Fundamentos de Circuitos

Vista previa del material en texto

FUNDAMENTOS DE TEORÍA
DE CIRCUITOS
PARA ELECTRÓNICA
Juan Antonio López Villanueva
Juan Antonio Jiménez Tejada
Dept. Electrónica y Tecnoloǵıa de
Computadores
Fac. de Ciencias. Universidad de Granada
2008
FUNDAMENTOS DE TEORÍA DE CIRCUITOS PARA ELECTRÓNICA
Juan Antonio López Villanueva, Juan Antonio Jiménez Tejada
Departamento de Electrónica y Tecnoloǵıa de Computadores.
Facultad de Ciencias
Universidad de Granada
Granada
España
ISBN: 978-84-691-4087-1
Dep. Legal: GR-1412-2008
Resumen
Este libro se ha escrito para facilitar el estudio de asignaturas de Electrónica de
carácter básico o general. No debe contemplarse como una teoŕıa de circuitos para ser
estudiada de forma secuencial o independiente, sino como un apéndice al conjunto de
los temas que tratan el temario de Electrónica propiamente dicho. Nuestra idea es que
este libro sea consultado en el momento en que su estudio sea indispensable para la mar-
cha de una asignatura de Electrónica Básica o General. En consecuencia, la elección del
contenido de este libro se ha hecho de forma que se adapte a un temario de asignaturas
de estas caracteŕısticas. En concreto, se ha dividido en dos partes, de manera que con
solo estudiar la primera se tengan las herramientas de teoŕıa de circuitos necesarias para
abordar con éxito el estudio de dispositivos electrónicos, los problemas de polarización
de dispositivos en circuitos externos y el análisis de las configuraciones elementales uti-
lizadas en los circuitos lógicos. En la primera parte se han incluido definiciones básicas,
teoremas y métodos fundamentales para el análisis de redes, la teoŕıa de circuitos en co-
rriente continua, algunos ejemplos de análisis de circuitos en los que aparecen elementos
no lineales y ejemplos simples de respuestas transitorias que permitan estimar después
los retardos producidos cuando un circuito lógico realice una transición entre dos esta-
dos estáticos diferentes. En la segunda parte se incluirá la parte de teoŕıa de circuitos
cuyo conocimiento es previo al estudio de los temas de Electrónica Analógica. Se verán
conceptos y herramientas fundamentales para el análisis de circuitos cuando las señales
o excitaciones externas son variables en el tiempo. Para profundizar en el conocimiento
práctico se puede consultar el libro de problemas escrito por los mismos autores.1
1”Problemas de electrónica básica (130 problemas con soluciones)”, Juan A. Jiménez Tejada, Juan
A. López Villanueva 2008. http://hdl.handle.net/10481/17733
III
Summary
This book has been written to help novel students on Electronics to understand new
concepts in Circuits. This is a reference book related to Circuit Theory to be studied
in parallel to studies in Electronics. In consequence, the contents of the book have been
adapted to the contents of a course on “Fundamentals of Electronics”. The book is di-
vided in two parts. In the first one, the basic tools employed in electronic circuits are
provided. They will help to understand new concept associated to electronic devices,
biasing issues, electronic devices in circuits and the analysis of the basic configurations
employed in logic circuits. The first part includes definitions, theorems and fundamental
methods to analyze circuit networks, theory on direct current (dc) circuits, some exam-
ples where circuits containing non linear devices are analyzed and some easy examples
of transient recovery analysis. The second part is devoted to circuits related to Analog
Electronics. Fundamental concepts and tools related to alternating current (ac) are pro-
vided in this part. A practical continuation of this book is the one written by the same
authors.2
2”Problemas de electrónica básica (130 problemas con soluciones)”, Juan A. Jiménez Tejada, Juan
A. López Villanueva 2008. http://hdl.handle.net/10481/17733
V
Índice general
I Circuitos de corriente continua 1
1. CORRIENTE CONTINUA (DC) 3
1.1. Definiciones previas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Leyes de Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Elementos lineales de dos terminales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. Elementos lineales pasivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2. Elementos lineales activos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. Asociaciones de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4. Elementos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Sistemas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5. Circuitos en corriente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6. Métodos de análisis de circuitos en DC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.1. Método de las corrientes de las mallas. . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.2. Método de las tensiones en los nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7. Teoremas de Thèvenin y Norton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.1. Teorema de Thèvenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.2. Equivalencia entre fuentes de tensión y corriente. . . . . . . . . . 40
1.7.3. Teorema de Norton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8. Análisis de circuitos con elementos no lineales. . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9. Régimen transitorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.10. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
VII
II Circuitos de corriente alterna 59
2. CORRIENTE ALTERNA (AC) 61
2.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2. Análisis de circuitos en corriente alterna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.1. Notación armónica y fasorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2. Relación corriente-tensión en los elementos pasivos. . . . . . . . . 66
2.2.3. Impedancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.4. Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.5. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3. Análisis de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.1. Teorema de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.2. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3.3. Concepto de filtro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4. Valores medios y eficaces. Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4.1. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.5. Análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace. . . . . . . . . 90
2.5.1. Método ”Transformada de la ecuación del circuito” . . . . . . . . 90
2.5.2. Método ”Transformada del circuito”. Impedancias. . . . . . . . . 98
2.6. Función de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.6.1. Definición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.6.2. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.6.3. Aplicaciones de la función de transferencia. . . . . . . . . . . . . . 104
2.7. Diagrama de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.7.1. Sistema con un solo polo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.7.2. Sistema con un polo y un cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.7.3. Sistema con un polo doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.7.4. Filtro paso-banda resonante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.7.5. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.8. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Anexo 133
I. Números complejos. 135
Anexo142
II. Transformada de Laplace. 143
Parte I
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Y ELEMENTOS DE TEORÍA DE
CIRCUITOS EN CONDICIONES
DE CORRIENTE CONTINUA
1
1
CORRIENTE CONTINUA (DC)
1.1. Definiciones previas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Leyes de Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Elementos lineales de dos terminales. . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. Elementos lineales pasivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2. Elementos lineales activos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. Asociaciones de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4. Elementos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Sistemas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5. Circuitos en corriente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6. Métodos de análisis de circuitos en DC. . . . . . . . . . . . . 34
1.6.1. Método de las corrientes de las mallas. . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.2. Método de las tensiones en los nudos. . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7. Teoremas de Thèvenin y Norton. . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.1. Teorema de Thèvenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.2. Equivalencia entre fuentes de tensión y corriente. . . . . . . . . 40
1.7.3. Teorema de Norton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8. Análisis de circuitos con elementos no lineales. . . . . . . . 42
1.9. Régimen transitorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
4 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
1.10. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.1. Definiciones previas. 5
1.1. Definiciones previas.
Se denomina elemento a cierta unidad f́ısica considerada simple, que dispone de
unos terminales externos para interconectarse entre śı dando lugar a sistemas complejos
conocidos como circuitos o redes eléctricas.
Este libro se limitará a un tipo concreto de elementos caracterizados por tener un
número pequeño de terminales externos (entre dos y cuatro), por permanecer invariantes
en el tiempo y por estar localizados en el espacio.
Se les asociará unos parámetros f́ısicos (resistencia, capacidad, autoinducción, etc)
independientes de la posición espacial y del tiempo.
Estos elementos pueden ser activos si son capaces de suministrar enerǵıa al resto del
circuito o pasivos si son capaces de disipar o almacenar enerǵıa pero no de generarla. 1
Un ejemplo de circuito eléctrico podŕıa ser el de la Figura 1.1. En este caso todos los
elementos son de dos terminales excepto E10 que tiene tres. En general los elementos de
más de dos terminales se sustituyen por modelos que contienen varios elementos de dos
terminales con el fin de facilitar el análisis.
Figura 1.1: Ejemplo de circuito con elementos de dos y tres terminales.
Se denominan nudos a aquellos puntos del circuito comunes a dos o más elementos.
Si en un nudo confluyen más de dos elementos se le llama nudo principal o de conjunción.
En la mayor parte de los casos solo serán de interés los nudos principales por lo que se
referirá a ellos simplemente como nudos, no considerando los demás, a no ser que interese
1Por supuesto, ningún sistema f́ısico es capaz de generar enerǵıa a partir de la nada. Una pila, por
ejemplo, suministra enerǵıa al circuito a partir de su propia enerǵıa qúımica.
6 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
el valor de la tensión eléctrica justo en uno de ellos. En el circuito de la Figura 1.1, N2,
N3, N4, N5 y N8 son nudos principales, mientras que N1, N6 y N7 son simplemente
nudos. Obsérvese que N3, N9 y N10 son el mismo nudo.
Se denomina rama a la parte del circuito comprendida entre dos nudos consecutivos.
Un ejemplo en el circuito de la Figura 1.1 puede ser el camino N5-N1-N2.
Un conjunto de ramas que constituye un camino cerrado dentro de un circuito sin
pasar dos veces por el mismo nudo se conoce como una malla. En el circuito de la Figura
1.1, los caminos N2-N1-N5-N4-N2, N5-N6-N7-N8-N4-N5 son ejemplos de mallas.
En general, las ramas, los nudos y las mallas de una red son las caracteŕısticas to-
pológicas que determinan el número de ecuaciones independientes necesarias para hallar
la solución completa de las corrientes y tensiones en la red.
1.2. Leyes de Kirchhoff.
Las leyes de Kirchhoff son consecuencia directa de las leyes básicas del Electromag-
netismo (Leyes de Maxwell). Son válidas en cualquier instante de tiempo y pueden enun-
ciarse en la forma siguiente:
1) Ley de Kirchhoff de las tensiones : ”En un circuito cerrado o malla, la suma alge-
braica de las diferencias de potencial entre los extremos de los diferentes elementos,
tomadas todas en el mismo sentido, es cero.”
Este ley se puede expresar simbólicamente como:
malla
∑
i
vi = 0 (1.1)
siendo vi la diferencia de potencial entre los extremos del elemento i-esimo.
Ejemplo: La aplicación de esta ley a la malla de la Figura 1.2 puede expresarse
matemáticamente en la forma siguiente:
(vA − vB) + (vB − vC) + (vC − vD) + (vD − vE) + (vE − vA) = 0
donde las diferencias de potencial se han tomado en el sentido indicado por la flecha en
la figura.
1.2. Leyes de Kirchhoff. 7
Figura 1.2: Circuito con una malla.
2) Ley de Kirchhoff de las corrientes : ”La suma algebraica de las corrientes que inciden
en un nudo, consideradas todas ellas entrantes o todas ellas salientes, es cero”.
De forma análoga a la ley anterior, se puede expresar simbólicamente como:
nudo
∑
j
ij = 0 (1.2)
donde ij es la corriente que entra por la rama j-ésima.
Ejemplo: La aplicación de esta ley al nudo de la Figura 1.3(a) puede expresarse en la
forma
i1 + i2 + i3 + i4 + i5 = 0
i1
i2
i3
i4
i5
(a) (b)
i1
i2
i3
i4
i5
Figura 1.3: Nudos donde inciden o salen corrientes.
La consideración de que una corriente es entrante o saliente se hace en principio de
una forma totalmente arbitraria, ya que si una corriente i es entrante, se puede sustituir
por una corriente −i saliente y viceversa. El sentido real de la corriente dependerá de
cual de los dos signos sea numéricamente el correcto. En el nudo de la Figura 1.3(b) las
corrientes i3 e i5 se han supuesto salientes, por lo que −i3 y −i5 seŕıan entrantes. La ley
8 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
que discutimos nos proporciona en este caso la siguiente expresión:
i1 + i2 + (−i3) + i4 + (−i5) = 0
o bien
i1 + i2 + i4 = i3 ++i5
Por tanto, este ley se podŕıa enunciar en la forma equivalente: ”En un nudo, la suma de
las corrientes entrantes ha de ser igual a la suma de las salientes”.
1.3. Elementos lineales de dos terminales.
Un elemento se considera lineal si existe una relación lineal entre la tensión eléctrica
que soporta y la corriente que lo atraviesa, es decir, si se verifica la siguiente propiedad.
Sea i1 la corriente que atraviesa el elemento cuando la diferencia de potencial entre sus
terminales es v1, y sea i2 la corriente que lo atraviesa cuando la diferencia de potencial es
v2. Entonces, si la tensión eléctrica aplicada o diferencia de potencial entre sus terminales
fuese una combinación lineal de las anteriores, v = α1v1 + α2v2 con α1 y α2 constantes
arbitrarias, la corriente que circulaŕıa por él seŕıa la combinación lineal i = α1i1 + α2i2.
Matemáticamente, la condición anterior se cumple siempre que la relación entre v e
i sea una relación proporcional, diferencial, integral o una combinación de ellas.
A continuación se estudian unos elementos que verifican la condición de linealidad.
1.3.1. Elementos lineales pasivos.
Resistor.
Un resistor es un elemento tal que al aplicar una diferencia de potencial entre sus
terminales deja pasar una corriente de intensidad proporcional a la diferencia de potencial
aplicada. Su śımbolo se representa en la Figura 1.4. Matemáticamente se expresa:
vA − vB = iR (1.3)
donde el factor de proporcionalidad R es una constante del elemento llamada resistencia.Su unidad en el Sistema Internacional (SI) es el ohmio (Ω) relacionado con las unidades
1.3. Elementos lineales de dos terminales. 9
eléctricas de potencial y corriente del SI según la relación:
1Ω =
1 Voltio
1 Amperio
(1.4)
i
vA vB
A B
Figura 1.4: Resistor.
La resistencia es, pues, un elemento lineal por definición y a dicha definición de
linealidad se la conoce como ”Ley de Ohm”. Aśı como la resistencia R es una medida de
la dificultad que ofrece el resistor al paso de la corriente, se emplea la magnitud inversa,
la conductancia G, como medida de la facilidad que ofrece el elemento al paso de la
corriente. Por definición:
G =
1
R
(1.5)
y su unidad es el Siemens (S) llamado anteriormente mho (0).
Condensador.
Un condensador ideal consiste en un par de armaduras perfectamente conductoras,
muy próximas entre śı y separadas por un aislante perfecto o ideal. Los electrodos o
armaduras conductoras se ejercen mutuamente una influencia eléctrica de forma que
pueden almacenar cargas de signo contrario e iguales en módulo, manteniéndose neutro
el elemento en su conjunto. Su śımbolo se representa en la Figura 1.5.
vA vB
A B
+ -
+Q -Q
Figura 1.5: Condensador.
Las cargas almacenadas no se pueden neutralizar a través del aislante, si este es
perfecto, de manera que un condensador ideal cargado y aislado podŕıa mantener su
carga indefinidamente. Debido a este almacenamiento de carga existe una diferencia de
potencial entre los terminales del elemento de manera que la armadura que contiene la
carga positiva está a un potencial superior al de la armadura opuesta (signos + y - en la
10 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Figura 1.5). Una propiedad de los condensadores que puede adoptarse como definición es
el hecho de que la carga almacenada en cualquiera de las armaduras es, en valor absoluto,
proporcional a la diferencia de potencial entre ellas, es decir,
Q = C(vA − vB) (1.6)
De nuevo, el factor de proporcionalidad C es una constante del elemento y se deno-
mina capacidad del mismo. Su unidad en el SI es el Faradio (F) relacionado con otras
unidades según
1 F =
1 Culombio
1 Voltio
(1.7)
o bien, ya que 1 C = 1 A× 1 s y 1 Ω = 1 V/1 A, sustituyendo
1 F =
1 segundo
1 ohmio
(1.8)
Aunque no puede haber flujo de part́ıculas cargadas móviles a través del aislante,
pueden existir mecanismos de variación de la carga almacenada en las armaduras que
dan lugar a una corriente eléctrica. A continuación se detalla esta propiedad.
Considérese que el condensador de la Figura 1.6(a) soporta una diferencia de potencial
v y tiene almacenada una carga Q = Cv.
+ v -
+Q -Q
+ v+ v -D
Q+ QD -(Q+ Q)D
DQ - QD
(a) (b) (c)
Figura 1.6: Condensadores mostrando la relación entre la carga almacenada y la diferencia
de potencial entre sus extremos.
Si se fuerza a que la diferencia de potencial entre sus extremos cambie a un nuevo
valor v +∆v, será necesario que cambie también la carga almacenada (Figura 1.6(b)):
Q +∆Q = C(v +∆v) ⇒ ∆Q = C∆v
Para pasar de la situación (a) a la (b) es necesaria la afluencia de cargas opuestas ∆Q
y −∆Q hacia las armaduras, iguales en módulo para preservar la neutralidad eléctrica
tal como se muestra en la Figura 1.6(c). Este movimiento de cargas da lugar a la misma
1.3. Elementos lineales de dos terminales. 11
corriente y en el mismo sentido a ambos lados de las armaduras (ya que la corriente tiene
el sentido de desplazamiento de las cargas positivas y sentido opuesto al del desplaza-
miento de las cargas negativas). Un observador que vea el elemento desde sus terminales
externos, por ejemplo, un instrumento de medida, no podrá discernir si la corriente ha
atravesado realmente o no el aislante. Por tanto, desde el punto de vista de la teoŕıa de
circuitos, se puede afirmar que por un condensador circula una corriente eléctrica siempre
que se produzca una variación temporal de la tensión eléctrica entre sus terminales:
i =
∆Q
∆t
=
C∆v
∆t
En el ĺımite ∆t → 0, se vuelve a obtener una relación lineal entre la tensión y la inten-
sidad:
i = C
dv
dt
(1.9)
Una consecuencia del razonamiento anterior es que la tensión entre las armaduras del
condensador no puede variar de forma discontinua. En efecto, si se produjera un salto de
tensión ∆v no nulo en un tiempo infinitamente pequeño seŕıa necesaria una afluencia de
cargas ∆Q no nula de forma instantánea para lo cual es necesaria una corriente infinita.
Como una corriente infinita no puede ser suministrada por sistemas f́ısicos prácticos,
la tensión del condensador solo puede variar suavemente. En otras palabras, como la
corriente se obtiene a partir de la derivada de la tensión, para que i sea finita es necesario
que v sea continua.
Inductor
Al inductor se le conoce también por el nombre de bobina por ser la forma más
frecuente de fabricar inductores. De hecho, su śımbolo se representa como una bobina
(Figura 1.7), es decir, como un conjunto de espirales paralelas y próximas entre śı. Sin
embargo, no todos los inductores son bobinas, un hilo metálico muestra también un
comportamiento inductivo como el de una bobina.
+ v -
i
Figura 1.7: Śımbolo del inductor.
12 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
En general, cuando un inductor es atravesado por una corriente eléctrica, se produce
en su interior un campo magnético proporcional a la corriente que lo genera. El flujo de
inducción magnética, φ, a través del interior de un inductor será también proporcional
a la corriente eléctrica:
φ = Li (1.10)
donde el factor de proporcionalidad L es una constante del elemento llamada autoinduc-
ción del mismo. Su unidad es el Henrio (H).
El uso de este elemento está restringido, entre otras razones por su dificultad para
incluirlo en circuitos integrados y a que puede ser sustituido en muchas aplicaciones
por otros dispositivos con prestaciones considerablemente superiores. Se incluye en este
texto por razones de interés académico y por su importancia en ramas espećıficas de la
electrónica como la radiofrecuencia o la electrónica de potencia.
Si la corriente que atraviesa un inductor vaŕıa con el tiempo, también variará el flujo
del campo magnético a través de él dando lugar, según la ley de Faraday, a una fuerza
electromotriz que se opone al aumento de la intensidad. Este fuerza electromotriz se
comporta, por tanto, como una cáıda de tensión de valor v = dφ/dt. Como φ = L × i,
podemos sustituir obteniendo
v = L
di
dt
(1.11)
De esta expresión se puede extraer la relación entre el Henrio y otras unidades del SI.
1 H=1 Ω× 1 s (1.12)
Una consecuencia que se puede extraer de la expresión 1.11, análoga a la que se
obtuvo en el caso del condensador, es que para que v sea finita i ha de ser continua, esto
es, la corriente que atraviesa una bobina no puede variar de forma discontinua.
1.3.2. Elementos lineales activos.
Se suelen incluir como tales las fuentes de tensión y corriente, tanto dependientes
como independientes.
1.3. Elementos lineales de dos terminales. 13
Fuente de tensión ideal
Es un elemento de dos terminales que genera una tensión v entre ellos independiente
de la corriente que circula por él. Su śımbolo se representa en la Figura 1.8(a). El śımbolo
de 1.8(b) se utiliza para representar una fuente de tensión constante. Además del śımbolo,
se ha utilizado la letra mayúscula para indicar que la tensión es invariable con el tiempo.
+
-
+
-
v V
(a) (b)
Figura 1.8: Śımbolo de una fuente de tensión.
Fuente de corriente ideal
Es un elemento de dos terminales que genera una intensidad i a través de él, inde-
pendientemente de la tensión que haya entre sus terminales. Se suele representar por
el śımbolo de la Figura 1.9. La diferencia entre los śımbolos de la Figura 1.9 es solo la
letra mayúscula I, empleada para las fuentes de corriente invariables con el tiempo, o la
minúscula i, empleada para señales quepueden variar con el tiempo.
i I
(a) (b)
Figura 1.9: Śımbolo de una fuente de corriente.
Fuentes dependientes
Las fuentes de tensión e intensidad son dependientes si el valor de la tensión o inten-
sidad que generan, respectivamente, está condicionado, por definición, por el valor de la
tensión o la corriente en otro u otros puntos del circuito. Estas fuentes están representa-
das en la Figura 1.10.
Los cuatro casos posibles son:
14 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Fuente de tensión dependiente de tensión (Figura 1.10(a)).
Fuente de tensión dependiente de corriente (Figura 1.10(b)).
Fuente de corriente dependiente de tensión (Figura 1.10(c)).
Fuente de corriente dependiente de corriente (Figura 1.10(d)).
Figura 1.10: Śımbolo de fuentes de tensión y corriente dependientes.
En todos los casos, v e i son tensiones e intensidades en otros elementos del circuito
y AV , AR, AG y AI son factores de proporcionalidad.
1.3.3. Asociaciones de elementos
Las asociaciones en serie o paralelo de un mismo tipo de cualquiera de los elementos
descritos en los apartados anteriores pueden ser sustituidas por un solo elemento del
mismo tipo. El valor de la constante f́ısica (resistencia, capacidad,...) asociada al elemento
equivalente se puede obtener sin más que aplicar las leyes de Kirchhoff y las relaciones
entre corrientes y tensiones estudiadas.
Resistores
Asociación en serie. Aplicando la ley de Kirchhoff para las tensiones y la relación
i− v (1.3) para todos los resistores del circuito de la Figura 1.11 se obtiene:
vA − v1 = iR1
v1 − v2 = iR2
...
vN−1 − vB = iRN .
1.3. Elementos lineales de dos terminales. 15
Sumando las ecuaciones anteriores:
vA − vB = i(R1 +R2 + ... +RN)
El elemento equivalente, al ser sustituido por la asociación, debeŕıa verificar:
vA − vB = iReq
Por tanto,
Req = R1 +R2 + ... +RN (1.13)
A 1 2 N-1 B
i
R1 R2 RN
Figura 1.11: Asociación de resistores en serie.
Asociación en paralelo. En este caso, según la Figura 1.12, se cumple:
vA − vB = i1R1 = i2R2 = i3R3 = ... = iNRN
de donde se obtiene que
i1 = (vA − vB)/R1
i2 = (vA − vB)/R2
...
iN = (vA − vB)/RN
Aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes,
i = i1 + i2 + ...+ iN ,
16 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
y sustituyendo, se obtiene:
i = (vA − vB)
(
1
R1
+
1
R2
+ ...+
1
RN
)
Aśı pues, la resistencia equivalente cumplirá la identidad:
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+ ... +
1
RN
(1.14)
R2R1 RN
i1 i2 iN
A
B
i
Figura 1.12: Asociación de resistores en paralelo.
Condensadores
Al ser también elementos lineales, la capacidad equivalente se obtiene de forma similar
al caso de las resistencias.
Asociación en serie. Para el circuito de la Figura 1.13 se cumple:
i = C1d(vA − v1)/dt
i = C2d(v1 − v2)/dt
...
i = CNd(vN−1 − vB)/dt.
Dividiendo cada ecuación por su capacidad respectiva y sumando el resultado se obtiene:
i
(
1
C1
+
1
C2
+ ...+
1
CN
)
=
d(vA − vB)
dt
.
1.3. Elementos lineales de dos terminales. 17
La capacidad equivalente ha de verificar:
i = Ceq
d(vA − vB)
dt
⇒ i
Ceq
=
d(vA − vB)
dt
,
por tanto:
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ...+
1
CN
(1.15)
A 1 2 N-1 B
i
C1 C2 CN
Figura 1.13: Asociación de condensadores en serie.
Asociación en paralelo. Para el circuito de la Figura 1.14 se cumple:
i1 = C1d(vA − vB)/dt
i2 = C2d(vA − vB)/dt
...
iN = CNd(vA − vB)/dt
i = i1 + i2 + ...+ iN .
Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene:
i = (C1 + C2 + ... + CN)d(vA − vB)/dt,
por lo que la capacidad equivalente es:
Ceq = C1 + C2 + ...+ CN (1.16)
18 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
C2C1 CN
i1 i2 iN
A
B
i
Figura 1.14: Asociación de condensadores en paralelo.
Inductores
El análisis de las asociaciones serie y paralelo de inductores es similar al de los dos
elementos anteriores por lo que solo se muestra la autoinducción equivalente para cada
caso.
Asociación en serie.
Leq = L1 + L2 + ...+ LN (1.17)
Asociación en paralelo.
1
Leq
=
1
L1
+
1
L2
+ ...
1
LN
(1.18)
Fuentes
En este apartado se comentan las asociaciones de fuentes de tensión en serie (Figura
1.15(a)) y de fuentes de corriente en paralelo (Figura 1.16(a)). Las asociaciones de fuen-
tes ideales de tensión en paralelo (Figura 1.15(b)) y de corriente en serie (Figura 1.16(b))
no tienen sentido, salvo que sean exactamente del mismo valor, y en la práctica deben
ser evitadas. No obstante, más adelante se propondrá algún problema sobre estas aso-
ciaciones para fuentes reales de forma que quede ilustrada su improcedencia. La fuentes
equivalentes de las dos combinaciones que se muestran a continuación es resultado de
aplicar directamente las leyes de Kirchhoff.
Fuentes de tensión en serie. La tensión o fuerza electromotriz (fem) generada por
la asociación serie de la Figura 1.15(a) es la suma de las generadas por cada una de las
fuentes individuales:
v = v1 + v2 + ...+ vN (1.19)
1.3. Elementos lineales de dos terminales. 19
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
v1
v2
vN
v
+
-
v1 v2
(a) (b)
Figura 1.15: (a) Asociación de fuentes de tensión en serie. (b) La asociación en paralelo no
tiene sentido salvo si v1 = v2.
Fuentes de corriente en paralelo. La corriente inyectada por la asociación paralelo
de la Figura 1.16(a) es la suma de las corrientes inyectadas por cada una de las fuentes
individuales:
i = i1 + i2 + ... + iN (1.20)
(a) (b)
i
i1 i2 iN
i1
i2
Figura 1.16: (a) Asociación de fuentes de corriente en paralelo. (b) La asociación en serie no
tiene sentido salvo si i1 = i2.
1.3.4. Elementos reales
Las definiciones dadas en los apartados 1.3.1 y 1.3.2 se refieren a elementos ideales.
En la práctica, el diseñador de circuitos ha de utilizar dispositivos comerciales reales que,
20 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
aunque tienen un comportamiento muy próximo al ideal, presentan algunas diferencias
respecto al mismo que se comentarán a continuación.
Resistores
En realidad, todos los materiales presentan una cierta oposición al paso de la corriente
eléctrica a través de ellos. La resistencia de un trozo homogéneo de sección constante de
cualquier material, tal como el de la Figura 1.17, será mayor cuanto mayor sea su sección,
y además dependerá del tipo de material concreto de que se trate. Matemáticamente, se
puede expresar la resistencia de este material:
R = ρL/S, (1.21)
donde ρ es una constante que se llama resistividad y representa las propiedades resistivas
del material, mientras que la longitud L y la sección S únicamente dependen de la
geometŕıa del elemento. A veces se utiliza la magnitud inversa de la resistividad a la que
se llama conductividad σ = 1/ρ, con lo cual la resistencia se expresa según:
R =
1
σ
L
S
(1.22)
L
BA
i
Figura 1.17: Material cualquiera homogéneo y de sección constante por el que circula una
corrente i.
Se pueden conseguir elementos comerciales utilizando materiales con baja conducti-
vidad o bien láminas muy finas y largas de metal. En la Tabla 1.1 se resumen los tipos de
resistencias más usuales, sus propiedades, métodos de fabricación y coeficiente de tem-
peratura α. Este último dato nos proporciona la variación de la resistencia del elemento
1.3. Elementos lineales de dos terminales. 21
Tabla 1.1: Caracteŕısticas de resistores.
Clase Caracteŕısticas Método de Rango de Coeficiente de
fabricación temperaturas temperatura α
(ppm/K)
Resistencias Poca deriva, pequeña Descomposición -55 a 155oC -200 a 1200
de capa de tasa de fallos. térmica de
carbón hidrocarburos
Resistencias Coeficiente de Vaporización -65 a 175oC ±50
de capa temperatura en alto vaćıo
metálica pequeño
Resistencias Baja resistencia Reducción -65 a 155oC -200 a 350
de capa de óhmica, coeficiente de de sales de
metal fino temperatura definido, metales finos
(Au/Pt) buen comportamiento en horno
antihumedad
Resistencias Soportan fuertes Técnica de No cŕıtico CrNi: <250
de hilo corrientes (0.25 a arrollado. Constantán:
200W), poca deriva, <100
coeficiente de tempe-
raturapequeño, inter-
valo de temperatura
pequeño, inductancia.
al variar la temperatura de acuerdo con la siguiente expresión:
RH = RL (1 + α(TH − TL)) , (1.23)
donde RH es el valor de la resistencia a la temperatura TH y RL el valor de la resistencia
a la temperatura TL.
El valor de la resistencia de un elemento comercial se suele dar a temperatura am-
biente y se expresa mediante un valor nominal seguido de un error relativo máximo o
tolerancia, por ejemplo:
4.7 KΩ± 5%
Las tolerancias comerciales comunes son ±10% y ±5% para resistencias que ocupen
posiciones no cŕıticas en un circuito, y ±2%, ±1% y ±0.5% para las resistencias de
precisión. las resistencias de precisión suelen tener además coeficientes más bajos de
temperatura.
22 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Los fabricantes expresan el valor de la resistencia mediante un código de colores que
da información tanto del valor nominal como de la tolerancia. En la Figura 1.18 puede
verse un ejemplo de resistencia con una tolerancia del ±5%. Las dos primeras bandas a
la izquierda representan dos d́ıgitos significativos, la tercera proporciona la potencia de
10 por la que hay que multiplicar y la barra de la derecha indica la tolerancia. Todo ello
según el código de colores de la Tabla 1.2. La resistencia de la Figura 1.18 tiene un valor:
Marrón Rojo Naranja Dorado
1 2 103 5%
es decir, R = 12 KΩ± 5%
MARRÓN
ROJO
NARANJA
DORADO
Figura 1.18: Franjas de colores de un resistor.
Las resistencias del 1% contienen una franja adicional más para proporcionar tres
d́ıgitos significativos.
En la práctica, no todos los valores están disponibles comercialmente. El número de
valores diferentes de resistencia es mayor cuanto menor es la tolerancia. Por ejemplo,
para un tolerancia del 5% los valores nominales comerciales son los de la Tabla 1.3.
Condensadores
Igual que en el caso de las resistencias, la capacidad de un condensador depende
de su geometŕıa y del material aislante que se sitúe entre las armaduras. Es obvio que
la cantidad de carga que puede almacenar el elemento, para una tensión dada entre sus
placas, será tanto mayor cuanto mayor sea el área de las armaduras y cuanto mayor sea la
influencia eléctrica entre ellas, es decir, cuanto más próximas estén. Además será mayor
cuanto mayor sea la rigidez dieléctrica del aislante. Para un condensador plano, como el
1.3. Elementos lineales de dos terminales. 23
Tabla 1.2: Códigos de colores de resistencias.
DÍGITOS TOLERANCIAS
Negro 0 Marrón 1%
Marrón 1 Dorado 5%
Rojo 2 Plateado 10%
Naranja 3 Sin color 20%
Amarillo 4
Verde 5
Azul 6
Violeta 7
Gris 8
Blanco 9
de la Figura 1.19, se cumple:
C =
ǫA
d
(1.24)
donde A el área de las armaduras, d la distancia entre ellas y ǫ la constante dieléctrica
del aislante.
Figura 1.19: Condensador de láminas plano paralelas.
Si el condensador no es plano, la expresión matemática de la capacidad es diferente
a (1.24), sin embargo cualitativamente se conserva la dependencia de los factores men-
24 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Tabla 1.3: Serie de resistencias del 5%.
Ω KΩ MΩ
1 10 100 1 10 100 1 10
1.1 11 110 1.1 11 110 1.1 11
1.2 12 120 1.2 12 120 1.2 12
1.3 13 130 1.3 13 130 1.3 13
1.5 15 150 1.5 15 150 1.5 15
1.6 16 160 1.6 16 160 1.6 16
1.8 18 180 1.8 18 180 1.8 18
2 20 200 2 20 200 2 20
2.2 22 220 2.2 22 220 2.2 22
2.4 24 240 2.4 24 240 2.4 24
2.7 27 270 2.7 27 270 2.7 27
3 30 300 3 30 300 3 30
3.3 33 330 3.3 33 330 3.3 33
3.6 36 360 3.6 36 360 3.6 36
3.9 39 390 3.9 39 390 3.9 39
4.3 43 430 4.3 43 430 4.3 43
4.7 47 470 4.7 47 470 4.7 47
5.1 51 510 5.1 51 510 5.1 51
5.6 56 560 5.6 56 560 5.6 56
6.2 62 620 6.2 62 620 6.2 62
6.8 68 680 6.8 68 680 6.8 68
7.5 75 750 7.5 75 750 7.5 75
8.2 82 820 8.2 82 820 8.2 82
9.1 91 910 9.1 91 910 9.1 91
cionados.
En la Tabla 1.4 se resumen los tipos más usuales de condensadores, la tensión máxima
nominal a la que pueden operar, el intervalo de capacidades en el que se pueden encontrar
comercialmente y el intervalo de temperaturas de operación. Estos datos corresponden
a la información proporcionada por una firma comercial sobre sus productos. No tienen
porque coincidir exactamente con los datos suministrados por otro fabricante, sin em-
bargo pueden servir como ejemplo de la disponibilidad comercial de condensadores. En
la Tabla 1.4 también se da como dato el coeficiente de pérdidas, que se introduce para
1.3. Elementos lineales de dos terminales. 25
Tabla 1.4: Caracteŕısticas de condensadores.
Tipo de condensador Tensión nominal Intervalo de Tolerancias Intervalo de Coeficiente de
capacidad temperaturas pérdidas (×10−3
De corriente continua 250 V a 1000 V 0.1 µF a 64 µF ±10%, ±20% -55 a +85oC 6 a 10 (1 KHz)
De plástico metalizado
Dieléctrico de:
- Acetato de celulosa 25 V a 630 V 0.033 µF a 100 µF ±10% a ±20% -55 a 85oC 12 a 15 (1 KHz)
- HOSTAPHAN, NYLAR 50 V a 12500 V 680 pF a 10 µF ±5% a ±20% -55/40 a 100oC 5 a 7 (1 KHz)
(tereftalato de propileno)
- Policarbonato
(MAKROFOL) 100 V a 250 V 0.001 µF a 1 µF ±5% a ±20% -55 a 100oC 1 a 3 (1 KHz)
- Propileno 250 V a 40 KV 1500 pF a 4.7 µF ±5% a ±20% -40 a 70/85oC 0.25 (1 KHz)
- Propileno (autorre- 250 V 0.1 µF a 10 µF ±1% a ±5% -55 a 85oC 0.5 (1 KHz)
generativos)
De bajas pérdidas.
Dieléctrico de:
- STYROFLEX 25 V a 630 V 2 pF a 330 nF ±0.5% a ±5% -55/-10 a 70oC 0.1 a 0.3 (1 KHz)
- Polipropileno 63 V a 630 V 2 pF a 100 nF ±1% a ±5% -55/40 a 85oC 0.1 a 0.5 (1 KHz)
- Mica
- Vidrio
De cerámica
- Multicapa 50 V, 100 V 1 pF a 47 nF ±0.5, ±5, ±10% -55 a 125oC (>50pF) <1.5 (1 KHz)
- Multicapa pequeños 50 V, 100 V 220 pF a 2.2 µF ±10%, ±20% -55/-25 a 85oC 20 a 30 (1 KHz)
(gran constante dieléctrica)
- SIBATIT 50000 63 V .22 µF a 22 µF +5% /−2% -40/-25 a 85oC 50 a 60 (1 KHz)
Electroĺıticos
(¡Tienen polaridad!)
- De aluminio 0.47 µF a 390 mF ±20, (+30, -10)% -55/-25 a 70/125oC 60 a 150 (100 KHz)
(+50, -10)%
- De tántalo 4 V a 125 V 0.1 µF a 1200 µF ±5% a ±20% -55 a 80/125oC <50 a 80 (120 KHz)
De potencia
- De continua 450 V a 2800 V 32 µF a 4800 µF ±10% -40 a 70oC 6 (50 Hz)
(Autorregenerativos de 640 V 1 µF a 50 µF ±10% -25 a 70oC 0.3 (50 Hz)
papel impregnado)
- De alterna 330 V, 660 V 1.5 µF a 60 µF ±10% -25 a 85oC 0.5 (50 Hz)
(Autorregenerativos 550 V 0.1 µF a 4.7µF ±10%, 20% -25 a 70oC 0.2 (50 Hz)
con láminas de 320 V a 3000 V 0.1 µF a 330 µF ±10%, 20% -10 a 40oC 0.2 (50 Hz)
plástico impregnado)
indicar la perfección del aislamiento entre las armaduras. Éste se define como la relación
entre la conductancia del elemento y su capacidad, por tanto, en un condensador ideal
el valor de este coeficiente seŕıa cero. 2
El valor nominal de la capacidad de un condensador puede venir expresado numéri-
camente de forma expĺıcita o bien según el código de colores. En este caso se suele incluir
una franja más para indicar la tensión máxima que puede soportar el elemento.
Finalmente, se debe mencionar que los resistores, condensadores e inductores reales
se representan mediante circuitos equivalentes en los que participan los tres elementos
ideales. Por ejemplo, si se tiene en cuenta la componente inductiva de un resistor, su
circuito equivalente seŕıa el de la Figura 1.20(a). Si se incluye la resistencia del electrolito
de un condensador electroĺıtico, su comportamiento se representa razonablemente bien
por el circuito de la Figura 1.20(b). A altas frecuencias, un condensador puede mostrar
incluso un comportamiento inductivo.
2El coeficiente de pérdidas proporciona la relación entre la conductancia asociada a las pérdidas y la
capacidad, ambas a una determinada frecuencia. Para entender bien el sentido de esta nota será necesario
estudiar el concepto de impedancia definido en la segunda parte de este libro.
26 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
R L R
C
(a) (b)
Figura 1.20: (a) Modelo de resistor real con componente inductiva. (b) Modelo de condensador
electroĺıtico.
Fuentes
Las fuentes de tensión e intensidad reales son sistemas complejos que se estudiarán
con másdetalle en otros temas relacionados con la Electrónica. En este apartado se
tratan las fuentes reales mediante un modelo simple que consiste en una fuente ideal y
una resistencia. En concreto:
Una fuente real de tensión se puede representar mediante una fuente ideal de ten-
sión en serie con una resistencia, llanada a veces resistencia interna de la fuente (Figura
1.21(a)). Cuanto menor sea el valor de dicha resistencia más próxima estará la fuente
real a una ideal. Una limitación importante en las fuentes reales de tensión es la corriente
máxima que pueden suministrar, por tanto, la tensión que genere une fuente real depen-
derá poco de la corriente que circule por ella, siempre que dicha corriente sea inferior a
la máxima especificada.
Figura 1.21: Modelos de fuentes de tensión e intensidad reales.
Una fuente real de intensidad se puede representar mediante una fuente ideal de
intensidad en paralelo con una resistencia, llamada a veces también resistencia interna
de la fuente (Figura 1.21(b)). Cuanto mayor sea el valor de esta resistencia más próxima
estará la fuente a una fuente de corriente ideal.
En consecuencia, las resistencias internas de las fuentes ideales son:
Cero para una fuente ideal de tensión.
Infinito para una fuente ideal de intensidad.
1.4. Sistemas lineales. 27
Al final de esta parte se propondrán algunos ejercicios que ilustren e insistan sobre
estos conceptos.
1.4. Sistemas lineales.
En general, un circuito puede tratarse como un sistema sobre el que actúan ciertas
variables de entrada xi(t) obteniéndose como respuesta un conjunto de variables de salida
yi(t) (Figura 1.22).
x y
Figura 1.22: Sistema sobre el que actúa una variable de entrada x obteniéndose como respuesta
una variable de salida y.
Todos los sistemas que se estudian en este libro son causales. En estos sistemas, las
variables de salida dependerán de las variables de entrada, es decir,
yi = F (xi) (1.25)
donde la forma concreta de la dependencia F será impuesta por el tipo de sistema.
Se dice que un sistema es lineal, estrictamente, si la función F es lineal, esto es, si
verifica la siguiente propiedad:
Propiedad: Si y1 = F (x1) e y2 = F (x2) entonces
F (α1x1 + α2x2) = αy1 + αy2 (1.26)
siendo α1 y α2 constantes arbitrarias.
Por tanto, la respuesta ante una combinación lineal de entradas es la misma combi-
nación lineal de las salidas que se obtendŕıan como respuesta e las entradas individuales.
La forma general de F para que el sistema sea lineal es una relación proporcional,
integral, diferencial o una combinación de ambas:
F (x) = k1x+ k2
dx
dt
+ k3
∫
xdt (1.27)
28 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
En teoŕıa de circuitos, la linealidad se entiende en un sentido más amplio: son sistemas
lineales aquellos que cumplan el principio de superposición.
Principio de superposición: Si sobre un sistema actúa simultáneamente un conjunto
de entradas, la salida que se obtiene es la suma de las salidas que se obtendŕıan si cada
una de las entradas actuase por separado siendo nulas las demás. En la Figura 1.22 se
representa esquemáticamente el enunciado del principio.
y +y +...+y1 2 N
x1
0
0
0
0
x2
0
0
xN
yN
y2
y1
x1
x2
xN}Þ
Figura 1.23: Representación esquemática del principio de superposición.
El sistema es, además, lineal para cada una de las entradas.
Debido a la linealidad de las leyes de Kirchhoff, las redes constituidas por elementos
lineales son sistemas lineales.
1.5. Circuitos en corriente continua.
Un circuito opera en condiciones de corriente continua o condiciones DC cuando todas
las tensiones y corrientes eléctricas en sus elementos son constantes en el tiempo. Si el
circuito es causal, es necesario que las entradas o excitaciones externas sean también
constantes en el tiempo. Bajo estas condiciones, la relación entre las corrientes a través
de los elementos pasivos y la tensión entre sus terminales es:
Resistor: V = IR
1.5. Circuitos en corriente continua. 29
Condensador: I = CdV/dt. Como V =constante ⇒ I = 0.
Inductor: V = LdI/dt. Como V =constante ⇒ V = 0.
Como en un condensador I = 0, este elemento se sustituye por un circuito abierto,
es decir, por un elemento de resistencia infinita; mientras que un inductor, al ser V = 0,
se sustituye por un cortocircuito. Estas equivalencias se representan en la Figura 1.24
Þ
Figura 1.24: Modelo equivalente de los elementos pasivos en corriente continua.
Ejemplo 1.5.1 Analizar el circuito de la Figura 1.25(a).
1 KW
3 KW
1 KW
3 KW
A B
C
C
BA
5 V5 V 5 nF
0.1 H
(a) (b)
I
Figura 1.25
Solución:
El circuito de la Figura 1.25(a) está en condiciones de corriente continua ya que la
única fuente externa que actúa sobre él es una fuente de tensión continua o constante.
Para analizarlo se sustituyen sus elementos según las equivalencias de la Figura 1.24,
obteniendo el circuito de la Figura 1.25(b). Por las resistencias y el inductor circulará una
corriente:
I = 5 V/(3 KΩ + 1 KΩ) = 1.25 mA
mientras que por el condensador circulará una corriente I = 0. Aunque no circule co-
rriente por el condensador, existirá una diferencia de potencial entre sus armaduras, igual
30 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
a la que soporta la resistencia de 3 KΩ:
VA − VC = I × 3 KΩ = 3.75 V
y la carga almacenada en cada una de sus armaduras será, en valor absoluto:
Q = C(VA − VC) = 5× 10−9F× 3.75 V = 18.75× 10−9C
Ejemplo 1.5.2 Análisis de un divisor de tensión con una fuente de tensión (Figura
1.26).
Figura 1.26: Distintas representaciones de un divisor de tensión.
Solución:
Un divisor de tensión consiste en dos resistencias en serie conectadas a una fuente de
tensión externa, tal como se muestra en la Figura 1.26(a), de forma que se toma como
tensión de salida VO la tensión que cae en una de ellas, en este caso R2.
La tensión entre A y C será la de la fuente VS y también la que cae en las resistencias
R1 y R2
VA − VC = VS = I(R1 +R2)
mientras que la tensión de salida, tomada este entre B y C, será la que cae en R2:
VB − VC = IR2
Por tanto
I =
VA − VC
R1 +R2
1.5. Circuitos en corriente continua. 31
y sustituyendo
VO = VB − VC = (VA − VC)
R2
R1 +R2
= VS
R2
R1 +R2
Generalmente en el análisis de circuitos se suele elegir un punto como origen de poten-
ciales y se le llama ”toma a masa”del circuito. En muchos casos, este punto de masa o
referencia se conecta al chasis del equipo electrónico o a la toma de tierra del edificio, en
definitiva, a un punto de potencial muy estable. En el análisis del circuito a este punto
se le asigna un potencial cero y todos los demás potenciales se expresan referidos a él.
Su śımbolo se representa en la Figura 1.27.
Figura 1.27: Śımbolo para la ”toma a masa”.
En el circuito que se está estudiando se ha elegido el Punto C como toma a masa,
tal como se ve en la Figura 1.26(b), y por tanto VC = 0. En consecuencia, VA = VS y
VB = VO.
Muchas veces, al representar un circuito, se omiten todas las fuentes de tensión con-
tinua que esté referidas al punto de masa para simplificar los esquemas. Como éstas,
por definición, fijan el valor del potencial en un punto, para saber que hay una fuente
de tensión aplicada a dicho punto se especifica el valor de la tensión del mismo. Por
ejemplo, el circuito de la Figura 1.26(b) se representa por el de la Figura 1.26(c), en el
cual se sabe que hay una fuente de tensión aplicada entre el punto superior y masa por
la tensión VS que aparece expĺıcitamente.
Ejemplo 1.5.3 Análisis de un divisor de tensión con dos fuente de tensión (Figura
1.28).
Considérese ahora que ninguno de los extremos del divisor de tensión, constituido por
las dos resistencias, está conectado directamente a masa, sino que ambos están conectados
directamente a sendas fuentes de tensión tal como se representa en la Figura 1.28(a).
Otra representación de las fuentes de tensión continua se observa en el circuito de la
Figura 1.28(b).32 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Figura 1.28: Distintas representaciones de un divisor de tensión con dos fuentes.
Para analizar el circuito se tiene en cuenta que el punto superior está a un potencial
V1 y el punto inferior a −V2, ya que el terminal positivo de la fuente está conectado al
punto de potencial cero. Por tanto, la corriente que circula por las resistencias es:
I =
V1 − (−V2)
R1 +R2
=
V1 + V2
R1 +R2
El punto intermedio estará a una tensión VO. Para calcularla, se tiene en cuenta que
VO − (−V2) = IR2 =
V1 + V2
R1 +R2
R2 ⇒ VO =
V1R2 − V2R1
R1 +R2
Otra forma de analizar el circuito es mediante el principio de superposición: la salida VO
del circuito se puede obtener como la suma VO = VO1 + VO2, siendo VO1 la salida que se
obtendŕıa cuando solo actúa V1 y VO2 la salida que se obtendŕıa si solo actuase V2. Si solo
actúa V1, para anular V2 se sustituye por un cortocircuito ya que es una fuente de tensión
y debe sustituirse por un elemento que tenga una tensión nula entre sus terminales. Como
la fuente estaba entre R2 y masa, R2 quedará conectada directamente a masa, tal como
se representa en la Figura 1.29(a). Si solo actúa V2, el circuito resultante es el de la
Figura 1.29(b) (los dos circuitos de la Figura 1.29(b) son idénticos). Aplicando a estos
circuitos el resultado del Ejemplo 1.5.2 se obtiene:
VO1 = V1
R2
R1 +R2
VO2 = −V2
R1
R1 +R2
1.5. Circuitos en corriente continua. 33
Figura 1.29: Aplicación del principio de superposición al circuito de la Figura 1.28.
Sumando:
VO = VO1 + VO2 =
V1R2 − V2R1
R1 +R2
El resultado obtenido cuando las dos fuentes actúan a la vez coincide con el obtenido
anteriormente.
Ejemplo 1.5.4 Análisis de un divisor de tensión con resistencia de carga (Figura
1.30(a)).
V1
R1
R2
-V2
VO1
R1
R2
VO
R3 R3 R3R1
R2
VO2
V1 -V2
(a) (b) (c)
Figura 1.30: Divisor de tensión con resistencia de carga.
Un divisor de tensión puede utilizarse para obtener un valor de tensión cualquiera,
inferior al de la fuente de tensión disponible, para ello basta con elegir convenientemente
los valores de R1 y R2. Considérese que se desea dicho valor intermedio para aplicarlo
a una resistencia R3. Al conectar la resistencia R3 a la salida del divisor, el valor de
dicha tensión de salida se modificará respecto al valor que hab́ıa cuando R3 estaba
desconectada. El circuito resultante se muestra en la Figura 1.30(a).
34 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Para determinar el nuevo valor de la tensión de salida se aplica el principio de super-
posición. Cuando sólo actúa V1 quedará el circuito de la Figura 1.30(b), y cuando sólo
actúa V2 el de la Figura 1.30(c). En ambos circuitos la resistencia R3 queda en paralelo
con una de las del divisor. El resultado es, respectivamente:
VO1 = V1
R2 ‖ R3
R1 +R2 ‖ R3
= V1
R2R3/(R2 +R3)
R1 +R2R3/(R2 +R3)
VO2 = −V2
R1 ‖ R3
R2 +R1 ‖ R3
= −V2
R1R3/(R1 +R3)
R2 +R1R3/(R1 +R3)
Cuando las dos fuentes actúan simultáneamente, se obtiene:
VO = VO1 + VO2 =
V1R2R3 − V2R1R3
R1R2 +R1R3 +R2R3
1.6. Métodos de análisis de circuitos en DC.
1.6.1. Método de las corrientes de las mallas.
Este método consiste en suponer una corriente para cada malla independiente y
plantear un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones e incógnitas como mallas
independientes. A modo de ejemplo, el método se aplica al circuito de la Figura 1.31. Este
R1
R2
V2
V1 I1 I2
V3
R4
R3
Figura 1.31: Circuito con dos mallas independientes.
circuito tiene dos mallas independientes, por las cuales se supone circulan las corrientes
I1 e I2 en el sentido de las agujas del reloj tal como se indica en la figura. Con este
criterio, por el elemento R2 circulan tanto I1 como I2, en sentidos contrarios. Por tanto,
la corriente real que circula por él es la superposición de ambas: I1 − I2. Las ecuaciones
1.6. Métodos de análisis de circuitos en DC. 35
de las dos mallas se obtienen aplicando la ley de Kirchhoff de las tensiones:
V1 = I1R1 + (I1 − I2)R2 + I1R3
V2 − V3 = I2R4 + (I2 − I1)R2
Reagrupando términos:
V1 = I1(R1 +R2 +R3)− I2R2 (1.28)
V2 − V3 = −I1R2 + I2(R2 +R4)
A la vista del resultado anterior, el planteamiento del sistema se puede sistematizar
en la forma siguiente:
Se plantean tantas ecuaciones y se eligen tantas incógnitas como mallas indepen-
dientes.
El término independiente correspondiente a la ecuación de una malla es la suma de
las fuentes de tensión de dicha malla, tomando como positivas las que favorezcan
a la corriente y negativas las que se opongan a ella.
Los coeficientes que acompañan a las corrientes (incógnitas) se obtienen de la forma
siguiente:� El coeficiente de una incógnita en la ecuación de su propia malla es la suma
de resistencias de la malla.� El coeficiente de una incógnita en la ecuación de otra malla es la suma de
resistencias de la rama que comparte dicha malla con la de la incógnita, con
signo negativo.
Finalmente, resolviendo el sistema se obtendŕıan las corrientes incógnita.
Ejemplo 1.6.1 Análisis del circuito de la Figura 1.31 por el método de las mallas.
Datos: R1 = 1 KΩ, R2 = 2 KΩ, R3 = 3 KΩ, R4 = 4 KΩ, V1 = 1 V, V2 = 2 V, V3 = 3
V.
36 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Sustituyendo en (1.28), el sistema de ecuaciones es:
6 KΩI1 − 2 KΩI2 = 1V
−2 KΩI1 + 6 KΩI2 = −1V
donde I1 e I2 vienen expresadas en mA:
I1 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −2
−1 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6 −2
−2 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0.125 mA I2 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6 1
−2 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6 −2
−2 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −0.125 mA
I2 resulta negativa, por lo que el sentido real de I2 es contrario al representado en la
figura.
1.6.2. Método de las tensiones en los nudos.
Consiste en elegir como incógnitas las tensiones en los nudos del circuito y aplicar
la ley de Kirchhoff de las corrientes para cada uno de ellos. Para ilustrar el método
se analizará el circuito tipo puente de la Figura 1.32 imponiendo que la suma de las
corrientes que entran en cada nudo sea nula. La tensión del nudo D se elige cero (toma
Figura 1.32: Circuito tipo puente con tres nudos independientes.
a masa), por lo que el número de incógnitas es igual al número de nudos menos uno.
Nudo A:
V1 − VA
R1
+
VB − VA
R2
+
VC − VA
R3
= 0
Nudo B:
VA − VB
R2
+
VC − VB
R6
+
0− VB
R5
= 0
1.7. Teoremas de Thèvenin y Norton. 37
Nudo C:
VA − VC
R3
+
VB − VC
R6
+
0− VC
R4
= 0
Reagrupando términos:
V1
R1
= VA(
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
)− VB
1
R2
− VC
1
R3
0 = −VA
1
R2
+ VB(
1
R2
+
1
R5
+
1
R6
)− VC
1
R6
(1.29)
0 = −VA
1
R3
− VB
1
R6
+ VC(
1
R3
+
1
R4
+
1
R6
)
Este método también se puede sistematizar de la siguiente forma:
El número de ecuaciones será igual al número de nudos menos uno.
El término independiente correspondiente a la ecuación de un nudo es la suma de las
fuentes de corriente que inciden en el nudo y de las fuentes de tensión multiplicadas
por la conductancia de las ramas que las contienen, si dichas ramas también inciden
en el nudo.
Los coeficientes de las incógnitas se obtienen como sigue:� El coeficiente de una tensión incógnita en la ecuación de su propio nudo es la
suma de las conductancias de las ramas que inciden en dicho nudo.� El coeficiente de una incógnita en la ecuación de otro nudo es la conductancia
de la rama que une dicho nudo con el de la incógnita, cambiada de signo.
En general, conviene usar el método de las corrientes en las mallas cuando las fuentes
externas que actúan sobre el circuito son de tensión, y el método de las tensiones en los
nudos cuando las fuentes externas son de corriente. Esto no supone ninguna limitación
ya que, como se verá en el apartado siguiente, desde el punto de vista del análisis, se
puede convertir una fuente real de tensión en una de corriente y viceversa.
1.7. Teoremas de Thèvenin y Norton.
Son unos teoremas muy útiles para el análisis de circuitos. No se demostrarán, en
cambio, se comprobará su validezcon algún ejemplo.
38 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
1.7.1. Teorema de Thèvenin.
Cualquier circuito lineal activo con dos terminales de salida puede sustituirse por
una fuente de tensión ideal VT en serie con una resistencia RT (Figura 1.33). La tensión
Figura 1.33: Teorema de Thèvenin.
equivalente de Thèvenin VT es la tensión medida entre los terminales de salida cuando
éstos están en circuito abierto3, y la resistencia equivalente RT es la resistencia vista
desde los terminales de salida con todas las fuentes internas anuladas. Para anular una
fuente de tensión se cortocircuitan sus terminales, y para anular una fuente de intensidad
se dejan sus terminales en circuito abierto.
Ejemplo 1.7.1 Analizar el circuito de la Figura 1.34 en primer lugar sin utilizar el teo-
rema de Thèvenin y después utilizándolo, comprobando la coincidencia de los resultados.
Datos: R1 = R3 = 1 KΩ, R2 = 5 KΩ, V = 10 V.
Figura 1.34
Sin utilizar el teorema de Thèvenin podemos obtener la tensión entre A y B por ejemplo
mediante el método de las corrientes en las mallas:
V = I1(R1 +R2)− I2R2
3Cuando se dice circuito abierto se refiere a no añadir ningún elemento adicional entre los terminales
de salida; pero tampoco quitar ningún elemento que haya a la izquierda de los terminales donde se
pretende evaluar el equivalente Thèvenin.
1.7. Teoremas de Thèvenin y Norton. 39
0 = −I1R2 + I2(R2 +R3 +R4)
Sustituyendo los valores de las resistencias se obtiene:
10 V = I1 × 6 KΩ− I2 × 5 KΩ
0 = −I1 × 5 KΩ + I2 × (6 KΩ +R4)
La tensión entre A y B es VA − VB = I2R4 con
I2( mA) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6 10
−5 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6 −5
−5 6 +R4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
50
6(6 +R4)− 25
=
50
11 + 6R4
VA − VB =
50R4
11 + 6R4
V
que dependerá, por supuesto, del valor de R4.
Ahora se analiza el mismo circuito de la Figura 1.34 aplicando el teorema de Thèvenin
al circuito de la Figura 1.35(a).
Figura 1.35
Una vez definido el circuito al que se va a aplicar el Teorema de Thèvenin, para
obtener la tensión equivalente de Thèvenin los terminales de salida han de estar en
circuito abierto. No se debe añadir ni quitar nada, tal como se muestra en la Figura
1.35(a). En este caso no habrá corriente hacia la salida, es decir, la corriente que circula
por R3 es nula y por tanto la cáıda de tensión en ella también será cero, por tanto
40 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
VT = V
′. La tensión V ′ será
V ′ = V
R2
R1 +R2
=
50
6
V
Por tanto VT = V
′ = 50/6 V.
Para obtener la resistencia equivalente se debe anular la fuente independiente de
tensión, con lo que el circuito resultante es el de la Figura 1.35(b). La resistencia vista
desde A y B será R3 en serie con la combinación en paralelo de R1 y R2:
RT = R3 +R1 ‖ R2 = R3 +
R1R2
R1 +R2
= 11/6 KΩ
Sustituyendo la parte de circuito de la Figura 1.34 vista desde A y B hacia la izquierda
por su equivalente de Thèvenin obtenemos el circuito de la figura 1.35(c). Con este
circuito:
VA − VB =
R4
RT +R4
VT =
R4
11/6 +R4
50
6
=
50R4
11 + 6R4
V
El resultado es el mismo que el obtenido sin utilizar el Teorema de Thèvenin, es decir,
el circuito equivalente de Thèvenin actúa igual que el circuito original.
1.7.2. Equivalencia entre fuentes de tensión y corriente.
Una fuente de tensión con una resistencia en serie es equivalente a una fuente de
intensidad con una resistencia en paralelo (Figura 1.36). En efecto, este resultado se
Û
+
-
RT
VT
A
B
A
B
RNIN
(a) (b)
Figura 1.36: Equivalencia entre fuente de corriente y tensión.
puede obtener sin más que aplicar el Teorema de Thèvenin al circuito de la Figura
1.36(a). Para obtener VT se calcula la tensión entre A y B. En circuito abierto, toda la
1.7. Teoremas de Thèvenin y Norton. 41
corriente IN de la fuente circulará por RN , por tanto
VT = INRN (1.30)
Para calcular RT se anula la fuente independiente de intensidad, por lo que la resis-
tencia vista desde A y B es precisamente RN :
RT = RN (1.31)
Una consecuencia de la equivalencia entre fuentes de tensión y fuentes de corriente
es el teorema de Norton.
1.7.3. Teorema de Norton.
Cualquier circuito lineal activo con dos terminales de salida puede sustituirse por una
fuente de intensidad IN en paralelo con una resistencia RN (Figura 1.37).
ÛCircuito linealactivo
A
B
A
B
RNIN
Figura 1.37: Teorema de Norton.
La corriente de la fuente equivalente de Norton es la corriente que circulaŕıa entre A y
B en cortocircuito y la resistencia equivalente es la resistencia vista desde los terminales
A y B cuando se anulan todas las fuentes independientes.
Ejemplo 1.7.2 Analizar el circuito de la Figura 1.34 utilizando el teorema de Norton.
Datos: R1 = R3 = 1 KΩ, R2 = 5 KΩ, V = 10 V.
Para calcular la fuente equivalente de Norton los terminales de salida han de estar
en cortocircuito, tal como se muestra en la figura 1.38(a). La corriente que circula entre
ellos en estas condiciones es:
IN =
V ′
R3
con V ′ = V
R2 ‖ R3
R1 + (R2 ‖ R3)
= 50/11 V
42 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Figura 1.38
por tanto, IN = 50/11 mA.
La resistencia equivalente se obtiene igual que con el Teorema de Thèvenin, por tanto
se obtiene el mismo resultado: RN = 11/6 KΩ
El circuito resultante es el de la Figura 1.38(b). La tensión entre los terminales de
salida será:
VA − VB = IN (RN ‖ R4) =
50R4
11 + 6R4
V
1.8. Análisis de circuitos con elementos no lineales.
Hasta ahora se han utilizado las leyes de Kirchhoff y la relación V = IR en el análisis
de circuitos con resistencias. Como la relación corriente-tensión de estos elementos es
lineal y las leyes de Kirchhoff también lo son, el resultado es un sistema de ecuaciones
lineales. Si un elemento no es lineal su relación corriente-tensión I = I(V ) ya no será de
proporcionalidad. Si además tiene más de dos terminales, para describirlo será necesario
más de una relación entre las tensiones y las corrientes que circulan por su terminales.
Para analizar circuitos en los que aparezcan elementos no lineales se utilizan los
siguientes métodos:
1. Anaĺıticos o numéricos: Se plantean las ecuaciones del circuito incluyendo las re-
laciones I = I(V ) de los elementos no lineales. El resultado es un sistema de
ecuaciones no lineales que generalmente ha de resolverse por métodos numéricos.
2. Gráficos: Si se dispone de curvas que representen la relación I = I(V ) del elemento
se representan sobre ellas las rectas que se obtienen al aplicar las leyes de Kirchoff
al circuito y se obtiene la solución gráficamente, es decir, a partir de la intersección
de las distintas curvas.
1.8. Análisis de circuitos con elementos no lineales. 43
3. Modelado lineal: Se sustituye el elemento no lineal por un modelo que consta de
uno o varios elementos lineales y que tiene un comportamiento aproximado al del
elemento no lineal.
Ejemplo 1.8.1 Considérese que el elemento E de la Figura 1.39(a) es un elemento no
lineal con una relación corriente-tensión I = kV 2 con k = 0.1 A/V2. Calcular la tensión
entre A y B. Datos: V = 10 V y R = 0.1 KΩ .
V
R A
B
E
I(mA)
V (V)AB
100
50
0
0 5 10
(a) (b)
I
Figura 1.39
Aplicando la ley de Kı́rchhoff de las tensiones a la malla del circuito y utilizando las
relaciones I = I(V ) de los dos elementos del circuito, se obtiene:
V = IR + VAB (1.32)
I = kV 2AB
Es un sistema de dos ecuaciones, la segunda no lineal. Sustituyendo la segunda en la
primera se obtiene:
V = kV 2ABR + VAB
Sustituyendo los datos del problema se obtiene que VAB = 0.95 V.
El ejemplo anterior se puede resolver gráficamente como se observa en la Figura
1.39(b). Se han representado las ecuaciones (1.32), que corresponden a la curva que
representa la ecuación del elemento no lineal y la recta para la ecuación de la ley de
Kirchhoff, incluyendo los elementos lineales:
I = −VAB
R
+
V
R
44 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
A esta recta se le suele llamar recta de cargay su pendiente es −1/R.
El punto de intersección de las dos curvas representadas es la solución del problema.
Corresponde al punto (VAB = 0.95 V, I = 90 mA).
Ejemplo 1.8.2 Considérese que el elemento E de la Figura 1.40 es un elemento no lineal
de tres terminales con una relación corriente-tensión dada por las ecuaciones I1 = k1V
2
AB
e I2 = k2V
2
CA con k1 = 10 mA/V
2 y k2 = 1 mA/V
2. Determinar el valor de I1, I2, VBA
y VCA. Datos: V1 = 6 V, V2 = 12 V, R1 = 0.1 KΩ y R2 = 0.5 KΩ.
Figura 1.40
Para analizar el circuito es necesario disponer de cuatro relaciones entre las tensiones
y corrientes, ya que de las seis magnitudes desconocidas (I1, I2, I3, VCA = VC − VA,
VCB = VC−VB y VBA = VB−VA) dos de ellas se pueden relacionar con las otras sin más
que aplicar las leyes de Kirchhoff al elemento E:
I1 + I2 = I3
VCA = VCB + VBA
De las cuatro relaciones necesitadas, dos son las relaciones corriente-tensión que caracte-
rizan al elemento E, definidas en el enunciado del ejemplo. Las dos ecuaciones restantes
las proporciona la aplicación de las leyes de Kirchhoff a las mallas de entrada y salida
del circuito:
V1 = I1R1 + VBA
V2 = I2R2 + VCA
1.9. Régimen transitorio. 45
Con estas cuatro ecuaciones se puede determinar el valor buscado para las variables:
I1 = 40 mA, I2 = 16 mA, VCA = 4 V y VBA = 2 V.
1.9. Régimen transitorio.
Aunque el análisis de los circuitos cuando las señales eléctricas son variables en el
tiempo se abordará en la parte siguiente, se incluyen en esta parte los casos simples de la
carga y descarga de condensadores por considerarlos de utilidad en muchas situaciones
prácticas.
Cuando la tensión continua de las fuentes independientes cambia de nivel, las ten-
siones y corrientes a través de los elementos del circuito evolucionarán hacia los nuevos
valores que les correspondan. Esta evolución se producirá durante un cierto tiempo que
depende de los valores concretos de los parámetros del circuito. A continuación se mues-
tran unos ejemplos.
Ejemplo 1.9.1 En la Figura 1.41 se muestra un circuito en dos periodos de tiempo
dependiendo de la posición del conmutador. Determinar cuál es la evolución temporal de
la tensión vC que cae en los extremos del condensador.
Figura 1.41: Descarga de un condensador.
Para t < 0 la red RC del circuito de la Figura 1.41 está conectada a la fuente de tensión.
Como por el condensador no puede circular corriente, vC = V .
En t = 0, el interruptor cambia de posición, con lo que la tensión externa que alimenta
el circuito es cero. Aunque dicha tensión cambie bruscamente, la tension a través del
condensador no puede hacerlo. En consecuencia, en el instante inicial toma el valor:
vC(0) = V
46 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
A partir de ese instante, para t > 0, hay que analizar el circuito como se ha hecho con
anterioridad (uso de las leyes de Kirchhoff y de las relaciones I = I(V ) de los elementos):
0 = iR + vC
i = C
dvC
dt
Combinado ambas ecuaciones:
CR
dvC
dt
+ vC = 0
El producto CR tiene dimensiones de tiempo. Se denominará constante de tiempo del
circuito, τ ≡ CR:
τ
dvC
dt
+ vC = 0
Los pasos para resolver la ecuación diferencial anterior son:
τ
dvC
dt
= −vC
dvC
vC
= −dt
τ
∫ vC(t)
vC(0)
dvC
vC
= −1
τ
∫ t
0
dt
ln
vC(t)
vC(0)
= − t
τ
vC(t) = vC(0)e
−t/τ
La tensión en el condensador evoluciona hacia cero con una cáıda exponencial (Figura
Figura 1.42: Respuesta temporal de la salida del circuito de la Figura 1.41.
1.42). El tiempo caracteŕıstico de la descarga coincide con la constante de tiempo τ e
1.9. Régimen transitorio. 47
indica la rapidez con la que se produce la descarga del condensador. Se define el tiempo
de bajada, tF , como el tiempo que transcurre desde que la tensión pasa del 90% del valor
máximo al 10% del valor máximo tal como se representa en la Figura 1.42. El primer
punto se alcanza cuando
exp(−t/τ) = 0.9 ⇒ t = 0.1τ
y el segundo cuando
exp(−t/τ) = 0.1 ⇒ t = 2.3τ
El tiempo de bajada es, por tanto:
tF = 2.3τ − 0.1τ = 2.2τ
Ejemplo 1.9.2 En la Figura 1.43 se muestra el mismo circuito de la Figura 1.41 pero
con la posición del conmutador intercambiada. Determinar cuál es la evolución temporal
de la tensión vC que cae en los extremos del condensador.
Figura 1.43: Carga de un condensador.
Inicialmente, el interruptor de la Figura 1.43 está en la posición que conecta la red
RC con el punto de masa, es decir, el condensador está inicialmente descargado:
t < 0 ⇒ vC = 0
En el instante t = 0 el interruptor cambia de posición conectando la fuente V a la red,
con lo cual el condensador tenderá a cargarse hasta que vC = V . Aunque la tensión
externa cambie bruscamente, la tensión a través del condensador no puede hacerlo y por
tanto:
vC(0) = 0
48 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
A partir de ese instante, para t > 0, se vuelven a plantear las ecuaciones del circuito:
V = iR + vC
i = C
dvC
dt
Combinado ambas ecuaciones:
CR
dvC
dt
+ vC = V
Haciendo uso de la definición de la constante de tiempo, τ ≡ CR:
τ
dvC
dt
+ vC = V
La ecuación se resuelve de forma análoga al caso anterior:
dvC
vC − V
= −dt
τ
∫ vC(t)
vC(0)
dvC
vC − V
= −1
τ
∫ t
0
dt
ln
vC(t)− V
vC(0)− V
= − t
τ
vC(t)− V = −V e−t/τ
vC(t) = V (1− e−t/τ )
1.10. Problemas.
Problema 1.1 Halle la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de la
Figura 1.44.
Solución:
5 KΩ
Problema 1.2 Calcule la diferencia de potencial entre los puntos A y B del circuito de
la Figura 1.45 y la corriente que circula por cada resistencia.
1.10. Problemas. 49
Figura 1.44: Problema 1.1
Figura 1.45: Problema 1.2
Solución:
VAB = 3 V. Corrientes: 2 mA, 0.75 mA, 0.75 mA y 0.5 mA.
Problema 1.3 Calcule la condición que deben cumplir las resistencias del circuito de la
Figura 1.46 para que la corriente que pase por R5 sea nula.
Solución:
R2R6 = R3R4
Figura 1.46: Problema 1.3 Figura 1.47: Problema 1.4
Problema 1.4 Calcule la corriente que circula a través de la resistencia R del circuito
de la Figura 1.47 si R = 2 KΩ.
50 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Solución:
4/3 mA
Problema 1.5 Calcule la corriente que circula a través de la resistencia R1 en el circuito
de la Figura 1.48.
Solución:
-2 mA
Figura 1.48: Problema 1.5 Figura 1.49: Problema 1.6
Problema 1.6 El circuito de la Figura 1.49 representa una fuente real de tensión de
valor V = 15 V en circuito abierto y resistencia interna r = 10 Ω. Calcule la resistencia
mı́nima que se puede conectar a sus terminales de salida para que la tensión entre ellos no
difiera en más de un 1% de su valor en circuito abierto. ¿Cuál es la intensidad máxima
que proporciona la fuente en estas condiciones?.
Solución:
Rmin = 990 Ω, Imax = 15 mA.
Problema 1.7 Se quiere transformar la fuente de tensión del problema 1.6 en una fuente
de intensidad conectándole en serie una resistencia RS, tal como muestra la Figura 1.50,
de forma que proporcione 1 mA en cortocircuito. Calcule:
RS.
El circuito equivalente de Norton.
La resistencia máxima que puede colocarse entre los terminales de salida para que la
intensidad a través de ellos no difiera en más de un 1% de su valor en cortocircuito.
1.10. Problemas. 51
Figura 1.50: Problema 1.7 Figura 1.51: Problema 1.8
Solución:
RS = 14.99 KΩ, IN = 1 mA y RN = 15 KΩ, Rmax = 151.5 Ω
Problema 1.8 En el circuito de la Figura 1.51 se representa una fuente de tensión con
resistencia interna de 600 Ω que actúa sobre una resistencia de 4.7 KΩ.
a) Se utiliza un ampeŕımetro con resistencia interna de 10 Ω para medir la corriente
que circula por la malla. ¿Cuál será la lectura del ampeŕımetro y en qué porcentaje
variará la corriente por la presencia del ampeŕımetro?.
b) Se retira el ampeŕımetro y se coloca un volt́ımetro con 100 KΩ de resistencia de en-
trada para medir la tensión entre A y B. ¿Cuál será la lectura del volt́ımetro y en
qué porcentaje variará la diferencia de potencial entre A y B por la presencia del
volt́ımetro?.Solución:
a) 0.2825 mA, 0.188%. b) 1.323 V, 0.53%.
Problema 1.9 Se conectan dos fuentes de tensión con resistencias internas r1 = r2 =
1 Ω, y valores nominales V1 = 1 V y V2 = 2 V, respectivamente, tal como muestra la
Figura 1.52.
a) Obtenga la corriente que circula por cada fuente y por RL.
b) Suponiendo que las fuentes del circuito son bateŕıas con carga suficiente para propor-
cionar 1 mA durante 100 h, calcule el tiempo que tardaŕıa en descargarse V2 mante-
niendo constante la corriente anterior.
Solución:
a) -0.499 A, 0.501 A, 1.499 mA. b) 12 min.
52 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Figura 1.52: Problema 1.9 Figura 1.53: Problema 1.10
Problema 1.10 Se conecta a los terminales de salida de un circuito lineal una resisten-
cia de 100 KΩ obteniendo una tensión de salida de 14 V. Si se conecta una resistencia
de 1 KΩ la salida es de 10 V. Calcule el circuito equivalente de Thèvenin representado
en la Figura 1.53.
Solución:
VT = 14.06 V, RT = 406 Ω.
Problema 1.11 La resistencia longitudinal de una cinta de Aluminio de 3 mm de an-
chura y 0.5 mm de grosor es 0.1 Ω a 20 °C. Calcule la longitud de la cinta y la resistencia
a 60 °C si la resistividad del Aluminio es 2.826×10−6 Ωcm y su coeficiente de temperatura
0.0039 °C−1.
Solución:
L = 5.31 m y R(60 °C)=0.1156 Ω.
Problema 1.12 Calcule el espesor del aislante de un condensador plano con dieléctrico
cerámico (titanato de bario-estroncio) con constante dieléctrica relativa ǫr = 7500, para
que su capacidad sea C=10 nF si las armaduras son circulares de 1 cm de diámetro.
(Constante dieléctrica del vaćıo, ǫ0 = 8.854× 10−14 F/cm).
Solución:
0.522 mm
Problema 1.13 Calcule la corriente eléctrica que circula por R5 en el circuito de la
Figura 1.54.
Solución:
I=0.883 mA
1.10. Problemas. 53
Figura 1.54: Problema 1.13
Figura 1.55: Problema 1.14
Problema 1.14 Calcule el valor de la tensión V2 en el circuito de la Figura 1.55.
Solución:
0.476 V
Problema 1.15 Obtenga los circuitos equivalentes de Thèvenin y Norton de los circuitos
de la Figura 1.56. Datos: R1 = 1 KΩ, R2 = 2 KΩ, R3 = 3 KΩ, V1 = 1 V, V2 = 2 V,
V3 = 3 V.
Solución:
a) VT = 0.766 V, RT = RN = 255 Ω, IN = 3 mA.
b) VT = −1.143 V, RT = RN = 1714 Ω, IN = −0.667 mA.
Problema 1.16 Calcule la variación de VO si la resistencia R2 del circuito de la Figura
1.57 cambia de 100 Ω a 10 KΩ. a) Con R1 = 1 KΩ. b) Con R1 = 0 Ω.
54 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Figura 1.56: Problema 1.15
Figura 1.57: Problema 1.16 Figura 1.58: Problema 1.17
Solución:
a) 2.032 V. b) No cambia.
Problema 1.17 Calcule la variación de VO si la resistencia R2 del circuito de la Figura
1.58 cambia de 100 Ω a 10 KΩ. a) Con R1 = 10 KΩ. b) Con R1 =∞
Solución:
a) 3.72 V. b) No cambia.
Problema 1.18 Calcule el valor de V ′ en el circuito de la Figura 1.59.
Solución:
V ′=1 V.
Problema 1.19 En el circuito de la Figura 1.60, calcule el valor de la corriente que
circula por R3 pasando todas las fuentes a fuentes de tensión y resolviendo por el método
de las corrientes en las mallas. Datos: R1 = R2 = 1 KΩ, R3 = R4 = 2 KΩ, V1 = 1 V,
V2 = 3 V, I3 = 1 mA.
Solución:
0.5 mA.
1.10. Problemas. 55
Figura 1.59: Problema 1.18 Figura 1.60: Problema 1.19
Problema 1.20 Resuelva el problema 1.19 pasando todas las fuentes a fuentes de co-
rriente y resolviendo por el método de las tensiones en los nudos.
Problema 1.21 En el circuito de la Figura 1.61, las entradas pueden estar conectadas
a V =5 V o a 0 V, según la posición de los conmutadores. Éstos están controlados por
las variables lógicas Si con i = 0, 1, 2, 3 de manera que cuando Si = 0 la entrada i está a
la referencia y cuando Si = 1, dicha entrada está a 5 V.
a) Obtenga el circuito equivalente de Thèvenin excluyendo la resistencia 2R de salida.
b) Calcule la máxima tensión de salida.
Figura 1.61: Problema 1.21
Solución:
b) 3.125 V.
Problema 1.22 En el circuito de la Figura 1.62 aparece una fuente de corriente depen-
diente de corriente. Obtenga el valor de la tensión VO.
Solución:
VO = 5.62 V
56 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Figura 1.62: Problema 1.22 Figura 1.63: Problema 1.23
Problema 1.23 En el circuito de la Figura 1.63 existe una fuente de tensión depen-
diente de tensión. Sea R1 = 1 KΩ y Rf = 10 KΩ.
a) Si AV = 200000, Rin = 1 MΩ y Ro = 10 Ω, obtenga la relación entre las tensiones
de entrada y salida, vO/vi.
b) Repita el cálculo en el ĺımite Ro → 0.
c) Calcule de nuevo la relación entre las tensiones de entrada y salida si, además Rin →
∞ y AV →∞.
Solución:
a) -10.000557. b) -10.000550, c) -10.
Problema 1.24 En el circuito de la Figura 1.64(a) aparece un elemento no lineal cuya
relación I(V ) se representa en trazo grueso en la Figura 1.64(b). Se puede sustituir el
elemento por un modelo lineal a tramos, como se muestra en trazo fino en la misma
Figura (b), donde se aproxima la curva I(V ) por tramos rectos. Obtenga la tensión V en
los extremos del elemento en función de VS (0 ≤ VS ≤ +∞).
Solución:
Si VS ≤ 2 V, V = VS/2. Si VS > 2 V, V = VS − 1.
Problema 1.25 En el circuito de la Figura 1.65 actúan dos fuentes externas, una de
ellas constante y la otra que presenta un escalón en t = 0 tal como se muestra en la
misma Figura. Obtenga la tensión en los extremos del condensador:
1.10. Problemas. 57
Figura 1.64: Problema 1.24
a) Para t < 0.
b) Cuando t→∞.
c) Justo en el instante inicial después de la aplicación del escalón de tensión. Obtenga
también el valor de la corriente que circula por el condensador iC.
d) Obtenga la constante de tiempo del circuito (tomando como magnitud de salida la
tensión a través del condensador).
Figura 1.65: Problema 1.25
Solución:
a) 0.25 V, b) 1.25 V, c) 0.25 V, 2 mA, d) 5 µs.
Problema 1.26 En la fuente de tensión del circuito de la Figura 1.66 se produce un
escalón en t = 0 que hace que la tensión de entrada al circuito pase de 2 V a 4 V tal
como se representa en la misma figura. Calcule: a) Los valores estacionarios de vO antes
y después del salto de tensión. b) El tiempo de transición entre ellos (tiempo de subida).
Solución:
a) 1.5 V, 3 V. b) 55 µs.
58 1. CORRIENTE CONTINUA (DC)
Figura 1.66: Problema 1.26
Parte II
ANÁLISIS DE CIRCUITOS COR
SEÑALES VARIABLES EN EL
TIEMPO
59
2
CORRIENTE ALTERNA (AC)
2.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2. Análisis de circuitos en corriente alterna. . . . . . . . . . . . 63
2.2.1. Notación armónica y fasorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2. Relación corriente-tensión en los elementos pasivos. . . . . . . . 66
2.2.3. Impedancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.4. Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.5. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3. Análisis de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.1. Teorema de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.2. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3.3. Concepto de filtro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4. Valores medios y eficaces. Potencia. . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4.1. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.5. Análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace. 90
2.5.1. Método ”Transformada de la ecuación del circuito” . . . . . . . 90
2.5.2. Método ”Transformada del circuito”. Impedancias. . . . . . . . 98
2.6. Función de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.6.1. Definición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
61
62 2. CORRIENTE ALTERNA (AC)
2.6.2. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.6.3. Aplicaciones de la función de transferencia. . . . . . . . . . . . 104
2.7. Diagrama de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.7.1.