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I.T. INDUSTRIAL
METODOS ESTADÍSTICOS
FORMULARIO
I. ESTADISTICA DESCRIPTIVA
X v.a k modalidades x1, x2, ..., xk ; n datos
Media x̄ =
kP
i=1
nixi
n
Varianza poblacional σ2 =
kP
i=1
nix
2
i
n
− x̄2
Varianza muestral S2 =
kP
i=1
ni(xi − x̄)2
n− 1
Coeficiente de Asimetría γ1 =
kP
i=1
(xi − x)3ni
nσ3
Coeficiente de Apuntamiento γ2 =
kP
i=1
(xi − x)4ni
nσ4
− 3
Covarianza Cov(X, Y ) =
KP
i=1
pP
j=1
nijxiyj
N
− x̄ȳ
Coeficiente de correlación lineal ρ =
Cov(X, Y )
σxσy
Recta de regresión de Y sobre X ŷ =
"
Cov [X, Y ]
V ar (X)
#
x+
"
ȳ − Cov [X,Y ]
V ar (X)
x̄
#
1
II. PROBABILIDAD
Operaciones con sucesos
Suceso Ocurre siempre que Probabilidad
−
A no ocurre A P
µ−
A
¶
= 1− P (A)
A/B ocurre A si ya ha ocurrido B P (A/B) =
P (A ∩ B)
P (B)
A ∩B ocurra A o B
P (A ∩B) = P (A)P (B/A)
P (A ∩B) = P (B)P (A/B)
A ∪B ocurren A y B P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩ B)
Si A y B son incompatibles Si A y B independientes
P (A/B) = 0 P (A/B) = P (A)
P (A ∩ B) = 0 P (A ∩B) = P (A)P (B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A)P (B)
Teorema de la probabilidad total y fórmula de Bayes
Probabilidad total P (A) =
kP
i=1
P (A/Bi)P (Bi)
Fórmula de Bayes P (Bi/A) =
P (A ∩ Bi)
P (A)
=
P (A/Bi)P (Bi)
kP
i=1
P (A/Bi)P (Bi)
2
ALGUNAS DISTRIBUCIONES IMPORTANTES
Distribución Función masa de probabilidad/función de densidad EX
U(n) P [X = xi] =
1
n
P
Xi
n
B(n, p)
P [X = k] =
Ã
n
k
!
pk(1− p)n−k
k = 0, 1, 2...n
; np
P (λ) P [X = k] =
e−λλk
k!
; k = 0, 1, 2... λ
H(N, n, p)
P [X = k] =
Ã
Np
k
!Ã
Nq
n− k
!
Ã
N
n
!
max{0, n−Nq} ≤ k ≤ min{n,Np}
, np
BN(K, p) P (X = x) =
Ã
K + x− 1
x
!
pk(1− p)x; x = 0, 1, 2.... kq
p
G(p) P (X = x) = pqx; x = 0, 1, 2....
q
p
N(µ,σ2) f(x) =
1√
2πσ
e
−1
2σ2
(x−µ)2 , x ∈ R µ
N(0, 1) f(z) =
1√
2π
e
−1
2
z2 , z ∈ R 0
G(α,λ)
f(x) =
λα
Γ(α)
xα−1e−λx, x > 0
Γ(α) =
R∞
0 xα−1e−xdx
α
λ
χ2n f(x) =
1
Γ(n
2
)2
n
2
x
n
2
−1e−
x
2 , x > 0 n
B(α, β) f(x) =
Γ(α+ β)
Γ(α)Γ(β)
xα−1(1− x)β−1; 0 < x < 1 α
α+ β
tn f(t) =
Γ(n+1
2
)√
nπΓ(n
2
)
(1 +
t2
n
)−(
n+1
2
); t ∈ R 0
Fn1,n2 g(f) =
Γ(n1 + n2)
Γ(
n1
2
)Γ(
n2
2
)
n
n1
2
1 n
n2
2
2 f
n1−2
2 (n1f + n2)
−(n1+n2
2
); f > 0
n2
n2 − 2
3
III. INFERENCIA ESTADISTICA
INTERVALOS DE CONFIANZA
Intervalo de confianza para la media de una normal
Varianza conocida (σ20) µ ∈
"
−
x ± σ0√
n
z1−α
2
#
Varianza desconocida µ ∈
"
−
x ± S√
n
t1−α
2
#
Intervalo de confianza para la varianza de una normal
Media conocida (µ0) σ2 ∈

nP
i=1
(xi − µ0)2
χ21−α
2
;n
,
nP
i=1
(xi − µ0)2
χ2α
2
;n

Media desconocida σ2 ∈
(n− 1)S2
χ21−α
2
;n−1
,
(n− 1)S2
χ2α
2
;n−1

Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos pobla-
ciones normales e independientes
Varianza conocidas µx − µy ∈
−x − −
y ± z1−α
2
s
σx
nx
+
σy
ny

Varianza desconocidas pero iguales (σ2) µx − µy ∈
"
−
x − −
y ± t1−α
2
;nx+ny−2Sp
s
1
nx
+
1
ny
#
con Sp =
vuut(nx − 1)S2x + (ny − 1)S2y
nx + ny − 2
4
Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos pobla-
ciones normales e independientes
Medias conocidas
σ2y
σ2x
∈

nyP
i=1
³
yi − µy
´2
nxP
i=1
(xi − µx)2
nx
ny
Fα
2
;nx,ny ,
nyP
i=1
³
yi − µy
´2
nxP
i=1
(xi − µx)2
nx
ny
F1−α
2
;nx,ny

Medias desconocidas
σ2y
σ2x
∈
"
S2yFα
2
;nx−1,ny−1
S2x
,
S2yF1−α
2
;nx−1,ny−1
S2x
#
Intervalo de confianza para una proporción
p ∈
ˆp ±z1−α
2
vuut ˆ
p (1− ˆ
p)
n

5
CONTRASTES DE HIPÓTESIS
Contraste para la media de una normal con varianza conocida
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : µ = µ0 Z =
X̄ − µ
σ0/
√
n
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : µ 6= µ0
H1 : µ > µ0
H1 : µ < µ0
Z ≤ zα/2 o Z ≥ z1−α/2
Z ≥ z1−α
Z ≤ zα
Contraste para la media de una normal con varianza desconocida
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : µ = µ0 T =
X̄ − µ
S/
√
n
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : µ 6= µ0
H1 : µ > µ0
H1 : µ < µ0
T ≤ tα/2,n−1 o T ≥ t1−α/2,n−1
T ≥ t1−α,n−1
T ≤ tα,n−1
Contraste para la varianza de una normal con media conocida
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : σ
2 = σ20 χ2 =
Pn
i=1 (xi − µ0)2
σ20
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : σ
2 6= σ20
H1 : σ
2 > σ20
H1 : σ
2 < σ20
χ2 ≤ χ2α/2,n o χ2 ≥ χ21−α/2,n
χ2 ≥ χ21−α,n
χ2 ≤ χ2α,n
6
Contraste para la varianza de una normal con media desconocida
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : σ
2 = σ20 χ2 =
(n− 1)S2
σ20
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : σ
2 6= σ20
H1 : σ
2 > σ20
H1 : σ
2 < σ20
χ2 ≤ χ2α/2,n−1 o χ2 ≥ χ21−α/2,n−1
χ2 ≥ χ21−α,n−1
χ2 ≤ χ2α,n−1
Contraste para el cociente de varianzas de dos normales inde-
pendientes con medias conocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : σ
2
X = σ2Y F =
PnX
i=1 (xi − µX)2 /nXPnY
i=1 (yi − µY )2 /nY
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : σ
2
X 6= σ2Y
H1 : σ
2
X > σ2Y
H1 : σ
2
X < σ2Y
F ≤ 1/f1−α/2,nY ,nX o F ≥ f1−α/2,nX ,nY
F ≥ f1−α,nX ,nY
F ≤ 1/f 21−α,nY ,nX
Contraste para el cociente de varianzas de dos normales inde-
pendientes con medias desconocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : σ
2
X = σ2Y F =
S2X
S2Y
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : σ
2
X 6= σ2Y
H1 : σ
2
X > σ2Y
H1 : σ
2
X < σ2Y
F ≤ 1/f1−α/2,nY −1,nX−1 o F ≥ f1−α/2,nX−1,nY −1
F ≥ f1−α,nX−1,nY −1
F ≤ 1/f1−α,nY −1,nX−1
7
Contraste para la diferencia de medias de dos normales inde-
pendientes con varianzas conocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : µX − µY = δ0 Z = X̄−Ȳ−δ0r
σ2
n,X
nX
+
σ2
n, Y
nY
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : µX − µY 6= δ0
H1 : µX − µY > δ0
H1 : µX − µY < δ0
Z ≤ zα/2 o Z ≥ z1−α/2
Z ≥ z1−α
Z ≤ zα
Contraste para la diferencia de medias de dos normales inde-
pendientes con varianzas desconocidas pero iguales
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : µX − µY = δ0 T =
X̄ − Ȳ − δ0s
S2p
µ
1
nX
+
1
nY
¶
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : µX − µY 6= δ0
H1 : µX − µY > δ0
H1 : µX − µY < δ0
T ≤ tα/2,n o T ≥ t1−α/2,n
T ≥ t1−α,n
T ≤ tα,n
donde
n = nX + nY − 2
S2p =
(nX − 1)S2X + (nY − 1)S2Y
n
8
Contraste para la diferencia de medias de dos normales rela-
cionadas (muestras apareadas) con varianzas desconocidas pero
iguales
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : µX − µY = δ0 T =
D̄ − δ0r
S2D
n
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : µX − µY 6= δ0
H1 : µX − µY > δ0
H1 : µX − µY < δ0
T ≤ tα/2,n−1 o T ≥ t1−α/2,n−1
T ≥ t1−α,n−1
T ≤ tα,n−1
donde D = X − Y
Contraste para una proporción
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : p = p0 Z =
p̂− p0s
p0 (1− p0)
n
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : p 6= p0
H1 : p > p0
H1 : p < p0
Z ≤ zα/2 o Z ≥ z1−α/2
Z ≥ z1−α
Z ≤ zα
Contraste para la comparación de dos proporciones
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : p1 = p2 Z =
p̂1 − p̂2q
pT (1− pT ) /n1 + pT (1− pT ) /n2
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo
H1 : p1 6= p2
H1 : p1 > p2
H1 : p1 < p2
Z ≤ zα/2 o Z ≥ z1−α/2
Z ≥ z1−α
Z ≤ zα
9
donde
p̂T =
n1p̂1 + n2p̂2
n1 + n2
TABLA ANOVA Y CONTRASTE DE LA F
Fuentes de Variación Suma de Cuadrados Grados de libertad Varianzas
Entre grupos (VE)
IP
i=1
ni(
−
xi − −
x)2 I − 1 S2e =
V E
I − 1
Interna, no explicada
o residual (VNE)
IP
i=1
niP
j=1
µ
xij− −
xi
¶2
=
IP
i=1
niσ
2
i
n− I S2R =
V NE
n− I
TOTAL (VT)
IP
i=1
niP
j=1
µ
xij− −
x
¶2
n− 1 S2y =
V T
n− 1
donde ni denota el número de observaciones en el grupo i,
−
xi la media
, σ2i la varianza (en calculadora σn al cuadrado), y
−
x la media del conjunto
total de observaciones. I es el node grupos y n el nototal de observaciones.
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H0 : µ1 = ... = µI F =
S2e
S2R
Hipótesis alternativa Rechazar H0 si:
No todas las medias son iguales F > F1−α,I−1,n−I
10