Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-63

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361
6 Expresiones 
 racionales 
y ecuaciones
	6.1	 Dominios	de	funciones	racionales	
y	multiplicación	y	división		
de	expresiones	racionales	
	6.2	 Suma	y	resta	de	expresiones	
racionales
	6.3	 Fracciones	complejas
	6.4	 Resolución	de	ecuaciones	racionales
Prueba	de	mitad	de	capítulo:	
secciones	6.1-6.4	
	6.5	 Ecuaciones	racionales:	aplicaciones	
y	resolución	de	problemas
	6.6	 Variación
		 Resumen	del	capítulo	6
Ejercicios	de	repaso	del	capítulo	6
Prueba	de	práctica	del	capítulo	6
Prueba	de	repaso	acumulada
Objetivos de este capítulo
Las	expresiones racionales	son	expresiones	que	tienen	fracciones,	
mientras	que	las	ecuaciones racionales	son	ecuaciones	que	tienen	
expresiones	racionales.	En	este	capítulo	aprenderás	a	trabajar		
con	expresiones	racionales	y	a	resolver	ecuaciones	racionales.	Para	
tener	éxito	en	este	capítulo,	debes	tener	una	plena	comprensión	de	
las	técnicas	de	factorización	analizadas	en	el	capítulo	5.
©
 G
lo
wi
m
ag
es
Cuando dos o más	personas	realizan	
una	tarea,	tardan	menos	tiempo	que	si	
la	realiza	de	manera	aislada	cada	una	
de	ellas.	Por	ejemplo,	en	la	página	405,	
determinaremos	el	tiempo	que	tardan	dos	
personas,	trabajando	juntas,	en	cortar	el	
césped	(ejercicio	10),	cosechar	manzanas	
(ejercicio	11)	o	arar	un	campo	(ejercicio	
15),	cuando	sabemos	el	tiempo	que	cada	
persona	tarda	en	completar	la	tarea	si	la	
realiza	sola.	
362	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
a Z -2a Z 2
a
a2 - 4
 , a2 - 4 Z 0
p Z 6
p2 + 4p
p - 6
 , p - 6 Z 0
t + 3
t
 , t Z 0
2
x
 , x Z 0
o y
o
Comprendiendo 
el álgebra
La	notación	y	=	f	(x)	significa	
que	la	ecuación	define	una	
función	en	la	cual	x	es	la	va-
riable	independiente	y	y	es	la	
variable	dependiente.	Observa	
que	f	(x)	no	significa	f veces	x.
Comprendiendo 
el álgebra
Para	entender	las	expresiones	
y	funciones	racionales,	es	
preciso	comprender	las	téc-
nicas	de	factorización	que	se	
analizaron	en	el	capítulo	5.
6.1 Dominios de funciones racionales y multiplicación 
y división de expresiones racionales
	 1 	 Determinar	los	dominios	
de	funciones	racionales.
	 2 	 Reducir	expresiones	
racionales.
	 3 	 Multiplicar	expresiones	
racionales.
	 4 	 Dividir	expresiones	
racionales.
	1 	Determinar	los	dominios	de	funciones	racionales
Expresiones racionales
Una expresión racional es una expresión de la forma 
p
q
, donde p y q son polinomios y 
q  0.
Funciones racionales
Una función racional es de la forma y = f(x) =
p
q
 donde p y q son polinomios y q  0.
Ejemplos	de	expresiones	racionales
2
x
 , t + 3
t
 , p2 + 4p
p - 6
 , a
a2 - 4
Observa que el denominador de una expresión racional no puede ser igual a 0, ya que la 
división entre 0 es indefinida. Por ejemplo,
 • En la expresión .
 • En la expresión .
 • En la expresión .
 • En la expresión . 
Al escribir una expresión racional, siempre suponemos que el valor o valores de la variable 
que hacen el denominador igual a 0 están excluidos. Por ejemplo, si escribimos 
5
x - 3
 , su-
ponemos que x  3, aunque esto no se indique de manera específica.
En el capítulo 3 estudiamos las funciones y en el capítulo 5 discutimos las funciones 
polinomiales. Ahora presentamos las funciones racionales.
Dominio de una función racional
El dominio de una función racional y = f(x) = 
p
q
es el conjunto de valores de todos los 
números reales para los que el denominador, q, es diferente de 0.
Ejemplos	de	expresiones	racionales
f(x) =
4
x
y =
x2 + 2
x + 3
T(a) =
a + 9
a2 - 4
h(x) =
7x - 8
2x + 1
Recuerda del capítulo 3 que el dominio de una función racional será el conjunto de valores 
que pueden utilizarse para reemplazar la variable independiente en la función, general-
mente x. También recuerda del capítulo 5 que el dominio de una función polinomial es 
el conjunto de todos los números reales. Ya que no podemos dividir entre 0, tenemos la 
siguiente definición.
	 Sección	6.1	Dominios	de	funciones	racionales	y	multiplicación	y	división	de	expresiones	racionales		 363
Por ejemplo,
• Para la función , el dominio es .
• Para la función , el dominio es .
• Para la función , el dominio es .
• Para la función , el dominio es .
)b)a
)d)c
{x ƒx es un número real}
{x ƒx Z -5 y x Z 3}
 = 
x - 3
(x + 5)(x - 3)
f(x) = 
x - 3
x2 + 2x - 15
{x ƒx Z -2 y x Z 2}
 = 
x2
(x + 2)(x - 2)
f(x) = 
x2
x2 - 4
{x ƒx Z 6}
f(x) = 
x
x2 + 8
f(x) = 
x - 3
x2 + 2x - 15
f(x) = 
x2
x2 - 4
f(x) = 
x + 1
x - 6
{a ƒa Z 2 y a Z -2}h(a) = 
a
a2 - 4
{p ƒp Z 6}g(p) = 
p2 + 4p
p - 6
{t ƒ t Z 0}f(t) = 
t + 3
t
{x ƒx Z 0}f(x) = 
2
x
EJEMPLO 1 Determina el dominio de las siguientes funciones racionales.
Solución   
 a) Como f(x) es una función racional, el dominio son todos los números reales x 
para los que el denominador, x  6, es diferente de 0. Por lo tanto, el dominio 
son todos los números reales excepto 6. El dominio se escribe
 b) El dominio es el conjunto de todos los números reales x para los que el denomi-
nador, x2  4, es diferente de 0. Primero, reescribimos el denominador en forma 
factorizada:
 Factorizar el denominador de f(x) 
Observamos que x no puede ser 2 o 2. El dominio se escribe
 c) El dominio es el conjunto de todos los números reales x para los que el denomi-
nador, x2 + 2x ] 15, es diferente de 0. Primero, reescribimos el denominador en 
la forma factorizada:
 
 Factorizar el denominador de f(x)
Aunque la función racional tiene el factor (x ] 3) común para numerador y de-
nominador, un valor de x = 3 nos llevará a una función indefinida. Entonces, x 
no puede ser ]5 o 3. El dominio se escribe
 d) El dominio son todos los números reales para los que el denominador, x2 + 8, es 
diferente de 0. Como, x2 + 8 es siempre positivo, el denominador nunca puede 
ser igual a 0 y el dominio son todos los números reales. El dominio se escribe
Resuelve ahora el ejercicio 21
364	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
)b)a
a)
 = x + 1
 =
 (x + 4) (x + 1)
 x + 4 
 =
 (x + 4) (x + 1)
 x + 4 
 
x2 + 5x + 4
x + 4
3x3 - 3x2
x3 - x
x2 + 5x + 4
x + 4
	2 	Simplificar	expresiones	racionales
Una expresión racional está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen 
factores comunes, distintos de 1. La fracción 
6
9
 no está simplificada, ya que 6 y 9 tienen como 
factor común el número 3. Cuando se factoriza el número 3, la fracción simplificada es 
2
3
.
 no es una fracción simplificada
2
3
—
6
9
=
 3 
1 # 2
 3 
1
# 3
=
2
3
¡
6
9
es una fracción simplificada
 
La expresión racional 
ab - b2
2b
 no está simplificada, ya que el numerador y el denomina-
dor tienen un factor común, b. Para simplificar esta expresión, factoriza b en cada término 
del numerador y después divide.
ab - b2
2b
=
 b (a - b)
2 b 
=
a - b
2
Por lo tanto se convierte en cuando se simplifica.
a - b
2
ab - b2
2b
 
Otra manera para explorar el dominio de funciones racionales es usando la función TABLE. La Figura 6.2 muestra los pares 
ordenados de la función. Observa que cuando x = 6 el valor de y mostrado en pantalla es ERROR. Esto es porque f (6) es in-
definida, entonces x = 6 está excluido del dominio de f (x).
Para simplificar expresiones racionales
 1. Factoriza tanto el numerador como el denominador de la manera más completa posible.
 2. Divide tanto el numerador como el denominador entre los factores comunes.
EJEMPLO 2 Simplifica. 
Solución   
 
 Factoriza el numerador.
 Divide el factor común.
 
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Experimentar con una calculadora graficadora te dará una idea de la amplia variedad de gráficas que pueden producir las fun-
ciones racionales. Por ejemplo, la Figura 6.1 muestra la gráfica de del ejemplo 1 inciso a) sobre la TI-84 Plus. El 
dominio de f (x) es {xx  6}. Observa que no hay punto sobre la gráfica que corresponda a x = 6.
FIGURA 6.1 FIGURA 6.2
f(x) = 
x + 1
x - 6
	 Sección	6.1	Dominios	de	funciones	racionales	y	multiplicación	y	división	de	expresiones	racionales365
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	un	factor	en	el	nu-
merador	tiene	términos	que	
son	opuestos	a	un	factor	en	el	
denominador,	esos	dos	facto-
res	tienen	una	relación	de	1.	
Por	ejemplo:
b)
Simplifica 
 = -(9x2 + 6x + 4) o -9x2 - 6x - 4
 =
9x2 + 6x + 4
-1
 =
 (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)
-1 (3x - 2) 
 =
(3x - 2)(9x2 + 6x + 4)
2 - 3x
 
27x3 - 8
2 - 3x
=
(3x)3 - (2)3
2 - 3x
27x3 - 8
2 - 3x
.
 -3x2 + 8x - 6 = -1(3x2 - 8x + 6) = -(3x2 - 8x + 6)
 6 - 5x = -1(-6 + 5x) = -(5x - 6)
 -2x + 3 = -1(2x - 3) = -(2x - 3)
 =
3x
x + 1
 =
 
3
 
x
 x2 
 
 (x - 1) 
 x (x + 1) (x - 1) 
x2 - 1 =
 
3x2(x - 1)
x(x + 1)(x - 1)
 =
3x2(x - 1)
x(x2 - 1)
 
3x3 - 3x2
x3 - x
 = -1
 =
1
-1
 =
(3x - 2)
-1(3x - 2)
 =
3x - 2
-1(-2 + 3x)
 
3x - 2
2 - 3x
INCORRECTO INCORRECTO
x + 8 
2
 4 
1
 
x
 x2 
 
+ 6
 x 
1
x + 8
4
x2 + 6
x
CORRECTO INCORRECTO 
x
 x 
2 
 
- 4 
2
 x 
1
- 2 
1 = x + 2
 
x2 - 4
x - 2
=
(x + 2) (x - 2) 
 x - 2 
y
 Factoriza el MFC del numerador y denominador.
 Factoriza como la diferencia de dos cuadrados.
 Divide los factores comunes.
 
Resuelve ahora el ejercicio 33
Cuando los términos de un numerador solo difieren en el signo respecto de los tér-
minos en el denominador, podemos factorizar 1 del numerador o del denominador. Por 
ejemplo,
EJEMPLO 3 
Solución   
 
Escribe el numerador como una 
diferencia de dos cubos.
 
 Factoriza; recuerda que a3  b3 = 
(a  b)(a2 + ab + b2).
 
Factoriza 1 del denominador 
divide entre los factores comunes.
 
 
Resuelve ahora el ejercicio 41
Prevención de errores comunes
	 	
Recuerda que solo se pueden dividir los factores comunes. Por lo tanto, las expresiones 
 no pueden simplificarse. Solamente cuando las expresiones están multiplicadas 
pueden factorizarse. Ninguna de las expresiones anteriores puede simplificarse de su forma original.
366	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
Para multiplicar expresiones racionales
Para multiplicar expresiones racionales, utiliza la siguiente regla:
Para multiplicar expresiones racionales sigue estos pasos:.
 1. Factoriza tanto como sea posible todos los numeradores y los denominadores.
 2. Divide entre los factores comunes.
 3. Multiplica usando la regla anterior.
 4. Cuando sea posible, simplifica la respuesta.
)b)a
a)
b)
 =
x + 4y
2x + y
 
x2 - y2
x + y
# x + 4y
2x2 - xy - y2
=
 (x + y) (x - y) 
 x + y 
# x + 4y
(2x + y) (x - y) 
x2 - y2
x + y
# x + 4y
2x2 - xy - y2
.
 = -(x - 4) o -x + 4 o 4 - x
 =
x - 4
-1
 =
 2x - 3 
 x - 4 
# (x - 4) (x - 4)
-1 (2x - 3) 
 
2x - 3
x - 4
# x2 - 8x + 16
3 - 2x
=
2x - 3
x - 4
# (x - 4)(x - 4)
3 - 2x
 =
1
6
 
x - 5
6x
# x2 - 2x
x2 - 7x + 10
=
x - 5
6 x 
# x (x - 2).
(x - 2)(x - 5)
2x - 3
x - 4
# x2 - 8x + 16
3 - 2x
x - 5
6x
# x2 - 2x
x2 - 7x + 10
a
b
# c
d
=
a # c
b # d
, b Z 0, d Z 0
Si se factorizaron todos los factores comunes en el paso 2, tu respuesta en el paso 4 
debe estar en la forma simplificada. Sin embargo, si olvidaste un factor común en el paso 
2, puedes factorizarlo en el paso 4 para obtener una respuesta más simplificada.
EJEMPLO 4 Multiplica. 
Solución   
	 
Factoriza; divide los 
factores comunes.
 
	 Factoriza.
 
Factoriza 1 del 
denominador; divide los 
factores comunes.
 
 
Resuelve ahora el ejercicio 61
EJEMPLO 5 Multiplica 
Solución   
 
Factoriza; divide 
los factores 
comunes.
 
Resuelve ahora el ejercicio 55
	3 	Multiplicar	expresiones	racionales
Ahora que sabemos cómo simplificar una expresión racional, podemos analizar la multi-
plicación de expresiones racionales.
	 Sección	6.1	Dominios	de	funciones	racionales	y	multiplicación	y	división	de	expresiones	racionales		 367
Para dividir expresiones racionales
Para dividir expresiones racionales, utiliza la siguiente regla:
Para dividir expresiones racionales, multiplicamos la primera expresión racional por el 
recíproco de la segunda expresión racional.
 =
 (b - c) (a + d) 
 (b + c) (a + d) 
# (b + c) (b + d) 
 (b + d) (b - c) 
= 1
 =
(b - c)(a + d)
(b + c)(a + d)
# (b + c)(b + d)
(b + d)(b - c)
 =
a(b - c) + d(b - c)
a(b + c) + d(b + c)
# b(b + c) + d(b + c)
b(b + d) - c(b + d)
 
ab - ac + bd - cd
ab + ac + bd + cd
# b2 + bc + bd + cd
b2 + bd - bc - cd
ab - ac + bd - cd
ab + ac + bd + cd
# b2 + bc + bd + cd
b2 + bd - bc - cd
.
)b)a
a)
.
 = x + 5
 =
(x + 5) (x - 5) 
 x + 7 
# x + 7 
 x - 5 
 
x2 - 25
x + 7
,
x - 5
x + 7
=
x2 - 25
x + 7
# x + 7
x - 5
12a2 - 22a + 8
3a
,
3a2 + 2a - 8
8a2 + 16a
x2 - 25
x + 7
,
x - 5
x + 7
 =
6 # 5
y2
 x
=
30
xy2
 =
 18 
6
 x4 
 5 y3
 
y2
# 25 y 
5
 3 x5
 
x
 
18x4
5y3
,
3x5
25y
=
18x4
5y3
# 25y
3x5
18x4
5y3
,
3x5
25y
.
a
b
,
c
d
=
a
b
# d
c
=
a # d
b # c
, b Z 0, c Z 0, d Z 0
EJEMPLO 6 Multiplica 
Solución    Factoriza los numeradores y denominadores mediante agrupación. 
Luego divide entre los factores comunes.
 
 Factoriza mediante agrupación.
 Factoriza mediante agrupación 
 (continua).
 Divide entre los factores 
 comunes.
Resuelve ahora el ejercicio 75
	4 	Dividir	expresiones	racionales
A continuación analizaremos la división de expresiones racionales.
EJEMPLO 7 Divide 
Solución    Multiplica por el recíproco 
 del divisor. 
 Divide entre los factores comunes.
Resuelve ahora el ejercicio 51
En el ejemplo 7, todos los numeradores y denominadores fueron monomios. Cuan-
do los numeradores o denominadores son binomios o trinomios, los factorizamos, si es 
posible, en orden para dividir entre factores comunes. Este procedimiento se ilustra en el 
ejemplo 8.
EJEMPLO 8 Divide.
Solución   
	 	 	 
 Multiplica por el recíproco 
del divisor.
 Factoriza; divide entre los factores 
 comunes.