Espejos Esféricos: Teoria e Exercícios

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ACADEMIA ALCOVER. PALMA DE MALLORCA 
 
CARLOS ALCOVER GARAU. LICENCIADO EN CIENCIAS QUÍMICAS (U.I.B.) Y DIPLOMADO EN TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS (I.A.T.A.). 
 
 
1 
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ESPEJOS ESFÉRICOS. 
 
 Formulario. 
 
 
1
s
+
1
s'
=
2
𝐑
=
1
f '
 
{
 
 
 
 
𝐬 es la distancia del objeto al espejo. La tomamos siempre negativa.
𝐬′es la distancia de la imagen al espejo {
si es + la imagen es virtual
si es − la imagen es real
R es el radio del espejo 
𝐟′𝐲 𝐟 son las distancias focales. f = f ′ {
Espejos concavos → f′ < 0
Espejos convexos → f′ > 0
 
 
 
 
𝛃 =
𝐲′
𝐲
= −
𝐬′
𝐬
 
{
 
 
 
 
 
 
𝐲 es le tamaño del objeto. Lo tomamos positivo.
𝐲′es el tamaño de la imagen {
y′ > 0 → imagen derecha
y′ < 0 → imagen invertida
𝛃 es el aumento lateral {
|β| > 1 → imagen mayor
|β| < 1 → imagen menor
β > 0 → imagen derecha
β < 0 → imagen invertida
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ACADEMIA ALCOVER. PALMA DE MALLORCA 
 
CARLOS ALCOVER GARAU. LICENCIADO EN CIENCIAS QUÍMICAS (U.I.B.) Y DIPLOMADO EN TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS (I.A.T.A.). 
 
 
2 Esquemas. 
 
 
→ El rayo paralelo al eje se desvía 
hacia f’ 
→ El rayo que pasa por el foco se 
desvía paralelo al eje. 
→ El rayo que da en el origen se refleja 
con el mismo ángulo. 
→ El rayo que pasa por el centro no se 
desvía. 
 
Espejo cóncavo. f’ < 0 
Objeto más allá del centro. 
Imagen {
𝐑𝐞𝐚𝐥.
𝐈𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐝𝐚.
𝐌𝐞𝐧𝐨𝐫
 
Espejo cóncavo. f’ < 0 
Objeto sobre el centro. 
Imagen {
𝐑𝐞𝐚𝐥.
𝐈𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐝𝐚.
𝐈𝐠𝐮𝐚𝐥
 
 
 
Espejo cóncavo. f’ < 0 
Objeto entre C y f’. 
Imagen {
𝐑𝐞𝐚𝐥.
𝐈𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐝𝐚.
𝐌𝐚𝐲𝐨𝐫
 
Espejo cóncavo. f’ < 0 
Objeto entre f’ y espejo. 
Imagen {
𝐕𝐢𝐫𝐭𝐮𝐚𝐥.
𝐃𝐞𝐫𝐞𝐜𝐡𝐚.
𝐌𝐚𝐲𝐨𝐫
 
F’ 
C 
F’ 
C 
F’ 
C 
F’ 
C 
F
’ C 
 
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3 
 
Espejo convexo. f’ > 0 
No depende de la posición del objeto. 
Imagen {
𝐕𝐢𝐫𝐭𝐮𝐚𝐥.
𝐃𝐞𝐫𝐞𝐜𝐡𝐚.
𝐌𝐞𝐧𝐨𝐫
 
 
 
 Ejercicios resueltos. 
 
1. En un parque de atracciones se desea instalar un espejo esférico tal que, cuando una persona se 
coloca a 2m. de él, se vea con una altura que sea cuatro veces su estatura. Establece el tipo de espejo y 
su radio. 
 
Para que la imagen sea mayor debe ser un espejo cóncavo. 
S = − 2m.
β = 4
} β = −
s′
s
→ s′ = −s. β = 8 m. 
1
-2
+
1
8
=
2
r
 → 𝐫 = −
16
3
 m. 
r < 0 → confirma espejo cóncavo. 
 
2. Dado un espejo que forma una imagen real, invertida y de medida doble de un objeto situado a 20cm. 
del espejo. Calcula la posición de la imagen. 
 
s = −20 cm.
β = −2
Real → concavo.
} β = −
s′
s
→ s′ = −s. β = − 40 cm. 
1
-20
+
1
-40
=
2
r
→ 𝐫 = −26′67 cm. 
r<0 → confirma espejo cóncavo. 
 
3. Indica qué tipos de espejos y en qué condiciones producen una imagen virtual. 
Justificarlo mediante gráficos. 
 
Espejo cóncavo. f’ < 0 
Objeto entre f y espejo. 
Espejo convexo. f’ > 0 
No depende de la posición del objeto. 
F C 
F’ 
C 
F C 
 
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4 Imagen {
𝐕𝐢𝐫𝐭𝐮𝐚𝐥.
𝐃𝐞𝐫𝐞𝐜𝐡𝐚.
𝐌𝐚𝐲𝐨𝐫
 Imagen {
𝐕𝐢𝐫𝐭𝐮𝐚𝐥.
𝐃𝐞𝐫𝐞𝐜𝐡𝐚.
𝐌𝐞𝐧𝐨𝐫
 
 
4. Delante de un espejo esférico convexo de 50 cm. de radio de curvatura se sitúa un objeto de 4 cm de 
altura, perpendicularmente al eje óptico del espejo y a 75 cm. de distancia de su vértice. Calcular: 
a.- La distancia focal del espejo. 
b.- La posición de la imagen. 
c.- El tamaño de la imagen. 
 
a. f’= R/2 = 25 cm. 
 b. s′ = 
s. f ′
s − f ′
= 18′75cm. 
 c. y′ = −y
s′
s
= 1cm 
 
5. Dado un espejo que forma una imagen real, invertida y de doble tamaño que los objetos situados a 20 
cm: 
 a. Determine el radio de curvatura del espejo; 
 b. Determine la posición de la imagen; 
 c. Dibuje un esquema que muestre el progreso de los rayos. 
 
 a,b. 
Real → concavo
β = −2
s = −20 cm.
} β = −
s′
s
→ s′ = −40 cm.→
1
−40
+
1
−20
=
2
R
→ R = −26′67cm. 
 c. 
 
 
6. Un espejo esférico, que actúa como retrovisor de un coche estacionado, proporciona una imagen 
virtual de un vehículo que se aproxima a velocidad constante. El tamaño de esta imagen es 1/10 del 
tamaño real del vehículo cuando se encuentra en 8 m del espejo. 
a. ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo? 
b. ¿A qué distancia del espejo está la imagen correspondiente? 
c. Si un segundo después la imagen observada en el espejo se duplica, ¿se podría decir con que 
velocidad se aproxima el vehículo? 
 
F’ 
C 
 
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5 
a.) 
 
y′ =
1
10
. y
s = −8 m
} 
y′
y
= −
s′
s
→ s′ = 0′8 m.
1
s′
+
1
s
=
2
R
→ R =
16
9
 m. 
b) s’ = 0’8 m. 
c) 
y′ =
1
5
. y
R =
16
9
m
}
{
 
 
y′
y
= −
s′
s
1
s′
+
1
s
=
2
R
 → s =
−32
9
. 
Estaba a s = - 8 m. y al cabo de un segundo está a s = - 32/9 m su velocidad 
es 4’44 m/s. 
 
7. Decir si es cierto o no que un espejo esférico convexo no puede dar imágenes de mayor tamaño que 
los objetos correspondientes. Razonar la respuesta. 
 
 
Espejo convexo. f’ > 0 
No depende de la posición del objeto. 
Imagen {
𝐕𝐢𝐫𝐭𝐮𝐚𝐥.
𝐃𝐞𝐫𝐞𝐜𝐡𝐚.
𝐌𝐞𝐧𝐨𝐫
 
 
 
8. a. Delante de que espejo esférico (cóncavo o convexo) debemos poner un objeto, y cómo, para 
que su imagen sea real. Razonen la respuesta. 
 b. Dibuje un diagrama de rayos y haga los cálculos apropiados en caso de que el objeto y la 
imagen (real) estén a la misma distancia del espejo. Tome como el módulo del radio de curvatura del 
espejo 1m (el signo depende si usted ha elegido el espejo cóncavo o convexo). 
 c. ¿Cuál es el aumento en el caso anterior? -1 
 
 a) Solo dan imágenes reales los espejos cóncavos. 
 b) 
F C 
 
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La imagen es REAL, INVERTIDA y del MISMO TAMAÑO. 
 En este caso: s = 2. f ′ → s′ = 
s. f ′
s − f ′
= 
2. f ′. f ′
2. f ′ − f ′
= 2. f ′ = s. 
La imagen está a la misma distancia de la lente que el objeto. 
β = −
s′
s
= −1 → Imagen invertida y del mismo tamaño 
 
9. ¿Cuál es la focal de un espejo esférico de radio r? Comentar las ventajas de un espejo parabólico 
sobre uno esférico. 
 
En los espejos esféricos, la distancia focal objeto es igual al a distancia focal imagen, y, 
por tanto, solo se considera una distancia focal que es igual a la mitad del radio de 
curvatura del espejo. 
Un espejo parabólico tiene la particularidad de que todos los rayos que llegan paralelos 
al eje óptico se reflejan pasando por el foco. Esta característica se aprovecha por 
ejemplo en la construcción de antenas parabólicas, hornos solares, etc. 
De la misma manera todos los rayos que pasen por el foco se reflejan en el espejo 
saliendo paralelos al eje. Podemos observar esta propiedad al observar los faros de un 
coche, en ellos la lámpara se coloca en el foco de manera que al salir los rayos de luz 
paralelos al eje la luz se concentra en la dirección de la carretera. 
Este comportamiento lo presentan sólo los espejos parabólicos, aunque también puede 
considerarse que se comportan así los espejos esféricos cuando corresponden a una 
pequeña sección de esfera. De hecho, a lo largo de la historia la gran mayoría de los 
espejos construidos han sido esféricos, porque resultan mucho más fáciles de construir. 
 
10. Un espejo cóncavo esféricotiene un radio de curvatura de 40 cm. A 100 cm. frente al espejo, 
colocamos un objeto 10 cm en altura. 
a. Determine la posición de la imagen de este objeto. Diga si la imagen es real o virtual. 
b) Determinar la altura de la imagen y decir si es directa o invertida. 
c) hacer un diagrama de rayos que represente la situación descrita. 
 
 a) 
R = −40 cm.
s = −100 m.
y = 10 cm.
} 
1
s′
+
1
s
=
2
R
→ s′ = −25 cm.→ imagen real. 
 b) 
F
’ C 
 
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7 
y′
y
= −
s′
s
→ y′ = −2′5 cm. 
 c) 
 
 
 
11. Queremos ver una imagen de nuestra cara para afeitarnos o maquillarnos. La imagen debe ser 
derecha, virtual y ampliada 1,5 veces. Si colocamos la cara 25 cm del espejo. 
a. ¿Qué tipo de espejo utilizaremos? 
b. ¿Cuál debe ser su distancia focal? 
c. Si queremos que el aumento sea dos veces, con este espejo, ¿dónde debemos colocar la 
cara? 
 
 a) Virtual, derecha y mayor significa que el espejo es cóncavo. 
 b) 
β = 1′5
s = −25 cm.
} β = −
s′
s
→ s′ = 37′5 cm.
1
s′
+
1
s
=
1
f′
→ f ′ = −75 cm. 
 c) 
β = 2
f ′ = −75 cm.
}{
β = −
s′
s
1
s′
+
1
s
=
1
f′
→ s = −37′5 cm. 
 
12. Considere un espejo cóncavo esférico de 1 m de radio. Para este espejo determinar: 
a. Posiciones en el eje óptico principal donde tenemos que colocar un objeto para que su 
imagen sea la derecha. 
b. Posiciones en el eje óptico principal donde tenemos que colocar un objeto para que su 
imagen sea real. 
c) La posición del objeto si su imagen es real y el aumento lateral val –1. 
 
a) 
 
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Espejo cóncavo. f’ < 0 
Objeto entre f y espejo. 
Imagen {
𝐕𝐢𝐫𝐭𝐮𝐚𝐥.
𝐃𝐞𝐫𝐞𝐜𝐡𝐚.
𝐌𝐚𝐲𝐨𝐫
 
 
b) La imagen será real cuando el objeto esté en cualquier posición a la izquierda 
del foco. 
c) El objeto se halla sobre el centro de curvatura. 
 
Espejo cóncavo. f’ < 0 
Objeto sobre el centro. 
Imagen {
𝐑𝐞𝐚𝐥.
𝐈𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐝𝐚.
𝐈𝐠𝐮𝐚𝐥
 
 
13. Un espejo esférico forma una imagen virtual, derecha y de tamaño el doble que el objeto cuando está 
en el eje óptico 20 cm del espejo. 
a. Calcule la posición de la imagen. 
b. Calcular el radio de curvatura del espejo e indicar si es cóncavo o convexo. 
c. Hacer un diagrama de rayos que represente la situación descrita. 
 
a) 
s = − 20 cm.
β = 2
} β = −
s′
s
→ s′ = 40 cm. 
b) 
1
s′
+
1
s
=
2
R
→
1
40
+
1
−20
=
2
R
→ R = −80 cm.< 0 → convergente. 
 c) 
F
’ C 
F’ 
C 
 
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14. Un objeto de 6 cm. se coloca delante de un espejo cóncavo de 60 cm de radio. Determine la posición 
y el tamaño de la imagen en los siguientes casos: 
a. Cuando el objeto está a 40 cm. del vértice del espejo. 
b. Cuando el objeto está a 20 cm. del vértice del espejo. 
c. Indicar en cada caso si la imagen es real o virtual y si es observable a simple vista. 
 
 a) 
y = 6 cm.
R = −60 cm.
s = −40 cm.
} →
{
 
 
1
s′
+
1
s
=
2
R
→
1
s′
+
1
−40
=
2
−60
→ s′ = −120 cm
y′
y
= −
s′
s
→ y′ = −18 cm.
→ {
Real
Invertida
Mayor
 
 b) 
y = 6 cm.
R = −60 cm.
s = −20 cm.
} →
{
 
 
1
s′
+
1
s
=
2
R
→
1
s′
+
1
−20
=
2
−60
→ s′ = 60 cm
y′
y
= −
s′
s
→ y′ = 18 cm.
→ {
Virtual
Derecha
Mayor
 
 
En el caso a) es real y se puede plasmar en una pantalla, pero no observar a simple vista. 
En el b), la imagen es virtual, la vemos a simple vista, situando el ojo en la trayectoria 
de los rayos, pero no se puede recoger en una pantalla. 
 
15. Un espejo cóncavo esférico tiene un radio de curvatura de 60 cm. A 100 cm. delante de un espejo se 
coloca un objeto de 10 cm. de altura. 
a. Determine la posición de la imagen de este objeto. Diga si la imagen es real o virtual. 
b. Determinar la altura de la imagen y decir si es derecha o invertida. 
c. Hacer un diagrama de rayos que represente la situación descrita en la cual también 
aparezca la imagen. 
 
 a,b. 
y = 10 cm.
R = −60 cm.
s = −100 cm.
} →
{
 
 
1
s′
+
1
s
=
2
R
→
1
s′
+
1
−100
=
2
−60
→ s′ = −42′86cm
y′
y
= −
s′
s
→ y′ = −7′14 cm.
→ {
Real
Invertida
Menor
 
 c. 
 
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10 
 
 
 
Espejo cóncavo. f’ < 0 
Objeto sobre el centro. 
Imagen {
𝐑𝐞𝐚𝐥.
𝐈𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐝𝐚.
𝐈𝐠𝐮𝐚𝐥