Estructura I

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CONCEPTOS DE EQUILIBRIO DE CUERPOS VINCULADOS
Y CINEMATICA PLANA
Ing. Ramiro Piatti
Ayudante Ad-Honorem
1) LOS SISTEMAS PLANOS VINCULADOS
1.1) GENERALIDADES
 Se define como sistema de puntos materiales un conjunto de puntos vinculados
entre sí por la condición de rigidez. Puede ser, tanto un sistema material plano, o en
el espacio.
1.2) CHAPAS: CONCEPTO
 La mayor parte de los elementos estructurales utilizados en construcciones
admiten un plano de simetría.
 Si la sustentación, fuerzas exteriores y por lo tanto sus resultantes, actúan todos
en un plano de simetría, se puede reemplazar al cuerpo rígido por un sistema plano
de puntos materiales denominado chapa, coincidente con el plano de simetría.
1.3) VINCULO
 Se denomina vínculo toda condición geométrica que limite la posibilidad de
movimiento de un cuerpo.
1.4) GRADOS DE LIBERTAD
 
 Se define como grados de libertad de una chapa al número de coordenadas libres
que posee.
 Para determinar la posición final de una chapa que se desplaza en su plano, solo
se necesita conocer tres coordenadas.
 
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 En consecuencia una chapa en el plano posee tres grados de libertad, por tener
tres coordenadas libres.
 
 
1.5) DESPLAZAMIENTOS DE UNA CHAPA
 
 Los desplazamientos que puede experimentar una chapa en su plano son
rotaciones o traslaciones.
 Rotación: todos los puntos de una chapa se desplazan sobre arcos de
circunferencia de centro común, denominado centro o polo de rotación.
 Traslación: todos los puntos de una chapa se desplazan en una misma dirección.
 También podemos definir una traslación como una rotación en torno de un polo
impropio, lo que conduce a la siguiente generalización:
 “todo desplazamiento de una chapa en su plano es una rotación en torno de un
polo, propio o impropio”.
 
 
 
 Para rotaciones infinitesimales los corrimientos de los puntos de la chapa resultan
normales a las rectas determinados por los puntos y el polo de rotación.
 En este caso la cuerda AA´, el arco AA´ y la tangente AA” se confunden.
 
 
 
 
 En consecuencia, si para una chapa que experimenta una rotación infinitésima se
conocen los corrimientos infinitésimos de dos de sus puntos a1 y a2, queda con ello
perfectamente determinado el polo ¨O¨ de rotación.
 
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1.6) CADENAS CINEMATICAS
 Consideremos dos chapas S1 y S2, cada una de ellas posee tres grados de
libertad y las dos, en conjunto, seis.
 Si vinculamos entre sí ambas chapas, mediante una articulación A1.2, denominada
articulación relativa o intermedia, la cadena cinemática así formada posee cuatro
grados de libertad.
 Si fijamos la chapa S1 mediante tres condiciones de vínculo, la chapa S2 solo
puede rotar en torno de A1.2. Ahora basta una sola condición de vínculo para fijar a
tierra la chapa S2. Por lo tanto era una cadena de un grado de libertad.
 Se observa que una articulación intermedia restringe dos grados de libertad.
 Para una cadena cinemática de n chapas existen n-1 articulaciones intermedias.
Como cada chapa posee tres grados de libertad y cada articulación intermedia
restringe dos, el numero de grados de libertad de una cadena cinemática de n
chapas resulta ser
 g= 3 n – 2 (n-1) = n+2
2) CINEMATICA PLANA
2.1) CORRIMIENTOS DEBIDOS A ROTACIONES INFINITESIMAS
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 Considerando que la chapa S experimenta una rotación θ en torno el polo ¨O¨, el
punto A se desplaza al A’. Este corrimiento tiene dos componentes, uno vertical y
otro horizontal, y y x respectivamente, llamados elaciones.
 Las coordenadas de la nueva posición A’ del punto A son:
 xA’= xA + x = xA – θ(y0-yA)
 yA’= yA + y = yA + θ(x0-xA)
 Es decir, que una rotación infinitésima es una ¨transformación biunívoca del
plano¨.
 Una rotación infinitésima puede interpretarse como resultante de dos elaciones,
paralelas a los ejes x e y.
2.2) DIAGRAMAS DE CORRIMIENTOS
 Todos los puntos situados sobre una vertical tienen la misma abscisa xA, en
consecuencia tendrán todos el mismo corrimiento vertical. Lo mismo ocurre con los
puntos sobre una horizontal que tendrán todos el mismo corrimiento horizontal.
 Para que y se anule debe ser x0=xA, esto ocurre para los puntos ubicados sobre
la vertical del polo, ocurriendo lo mismo para los corrimientos horizontales, que se
anularán para los puntos ubicados sobre la horizontal trazada por el polo.
 En consecuencia, los diagramas representativos de los corrimientos verticales y
horizontales tendrán ordenadas nulas en correspondencia con la vertical del polo el
primero y la horizontal el segundo.
 Sea una chapa S que experimenta una rotación θ>0 en torno a un polo “O”.
 Para determinar los diagramas de corrimientos se traza por “O” vectores paralelos
a los ejes y y x, luego se traza un eje horizontal n-n y otro vertical m-m, sobre éstos
ejes se proyecta el polo “O” siendo O’ y O” respectivamente. Trazando por O’ la
recta M’N’ que forme con n-n un ángulo cuyo sentido coincide con el de θ
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obtenemos un diagrama de corrimientos verticales. Para conocer los corrimientos
verticales reales se debe determinar la escala de medición.
 Se realiza de similar forma para los corrimientos horizontales.
 Si para ambos diagramas la escala es la misma, como la pendiente de cada
diagrama con respecto a su eje de referencia midela intensidad de rotación θ, las
pendientes deben ser iguales. En consecuencia, al ser ortogonales los ejes de
referencia, también deben serlo las rectas que constituyen los diagramas.
2.3) COMPOSICION DE ROTACIONES INFINITESIMAS
 “Si una chapa experimenta rotaciones en torno de dos polos distintos, el
corrimiento resultante para un punto cualquiera de la misma se obtiene
componiendo los corrimientos originados aisladamente por cada rotación”.
2.4) POLO DE ROTACION DE DOS ROTACIONES
 El polo de rotación resultante de dos rotaciones, se encuentra alineado con los
polos de las rotaciones componentes.
 La intensidad de la rotación resultante es igual a la suma de las rotaciones
componentes.
 θ = n θi (1)
 Para determinar analíticamente la ubicación del polo de n rotaciones se toman
momentos de las elaciones respecto a y y x, y considerando (1) se tiene
 X0= nθi xi / nθi e y0= nθi yi / nθi
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2.5) DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS DE CHAPAS
 Sean las chapas S1 y S2 que experimentan respectivamente las rotaciones θ1>0 y
θ2<0 en torno de los polos O1 y O2, y nos proponemos hallar el desplazamiento
relativo de S2 respecto de S1.
 El desplazamiento relativo es otra rotación respecto a O2.1.
 Para hallar O2.1 se elige un eje de referencia x-x, por el cual se trazan las rectas
m-m y n-n pasando por O’1 y O’2 que forman los ángulos θ1 y θ2 con x-x
respectivamente. Ambas rectas se cortan en O’2.1, cuya intersección de la vertical
de O’2.1 con la recta O1O2 define el polo O2.1.
 Se observa que la recta n-n ha girado con respecto a la m-m, en torno O’2.1 en
sentido negativo y de intensidad
 θ2.1 = θ2 + (-θ1) = θ2 – θ1
y la rotación relativa de S1 respecto de S2 es
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 θ1.2 = -θ2.1 = θ1 – θ2
2.6) DESPLAZAMIENTOS DE CADENAS CINEMATICAS DE UN GRADO DE
LIBERTAD
 La articulación relativa entre dos chapas de una cadena cinemática puede también
concebirse mediante dos bielas. En este caso la articulación relativa será ficticia y se
encontrará en el punto de intersección de la prolongación de las bielas.
 Dos bielas son equivalentes a un apoyo fijo aplicado en el punto de concurrencia
de los mismos.
 Si las dos bielas son paralelas, la articulación relativa ficticia se encontrará ubicada
en el punto impropio de la dirección común de aquellas. En tal caso, el
desplazamiento relativo de las chapas será una rotación de polo impropio, es decir
una traslación. Generalizando, decimos que “toda cadena cinemática de un grado de
libertad, para cualquier desplazamiento de la misma, las chapas que la constituyen
experimentan cada una de ellas, rotaciones en torno de puntos fijos determinados,
propios o impropios, denominados polos”.
2.7) DETERMINACION DE POLOS DE UNA CADENA CINEMATICA DE UN
GRADO DE LIBERTAD
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 A1.2 es la articulación relativa entre S1 y S2. Para la chapa S1, A1.2 se debe
desplazar para corrimientos infinitésimos normal a la dirección O1A1.2 y como para
la chapa S2 el desplazamiento del punto A1.2 es el mismo que para la chapa S1,
entonces el polo de S2 se debe encontrar sobre la prolongación O1A1.2. Por ser el
desplazamiento de A1.2 normal a la dirección A1.2O2. Como conclusión en toda
cadena cinemática de un grado de libertad, los polos de dos chapas consecutivas se
encuentran alineados con la articulación relativa.
 De lo anterior se deduce que, si se conocen los polos de dos chapas no
consecutivos, la determinación del polo de la chapa intermedia es inmediata.
 De la figura se observa que O2 se debe encontrar en la intersección de las rectas
O1A1.2 y O3A2.3.
 Como ejemplo vamos a determinar los polos de la cadena cinemática de la
siguiente figura.
 El polo de la chapa S2 es O2 por ser B un punto fijo. El punto A de S1 solo puede
experimentar corrimientos normales a la dirección del vínculo, por lo que el polo O1
de S1 debe encontrarse sobre la recta que corresponde a la dirección del apoyo
móvil. Como hemos visto el polo O1 debe encontrarse en la intersección de O2A1.2
con la dirección del apoyo móvil A.
 Pasando ahora a la chapa S4, su polo será el punto O4, intersección de la
dirección de los apoyos móviles.
 El polo de la chapa S3, debe encontrarse alineado con los polos de chapas
inmediatas O2 y O4 y sus correspondientes articulaciones relativas.
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Al ser la articulación relativa A2.3oo impropia, trazando por O2 una paralela a la
dirección de A2.3oo en cuya intersección con O4A3.4 se determina la posición del
polo O3.
2.8) TRAZADO DE DIAGRAMAS CARTESIANOS DE CORRIMIENTOS DE
PUNTOS DE CADENAS CINAMETICAS SUJETAS A DESPLAZAMIENTOS
 El procedimiento es semejante al visto para una única chapa.
 Sea por ejemplo la cadena cinemática de la figura, de la que se pide el trazado del
diagrama de corrimientos verticales, originado por una rotación θ1>0 de la chapa S1.
 Determinados los polos de las distintas chapas aplicamos θ1 en O1 y adoptamos
un eje de referencia horizontal.
 El diagrama de corrimientos verticales de S1 será una recta que pasará por O’1 y
es válida entre las ordenadas extremas de la chapa S1.
 El corrimiento vertical del punto A1.2 será común a S1 y S2.
 La recta [S2] deberá pasar por A’1.2 y por O’2, y se extenderá hasta encontrar la
vertical extrema de la chapa S2.
 La recta [S3] será paralela a [S2] y pasará por O’3. Dado que el desplazamiento
relativo de S3 respecto de S2 es una traslación.
 Cuando una de las chapas de la cadena cinemática posee dos condiciones de
vínculo, constituido por dos apoyos móviles paralelos, el diagrama de corrimientos,
cualquiera sea la dirección del mismo, es una recta paralela al eje de referencia.