Operações com Expressões Racionais

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368	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
b)
 =
(x2 + y2)(x - y)2
x
 =
(x2 + y2) (x + y) (x - y) 
 x - y 
# (x - y)(x - y)
x (x + y) 
 =
(x2 + y2)(x2 - y2)
x - y
# (x - y)(x - y)
x(x + y)
 =
x4 - y4
x - y
# x2 - 2xy + y2
x2 + xy
x4 - y4
x - y
,
x2 + xy
x2 - 2xy + y2
x4 - y4
x - y
,
x2 + xy
x2 - 2xy + y2
.
 =
16(2a - 1)
3
 =
2 (3a - 4) (2a - 1)
3 a 
# 8 a (a + 2) 
 (3a - 4) (a + 2) 
 =
2(6a2 - 11a + 4)
3a
# 8a(a + 2)
(3a - 4)(a + 2)
 =
12a2 - 22a + 8
3a
# 8a2 + 16a
3a2 + 2a - 8
 
12a2 - 22a + 8
3a
,
3a2 + 2a - 8
8a2 + 16a
CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.1 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
multiplicar dividir sumar dominio rango 
y
x2 
x3
y2 {x ƒx Z -5}
{x ƒx Z 4} 
x + 3
x + 8
 función racional expresión racional simplificar
 1. Una es de la forma 
p
q
, donde p y q son 
polinomios y q  0.
 2. Una es de la forma y = f(x) = 
p
q
 don-
de p y q son polinomios y q  0.
 3. El de una función racional es el conjun-
to de todos los números reales para los que el denomina-
dor es diferente de 0.
 4. Para una expresión racional, primero se 
factorizan el numerador y el denominador y luego se divide 
entre los factores comunes.
 5. Para dos expresiones racionales, primero 
se factorizan todos los numeradores y denominadores y lue-
go se divide entre los factores comunes.
 6. Para dos expresiones racionales, multi-
plicar la primera expresión racional por el recíproco de la 
segunda expresión racional.
 Multiplica por el recíproco
del divisor.
 Factoriza.
 Factoriza de nuevo; divide entre 
los factores comunes.
 
Resuelve ahora el ejercicio 59
EJEMPLO 9 Divide 
Solución    
 
 Multiplica por el recí-
proco del divisor.
 Factoriza.
 
Factoriza de nuevo; 
divide entre los 
factores comunes.
Resuelve ahora el ejercicio 69
Consejo útil 
Consejo de estudio
A lo largo de este capítulo necesitaremos factorizar polinomios. Es importante que entiendas 
las técnicas de factorización que se trataron en el capítulo 5.
-2x - 15
3x - 40
	 Sección	6.1	Dominios	de	funciones	racionales	y	multiplicación	y	división	de	expresiones	racionales		 369
11. .41.31.21
15. .81.71.61
.02.91 21.
.42.32.22
.72.62.52
28.
.13.03.92
32. 33. 34.
.73.63.53
.04.93.83
41. .34.24
.64.54.44
.84.74
.05.94
51. 52.
53. 54.
55. 56.
.85.75
59. 60.
61.
21.21.
33.33.
41.41.
51.51.
55.55.
59.59.
61.61. 62.
2x2 + 8xy + 8y2
x2 + 4xy + 4y2
# 2x2 + 7xy + 6y2
4x2 + 14xy + 12y2
a - b
9a + 9b
,
a2 - b2
a2 + 2a + 1
x + 1
x2 - 17x + 30
,
8x + 8
x2 + 7x - 18
x2 + 12x + 35
x2 + 4x - 5
,
x2 + 3x - 28
7x - 7
(x - 3) ,
x2 + 3x - 18
x3
r2 + 10r + 21
r + 7
,
(r2 - 5r - 24)
r3
p2 + 7p + 10
p + 5
# 1
p + 2
x2 + 3x - 10
4x
# x2 - 3x
x2 - 5x + 6
7a + 7b
5
,
a2 - b2
a - b
3 - r
r - 3
# r - 9
9 - r
10m4
49x5
 y7 ,
25m5
21x12
 y5
9x3
4
,
3
16y2
32x2
y4
# 5x3
8y2
3x
5y2 # 
y
9
a3 - b3
a2 - b2
x2 - x - 12
x3 + 27
xy - yw + xz - zw
xy + yw + xz + zw
a2 + 7a - ab - 7b
a2 - ab + 5a - 5b
(2x - 1)(x + 4) + (2x - 1)(x + 1)
3(2x - 1)
(x + 6)(x - 3) + (x + 6)(x - 2)
2(x + 6)
64x3 - 27z3
3z - 4x
8x3 - 125y3
2x - 5y
y2 - 10yz + 24z2
y2 - 5yz + 4z2
a2 - 3a - 10
a2 + 5a + 6
4x2 - 9
2x2 - x - 3
p2 - 2p - 24
6 - p
4x2 - 16x4 + 6x5
 y
14x3
 y2
5r - 8
8 - 5r
4x2
 y + 12xy + 18x3
 y3
10xy2
x3 - x
x2 - 1
x2 + 7x
x2 - 2x
5x2 - 20xy
15x
x2 - 5x
x
x2 + x
x
k(b) =
b2 - 36
b2 + 36
m(a) =
a2 + 36
a2 - 36
h(x) =
x3 - 64x
x2 + 81
g(x) =
x2 - x + 8
x2 + 4
f(x) =
10 - 3x
x3 + 8x
f(a) = 
a2 + 3a + 2
a2 + 4a + 3
y =
9
x2 + 4x - 21
y =
5
x2 + x - 6
f(z) =
3
-18z + 9
f(x) = 
x - 4
x - 5
x2 - 36
x2 + 36
x2 + 81
x2 - 81
-2
49 - r2
x - 3
x2 + 12
2
(x - 6)2
4
2x2 - 15x + 25
x + 2
x2 - 64
7
x
7.
.
8.
x2
y
 # 
y2
x4
x2 - 2x - 15
x2 + 3x - 40
9.
10. f(x) = 
x + 5
x - 4
x5
y4 , 
x2
y2La expresión racional se simplifica
a
El cociente es 
El producto es
.
.
El dominio de la función es
.
 
Practica tus habilidades
Determina los valores que son excluidos en las siguientes expresiones.
Determina el dominio de cada función.
 
Simplifica cada expresión racional.
Multiplica o divide como se indica. Simplifica todas las respuestas.
 
370	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
.46.36
.66.56
.86.76
69. 70.
.27.17
73. 74.
75.
69.69.
75.75. 76.
.87.77
x3 - 4x2 + x - 4
x5 - x4 + x3 - x2
# 2x3 + 2x2 + x + 1
2x3 - 8x2 + x - 4
3r2 + 17rs + 10s2
6r2 + 13rs - 5s2 ,
6r2 + rs - 2s2
6r2 - 5rs + s2
2p2 + 2pq - pq2 - q3
p3 + p2 + pq2 + q2 ,
p3 + p + p2
 q + q
p3 + p + p2 + 1
ac - ad + bc - bd
ac + ad + bc + bd
# pc + pd - qc - qd
pc - pd + qc - qd
2x3 - 7x2 + 3x
x2 + 2x - 3
# x2 + 3x
(x - 3)2
4x + y
5x + 2y
# 10x2 - xy - 2y2
8x2 - 2xy - y2
r2 - 16
r3 - 64
,
r2 + 8r + 16
r2 + 4r + 16
(a - b)3
a3 - b3
# a2 - b2
(a - b)2
8a3 - 1
4a2 + 2a + 1
,
a2 - 2a + 1
(a - 1)2
2x4 + 4x2
6x2 + 14x + 4
,
x2 + 2
3x2 + x
(x2 - y2)2
(x2 - y2)3 ,
x2 + y2
x4 - y4
x2 - y2
x2 - 2xy + y2 ,
(x + y)2
(x - y)2
x4 - y8
x2 + y4 ,
x2 - y4
x2
x + 2
x3 - 8
# (x - 2)2
x2 + 4
6x3 - x2 - x
2x2 + x - 1
# x2 - 1
x3 - 2x2 + x
3x2 - x - 4
4x2 + 5x + 1
# 2x2 - 5x - 12
6x2 + x - 12
.08.97
.28.18
.48.38
.68.58
4r2 - r - 18
........
,
4r3 - 9r2
6r2 - 9r + 3
=
3(r - 1)
r2
x2 - 9
2x2 + 3x - 2
,
2x2 - 9x + 9
.........
=
x + 3
2x - 1
x2 - 4
(x + 2)2
# 2x2 + x - 6
........
=
x - 2
2x + 5
x2 - x - 12
x2 + 2x - 3
# ........ 
x2 - 2x - 8
= 1
...... 
6p2 + p - 15
=
2p - 1
2p - 3
y2 - y - 20
........
=
y + 4
y + 1
..... 
3x + 2
= x - 3
......... 
x2 + 2x - 15
=
1
x - 3
87. Área Considera el siguiente rectángulo. Su área es
y su longitud es Determina su ancho,
en términos de a y b, dividiendo su área entre su longitud.
w
2a 4b
2a + 4b.3a2 + 7ab + 2b2
89. Área Considera el siguiente triángulo. Si su área es
y su base es determina su altura h. 
h
a 3b
Utiliza la fórmula área =
1
2
 (base)(altura).
a + 3b,a2 + 4ab + 3b2
.29.19
.49.39
.69.59
x-3
(a - b)r ,
x-5
(a - b)r + 2
(x - p)n
x-2 ,
(x - p)2n
x-6
x2(3x - y) - 5x(3x - y) - 24(3x - y)
x2(3x - y) - 9x(3x - y) + 8(3x - y)
# x - 1
x + 3
5x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 2(x - 1)
10x2(x - 1) + 9x(x - 1) + 2(x - 1)
# 2x + 1
x + 3
( a2 - b2
2a2 - 3ab + b2
# 2a2 - 7ab + 3b2
a2 + ab ) ,
ab - 3b2
a2 + 2ab + b2( 2x2 - 3x - 14
2x2 - 9x + 7
,
6x2 + x - 15
3x2 + 2x - 5 ) # 6x2 - 7x - 3
2x2 - x - 3
88. Área Considera el siguiente rectángulo. Su área es
y su longitud es Determina su ancho,
en términos de a y b, dividiendo su área entre su longitud.
w
3a 3b
w,
3a + 3b.a2 + 2ab + b2
90. Área Considera el siguiente trapecio. Si su área es
determina su altura, h. Utiliza la fórmula 
h
b
a
área =
1
2
 h(a + b).
a2 + 2ab + b2,
w,
Problemas de desafío
Realiza cada operación indicada.
Resolución de problemas
Determina el polinomio que debe colocarse en el área sombreada para obtener una proposición verdadera.
 
Determina el polinomio que debe colocarse en el área sombreada para obtener una proposición verdadera.
 
	 Sección	6.1	Dominios	de	funciones	racionales	y	multiplicación	y	división	de	expresiones	racionales		 371
x -2 -1 0 1 1.9 1.99 2.01 2.1 3 4 5 6
y
x -10 -1 -0.5 -0.1 -0.01 0.01 0.1 0.5 1 10
y
c) Traza la gráfica de Considera qué le sucede 
a la función conforme x se aproxima a 0, tanto por el 
lado izquierdo como por el lado derecho.
d) ¿Esta gráfica puede tener un valor de 0? Explica tu 
respuesta.
f(x) =
1
x
.
104. Construye una expresión racional que esté indefinida en 
y Explica cómo determinaste tu respuesta.
105. Construye una expresión racional que esté indefinida en 
y Explica cómo determinaste tu respuesta.
106. Considera la función racional Explica por
qué esta función no puede ser igual a 0.
107. Considera la función racional Explica por qué esta 
función no puede ser igual a 0.
108. Considera la función ¿Paraqué valores de x,
si los hay, esta función a) es igual a 0, b) no está definida? 
Explica.
f(x) =
x - 2
x2 - 81
.
f(x) =
1
x
.
g(x) =
2
x + 3
.
x = -3.x = 2
x = -5.x = 4
109. Considera la función racional . ¿Para qué 
valores de x, o si los hay, esta función a) es igual a 0, b) 
no está definida? Explica.
f(x) =
x - 4
x2 - 36
.
f(x) =
x2 - 4
x - 2
. c) Comparen las respuestas del inciso b) y pónganse de 
acuerdo acerca de cuáles son los valores correctos 
de la tabla.
d) Tracen, en grupo, la gráfica de ¿La 
función está definida cuando ?
e) ¿Esta función puede tener algún valor de 0? Si es así, 
¿para qué valor o valores de a es ?f(a) = 0
x = 2
f(x) =
x2 - 4
x - 2
.
.89.79
99. 100. 101. 102.
103. Considera la función racional 
a) Determina el dominio de la función.
b) Completa la siguiente tabla para la función.
f(x) =
1
x
.
f(x) =
x - 2
x - 2
f(x) =
x2
x - 2
f(x) =
x
x - 2
f(x) =
1
x - 2
m2x - mx - 2
m2x - 4
x5y + 3x4y
3x3y + x4y
⎥ 2x - 4
12
⎥ = 5.
4 +
4x
3
6 6
116. Sea Determina 
118. Factoriza 9x2 + 6xy + y2 - 4.
2 x + 5y = -1
3 x + 4y = 2
f(1.3).f(x) = ƒ6 - 3x ƒ - 2.
Ejercicios de conceptos y escritura
 
 110. Proporciona una función que esté indefinida en x  4 y 
x  2, y tenga un valor de 0 en x = 5. Explica cómo determi-
naste tu respuesta.
 111. Proporciona una función que esté indefinida en x  3 y 
x  1, y tenga un valor de 0 en x = 2. Explica cómo deter-
minaste tu respuesta.
Actividad de grupo
 112. Consideren la función racional 
 a) Determina, en equipo, el dominio de esta función.
 b) De manera individual cada miembro del grupo comple-
te la siguiente tabla para la función.
Ejercicios de repaso acumulados
[2.2] 113. Despeja y de 6(x  2) + 6y = 12x. 
[2.5] 114. Resuelve y da la respuesta en notación 
de intervalo. 
[2.6] 115. Resuelve 
[3.2] 
[4.1] 117. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
 
 
[5.6]
Simplifica.
 
 Para los ejercicios 99-102,
 a) determina el dominio de la función.
 b) traza la gráfica de la función en modo de conexión.
 
372	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
6.2 Suma y resta de expresiones racionales 
	 1 	 Sumar	y	restar	expresiones	
con	un	denominador	
común.
	2 	 Determinar	el	mínimo	
común	denominador	
(MCD).
	3 	 Sumar	y	restar	expresiones	
sin	denominadores	
comunes.
	4 	 Analizar	una	aplicación	de	
expresiones	racionales.
	1 	Sumar	y	restar	expresiones	con	un	denominador	común
Al sumar o restar dos expresiones racionales con un denominador común, sumamos o 
restamos los numeradores mientras conservamos el denominador común.
Para sumar o restar expresiones racionales 
Para sumar o restar expresiones racionales, utiliza las siguientes reglas.
Para sumar o restar expresiones racionales con un denominador común:
 1. Suma o resta las expresiones, tal como indican las reglas anteriores.
 2. Si es posible, simplifica las expresiones.
SUMA RESTA
EJEMPLO 1 Suma.
 
Solución   
 a) Como los denominadores son iguales, sumamos los numeradores y conservamos 
el denominador común.
 Suma numeradores.
 
	 Suma numeradores.
 Reduce términos semejantes.
 
Factoriza; divide entre 
los factores comunes.
 
Resuelve ahora el ejercicio 11
a
c
-
b
c
=
a - b
c
, c Z 0
a
c
+
b
c
=
a + b
c
, c Z 0
b)
b)
 =
x + 2
x - 3
 =
 (x + 5) (x + 2)
 (x + 5) (x - 3)
 =
x2 + 7x + 10
(x + 5)(x - 3)
 
x2 + 3x - 2
(x + 5)(x - 3)
+
4x + 12
(x + 5)(x - 3)
=
x2 + 3x - 2 + (4x + 12)
(x + 5)(x - 3)
 =
x - 1
x + 6
 
3
x + 6
+
x - 4
x + 6
=
3 + (x - 4)
x + 6
x2 + 3x - 2
(x + 5)(x - 3)
+
4x + 12
(x + 5)(x - 3)
a)
3
x + 6
+
x - 4
x + 6
	 Sección	6.2	Suma	y	resta	de	expresiones	racionales		 373
84 = 2 # 2 # 2 # 2 # 3 = 24 # 3
63 = 2 # 2 # 3 # 3 = 22 # 32
 = -(a + 1) o -a - 1
 =
- (a - 6) (a + 1)
 a - 6 
 =
-(a2 - 5a - 6)
a - 6
 =
-a2 + 5a + 6
a - 6
 =
a - a2 + 4a + 6
a - 6
 
a
a - 6
-
a2 - 4a - 6
a - 6
=
a - (a2 - 4a - 6)
a - 6
a
a - 6
-
a2 - 4a - 6
a - 6
.
4x
x - 2
-
2x + 1
x - 2
 =
2x + 1
x - 2
 
4x
x - 2
-
2x + 1
x - 2
=
4x - 2x + 1
x - 2
 =
2x - 1
x - 2
 =
4x - 2x - 1
x - 2
 
4x
x - 2
-
2x + 1
x - 2
=
4x - (2x + 1)
x - 2
Para determinar el mínimo común denominador (MCD) de expresiones racionales
 1. Escribe como producto de números primos cada coeficiente no primo (distinto de 1) de 
los monomios del denominador.
 2. Factoriza por completo cada denominador. Cualquier factor que aparezca más de una vez 
debe expresarse como potencia. Por ejemplo, (x  5)(x  5) debe expresarse como (x  5)2. 
 3. Lista todos los factores diferentes (distintos de 1) que aparezcan en cualquiera de 
los denominadores. Cuando el mismo factor aparezca en más de un denominador, 
escribe el factor con la mayor potencia.
 4. El mínimo común denominador es el producto de todos los factores encontrados en 
el paso 3.
EJEMPLO 2 Resta 
Solución    Resta numeradores.
 Propiedad distributiva.
 Reduce términos 
semejantes.
 Factoriza 1 
 
Factoriza, divide entre 
los factores comunes. 
 
Resuelve ahora el ejercicio 13
2 	Determinar	el	mínimo	común	denominador	(MCD)
Para sumar o restar dos fracciones numéricas con denominadores distintos, primero de-
bemos obtener el mínimo común denominador (MCD). Para obtener el MCD, muchas 
veces es necesario escribir los valores numéricos como productos de números primos. Por 
ejemplo, los números 36 y 48 se pueden escribir como
Podríamos necesitar escribir coeficientes numéricos como productos de números primos para 
encontrar el MCD.
Prevención de errores comunes
¿Cómo simplificarías este problema?
CORRECTO INCORRECTO
El procedimiento del lado derecho es incorrecto, ya que hay que restar todo el numera-
dor, 2x  1, de 4x, y no solo 2x. Observa que debes cambiar el signo de cada término del 
numerador de la fracción restada (no solo el signo del primer término). Observa que, de 
acuerdo con la propiedad distributiva, (2x  1) = 2x  1. 
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	se	restan	expresiones	
racionales,	asegúrate	de	restar	
el	numerador	completo	de	la	
fracción	a	ser	restada.	Como	
se	ve	en	el	ejemplo	2,	la	
propiedad	distributiva	se	usa	
para	cambiar	el	signo	de	cada	
término	que	se	resta.
Comprendiendo 
el álgebra
Un	número	primo	es	un	
número	natural	mayor	que	1	
y	que	solo	tiene	2	divisores,	él	
mismo	y	1.	Los	primeros	10	
números	primos	son	2,	3,	5,	
7,	11,	13,	17,	19,	23,	y	29.
374	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
a) b) c) d)
)b)a
MCD = (x + 3)(x - 4)(x - 3)
4x
x2 - x - 12
-
6x2
x2 - 7x + 12
=
4x
(x + 3)(x - 4)
-
6x2
(x - 3)(x - 4)
MCD = 2 # x # (x - 2)2 = 2x(x - 2)2
3
2x2 - 4x
+
8x
x2 - 4x + 4
=
3
2x(x - 2)
+
8x
(x - 2)2
4x
x2 - x - 12
-
6x2
x2 - 7x + 12
3
2x2 - 4x
+
8x
x2 - 4x + 4
MCD = x2(x + 1)3
MCD = x(x + 5)
Mayor potencia de y
Mayor potencia de xMayor potencia de 3
Mayor potencia de 2
MCD=21 33 x3 y3=54x3y3
Mayor potencia de xMayor potencia de 5
MCD=51 x2=5x2
7
x2(x + 1)
+
3z
x(x + 1)3
3
x
-
2y
x + 5
1
18x3
 y
+
5
27x2
 y3
3
5x
-
2
x2
EJEMPLO 3 Determina el MCD de cada expresión.
 
Solución   
 a) Los factores que aparecen en los denominadores son 5 y x. Escribe cada factor 
con su máxima potencia. El MCD es el producto de estos factores.
 b) Los coeficientes numéricos escritos como productos de números primos son 18 = 
2 • 32 y 27 = 33. Los factores variables que aparecen son x y y. Utilizamos las máxi-
mas potencias de los factores para obtener el MCD.
 c) Los factores son x y x + 5. Observa que la x del segundo denominador, x + 5, no 
es un factor del denominador, ya que la operación es una suma y no una multi-
plicación.
 d) Los factores son x y x + 1. La mayor potencia de x es 2 y la mayor potencia de x 
+ 1 es 3.
Resuelve ahora el ejercicio 31
En ocasiones es necesario factorizar todos los denominadores para obtener el MCD. 
Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 4 Determina el MCD de cada expresión.
 
Solucióna) Factoriza ambos denominadores.
Los factores son 2, x y x ] 2. Multiplica los factores elevados a la mayor potencia 
que aparezca para cada uno.
 b) Factoriza ambos denominadores.
Observa que aunque x  4 es un factor común a cada denominador, la máxima 
potencia de ese factor que aparece en cada denominador es 1.
Resuelve ahora el ejercicio 29