Complemento de aprendizaje_La belleza de la ciencia

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Complementos a 
los aprendizajes 
 
Campo formativo: 
Saberes y Pensamiento Científico 
 
Nombre del proyecto: 
La belleza de la ciencia 
 
Pregunta generadora: 
¿Cómo incidir en la solución de los 
problemas de los ecosistemas mediante 
la producción sustentable, la 
transformación de la conciencia social y 
el aprovechamiento de las actividades 
humanas? 
 
 
 
Nombre del alumno (a): ____________________________ 
 
 
 
 
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Indice 
 
Matemáticas 
Primer grado .............................................................................................................................. 3 
Práctica 1. Comparación de eventos de probabilidad .......................................................... 3 
Práctica 2. Procedimientos de conteo en la probabilidad ................................................ 6 
Práctica 3. Tablas de frecuencia, gráficas de barra y circulares ........................... 9 
Segundo grado ....................................................................................................................... 14 
Práctica 1. Probabilidad clásica y frecuencia .............................................................................. 14 
Práctica 2. Probabilidad y equivalencia en decimales, fracciones y 
porcentajes ........................................................................................................................................................................ 16 
Práctica 3. Histogramas, gráficas poligonales y de línea ............................................... 21 
Tercer grado ........................................................................................................................... 27 
Práctica 1. Eventos independientes, dependientes y probabilidad de 
ocurrencia ......................................................................................................................................................................... 27 
Práctica 2. Eventos mutuamente excluyentes ............................................................................ 31 
Práctica 3. Interpretación de gráficas .............................................................................................. 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos cotidianos. 
Primero Segundo Tercero 
Compara dos o más 
eventos a partir de sus 
resultados posibles, usa 
relaciones como: 
“es más probable que...”, 
“es menos probable 
que...”. 
Realiza experimentos 
aleatorios y registra los 
resultados en una tabla 
de frecuencia como un 
acercamiento de la 
probabilidad 
frecuencial a la clásica. 
Identifica eventos 
independientes y 
dependientes y calcula 
su probabilidad de 
ocurrencia. 
 
Identifica eventos en los 
que interviene el azar, 
experimenta y registra 
los posibles resultados 
Analiza las 
características de la 
medición de 
probabilidad y su 
equivalencia y 
representación en 
números decimales, 
fraccionarios 
y porcentajes. 
Calcula la probabilidad 
de ocurrencia de dos 
eventos mutuamente 
excluyentes y de 
eventos 
complementarios (regla 
de la suma). 
Identifica diversos 
procedimientos de 
conteo y los usa para 
resolver problemas. 
 Calcula la probabilidad 
de ocurrencia de dos 
eventos independientes 
(regla del producto 
Obtención y representación de información. 
Primero Segundo Tercero 
Usa tablas, gráficas de 
barras y circulares para 
el análisis de 
información. 
Recolecta, registra, lee y 
comunica información 
mediante histogramas, 
gráficas poligonales y 
de línea. 
Lee, interpreta y 
comunica información 
de cualquier tipo de 
gráficas. 
 
 
 
 
 
 
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Matemáticas Primer grado 
 
Para complementar los contenidos de la disciplina de matemáticas es 
necesario reforzarlos con las siguientes actividades. 
 
Fase 2. Indagación 
 
Práctica 1. Comparación de eventos de probabilidad 
 
El azar está presente en la vida cotidiana en muchas situaciones en las que 
aparecen la incertidumbre, el riesgo y la probabilidad, por ejemplo, el 
pronóstico del tiempo, un diagnóstico médico, el estudio de la posibilidad de 
tomar un seguro de vida o efectuar una inversión, la evaluación de un 
estudiante, etc. Cualquier persona se ve obligada a reaccionar para tomar 
decisiones que le pueden afectar, emitir juicios sobre la relación entre 
sucesos o hacer predicciones. 
 
En Matemáticas, la probabilidad se expresa como un número entre cero y uno 
(como decimal o como fracción), donde un suceso imposible tendrá 
probabilidad cero y un suceso seguro tendrá probabilidad uno. También se 
suele expresar como porcentajes entre cero y cien. Algunos ejemplos son: la 
probabilidad de que caiga águila al lanzar una moneda es 1 de 2 
posibilidades, es decir, ½ = 0.5 = 50%; la probabilidad de que caiga el 5 al 
lanzar un dado es 1 de 6 posibilidades, es decir, 1/6 = 0.1666 = 16.666%. 
 
Uno de los ejercicios de azar más comunes es comparar dos elementos para 
determinar las diferencias entre ellos y decidir cuál es el mejor o peor de los 
dos (en función del objetivo que se desea comprobar o demostrar). 
Léanse las siguientes comparaciones para determinar dónde hay más 
probabilidad: 
 
1. Norma y Marco inventaron un juego de azar. Hicieron tableros 
cuadriculados y los sombrearon de blanco y negro. Por turnos avientan 
una piedrita sobre el tablero, si cae en un cuadro blanco gana Norma y 
si cae en un cuadro negro gana Marco. ¿En cuál de los siguientes 
tableros el juego resulta injusto para Norma, porque tiene menos 
probabilidad de ganar que Marco? 
 
 
 
 
 
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a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. En un juego se lanzan tres monedas. Si todas las caras caen iguales 
gana Juan, si no es así, gana Pepe. ¿Quién tiene más probabilidades de 
ganar? 
 
a) Juan 
b) Pepe 
c) Tienen la misma probabilidad 
d) Faltan datos 
3. Al lanzar dos dados gana el que haga más puntos. Tiene más 
probabilidades de ganar el que tire: 
 
a) 4 puntos 
b) 6 puntos 
c) 10 puntos 
d) 12 puntos 
4. Un jugador lanza dos dados y hace ocho puntos, para ganarle el 
segundo jugador debe hacer más puntos. ¿Quién tiene más 
probabilidades de ganar? 
 
a) El primer jugador 
b) El segundo jugador 
c) No se puede saber 
d) Tienen la misma probabilidad 
5. Si Miguel lanza una moneda y cae águila entonces le gana a Antonio, a 
menos que Antonio lance un dado y caiga un número mayor que 4 
¿Quién tiene más probabilidad de ganar? 
 
a) Miguel 
b) Antonio 
c) Los dos 
d) Faltan datos 
 
 
 
 
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Práctica 2. Procedimientos de conteo en la probabilidad 
Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad 
y estadística que permiten determinar el número total de resultados que 
puede haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto o 
conjuntos de objetos. Este tipo de técnicas se utilizan cuando es 
prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual 
combinaciones de diferentes elementos y saber cuántas de ellas son posibles. 
 
Principio de multiplicación 
Si un evento E puede ocurrir de m formas, e independiente de este evento un 
evento F puede ocurrir de n formas, entonces los eventos juntos pueden 
ocurrir un total de m x n formas. 
 
Un ejemplo sencillo sería el menú en un restaurante. Supongamos que un 
restaurante ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas 
formas un cliente puede ordenar una comida? Si se aplica el principio de 
multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una 
comida, es decir, 40 formas. 
 
Principio aditivo 
Este principio es muy simple, y consiste en que, en el caso de existir varias 
alternativasde realizar una misma actividad, las formas posibles consisten 
en la suma de las distintas formas posibles de realizar todas las alternativas. 
 
Dicho de otra forma, si queremos realizar una actividad con tres alternativas, 
donde la primera alternativa puede realizarse de M formas, la segunda de N 
formas y la última de W formas, la actividad puede realizarse de: M + N +………+ 
W formas. 
 
Un ejemplo sencillo de aplicación de este principio es: Si me quiero comprar 
un automóvil, puedo elegir entre distintas marcas y modelos. La marca A 
tiene 2 modelos y 3 colores, la marca B tiene 4 modelos y 5 colores disponibles. 
¿De cuántas maneras posibles puedo elegir un automóvil? La respuesta a 
esta pregunta es de 26 maneras diferentes (2 x 3 + 4 x 5 = 6 + 20 = 26) La 
marca A tiene 2 modelos y 3 colores por modelo (2 x 3 = 6 vehículos de la 
marca A) La marca B tiene 4 modelos y 5 colores por modelo (4 x 5 = 20 
vehículos de la marca B) 6 + 20 = 26 vehículos para elegir. 
 
 
 
 
 
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Permutaciones 
Una permutación es cuando utilizamos todos los elementos del conjunto y los 
ordenamos de distintas formas. Sería un arreglo de elementos en los cuales 
sí nos interesa la posición que ocupa cada uno de ellos. 
 
Un ejemplo es el siguiente: una familia tiene 3 niños y 2 niñas. ¿De cuántas 
formas pueden sentarse en una fila? La respuesta es 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
formas distintas de sentarse. 
 
Combinaciones 
Las combinaciones son los arreglos en donde no nos importa la posición de 
los elementos. 
 
Un ejemplo es el siguiente: Un chef va a preparar una ensalada de verduras 
con tomate, zanahoria, papa y brócoli. ¿De cuántas formas se puede 
preparar la ensalada usando solo 2 ingredientes? En este caso, no importa 
el orden en que se tomen los ingredientes para la ensalada, pues da igual si 
es una ensalada de tomate con zanahoria, que una ensalada de zanahoria 
con tomate, ya que al final, el chef mezclará los dos ingredientes. 
 
Un arreglo podría ser zanahoria y tomate, otro arreglo podría ser tomate y 
papa, otro arreglo podría ser papa y brócoli. El problema nos indica que solo 
se pueden usar 2 ingredientes en la ensalada. 
 
Véase el siguiente organizador y la forma en que se descartan las 
combinaciones repetidas: 
 
Tomate 
Zanahoria 
Papa 
Brócoli 
Zanahoria 
Tomate 
Papa 
Brócoli 
Papa 
Tomate 
Zanahoria 
Brócoli 
Brócoli 
Tomate 
Zanahoria 
Papa 
 
Por lo tanto son sólo 6 las combinaciones posibles. 
 
 
 
 
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Enseguida se presentan algunos problemas. Identifica qué método de 
conteo es más útil para resolver cada problema y úsalo para dar solución. 
 
1. Si tengo tres camisas, cinco pantalones y cuatro corbatas. ¿De cuántas 
maneras distintas puedo combinar una camisa, un pantalón y una 
corbata? 
 
 
 
 
2. Carlos quiere comprar una raqueta de tenis. Para ello, tiene tres 
marcas a elegir: Wilson, Babolat o Head. 
 
• Cuando va a la tienda ve que la raqueta Wilson puede comprarse 
con el mango de dos tamaños distintos (L1 o L2), en cuatro modelos 
distintos y puede ser encordada o sin encordar. 
 
• La raqueta Babolat, en cambio, tiene tres mangos (L1, L2 y L3), hay 
dos modelos diferentes y puede también ser encordada o sin 
encordar. 
 
• La raqueta Head, por su parte, solo está con un mango (el L1), en dos 
modelos diferentes y sólo sin encordar. 
 
3. ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, se pueden formar con 
las letras de la palabra GENIAL? 
 
 
 
 
4. Se va a programar un torneo de ajedrez para los 10 integrantes de un 
club. ¿Cuántos partidos se deben programar si cada integrante jugará 
con cada uno de los demás sin partidos de revancha? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Práctica 3. Tablas de frecuencia, gráficas de barra y circulares 
Las tablas y gráficos estadísticos son las distintas maneras de representar 
series de datos de diverso tipo y origen para mostrar de manera visual cómo 
varían en comparación con otros. Por ejemplo, cómo ha evolucionado el 
precio de la gasolina durante un año o el número de espectadores que recibe 
un cine y sus elecciones por género de película durante una semana. 
 
Las tablas y los gráficos son herramientas para la visualización de datos que 
permiten representar de manera accesible información compleja. Consiguen 
presentar la información de manera clara y precisa, facilitando la 
comparación y la comprensión de los datos. 
 
Tabla de frecuencias 
Una tabla de frecuencias muestra de forma ordenada un conjunto de datos 
estadísticos y a cada uno de ellos le asigna una frecuencia que, en pocas 
palabras, son las veces que se repite un número o dato. 
 
Ejemplo: Se le pidió a un grupo de 20 personas que indiquen su color favorito, 
y se obtuvieron los siguientes resultados: 
 
negro azul amarillo rojo azul 
azul rojo negro amarillo rojo 
rojo amarillo amarillo azul rojo 
negro azul rojo negro amarillo 
 
Con los resultados obtenidos se elaboró una tabla de frecuencias. En la 
primera columna, se colocaron los valores de la variable que son los 
diferentes colores, en la segunda la frecuencia absoluta, luego la frecuencia 
relativa (expresada en porcentaje). 
 
Color Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 
Negro 4 20% 
Azul 5 25 % 
 
 
 
 
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Amarillo 5 25 % 
Rojo 6 30 % 
Total 20 100 % 
 
Otra forma de organizar datos estadísticos es mediante gráficas. Una de 
ellas es la gráfica de barras. 
 
Gráfica de barras 
Una gráfica de barras es una representación gráfica de los resultados de un 
análisis estadístico. El gráfico consta de barras para cada dato 
representado. Las anchuras de estas barras son iguales, pero las longitudes 
varían según la importancia del valor. Estas barras se colocan generalmente 
en 2 ejes que pueden invertirse dependiendo de si se quiere hacer un gráfico 
de barras horizontal o vertical. 
 
Gráfica de columnas 
Frutas vendidas 
durante la semana 
 
 
 
 
 
 
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Gráfica circular 
La gráfica circular es usada para representar frecuencias, porcentajes y 
proporciones. Se suele usar con variables cualitativas y es llamada también 
gráfica de pastel. Se presenta primeramente un ejemplo de los datos 
organizados en una tabla y posteriormente convertidos a una gráfica 
circular. 
 
Color Frecuencia 
absoluta 
Frecuencia 
relativa 
Frecuencia 
poporcentual 
Negro 4 0.20 20% 
Azul 5 0.25 25% 
Amarillo 5 0.25 25% 
Rojo 6 0.3 30% 
Total 20 1 100% 
 
Colores preferidos 
 
 
 
 
 
 
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Resuelve los siguientes problemas usando tablas o gráficas según se 
indique. 
 
4. Se le pidió a un grupo de personas que marque la imagen de su bebida 
preferida, y los resultados fueron: Con los resultados obtenidos, 
elaborar una tabla de frecuencias. 
 
 
 
 
 
 
Con los resultados obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias. 
 
5. A continuación se presenta una tabla con el promedio de la 
temperatura en las montañas de la Sierra Madre Occidental de Jalisco 
durante el año pasado. Elabora una gráfica de barras con los datos 
presentados. 
 
Mes Temperatura 
Enero 11.9 ºC 
Febrero 12.8 ºC 
Marzo 14.1 ºC 
Abril 15.6 ºC 
Mayo 18.7 ºC 
Junio 22.2 ºC 
Julio 24.8 ºC 
Agosto 25.4 ºC 
Septiembre 23.1 ºC 
Octubre 19 ºC 
Noviembre 15.4 ºC 
 
 
 
 
 
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6. En la siguiente gráfica circular se muestra la distribución de los gastos 
familiares en casa de Lola. El gasto mensual asciende a los 12 mil pesos. 
 
 
 
• ¿Cuánto se gasta en «Vivienda»? 
• ¿Cuánto más se gasta en «Educación» que en «Vestido»? 
• Si el gasto mensual aumenta en $2000 más mensuales, 
manteniéndose los porcentajes de gasto, ¿cuánto se gastaría 
ahora en «Alimentación»? 
 
7. Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su 
casa, hemos obtenido las siguientes respuestas: 
 
5 3 4 4 1 
 
2 4 4 5 3 
4 4 3 5 4 
 
3 2 4 5 3 
 
● Elabora una tabla de frecuencias. 
● Representa gráficamente la distribución. 
 
 
 
 
 
 
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MatemáticasSegundo grado 
 
Práctica 1. Probabilidad clásica y frecuencia 
La probabilidad clásica predice un resultado en base a todos los posibles 
sucesos que tenga un evento aleatorio. La probabilidad clásica se encarga 
de distribuir equitativamente la probabilidad en cada uno de los sucesos que 
componen al espacio muestral (todas las posibilidades de un evento. 
 
Para entender mejor se tomará el siguiente ejemplo: hay un grupo de 10 
personas los cuales están numerados de 1 a 10, y se rifará un premio al azar, 
quien se lleve el premio se decidirá por una persona que pensará en un 
número entre 1 y 10 y la persona que tenga el número se pensó esta se llevará 
el premio. En este supuesto todos los concursantes tienen la misma 
probabilidad de salir premiados, que es de 10%. 
 
La fórmula que se usa en la probabilidad clásica consiste en dividir los casos 
favorables a un suceso entre el número total de casos. Al realizar esta 
operación se obtendrá un número entre 0 y 1. Para pasar este valor a 
porcentajes lo que se hace es multiplicar este valor por 100%. 
 
𝑃(𝐴) = 	
número	de	casos	favorables	al	evento	A
número	total	de	casos
 
 
Por su parte, la probabilidad frecuencial se refiere a qué tan probable resulta 
un suceso si un experimento se repite muchas veces. Para calcular la 
probabilidad frecuencial de un suceso, se debe hacer el experimento un 
número elevado de veces y dividir el número de casos favorables obtenidos 
entre el número total de repeticiones realizadas. Cuantas más veces se haga 
el experimento, más precisa será la probabilidad frecuencial obtenida. 
 
La fórmula de la probabilidad frecuencial es el número de casos favorables 
obtenidos en un experimento entre el número total de intentos. 
 
𝑃! =	
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠	𝑒𝑛	𝑒𝑙	𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
 
 
 
 
 
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Resuelve los siguientes problemas identificando el tipo de probabilidad a 
la que se refieren y aplicando las fórmulas correspondientes: 
 
1. Un hombre ha pensado un número entre 1 y 15, si este hombre le pide a 
su amigo que adivine en qué número pensó, ¿Cuál es la probabilidad de 
que su amigo adivine el número en el primer intento? 
 
2. Una persona tiene la oportunidad de ganar $100, $200, $500, $800 o $1 
000 dólares al girar una ruleta donde están las cantidades que puede 
ganar, el problema está en que esta persona quiere comprarse un 
nuevo teléfono y para ello, necesita por lo menos $400, entonces ¿Cuál 
es la probabilidad que le toque una cantidad que sea suficiente para 
comprarse su nuevo teléfono? 
 
3. Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener 
un número par, menor que 5? 
 
4. La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe inglés (52 
cartas), ella sea un as es: 
 
5. Realicen el siguiente experimento: En una bolsa, que no sea 
transparente, metan cinco pedacitos de papel, previamente doblados, 
para realizar extracciones. En cada papelito anoten una actividad que 
te guste, por ejemplo: correr, saltar, dibujar, etc. 
 
Determinen cuál es la probabilidad teórica de que al extraer uno de los 
papelitos de la bolsa, se obtenga cada una de las actividades. 
Posteriormente, determinen cuál es la probabilidad frecuencial de que 
al extraer uno de los papelitos, se obtengan cada una de las 
actividades señaladas con 10, 20 y con 30 extracciones. Elaboren tablas 
para registrar y organizar sus datos. 
 
Comparen sus probabilidades teóricas y experimentales, y con base en 
ello determinen cuáles son las diferencias entre la probabilidad teórica 
y la experimental o frecuencial. 
 
 
 
 
 
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Práctica 2. Probabilidad y equivalencia en decimales, 
fracciones y porcentajes 
¿Has expresado alguna vez las probabilidades en la forma de una fracción? 
¿Y en la forma de un decimal o porcentaje? 
 
Cuando la posibilidad de que ocurra o no ocurra un evento no es total, la 
cantidad de probabilidad se asocia con una fracción, número decimal o 
porcentaje. 
 
Ejemplos: Al tirar un dado la probabilidad de que caiga… 
 
a) 3, es 1 de 6, es decir 1/6, 0.166, 2.7% porque el dado tiene los números 
del 1 al 6, uno diferente en cada cara (en total 6 números). 
b) Número par, es 3 de 6, es decir 3/6, ½, 0.5, 50% porque el dado tiene 3 
números pares (2, 4, 6). 
c) Número impar, es 3 de 6, es decir 3/6, ½, 0.5, 50% porque el dado tiene 
3 números impares (1, 3, 5). 
 
Una situación muy común es que sea necesario realizar diversas 
conversiones entre decimales, fracciones y porcentajes para expresar la 
probabilidad. Enseguida se explican algunos procedimientos para efectuar 
dichas conversiones. 
 
I. Convertir entre porcentaje y decimal 
El porcentaje significa "entre 100", así que 50% quiere decir 50 entre 100, o 
simplemente 50/100. Si divides 50 entre 100 sale 0.5 (un número decimal). Así 
que: 
● Para convertir de porcentaje a decimal: divide entre 100 (y quita 
el "%"). 
● Para convertir de decimal a porcentaje: multiplica por 100 (y pon 
el "%"). 
 
Una de las maneras más fáciles de multiplicar (o dividir) por 100 es mover el 
punto decimal 2 posiciones. Así que: 
 
 De decimal A porcentaje 
Mueve el punto decimal 
2 posiciones a la 
derecha, y pon el "%". 
 
 
 
 
 
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… o… 
 
 De porcentaje A decimal 
Mueve el punto decimal 
2 posiciones a la 
izquierda, y quita el "%". 
 
II. Convertir entre fracción y decimal 
La forma más sencilla de convertir una fracción en decimal es dividir el 
número de arriba entre el número de abajo (divide el numerador entre el 
denominador). 
• Ejemplo: Convierte 3/5 en decimal 
Divide 3 entre 5: 3 ÷ 5 = 0.6 
Respuesta: 2/5 = 0.6 
Para convertir de decimal a fracción hay que trabajar más: 
 
Pasos Ejemplo 
Primero, escribe el decimal "encima" del número 1. 0.75
1& 
Después multiplica arriba y abajo por 10 una vez por 
cada cifra después del punto decimal (10 si hay 1, 
100 si hay 2 cifras, etc.). 
0,75	𝑥	100
1	𝑥	100& 
(Esto lo convierte en una fracción de verdad). = 75
100& 
Después	simplifica	la fracción. 3
4& 
 
III. Convertir entre porcentajes y fracciones 
La manera más fácil de convertir una fracción en un porcentaje es dividir el 
número de arriba por el número de abajo. Después multiplica el resultado por 
100 (y añade "%"). 
• Ejemplo: Convierte 3/8 en un porcentaje 
Primero divide 3 entre 8: 3 ÷ 8 = 0.375, 
Después multiplica por: 0.375 x 100 = 37.5 
Y pon el signo de "%": 37.5% 
Respuesta: 3/8 = 37.5% 
Para convertir un porcentaje en una fracción, primero conviértelo en un 
decimal (divide entre 100), y después sigue los pasos para convertir el 
decimal en fracción. 
 
 
 
 
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Resuelve los siguientes problemas que implican la representación de la 
probabilidad en decimales, fracciones o porcentajes y la conversión entre 
ellas. 
 
1. En una caja hay 4 fichas azules, 2 rojas, 3 verdes, y 1 amarilla. Si 
sacamos una ficha cada vez y la regresamos a la caja, ¿qué puede 
suceder? Contesta las siguientes cuestiones: 
• Es más probable sacar una ficha de color: 
a) verde b) roja c) amarilla d) azul 
• La probabilidad de sacar una ficha verde es: 
a) 3/10 b) 1/5 c) 2/5 d) 1/100 
• La probabilidad de sacar cualquier color es: 
a) 0 b) 50% c) 100% d) 25% 
• Es igualmente probable sacar una ficha amarilla o verde que 
sacar una ficha azul: 
 
a) no b) sí c) 0% d) No se puede saber 
 
2. Kelly está jugando en un juego de una feria. Tiró cuatro de nueves aros 
sobre unos bolos. Si escribimos esto en la forma de una fracción 4/9. 
¿Cuál es la forma como decimal o como un porcentaje? 
 
 
 
3. Una bolsa tiene 6 bolitas rojas, 5 bolitas azules, 7 bolitas verdes, 2 bolitas 
blancas y 5 cinco bolitas amarillas. Encuentra la probabilidad de elegir 
al alzar uno de las siguientes cosas. 
 
a) ¿Cuál es la probabilidad en forma de fracción de elegir una bolita 
roja? 
 
b) ¿Cuál es la probabilidad en forma de decimalde elegir una bolita 
roja? 
 
 
 
 
 
 
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c) ¿Cuál es la probabilidad en forma de porcentaje de elegir una 
bolita roja? 
 
d) ¿Cuál es la probabilidad en forma de fracción de elegir una bolita 
azul? 
 
e) ¿Cuál es la probabilidad en forma de decimal de elegir una bolita 
azul? 
 
f) ¿Cuál es la probabilidad en forma de porcentaje de elegir una 
bolita azul? 
 
g) ¿Cuál es la probabilidad en forma de fracción de elegir una bolita 
verde? 
 
h) ¿Cuál es la probabilidad en forma de fracción de elegir una bolita 
blanca? 
 
i) ¿Cuál es la probabilidad en forma de decimal de elegir una bolita 
verde? 
 
j) ¿Cuál es la probabilidad en forma de porcentaje de elegir una 
bolita verde o azul? 
 
k) ¿Cuál es la probabilidad en forma de fracción de elegir una bolita 
amarilla? 
 
l) ¿Cuál es la probabilidad en forma de decimal de elegir una bolita 
amarilla? 
 
m) ¿Cuál es la probabilidad en forma de porcentaje de elegir una 
bolita amarilla? 
 
n) ¿Cuáles 3 bolitas juntas tienen un 60 por ciento de posibilidad de 
ser elegidas? 
 
o) ¿Cuáles 2 bolitas juntas tienen un 40 por ciento de posibilidad de 
ser elegidas? 
 
p) ¿Cuáles 3 bolitas juntas tienen un 0,72 por ciento de posibilidad 
de ser elegidas? 
 
 
 
 
 
 
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4. Completa la siguiente tabla: 
 
Porcentaje Fracción Decimal 
23% 
87% 
11% 
56% 
99% 
35% 
23% 
 
𝟑𝟑
𝟏𝟎𝟎
 
 0.16 
78% 
 
𝟔𝟏
𝟏𝟎𝟎
 
 0.04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 21 
Práctica 3. Histogramas, gráficas poligonales y de línea 
Histograma 
Un histograma es un gráfico que usa barras para simbolizar cómo se 
distribuye un conjunto de datos. También sirve para ver rápidamente cómo 
se ha comportado una muestra basada en una variable numérica o 
cuantitativa. La altura de las barras depende de la frecuencia de los datos 
(cantidad de veces que se repite). Algunas características de los histogramas 
son los siguientes: 
 
• Primeramente, los datos se organizan en una tabla de frecuencias. Las 
variables, también llamadas clases, son cuantitativas y cada una está 
determinada por un intervalo. 
• Las marcas de clase son el punto medio entre el número inferior y el 
número superior de cada intervalo y son utilizadas en algunos tipos de 
histogramas. 
• En los histogramas se pueden representar distintos tipos de 
frecuencias. Generalmente, se representa la frecuencia absoluta, es 
decir, la cantidad de veces que se repite una variable. También se 
pueden representar la frecuencia relativa o la frecuencia acumulada. 
La frecuencia relativa informa el porcentaje o la proporción de las 
frecuencias absolutas y la frecuencia acumulada informa la suma 
sucesiva de las frecuencias absolutas. 
• Los histogramas, como la mayoría de los gráficos, se realizan teniendo 
en cuenta dos ejes: El eje horizontal (x). Representa los intervalos de 
cada variable o las marcas de clase. El eje vertical (y). Representa la 
frecuencia absoluta, la frecuencia relativa o la frecuencia acumulada 
de cada variable. Para determinar cuál es la frecuencia se utiliza la 
altura de la barra. 
 
Ejemplo: 
 
Se registraron los tiempos de las llamadas recibidas en un Call center, y se 
obtuvo la siguiente tabla de frecuencias con datos agrupados. Luego se 
construyó un histograma de frecuencias. 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 22 
Tiempo de 
llamadas 
Marcas de 
clase 
Frecuencia 
absoluta 
Frecuencia 
acumulada 
Frecuencia 
porcentual 
(0-10) 5 2 2 5% 
(10-20) 15 6 8 15% 
(20-30) 25 12 20 30% 
(30-40) 35 10 30 25% 
(40-50) 45 6 36 15% 
(50-60) 55 4 40 10% 
Total 40 100% 
 
 
 
 
60 
 
 
 
 
 Pág. 23 
Gráficas poligonales o polígonos de frecuencia 
Es un gráfico que se forma uniendo los puntos medios de la parte superior de 
las barras de un histograma mediante segmentos de recta. El polígono de 
frecuencias es de mucha utilidad cuando se representa más de una serie en 
una misma gráfica. 
 
Los polígonos de frecuencias se trazan tomando en cuenta las marcas de 
clase (punto medio del intervalo) de cada barra. 
 
Ejemplo: 
 
A partir del histograma del ejemplo anterior, se construyó un polígono de 
frecuencias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 24 
Gráficas de línea 
Un gráfico de líneas, también llamado diagrama de líneas, es un tipo de 
gráfico estadístico que sirve para representar gráficamente una serie 
temporal. Es decir, el gráfico de líneas consiste en una línea que indica la 
evolución de unos datos a lo largo del tiempo. 
 
Así pues, normalmente se suelen representar los períodos de tiempo en el eje 
X del gráfico de líneas, por otro lado, el eje Y corresponde al valor de la 
variable que va fluctuando según el período. 
 
En un gráfico de líneas puede haber más de una línea, de manera que cada 
línea representa a un conjunto de datos. De esta manera se puede comparar 
la evolución entre diferentes series de datos. 
 
Ejemplo: 
 
Se creó un gráfico de líneas que representa la evolución de las lluvias 
mensualmente a lo largo de un año. En el eje X están señalados los meses del 
año y en el eje Y la cantidad de agua en milímetros que dejaron las 
precipítaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 25 
Realicen enseguida las actividades para elaborar histogramas y gráficas 
de polígono y de línea. 
 
1. Las alturas, en metros, de los jugadores de un equipo de baloncesto son 
las siguientes:1.74,1.84,1.87,1.92,1.92,1.97,2.02,2.03,2.07,2.11,2.22. 
 
Elaboren un histograma definiendo primeramente los intervalos de 
altura o clases iguales (por ejemplo, de 10 cm). 
 
Los puntos medios de cada intervalo serán las marcas de clases. 
 
Pueden elaborar previamente una tabla para organizar los datos como 
la siguiente: 
 
Intervalo de alturas (o clases) Marcas de clase Frecuencia absoluta 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de la tabla, elaboren el histograma. 
 
2. Una vez elaborado el histograma con las alturas de los jugadores de 
baloncesto, tracen una gráfica de polígonos. 
 
3. En la siguiente gráfica de líneas representa el saldo en la cuenta de 
ahorro de Mariana durante 5 meses ¿Entre qué meses disminuyó su 
saldo? 
 
 
 
 
 
 Pág. 26 
4. La siguiente gráfica representa el dinero que Leonor tenía ahorrado, a 
lo largo de 7 semanas ¿Ahorró más dinero de la semana 5 a la semana 
6 que en cualquier otra semana? 
 
 
 
5. La gráfica siguiente muestra el número de unidades producidas en una 
fábrica. Durante un periodo de 5 meses en un año. Calcula la diferencia 
entre el número de unidades producidas en febrero y en mayo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 27 
Matemáticas Tercer grado 
Práctica 1. Eventos independientes, dependientes y 
probabilidad de ocurrencia 
Probabilidad de ocurrencia 
• Es el resultado matemático de los casos deseados sobre los casos 
posibles. 
• Es un valor igual o menor que uno 
• Si es algo que siempre ocurre, el valor es 1 
• Si es algo que nunca podrá ocurrir, el valor es 0 
Ejemplo: Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso 
favorable está en uno de sus seis lados posibles, por lo tanto 
P(A)=1/6 =0.166 = 16.6% 
 
Espacio muestral 
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, 
se representa por E (o con S, Ω o U). En una moneda tenemos dos espacios 
muestrales: cara o cruz. En un dado hay seis espacios. 
 
Eventos independientes 
Se dan cuando dos sucesos aleatorios son independientes entre sí, cuando la 
probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso 
ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados. 
 
Cuando los eventos no se afectan entre sí se les conoce como eventos 
independientes. Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que 
ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades 
de que ocurra cada uno de ellos. 
 
Ejemplos: Lanzas un dado, si no sale 6 lanzas de nuevo ¿cuál es la 
probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento? El hecho de que el 
primer lanzamientono es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo 
lanzamiento sea un 6. En este ejemplo la situación es lanzar el dado de nuevo 
si no sale 6 y los eventos son las veces que se lanza el dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 28 
Los eventos independientes ocurren cuando: 
a) El proceso que genera el elemento aleatorio no elimina ningún posible 
resultado. Pueden ser dos, tres o más eventos que no se afecten entre 
sí. 
 
b) El proceso que sí elimina un posible resultado, pero el resultado es 
sustituido antes de que suceda una segunda acción. 
 
Ejemplo: En una bolsa hay 5 canicas, 2 son de color rojo, 2 son blancas y una 
verde. Sacas una canica, la observas y la vuelves a meter en la bolsa; si sacas 
otra canica ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas veces? 
 
Son 2 eventos porque hay que sacar una canica roja en el primer y segundo 
intento. 
 
Son independientes porque se regresa la primera canica a la bolsa y el 
segundo intento es con 5 canicas nuevamente. La probabilidad de sacar una 
canica roja es 2/5 en el primer experimento, al regresarla a la bolsa original 
sigue siendo 2/5 y esto significa que los dos eventos son independientes. 
 
Pero, ¿qué pasaría si no regresas la primera canica a la bolsa? la 
probabilidad de sacar una canica roja será diferente para el segundo 
intento. Si una canica roja es eliminada, en el segundo intento la probabilidad 
sería de 1/4 porque solo queda una roja de las cuatro en este caso los eventos 
no serían independientes. 
 
Regla del producto 
Esta característica se utiliza para calcular la probabilidad conjunta o 
simultánea de dos o más eventos y debe de cumplir la ocurrencia simultánea 
de los eventos independientes donde hay, como se muestra en la expresión 
algebraica P(A ∩ B) = P(A) x P(B) esta fórmula representa la probabilidad 
conjunta de A y B es igual a la probabilidad de A que multiplica a la 
probabilidad de B es por eso que se llama Regla del producto, porque existe 
una multiplicación en las probabilidades de los dos eventos independientes 
para calcular la probabilidad en conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 29 
Por ejemplo, para saber cuál es la probabilidad de que al tirar los dos dados 
aparezca el número 2 en ambos, para aplicar la regla del producto 
escribimos la posibilidad de que salga el número 2 en el primer dado 1/6 y en 
el dado 2 sería igual por lo tanto aplicando la regla del producto 
multiplicamos 1/6 x 1/6 = 1/36 lo cual concuerda exactamente con el espacio 
muestral. 
 
Resuelve los siguientes problemas, determinando primero si se trata de 
eventos independientes y efectuando los cálculos correspondientes: 
 
1. Una tienda dispone de 15 camisas en tres tamaños: 3 pequeñas, 6 
medianas y 6 grandes. Se seleccionan al azar 2 camisas. 
¿Qué probabilidad hay que ambas camisas seleccionadas sean 
pequeñas, si primero se saca una y sin reemplazar en el lote se saca 
otra? 
¿Qué probabilidad hay que ambas camisas seleccionadas sean 
pequeñas, si primero se saca una, se reemplaza en el lote y se saca la 
segunda? 
 
2. Lanzas un dado, y si no sale 6, lanzas de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad 
de sacar un 6 en el segundo lanzamiento? 
 
3. Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una 
verde. Observas el color, la pones de nuevo en la bolsa, y sacar otra 
canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas 
veces? 
 
4. Sacas una carta de un mazo de 52 cartas, y luego lanzas un dado. 
¿Cuál es la probabilidad de sacar un 2 y luego lanzar y que caiga 2? 
 
5. Rafael está jugando un juego de cartas. Empieza con 10 cartas, 
numeradas del 1 al 10, y que están boca abajo por lo que no puede ver 
los números. Él escoge una carta al azar (de forma aleatoria) y la 
voltea. Si la carta es mayor que 5, la carta es "ganadora" y la pone en 
una pila de cartas "ganadoras", Si la carta es 5 o menor, la pone en una 
pila de cartas "perdedoras". Él gana el juego si logra juntar tres cartas 
en la pila ganadora antes de juntar tres cartas en la pila perdedora. 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 30 
Elige el enunciado que mejor describa la situación. 
 
a) Los eventos son independientes, porque el juego no elimina ningún 
resultado. 
 
b) Los eventos son independientes, porque cada ronda tiene los 
mismos posibles resultados (ganar o perder). 
 
c) Los eventos no son independientes, porque un resultado es 
eliminado en cada turno y no es reemplazado. 
 
 
 
 
 
 Pág. 31 
Práctica 2. Eventos mutuamente excluyentes 
Los eventos mutuamente excluyentes se dan cuando dos o más eventos no 
pueden suceder al mismo tiempo, y la suma de sus probabilidades 
individuales es la posibilidad de que el evento ocurra. Un ejemplo de ello es el 
resultado de lanzar una vez una moneda, el cual solo puede ser "cara" o 
"cruz", pero no ambos. 
 
Un evento simple es un resultado específico. Los resultados ocurren al azar 
si cada resultado ocurre por casualidad. La probabilidad de un evento es el 
cociente que divide los resultados favorables entre el número de resultados 
posibles. 
 
La probabilidad de un evento aleatorio es una medida del grado de 
certidumbre de que dicho suceso pueda ocurrir. Se suele expresar como un 
número entre 0 y 1 (o un porcentaje entre 0 % y 100 %), donde un suceso 
imposible tiene probabilidad cero y un suceso seguro tiene probabilidad uno. 
 
Características de los eventos mutuamente excluyentes: 
• Son eventos incompatibles entre sí, nunca podrán darse a la vez. 
• La probabilidad de su intersección de sucesos es la siguiente: 
 
𝑃(Α ∩ Β) = ∅ 
 
• La probabilidad de la unión de sucesos es la siguiente: 
 
𝑃(Α + Β) = 𝑃(Α) + 𝑃(Β) 
 
A continuación, te ponemos algunos ejemplos de eventos que son 
mutuamente excluyentes: 
 
• Una persona que está en México no puede estar a su vez en Colombia. 
• Si hace calor, no puede hacer frío. 
• Tiramos un dado, el resultado no puede ser 3 y 6 a la vez, será uno u 
otro. 
• No podemos estar cargando el teléfono celular y que a su vez se 
descargue la batería (si te ocurre esto, el teléfono celular necesita una 
revisión técnica). 
• El ejemplo que hemos mencionado previamente, tirar una moneda y que 
salga cara y cruz. 
 
 
 
 
 Pág. 32 
Realiza los siguientes ejercicios: 
 
1. Selecciona de la siguiente lista los pares de eventos que son 
mutuamente excluyentes. 
 
a) El animal es un mamífero 
b) El animal está cubierto de pelos 
 
c) El agua está contaminada. 
d) El agua esta purificada. 
 
e) El suelo es fértil 
f) El suelo es apto para plantar todo tipo de plantas. 
 
g) El cambio climático tiene efectos positivos en la naturaleza. 
h) El cambio climático tiene efectos negativos en los ecosistemas. 
 
i) La energía solar no contamina. 
j) La energía solar es renovable. 
 
k) La lluvia ácida es benéfica para las plantas. 
l) La lluvia ácida roba los nutrientes esenciales del suelo y libera 
aluminio, lo que dificulta la absorción del agua por parte de los 
árboles. 
 
2. Escribe 5 ejemplos de eventos mutuamente excluyentes: 
 
EJM Evento 1 Evento 2 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 Pág. 33 
3. En una ruleta como la siguiente, se hace girar la fecha para obtener un 
resultado al azar. Analiza los siguientes casos, identifica los eventos 
mutuamente excluyentes y resuelve. 
 
 
 
a) Cuál es la probabilidad de que la fecha se detenga en un sector 
con un número mayor que 5? 
 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga en un sector amarillo 
y con un número mayor que 5? 
 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la fecha se detenga un sector 
amarillo o con un múltiplo de 3? 
 
d) Calcula la probabilidad de que se obtenga un sector amarillo o 
con un múltiplo de 3. 
 
e) Calcula la probabilidad de que la flecha se detenga en un sector 
amarillo que tenga un múltiplo de 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 34 
Práctica 3. Interpretación de gráficas 
Hay muchas formas en las que se puede leer y dar a conocer información, y 
ésta, puede estar contenida en textos, símbolos o códigos. Porejemplo, en las 
matemáticas es posible leer e interpretar información contenida en gráficas 
además de textos. Es muy probable que conozcan algunos ejemplos de las 
gráficas que se usan en matemáticas para comunicar información o datos 
de interés. 
 
Resuelve los siguientes ejercicios en los que tienes que leer e interpretar la 
información de diversas gráficas: 
 
1. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo 
de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia al instituto 
(en kilómetros): 
 
 
 
a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron? 
 
b) ¿Cuánto tiempo duró la visita al lugar? 
 
c) ¿Hubo alguna parada a la ida? ¿Y a la vuelta? 
 
d) ¿Cuánto duró la excursión completa (incluyendo el viaje de ida y 
el de vuelta)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 35 
2. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia 
viene dada por la gráfica siguiente: 
 
 
 
a) ¿Cuál es la dosis inicial? 
 
b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 
minutos? ¿Y al cabo de 1 hora? 
 
c) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la variable dependiente? 
 
d) A medida que pasa el tiempo, la concentración en sangre de la 
anestesia, ¿aumenta o disminuye? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 36 
3. Observen la siguiente gráfica y luego respondan: 
 
 
 
a) ¿Qué tipo de gráfico observas? 
 
b) ¿Qué información puedes obtener de esta gráfica? 
 
c) ¿Cómo piensas que se elabora este tipo de gráfico? 
 
d) ¿Qué información es conveniente registrar en este tipo de 
gráficos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 37 
4. Una encuesta a 300 personas buscaba conocer el deporte favorito de 
los encuestados. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico 
circular. 
 
 
 
a) ¿Cuál era el deporte favorito con más votos según las personas 
encuestadas? 
 
b) ¿Cuál era el deporte favorito con menos votos según las personas 
encuestadas? 
 
c) ¿Qué porcentaje de la gente respondió que el fútbol americano 
era su deporte favorito? ¿De cuántas personas se trata? 
 
d) ¿Cuántas personas dijeron que el básquetbol era su deporte 
favorito? 
 
e) ¿Cuántas personas más prefirieron el fútbol por encima del 
hockey sobre hielo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 38 
5. En el siguiente gráfico se muestran las preferencias de los alumnos de 
un aula por los cursos de Aritmética (A); Álgebra (X); Geometría (G); 
Física (F); Trigonometría (T); Química (Q). 
 
 
 
Si 9 alumnos prefieren Física. ¿A cuántos les gusta la aritmética? 
 
a) 130 b) 135 c) 150 d) 140 
 
¿Cuál es el total de alumnos encuestados? 
 
a) 360 b) 340 c) 370 d) 320