PFC Anexo 1

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Proyecto de Final de Carrera 
Ingeniero Industrial 
 
 
 
Elaboración de fórmulas analíticas y tablas de 
cálculo para las estructuras metálicas de acero 
según la normativa Eurocódigo 3 
 
 
 
 
 
 
ANEXO A: Vigas 
ANEXO B: Análisis de vigas en voladizo 
ANEXO C: Análisis de vigas sobre dos apoyos simples 
ANEXO D: Análisis de vigas simples apoyadas en un extremo y empotradas en 
el otro 
ANEXO E: Análisis de vigas biempotradas 
ANEXO F: Análisis de vigas continuas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Maribel Tejerizo Fernández 
Director: Frederic Marimon Carvajal 
Convocatoria: Abril 2015 (Plan 94) 
 
 
 
 
Escola Tècnica Superior 
d’Enginyeria Industrial de Barcelona 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 1 
 
Sumario 
SUMARIO ____________________________________________________ 1 
A. VIGAS ___________________________________________________ 5 
B. ANÁLISIS DE VIGAS EN VOLADIZO __________________________ 8 
B.1 Voladizo con carga puntual en el extremo ........................................................ 8 
B.2 Voladizo con carga puntual en una sección cualquiera .................................. 11 
B.3 Voladizo con carga repartida .......................................................................... 15 
B.4 Voladizo con carga triangular repartida en sentido creciente ......................... 17 
B.5 Voladizo con carga triangular repartida en sentido creciente, en el 
extremo libre ................................................................................................... 19 
B.6 Voladizo con carga triangular repartida en sentido creciente, en el 
extremo del empotramiento ............................................................................ 24 
B.7 Voladizo con carga triangular repartida en sentido decreciente ..................... 28 
B.8 Voladizo con carga triangular repartida en sentido decreciente, en el 
extremo del empotramiento ............................................................................ 30 
B.9 Voladizo con carga repartida creciente con p1 y p2 ........................................ 34 
B.10 Voladizo con carga repartida creciente y decreciente .................................. 37 
B.11 Voladizo con momento flector, M, aplicado en una sección C ..................... 42 
B.12 Voladizo con momento flector, M, en el extremo libre .................................. 46 
C. ANÁLISIS DE VIGAS SOBRE DOS APOYOS SIMPLES __________ 48 
C.1 Viga biapoyada con carga puntual en una sección de la viga........................ 48 
C.2 Viga biapoyada con carga puntual en el medio de la viga ............................. 52 
C.3 Viga biapoyada con dos cargas puntuales ..................................................... 54 
C.4 Viga biapoyada con carga repartida ............................................................... 58 
C.5 Viga biapoyada con carga repartida en el lado de uno de los apoyos ........... 60 
C.6 Viga biapoyada con carga repartida en una zona .......................................... 64 
C.7 Viga biapoyada con carga triangular repartida ............................................... 70 
C.8 Viga biapoyada con carga triangular sentido decreciente en un extremo ...... 73 
C.9 Viga biapoyada con carga triangular sentido creciente en un extremo .......... 77 
C.10 Viga biapoyada con carga triangular sentido creciente en un extremo ........ 81 
C.11 Viga biapoyada con carga triangular sentido creciente en un extremo ........ 84 
C.12 Viga biapoyada con carga triangular creciente y decreciente ...................... 87 
C.13 Viga biapoyada con carga triangular creciente y decreciente simétrica....... 91 
Pág. 2 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
C.14 Viga biapoyada con carga repartida trapezoidal .......................................... 93 
C.15 Viga biapoyada con un momento flector aplicado en un extremo ............... 97 
C.16 Viga biapoyada con dos momentos flectores aplicados en cada 
extremo y sentido opuesto ............................................................................. 99 
C.17 Viga biapoyada con dos momentos flectores aplicados en cada 
extremo y mismo sentido ............................................................................. 101 
C.18 Viga biapoyada con un momento flector M, aplicado en una sección C ... 103 
D. ANÁLISIS DE VIGAS SIMPLES APOYADAS EN UN EXTREMO Y 
EMPOTRADAS EN EL OTRO ______________________________ 107 
D.1 Viga apoyada y empotrada con carga puntual en una sección ................... 109 
D.2 Viga apoyada y empotrada con carga puntual en la sección central .......... 112 
D.3 Viga apoyada y empotrada con dos cargas puntuales ................................ 115 
D.4 Viga apoyada y empotrada con carga repartida .......................................... 118 
D.5 Viga apoyada y empotrada con carga repartida en un tramo ...................... 120 
D.6 Viga apoyada y empotrada con carga repartida creciente .......................... 123 
D.7 Viga apoyada y empotrada con carga repartida creciente en el extremo 
del apoyo ...................................................................................................... 125 
D.8 Viga apoyada y empotrada con carga repartida decreciente ...................... 127 
D.9 Viga apoyada y empotrada con carga repartida decreciente en el 
extremo del apoyo ........................................................................................ 129 
D.10 Viga apoyada y empotrada con carga repartida decreciente en el 
extremo del empotramiento ......................................................................... 132 
D.11 Viga apoyada y empotrada con carga repartida decreciente y 
decreciente ................................................................................................... 135 
D.12 Viga apoyada y empotrada con carga repartida decreciente p1 y p2 ....... 138 
D.13 Viga apoyada y empotrada con momento aplicado en una sección ......... 140 
E. ANÁLISIS DE VIGAS BIEMPOTRADAS ______________________ 142 
E.1 Viga biempotrada con carga puntual en una sección de la viga .................. 144 
E.2 Viga biempotrada con carga puntual en la sección central .......................... 147 
E.3 Viga biempotrada con dos cargas puntuales ............................................... 149 
E.4 Viga biempotrada con carga repartida ......................................................... 152 
E.5 Viga biempotrada con carga repartida en el extremo .................................. 154 
E.6 Viga biempotrada con carga repartida en un tramo ..................................... 158 
E.7 Viga biempotrada con carga repartida creciente .......................................... 162 
E.8 Viga biempotrada con carga repartida creciente en el extremo ................... 164 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 3 
 
E.9 Viga biempotrada con carga repartida decreciente en el extremo ............... 168 
E.10 Viga biempotrada con carga repartida creciente p1 y p2 ........................... 172 
E.11 Viga biempotrada con carga repartida decreciente y creciente ................. 174 
E.12 Viga biempotrada con carga repartida creciente y decreciente ................. 177 
E.13 Viga biempotrada con carga repartida creciente y decreciente ................. 180 
E.14 Viga biempotrada con carga repartida trapezoidal ..................................... 183 
E.15 Viga biempotrada con momento aplicado en una sección ......................... 187 
F. ANÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS __________________________ 190 
F.1 Viga continua de dos vanos iguales con dos cargas puntuales aplicadas ... 190 
F.2 Viga continua de dos vanos iguales con carga repartida ............................. 192 
F.3 Viga continua de tres vanos iguales con tres cargas puntuales aplicadas ... 195 
F.4 Viga continua de tres vanos iguales con carga repartida ............................. 197 
F.5 Vigacontinua de dos vanos desiguales con carga repartida ........................ 199 
F.6 Viga continua de tres vanos desiguales con carga repartida ....................... 204 
 
Pág. 4 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 5 
 
A. Vigas 
A continuación se hace una breve explicación de los procedimientos usados para calcular 
las reacciones, los esfuerzos cortantes y momentos flectores, así como la obtención de los 
diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores, los ángulos de giro y flecha en 
determinadas secciones y la ecuación de la elástica. 
Cálculo de las reacciones 
Son tres las ecuaciones de equilibrio de las que se dispone para calcular las reacciones en 
las ligaduras: sumatorio de fuerzas verticales y horizontales en una sección igual a cero, y 
la tercera que indica la condición de ser nulo el momento resultante de todas estas fuerzas 
respecto de cualquier punto (Ec. A.1). 
  0xM   0vF   0hF (Ec. A.1) 
Obtención de los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores 
Para dibujar los diagramas primero se han calculado los esfuerzos cortantes y momentos 
flectores por tramos. Estos tramos se han definido en función de la geometría y el tipo de 
carga aplicada en cada una de las estructuras. 
El criterio de signos que se ha usado para dibujar los diagramas es el siguiente (Fig. A.1): 
T+dTT
dx
+
dx
-M
M+dM
T+dTT
M
M+dM
 
Fig. A.1 Criterio de signos de esfuerzo cortante y momento flector 
El esfuerzo cortante es positivo si la resultante de las fuerzas verticales situadas a la 
izquierda de la sección tiene dirección hacia arriba, en cambio será negativo si la resultante 
tiene dirección hacia abajo. 
El momento flector es positivo cuando las fibras comprimidas están situadas por encima de 
la fibra neutra, el momento es negativo cuando las fibras comprimidas están por debajo. 
 
 
Pág. 6 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
Obtención de los ángulos de giro y las flechas 
Para obtener los ángulos de giro y los desplazamientos de forma genérica (en cualquier 
tramo de la estructura) es necesario calcular la ecuación diferencial de la elástica. En 
cambio, si lo que interesa es calcular únicamente estos valores en ciertas secciones de la 
estructura es suficiente con aplicar los teoremas de Mohr. A continuación se indica el 
procedimiento a seguir para obtener la ecuación de la elástica y seguidamente se explican 
los teoremas de Mohr. 
Obtención de la ecuación de la elástica 
A partir de la relación existente entre el momento flector y la curvatura (Ec. 4.2) de la 
directriz deformada se obtiene la expresión exacta de la curvatura. Debido a que los 
corrimientos son pequeños se puede despreciar el infinitésimo de orden superior de esta 
expresión (Ec. A.2), y obtener de esta manera la ecuación diferencial de la elástica. 
EI
M


1
 
→ 
2
3
2
2
2
1
1
















dx
dw
dx
wd

 → 
EI
M
dx
wd

2
2
 (Ec. A.2) 
Integrando dos veces (Ec. A.3 y Ec. A.4) la ecuación diferencial de la elástica (Ec. A.2), se 
obtiene la ecuación de corrimiento transversal (Ec. A.4). 
Primera integral
 
 
1Cdx
EI
M
dx
dw
  (Ec. A.3) 
Segunda integral
 
     





 21 CCdx
EI
M
xw (Ec. A.4) 
Al hacer la doble integración, aparecen dos constantes C1 y C2, el valor de las cuales se 
obtiene a partir de las condiciones de contorno de la estructura. Una de las condiciones que 
se ha de cumplir siempre, es que el corrimiento vertical en los enlaces siempre es nulo. 
La segunda condición de contorno depende de la aplicación de las cargas sobre la 
estructura, por tanto para cada caso es distinto. Si por las características de la estructura es 
conocida la sección de la viga donde la flecha es máxima, la derivada del corrimiento 
transversal (Ec. A.3) es nula en esta sección. 
 
 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 7 
 
Teoremas de Mohr 
Con la aplicación de los Teoremas de Mohr se calculan los valores exactos de giros y 
flechas en secciones concretas. Debido a la geometría de las estructuras estudiadas se ha 
considerado importante calcular los giros en los enlaces articulados y extremos libres (caso 
del voladizo), aunque en función de la carga aplicada también se han aplicado estos 
teoremas en distintas secciones de las vigas. 
1er Teorema de Mohr 
El primer teorema de Mohr relaciona los giros entre dos secciones A y B (Ec. A.5). 

B
A
AB dx
EI
M
 (Ec. A.5) 
2º Teorema de Mohr 
El segundo teorema de Mohr (Ec. A.6) permite obtener el valor de la flecha en una sección 
determinada de la viga. 
  
B
A
B dxxx
EI
M
 (Ec. A.6) 
 
Pág. 8 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
B. Análisis de vigas en voladizo 
Todos los voladizos cumplen las siguientes condiciones es el extremo empotrado (sección 
B):  0BM (sumatorio de momentos respecto el empotramiento es nulo), 0B 
(ángulo de giro en el empotramiento es nulo) y 0B (flecha o desplazamiento vertical en 
el empotramiento es nulo). 
 
Criterio de signos 
Flechas: ↓ positivas 
Ángulos de giro negativos 
Reacciones verticales ↑ positivas 
Momentos negativos 
B.1 Voladizo con carga puntual en el extremo 
 
Cálculo de las reacciones 
A partir de las ecuaciones de la estática sumatorio de momentos respecto del 
empotramiento (Ec. B.1) sea nulo y suma de fuerzas verticales también cero (Ec. B.2) se 
obtiene el valor de las reacciones, RB y MB. 
  0BM → PLM B  (Ec. B.1) 
  0vF → PRB  (Ec. B.2) 
 
 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 9 
 
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
El esfuerzo cortante es constante e igual a la carga puntual P (Ec. B.3) en todo el voladizo. 
El momento flector no es constante, puesto que depende de x, distancia entre el extremo 
del voladizo y la sección (Ec. B.4). El momento flector en el extremo A es cero, y máximo 
en el empotramiento B. 
PTAB  (Ec. B.3) 
PxxM AB )( (Ec. B.4) 
 
 
 
 
DEC 
 
 
DMF 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro del extremo libre, Ec. B.5, 
ya que el ángulo de giro en B es cero (θB=0) por tratarse de un empotramiento. 
dx
EI
Px
A
LB
BA 




0
 → 
EI
PL
EI
Px
L
A
22
2
0
2






 (Ec. B.5) 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en el extremo libre, Ec. B.6. 
dxxx
EI
Px
A
A
LB
A )(
0


 


 → 
0 2
L
A
EI
Px
 
0
3
3
L
A
EI
Px






 → 
EI
PL
A
3
3
 (Ec. B.6) 
Pág. 10 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
Ecuación de la elástica 
A partir de la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.7, e integrando doblemente esta 
ecuación, Ec. B.8 y B.9, se obtiene la ecuación de corrimiento transversal. 
EI
M
dx
wd

2
2
 (Ec. B.7) 
1
2
2
C
EI
Px
dx
EI
Px
x
w
AB





 (Ec. B.8) 
21
3
1
2
62
)( CxC
EI
Px
dxC
EI
Px
xwAB 








  (Ec. B.9) 
Se ha obtenido la ecuación de la elástica con constantes que se han de determinar a partir 
de las condiciones de contorno. 
La primera condición que se impone es el valor de la flecha del extremolibre calculado por 
el 2º teorema de Mohr, Ec. B.10. 
EI
PL
CxwAB
3
)0(
3
2  (Ec. B.10) 
La segunda condición que se impone es que el corrimiento transversal en el empotramiento 
es cero, Ec. B.11. 
0)(  LxwAB → 0
36
)(
3
1
3

EI
PL
LC
EI
PL
LxwAB → 
EI
PL
C
2
2
1

 (Ec. B.11) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.12. 
 323 23
6
)( LxLx
EI
p
xwAB  (Ec. B.12) 
 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 11 
 
B.2 Voladizo con carga puntual en una sección cualquiera 
 
Cálculo de las reacciones 
Se sigue el mismo procedimiento que en el apartado B.1 Voladizo con carga puntual en el 
extremo libre del voladizo: sumatorio de momentos respecto del empotramiento y suma de 
fuerzas verticales han de ser nulos, obteniendo para este caso las reacciones en el 
empotramiento: 
PbM B  PRB  
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
Se ha dividido el voladizo en dos partes, tramo AC y tramo CB. En el primer tramo tanto el 
esfuerzo cortante como el momento flector son cero debido a que en esta primera zona no 
hay ninguna carga aplicada. En el segundo tramo el cortante es constante e igual a la 
carga P (Ec. B.13) y el momento flector depende de la distancia (x-a), siendo nulo en la 
sección C y máximo en el empotramiento (Ec. B.14). 
PTCB  (Ec. B.13) 
)()( axPxMCB  (Ec. B.14) 
 
DEC 
 
 
DMF 
 
 
Pág. 12 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro en las secciones A y C 
(sección donde está aplicada la carga). Debido a que el ángulo de giro en B es cero (θB=0), 
se empieza calculando el giro de C, Ec. B.15. 
a
L
aC
LB
BC ax
x
EI
P
dx
EI
axP










 


2
)( 2
 →  aLLa
EI
P
C 2
2
22  (Ec. B.15) 
A partir de las relaciones de geometría de la estructura, Ec. B.16, se obtiene el ángulo de 
giro, Ec. B.17. 
baL  → aLaLb 2222  (Ec. B.16) 
 2
2
b
EI
P
C  → 
EI
Pb
C
2
2
 (Ec. B.17) 
A partir del valor θC se calcula el giro en el extremo libre del voladizo, Ec. B.18. 
0 CA  → 
EI
Pb
CA
2
2
 (Ec. B.18) 
2
o
 Teorema de Mohr 
Para calcular la flecha en la sección C y en el extremo libre se aplica el 2
o
 Teorema de 
Mohr. Para facilitar los cálculos se ha calculado la flecha en A usando la fórmula que 
relaciona el desplazamiento transversal con el área (en este caso es un triángulo) que 
queda debajo del diagrama de momentos y el centroide de esta área, Ec. B.19. 






  ba
EI
Pb
EI
centroideÁrea
dx
EI
M
A
B
A
3
2
2
· 2
 →  ba
EI
Pb
A 23
6
3
 (Ec. B.19) 
Se calcula la flecha en la sección de la viga donde se aplica la carga (C), usando el método 
de las áreas, Ec. B.20. 






  b
EI
Pb
EI
centroideÁrea
dx
EI
M
C
B
C
3
2
2
· 2
 → 
EI
Pb
C
3
3
 (Ec. B.20) 
 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 13 
 
Ecuación de la elástica 
Tramo AC 
A partir de la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.7, e integrando doblemente esta 
ecuación, Ec. B.21 y B.22, se obtiene la ecuación de corrimiento transversal. 
10 Cdx
x
w



 (Ec. B.21) 
211)( CxCdxCxw   (Ec. B.22) 
A partir del las condiciones de contorno se obtiene la ecuación de la elástica. Las 
condiciones de contorno que se imponen son el valor de las flechas calculados por el 
segundo teorema de Mohr, en el extremo libre, Ec. B.23, y en la sección donde se aplica la 
carga, Ec. B.24. 
)23(
6
)0(
2
ba
EI
Pb
xwAC  → )23(
6
2
2 ba
EI
Pb
C  (Ec. B.23) 
EI
Pb
axwAC
3
)(
3
 → 
EI
Pb
ba
EI
Pb
aCawAC
3
)23(
6
)(
32
1  → 
EI
Pb
C
2
2
1  (Ec. B.24) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.25. 
 bxa
EI
Pb
xwAC 233
6
)(
2
 (Ec. B.25) 
Tramo CB 
Se sigue el mismo procedimiento que para el tramo AC: integrando la ecuación de la 
elástica dos veces, Ec. B.26 y B.27. 
1
2
2
)(
C
EI
Pax
EI
Px
dx
EI
axP
x
w
CB





 (Ec. B.26) 
21
23
1
2
262
)( CxC
EI
Pax
EI
Px
dxC
EI
Pax
EI
Px
xwCB 





  (Ec. B.27) 
 
Pág. 14 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
Seguidamente se imponen las condiciones de contorno. En este caso se imponen los 
valores de las flechas calculados por el segundo teorema de Mohr, en el empotramiento, 
Ec. B.28, y en la sección donde se aplica la carga, Ec. B.29. 
EI
Pb
axwCB
3
)(
3
 → 
EI
Pb
CaC
EI
Pa
EI
Pa
326
3
21
33
 (Ec. B.28) 
0)(  LxwCB → 0
26
21
23
 CLC
EI
PaL
EI
PL
 (Ec. B.29) 
Debido a que se han obtenido dos ecuaciones con dos incógnitas, se igualan los 
coeficientes C2 para obtener el valor de la constante C1, Ec. B.30. 
EI
PaL
EI
PL
LCaC
EI
Pb
EI
Pa
666
2
6
2 23
11
33
 →  22
1 33
6
ba
EI
P
C  (Ec. B.30) 
Una vez obtenida la constante C1, substituyendo en la Ec. B.29, se halla el valor de C2,Ec. 
B.31. 
  033
626
2
22
23
 CLba
EI
P
EI
PaL
EI
PL
 → 
EI
PLb
EI
PLa
EI
PaL
EI
PL
C
6
3
6
3
6
3
6
2223
2  (Ec. B.31) 
Substituyendo C1 y C2 en la Ec. B.27, se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.32. 
   xabxL
EI
P
xwCB  2
6
)(
2
 (Ec. B.32) 
 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 15 
 
B.3 Voladizo con carga repartida 
 
Cálculo de las reacciones 
Se sigue el mismo procedimiento que en el apartado B.1 Voladizo con carga puntual en el 
extremo libre del voladizo, obteniendo para este caso las reacciones en el empotramiento: 
 
2
2pL
M B  pLRB  
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
El esfuerzo cortante (Ec. B.33) es cero en el extremo libre de la viga, y aumenta de manera 
lineal hasta llegar al empotramiento de la viga, donde toma el valor máximo. El momento 
flector tampoco es constante, puesto que depende cuadráticamente de x (Ec. B.34). El 
momento flector en el extremo A es cero, y máximo en el empotramiento B (
2
2pL
M B  ). 
pxxTAB )( (Ec. B.33) 
2
)(
2px
xM AB  (Ec. B.34) 
DEC 
 
 
DMF 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro del extremo libre, Ec. B.35, 
ya que el ángulo de giro en B es cero (θB=0) por tratarse de un empotramiento. 
Pág. 16 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
dx
EI
px
A
LB
BA 




0 2
2
 → 
EI
pL
EI
px
L
A
66
3
0
3






 (Ec. B.35) 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en el extremo libre, Ec. B.36, 
sabiendo que xA=0. 
dxxx
EI
px
A
A
LB
A )(
2
0 2


 


 → 


0 3
2
L
EI
px
 
0
4
8
L
A
EI
px






 → 
EI
pL
8
4
 (Ec. B.36) 
Ecuación de la elástica 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.7, se obtiene la 
ecuación de corrimiento transversal, Ec. B.37 y B.38. 
1
32
62
C
EI
px
dx
EI
px
x
w
AB



 (Ec. B.37) 
21
4
1
3
246
)( CxC
EI
px
dxC
EI
px
xwAB 







  (Ec. B.38) 
Mediante las condiciones de contorno se obtiene laecuación de la elástica. La primera 
condición de contorno que se impone es el valor de la flecha calculado por el segundo 
teorema de Mohr, en el extremo libre, Ec. B.39. 
EI
pL
xwAB
8
)0(
4
 → 
EI
pL
C
8
4
2  (Ec. B.39) 
La segunda condición que se impone es que el desplazamiento vertical es nulo en el 
empotramiento, Ec. B.40. 
0)(  LxwAB → 0
824
)(
4
1
4

EI
pL
LC
EI
pL
LxwAB → 
EI
pL
C
24
4 3
1  (Ec. B.40) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.41. 
 434 34
24
)( LxLx
EI
p
xwAB  (Ec. B.41) 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 17 
 
B.4 Voladizo con carga triangular repartida en sentido 
creciente 
 
Cálculo de las reacciones 
Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado B.1 Voladizo con carga puntual en el 
extremo libre del voladizo, se obtienen las reacciones en el empotramiento: 
 
6
2pL
MB  
2
pL
RB  
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
Tanto el esfuerzo cortante (Ec. B.42) como el momento flector (Ec. B.43) son crecientes y 
dependen de la distancia x. Toman su máximo valor en el extremo del empotramiento. 
L
px
xTAB
2
)(
2
 (Ec. B.42) 
L
px
xM AB
6
)(
3
 (Ec. B.43) 
DEC 
 
 
DMF 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro del extremo libre (Ec. 
B.44), ya que el ángulo de giro en B es cero (θB=0) por tratarse de un empotramiento. 
dx
LEI
px
A
LB
BA 




0 3
6
 → 
EI
pL
LEI
px
L
A
246
3
0
4






 (Ec. B.44) 
Pág. 18 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en el extremo libre, Ec. B.45), 
sabiendo que xA=0. 


 


dxxx
LEI
px
A
A
LB
A )(
6
0 3
 →  dxx
LEI
px
L
A   0
6
0 3
 
0
5
30
L
A
LEI
px






 → 
EI
pL
A
30
4
 (Ec. B.45) 
Ecuación de la elástica 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.46 y A.47, se obtiene la 
ecuación de corrimiento transversal. 
1
43
246
C
LEI
px
dx
LEI
px
x
w
AB





 (Ec. B.46) 
21
5
1
4
12024
)( CxC
LEI
px
dxC
LEI
px
xwAB 








  (Ec. B.47) 
Condiciones de contorno 
La primera condición, Ec. B.48, que se impone es el valor de la flecha del extremo libre 
calculado por el 2º teorema de Mohr, Ec. B.45. 
EI
pL
CxwAB
30
)0(
4
2  (Ec. B.48) 
La segunda condición que se impone es que el corrimiento transversal en el empotramiento 
es cero, Ec. B.49). 
0)(  LxwAB → 0
30120
4
1
4

EI
pL
LC
EI
pL
 → 
EI
pL
C
24
3
1

 (Ec. B.49) 
Substituyendo el valor de las constantes se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.50. 
 545 45
120
)( LxLx
LEI
p
xwAB  (Ec. B.50) 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 19 
 
B.5 Voladizo con carga triangular repartida en sentido 
creciente, en el extremo libre 
 
Cálculo de las reacciones 
Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado B.1 Voladizo con carga puntual en el 
extremo libre del voladizo, se obtienen las reacciones en el empotramiento: 
 





 aL
pa
M B
3
2
2
 
2
pa
RB  
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
El esfuerzo cortante es creciente en el tramo AC (Ec. B.51) y en el siguiente tramo se 
mantiene constante (Ec. B.52). El momento flector es creciente en todo el voladizo (Ec. 
B.53 y B.54). 
a
px
xTAC
2
)(
2
 (Ec. B.51) 
2
)(
pa
xTCB  (Ec. B.52) 
a
px
xM AC
6
)(
3
 (Ec. B.53) 






 ax
pa
xM CB
3
2
2
)( (Ec. B.54) 
 
DEC 
 
DMF 
 
Pág. 20 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro en la sección C, Ec B.55, 
ya que el ángulo de giro en B es cero (θB=0) por tratarse de un empotramiento. 
dx
a
x
EI
pa
aC
LB
BC 











3
2
2
 → 
a
L
C
axx
EI
pa







3
2
22
2
 → 
 aLLa
EI
pa
C 43
12
22  (Ec. B.55) 
Se vuelve a aplicar el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro en la sección 
libre del voladizo, Ec. B.56. 
dx
aEI
px
A
aC
CA 




0 3
6
 →  
0
4
22
46
43
12
a
A
x
aEI
p
aLLa
EI
pa













 aLLa
pa
EI
pa
A 43
1224
22
3
 →  aLLa
EI
pa
A 863
24
22  (Ec. B.56) 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en las secciones C y A, Ec. B.57 y 
B.58. 
Flecha en C 
dxxaax
EI
pa
aC
LB
C )(
3
2
2








 


 → 
a
L
C
xaxax
EI
pa







3
2
36
5
2
232
 
 LaLaLa
EI
pa
C
2323 425
12
 (Ec. B.57) 
Flecha en A 
La flecha en la sección A se obtiene a partir de la siguiente ecuación, Ec. B.58: 
   



0A
aC
A
AC
CACCA xx
EI
M
xx (Ec. B.58) 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 21 
 
Primero se calcula la integral, Ec. B.59. 
   







0 30
0
6
A
aC
A
aC
A
AC dxx
aEI
px
xx
EI
M
 
 LaLaLa
EI
pa 2323 425
12
 (Ec. B.59) 
Substituyendo y agrupando el resto de términos en la Ec. B.58, se obtiene la Ec. B.60: 
   
EI
pa
aLLa
EI
pa
LaLaLa
EI
pa
A
30
43
12
425
12
4
22
2
2323  → 
 
EI
pa
LaL
EI
pa
A
30
22
12
4
32  →  323 55
30
LaLa
EI
pa
A  (Ec. B.60) 
Ecuación de la elástica 
Tramo CB 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.61 y B.62, se obtiene la 
ecuación de corrimiento transversal. 
1
2
3
2
223
2
2
C
axx
EI
pa
dx
a
x
EI
pa
x
w
CB















 (Ec. B.61) 
21
23
1
2
6
2
623
2
22
)( CxC
axx
EI
pa
dxC
axx
EI
pa
xwCB 




















  (Ec. B.62) 
Condiciones de contorno 
La primera condición que se impone es que el valor de la flecha en el empotramiento es 0, 
Ec. B.63. 
0)(  LxwCB → 0
6
2
62
21
23






 CLC
aLL
EI
pa
 (Ec. B.63) 
La segunda condición que se impone, Ec. B.64, es que la flecha en la sección C es la 
calculada a partir del segundo teorema de Mohr, Ec. B.57. 
 3223 254
12
)( LaLLaa
EI
pa
axwCB  → 
  21
33
3223
6
2
62
254
12
CaC
aa
EI
pa
LaLLaa
EI
pa









 → 
Pág. 22 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
  0254
12
21
322  CaCLaLLa
EI
pa
 (Ec. B.64) 
Por tratarse de dos ecuaciones con dos incógnitas, se igualan los términos C2 de las Ec. 
B.63 y B.64, obteniendo el término C1, Ec. B.65. 
    aCLaLLa
EI
pa
LCaLL
EI
pa
1
322
1
23 254
12
2
12
 → 
   LaaLL
EI
pa
aLC 223
1 473
12
 →  LaaLL
bEI
pa
C 223
1 473
12
 (Ec. B.65) 
Substituyendo C1 en la Ec. B.64 se obtiene el valor de C2, Ec. B.66. 
   LaaLL
bEI
pa
LaLLa
EI
pa
C 223
2
322
2 473
12
254
12
 → 
 LaLaLaaLbLabLbLa
bEI
pa
C 322223322
2 4473254
12
 (Ec. B.66) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.67, substituyendo los valores de C1 
y C2 obtenidosanteriormente en la Ec. B.62. 
 
 LaLaLaaLbLabLbLa
bEI
pa
xLaaLL
bEI
paaxx
EI
pa
xwCB
322223322
223
23
4473254
12
473
126
2
62
)(








 → 

































33
2
2
3
2
3
3
2
12
)(
223
a
LaLxaLax
EI
pa
xwCB (Ec. B.67) 
Tramo AC 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.68 y B.69, se obtiene la 
ecuación de corrimiento transversal. 
1
43
466
C
x
aEI
pa
dx
aEI
px
x
w
AC









 (Ec. B.68) 
21
5
1
5
206206
)( CxC
x
EI
pa
dxC
x
EI
pa
xwAC 




















  (Ec. B.69) 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 23 
 
Condiciones de contorno 
La primera condición, Ec. B.70, que se impone es que el valor de la flecha en la sección C 
es el calculado anteriormente, Ec. B.57. 
 3223 254
12
)( LaLLaa
EI
pa
axwAC  → 
 3223
21
6
254
12120
LaLLaa
EI
pa
CaC
EI
pa
 (Ec. B.70) 
La segunda condición que se impone, Ec. B.71, es el valor de la flecha en el extremo del 
voladizo, calculado a partir del segundo teorema de Mohr, Ec. B.60. 
 323 55
30
)0( LaLa
EI
pa
xwAC  →  323
2 55
30
LaLa
EI
pa
C  (Ec. B.71) 
Substituyendo C2 en la Ec. B.70 se obtiene el valor de C1, Ec. B.7) 
   3223323
1
6
254
12
55
30120
LaLLaa
EI
pa
LaLa
EI
pa
aC
EI
pa
 → 
 222
1 30415
120
LaLa
EI
pa
C  (Ec. B.72) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.73, substituyendo los valores de C1 
y C2 obtenidos anteriormente en la Ec. B.69. 
   323222
5
55
30
30415
120206
)( LaLa
EI
pa
xLaLa
EI
pax
EI
pa
xwAC 











 
 LaaLa
EI
px
xwAC
223 241859
72
)(  (Ec. B.73) 
Pág. 24 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
B.6 Voladizo con carga triangular repartida en sentido 
creciente, en el extremo del empotramiento 
 
Cálculo de las reacciones 
Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado B.1 Voladizo con carga puntual en el 
extremo libre del voladizo, se obtienen las reacciones en el empotramiento: 
 
6
2pb
M B  
2
pb
RB  
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
Tanto el esfuerzo cortante como el momento flector son crecientes en el tramo CB, (Ec. 
B.74 y B.75). En el tramo AC son nulos. 
b
axp
xTCB
2
)(
)(
2
 (Ec. B.74) 
 
b
axp
xMCB
6
)(
3

 (Ec. B.75) 
 
DEC 
 
DMF 
 
 
 
 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 25 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro en la sección C, Ec. B.76, 
ya que el ángulo de giro en B es cero (θB=0) por tratarse de un empotramiento. 
dx
bEI
axp
aC
baB
BC 




6
)( 3
 → 
a
ba
C xa
axaxx
bEI
p







 3
223
2
3
3
3
46
 → 
EI
pb
C
24
3
 (Ec. B.76) 
Por no haber cargas aplicadas en el tramo AC, el ángulo de giro de la sección A es el 
mismo que el de la sección C: θA= θC 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en las secciones C y A, Ec. B.77 y 
Ec. B.78. 
Flecha en C 
 
dxxx
bEI
axp
C
aC
baB
C )(
6
3


 


 → 
 
dx
bEI
axp
aC
baB
C 




6
4
 
a
ba
C xaxaxaax
x
bEI
p







 423324
5
22
56
→ 
EI
pb
C
30
4
 (Ec. B.77) 
Flecha en A 
Para calcular la flecha en A, se aplica la fórmula que relaciona flechas y ángulos de giro, 
Ec. B.78. 
   



0A
aC
ACACCA dxxx
EI
M
xx → 
 a
EI
b
EI
pb
A  0
2430
34
 → 
EI
pab
EI
pb
A
2430
34
 (Ec. B.78) 
Ecuación de la elástica 
Tramo CB 
Se integra doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.79 y Ec. B.80. 
Pág. 26 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
 
1
3
22
3
43
2
3
466
Cxa
xa
ax
x
bEI
p
dx
bEI
axp
x
w
CB











 (Ec. B.79) 
 













 dxCxa
xa
ax
x
bEI
p
xwCB 1
3
22
3
4
2
3
46
)( → 
21
233245
224206
)( CxC
xaxaaxx
bEI
p
xwCB 





 (Ec. B.80) 
Condiciones de contorno 
La primera condición que se impone es que el valor de la flecha en el empotramiento es 
cero, Ec. B.81. 
0)(  LxwCB → 0
224206
21
233245






 CLC
LaLaaLL
bEI
p
 (Ec. B.81) 
La segunda condición que se impone, Ec. B.82, es el valor de la flecha en la sección C es 
el calculado mediante la ecuación, Ec. B.77. 
EI
pb
axwCB
30
)(
4
 → 
EI
pb
CaC
a
bEI
p
3020
4
6
4
21
5






 (Ec. B.82) 
Se trata de dos ecuaciones con dos incógnitas, igualamos el término C2, Ec. B.83. 
EI
pb
aC
a
bEI
p
LC
LaLaaLL
bEI
p
3020
4
6224206
4
1
5
1
233245












 → 
   545
1 54
120
bbab
EI
p
aLC  →  44
1 5
120
ba
bEI
p
C  (Ec. B.83) 
Substituyendo el término C2 en una de las dos ecuaciones, Ec. B.81 o Ec B.82, se obtiene 
el término C1 , Ec. B.84. En este caso se ha usado la Ec. B.82. 
 45
54
2 55
1203030
aba
bEI
p
bEI
pa
EI
pb
C  → 
 45
4
2 5
12030
aba
bEI
p
EI
pb
C  (Ec. B.84) 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 27 
 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.85, substituyendo los valores de C1 
y C2 obtenidos anteriormente y agrupando términos. 
   45
4
44
233245
5
12030
5
120224206
)( aba
bEI
p
EI
pb
xba
bEI
pxaxaaxx
bEI
p
xwCB 









  5445
55
120
)( bLbxbax
bEI
p
xwCB  (Ec. B.85) 
Tramo AC 
Se integra doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.86 y B.87. 
1C
x
w
AC



 (Ec. B.86) 
21)( CxCxwAC  (Ec. B.87) 
Condiciones de contorno 
La primera condición, Ec. B.88, que se impone es que el valor de la flecha en el extremo 
libre de la viga, sección A, es el calculado anteriormente, Ec. B.78. 
EI
pab
EI
pb
xwAC
2430
)0(
34
 → 
EI
pab
EI
pb
C
2430
34
2  (Ec. B.88) 
La segunda condición que se impone, Ec. B.89, es el valor de la flecha en la sección C es 
el calculado anteriormente, la flecha en A, Ec. B.78. 
EI
pb
axwAC
30
)(
4
 → 
EI
pb
CaC
30
4
21  (Ec. B.89) 
Substituyendo C2 en la Ec. B.89 se obtiene el valor C1, Ec. B.90. 
EI
pb
EI
pab
EI
pb
aC
302430
434
1  → 
EI
pb
C
24
3
1  (Ec. B.90) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.91, substituyendo los valores de C1 
y C2 obtenidos anteriormente y agrupando términos. 
EI
pab
EI
pb
x
EI
pb
xwAC
243024
)(
343
 →  bax
EI
pb
xw 455
120
)(
3
 (Ec. B.91) 
Pág. 28 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
B.7 Voladizo con carga triangular repartida en sentido 
decreciente 
 
Cálculo de las reacciones 
Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado B.1 Voladizo con carga puntual en el 
extremo libre del voladizo, se obtienen las reacciones en el empotramiento: 
 
 3
2pL
MB 
 2
pL
RB 
 
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
Tanto el esfuerzo cortante (Ec. B.92) como el momento flector (Ec. B.93) son crecientes y 
dependen de la distancia x. Toman su máximo valor en el extremo del empotramiento.L
xLpx
xTAB
2
)2(
)(


 (Ec. B.92) 
 
L
xLpx
xMCB
6
3
)(
2 

 (Ec. B.93) 
 
DEC 
 
DMF 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro en el extremo de libre, 
sección A, Ec. B.94. El ángulo de giro en B es cero (θB=0) por tratarse de un 
empotramiento. 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 29 
 
dx
LEI
xLpx
A
LB
BA 




0 2
6
)3(
 → 
EI
pLxLx
LEI
p
L
A
843
3
6
3
0
43






 (Ec. B.94) 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en el extremo libre, Ec. B.95. 


 


dxxx
LEI
xLpx
A
A
LB
A )(
6
)3(
0 2
 → dx
LEI
xLpx
L
A 


0 3
6
)3(
 
0
54
54
3
6
L
A
xLx
LEI
p






 → 
EI
pL
A
120
11 4
 (Ec. B.95) 
Ecuación de la elástica 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.96 y B.97, se obtiene la 
ecuación de corrimiento transversal. 
1
432
2418
3
6
)3(
C
LEI
px
EI
px
dx
LEI
xLpx
x
w
AB





 (Ec. B.96) 
21
54
1
43
120242418
3
)( CxC
LEI
px
EI
px
dxC
LEI
px
EI
px
xwAB 








  (Ec. B.97) 
Condiciones de contorno 
La primera condición que se impone, Ec. B.98, es el valor de la flecha del extremo libre 
calculado por el 2º teorema de Mohr, Ec. B.96. 
EI
pL
CxwAB
120
11
)0(
4
2  (Ec. B.98) 
La segunda condición que se impone es que el corrimiento transversal en el empotramiento 
es cero, Ec. B.99. 
0)(  LxwAB → 0
120
11
12024
4
1
44

EI
pL
LC
EI
pL
EI
pL
 → 
EI
pL
C
120
15 3
1

 (Ec. B.99) 
Substituyendo el valor de las constantes se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.100. 













L
x
L
x
L
x
LEI
pL
xwAB 5
15
11
120
)(
4
44
 (Ec. B.100) 
Pág. 30 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
B.8 Voladizo con carga triangular repartida en sentido 
decreciente, en el extremo del empotramiento 
 
Cálculo de las reacciones 
Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado B.1 Voladizo con carga puntual en el 
extremo libre del voladizo, se obtienen las reacciones en el empotramiento: 
 
3
2pb
M B  
2
pb
RB  
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
Tanto el esfuerzo cortante como el momento flector son crecientes en el tramo CB (Ec. 
B.101 y B.102). En el tramo AC son nulos. 
b
xLbaxp
xTCB
2
))((
)(

 (Ec. B.101) 
 
b
xLbaxp
xMCB
6
)2(
)(
2

 (Ec. B.102) 
DEC 
 
DMF 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro en la sección C Ec. B.103, 
ya que el ángulo de giro en B es cero (θB=0) por tratarse de un empotramiento. 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 31 
 
dx
b
xLbaxp
aC
baB
BC 




2
))((

 → 
   
 
a
ba
C xaLb
xaLabaxLabx
bEI
p











 2
2234
2
2
24
3
22
46

 → 
 433 544
72
bLbab
bEI
p
C  → 
EI
pb
C
8
3
 (Ec. B.103) 
A partir del valor θC se calcula el giro en el extremo libre del voladizo, Ec. B.104. 
0 CA  → 
EI
Pb
CA
8
3
 (Ec. B.104) 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en la sección C, Ec. B.105. 
 
dxxx
bEI
xLbaxp
C
aC
baB
C )(
6
)2(
2


 


 → 
 
dx
bEI
xLbaxp
aC
baB
C 




6
)2(
3
 
a
ba
C xabL
xaLaba
axaLb
xaLbx
bEI
p













 3
2322
3
45
)2(
2
)36(
)2(
4
)32(
56
 
EI
pb
C
120
11 4
 (Ec. B.105) 
Para calcular la flecha en A, se aplica la fórmula que relaciona flechas y ángulos de giro, 
Ec. B.106. 
   



0A
aC
ACACCA dxxx
EI
M
xx →  a
EI
Pb
EI
pb
A  0
8120
11 34
 
EI
pab
EI
pb
A
120
15
120
11 34
 →  Lb
EI
pb
A 154
120
3
 (Ec. B.106) 
Ecuación de la elástica 
Tramo CB 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.107 y A.108, se obtiene 
la ecuación de corrimiento transversal. 
Pág. 32 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
 
dx
bEI
xLbaxp
x
w
CB





6
)2(
2
 → 
 
 
  1
2
2
3
4
3
2
23
46
Cxaba
xbaa
xba
x
bEI
p
x
w
CB













 (Ec. B.107) 
     
21
22345
2
3
6
2
4206
)( CxC
xabaaxbaxbax
bEI
p
xwCB 







 




 (Ec. B.108) 
Condiciones de contorno 
La primera condición que se impone es el valor de la flecha en el empotramiento es cero, 
Ec. B.109. 
0)(  LxwCB → 
     
0
2
3
2
2
4206
21
22345







 




 CLC
LabaaLbaLbaL
bEI
p
 
  0204204
120
21
45235  CLCbabbaa
bEI
p
 (Ec. B.109) 
La segunda condición que se impone, Ec. B.110, es que la flecha en la sección C es la 
calculada a partir del segundo teorema de Mohr, Ec. B.105. 
EI
pb
axwCB
120
11
)(
4
 → 
     
EI
pb
CaC
abaabaabaa
bEI
p
120
11
2
3
2
2
4206
4
21
4445








 






 
 
EI
pb
CaCbaa
bEI
p
120
11
154
120
4
21
45  (Ec. B.110) 
Por tratarse de dos ecuaciones con dos incógnitas, se igualan los términos C2 de las 
ecuaciones 1.8.9 y 1.8.10, obteniendo el valor del término C1, Ec. B.111. 
    aCbaa
bEI
p
EI
pb
LCbabbaa
bEI
p
1
45
4
1
45235 154
120120
11
204204
120


→ 
     baa
bEI
p
EI
pb
babbaa
bEI
p
aLC 45
4
45235
1 154
120120
11
204204
120



→ 
 443
1 51520
120
abba
bEI
pa
C 
 (Ec. B.111) 
Substituyendo C1 en la segunda condición de contorno, Ec. B.110, se obtiene el valor de 
C2, Ec. B.112. 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 33 
 
   
EI
pb
Cabba
bEI
pa
baa
bEI
p
120
11
51520
120
154
120
4
2
443
2
45 
 → 
 4455
2 15511
120
abbaab
bEI
pb
C 
 (Ec. B.112) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.113 substituyendo los valores de C1 
y C2 obtenidos anteriormente. 
      
   4455443
2233245
15511
120
51520
120
3102105
120
)(
abbaab
bEI
pb
xabba
bEI
pa
xbaaxabaxbax
bEI
p
xwCB


 → 
    Lbbxbaxbax
bEI
p
xwCB
45445
154155
120
)( 
 (Ec. B.113) 
Tramo AC 
Se sigue el mismo procedimiento que para el tramo AC: integrando la ecuación de la 
elástica dos veces (Ec. B.114 y B.115) 
10 Cdx
x
w
AC
 


 (Ec. B.114) 
211)( CxCdxCxwAC  
 (Ec. B.115) 
A partir del las condiciones de contorno, Ec. B.116 y Ec. B.117 se obtiene la ecuación de la 
elástica. Las condiciones de contorno que se imponen son el valor de las flechas 
calculados por el segundo teorema de Mohr, en la sección C, Ec. B.105, y en el extremo 
libre, sección A, Ec. B.106. 
EI
pab
EI
pb
xwAC
120
15
120
11
)0(
34

 
→ 
EI
pab
EI
pb
C
120
15
120
11 34
2  (Ec. B.116) 
EI
pb
EI
pab
EI
pb
aC
120
11
120
15
120
11 434
1  → 
EI
pab
C
120
15 3
1  (Ec. B.117) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.118. 
EI
pab
EI
pb
x
EI
pab
xwAC
120
15
120
11
120
15
)(
343
 →  Lbx
EI
pb
xwAC 15415
120
)(
3
 (Ec. B.118) 
Pág. 34 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructurasmetálicas según el Eurocódigo3 
 
B.9 Voladizo con carga repartida creciente con p1 y p2 
 
Cálculo de las reacciones 
Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado B.1 Voladizo con carga puntual en el 
extremo libre del voladizo, se obtienen las reacciones en el empotramiento: 
6
)2( 12
2 ppL
MB

 
2
)( 21 ppL
RB

 
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
Tanto el esfuerzo cortante como el momento flector son crecientes en el tramo CB (Ec. 
B.119 y B.120). 










 xp
L
xpp
xTAB 1
2
12
2
)(
)( (Ec. B.119)
 











26
)(
)(
2
1
3
12 xp
L
xpp
xM AB (Ec. B.120) 
DEC 
 
DMF 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro del extremo libre, Ec. 
B.121, ya que el ángulo de giro en B es cero (θB=0) por tratarse de un empotramiento. 
dx
EI
xp
LEI
xpp
A
LB
BA 













0 2
1
3
12
26
)(
 → 
0
3
1
4
12
624
)(
L
A
EI
xp
LEI
xpp









 
→ 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 35 
 
 21
3
3
24
pp
EI
L
A  (Ec. B.121) 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en el extremo libre, Ec. B.122. 
 
dxxx
EI
xp
LEI
xpp
A
A
LB
A )(
26
0 2
1
3
12 










 


 → 
 
dx
EI
xp
LEI
xpp
A
LB
A 













0 3
1
4
12
26
 
0
4
1
5
12
830
)(
L
A
EI
xp
LEI
xpp








 → )411(
120
21
4
pp
EI
L
A  (Ec. B.122) 
Ecuación de la elástica 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.123 y A.124, se obtiene 
la ecuación de corrimiento transversal. 
1
3
1
4
12
2
1
3
12
624
)(
26
)(
C
EI
xp
LEI
xpp
dx
EI
xp
LEI
xpp
x
w
AB
















 (Ec. B.123) 
21
4
1
5
12
1
3
1
4
12
24120
)(
624
)(
)( CxC
EI
xp
LEI
xpp
dxC
EI
xp
LEI
xpp
xwAB 












  (Ec. B.124) 
Las constantes C1 y C2 se han de determinar a partir de las condiciones de contorno. 
Condiciones de contorno 
La primera condición de contorno que se impone es el valor de la flecha calculado por el 
segundo teorema de Mohr, Ec B.122, en el extremo libre, Ec. B.125, obteniendo el valor de 
C2. 
EI
ppL
xwAB
120
)411(
)0( 21
4 
 → 
EI
ppL
C
120
)411( 21
4
2

 (Ec. B.125) 
La segunda condición que se impone es el valor de la flecha en el empotramiento es cero, 
Ec. B.126. 
0)(  LxwAB → 0
120
)411(
24120
)( 21
5
1
4
1
4
12 



EI
ppL
LC
EI
Lp
EI
Lpp
 → 
Pág. 36 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
EI
ppL
C
120
)515( 21
3
1

 (Ec. B.126) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.127. 
EI
ppL
EI
ppL
EI
xp
LEI
xpp
xwAB
120
)411(
120
)515(
120
5
120
)(
)( 21
4
21
34
1
5
12 




 (Ec. B.127) 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 37 
 
B.10 Voladizo con carga repartida creciente y decreciente 
 
Cálculo de las reacciones 
Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado 1.1 Voladizo con carga puntual en 
el extremo libre del voladizo, se obtienen las reacciones en el empotramiento: 
6
)( LbpL
M B


 2
pL
RB 
 
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
Tanto el esfuerzo cortante (Ec. B.128 y A.129) como el momento flector (Ec. B.130 y 
A.131) son crecientes en ambos tramos del voladizo. 
a
px
TAC
2
2
 (Ec. B.128) 
b
xLbaxpap
TCB
2
))((
2

 (Ec. B.129) 
a
px
xM AC
6
)(
3
 (Ec. B.130) 





 

b
xLbax
aax
p
xMCB
)2()(
23
6
)(
2
2 (Ec. B.131) 
A continuación se indica el valor del momento y del esfuerzo cortante en la sección C. 
6
2 pa
MC  
2
ap
TC  
DEC 
 
DMF 
Pág. 38 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro del extremo libre, Ec. 
B.132, ya que el ángulo de giro en B es cero (θB=0) por tratarse de un empotramiento. 
dx
b
xLbax
aax
EI
p
aC
baB
BC 







 

)2()(
23
6
2
2 → 
a
ba
C LxaabaLaba
x
Lba
xx
bEI
p



















 22
234
)324(
2
)22(
346

 
→ 
 322 364
24
babba
EI
pb
C  (Ec. B.132) 
A partir del valor θC se calcula el giro en el extremo libre del voladizo, Ec. B.133. 




0 3
6
A
aC
CA dx
aEI
px
 →  
0
4
322
46
364
24
a
A
x
aEI
p
babba
EI
pb













 
 322
3
364
2424
babba
EI
pb
EI
pa
A 
 
 43223 364
24
babbaa
EI
p
A  →  bLa
EI
pL
A 3
24
2  (Ec. B.133) 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en el extremo libre, Ec. B.134. 
dxxx
b
xLbax
aax
EI
p
C
aC
baB
C )(
)2()(
23
6
2
2 







 


 


 → 
a
ba
C abaxbaa
x
aba
x
ba
xx
bEI
p



















 )()44(
2
)66(
3
)34(
456
4323
2
2
345
→ 
 3422 201110
120
abbba
EI
p
C  (Ec. B.134) 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 39 
 
Para calcular la flecha en A, se aplica la fórmula que relaciona flechas y ángulos de giro, 
Ec. B.135. 
   



0A
aC
ACACCA dxxx
EI
M
xx → 
 baaLabab
EI
p
A
34222 204)111329(
120
 (Ec. B.135) 
Ecuación de la elástica 
Tramo CB 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.136 y A.137, se obtiene 
la ecuación de corrimiento transversal para el tramo CB. 
dx
b
xLbax
aax
p
x
w
CB
 




 


 )2()(
23
6
2
2
 → 
 
 
  1
2
2
3
4
3
2
23
46
Cxaba
xbaa
xba
x
bEI
p
x
w
CB














 (Ec. B.136) 
 
 
 



















 dxCxaba
xbaa
xba
x
bEI
p
xwCB 1
2
2
3
4
3
2
23
46
)( → 
     
21
22345
2
3
2
2
4206
)( CxC
xabaaxbaxbax
bEI
p
xwCB 







 




 (Ec. B.137) 
Condiciones de contorno 
La primera condición de contorno, Ec. B.138, que se impone es el valor de la flecha en la 
sección C calculada por el segundo teorema de Mohr, Ec. B.134. 
 3422 201110
120
)( abbba
EI
p
axwCB  → 
   3422
21
45 201110
120
54
120
abbba
EI
p
CaCbaa
bEI
p
 (Ec. B.138) 
 
Pág. 40 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
La segunda condición que se impone es el valor de la flecha en el empotramiento es cero, 
Ec. B.139. 
0)(  LxwCB → 
  04410101010
120
21
55432234  CLCababbababa
bEI
p
 (Ec. B.139) 
Por tratarse de dos ecuaciones con dos incógnitas, se igualan los términos C2 de las 
ecuaciones A.138 y A.139, obteniendo el valor del término C1 ,Ec. B.140. 
 
  aCbaaabbba
EI
p
LCababbababa
bEI
p
1
454532
1
55432234
54201110
120
4410101010
120


→
 
 2332445
1 102030515
120
babaabbab
bEI
p
bC  →
 
 babaabab
bEI
p
C 322344
1 102030515
120
 (Ec. B.140) 
Substituyendo C1 en la primera condición de contorno, Ec. B.138, se obtiene el valor de C2, 
Ec. B.141. 
    ababaababbaaabbba
bEI
p
C 322344454532
2 10203051554201110
120

  23453245
2 205116035
120
bababbaaba
bEI
p
C  (Ec. B.141)Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.142. 























baba
abab
bEI
p
bxaxaabx
xabxaxx
bEI
p
xwCB 322
344
22233
32445
1020
30515
120101010
1055
120
)(
 23453245 205116035
120
bababbaaba
bEI
p
 → 
 
 abbaL
xbaLLxa
aLxLxx
bEI
p
xwCB 211
3510
105
120
)( 223
22222
345











 (Ec. B.142) 
Tramo AC 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.143 y B.144, se obtiene 
la ecuación de corrimiento transversal para el tramo AC. 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 41 
 
dx
a
px
x
w
AC
 


6
3
 → 1
4
24
C
aEI
px
x
w
AC



 (Ec. B.143) 
 





 dxC
aEI
px
xwAC 1
4
24
)( → 
21
5
120
CxC
aEI
px
wAC  (Ec. B.144) 
Condiciones de contorno 
La primera condición de contorno, Ec. B.145, que se impone es el valor de la flecha en la 
sección C calculada por el segundo teorema de Mohr, Ec A.134. 
 3422 201110
120
)( abbba
EI
p
axwAC  → 
 3422
21
5
201110
120120
abbba
EI
p
CxC
aEI
px
 (Ec. B.145) 
La segunda condición de contorno, Ec. B.146, que se impone es el valor de la flecha en el 
extremo libre calculado por el segundo teorema de Mohr, Ec. B.135. 
 baababba
EI
p
xwAC
344322 204113540
120
)0(  → 
 baababba
EI
p
C 344322
2 204113540
120
 (Ec. B.146) 
Substituyendo el valor de C2 en la Ec. B.145 se obtiene el valor de C1, Ec. B.147. 
 3422
344
322
1
4
201110
12020411
3540
120120
abbba
EI
p
baab
abba
EI
p
aC
EI
pa











 →
 baabab
EI
p
C 2332
1 2051530
120
 (Ec. B.147) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.148. 






















baab
abba
EI
p
x
baa
bab
EI
p
aEI
px
xwAC 344
322
23
325
20411
3540
120205
1530
120120
)(
 
→
 
    baaLabaabxbLaaLx
aEI
p
xwAC
4522225 20411132935
120
)(  (Ec. B.148) 
Pág. 42 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
B.11 Voladizo con momento flector, M, aplicado en una 
sección C 
 
Cálculo de las reacciones 
Debido a que se aplica únicamente un momento flector, la reacción vertical en el 
empotramiento es cero, y el momento es igual al momento flector aplicado en sentido 
inverso: 
MM B  0BR 
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
Por no aplicarse fuerzas verticales, el esfuerzo cortante es cero (Ec. B.149). El momento 
flector es constante en el tramo CB, y nulo en el AC, (Ec. B.150 y B.151). 
    0 xTxT CBAC (Ec. B.149) 
0)( xM AC (Ec. B.150) 
MxMCB )( (Ec. B.151) 
 
DMF 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro del extremo libre, Ec. 
B.152, ya que el ángulo de giro en B es cero (θB=0) por tratarse de un empotramiento. 
dx
EI
M
aC
baB
BC 



 
→  











 La
EI
M
EI
Mx
a
L
C → 
EI
Mb
C  (Ec. B.152) 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 43 
 
A partir del valor θC se calcula el giro en el extremo libre del voladizo, Ec. B.153. 
0 CA  → 
EI
Mb
CA  (Ec. B.153) 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en el extremo libre, Ec. B.154. 
 22
2
2
22
)( LaLa
EI
Mx
ax
EI
M
dxxx
EI
M
a
L
C
aC
LB
C 





 

 
→
 
 22 2
2
LaLa
EI
M
C  → 
EI
Mb
C
2
2
 (Ec. B.154) 
Para calcular la flecha en A, se aplica la fórmula que relaciona flechas y ángulos de giro, 
Ec. B.155. 
   



0A
aC
cACACCA dxxx
EI
M
xx →    ab
EI
Mb
a
EI
Mb
EI
Mb
A 2
222
2
 
 bL
EI
Mb
A  2
2
 (Ec. B.155) 
Ecuación de la elástica 
Tramo CB 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.156 y B.157, se obtiene 
la ecuación de corrimiento transversal para el tramo CB. 
1dx
EI
M
x
w
CB



 → 1C
EI
Mx
x
w
CB



 (Ec. B.156) 
 





 dxC
EI
Mx
xwCB 1)( → 
21
2
2
)( CxC
EI
Mx
xwCB  (Ec. B.157) 
Condiciones de contorno 
La primera condición de contorno, Ec. B.158, que se impone es el valor de la flecha en la 
sección C calculada por el segundo teorema de Mohr, Ec A.154. 
Pág. 44 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
EI
Mb
axwCB
2
)(
2
 → 
EI
Mb
CaC
EI
Ma
22
2
21
2
 (Ec. B.158) 
La segunda condición que se impone es el valor de la flecha en el empotramiento es cero, 
Ec. B.159. 
0)(  LxwCB → 0
2
21
2
 CLC
EI
ML
 (Ec. B.159) 
Se igualan los términos C2 de las Ec. B.158 y B.159, obteniendo el valor del término C1,, 
Ec. B.160. 
aC
EI
Ma
EI
Mb
LC
EI
ML
1
22
1
2
222
 → 
EI
Ma
EI
Mb
EI
ML
bC
222
222
1  →
 
EI
ML
C 1 (Ec. B.160) 
Substituyendo C1 en la primera condición de contorno, Ec. B.159 se obtiene el valor de C2, 
Ec. B.161. 
EI
ML
EI
ML
C
22
2
2
 → 
EI
ML
C
2
2
2  (Ec. B.161) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica (Ec. B.162) 
EI
ML
x
EI
ML
EI
Mx
xwCB
22
)(
22
 →  2
2
)( xL
EI
Mb
xwCB  (Ec. B.162) 
Tramo AC 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.163 y B.164, se obtiene 
la ecuación de corrimiento transversal para el tramo CB. 
10 Cdx
x
w
AC



 (Ec. B.163) 
211)( CxCdxCxwAC   
 (Ec. B.164) 
 
 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 45 
 
Condiciones de contorno 
La primera condición de contorno, Ec. B.165, que se impone es el valor de la flecha en la 
sección C calculada por el segundo teorema de Mohr, Ec B.154. 
EI
Mb
axwAC
2
)(
2
 → 
EI
Mb
CaC
2
2
21  (Ec. B.165) 
La segunda condición que se impone es el valor de la flecha en el extremo libre calculado a 
partir del segundo teorema de Mohr, Ec. B.166. 
 bL
EI
Mb
xwAC  2
2
)0( →  bL
EI
Mb
C  2
2
2 (Ec. B.166) 
Substituyendo el Valor de C2 en la Ecuación A.165 se obtiene el valor de C1, Ec. B.167. 
 
EI
Mb
bL
EI
Mb
aC
2
2
2
2
1  →  bL
aEI
Mb
aEI
Mb
C  2
22
2
1 →
 
aEI
Mb
aEI
MbL
C
2
1  (Ec. B.167) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.168. 
 bL
EI
Mb
x
aEI
Mb
aEI
MbL
xwAC  2
2
)(
2
 →  bxL
EI
Mb
xwAC  22
2
)( (Ec. B.168) 
 
Pág. 46 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
B.12 Voladizo con momento flector, M, en el extremo libre 
 
Cálculo de las reacciones 
Igual que en el caso anterior, Momento aplicado en una sección C, debido a que se aplica 
únicamente un momento flector, la reacción vertical en el empotramiento es cero, y el 
momento es igual al momento flector aplicado en sentido inverso: 
MM B  0BR 
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
Por no aplicarse fuerzas verticales, el esfuerzo cortante es cero (Ec. B.169). El momento 
flector es constante en toda la viga (Ec. B.170). 
  0xTAB
 (Ec. B.169) 
MxM AB )( (Ec. B.170) 
 
DMF 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro del extremo libre, Ec. 
B.171, ya que el ángulo de giro en B es cero(θB=0) por tratarse de un empotramiento. 
dx
EI
M
A
baB
BA 



0
 → 
0
L
C
EI
Mx






 → 
EI
ML
C  (Ec. B.171) 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 47 
 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 2
o
 Teorema de Mohr para calcular la flecha en el extremo libre, Ec. B.172. 
00
)(
L
C
A
LB
C
EI
M
dxxx
EI
M






 


 → 
EI
ML
C
2
2
 (Ec. B.172) 
Ecuación de la elástica 
Integrando doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. B.173 y B.174, se obtiene 
la ecuación de corrimiento transversal. 
1dx
EI
M
x
w
AB



 → 1C
EI
Mx
x
w
AB



 (Ec. B.173) 
 





 dxC
EI
Mx
xwAB 1)( → 
21
2
2
)( CxC
EI
Mx
xwAB  (Ec. B.174) 
Condiciones de contorno 
La primera condición de contorno, Ec. B.175, que se impone es el valor de la flecha en el 
extremo libre calculada por el segundo teorema de Mohr, Ec A.172. 
EI
ML
xwAB
2
)0(
2
 → 
EI
ML
C
2
2
2  (Ec. B.175) 
La segunda condición que se impone es el valor de la flecha en el empotramiento es cero, 
Ec. B.176. 
0)(  LxwAB → 0
2
21
2
 CLC
EI
ML
 (Ec. B.176) 
Substituyendo C2, Ec. B.175 en la segunda condición de contorno, Ec. B.176, se obtiene el 
valor de C1, Ec. B.177. 
EI
ML
EI
ML
LC
22
22
1  → 
EI
ML
C 1 (Ec. B.177) 
Finalmente se obtiene la ecuación de la elástica, Ec. B.178. 
EI
ML
x
EI
ML
EI
Mx
xwAB
22
)(
22
 →  22 2
2
)( LLxx
EI
M
xwAB  (Ec. B.178) 
Pág. 48 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
C. Análisis de vigas sobre dos apoyos simples 
En vigas biapoyadas el desplazamiento vertical (flecha) en los extremos es nulo. 
C.1 Viga biapoyada con carga puntual en una sección de la 
viga 
 
Cálculo de las reacciones 
A partir de las ecuaciones de la estática sumatorio de fuerzas verticales igual a cero, Ec. 
C.1, se obtiene el valor de las reacciones, RA y RB. 
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
El esfuerzo cortante es constante e igual a Ra, Ec. C.2, hasta llegar a la sección C, a partir 
de la cual el valor del esfuerzo cortante toma el valor constante de Rb, Ec. C.3. 
El momento flector aumenta de manera lineal (Ec. C.4) hasta llegar a C, donde toma el 
valor máximo (Ec. C.5) y a partir de esta sección el momento disminuye también de manera 
lineal (Ec. C.6) hasta llegar al extremo. 
L
Pb
xTAC )( (Ec. C.2) 
L
Pa
xTCB )( (Ec. C.3) 
x
L
Pb
xM AC )( (Ec. C.4) 
L
Pab
axMCB  )( (Ec. C.5) 
L
xLPa
xMCB
)(
)(

 (Ec. C.6) 
  0vF → 
L
Pb
RA  
L
Pa
RB  (Ec. C.1) 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 49 
 
 
 
 
DEC 
 
 
 
DMF 
 
Ecuación de la elástica 
Tramo AC 
Se integra doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. C.7 y C.8. 


dx
LEI
Pbx
x
w
AC
 → 1
2
2
C
LEI
Pbx
x
w
AC



 (Ec. C.7) 
 





 dxC
LEI
Pbx
xwAC 1
2
2
)( → 
21
3
6
)( CxC
LEI
Pbx
xwAC  (Ec. C.8) 
Tramo CB 
Se integra doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. C.9 y C.10. 





dx
L
xLPa
x
w
CB
)(
 → 3
2
2
C
EI
Pax
LEI
Pax
x
w
CB



 (Ec. C.9) 
 





 dxC
EI
Pax
LEI
Pax
xwCB 3
2
2
)( → 
43
23
26
)( CxC
EI
Pax
LEI
Pax
xwCB  (Ec. C.10) 
Condiciones de contorno 
Se impone que en los extremos, secciones A y B, el valor de la flecha es nulo, Ec. C.11 y 
Ec. C.12. 
0)0( xwAC → 02 C (Ec. C.11) 
0)(  LxwCB → 0
26
43
22
 CLC
EI
PaL
EI
PaL
 → 
EI
PaL
CLC
6
2 2
43  (Ec. C.12) 
Pág. 50 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
La segunda condición que se impone es que el ángulo de giro y la flecha en la sección C 
han de ser iguales tanto para la ecuación de la elástica en el tramo AC y CB, Ec. C.13 y 
C.14. 
   ax
x
w
ax
x
w
CBAC






 → 3
2
1
2
22
C
EI
Pax
LEI
Pax
C
LEI
Pbx
 → 
EI
Pa
CC
2
2
13  (Ec. C.13) 
)()( axwaxw CBAC  → 
43
34
21
3
266
CaC
EI
Pa
LEI
Pa
CaC
LEI
Pba
 (Ec. C.14) 
Substituyendo las ecuaciones, Ec. C.11 y Ec. C.13, en la Ec. C.14, se obtiene el valor de 
C4, Ec. C.15. 
  413
3443
2666
CCCa
EI
Pa
LEI
Pa
LEI
Pa
EI
Pa
 → 
EI
Pa
C
6
3
4  (Ec. C.15) 
Substituyendo el valor de C4 en la Ec. C.12 se obtiene el valor de C3, Ec. C.16. 
EI
PaL
EI
Pa
LC
6
2
6
23
3  → 
LEI
Pa
EI
PaL
C
63
3
3  (Ec. C.16) 
Substituyendo el valor de C4, Ec. C.14, en la Ec. C.13 se obtiene el valor de C1, Ec. C.17. 
EI
Pa
C
LEI
Pa
EI
PaL
266
2 2
1
3
 → 
EI
Pa
LEI
Pa
EI
PaL
C
266
2 23
1  (Ec. C.17) 
Substituyendo el valor de las constantes en las Ec. C.8 y C.10 se obtienen las ecuaciones 
de corrimiento transversal para los tramos AC y CB, Ec. C.18 y Ec. C.19. 
x
EI
Pa
LEI
Pa
EI
PaL
LEI
Pbx
xwAC 








266
2
6
)(
233
 → 









2
2
2
2
1
6
)(
L
x
L
b
EI
PLbx
xwAC
 (Ec. C.18) 
EI
Pa
x
LEI
Pa
EI
PaL
EI
Pax
LEI
Pax
xwCB
666
2
26
)(
3323








 → 
   













 



2
2
2
1
6
)(
L
xL
L
a
EI
xLPLa
xwCB
 (Ec. C.19) 
A continuación se indican las ecuaciones de las derivadas de la ecuación de la elástica en 
los tramos AB y CB, Ec. C.20 y Ec. C.21. Se obtiene substituyendo el valor de las 
constantes en las Ec. C.7 y Ec. C.9. 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 51 
 
EI
Pa
LEI
Pa
EI
PaL
LEI
Pbx
x
w
AC 266
2
2
232



 (Ec. C.20) 
LEI
Pa
EI
PaL
EI
Pax
LEI
Pax
x
w
CB 632
32



 (Ec. C.21) 
Ángulos de giro y flecha 
Para encontrar el ángulo de giro de cualquiera de las secciones es suficiente con sustituir 
en la derivada de la ecuación de la elástica, Ec. C.10 y Ec. C.21. A continuación se indican 
los valores de los ángulos de giro en los extremos, Ec. C.22 y C.23, y de la sección C, 
sección donde está aplicada la carga, Ec. C.24. 
 
EI
Pa
LEI
Pa
EI
PaL
x
x
w
AC
A
263
0
23



 →  bL
LEI
Pab
A 
6
 (Ec. C.22) 
 
LEI
Pa
EI
PaL
EI
PaL
EI
PaL
Lx
x
w
CB
B
632
3



 →  aL
LEI
Pab
B 
6
 (Ec. C.23) 
 
EI
Pa
LEI
Pa
EI
PaL
LEI
Pba
ax
x
w
AC
C
266
2
2
232



 →  ab
LEI
Pab
C 
3
 (Ec. C.24) 
Para obtener el valor de la flecha máxima, se ha de integrar la ecuación de la elástica en el 
tramo AC, Ec. C.18, que es justamente la Ec. C.20, obteniendo de esta manera la sección 
donde la flecha es máxima, Ec. C.25. 
0
266
2
2
232

EI
Pa
LEI
Pa
EI
PaL
LEI
Pbx
 → 
 
3
22 bL
x

 (Ec. C.25) 
Una vez conocida la sección se substituye este valor en la ecuación de la elástica, Ec. C.18 
y se obtiene el valor máximo de flecha, Ec. C.26. 
     







 










 

2
22
2
22222
3
1
363 L
bL
L
bbL
EI
PLbbL
xwAC
 → 
  2
3
22
39
bL
LEI
Pb
wmáx  (Ec. C.26) 
 
Pág. 52 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
C.2 Viga biapoyada con carga puntual en el medio de la vigaCálculo de las reacciones 
Este tipo de carga es un caso particular del voladizo con carga puntual en una sección de la 
viga. En el que las distancias a y b son iguales a la mitad de la distancia de la viga. Para 
obtener el valor de las reacciones RA y RB, se sigue el mismo procedimiento que en el 
apartado C.1 Viga biapoyada con carga puntual en una sección de la viga: 
2
P
RR BA  
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
El esfuerzo cortante (Ec. C.27) y el momento flector (Ec. C.28, Ec. C.29 y Ec. C.30) se 
comportan de la misma manera que en el apartado C.1 Viga biapoyada con carga puntual 
en una sección de la viga, por tratarse de un caso concreto de este tipo de viga. 
L
P
xTxT CBAC  )()( (Ec. C.27) 
x
L
P
xM AC )( (Ec. C.28) 
L
xLP
xMCB
)(
)(

 (Ec. C.29) 
4
)
2
(
PLLaxMmáx  (Ec. C.30) 
 
 
DEC 
 
 
DMF 
 
 
Ángulos de giro y flecha 
1
er
 Teorema de Mohr 
Se aplica el 1
er
 Teorema de Mohr para calcular el ángulo de giro en las secciones C. Por 
simetría geométrica y de cargas, θA= -θC, Ec. C.31. 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 53 
 












 


8222
2
0
2
20
L
EI
Px
EI
P
dx
EI
Px
L
A
aC
CA  → 
EI
PL
CA
16
2
 (Ec. C.31) 
2
o
 Teorema de Mohr 
Se aplica este teorema para hallar la flecha en C (Ec. C.32). Por las características de esta 
estructura es en esta sección, x=L/2, donde es máxima. 
0
2/
30
2/
20
2/
62
)(
2
L
A
LB
A
A
LB
C
EI
Px
dx
EI
Px
dxxx
EI
Px






 




→ 
EI
PL
C
48
3
 (Ec. C.32) 
Ecuación de la elástica 
Tramo AC 
Debido a la simetría de la estructura se estudia únicamente el tramo AB, el tramo CB es 
igual. Se integra doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. C.33 y Ec. C.34. 


dx
EI
Px
x
w
AC 2
 → 1
2
4
C
EI
Px
x
w
AC



 (Ec. C.33) 
 





 dxC
EI
Px
xwAC 1
2
4
)( → 
21
3
12
)( CxC
EI
Px
xwAC  (Ec. C.34) 
Condiciones de contorno 
Se impone que en el extremo, sección A, el valor de la flecha es nulo, Ec. C.35. 
0)0( xwAC → 02 C (Ec. C.35) 
Se impone el valor de la flecha, Ec. C.32, en la sección C, Ec. C.36. 
EI
PLLxwAC
48
)
2
(
3
 → 
 
EI
PLLC
EI
LP
48212
2
3
1
3
 → 
EI
PL
C
16
2
1  (Ec. C.36) 
Substituyendo el valor de las constantes en las Ec. C.33 y C.34 se obtienen las ecuaciones 
de corrimiento transversal y de la derivada de la elástica, Ec. C.37 y Ec. C.38, para el tramo 
AC. 
EI
xPL
EI
Px
xwAC
1612
)(
23
 → 









2
22
3
4
1
16
)(
L
x
EI
xPL
xwAC
 (Ec. C.37) 
EI
PL
EI
Px
x
w
AC 164
22



 (Ec. C.38) 
Pág. 54 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
C.3 Viga biapoyada con dos cargas puntuales 
 
Cálculo de las reacciones 
Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado C.1 Viga biapoyada con carga 
puntual en una sección de la viga y por simetría de la estructura, se obtienen las reacciones 
RA y RB: 
PRR BA  
Diagramas de esfuerzos cortantes y momento flector 
El esfuerzo cortante es constante e igual a P (Ec. C.39) de la sección A hasta llegar a la 
sección C, donde pasa a ser nulo. En el tramo DB toma un valor constante e igual a -P (Ec. 
C.39). 
El momento flector aumenta de manera lineal (Ec. C.40) de la sección A hasta llegar a C, 
donde toma el valor máximo y se mantiene constante en todo el tramo CD (Ec. C.41). A 
partir de esta sección D el momento disminuye de manera lineal (Ec. C.42) hasta llegar a la 
sección B. 
PxTxT DBAC  )()( (Ec. C.39) 
PxxM AC )( (Ec. C.40) 
)()( xLPxMCB  (Ec. C.41) 
PaMM máxCD  (Ec. C.42) 
 
 
 
 
DEC 
 
 
 
DMF 
 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 55 
 
Ecuación de la elástica 
Tramo AC 
Se integra doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. C.43 y C.44. 


dx
EI
Px
x
w
AC
 → 1
2
2
C
EI
Px
x
w
AC



 (Ec. C.43) 
 





 dxC
EI
Px
xwAC 1
2
2
)( → 
21
3
6
)( CxC
EI
Px
xwAC  (Ec. C.44) 
Tramo CD 
Se integra doblemente la ecuación diferencial de la elástica, Ec. C.45 y Ec. C.46. 


dx
EI
Pa
x
w
CD
 → 3C
EI
Pax
x
w
CD



 (Ec. C.45) 
 





 dxC
EI
Pax
xwCD 3)( → 
43
2
2
)( CxC
EI
Pax
xwCD  (Ec. C.46) 
Condiciones de contorno 
Se impone que en la sección A el valor de la flecha es nulo, Ec. C.47. 
0)0( xwAC → 02 C (Ec. C.47) 
Debido a la simetría de la estructura, en el centro de la viga el desplazamiento es máximo, 
por tanto la derivada de ecuación de la elástica, Ec. C.46, ha de ser cero, Ec. C.48. 
0)2/( 


Lx
x
w
CD
 → 0
2
3  C
EI
PaL
 → 
EI
PaL
C
2
3  (Ec. C.48) 
El ángulo de giro de la sección C ha de ser el mismo calculado por el tramo AC que por el 
tramo CD, Ec. C.49. 
)()( ax
x
w
ax
x
w
CDAC






 → 3
2
1
2
2
C
EI
Pa
C
EI
Pa
 (Ec. C.49) 
 
Pág. 56 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
Substituyendo el valor de C3 en la Ec. C.49, se obtiene el valor de la constante C1, Ec. 
C.50. 
EI
PaL
EI
Pa
C
EI
Pa
22
2
1
2
 → 
 
EI
aLPa
C
2
1

 (Ec. C.50) 
La flecha en la sección C ha de ser la misma calculado por el tramo AC y por el CD, Ec. 
C.51. 
)()( axwaxw CDAC  → 43
3
21
3
26
CaC
EI
Pa
CaC
EI
Pa
 (Ec. C.51) 
Substituyendo el valor de las constantes C1, C2 y C3 se obtiene el valor de la constante C4, 
Ec. C.52. 
4
2323
222
)(
6
C
EI
LPa
EI
Pa
EI
aLPa
EI
Pa


 → 
EI
Pa
C
6
3
4  (Ec. C.52) 
Substituyendo el valor de las constantes C1 y C2 en las Ec. C.45, Ec. C.46 se obtienen las 
ecuaciones de corrimiento transversal y de la derivada de la elástica, Ec. C.53 y Ec. C.54, 
para el tramo AC. Substituyendo C3 y C4 en las Ec. C.47 y Ec. C.48 se obtienen las Ec. 
C.55 y Ec. C.56. 
 
x
EI
aLPa
EI
Px
xwAC
26
)(
3 
 →  2233
6
)( xaaL
EI
Px
xwAC  (Ec. C.53) 
 
EI
aLPa
EI
Px
x
w
AC 22
2 



 (Ec. C.54) 
EI
Pa
x
EI
PaL
EI
Pax
xwCD
622
)(
32
 →  2233
6
)( axLx
EI
Pa
xwCD  (Ec. C.55) 
EI
PaL
EI
Pax
x
w
CD 2



 (Ec. C.56) 
Ángulos de giro y flecha 
El ángulo de giro en la sección A y C, Ec. C.57 y Ec. C.58, se obtienen a partir de las 
ecuaciones de derivada de la elástica, Ec. C.43 y Ec. C.44. Por simetría: 
 θA = -θB y θC = -θD. 
Anexos A, B, C, D, E y F Pág. 57 
 
 0


 x
x
w
AC
A → 
 
EI
aLPa
BA
2

  (Ec. C.57) 
 ax
x
w
AC
C 


 → 
   
EI
aLPa
EI
aLPa
EI
Pa
DC
2
2
22
2 


  (Ec. C.58) 
 
Debido a la simetría de la estructura y de las cargas aplicadas, la flecha máxima se da en la 
sección central, Ec. C.59. 








 2
22
4
3
2
3
6
)
2
( a
LL
EI
PaLxww CDmáx
 →  22 43
24
aL
EI
Pa
wmáx  (Ec. C.59) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pág. 58 Fórmulas analíticas y tablas de cálculo para estructuras metálicas según el Eurocódigo3 
 
C.4 Viga biapoyada con carga repartida 
 
Cálculo de las reacciones 
Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado C.1 Viga biapoyada