azar-foils

Vista previa del material en texto

El azar y sus modelos
Rolando Rebolledo
Plan
1. Los nombres del azar.
2. La larga historia del azar.
3. La determinación múltiple de los fenómenos naturales.
4. Interdependencia e interacción.
5. Las leyes del azar.
6. El papel de las probabilidades.
7. Del debate filosófico.
Los nombres del azar
• De su etimoloǵıa en Español
zahr (flor) −→ az-zahr (juego de dados) −→ azar (juego de dados,
España 1283)
Los nombres del azar
• De su etimoloǵıa en Español
zahr (flor) −→ az-zahr (juego de dados) −→ azar (juego de dados,
España 1283)
• Un sinónimo importante
alea −→ aleatorio (la suerte, también asociado con el juego de dados)
Los nombres del azar
• De su etimoloǵıa en Español
zahr (flor) −→ az-zahr (juego de dados) −→ azar (juego de dados,
España 1283)
• Un sinónimo importante
alea −→ aleatorio (la suerte, también asociado con el juego de dados)
• Otro sinónimo de importancia
stokhos (objetivo, blanco en el juego de los dardos) −→ stokhastikos
(que apunta bien, hábil para conjeturar) −→ estocástico (adjetivo puesto
en uso en Matemáticas en 1953)
La larga historia del azar
Algunos hitos:
• Carneades
La larga historia del azar
Algunos hitos:
• Carneades
Ya en la antigüedad griega hay antecedentes sobre la aparición de una
escuela llamada “probabilista”. Se trata de un momento del desarrollo
de la Academia, dirigida en el siglo II A.C. por un sucesor de Platón, su
disćıpulo Carneades.
Carneades buscaba un criterio para decidir sobre opiniones inciertas. Es
decir, él distingúıa el valor objetivo de la opinión (todas las opiniones
son inciertas), del valor subjetivo de la misma que mide la seguridad del
sujeto acerca de su veracidad.
Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una
medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que vaŕıa
entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1
1Lo probable parece menos seguro que lo probado, a pesar que las dos palabras tienen la misma
etimoloǵıa.
Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una
medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que vaŕıa
entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1
• Pascal y la noción de sistema Pascal plantea el problema de la
enumeración y da nacimiento al cálculo combinatorio, acuñando para
ello la noción de sistema.
Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una
medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que vaŕıa
entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1
• Pascal y la noción de sistema Pascal plantea el problema de la
enumeración y da nacimiento al cálculo combinatorio, acuñando para
ello la noción de sistema.
• Leibniz, Newton y el cálculo.
Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una
medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que vaŕıa
entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1
• Pascal y la noción de sistema Pascal plantea el problema de la
enumeración y da nacimiento al cálculo combinatorio, acuñando para
ello la noción de sistema.
• Leibniz, Newton y el cálculo.
• Bernoulli, Poisson
Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una
medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que vaŕıa
entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1
• Pascal y la noción de sistema Pascal plantea el problema de la
enumeración y da nacimiento al cálculo combinatorio, acuñando para
ello la noción de sistema.
• Leibniz, Newton y el cálculo.
• Bernoulli, Poisson
• Laplace y Gauss
Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una
medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que vaŕıa
entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1
• Pascal y la noción de sistema Pascal plantea el problema de la
enumeración y da nacimiento al cálculo combinatorio, acuñando para
ello la noción de sistema.
• Leibniz, Newton y el cálculo.
• Bernoulli, Poisson
• Laplace y Gauss
• Brown y la primera paradoja de la Mecánica Clásica
• Boltzmann y la Teoŕıa Cinético-Molecular de la materia
• Boltzmann y la Teoŕıa Cinético-Molecular de la materia
• Markov y la noción de proceso
• Boltzmann y la Teoŕıa Cinético-Molecular de la materia
• Markov y la noción de proceso
• La Teoŕıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov
• Boltzmann y la Teoŕıa Cinético-Molecular de la materia
• Markov y la noción de proceso
• La Teoŕıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov
• Discusiones sobre los fundamentos de la Teoŕıa de Probabilidades: De
Finetti, von Mises, los modelos lógicos.
• Boltzmann y la Teoŕıa Cinético-Molecular de la materia
• Markov y la noción de proceso
• La Teoŕıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov
• Discusiones sobre los fundamentos de la Teoŕıa de Probabilidades: De
Finetti, von Mises, los modelos lógicos.
• Norbert Wiener, Paul Lévy y la construcción de un modelo matemático
para el movimiento Browniano.
• Boltzmann y la Teoŕıa Cinético-Molecular de la materia
• Markov y la noción de proceso
• La Teoŕıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov
• Discusiones sobre los fundamentos de la Teoŕıa de Probabilidades: De
Finetti, von Mises, los modelos lógicos.
• Norbert Wiener, Paul Lévy y la construcción de un modelo matemático
para el movimiento Browniano.
• von Neumann y la Mecánica Cuántica.
• Boltzmann y la Teoŕıa Cinético-Molecular de la materia
• Markov y la noción de proceso
• La Teoŕıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov
• Discusiones sobre los fundamentos de la Teoŕıa de Probabilidades: De
Finetti, von Mises, los modelos lógicos.
• Norbert Wiener, Paul Lévy y la construcción de un modelo matemático
para el movimiento Browniano.
• von Neumann y la Mecánica Cuántica.
• Kiyosi Itô y las ecuaciones diferenciales estocásticas
• Boltzmann y la Teoŕıa Cinético-Molecular de la materia
• Markov y la noción de proceso
• La Teoŕıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov
• Discusiones sobre los fundamentos de la Teoŕıa de Probabilidades: De
Finetti, von Mises, los modelos lógicos.
• Norbert Wiener, Paul Lévy y la construcción de un modelo matemático
para el movimiento Browniano.
• von Neumann y la Mecánica Cuántica.
• Kiyosi Itô y las ecuaciones diferenciales estocásticas
• La Teoŕıa de Capacidades.
• Boltzmann y la Teoŕıa Cinético-Molecular de la materia
• Markov y la noción de proceso
• La Teoŕıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov
• Discusiones sobre los fundamentos de la Teoŕıa de Probabilidades: De
Finetti, von Mises, los modelos lógicos.
• Norbert Wiener, Paul Lévy y la construcción de un modelo matemático
para el movimiento Browniano.
• von Neumann y la Mecánica Cuántica.
• Kiyosi Itô y las ecuaciones diferenciales estocásticas
• La Teoŕıa de Capacidades.
• El desarrollo de la Teoŕıa de Procesos Estocásticos (Escuela de
Strasbourg).
• La Teoŕıa de Capacidades.
• El desarrollo de la Teoŕıa de Procesos Estocásticos (Escuela de
Strasbourg).
• Nacimiento del Análisis Estocástico
• La Teoŕıa de Capacidades.
• El desarrollo de la Teoŕıa de Procesos Estocásticos (Escuela de
Strasbourg).
• Nacimiento del Análisis Estocástico
• Las teoŕıas no conmutativas (Probabilidades Cuánticas).
• La Teoŕıa de Capacidades.
• El desarrollo de la Teoŕıa de Procesos Estocásticos (Escuela de
Strasbourg).
• Nacimiento del Análisis Estocástico
• Las teoŕıas no conmutativas (Probabilidades Cuánticas).
• Los sistemas cuánticos abiertos. Semigrupos Markovianos Cuánticos.
La múltiple determinación de los fenómenos naturales
La múltiple determinación de los fenómenos naturales
El uso más familiar del término azar se refiere a la ocurrencia de un suceso
inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre
las condiciones determinantes de su ocurrencia.La múltiple determinación de los fenómenos naturales
El uso más familiar del término azar se refiere a la ocurrencia de un suceso
inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre
las condiciones determinantes de su ocurrencia.
De manera un poco más flexible, se puede también aplicar la denominación
a un hecho que aparece en la intersección de dos cadenas causales
independientes.
La múltiple determinación de los fenómenos naturales
El uso más familiar del término azar se refiere a la ocurrencia de un suceso
inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre
las condiciones determinantes de su ocurrencia.
De manera un poco más flexible, se puede también aplicar la denominación
a un hecho que aparece en la intersección de dos cadenas causales
independientes.
Aśı, podemos relativizar el concepto: un suceso es un hecho de azar o
contingente relativamente a un contexto dado de investigación, si el
enunciado que afirma su aparición no deriva de ningún otro.
La múltiple determinación de los fenómenos naturales
El uso más familiar del término azar se refiere a la ocurrencia de un suceso
inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre
las condiciones determinantes de su ocurrencia.
De manera un poco más flexible, se puede también aplicar la denominación
a un hecho que aparece en la intersección de dos cadenas causales
independientes.
Aśı, podemos relativizar el concepto: un suceso es un hecho de azar o
contingente relativamente a un contexto dado de investigación, si el
enunciado que afirma su aparición no deriva de ningún otro.
Todas estas acepciones ya estaban presentes a principios del siglo XX
cuando Poincaré expresaba en Ciencia y Método la idea de una causalidad
probabilitaria. Según él, la noción de azar no es tanto debida a nuestra
ignorancia, sino que más bien a una falta de apoyo emṕırico o experimental
que permita abarcar una multiplicidad de causas y efectos posibles.
probabilitaria. Según él, la noción de azar no es tanto debida a nuestra
ignorancia, sino que más bien a una falta de apoyo emṕırico o experimental
que permita abarcar una multiplicidad de causas y efectos posibles.
Es decir, los fenómenos naturales gozan de una determinación múltiple que
extiende la relación causa-efecto expresada, por ejemplo, en la Mecánica
Newtoniana.
Interdependencia e interacción
Pero además, de la propia unidad de la Naturaleza, se desprende que cada
parte depende del todo y las partes interactúan entre śı. La
interdependencia y la conexión universal dan su base natural al azar.
Interdependencia e interacción
Pero además, de la propia unidad de la Naturaleza, se desprende que cada
parte depende del todo y las partes interactúan entre śı. La
interdependencia y la conexión universal dan su base natural al azar.
Este aparece entonces como una construcción cultural continua que
evoluciona junto con el conocimiento que el hombre desarrolla de la
Naturaleza, y en relación con ella. En esta construcción, las Matemáticas y
el conjunto de las ciencias juegan un rol preponderante. El azar expresa la
interdependencia y la interacción de los fenómenos naturales entre śı y
como tal involucra los objetos de estudio de las diferentes ciencias.
Las leyes del azar
Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes:
Las leyes del azar
Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes:
1. La Ley de los Grandes Números
• Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un ĺımite (la
probabilidad de un determinado suceso).
• Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matemática.
• Ĺımite hidrodinámico.
• Ĺımite ergódico.
Las leyes del azar
Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes:
1. La Ley de los Grandes Números
• Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un ĺımite (la
probabilidad de un determinado suceso).
• Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matemática.
• Ĺımite hidrodinámico.
• Ĺımite ergódico.
2. Las leyes sobre las fluctuaciones
Las leyes del azar
Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes:
1. La Ley de los Grandes Números
• Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un ĺımite (la
probabilidad de un determinado suceso).
• Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matemática.
• Ĺımite hidrodinámico.
• Ĺımite ergódico.
2. Las leyes sobre las fluctuaciones
(a) Comportamiento de las pequeñas fluctuaciones (Teorema del Ĺımite
Central).
• De Moivre-Laplace.
• Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal.
• Convergencia hacia el Movimiento Browniano.
• Convergencia hacia la ley del semićırculo (ley de Wigner)
• De Moivre-Laplace.
• Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal.
• Convergencia hacia el Movimiento Browniano.
• Convergencia hacia la ley del semićırculo (ley de Wigner)
(b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los Grandes
Desv́ıos).
• Chernof.
• Información (Entroṕıa).
• De Moivre-Laplace.
• Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal.
• Convergencia hacia el Movimiento Browniano.
• Convergencia hacia la ley del semićırculo (ley de Wigner)
(b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los Grandes
Desv́ıos).
• Chernof.
• Información (Entroṕıa).
3. Ley del aumento de la complejidad en el curso de una evolución
• Entroṕıa. Convergencia hacia el equilibrio.
• Propagación del caos (Boltzmann y los modelos cinéticos).
• De Moivre-Laplace.
• Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal.
• Convergencia hacia el Movimiento Browniano.
• Convergencia hacia la ley del semićırculo (ley de Wigner)
(b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los Grandes
Desv́ıos).
• Chernof.
• Información (Entroṕıa).
3. Ley del aumento de la complejidad en el curso de una evolución
• Entroṕıa. Convergencia hacia el equilibrio.
• Propagación del caos (Boltzmann y los modelos cinéticos).
4. El Principio de Incertidumbre.
El papel de las probabilidades
¿Tiene vigencia el debate filosófico entre las escuelas frecuentistas y
subjetivistas hoy en d́ıa?
El papel de las probabilidades
¿Tiene vigencia el debate filosófico entre las escuelas frecuentistas y
subjetivistas hoy en d́ıa?
Si la Teoŕıa de Probabilidades se interpreta como la modelación
matemática del azar, ella está en evolución constante y toda nueva versión
debe dar cuenta del conocimiento acumulado por la humanidad sobre los
fenómenos del azar en su época.
La noción de probabilidad está subordinada a una determinada
aproximación a los fenómenos del azar.
El papel de las probabilidades
¿Tiene vigencia el debate filosófico entre las escuelas frecuentistas y
subjetivistas hoy en d́ıa?
Si la Teoŕıa de Probabilidades se interpreta como la modelación
matemática del azar, ella está en evolución constante y toda nueva versión
debe dar cuenta del conocimiento acumulado por la humanidad sobre los
fenómenos del azar en su época.
La noción de probabilidad está subordinada a una determinada
aproximación a los fenómenos del azar.
Durante el siglo XX se comenzó por elaborar una primera teoŕıa basada en
el concepto matemático de medida. La contribución fundacional de
Kolmogorov a este respecto permitió dar expresión matemática al menos a
las tres primeras leyes del azar en diferentes contextos. Pero esta teoŕıa se
reveló insuficiente para dar cuenta del principio de incertidumbre y tratar
adecuadamente la F́ısica Cuántica. En la actualidad existen diversas
extensiones no conmutativas del modelo de Kolmogorov que permiten dar
cuenta de la totalidad de las leyes del azar discutidas anteriormente.
Modelos algebraicos de probabilidades
Sea A un álgebra (espacio vectorial sobre el cuerpo de los números
complejos, dotado de un producto) provista de una operación involutiva ∗
y una unidad 1.
Un estado ϕ sobre A es una aplicación linealϕ : A → C tal que
ϕ(a∗a) ≥ 0 para todo a ∈ A y ϕ(1) = 1.
El par (A, ϕ) constituye un espacio de probabilidad algebraico que incluye
a la vez las estructuras básicas de la teoŕıa clásica de probabilidades y de la
Mecánica Cuántica, como se ve en los ejemplos elementales que siguen.
Modelos algebraicos de probabilidades
Sea A un álgebra (espacio vectorial sobre el cuerpo de los números
complejos, dotado de un producto) provista de una operación involutiva ∗
y una unidad 1.
Un estado ϕ sobre A es una aplicación lineal ϕ : A → C tal que
ϕ(a∗a) ≥ 0 para todo a ∈ A y ϕ(1) = 1.
El par (A, ϕ) constituye un espacio de probabilidad algebraico que incluye
a la vez las estructuras básicas de la teoŕıa clásica de probabilidades y de la
Mecánica Cuántica, como se ve en los ejemplos elementales que siguen.
1. Considérese un espacio de probabilidad clásico (Ω,F ,P). El álgebra
A apropiada es en este caso la de las funciones con valores complejos,
medibles, esencialmente acotadas. La operación ∗ corresponde a la
conjugación y
ϕ(X) =
∫
Ω
XdP,
para todo elemento X ∈ A.
medibles, esencialmente acotadas. La operación ∗ corresponde a la
conjugación y
ϕ(X) =
∫
Ω
XdP,
para todo elemento X ∈ A.
2. Dado un espacio de Hilbert h, consideramos el álgebra A de todos los
operadores lineales acotados, la operación ∗ corresponde a la adjunción
y dado un operador ρ que tenga traza unitaria
ϕ(A) = tr(ρA),
para todo A ∈ A, donde tr(·) representa la traza de operadores.Un caso
particular corresponde a un operador ρ que sea la proyección |ψ〉〈ψ| sobre
el espacio generado por un vector unitario ψ ∈ h (función de onda).
En este contexto se puede analizar la evolución de sistemas dinámicos
cuánticos que incluyen los llamados sistemas abiertos.
Del debate filosófico
• La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador.
Del debate filosófico
• La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador.
? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes básicos están
en nuestras células.
Del debate filosófico
• La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador.
? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes básicos están
en nuestras células.
? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra
un determinado valor” en vez de “el observable está en el estado tal
en un determinado instante”.
Del debate filosófico
• La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador.
? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes básicos están
en nuestras células.
? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra
un determinado valor” en vez de “el observable está en el estado tal
en un determinado instante”.
? La causalidad es una forma primaria de interrelación: establece, por
ejemplo, una relación entre lo que hemos denominado fuerza y lo que
llamamos aceleración. Las leyes del azar extienden la causalidad al
considerar relaciones de interdependencia múltiples.
Del debate filosófico
• La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador.
? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes básicos están
en nuestras células.
? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra
un determinado valor” en vez de “el observable está en el estado tal
en un determinado instante”.
? La causalidad es una forma primaria de interrelación: establece, por
ejemplo, una relación entre lo que hemos denominado fuerza y lo que
llamamos aceleración. Las leyes del azar extienden la causalidad al
considerar relaciones de interdependencia múltiples.
• Los ĺımites de validez de los diferentes modelos matemáticos del azar.
Del debate filosófico
• La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador.
? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes básicos están
en nuestras células.
? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra
un determinado valor” en vez de “el observable está en el estado tal
en un determinado instante”.
? La causalidad es una forma primaria de interrelación: establece, por
ejemplo, una relación entre lo que hemos denominado fuerza y lo que
llamamos aceleración. Las leyes del azar extienden la causalidad al
considerar relaciones de interdependencia múltiples.
• Los ĺımites de validez de los diferentes modelos matemáticos del azar.
? ¿Es posible diseñar un procedimiento de selección para el uso de una
determinada teoŕıa de probabilidades?
• De la relación entre diferentes ciencias a la luz de los fenómenos del azar.
El progreso de las diferentes ciencias aumenta nuestro conocimiento de
las leyes del azar y determina nuevas relaciones entre ellas. Se abren
nuevos campos para la investigación multidisciplinaria.