Estructuras 2

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ESTRUCTURAS II 
Ing. Aurimar Pereira 
GDT, GDE y GDI. 
GDT: Grados Determinación Total. 
 
 
 
GDE: Grados Determinación Externo. 
GDI: Grados Determinación Interno. 
𝐺𝐷𝑇 = 𝐺𝐷𝐸 + 𝐺𝐷𝐼 
𝐺𝐷𝑇 = 𝑟 + 𝑍 − (𝜆 ∗ 𝑚) 
 
 
 
 
 
 
 
Marco Cerrado (MC) 
 
 
 
 
 
1- Método GDT # min m 
Z= Se evalúa en la unión de las partes que son polos relativos y en los Z de los 
marcos cerrados y/o vínculos redundantes que se toman como parte de la estructura 
es decir una chapa adicional. 
2- Método GDT # máx. m 
Z= Solo se aplica en la unión de las partes, donde existe discontinuidad geométrica 
o estructural. 
Isostáticas 
Hiperestáticas 
GDT=0 Isostáticas → Estructuras I 
GDT>0 Hiperestáticas → Estructuras II 
GDT<0 Hiposestáticas → Inestables. 
Hiperestáticas 
Hiposestáticas 
 
𝑟 = # 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠. 
Z= Fuerzas linealmente independiente que llegan al 
nodo. 
𝜆 = 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 3. 
𝑚 = # 𝐶ℎ𝑎𝑝𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜. 
𝑍 = 2 × (𝑚 − 1) 
𝑍 = 2 × (5 − 1) = 8 
 
#𝐹𝐻 = (7 − 1) = 6 
#𝐹𝑉 = (7 − 1) = 6 
Momento=2 
Total, Z=14 
 
𝑍 = 0 
No tiene juntas rígidas. 
 
 
𝑍 = 0 
 
 𝑍 = 1 
Tiene 1 junta rígida. 
 
 
𝑍 = 1 
 
 
𝑍 = 2 
 
 
𝑍 = 3 
 
 
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# mini 𝛽 
𝐺𝐷𝑇 = 𝑟 + 𝑍 − (𝜆 × 𝑚) 
𝐺𝐷𝑇 = 4 + 0 − (3 × 1) = 1 
 
𝐺𝐷𝐸 = 𝑟 + 𝑍 − (𝜆 × 𝑚) 
𝐺𝐷𝐸 = 4 + 0 − (3 × 1) = 1 
Otra expresión para calcular GDE 
𝐺𝐷𝐸 = 𝑟 − (𝜆 + 𝑒) 
𝐺𝐷𝐸 = 4 − (3 + 0) = 1 
GDI=0 
GDT=GDE 
#máx. 
𝐺𝐷𝑇 = 𝑟 + 𝑍 − (𝜆 × 𝑚) 
𝐺𝐷𝑇 = 4 + 12 − (3 × 5) = 1 
 
 
 
 
1- Método GDE # min m 
Z= Se evalúa únicamente en la unión de las partes, es decir polos relativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: En el caso que exista VR y MC 
estos no se toman en cuenta. 
#min 
𝐺𝐷𝑇 = 𝑟 + 𝑍 − (𝜆 × 𝑚) 
𝐺𝐷𝑇 = 6 + 0 − (3 × 1) = 3 
 
𝐺𝐷𝐸 = 𝑟 + 𝑍 − (𝜆 × 𝑚) 
𝐺𝐷𝐸 = 6 + 0 − (3 × 1) = 3 
Otra expresión para calcular GDE 
𝐺𝐷𝐸 = 𝑟 − (𝜆 + 𝑒) 
𝐺𝐷𝐸 = 6 − (3 + 0) = 3 
GDI=0 
GDT=GDE 
#máx. 
𝐺𝐷𝑇 = 𝑟 + 𝑍 − (𝜆 × 𝑚) 
𝐺𝐷𝑇 = 6 + 6 − (3 × 3) = 3 
 
 
 
 
 
 
 
(𝜆 + 𝑒) = 𝐸𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 
m=gL 
Si cada polo relativo llega 2 chapas. 
𝜆 = 𝐸𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 = 3 
𝑒 = 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 
r= Reacciones. 
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Método de las fuerzas. 
Sistema de ecuaciones de compatibilidad de desplazamiento SECD. 
𝐺𝐷𝑇 = 1 → 1 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 − 1 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 
𝐺𝐷𝑇 = 2 → 2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 − 2 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 
𝐺𝐷𝑇 = 3 → 3 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 − 3 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 
𝐺𝐷𝑇 = 1 
= 𝑟𝑖𝑜 + 𝑟𝑖𝑠 + 𝑟𝑖𝑡 + 𝑟𝑖𝑒 + 𝑓11 × 𝑋1 
 
𝑟𝑖𝑜 = El termino 𝑟𝑖𝑜 es desplazamiento en correspondencia a la redundante 
seleccionada en estructuras primarias debido a las cargas mostradas. 
𝑟𝑖𝑒 = El termino 𝑟𝑖𝑒 es desplazamiento en correspondencia a la redundante 
seleccionada en elementos primarios debido a errores de construcción. 
𝑟𝑖𝑡 = El termino 𝑟𝑖𝑡 es desplazamiento en correspondencia a la temperatura. 
𝑟𝑖𝑠 = El termino 𝑟𝑖𝑠 es desplazamiento en correspondencia a al soporte. 
𝑋1 = Son fuerzas a rección redundante. Son las incógnitas. 
 
 
 
 
 
 
1 × 𝑟𝑖𝑜 =
1
𝐴𝐸
× [𝑁 × �̅� × 𝑑𝑥] +
1
𝐴𝐺
× [𝑉𝑦 × 𝑉�̅� × 𝑑𝑥] +
1
𝐸𝐼
× [𝑀𝑍 × 𝑀𝑍
̅̅ ̅̅ × 𝑑𝑥] 
 
 
 
El termino 𝑟𝑖𝑜 se calcula superponiendo los diagramas de la estructura primaria con 
𝑋𝑖 = 1 que se toma como sistema virtual de fuerzas con los diagramas de las 
estructuras primarias con cargas mostradas que se toma como sistema real de 
fuerzas. 
Son simétricos, pero no es 
necesario que sean iguales, 
pero > 0. 
Siempre 𝑛 × 𝑚 es cuadrado. 
n= # Filas 
m= # Columnas 
𝑓11 𝑓22𝑓33>0 
𝑓𝑖𝑖>0 
Desplazamiento correspondiente de 
la igualdad seleccionada. 
Unidad que corresponde a 
la redundante seleccionada. 
Desplazamiento correspondencia fuerza 1𝑘𝑔. 
Desplazamiento correspondencia rotación o 
momento 1
𝑘𝑔
𝑚⁄ . 
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El termino 𝑟𝑖𝑒 se calcula superponiendo los diagramas de la estructura primaria con 
𝑋𝑖 = 1 que se toma como sistema virtual de fuerzas, con os diagramas de estructura 
primaria con el error de construcción que se toma como sistema real de fuerzas. 
El termino 𝑓𝑖𝑖 se calcula superponiendo los diagramas de las estructuras primarias 
con 𝑋𝑖 = 1 con ella misma. 
El termino 𝑓𝑖𝑗 se calcula superponiendo los diagramas de las estructuras primarias 
con 𝑋𝑖 = 1 con 𝑋𝑗. 
 
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Ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
Sustitución de apoyos e identificar chapas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de GDT, GDE y GDI de la estructura original. 
 
 
 
 
𝐺𝐷𝑇 = 𝑟 + 𝑍 − (𝜆 × 𝑚) 
𝐺𝐷𝑇 = 6 + 4 − (3 × 3) = 1 
 
𝐺𝐷𝐸 = 𝑟 + 𝑍 − (𝜆 × 𝑚) 
𝐺𝐷𝐸 = 6 + 4 − (3 × 3) = 1 
GDI=0 
GDT=GDE 
 
Determina el número de 
ecuaciones. 
Cantidad de apoyos a eliminar. 
Cantidad de VR a eliminar. 
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𝐺𝐷𝑇 = 𝑟 + 𝑍 − (𝜆 × 𝑚) 
𝐺𝐷𝑇 = 5 + 4 − (3 × 3) = 0 
 
𝑔 = 𝑚 + 2 
𝑔 = 3 + 2 = 5 
𝑟 = 5 
Estructura Isostática 
Estructura aparentemente estable. 
Cálculo de GDT de la estructura primaria. 
 
 
 
 
0,5 = 𝑟𝑖𝑜 + 𝑓11 × 𝑋𝑖 
 
 
 
 
 
∑ 𝑀𝑂12− 𝐼𝑍𝑄 = − ((2000𝑘𝑔 ∗ 𝑚 × 4𝑚) ∗ 2𝑚) + (𝑉𝐴 × 5) ⇒ 𝑉𝐴 = 3200𝑘𝑔 ↑ 
∑ 𝑀𝐹 = − ((2000𝑘𝑔 ∗ 𝑚 × 4𝑚) ∗ 4𝑚) + (3200𝑘𝑔 × 7𝑚) − (1000𝑘𝑔 × 1,5𝑚)
+ (𝑉𝐸 × 4) ⇒ 𝑉𝐸 = 2775𝑘𝑔 ↓ 
∑ 𝑉 = 3200𝑘𝑔 − (2000𝑘𝑔 ∗ 𝑚 × 4𝑚) − 2775𝑘𝑔 + 𝑉𝐹 ⇒ 𝑉𝐹 = 7575𝑘𝑔 ↑ 
∑ 𝑀𝑂12− 𝐴𝑏𝑎𝑗𝑜 = − (7575𝑘𝑔 ∗ 2) + (𝐻𝐹 × 3) ⇒ 𝐻𝐹 = 5050𝑘𝑔 ← 
∑ 𝐻 = − 5050𝑘𝑔 − 1000𝑘𝑔 + 𝐻𝐸 ⇒ 𝐻𝐸 = 6050𝑘𝑔 → 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Primaria. 
 
∑ 𝑀𝑂12− 𝐼𝑍𝑄 = − (1𝑘𝑔 ∗ 3𝑚) + (𝑉𝐴 × 5) ⇒ 𝑉𝐴 = 0,6𝑘𝑔 ↑ 
∑ 𝑀𝐹 = (0,6𝑘𝑔 × 7𝑚) − (𝑉𝐸 × 4) ⇒ 𝑉𝐸 = 1,05𝑘𝑔 ↑ 
∑ 𝑉 = 0,6𝑘𝑔 + 1,05 − 𝑉𝐹 ⇒ 𝑉𝐹 = 1,65𝑘𝑔 ↓ 
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∑ 𝑀𝑂12− 𝐴𝑏𝑎𝑗𝑜 = (1,65𝑘𝑔 ∗ 2) − (𝐻𝐹 × 3) ⇒ 𝐻𝐹 = 1,1𝑘𝑔 → 
∑ 𝐻 = 1,1𝑘𝑔 + 1𝑘𝑔 − 𝐻𝐸 ⇒ 𝐻𝐸 = 2,1𝑘𝑔 ← 
 
Despiece y Diagramas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐼 = 40000 𝑐𝑚4 
𝐴 = 5000 𝑐𝑚2 
Superposición 
𝑋 = 1 
1 × 𝑟𝑖𝑜 =
1
𝐴𝐸
× [𝑁 × �̅� × 𝑑𝑥] +
1
𝐴𝐺
× [𝑉𝑦 × 𝑉�̅� × 𝑑𝑥] +
1
𝐸𝐼
× [𝑀𝑍 × 𝑀𝑍
̅̅ ̅̅ × 𝑑𝑥] 
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1𝑘𝑔 × 𝑟𝑖𝑜 =
104𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
𝐸𝐼
× [− (
1
3
× 3200 × 2,4 × 316𝑐𝑚) − (
1
3
× 3200 × 2,4 × 400𝑐𝑚)
− (
1
3
× 4000 × 2,4 × 400𝑐𝑚) − (
1
3
× 13875 × 5,25 × 500𝑐𝑚)
− (
1
3
× 13875 × 5,25 × 316𝑐𝑚)] = −22926460 × 104𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
⇒
−22926460 × 104𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
2,1 × 106𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 × 40000 𝑐𝑚4
= −2,729340476𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 
1𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
𝐴𝐸
× [−(9104,02 × 2,4 × 316𝑐𝑚)] = −6904488,768 × 1𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
⇒
−6904488,768𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
5000𝑐𝑚 × 2,1 × 106𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
= −6,5757035 × 10−4𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 
1𝑘𝑔 × 𝑟𝑖𝑜 = −2,729340476𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 − 6,5757035 × 10−4𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
= −2,729998046𝑘𝑔 × 𝑐𝑚 ⇒ 𝑟𝑖𝑜 =
−2,729998046𝑘𝑔 × 𝑐𝑚
1𝑘𝑔
= −2,729998046𝑐𝑚 
𝑋 = 1 
1𝑘𝑔 × 𝑓11 =
104𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
𝐸𝐼
× [(
1
3
× 2,42 × 316𝑐𝑚) + (
1
3
× 2,42 × 400𝑐𝑚) + (
1
3
× 1,982 × 316𝑐𝑚)
+ (
1
3
× 5,252 × 500𝑐𝑚) − (
1
3
× 5,252 × 316𝑐𝑚)]
= −9284,6688 × 104𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 ⇒
−9284,6688 × 104𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
2 × 106𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 × 40000 𝑐𝑚4
= −1,1605836 × 10−4𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 
1𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
𝐴𝐸
× [(2,42 × 316𝑐𝑚)] = 1820,16 × 1𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 ⇒
1820,16𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
5000𝑐𝑚 × 2,1 × 106𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
= 1,7334 × 10−7𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 
1𝑘𝑔 × 𝑓11 = −1,1605836 × 10−4𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 + 1,7334 × 10−7𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
= 1,15885 × 10−4𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚 ⇒ 𝑓11 =
1,15885 × 10−4𝑘𝑔 ∗ 𝑐𝑚
1𝑘𝑔
= 1,15885 × 10−4𝑘𝑐𝑚 
0,5 = 𝑟𝑖𝑜 + 𝑟𝑖𝑒 + 𝑓11 × 𝑋𝑖 
0,5 = −2,729998046𝑐𝑚 + 1,15885 × 10−4𝑘𝑐𝑚 × 𝑋𝑖 
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Ing. AurimarPereira 
𝑋𝑖 =
0,5 + 2,729998046𝑐𝑚
1,15885 × 10−4𝑘𝑐𝑚
= 27872,4429𝑐𝑚