, extremo de la semirrecta que corta a r en 
A, uniendo A y C obtenemos B en la circunferencia, unimos 
B y P, perpendicular buscada. 
 Paralelismo: Rectas paralelas son aquellas que, estando 
en un mismo plano, no se cortan en un espacio finito, o se 
cortan en el infinito. Permanecen equidistantes. Se designan //. 
Trazado. 
 Trazar una paralela a una recta por un punto exterior. 
 1er método: Desde un punto M cualquiera de la recta 
dada r, trazamos haciendo centro en él, un arco que pase 
por P y corte a la recta en dos puntos A y B. 
Transportamos la cuerda BP desde A y obtenemos C en 
el arco que unido con P nos proporciona la paralela pedida5. 
 2º método: Trazamos una perpendicular a R dada que pase 
por P dado, trazando otra perpendicular a la anterior por P 
tenemos la paralela buscada. 
 Paralela a una recta a una distancia dada. 
Por un punto cualquiera de r trazamos una perpendicular sobre la 
que llevamos la distancia dada obteniendo el punto A por donde 
trazamos una perpendicular r que será la paralela a la recta dada. 
 Ángulos: Si sobre un plano se consideran dos semirrectas de origen 
común, el plano queda dividido en dos regiones denominadas ángulos. 
Ángulo es por tanto la parte del plano comprendida entre dos semirrectas 
de origen común. Los lados del ángulo son las dos semirrectas, el vértice, el 
origen común de ambas. 
Se designan de tres formas: 
 Por sus lados y vértice, coronados por un sombrerete, en 
forma de acento circunflejo AÔB. 
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 Por su vértice, con el sombrerete ô. 
 Por letras griegas α, β, ϕ. 
Unidades: Los ángulos se miden por los arcos que abarcan. Para establecer la 
unidad de medida, denominada grado, se divide un cuarto de circunferencia en un 
número determinado de partes iguales: 
 Sistema Sexagesimal: Si dividimos este cuarto de circunferencia en 90 
partes. Es el sistema más usual. La circunferencia completa tiene 360º. Un 
grado se divide a su vez en 60 minutos (60’), y estos en 60 segundos (60‘’) 
por lo que un grado tiene 3600’’. 
 Sistema Centesimal: Si dividimos el cuarto de circunferencia en 100 
partes. Un grado (1g) se divide a su vez, en este sistema, en 100 minutos 
(100m) y estos en 100 segundos (100s) por lo que un grado tiene 10000s. 
La circunferencia tiene 400g y el ángulo recto 100g. 
Tipos de ángulos: 
 Llanos: Si sus lados son dos semirrectas opuestas. Miden 
180º. 
 Convexos: Si son menores que un llano, se dividen en: 
 Recto: Formado por dos rectas 
perpendiculares, mide 90º. 
 Agudo: Si es menor que un ángulo recto. 
 Obtuso: Si es menor que un llano y 
mayor que un ángulo recto. 
 Cóncavos: Si son mayores que un ángulo 
llano. 
Relaciones entre ángulos. 
Según la relación existente entre los ángulos, se pueden establecer los siguientes 
tipos de ángulos: 
 En función de la suma de ángulos. 
 Complementarios: Dos ángulos son complementarios entre sí cuando entre 
los dos suman 90º o forman un ángulo recto. 
 Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios entre sí cuando entre los 
dos suman 180º o forman un ángulo llano. 
 En función de la posición de sus lados. 
 Consecutivos: Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado común. 
 Adyacentes: Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y sus 
lados no comunes forman un ángulo llano. Son adyacentes todos los 
suplementarios. 
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 Ángulos opuestos por el vértice: Formados por dos rectas al cortarse, son 
iguales dos a dos. 
Construcciones. 
 Construcción de un ángulo igual a otro: Trazamos 
un arco de radio arbitrario y centro en el vértice O, 
obtenemos A y B. Colocamos donde 
queramos transportar el ángulo una de 
las dos semirrectas, por ejemplo la OB 
y trazamos un arco de centro O y radio 
OB, sobre el arco y desde B 
trasladamos la distancia AB obteniendo 
A que uniremos con O. 
 Suma de ángulos: Dados dos ángulos, 
trazamos arcos de igual radio en 
ambos y construimos uno sobre otro según hemos visto. 
 Diferencia de ángulos. 
 Bisectriz: Es la recta que divide al ángulo en dos mitades o el lugar 
geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. 
Construcciones: 
 1er método: Trazamos un arco con centro en el vértice del ángulo y 
obtenemos A y B, calculando la mediatriz del segmento AB obtenemos la 
bisectriz buscada. 
 2º método: Trazamos dos arcos de 
diferente radio y centro en el vértice del 
ángulo dado (concéntricos), obtenemos 
AB y CD. Unimos A con D y B con C, cortándose AD y BC en P, unimos P 
con O y obtenemos la bisectriz buscada. P equidista de los lados del ángulo 
pues los segmentos AD y BC se cortan formando dos triángulos iguales 
(APC y BPD). 
 3º. Trazadode la bisectriz de un ángulo de vértice desconocido: 
Trazamos paralelas r y s a los lados del ángulo hacia ad 
 4º. Bisectriz de un ángulo mixtilíneo: Un ángulo 
mixtilíneo es el formado entre un arco y una 
semirrecta. Para calcular su bisectriz, trazamos 
primero varios arcos concéntricos y a igual distancia 
del arco dado trazando posteriormente rectas 
paralelas a la semirrecta del ángulo con distancias 
entre ellas iguales a las tomadas para los arcos. Se localizan los puntos de 
intersección de los arcos concéntricos y rectas paralelas correspondientes 
(el primer arco concéntrico con la primera recta paralela a la semirrecta y 
así sucesivamente), obteniendo la bisectriz que es una curva equidistante al 
arco y semirrecta originales simultáneamente. 
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División de ángulos. 
1) División del ángulo en un número par de partes iguales: 
Se trazan sucesivas bisectrices. 
2) División del ángulo recto en tres partes iguales: Con 
centro en el vértice O del ángulo dado, se traza un arco de 
radio arbitrario obteniendo A y B. Con centro en A y B 
trazamos dos arcos de igual radio, 
obteniendo sobre el primero los puntos C 
y D que unidos con O dividen en tres 
partes al ángulo. 
3) División de un ángulo cualquiera en 
tres partes iguales: Este problema no 
tiene solución geométrica exacta, podemos resolverlo de un modo 
aproximado de la siguiente forma. Por el vértice B del ángulo dado 
trazamos un arco de radio r arbitrario que determina A y C en los lados del 
ángulo y N en la prolongación del lado BA. Situamos una recta pasando por 
C que corte a D en el arco y a E en la recta BA de tal forma que la distancia 
DE sea igual al radio del arco trazado r. La paralela a la recta CE, trazada 
por B, define en el arco el punto F y este la tercera parte aproximada del 
ángulo, trazamos la bisectriz de CBF y quedará dividido en tres partes. 
4) División de un ángulo en un número cualquiera de partes iguales: Para 
dividir el ángulo en un número de 
partes iguales n, con centro en el 
vértice trazamos un arco de radio 
arbitrario y dividimos su rectificación 
(segmento recto de longitud igual a la 
del arco dado) en el mismo número de 
partes. Dado el ángulo de vértice O, 
trazamos el arco y obtenemos A y B, lo 
rectificamos llevando sobre la 
semirrecta opuesta a BO y a partir de 
W, punto de corte de la prolongación del arco con dicha semirrecta, ¾ 
partes del radio del arco, obteniendo C. Unimos C con A y prolongamos 
hasta cortar en D a la perpendicular trazada por B al segmento OB. El 
segmento BD es la rectificación del arco7. Dividimos BD en n partes iguales 
que unimos con C obteniendo las divisiones del arco y por tanto del ángulo. 
 
 
 
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PROYECCIONES 
Sistemas de representación en geometría descriptiva 
Generalidades: En geometría descriptiva, todos los sistemas de representación, 
tienen como objetivo representar sobre una superficie bidimensional, como es una 
hoja de papel, los objetos que son tridimensionales en el espacio. 
Con este objetivo, se han ideado a lo largo de la historia diferentes sistemas de 
representación. Pero todos ellos cumplen una condición fundamental, 
la reversibilidad, es decir, que si bien a partir de un objeto tridimensional, los 
diferentes sistemas permiten una representación bidimensional de dicho objeto, de 
igual forma, dada la representación bidimensional, el sistema debe permitir 
obtener la posición en el espacio de cada uno de los elementos de dicho objeto. 
Todos los sistemas, se basan en la proyección de los objetos sobre un plano, que 
se denomina plano del cuadro o de proyección, mediante los denominados rayos 
proyectantes. El número de planos de proyección utilizados, la situación relativa 
de estos respecto al objeto, así como la dirección de los rayos proyectantes, son 
las características que diferencian a los distintos sistemas de representación. 
Sistemas de proyección: En todos los sistemas de representación, la proyección 
de los objetos sobre el plano del cuadro o de proyección, se realiza mediante los 
rayos proyectantes, estos son líneas imaginarias, que pasando por los vértices o 
puntos del objeto, proporcionan en su intersección con el plano del cuadro, la 
proyección de dicho vértice o punto. 
Si el origen de los rayos 
proyectantes es un punto 
del infinito, lo que se 
denomina punto impropio, 
todos los rayos serán 
paralelos entre sí, dando 
lugar a la que se 
denomina, proyección 
cilíndrica. Si dichos rayos 
resultan perpendiculares al plano de proyección estaremos ante la proyección 
cilíndrica ortogonal, en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, 
estaremos ante la proyección cilíndrica oblicua. 
Si el origen de los rayos es un punto propio, estaremos ante la proyección 
central o cónica. 
Tipos y características 
 Los sistemas de medida, son el sistema diédrico y el sistema de planos 
acotados. Se caracterizan por la posibilidad de poder realizar mediciones 
directamente sobre el dibujo, para obtener de forma sencilla y rápida, las 
dimensiones y posición de los objetos del dibujo. El inconveniente de estos 
sistemas es, que no se puede apreciar de un solo golpe de vista, la forma y 
proporciones de los objetos representados. 
http://www.dibujotecnico.com/wp-content/uploads/2015/07/sistemas-de-proyeccion.png
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 Los sistemas representativos, son el sistema de perspectiva axonométrica, 
el sistema de perspectiva caballera, el sistema de perspectiva militar y 
de rana, variantes de la perspectiva caballera, y el sistema de perspectiva 
cónica o central. Se caracterizan por representar los objetos mediante una 
única proyección, pudiéndose apreciar en ella, de un solo golpe de vista, la 
forma y proporciones de los mismos. Tienen el inconveniente de ser más 
difíciles de realizar que los sistemas de medida, sobre todo si comportan el 
trazado de gran cantidad de curvas, y que en ocasiones es imposible tomar 
medidas directas sobre el dibujo. Aunque el objetivo de estos sistemas es 
representar los objetos como los vería un observador situado en una 
posición particular respecto al objeto, esto no se consigue totalmente, dado 
que la visión humana es binocular, por lo que a lo máximo que se ha 
llegado, concretamente, mediante la perspectiva cónica, es a representar 
los objetos como los vería un observador con un solo ojo. 
 
En el siguiente cuadro pueden apreciarse las características fundamentales de 
cada uno de los sistemas de representación. 
Sistema Tipo 
Planos de 
proyección 
Sistema de proyección 
Diédrico De medida Dos 
Proyección cilíndrica 
ortogonal 
Planos acotados De medida Uno 
Proyección cilíndrica 
ortogonal 
Perspectiva 
axonométrica 
Representativo Uno 
Proyección cilíndrica 
ortogonal 
Perspectiva caballera Representativo Uno Proyección cilíndrica oblicua 
Perspectiva militar Representativo Uno Proyección cilíndrica oblicua 
Perspectiva de rana Representativo Uno Proyección cilíndrica oblicua 
Perspectiva cónica Representativo Uno Proyección central o cónica 
 
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA 
La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas geométricas que permite 
representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional. Por 
tanto, mediante una «lectura» adecuada posibilita resolver problemas espaciales 
en dos dimensiones de modo que se garantiza la reversibilidad del proceso. 
 
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En la época actual se reconocen dos modelos, en los cuales se les considera: 
1) «Lenguaje» de representación y de sus aplicaciones. 
2) Tratado de geometría. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo 
ha estado relacionado con el de la geometría proyectiva. 
Aplicaciones: Toda disciplina que requiera representación de elementos en 
superficies planas (papel) puede encontrar una gran aliada. Por ello a esta área 
del conocimiento se le incluye en todos los planes de estudios de ingeniería, 
arquitectura, diseño, topografía, entre otros. En una de sus ramas se estudia la 
proyección acotada, en la cual se basan los planos topográficos y de obras 
públicas, normalmente trazados e interpretados por topógrafos. 
Como asignatura de estudio obligatorio en las escuelas de ingeniería y de 
arquitectura de todo el mundo, mediante el estudio de la geometría descriptiva se 
procura desarrollo intelectual del estudiante en dos campos distintos, 
complementarios: 
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 Comprensión del espacio tridimensional que rodea al individuo. 
 Desarrollo de una estructura de pensamiento lógica. 
Esto permite al profesional cimentar las bases de otras disciplinas, como la 
mecánica de cuerpos rígidos, deformables y fluidos, por cuya virtud 
simultáneamente enfrenta los problemas específicos de su área mediante un 
enfoque heurístico (práctico) –no memorístico– de la realidad objeto de estudio. 
Se podría afirmar que la Geometría descriptiva es al ejercicio profesional del 
diseñador lo que la gramática es al idioma (Harry Osers). 
Breve reseña histórica 
Desde la antigüedad, como lo demuestran ciertos dibujos encontrados en cuevas 
prehistóricas, el hombre ha sentido siempre necesidad de representar 
gráficamente su entorno, pero no es sino hasta el Renacimiento cuando se intenta 
ilustrar la profundidad. Previamente los constructores necesitaron realizar 
representaciones fieles de las piezas que debían realizar. El mejor exponente de 
ello es la cantería del final de la Edad Media y el Renacimiento. Los canteros 
realizaron complejas estereotomías en tercera dimensión, en particular en las 
difíciles piedras de los encuentros entre arcos o entre bóvedas. Quedan, como 
testimonio del nivel al que llegó la estereotomía y sus herramientas gráficas, entre 
otros los tratados de Alonso de Vandelvira. Otros artesanos de la construcción 
como los carpinteros debieron dominar herramientas semejantes para realizar las 
complicadas techumbres de los grandes edificios de esas épocas. 
Los nuevos imperativos de representación del arte y de la técnica impulsan a 
ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos 
métodos que les permitan proyectar fielmente la realidad. Aquí se enmarcan 
figuras como Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone Battista 
Alberti, Piero della Francesca y muchos más. Junto a ellos destaca Filippo 
Brunelleschi, que codificó la perspectiva cónica a partir de las especulaciones 
medievales sobre la reflexión de los espejos. 
Al descubrir la perspectiva y la sección, todos ellos crean la necesidad de 
implantar las bases formales en las que se asiente la nueva modalidad de 
geometría que ésta implica: la geometría proyectiva, cuyos principios 
fundamentales aparecen de la mano de Gérard Desargues en el siglo XVII. Esta 
nueva geometría también la estudiaron Blaise Pascal y Philippe de la Hire, pero 
debido al gran interés suscitado por la geometría cartesiana (geometría analítica) y 
sus métodos, no alcanzó tanta difusión. 
El posterior desarrollo de la técnica requirió aplicaran las teorías matemáticas a la 
práctica, proceso que culminó en 1795 con la publicación de la obra de Gaspard 
Monge, Geometría descriptiva. 
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El punto: Es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son 
considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en 
relación con otros elementos similares o parecidos. Se suelen describir 
apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre 
los entes geométricos fundamentales. 
El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud, área, volumen, 
ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el 
espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas. 
Representación gráfica 
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), 
cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suele representarse con un 
pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o 
segmento. 
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las 
rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas). 
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una 
pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se 
representa con un pequeño círculo, circunferencia u otra figura geométrica, 
presupone que el punto es su centro. 
Doble proyección ortogonal: Es otra forma de denominar al sistema diédrico, 
que es aquel en el que se utilizan dos planos de proyección, sobre los que se 
proyectan ortogonalmente los elementos a representar, obteniéndose dos 
proyecciones. 
Los planos que son ortogonales se giran hasta que forman uno solo. A veces se 
utiliza un tercer plano auxiliar, ortogonal a los dos principales, llamado plano de 
perfil. Existen dos variantes el sistema diédrico clásico o tradicional y el sistema 
diédrico directo. 
El origen del sistema diédrico y su utilización principal es el cálculo de 
intersecciones entre planos o cuerpos; aunque otra de sus mayores aplicaciones 
es la representación de cuerpos, que en su versión simplificada o técnica se 
denominan vistas. A veces se le refiere a él por sus siglas DPO (doble proyección 
ortogonal). 
Nomenclatura: Se trata del conjunto de letras, símbolos y tipos de trazos que se 
disponen en un Dibujo Técnico con el fin de leer y entender rápidamente de qué 
entes geométricos se trata y qué relaciones destacables mantienen. Cada autor 
hace estilo propio a partir de lo general, variando según circunstancias expresivas. 
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A veces, se confunden las anotaciones al margen con la nomenclatura, debido a 
explicaciones o aclaraciones que el profesorado suele incluir. La nomenclatura 
debe respetar y destacar la precisión y claridad del dibujo, por lo que no debe 
faltar y tampoco sobrar. Por otro lado, la acotación sustituye a la nomenclatura. 
Nomenclatura de los entes geométricos básicos 
 Punto: Su grafía parte de su definición de posición, intersección de dos 
líneas, si bien es frecuente destacarlo con una pequeña circunferencia con 
centro en él. Su nombre, con letra mayúscula. Cuandoes un punto 
especial, su denominación suele hacer referencia a su característica: Punto 
cualquiera P, Medio M, de Tangencia T, Centro de circunferencia Q (por la 
forma redonda), Vértice de ángulo V (por la forma y la inicial) cuando hay 
un conjunto de puntos que forman por ejemplo un polígono, se nombran 
ordenadamente en sentido contrario a las agujas del reloj (triángulo ABC), 
si son varios del mismo tipo se ponen subíndices o superíndices de 
comillas: T1, T2 o bien A, A', A". 
 Recta: Su grafía es variada, desde sucesión de puntos, trazos, alternancia 
de trazo y punto, trazo continuo. Y su grosor determina la importancia 
reservándose siempre el mayor para destacar la solución. El nombre, 
siempre será con letra minúscula. La recta cualquiera r, tangente t, eje e, o 
simplemente siguiendo el abecedario. Al igual que con el punto se pueden 
poner subíndices y superíndices de comillas. 
 Plano: Su grafía real es imposible, aunque se suelen utilizar rectángulos y 
paralelogramos para representarlos o bien las rectas que lo definen con 
nomenclatura especial. Los nombres para ellas suelen ser letras del 
alfabeto griego y tienen subíndices representando la intersección con los 
planos de proyección. 
Nomenclatura, para ciertas formas geométricas 
Radio. R, si son varios R1, R2, R3... 
 Diámetro: Únicamente se pone cuando se da la medida en donde no se ve 
la forma de la circunferencia, en acotación. Es decir, sustituye a la 
circunferencia. 
Circunferencia: c1, c2, c3 
 Ángulo: Puede denominarse por el vértice con letra mayúscula o por su 
amplitud con letra griega. 
 Polígono: Con letra mayúscula: Cuadrado A + Cuadrado B. Nomenclatura 
para ciertas relaciones. 
 Identidad o coincidencia en el mismo espacio: Guion entre los nombres 
de las formas coincidentes: A-B, a-b, etc. 
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 Paralelismo: Dos trazos paralelos sobre las rectas de igual dirección. 
 Perpendicularidad: Un arco de circunferencia de radio pequeño y un punto 
en su interior. Hay versión cuadrada. 
Dirección: Una flecha con una d encima, con la inclinación correspondiente. 
Proyección de un punto: Los 
puntos pueden situarse en 
cualquier parte del espacio, 
aunque en este ejemplo, 
trabajaremos con un punto 
situado en el primer cuadrante de 
proyección, definido por el Plano 
Vertical (PV) y el Plano Horizontal 
(PH), ayudado del Plano de Perfil 
(PP), según lo recogido en el 
apartado Proyecciones. 
Cota: Es la distancia del punto a proyectar (punto A) al plano horizontal. Podemos 
entender que es la “altura” del punto sobre el PH. 
Esto implica que la cota será la medida existente entre la proyección vertical del 
punto a’ y la Línea de Tierra (LT). 
Alejamiento: De la misma forma, el alejamiento es la distancia del punto A al 
plano vertical. Lo que implica que será la distancia de la LT a la proyección 
horizontal del punto (a”). 
Cota y alejamiento (vuelo) 
 A la distancia que hay desde el punto al plano horizontal se le denomina 
cota. 
 A la distancia que hay desde el punto al plano vertical se le denomina 
alejamiento. 
Planos bisectores: Son aquellos que dividen al espacio 
en ocho regiones llamadas octantes. Estos se numeran 
del 1 al 8, en sentido contrario a las agujas del reloj. 
Alfabeto del punto: Generalidades y fundamento del 
sistema. Alfabeto del punto. 
 
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En el sistema diédrico o de Monge, se debe al matemático y físico francés Gaspar 
Monge. Este científico es considerado como el Padre del a Geometría Descriptiva. 
Nació en Beauné en 1746, y murió en Paris en 1818. 
La geometría descriptiva tiene como fundamento la representación de un objeto de 
tres dimensiones sobre soportes que solo tienen dos, es decir superficies planas. 
Esta forma de expresión se utilizada en el mundo de la técnica, industria, 
arquitectura, topografía, etc. 
Los distintos sistemas de representación se describen en el cuadro siguiente. 
 
 
 
 
 
 
La recta: En cualquier sistema, una recta queda definida por dos puntos por 
donde pasa. 
Dado que un punto tiene dos proyecciones, la recta tendrá dos proyecciones que 
pasarán por las proyecciones correspondientes de los puntos que la definen. 
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La condición para que un punto pertenezca a una recta (o para que la recta pase 
por el punto) se resume en que las proyecciones del punto deben encontrarse 
sobre las correspondientes proyecciones de la recta 
Merecen una atención especial los puntos donde la recta intersecta a los planos 
de proyección. A estos puntos los llamamos TRAZAS de la recta. 
Una recta puede tener como máximo DOS trazas: una horizontal (Hr) y otra 
vertical (Vr). Las trazas son los puntos donde la recta cambia de cuadrante. 
Proyección de la recta determinada por dos puntos 
Dos puntos definen a una recta. En Sistema Diédrico, bastará unir las 
proyecciones de igual nombre de esos puntos, para tener representada la recta. 
Representamos, en perspectiva y Sistema Diédrico, la recta (r) determinada por 
los puntos (A) y (B). 
Las proyecciones de las rectas, podemos considerarlas, como las trazas, con los 
planos de proyección, de sus planos proyectantes. De ahí, que la recta, en el caso 
general tenga como proyección dos rectas. 
Proyección de un punto que pertenece a una recta 
Si un punto pertenece a una recta las proyecciones del punto se encuentran sobre 
las proyecciones homónimas de la recta. 
El punto "C" pertenece a la recta "AB", puesto que las proyecciones horizontal y 
vertical del punto "C", se encuentran sobre las proyecciones horizontal y vertical 
de la recta "AB", respectivamente. 
Trazas (Puntos notables): Intersección de un elemento dimensional (recta o 
plano) con los planos de proyección. Las trazas de un plano con los de proyección 
resultan restas que se representan con letras griegas. Las trazas de una recta con 
los planos de proyección resultan puntos que se representan con letras latinas. 
Traza horizontal de un plano: Es la recta intersección de dicho plano con el 
plano horizontal de proyección. 
Traza horizontal de una recta: Es el punto intersección de la recta con el plano 
horizontal de proyección. 
Traza vertical de un plano: Es la recta intersección de dicho plano con el plano 
vertical de proyección. 
Traza vertical de una recta: Es el punto intersección de la recta con el plano 
vertical de proyección. 
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Trazador Dispositivo que permite dibujar mapas y gráficos por desplazamiento de 
un punto simultáneamente a lo largo de dos ejes. 
Proyección axonométrica 
Es un sistema de representación gráfica, consistente en 
representar elementos geométricos o volúmenes en un 
plano, mediante proyección ortogonal, referida a tres 
ejes ortogonales, de tal forma que conserven sus 
proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, 
anchura y longitud. 
La proyección axonométrica es una proyección sobre un 
plano (Axonométrico) que tiene una posición arbitraria en 
el espacio. Si los rayos son perpendiculares al plano 
axonométrico, se trata de una proyección axonométrica ortogonal. Este sistema de 
proyección es muy similar a la manera de observar los objetos en el espacio, 
conservándose, sin embargo, todas las propiedades de la proyección cilíndrica 
(paralelismo, perpendicularidad). 
Las proyecciones del plano axonométrico en el plano horizontal XY determina la 
recta XY cuya proyección es perpendicular al eje Z. en efecto: Ambas rectas (ejeZ 
y XY) son ortogonales, la recta XY está contenida en el plano axonométrico y la 
proyección axonométrica es una proyección ortogonal. 
Axonometría: Es un sistema de representación gráfica, consistente en 
representar elementos geométricos o volúmenes en un plano, mediante 
proyección paralela o cilíndrica, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que 
conserven sus proporciones en cada una de las tres direcciones del espacio: 
altura, anchura y longitud. 
Axonometría significa "medir a lo largo de ejes". La proyección axonométrica 
muestra una imagen de un objeto según se ve desde una dirección oblicua con el 
fin de revelar información de más de un lado de un mismo objeto. Mientras que el 
término ortográfica es a veces reservado específicamente para las 
representaciones de objetos donde el eje o plano del objeto es paralelo al plano de 
proyección, en la proyección axonométrica hay un plano o un eje del objeto no 
paralelo al plano de proyección. 
En las axonometrías la escala de los elementos distantes al plano de proyección 
es la misma que la de los elementos cercanos, por lo que este tipo de dibujos no 
se corresponden con la forma en la que se perciben visualmente o aparecen en 
una fotografía. Esta distorsión es especialmente evidente si el objeto a la vista 
está compuesto principalmente de caras rectangulares. A pesar de esta limitación, 
la proyección axonométrica puede ser útil para fines de ilustración. 
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Clasificación 
Hay tres tipos de proyecciones axonométricas: proyección isométrica, proyección 
dimétrica, y proyección trimétrica, dependiendo del ángulo exacto en el que la 
vista se desvía de la ortogonal. En general, todos los dibujos en perspectiva 
axonométrica muestran uno de los ejes de espacio como la vertical. 
 Proyección isométrica: La forma más comúnmente utilizada de 
proyección axonométrica en el dibujo de ingeniería, el sentido de la 
visualización es tal que los tres ejes del espacio aparecen igualmente en 
escorzo, y hay un ángulo común de 120° entre ellos. Como la distorsión 
causada por el escorzo es uniforme, la proporcionalidad de todos los lados 
y longitudes se conserva, y los ejes comparten una escala común. Esto 
permite que las mediciones sean leídas o tomadas directamente del dibujo. 
Otra ventaja es que los ángulos de 60° se construyen más fácilmente 
usando solamente compás, escuadra y cartabón. 
 Perspectiva dimétrica El sentido de la visualización es tal que dos de los 
tres ejes del espacio aparecen igualmente en escorzo, cuya escala auxiliar 
y ángulos de presentación se determinan de acuerdo con el ángulo de 
visión; la escala de la tercera dirección (vertical) se determina por separado. 
 Perspectiva trimétrica El sentido de la visualización es tal que los tres ejes 
del espacio aparecen de manera desigual en escorzo. La escala a lo largo 
de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan por 
separado según lo dictado por el ángulo de visión. La perspectiva trimétrica 
rara vez se utiliza, y se encuentra solo en algunos videojuegos. 
Isometría de aristas rectas y curvas: Una de las grandes ventajas del dibujo 
isométrico es que se puede realizar el 
dibujo de cualquier modelo sin utilizar 
ninguna escala especial, ya que las líneas 
paralelas a los ejes se toman en su 
verdadera magnitud. Así, por ejemplo, el 
cubo cuando lo dibujamos en forma 
isométrica queda con todas sus aristas de 
igual medida. 
La base del dibujo isométrico es un sistema de 
tres ejes que se llaman "ejes isométricos" que 
representan a las tres aristas de un cubo, que 
forman entre sí ángulos de 120°. 
En diseño industrial se representa una pieza 
desde diferentes puntos de vista, 
perpendicular a los ejes coordenados 
naturales. Una pieza con movimiento 
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mecánico presenta en general formas con ejes de simetría o caras planas. Tales 
ejes, o las aristas de las caras, permiten definir una proyección ortogonal. 
Se puede fácilmente dibujar una perspectiva isométrica de la pieza a partir de 
tales vistas, lo que permite mejorar la comprensión de la forma del objeto. 
Dimetría de aristas rectas 
Tiene dos escalas métricas iguales, y el triángulo de trazas es isósceles. 
La perspectiva dimétrica normalizada, está recogida en la norma UNE 1-035-75 y 
posteriores, y está basada en el sistema axonométrico, cuya relación de escalas, 
ex, ey, ez es 1 : ½ : 1, sus valores serán, cos α = cos β = 0,942; cos δ = 0,471. El 
ángulo ZOX = 97º, 10’; y los ángulos YOZ = XOY = 131º 25’. 
Podemos observar que la reducción de los segmentos en los ejes Xy Z, es muy 
pequeña, menor del 6%, y la reducción de los 
segmentos en el eje Y, es aproximadamente la 
mitad. 
La construcción de la escala gráfica es similar al 
sistema isométrico, con la salvedad de que hay 
que dibujar las escalas para dos ejes. 
Sobre los ejes en verdadera magnitud hemos 
llevado 10 mm. la reducción sobre el eje X = Z = 
9,4 mm. y sobre el eje Y = 4,7 mm. 
Para simplificar estos valores, podemos tomar la medida real en los ejes X e Z, y 
la mitad en el eje Y. 
Trimetría: Es aquel sistema en el que todos los planos secundarios de proyección 
forman un ángulo distinto con el plano principal de proyección, lo que traducido a 
sus proyecciones significa que los ángulos formados por los ejes son distintos, 
aplicándose diferentes coeficientes de reducción a los ejes. También se le 
denomina como trimétrico. 
Es una proyección axonométrica, para representar volúmenes, en la cual el objeto 
tridimensional se encuentra inclinado con respecto al «plano del cuadro» de forma 
que sus tres ejes principales experimentan reducciones diferentes. 
Proyección oblicua: Es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas 
al plano de proyección, estableciéndose una relación entre todos los puntos del 
elemento proyectante con los proyectados. 
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En el plano, la proyección oblicua es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares 
son oblicuas a la recta de proyección. 
Así, dado un segmento, bastará proyectar los puntos 
"extremos" del segmento –mediante líneas proyectantes 
auxiliares oblicuas, para determinar la proyección sobre la 
recta. 
Dibujo oblicuo: Es un dibujo tridimensional axonométrico en el que se representa 
el objeto con una superficie paralela al plano de proyección o plano del papel y las 
otras superficies dibujadas a lo largo de un eje inclinado que forma un ángulo con 
la horizontal. Las medidas del ángulo pueden variar según el caso, las de mayor 
uso son las 30°, 45° y 60°. 
Los dibujos oblicuos nos muestran dos o más superficies al mismo tiempo, sobre 
un dibujo. La vista frontal del objeto se dibuja de la misma forma que la vista 
frontal, en la proyección ortogonal. 
En esta vista frontal todas las líneas rectas inclinadas y curvas en el plano frontal 
del objeto aparecen en su dimensión y forma verdadera. 
Los dibujos oblicuos se realizan en forma análoga a los dibujos isométricos. Así 
por ejemplo, los modelos regulares se obtienen trazando líneas paralelas a los 
ejes, las líneas ocultas del modelo no se dibujan. 
Ejes del dibujo oblicuo: Se puede representar el sistema de ejes en diversas 
posiciones, pero teniendo en cuenta siempre que un eje debe ser vertical y otro 
horizontal, mientras que el tercer eje puede formar cualquier ángulo, el cual 
representa la profundidad del objeto. 
Dibujo gabinete: Es cuando el eje de profundidad 
se reduce a tres cuadros de su tamaño, o a la mitad. 
Se contrarresta el alargamiento, resultando más 
natural, cuando se han utilizado ángulos de 45°. 
 
Dibujocaballería: Es cuando se realiza un dibujo oblicuo con el eje inclinado 
utilizando ángulos de 45°. Mediante este método todas las dimensiones sobre el 
eje oblicuo se representan en su verdadero tamaño. 
Los dibujos que se realizan en perspectiva caballera se ejecutan rápidamente, 
siendo muy sencilla su construcción, además de poseer una gran aplicación en el 
dibujo industrial y mecánico, pero estos dibujos en general dan una apariencia un 
poco desproporcionada, y alargada; distinto a como es en la realidad.