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Revista Mexicana de Investigación Educativa 129
RMIE, ENERO-MARZO 2006, VOL. 11, NÚM. 28, PP. 129-153
La mirada de los especialistas. Autores invitados
LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
EN LA ESCUELA SECUNDARIA
Los sistemas algebraicos computarizados
TENOCH ESAÚ CEDILLO ÁVALOS
Resumen:
El artículo reporta una investigación realizada en México durante 2000-2004, en
la que se dio seguimiento al desempeño de 800 profesores de matemáticas que
atendieron en ese periodo a cerca de 200 mil estudiantes de secundaria. El estudio
se centró en: a) los cambios que pudieran presentarse en las concepciones y prácti-
cas de enseñanza de los docentes y b) la manera en que el uso sistemático en el aula
de un sistema algebraico computarizado afecta la relación estudiantes-profesor. El
trabajo describe las facilidades que ofrece un sistema algebraico computarizado
cuyo marco de referencia es la enseñanza de la aritmética y el álgebra antes de la
aparición de esa tecnología; presenta una breve discusión del referente teórico en
que se sustenta el estudio y el método empleado de recolección y análisis de datos;
concluye con una discusión de los resultados.
Abstract:
The article reports on a research project carried out in Mexico from 2000 to
2004. The project followed up on the performance of 800 mathematics teachers
who were teaching approximately 200 thousand secondary students at the time.
The study was centered on: a) the changes that could occur in the teachers’
conceptions and teaching practices, and b) the way the systematic classroom use
of a computerized algebraic system affects the student/teacher relationship. The
project describes the facilities offered by a computerized algebraic system, in a
frame of reference of the teaching of arithmetic and algebra before the appearance
of computer technology. The article presents a brief discussion of the theoretical
referent on which the study is based, and the method employed in compiling and
analyzing the data, and concludes with a discussion of results.
Palabras clave: educación y tecnología, enseñanza media, enseñanza de las matemá-
ticas, profesores, relación estudiante-profesor, México.
Key words: education and technology, secondary teaching, mathematics teaching,
teachers, student/teacher relationship, Mexico.
Tenoch Esaú Cedillo Ávalos es profesor investigador del área académica “Aprendizaje y enseñanza en mate-
máticas, ciencias y artes” de la Universidad Pedagógica Nacional. Carretera al Ajusco núm. 24, col. Héroes de
Padierna, Tlalpan, México DF, CP 14200, CE: tcedillo@upn.mx
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Cedillo
Introducción
n este artículo se presentan los resultados de un estudio longitudinal
que se realizó en el periodo 2000-2004, en el que se dio seguimiento
al desempeño de profesores y estudiantes del nivel de educación secunda-
ria cuyos planteles fueron equipados con calculadoras que tienen preinstalado
un sistema algebraico computarizado (Cedillo, 2003). Consideramos que
los resultados de ese estudio alientan fuertemente el uso de ese tipo de
software en el nivel de educación básica. Más adelante se abordan con mayor
detalle estas cuestiones en las secciones correspondientes.
En los últimos 25 años se han incorporado en la clase de matemáticas
las herramientas que ofrecen las calculadoras y computadoras y se ha ob-
servado que han ejercido una influencia importante en la generación de
nuevas formas para abordar la enseñanza y el aprendizaje de la matemática
escolar a través de la resolución de problemas (Kutzler, 2003). Entre esas
herramientas destacan los sistemas algebraicos computarizados (SAC) que,
además de ofrecer poderosos recursos para editar y procesar gráficas de
funciones, permiten realizar una amplia gama de operaciones numéricas,
simbólicas y lógicas, que constituyen los instrumentos esenciales de la
manipulación algebraica. Entre las versiones más difundidas de los siste-
mas algebraicos se encuentran Matemática, Maple y Derive. A inicios de
la década de los noventa esa tecnología se empezó a utilizar más amplia-
mente y en cada actualización se le fue dando al software una presentación
cada vez más “amigable”; esto ha motivado mayor interés entre los educa-
dores, y el debate sobre su potencial se ha visto dominado por visiones
optimistas que presagian nuevos horizontes para la enseñanza y aprendi-
zaje de las matemáticas (Trouche, 2005). No obstante, también hay repor-
tes que señalan la necesidad de considerar que, al tiempo que surgen nuevas
avenidas para abordar los problemas en el aprendizaje del álgebra, tam-
bién emergen nuevas dificultades, por ejemplo, los obstáculos conceptua-
les que pueden producirse por las diferencias entre las representaciones
que ofrece un sistema computarizado y las que se usan en las matemáticas
tradicionales (Drijvers, 2000, 2002; Heck, 2001).
Características de un sistema algebraico computarizado
Nos referiremos, en particular, a la versión de Derive instalada en la calcu-
ladora TI-92, sus características son muy similares a las de otras versiones
de SAC. Dado que la investigación que realizamos consistió en estudiar lo
E
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La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
que ocurre en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la aritmética y el
álgebra en un ambiente computarizado, consideramos pertinente presentar
algunos ejemplos de las herramientas que ofrece este tipo de software, esta
información nos será útil en el desarrollo de otras secciones de este artícu-
lo. Los “datos de salida” se obtienen tecleando las operaciones que se quie-
ren realizar y oprimiendo después la tecla ENTER.
Ecuaciones
Datos de entrada Datos de salida
soluc(a*x2 + b* x + c = 0,x)
soluc(4x = 32,x)
cSoluc(x2 + 3 = 0,x)
soluc(x2 + 3 = 0,x)
soluc(sen(x) = cos(x),x)
falso
x = ——————— o
b2 – 4 • a • c – b
2•a
–( b2 – 4 • a • c + b)
2 •a
x = ———————–
5
2
x = —
x = – 3 • i o x = 3 • i
(4 • k – 3)
x = ————–
4
Procesamiento numérico
Datos de entrada Datos de salida
Modo exacto Modo aproximado
— + —1 1
2 3
0.833333333333335
6
—
factor (2485822185000)
5
6
—
30
6
—–
Datos de entrada Datos de salida
Modo exacto Modo aproximado
0.912870929175
115 • 73 • 54 • 32 • 23
i2 –1
6
–1 i
3
2
—–Cos —
0.866025403784
3
6
—
1
2
—
0.5
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Cedillo
Los ejemplos anteriores permiten ver que las capacidades de procesamien-
to numérico y simbólico de un sistema algebraico computarizado abordan
los procedimientos para llevar a cabo muchas otras operaciones, por ejem-
plo, dada una función encontrar su derivada u obtener su valor numérico
para un valor específico de la variable; lo mismo aplica para el trabajo
algebraico que se requiere en el estudio y aplicaciones del cálculo integral
o el álgebra lineal (vectores y matrices). Un SAC también ofrece facilidades
para construir gráficas y transitar de la información proporcionada por
éstas a sus representaciones analítica y tabular.
Referente teórico
Las ideas de Vygotsky (1978) sobre la forma en que las herramientas me-
dian el aprendizaje subyacen en el sustento teórico que asumimos para
realizar este estudio. Asimismo, las aportaciones de Vygotsky (1978) fue-
ron la base para el desarrollo del estudio del papel de los instrumentos en
el aprendizaje propuesto por Rabardel (1995), el cual constituye otra fuente
importante para el trabajo que realizamos. Otra corriente de pensamiento
que ejerció influencia en la definición del referente teórico que adopta-
mos fue la investigación realizada por Artigue (1997), Guin y Trouche
(1999), Trouche (2000) y Lagrange (2000); estos autores desarrollaron un
marco conceptual para un enfoque instrumental en el aprendizaje de las
matemáticas, en ambientes basados en las tecnologías de la información y
comunicación.
Un aspecto crucial en el trabajo de Vygotsky es que las herramientas son
determinantes en la forma en que se realiza la actividad humana. Esasherra-
Operatividad algebraica
Datos de entrada Datos de salida
desarr((2 • a – b)3) 8 • a3 – 12 • a2 • b + 6 • a • b2 – b3
comDenom
x
x – 2
——— + ———
 3 • x
x – 1
4 • x2 – 7 • x
————–—
x2 – 3 • x + 2
factor(8 • a3 + 12 • a2 • b + 6 • a • b2 + b3 (2 • a + b)3)
2 • a + 12 • bdesarr(3 • a + 7 • b – (a – 5 • b))
x2 – 1 x = (0,1,2,3,4,5,6)— x = –1,0,3,8,15,35
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La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
mientas histórico-culturales pueden ser artefactos, como las calculadoras o
las computadoras, pero también pueden ser herramientas cognitivas, como
el lenguaje o el simbolismo algebraico. Rabardel (1995) plantea que un
artefacto, por sí mismo, no es automáticamente un instrumento mediador.
Argumenta que el artefacto (un objeto material o abstracto) que emplea un
usuario para realizar cierto tipo de actividad puede ser un objeto sin signi-
ficado a menos que el usuario lo haya utilizado antes o haya visto cómo lo
usan otros. Solamente después que el usuario ha asignado significados para
el uso del artefacto con un propósito específico puede valorar que ese obje-
to es relevante y que forma parte de un instrumento útil que media su
actividad. El usuario experimentado ha desarrollado destrezas para usar la
herramienta de manera eficiente y sabe en qué circunstancias es útil. De
acuerdo con Rabardel y Verillon (1995), llamaremos instrumento a un obje-
to cuando hay una relación significativa entre éste y el usuario para abordar
cierto tipo de tarea, en nuestro caso, actividades matemáticas que el usuario
tiene la intención de realizar. La herramienta llega a ser un instrumento a
través de un proceso de apropiación que le permite mediar la actividad.
Durante este proceso el usuario desarrolla esquemas mentales mediante los
que organiza la estrategia para abordar un problema, los conceptos que cons-
tituyen las bases de esa estrategia y los significados técnicos para usar la
herramienta. Por esto el instrumento no solamente consiste de la parte del
artefacto o de la herramienta que está involucrada en la actividad, por ejemplo,
la aplicación algebraica de una calculadora simbólica o de un SAC; esto
puede darse si la aplicación está acompañada de los esquemas mentales del
usuario, es necesario que él sepa cómo hacer un uso eficiente de la herra-
mienta para llevar a cabo cierto tipo de tareas.
Resumiendo, el concepto de instrumento involucra tanto al artefacto
como a los esquemas mentales desarrollados por el usuario para realizar
una clase dada de tareas. Es necesario destacar que el significado de la
palabra instrumento, en el sentido que está expuesto, es diferente al que se
le asigna en la vida diaria; el artefacto se convierte en un instrumento sólo
si se combina con el desarrollo de esquemas mentales.
Esquemas de utilización
Como resultado de la distinción entre artefacto e instrumento surge el con-
cepto de génesis instrumental. Este concepto involucra el desarrollo de esque-
mas mentales y es necesario definir qué es un esquema en ese sentido y cómo
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Cedillo
podemos identificar y observar su desarrollo. Vergnaud (1987, 1996) definió
un esquema de utilización como “una organización invariante de la actividad
para una clase de situaciones específicas” y define un esquema mental como
“una acción deliberada para lograr una meta que contiene operaciones invariantes”,
éstas frecuentemente son conocimiento implícito que está sumergido en el
esquema en forma de “conceptos en acto” o “teoremas en acto” (en el sentido
de Guin y Trouche, 2002; Trouche, 2000).
En el presente estudio consideramos un esquema como una organiza-
ción mental estable, que incluye técnicas y los conceptos que las apoyan
para usar un artefacto en una clase específica de tareas; Trouche (2000)
llama a este tipo de esquemas de utilización y distingue dos tipos: la pri-
mera se refiere a los esquemas de uso que están directamente relacionados
con el artefacto; por ejemplo, podemos mover un bloque de texto cuando
se está usando un procesador de palabras mediante el esquema de “cortar y
pegar”. Un usuario experimentado utiliza este esquema con seguridad y
sin pensar en otras formas menos eficaces para hacer esto. Sin embargo,
un principiante tiene que considerar tanto los aspectos técnicos como los
conceptuales, por ejemplo, conocer los menús de “caminos cortos” para
cortar y pegar, pero también tienen que enfrentar el desconcertante hecho
de que, momentáneamente, ha desaparecido el bloque de texto que quiere
mover después de que ha sido cortado, la aceptación de esto último re-
quiere algún conocimiento sobre la diferencia entre lo que se ve en la pantalla
y lo que está en la memoria de la computadora (Drijvers, 2003).
Los esquemas de uso sirven como antecedente para los esquemas de
la segunda categoría: los de acción instrumentada; éstos corresponden a la
realización de trasformaciones sobre los objetos en que se acerca la acti-
vidad, en nuestro caso son objetos matemáticos, por ejemplo fórmulas,
gráficas, etcétera. Los esquemas de acción instrumentada tienen un sig-
nificado mental y se construyen con base en los esquemas de uso elemen-
tales por medio del proceso de génesis instrumental. La articulación de
los esquemas de uso puede involucrar nuevos aspectos conceptuales y
técnicos, los que son integrados en un esquema más complejo. Un ejemplo
de acción instrumentada es la determinación de la escala para observar
una gráfica en una calculadora. Para que sea desarrollado un esquema de
acción instrumentada como éste, es necesario que el usuario posea destrezas
técnicas para establecer las dimensiones de la ventana en que va observar
la gráfica y también habilidades mentales que le permitan imaginar la pantalla
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La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
de la calculadora y cómo puede ser presentada la ventana en que se des-
pliega la gráfica en un plano infinito, donde la posición y las dimensio-
nes de la ventana determinan si podremos observar o no lo que nos interesa
de esa gráfica. Parece ser que las carencias del usuario en la parte concep-
tual de un esquema son las causas de las dificultades que muchos princi-
piantes presentan en el uso apropiado de una calculadora gráfica. Otro
ejemplo de un esquema de acción instrumentada es el uso del signo ne-
gativo como un signo de operación o para determinar que un número es
negativo.
No siempre es obvia la diferencia entre los esquemas de uso y de acción
instrumentada, en algunas ocasiones es sólo a nivel del usuario; lo que al
principio puede parecer un esquema de acción instrumentada posterior-
mente puede funcionar como un punto de partida en la génesis de un es-
quema de orden superior. Por ejemplo, el caso de la integración en un
esquema más amplio de dos esquemas de acción instrumentada que ini-
cialmente se emplean por separado para resolver ecuaciones y sustituir
expresiones, pero que en un momento dado deben integrarse para resolver
ecuaciones más sofisticadas. Otro ejemplo de esto es el uso apropiado del
modo aproximado o del modo exacto para hacer cálculos con valores
fraccionarios. Cuando la enseñanza se centra en estos aspectos estas activi-
dades deben considerarse en el marco de un esquema de acción instrumentada
que implica requerimientos conceptuales de un orden superior, como la
diferencia entre el valor decimal y el valor exacto para determinar la preci-
sión de un resultado. El uso del modo aproximado puede ser visto como
un esquema de uso que se integra en otro compuesto más completo cuan-
do, por ejemplo, la actividad consiste en encontrar los ceros de una fun-
ción, lo cual involucra la comprensión del concepto de aproximación.
Los ejemplos anteriores intentan ilustrar cómo los esquemas de utiliza-
ción ponen en juego las acciones y el pensamiento y que esto involucra
técnicas para usar una máquina y conceptos mentales. En el caso de las
herramientas electrónicaspara las matemáticas, la parte mental consiste en
los objetos matemáticos involucrados y los procesos de razonamiento para
resolver un problema acudiendo a acciones con la máquina. Por esto, la
parte conceptual de los esquemas de utilización incluye objetos matemáti-
cos y una visión de ellos en el contexto de las “matemáticas de la máquina”.
Resumiendo, la génesis instrumental se refiere al surgimiento y evolu-
ción de los esquemas de utilización en los que los elementos técnicos y
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Cedillo
conceptuales evolucionan conjuntamente. Consideramos necesario hacer
énfasis en dos cuestiones más, primero queremos señalar que la relación
entre los aspectos técnicos y conceptuales es bidimensional y que, por otra
parte, las posibilidades y restricciones del artefacto que se está usando in-
fluyen en el desarrollo conceptual del usuario; a su vez, las concepciones
de los usuarios cambian las formas en que utilizan un artefacto y esto
puede conducir a modificar o personalizar la manera en que lo emplean.
La segunda cuestión es que aunque la génesis instrumental con mucha
frecuencia es un proceso social, los esquemas de utilización generalmente
son individuales. Así, los estudiantes pueden desarrollar diferentes esque-
mas para el mismo tipo de tarea, por ejemplo, pueden emplear diferentes
comandos en el ambiente tecnológico en que están desarrollando una mis-
ma actividad.
A este respecto Drijvers (2000, 2002, 2003) reporta que la construc-
ción de esquemas y la génesis instrumental requiere tiempo y esfuerzo por
parte de los usuarios y que los estudiantes pueden construir esquemas no
apropiados o ineficientes que se basan en concepciones incorrectas.
Los conceptos que se han discutido en esta sección conforman el refe-
rente teórico que asumimos en el presente estudio. Esos conceptos de-
terminaron el marco metodológico que se empleó y las categorías para
definir el tipo de datos que se recolectaron y la forma en que éstos fue-
ron analizados.
Referente metodológico
En esta sección se describe cómo se realizó este estudio. El punto de parti-
da fue la formulación de las preguntas de investigación, esto determinó el
tipo de datos que se requerían y la elección del método de recopilación y
análisis de los mismos. También se describen los sujetos que participaron
en el estudio, los instrumentos empleados para la recolección de datos y el
ambiente escolar en que se realizó el trabajo de campo.
Preguntas de investigación
La investigación se orientó a obtener datos empíricos que permitieran for-
mular respuestas plausibles a las siguientes preguntas:
1) ¿Cómo influye en las prácticas y concepciones de los profesores el uso de
los recursos automatizados que ofrece un sistema algebraico computarizado?
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La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
2) ¿Cómo influye la experiencia docente y el conocimiento matemático
de los profesores en sus reacciones ante el uso de un sistema algebraico
computarizado?
3) ¿Cómo afecta la relación estudiante-profesor la incorporación de un sis-
tema algebraico computarizado en las clases regulares de matemáticas?
Método de recopilación y análisis de datos
Para la recolección y análisis de datos se eligió el método de análisis cuali-
tativo, dado que el tipo de información que resulta relevante para este
proyecto son episodios en el aula y narraciones sobre las prácticas y for-
mas de razonamiento de los profesores. El análisis cualitativo es un siste-
ma activo, esto permite que los datos obtenidos sean una fuente de información
y de generación de procesos altamente interconectados que dan sentido al
avance de la investigación a través del tiempo. En particular, se empleó el
esquema de análisis cualitativo propuesto por Miles y Huberman (1984).
Sujetos
Se seleccionó a 30 profesores, de un total de 800, para observar su trabajo a
profundidad empleando la técnica de estudio de casos. Los 800 profesores
atienden las clases de matemáticas en escuelas secundarias generales y técni-
cas que participan en el proyecto Sec21.1 Los 30 profesores fueron seleccio-
nados de acuerdo con su experiencia docente y su dominio de la asignatura,
como se muestra en a continuación:
Experiencia Dominio de la asignatura
Suficiente Insuficiente
Menos de 5 años 4 4
Entre 10 y 15 años 3 4
Entre 15 y 20 años 4 4
Más de 20 años 3 4
Totales 14 16
En el apartado “Cuestionario inicial”, de la sección “Fuentes de datos” se
describe más ampliamente cómo fueron seleccionados estos docentes. Se
intentó que el número de mujeres y hombres fuera el mismo en cada cate-
goría; en el estudio de casos participaron 13 profesoras y 17 profesores.
Consejo Mexicano de Investigación Educativa138
Cedillo
El ambiente escolar
Los profesores y profesoras que participaron en este estudio forman parte
de la planta docente de las 79 secundarias que desarrollan el proyecto
Sec21. Al menos hay una escuela en cada entidad federativa del país par-
ticipando en ese proyecto. La incorporación de los planteles a Sec21 fue
voluntaria, se dio en respuesta a una convocatoria de la SEP dirigida a las
secretarías de Educación de los estados, que incluyó criterios que las es-
cuelas debían cumplir respecto de la estructura física del plantel, su ma-
trícula escolar, profesorado y directivos; además de estos criterios, cada
entidad federativa aplicó condiciones adicionales para la selección de los
planteles; en la mayor parte de los casos consultaron a profesores y direc-
tivos; en algunas entidades se eligió a las escuelas que tenían las mejores
condiciones y en otras se seleccionaron planteles ubicados en zonas mar-
ginadas. Cada escuela fue equipada con red local y acceso a internet, hardware
y software específicos para la enseñanza de matemáticas, física, biología,
química, historia, geografía y español, respectivamente, y 60 computadoras;
de éstas, 40 se instalaron en las aulas de medios y 20 fueron asignadas a
los salones de clase.
Las aulas dedicadas a la enseñanza de las matemáticas fueron dotadas
con calculadoras algebraicas y libros para la enseñanza empleando la cal-
culadora (Cedillo, 1998; 1999a; 1999b). El número de calculadoras se
determinó por el tamaño del grupo más numeroso de la escuela, esto ga-
rantizó que cada estudiante tuviera acceso individual a una máquina du-
rante la clase. Asimismo, cada profesor recibió en préstamo una calculadora
que podía conservar bajo su resguardo dentro y fuera de la escuela. Ade-
más, se dotó a cada aula de matemáticas con una pantalla de cristal líqui-
do que permite proyectar sobre un muro la pantalla de la calculadora mientras
ésta se está usando. Este accesorio fue empleado por los profesores en actividades
que requerían concentrar la atención del grupo en el trabajo de alguno de
sus compañeros o sobre cierta reflexión general que el profesor deseaba
plantear. El equipamiento del aula incluyó también una computadora de
escritorio con acceso a internet, una videocasetera, un monitor de televi-
sión de 40 pulgadas que puede emplearse, además de sus funciones usua-
les, para que el grupo observe acciones o eventos que se están llevando a
cabo mediante la computadora. Cada aula se acondicionó con mesas que
pueden configurarse de distintas maneras para el trabajo individual o en
pequeños equipos.
Revista Mexicana de Investigación Educativa 139
La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
Fuentes de datos
Las fuentes de datos más relevantes en este estudio fueron un cuestionario
y una entrevista que se administraron al inicio del estudio, los registros
realizados durante las sesiones de capacitación y los de la interlocución
cara a cara o por vía electrónica entre los profesores y el responsable de
este proyecto. En lo que sigue se describen los instrumentos que se em-
plearon, las formas de interacción con los profesores y los instrumentos
para el registro y análisis de los datos.
Cuestionario
En la primera reunión de capacitación se aplicó un cuestionariopara ob-
tener información sobre la experiencia docente de los profesores, sus con-
cepciones sobre el aprendizaje y sus prácticas de enseñanza, su conocimiento
sobre sistemas algebraicos computarizados y su dominio de la asignatura.
Las preguntas del cuestionario se diseñaron sobre situaciones específicas
de la clase de matemáticas, esto arrojó datos del dominio que los profeso-
res tienen de la asignatura.
Entrevista inicial
Tuvo como propósito afinar la información obtenida de la aplicación del
cuestionario. De acuerdo con las respuestas al cuestionario se eligieron 50
profesores para ser entrevistados de manera individual, la entrevista inclu-
yó la observación de sus clases durante un día. Se emplearon los resultados
del cuestionario y la entrevista individual para seleccionar a los 30 profe-
sores que se reportan en este estudio.
Sesiones de capacitación
Cada una de las 79 escuelas recibió capacitación por lo menos tres veces
en el periodo comprendido de octubre a junio, durante los años escolares
1999-2000, 2000-2001, 2001-2002. Las reuniones de capacitación fue-
ron de 12 horas distribuidas en dos días, en general, ocho horas los viernes
y cuatro horas los sábados. Los profesores que colaboraron en el estudio
de casos fueron visitados al menos cuatro veces por año escolar.
Las sesiones se videograbaron y aportaron un importante cúmulo de
datos. En estas reuniones participaban los profesores de ambos turnos con
la autorización de las autoridades locales y la anuencia de los maestros
para trabajar los sábados. Para cada visita había un plan de trabajo orien-
Consejo Mexicano de Investigación Educativa140
Cedillo
tado por el principio de “enseñar a los profesores en la misma forma en
que esperábamos que ellos enseñaran a sus estudiantes” (Cedillo y Kieran,
2003). En esas sesiones se discutía con ellos el enfoque de enseñanza cen-
trado en el uso de un sistema algebraico computarizado, se les planteaban
problemas matemáticos que abordan usando el SAC y se discutían las dis-
tintas formas que presentaban, se observaban clases videograbadas o im-
partidas “en vivo” por el instructor y por los propios profesores y se discutía
según un guión de observación previamente acordado.
Como ya se mencionó, esto fue posible por el apoyo brindado por el
CONACyT (Ref. 30523), la UPN y el ILCE, quien proporcionó la mayor
parte de los recursos para conformar un equipo de diez instructores que
ya conocían el enfoque de enseñanza y el uso de la calculadora debido a
que habían colaborado previamente con el responsable del proyecto (Cedillo,
1994).
Sesiones de autorreflexión
Se videograbaron 10 sesiones de trabajo en clase de cada uno de los 30
profesores. A solas, frente a cámara fija, ellos observaron críticamente cada
una de sus clases e hicieron un análisis de sus intervenciones concentrán-
dose en sus formas de interacción con los estudiantes, sus logros y dificul-
tades. Concluían el análisis proponiendo estrategias para mejorar los avances
de los estudiantes y para superar las dificultades detectadas. Veintidós de
los profesores dieron su autorización para compartir esos videos con sus
colegas y recibir una realimentación más amplia.
Foros electrónicos de discusión
Se empleó este recurso para mantener el contacto con los profesores en los
tiempos entre una visita a la escuela y la siguiente. El foro se llevó a cabo
como una actividad permanente vía la página electrónica del proyecto.2 La
participación fue voluntaria, con la frecuencia que cada quien considerara
pertinente. Los temas del foro de discusión fueron los siguientes:
• Dificultades de los alumnos en la realización de una actividad específica.
• Dificultades de los profesores en la realización de una actividad
específica.
• Experiencias de enseñanza poco exitosas respecto de una actividad
específica.
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La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
• Experiencias de enseñanza exitosas respecto de una actividad específica.
• Distintas maneras de resolver un problema específico.
• Nuevas actividades diseñadas por los profesores.
• Dificultades técnicas con la calculadora.
• Dificultades técnicas con la computadora.
Resultados
De la pregunta de investigación 1
¿Cómo influye en las prácticas y concepciones de los profesores el uso de los
recursos automatizados que ofrece un sistema algebraico computarizado?
Como punto de partida presentaremos un resumen cuantitativo que muestra
globalmente cómo se dieron los cambios en los profesores a lo largo de los
tres años que duró el estudio. Posteriormente, discutiremos cualitativamente
esos resultados con base en extractos obtenidos en los encuentros de tra-
bajo con los maestros durante las visitas a las escuelas.
La tabla siguiente resume los cambios que se registraron en los 30 pro-
fesores a lo largo de los tres años del estudio. Los niveles a que se refiere la
tabla corresponden a las categorías construidas por Franke et al. (1997),
éstas se describen con detalle en Cedillo (2003). Tales categorías fueron
empleadas en este estudio para observar los cambios en las prácticas y con-
cepciones de los profesores a lo largo del estudio longitudinal. Este resu-
men aporta un marco de referencia que nos permite ofrecer una caracterización
de la población de profesores que participaron en el estudio.
Nivel Perfil inicial Final del 1er año Final del 2ª año Final del 3er año
1 25 22 4 2
2 5 7 21 8
3 0 1 5 10
4 0 0 0 10
La columna “Perfil inicial” muestra que, al principio del estudio, 25 de
los treinta profesores tenían perfiles correspondientes a la categoría “ni-
vel 1”, lo que indica que sus concepciones y prácticas estaban arraigadas
en formas de enseñanza que requieren modificarse de acuerdo con las
exigencias del currículo actual de matemáticas. Los datos recabados en el
cuestionario y la entrevista inicial muestran que esos profesores eran de-
Consejo Mexicano de Investigación Educativa142
Cedillo
masiado directivos en la clase, no daban oportunidad a que los alumnos
abordaran por sí mismos una tarea, los dirigían paso a paso en la resolu-
ción de un problema, cuando daban oportunidad para que los estudian-
tes intervinieran era para que completaran con una palabra una idea del
profesor y sólo les preguntaban a sus alumnos cosas que ellos ya sabían.
Sólo 5 de los 30 profesores mostraron rasgos que los ubicaron en la cate-
goría correspondiente al nivel 2. No hubo casos que se ubicaran en los
niveles 3 y 4.
La columna “Final del primer año” muestra que hubo un ligero cambio
en ese periodo; tres de los 25 profesores del nivel 1 empezaron a modificar
sus prácticas. En particular, dejaron de situarse al frente del salón para
exponer el tema de una lección, desarrollaban la clase a partir de una acti-
vidad que les permitía interactuar con los equipos de trabajo y empezaban
a dar atención individual a sus estudiantes, en particular, porque les cau-
saba curiosidad que hubieran resuelto un problema en una forma distinta
a la que ellos esperaban. Uno de los profesores del nivel 2 mostró modifi-
caciones en sus prácticas y concepciones que permitieron ubicarlo en el
nivel 3. Este profesor empezó a clasificar los problemas en “aquéllos que
los estudiantes podían resolver sin instrucción previa” y los “que necesita-
ban de su intervención”. Asimismo, empezó a relatar situaciones en las
que había aprendido de lo que proponían sus estudiantes.
Los cambios que se presentaron durante el primer año sugieren que
difícilmente podríamos esperar modificaciones sustanciales en las prácti-
cas de los profesores en tiempos reducidos.
La columna “Final del segundo año” muestra resultados alentadores:
18 de los 22 profesores ubicados en el nivel 1 mostraron modificaciones
en su docencia que los ubican en el nivel 2 y tres de los siete del nivel 2
ocuparon el 3. En los encuentros con estos profesores –al término del se-
gundo año– se les pidió que hicieran una autoevaluación de su desempe-
ño, una respuesta que caracteriza sus juicios es la siguiente:En el primer año del proyecto nos sentíamos rebasados, eran muchas exigencias,
estábamos acostumbrados a seguir el libro de texto, además, buena parte de noso-
tros llevamos muchos años dando el mismo curso y ya ni siquiera tomábamos en
cuenta lo que venía antes o lo que seguía. Los instructores del proyecto están muy
bien preparados, nosotros no sabíamos tanto como ellos, no nos imaginábamos
cómo cubrir el programa si estábamos brincando de aquí para allá (sic) tratando
Revista Mexicana de Investigación Educativa 143
La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
de seguir el avance individual de los alumnos y las sugerencias de los instructores.
Algunos queríamos pedirles que mejor ya no nos observaran ni nos entrevistaran,
queríamos seguir en el proyecto, pero sin tantas presiones. Lo que nos impulsó a
seguir fue ver que los alumnos llegaban motivados a la clase y que estaban apren-
diendo, aunque nosotros no les estuviéramos enseñando, parece que la calculado-
ra sí les ayuda, al principio creíamos que no los iba a dejar aprender lo que es
importante, después nos dimos cuenta que la calculadora sólo hace lo que los
alumnos están pensando, ellos tienen que pensar para poder usarla, quizás por
eso ahora están aprendiendo más. El primer año fue difícil, para el segundo año
ya teníamos una mejor comprensión de las cosas.
Este extracto corresponde a la intervención de un profesor en una reunión
plenaria con sus compañeros, cabe destacar que hubo otras intervenciones
que confirmaron o matizaron su acuerdo sobre lo que su compañero esta-
ba planteando. El extracto nos indica que su participación en el proyecto
los enfrentó a un fuerte reto, se destaca que la apropiación del SAC como
un instrumento (en el sentido de Rabardel, 1995) fue uno de los principa-
les obstáculos a superar:
[...] los instructores del proyecto están muy bien preparados, nosotros no sabía-
mos tanto como ellos, no nos imaginábamos cómo cubrir el programa si estába-
mos brincando de aquí para allá (sic) tratando de seguir el avance individual de
los alumnos y las sugerencias de los instructores.
Asimismo, este extracto nos informa sobre cuestiones relacionadas con la
pregunta de investigación 3, que se refiere a la relación alumno-profesor.
La intervención de este profesor nos habla de la influencia que ejerció en
él haber atestiguado que los alumnos estaban aprendiendo cosas impor-
tantes que ellos no les habían enseñado: “la calculadora sólo hace lo que
los alumnos están pensando, ellos tienen que pensar para poder usarla,
quizás por eso ahora están aprendiendo más”. Esto nos aporta evidencia
de un cambio en las concepciones de los profesores que se refiere a que,
mediante la actividad matemática con el apoyo de la calculadora, los alumnos
van construyendo aprendizajes en una forma distinta a como los profeso-
res lo habían concebido antes. A su vez, el haber presenciado los avances
de sus alumnos fue una motivación para los profesores que les impulsó a
seguir esforzándose para superar los obstáculos que se les presentaban. Las
Consejo Mexicano de Investigación Educativa144
Cedillo
afirmaciones que planteamos en este párrafo adquieren mayor sustento
con los extractos obtenidos de las intervenciones de otros profesores.
Se les preguntó qué opinaban sobre las posibilidades didácticas que ofrecía
el SAC instalado en la calculadora después que habían tenido las tres pri-
meras sesiones de capacitación. En esas sesiones se les asesoró para usar los
recursos de la calculadora en el contexto de la resolución de un problema
matemático. A continuación se muestran algunos extractos de sus inter-
venciones que ilustran la orientación la discusión que ocasionaba sus res-
puestas. Los extractos que se muestran a continuación fueron tomados de
tres intervenciones, cada una de un profesor distinto.
Tengo que pensarlo mucho antes de introducir esta herramienta en mis clases
[…] La calculadora hace de manera instantánea muchas de las cosas en las que yo
invierto gran parte del curso para que los alumnos las aprendan […] No sólo
realiza automáticamente cualquier operación aritmética, sino también cualquier
operación con polinomios y ecuaciones. Si la llevo a la clase, ¿qué les voy a ense-
ñar ahora a mis alumnos?
No estoy de acuerdo con lo que dice mi compañero […] creo que puedo aprove-
char que la calculadora hace todo eso que él mencionó para que mis alumnos
aprendan a hacer las operaciones aritméticas y algebraicas correctamente. Por
ejemplo, se me ocurre que en lugar de ponerlos a hacer 20 sumas con fracciones
les puedo decir encuentren 20 parejas de números que al sumarlos den por resul-
tado x fracción (sic), digamos […] 9/10. Eso además les puede ayudar a que
entiendan qué es sumar y a que relacionen esto con la resta, porque si restan 1/2
a 9/10 encuentran el número que sumado con 1/2 da 9/10. Lo mismo se puede
hacer con los números decimales, con los negativos y con los polinomios, por
ejemplo, puedo pedirles que construyan veinte parejas de expresiones algebraicas
que den por resultado 3b.
Estoy de acuerdo con esto último, pero yo estaba pensando en las gráficas […]
Con el apoyo de la calculadora los alumnos pueden construir muchas gráficas en
muy poco tiempo. Aprovechando esto les puedo mostrar un ejemplo que ilustre
cómo construir una gráfica de una parábola, por ejemplo, la gráfica de x2. Luego
les puedo pedir que construyan la gráfica de x2-1 […] A continuación les puedo
pedir que construyan una parábola que pase entre las gráficas anteriores […] Esto
lo puedo ir complicando tanto como quiera. Creo que con eso los alumnos aprenderán
el papel que desempeñan los coeficientes a, b y c en la ecuación y=ax2+bx+c y en
Revista Mexicana de Investigación Educativa 145
La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
su gráfica. Así los alumnos pueden aprender a través de la vista (sic) y no como yo
aprendí, que por cierto me costó mucho esfuerzo. Me queda claro que si uso la
calculadora en mis clases voy a tener que enseñar de manera distinta a cómo a mi
me enseñaron.
La columna “Final del tercer año” muestra que al término del estudio
hubo dos profesores que se mantuvieron en el nivel 1 durante los tres
años; ocho llegaron al nivel 2, de los cuales dos provienen del 1 y seis se
mantuvieron en el 2. En el nivel 3 concluyeron 10 profesores, todos
provenientes del segundo nivel y, finalmente, alcanzaron el nivel 4; de
ellos, cinco procedentes del nivel 3 y los otros cinco del 2. Estos datos
muestran que dos profesores se mantuvieron en el nivel 1; uno, que ini-
ció en ese nivel y alcanzó el 4, seis docentes cambiaron sólo un nivel (del
1 al 2) y 23 profesores avanzaron dos niveles.
De la pregunta de investigación 2
¿Cómo influye la experiencia docente y el conocimiento
matemático de los profesores en sus reacciones
ante el uso de un sistema algebraico computarizado?
Los profesores más resistentes a usar regularmente la calculadora fueron
aquellos que tenían más años de experiencia docente, entre ellos están los
dos que se mantuvieron en el nivel 1. Los datos recabados sugieren que su
resistencia se debió a que ellos se consideraban buenos profesores, de he-
cho tenían un magnífico prestigio en su comunidad y el reconocimiento
de los alumnos, padres de familia y directivos. Su posición puede resumirse
en la expresión de uno de ellos:
Llevo muchos años como maestro, he aprendido cómo hacer las cosas bien, yo
tengo mis propios métodos y los buenos resultados que obtengo cada año con
mis estudiantes lo confirman; si ya conozco un camino que resulta acertado,
¿por qué debo ponerlo en riesgo con algo que no conozco y que no acabo de
entender? Además, en poco tiempo creo que me jubilaré.
Ese caso contrasta con el del profesor que avanzó del nivel 1 al 4, él
cuenta con la mayor experiencia en número de años en el grupo de los
30 profesores y un buen prestigio en su comunidad. Una de las explica-
ciones plausibles para referirse a este contraste es que este profesor poseeConsejo Mexicano de Investigación Educativa146
Cedillo
un excelente dominio de los contenidos que enseña. Él lo explica de la
siguiente manera:
Al principio creí que era un proyecto más, que en el momento está de moda y
que en poco tiempo se abandona, es más, creí que después de la primera re-
unión de capacitación nunca los volvería a ver (a los instructores). Su fre-
cuente presencia en la escuela, las discusiones que tuvimos y, sobre todo, lo
que noté que aprendían los estudiantes, me indicó que era algo que valía la
pena intentar, que había muchas cosas nuevas e interesantes que en la práctica
funcionaban. Lo que más me interesa son mis alumnos, entonces decidí que
aunque ya estuviera viejo debería esforzarme y hacer la prueba, estaba pen-
sando jubilarme pero ahora estoy convencido que esto vale la pena y aquí
seguiré por un buen tiempo.
Entre los profesores con menos experiencia el dominio de la asignatura
parece ser determinante. Los que más avanzaron son los que tienen un
conocimiento más sólido de la materia que enseñan. Los datos que recaba-
mos muestran que los profesores que al inicio del estudio estaban en el
nivel 2 poseían un buen conocimiento de su asignatura. Esos cinco profe-
sores se movieron gradualmente del nivel 2 al 4 en los tres años del estu-
dio. Una característica que distinguió a los profesores con poca experiencia
y un dominio insuficiente de la asignatura es su buena actitud hacia el
proyecto durante los tres años de trabajo. Esto sugiere que con un poco
más de tiempo, y el apoyo pertinente, podrían lograr un mejor conoci-
miento de la materia que imparten y alcanzar una formación docente más
acorde con los requerimientos actuales.
Los casos que necesitaron más atención fueron los de quienes cuentan
con más años en servicio y un dominio insuficiente de la asignatura. No
obstante, estos profesores lograron avanzar al menos un nivel en el mar-
co de las categorías de análisis que empleamos. Una explicación plausi-
ble para el cambio es su participación en un grupo que adquirió una
cohesión aceptable con el tiempo. Los datos de esta investigación sugie-
ren que el compañerismo que mostraban sus colegas, en particular los
que iban logrando más intervenciones exitosas en los foros de discusión,
los impulsó a cambiar su actitud y desarrollar un esfuerzo extraordina-
rio. El siguiente extracto corresponde a una comunicación durante el
foro electrónico:
Revista Mexicana de Investigación Educativa 147
La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
Quiero agradecer el apoyo que me han dado los compañeros. Hubo momentos
en que estaba a punto de no participar más porque me apenaban las consultas
que hacía, pero siempre había alguien que amablemente me ayudaba. Por otra
parte, mis alumnos me estaban dejando atrás, ellos podían resolver problemas
que yo no entendía, a veces no tenía posibilidad de decirles si lo que habían
hecho era correcto o no, mis alumnos no se daban cuenta de esto porque eran
ellos los me mostraban sus soluciones y me las explicaban. Finalmente decidí
decirles a mis alumnos que en la clase todos estábamos aprendiendo, que a
veces yo iba adelante de ellos, pero en otras ellos llevaban la delantera, que
quería que aprendiéramos juntos y que nos apoyaríamos entre todos. Sé que
aún me falta mucho por aprender, por ahora puedo decir que aprendí que lo
que nunca haré será pedir que me den la solución de un problema, cuando algo
se me complique demasiado sólo pediré pistas, si quiero avanzar debo resolver-
lo por mí mismo, no importa que me tome mucho tiempo hacerlo.
De la pregunta de investigación 3
¿Cómo afecta en la relación estudiante-profesor la incorporación de un
sistema algebraico computarizado en las clases regulares de matemáticas?
Los datos recabados sugieren fuertemente que la introducción de la calcu-
ladora algebraica en la clase de matemáticas motivó cambios sensibles en
la relación maestro-alumno. A este respecto cabe señalar, que los profeso-
res que se convencieron de usar el SAC en sus clases consideraron como un
aspecto insoslayable cambiar sensiblemente su forma de enseñanza. Esto
se hace evidente en los extractos incluidos sobre la pregunta de investiga-
ción 1, esos relatos indican claramente que si van a usar la calculadora
entonces deben basar sus clases en la actividad de los alumnos:
[…] creo que puedo aprovechar que la calculadora hace todo eso que él men-
cionó para que mis alumnos aprendan a hacer las operaciones aritméticas y
algebraicas correctamente. Por ejemplo, se me ocurre que en lugar de poner-
los a hacer 20 sumas con fracciones les puedo decir encuentren 20 parejas de
números que al sumarlos den por resultado x fracción (sic), digamos… 9/10.
Una lectura cuidadosa de ese extracto reporta claramente un cambio im-
portante en la relación entre el maestro y sus alumnos: basta con que el
profesor proponga una actividad interesante, no se requiere que exponga
el tema o muestre una colección de ejemplos, a partir de esa actividad los
Consejo Mexicano de Investigación Educativa148
Cedillo
estudiantes generan una intensa dinámica en el salón de clases, producen
muchas respuestas distintas y generan estrategias no convencionales. El
profesor deja de ser la única fuente de retroalimentación para los alum-
nos, la calculadora se convierte en un “compañero” al que pueden “con-
sultar” para verificar por sí mismos sus conjeturas.
Esta forma de trabajo condujo a los profesores a dejar de situarse al
frente del aula y empezar la clase proponiendo una actividad que retara el
intelecto de sus alumnos. El trabajo en equipo de los estudiantes y el apo-
yo que ofrece la calculadora liberan tiempo al profesor para que recorra el
salón de clases y se incorpore a las discusiones de sus alumnos. A partir de
esto la relación estudiante-profesor cambia radicalmente, el maestro se
ubica como asesor o “facilitador” en lugar de “enseñante” (o compañero
más competente en el sentido que plantea Vygotsky). Además, para ser un
buen asesor el profesor necesita aprender de sus alumnos; los datos reca-
bados muestran que las respuestas originales de los estudiantes y su habi-
lidad en el manejo de la máquina, ubicaron a los docentes en muchas ocasiones
en el lugar de aprendices.
Conclusiones
La experiencia registrada con los profesores de matemáticas que participa-
ron en este estudio nos conduce a evocar la forma en que estudiamos ma-
temáticas antes del advenimiento de los sistemas algebraicos computarizados.
Emplearemos esa mirada retrospectiva para dar contexto a las conclusio-
nes de este reporte.
Un cambio evidente que introduce el uso de un SAC en la clase de ma-
temáticas es que el estudio del álgebra debe abordarse con recursos y prin-
cipios didácticos totalmente distintos a los empleados en la enseñanza antes
de la aparición de esa tecnología. En un curso de álgebra sin tecnología
domina el reconocimiento de la forma de las expresiones matemáticas. Por
ejemplo, la forma de la ecuación y=x2+4x–5 permite identificar inmedia-
tamente el punto (0,-5) como un punto especial. Con esto sabemos en
qué lugar corta la gráfica de esa ecuación al eje Y y basta con evaluarla en
x=0; eso puede “leerse” directamente de la ecuación y nos permite afirmar
que el punto (0, -5) está en la gráfica de y=x2+4x–5.
Otro principio básico en el estudio del álgebra es “cambiar la forma de
una expresión sin alterar nada”. Hacemos esto cambiando la forma inicial,
por ejemplo expresar como producto: y=x2+4x–5=(x-1) (x+5). Es la misma
Revista Mexicana de Investigación Educativa 149
La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
expresión representada mediante otra forma, ambas tienen la misma gráfi-
ca y los mismos valores numéricos en una tabla, pero tienen usos diferen-
tes: (x-1) (x+5) nos permite “leer” los ceros de la función: x=1 y x=-5.
Por supuesto esto descansa en el conocimiento de un hecho básico: “si el
producto de dos números es cero al menos uno de ellos debe ser cero”. Si
quisiéramos leer de la ecuacióncómo es su gráfica acudiríamos de nuevo a
cambiar su forma y obtendríamos la expresión equivalente:
x2+4x–5=(x+2)2-9.
Nuevamente, mediante el reconocimiento de la forma podemos leer de esa
ecuación que su gráfica es una parábola “como la de y=x2”, pero su vértice
está en el punto (-2,-9).
En síntesis, el mensaje constante que proviene de un breve análisis como
el anterior es que la relación entre dos variables puede expresarse a través de
formas equivalentes diferentes. Los enunciados y=x2+4x–5, y=(x-1) (x+5) y
y=(x+2)2–9, determinan la misma relación entre x y y, lo cual puede verifi-
carse observando que producen las mismas tablas de valores y las mismas
gráficas. Pero cada enunciado revela información que permanecía oculta en
cada uno de los otros dos. El álgebra nos proporciona maneras de extraer
dichos significados ocultos de los enunciados. La forma y=(x–1) (x+5) nos
proporciona instantáneamente información acerca de sus ceros o interseccio-
nes en x, pero tenemos que realizar un desciframiento adicional para encon-
trar la intersección con el eje Y. Todavía es necesario hacer algo más para
encontrar un valor extremo (el vértice). La forma y=x2+4x–5 nos pro-
porciona, a simple vista, la información sobre la intersección en el eje Y,
pero nos obliga a hacer un poco de trabajo extra para encontrar el resto
de las características de la gráfica. La forma y=(x+2)2–9, nos “dice” al
instante dónde se encuentra el vértice, pero oculta las intersecciones hasta
que las “saquemos a la luz”.
El ejemplo que hemos desarrollado puede extenderse prácticamente a
cualquier otro caso de manipulación algebraica. Visto así, el álgebra pare-
ce centrarse enfáticamente en la forma. A medida que resolvemos proble-
mas de álgebra, frecuentemente comenzamos con algo que ya sabíamos,
desarrollamos una manera de expresarlo con el propósito de cambiar la
forma de dicha expresión y revelar algo que no sabíamos en un principio.
Para esto los profesores dejan como tarea muchos problemas acerca de las
Consejo Mexicano de Investigación Educativa150
Cedillo
edades, de trenes y dinero. Los más simples no parecen requerir nada de
álgebra, a menos que incluyan cantidades difíciles de manejar. Igualmente
se trabaja con ecuaciones de la recta en varias formas, como punto-punto,
punto-pendiente, pendiente-intersección, intersección-intersección; sólo
son algunos ejemplos más de que el álgebra tiene que ver con la forma y
con sus transformaciones. En conclusión, si somos capaces de encontrar
una manera de cambiar la forma sin alterar el significado, podemos reve-
lar información oculta.
El álgebra con tecnología
Si el asunto central continúa siendo la forma, entonces los sistemas algebraicos
computarizados presentan un reto amenazador. Los SAC hacen, sin esfuerzo,
lo que anteriormente queríamos que los estudiantes hicieran. Este conflicto
surge desde la época en que la manipulación simbólica era todavía tan cara
que no era un competidor serio en la arena educativa, pero el choque fue
enorme para los profesores de Cálculo cuando muchos estudiantes se las
arreglaron para adquirir esa tecnología. Antes de la existencia de calculado-
ras capaces de realizar diferenciación e integración simbólica, los profesores
no podían desatender las mecanizaciones y se lamentaban que no podían
poner atención a los aspectos conceptuales o a las aplicaciones importantes.
Las técnicas de integración debían ser dominadas y buscaban maneras para
ayudar a los estudiantes en la superación de los obstáculos que se encuen-
tran en el manejo de procedimientos difíciles de aprender. Súbitamente, se
hallaron con el momento en que los estudiantes podían comprar una pe-
queña máquina que hacía todos esos sofisticados procedimientos y que cos-
taba menos de lo que les costaba aprender a hacerlo solos. Por consiguiente,
se cuestionó el enfoque primario de varios cursos de cálculo y los profesores
tuvieron que reevaluar qué partes de sus cursos eran realmente importantes
(Goldenberg, 2003). Aprender algunas de las técnicas que la calculadora
realizaba quizás seguiría siendo importante, pero los educadores ya no po-
dían argüir que “obtener la respuesta” era parte de las razones para pedir a
los estudiantes que aprendieran estas técnicas.
El problema que enfrenta el álgebra de secundaria es un poco más agudo.
Nosotros, como educadores, no sólo debemos decidir qué técnicas de mani-
pulación algebraica relegar a la pequeña máquina y qué técnicas aritméticas
y de cálculo debemos continuar enseñando a los estudiantes, también es
necesario repensar el propósito del álgebra como resultado de la influencia
Revista Mexicana de Investigación Educativa 151
La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria
de las herramientas modernas y del énfasis educativo. La tecnología de graficación,
en la computadora y después en la calculadora gráfica, representa un difícil
reto para la enseñanza actual de la aritmética y el álgebra. Si el álgebra ayu-
da a los estudiantes a encontrar las raíces de las ecuaciones, las pendientes,
tangentes, intersecciones, máximos, mínimos, soluciones a sistemas de ecuaciones
de dos variables o cualquiera de los otras respuestas numéricas o relaciona-
das con aplicaciones, entonces, todo lo que necesitan nuestros estudiantes
es tener un acceso fácil y rápido a una gráfica; ya no necesitan cambiar la
forma de un enunciado matemático, porque cualquier forma de una ecua-
ción se graficará tan fácilmente como cualquier otra. Es más, con el editor
de gráficas los alumnos no sólo no necesitan llevar a cabo las manipulacio-
nes algebraicas a mano, no necesitan un sistema algebraico computarizado
para que haga las manipulaciones.
Para utilizar las herramientas graficadoras las funciones deben ser expresables
en un lenguaje algebraico que entiendan las herramientas. A medida que di-
chas herramientas graficadoras aparecían, ese requisito restringió seriamente
el dominio. Aún más, para que las gráficas pudieran usarse para encontrar
respuestas numéricas –en problemas relacionados con el interés, por ejem-
plo– las gráficas deben ser continuas y de comportamiento regular por natu-
raleza. A pesar de las limitaciones antes descritas, las herramientas graficadoras
resultan muy adecuadas para abordar muchos temas, como la física o la eco-
nomía, porque muchas de las aplicaciones asociadas a estas materias se mode-
lan con funciones continuas “simples”. Entonces, las herramientas favorecen
un dominio de ciertos problemas matemáticos sobre otros, incrementando el
papel del modelaje extra-matemático. Los datos arrojados por este estudio
muestran que los profesores encuentran que las herramientas se han converti-
do en un sustituto del álgebra como medio para resolver ecuaciones usando
manipulaciones adecuadas. Al mismo tiempo, las herramientas han dejado al
álgebra intacta como un lenguaje en el que se expresan ecuaciones.
Por último, queremos destacar que los resultados de este estudio sugie-
ren fuertemente que los objetivos sobre el dominio de destrezas algebraicas
deben ser reevaluados a la luz de los procedimientos más fácilmente reali-
zables por la computadora o la calculadora. Las propiedades de las funcio-
nes elementales son todavía importantes para modelar las relaciones
cuantitativas, pero el dominio de los procedimientos y técnicas de mani-
pulación algebraica parecen de poco valor ante los recursos didácticos que
pueden desarrollarse empleando sistemas algebraicos computarizados.
Consejo Mexicano de Investigación Educativa152
Cedillo
Notas
1 Proyecto auspiciado por la Secretaría de
Educación Pública (SEP), el Instituto Latinoame-
ricano de la Comunicación Educativa (ILCE) y
la Universidad Pedagógica Nacional (UPN). La
investigación también fue apoyada con recursos
del Proyecto CONACyT, ref. 30523.
2 http://sec21.ilce.edu.mx/matematicas/cal-
culadoras/.
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