ASTRONOMIA DE POSICION_MMP

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ELE'vIENTOS DE AsTRoNoMIA
DE POSICION
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ELEME}{TOS DE,
EDITORIAT
México
ASTROhJOMIA
DE POSICION
Ins. IVIANUEI tytEDtNA PERALTA
Expr.ofesor de Geodesia y Astronomía de posición e¡¿ la Escuela
Nacíonal de Ingenieros de la Llniuersídad Nacional Autónoma deMéxico y la Escuela Superior cle Ingeníeros y Arquitectos delInstituto Polítécnico Nacional de México.
TIMUSA
',97 4
Todos los derechos reservados:
a 1974, EDITORIAL LIMUSA, S.
Arcos de Belén Núm. 75, México
Miembro de Ia Cámata Nacional
Industria Editorial' Registro Núm'
Primern edición: 1974
ImPreso en México
[763]
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A m esposa
Sra. Eua Nicolau de A4edina
A mis hijas
fil: ;:'; "r; :; : I : : "n #;X,ffi (: r:"i:#i g u e t y
$l,i:::lH,; fi fi:Tf:jf ff if,..u., 
u.,,arrnen,e
:_..__ g.! ,l
PROLOGO
Debido a la lalta de una obra adecuada en español, escribí este libro
titulado Elementos de Astronomía de Posición para que sirviera de texto
en las Escuelas Profesionales en las que fui profesor. Se han hecho 22
ediciones mimeográficas de la versión original, con las deficiencias y limi-
taciones propias de tal sistema de impresión,
En atención a la sugerencia de algunos profesores que actualmente en-
señan esta materia y de varios gl'llpos de alumnos que la cursan, quienes
me recomendaron publicar este libro, decidí revisar, actualizar y aumentar
el material original, e ilustrar con ejemplos prácticos 7a teoria expuesta en
cada capítulo, con objeto de que fuera más útil para los lectores.
La información ofrecida en este libro ya se ha publicado en obras
especializadas sobre ei tema. No obstante, el propósito de este volumen es
exponer, en la forma más clara y senciila posible, ios métodos clásicos de
la Astronomía de Posición, tal como siguen aplicándose en todas las orga-
nizaciones geodésicas del mundo.
Espero que esta publicación satisfaga las necesidades cle este curso en
los centros de enseñanza superior en los que se estudia la carcera de Inge-
niero Topógnf.o y Geodesta y ayude a la formación de especialistas en
esta materia.
M¡Nurr- MeoINa PBnar-rl
i:
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t:
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;¡1ii
CONTE].{IDO
Introducción
Copítulo I
i.1
1.2
t.J
1.4
I.J
t.o
' <hr. /
Copítulo 2
2.1
2.2
2.3
9L
2.5
2.6
2.7
Copítulo 3
J. I
3.2
oo
.)..')
3.1
J.3
3.6
Trigonometríq esférico
Fórmulas fundamentales clel triángulo esférico
aplicables a la Astronomía de.Posición
Fórmulas calculables por medio de logaritmos . . . . . .
Triángulos esféricos rectángulos
Operaciones nunréricas
Funciones trigonométricas
Precisión cn los cálcuios . . . .
Problemas
Págs.
r3
i5
1B
20
20
2I
22
¿J
[q Esferq Celesfe. Generqlidodes . . . Zs
Líneas, planos y círculos en la esfera celeste 25
Coordenadas celestes 27
El triángu1o astronómico 3i
Fórmula diferencial fundarnental 22
Transformación de coordenadas 33
Algunos problemas que se presentan frecuentemente. 36
Problemas 39
Correcciones o lqs coordenodos
Correcciones por errores instrumentales . . . .
Corrección por refracción atmosférica . . . .
Corrección por paralaje
Corrección por depresión del horizonte . .
Corrección por semidiámetro . .
Problemas
41
+l
,1 1fa
JI
53
55
56
59
59
60
Copítulo 4 Tiernpo
+.1 Sistemas para medir el tiempo
+.2 Características de los tres sistemas de tiempo
10
.1 0
1..-)
1.+
4.5
1.6
1'7
J./
Copírulo 5
5.10
5.11
Copítulo ó
o. I
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
Copífulo 7
Conversión de tiernpo soiar verclaiiero en tien-rpo solar
medio .
Relación entre los tiempos sideral ,v meclio
ll-r¿rnsformación de hor.¿rs .
}f. II]IDINA I']JR¡\LTI\
Ejemplos prácticos
Problemas
Determinqción de lq horo
N{étodo de alturas iguales
Ejempio del cáiculo de la
de dos estrellas
hora por ias alturas iguales
D:..^
OI
62
63
6J
67
79
80
8u
B1
86
B7
BB
92
9.1
95
99
101
108
5.1 Generalidades sobre ia medida clel tiernpo
5.2 Métodos astronónricos para 1a cleterminación cle la
hora . .
5.3 Deducción de ia fórrrrula clel triángulo astronómico
aplicable al primer caso . .
69
69
,',',,1 llll ll li lfl
,nll ilr illlll l!!
li tutilr mnmlfr,"rrrrur
il¡ il,] Í
72
73
7i
5.5
5.6
(o
5.9
de dos estrellas
][étodo dc altur.rs iguales del Sol
Ejemplo de cálculo de alturas ieuaies de1
Método de prsos nreridianos cle estrellas
Lista de estrellas para la obsen.ación del
Sol .......
trempo por
pasosmeridianos....
Ejemplo de cálcuio cle tiempo
Problemas
Definiciones
Por la observación c{e una estrella o el Sol en cualquier
posición
91
91
Uso de la fórmula de
Latitud por distancias
Latitud por distancias
Latitud por el método
Litrorv
zenitales meridianas . ., .
zenitales circunmeridianas
dc Ilorreborr'Talcott
'1 1t.l
t)
1.1
/ .'f
f:
7.6a
Ilt
111
r14
111
115
116
117
Problemas
Diferenciq de longifudes
Generalidacles y datos histór-icos
Método inalámbrico
Transmisión de señales horarias
Manera de recibir y utilizar las
Cálculo de la longitud
Determinaciones de exploración
por radio
señales horarias . . .. .
CON:TENIDO
serruprecrsas
precisas
11
Págs.
118
119
121
125
126
127
128
136
TJ/
138
r39
139
t+0
1+0
1+2
t49
t45
7.6b
7.6c
7.7
Copítulo I
8.1
oo
tJ..t
B.+
8.5
8.6
8.7
B.B
8.9
8.10
8.11
8. 12
8.13
8.1+
8.15
Determinaciones
Determinaciones
Generalidades . . l2b
Método de distancias zenitales de un astro
Problemas
Azimut
elongaclones
Ejemplo: Caso general .. . . .
Problemas
Reducción de la declinación . .
Fórmula de interpolación
Técnica de la operación . . . l2B
Azimut en función del ángulo horario y la distancia
zenital de una estrella 130
Programa de la observación . . 131
Azimut en función del ángulo horario 133
Técnica de la operación . . . 13+
Corrección por curvatura . . .. lZ4
Corrección por aberración diurna 135
Dscusión de la fórmula general 135
Observaciones de una estrella circumpolar en sus
Apéndices
4.1
4.2
4.3
A.+
Fórmulas más usuales en
Resolución de triánsulos
la Trigonometría Plana . . .
planos
Trigonometría esférica
Soluciones de los problemas no resueltos en el texto.
Bibliogrofío
Indice
TI{TRODUCCION
En este libro se exponen y aplican, en varios ejemplos, los métodos as-
tronómicos clásicos para \a determinación de la horq latitud, longitud y
azimut geográficos, clasificando estas determinaciones en tres órdenes de
precisión.
De acuerdo con dichas precisiones, es natural que deban usarse los ins-
trumentos adecuados, a cuyo fin se dan las instrucciones siguientes:
Para las determinaciones poco precisas o de exploración, en que se
requieren precisiones al minutq basta un buen teodolito cle topógrafo, o
bien un sextante.
Para determinaciones semiprecisas, con error probable d,e *1,,, deberá
utilizarse un teodolito de un segundo de aproximación en ambos círcu-
los, provisto de niveles montante y de latitud.
si se trata de determinaciones de carácter geodésico, como las que fijan
posiciones Laplace, con precisiones de -F0".1, se requieren aparatos del tipo
Barnberg o Repsold, provistos de micrómetro impersonal. El teodolito as-
tronómico wild r-.1 está siendo empleado con éxito en esta clase de deter-
minaciones.
El equipo adicional consiste en dos buenos cronómetros de tiernpo me-
dio y sideral, respectivamente, este último con dispositivo eiéctrico; un
receptor de radio para altas frecuencias; un cronógrafo de cilinclro, de dos
plumas, termómetros y un aneroide para medir temperaturas y presión at-
mosférica.
Para estar en la posibilidad de prellarar anticipadamente las listas de
estrellas y efectuar algunas operaciones Drevras cle cálculo, se requieren ca-
tálogos de estrellas y tablas de logaritmos y de líneas naturales.
Respecto a los catálogos de estrellas, además del Anuario Astronómico
del observatorio Nacional, se necesitan el catálogo de posiciones Aparentes
de Estrellas Fundamentales FK3; el catálogo de Boss 1950 que contiene las
posiciones medias de varios millares de estrellas. así corno sus variaciones
anuales en declinación y ascensión recta.
Para trabajos de poca precisiónbasta el folleto titulado ,,The star A1-
manac for Land surve,vors" publicado por Ia oficina del Almanaque Náuti-
co, Londres.
IJ
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t.
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-'-
CAPITULO
TRIGOI\TOMETRIA ESFERICA
l.l Fórnrulqs fundomentqles del frióngulo esférieo oplicoblesq lq Aslronomíq de posición
En un triángulo esférico los rados y ros ánguios se expresan en grados,minutos y se.qundos de ra_ circunf"r"rráu, pero si se conoce er radio de raesfera, entonces puede varuarse en -"t.o, ra extensión de ros rados.conside¡emos un triánguro esférico trazado sobre una .rr"r" ."r. centro
"j 
O y el radio igual a la unidad. Uniendo dicho centro a los tres vérticesdel triángulo se forma un triedro cuyos pranos y diedros serán respecti'a-mente iguales a ios lados y a los ángulos dei triángulo (Fig. l ) .
D
Figura 1
1
Del vértice '4 tracemos ras tangentes AD y AE hasta que se intersectencon Ia prolongación de los radios oB y oc. por definición tenemos que:
AD: tan c; AE: tan b; OD: sec c; OE: sec á;
DAE: A; DOE: q.
En el triángulo rectiiíneo DAE se tiene:
DEz : AD, +AE, _2AD.AE 
cos DAE
y en el triángulo DOE:
DEz : OD, +OE, _zOD . OE cos DOE
igualando las dos ecuaciones anteriores
(0)
15
-riiliil
16 I,I, MEDINA PERAI
AD" +AE' -2AD'AE cos DAE : OD2 i-OE' -2OD'OE cos DOE
o bien,
(¿n" -OD") -l QqA"*OE") -2AD'AE cos DAE :
: -2OD'OE cos DOI
que puede escribirse del modo siguiente
2OD.OE cos DOE : (OD' -AD") + (OE' -AE ) -2AD'AE c'os D'7'
:2 + 2AD.AE ctss DAE, que aI substituir y dir'idir entre 2 resuita:
secbsec ccosa:tanb tandcos A+l
y n-mltiplicando ambos miembros por cos ó cos c queda finalmente
cos l¿: cos b cos c f sen b sen ¿ cos l -
Mediante un cambio de letras de esta fórmula se cleclucen las dos siguiente'
cos á : cos ¿z cos c * sen a sen c cos B
cos r: cos ¿ cos b *sen ¿ sen ó cos C
Estas son las tres fórmulas fundamentales en la trigonometría esféric"
y de ellas es posible deducir todas las que tienen aplicación en la Astrr -
nomía de Posición.
De la (1) obtenemos
cosd-cosbcos¿
!u54'.._---+;-
sen D sen ¿
de la que, al
tendremos:
substraer cle la unidad ambos mienibros elevados al cuadrai¡
sen2b sen2c - (cos a-cos b cos c)2 
-
sen'ó sen2 c
sen2 á sen2c -cos2a*2 cos ¿ cos b cos c-cos"b cos2c
sen:á sen'c
pero como seneü : 1-cos2á
queda
sen:¿ : 1*cost¿
entonces
aaat'r4. :(
1-cos'ó) (1-cos':c) -cost¿ * 2 cos a cos b cos c -cos2b cos:¿
sen2ó sen2¿
1-cos:c c.os2b - cos2¿ 1- 2cos a cos á cos ¿
;;-sen'ó senec
l-cos2,4 : sen2A :
¡
TR.rGoNoMETníe BsrÉnrca
y dividiendo los 2 términos entre sen2¿ resulra
sen2A 1-cos2¿- cos2b- cos2c * 2cos ¿ cos b cos c--:
sen2¿ sen2¿ sen2á sen2¿
lo cual indica Ia posibilidad que tenemos de pérmutar las letras A y a, y
su resultado será siempre ig'al, de suerte que puede ponerse como sigue:
senzA sen2B sen2C
-_:
sen2a sen2á sen2c
o bien /9\
sen I sen C
sen ,
17
t
sen ¿
sen B
--:
sen á
I
I
I
Lo anterior expresa que en todo triángulo esférico los senos de los ángulos
son proporcionales a los senos de ]os lados opuestos a dichos ángulos.
vamos a establecer otras relaciones importantes entre los elementos de
un triángulo esférico.
Si partimos de la fórmul a (l) , tenemos que:
cos ó : cos ¿ cos ¿ * sen ¿ sen ¿ cos B
luego substituimos el valor de cos a y queda
cos á:cosc (cos bcosc *senásendcos,4) *sen¿senccosB
: cos b cos2¿ *,sen ó sen c cos c cos,4 * sen d sen c cos B
pasamos al primer miembro los términos 1 y 2 del segundo miembro, te-
nemos:
cos á(1 - cos2a) - sen á sen ¿ cos c cos A: sen ¿ sen c cos B;
cos D sen2c - sen b sen c cos c cos A: sen ¿ sen c cos B;
dividimos entre sen c v resulta
sen acosB:cos b sen c-sen á cos ¿ cosl. (3)
Al permutar las letras de esta ecuación se obtienen las seis relaciones si-
guientes:
sen ¿ cos B : cos b sen c - sen b cos c cos.4
sen ¿ cos C : cos c sen b - sen d cos á cos,4
sen ó cos,4 : cos asen c - sen ¿ cos c cos B
sen á cos C : cos c ser' a - sen d cos ¿ cos B
sen ¿ cos,4 : cos a sen b - sen ¿ cos ó cos C
sen c cos B : cos b sen a - sen á cos a cos C
M. }TEDINA PERALTA
7,2 Fórmutqs colculqbles por medio de logoritmos
De las ecuaciones (2) resulta
sen b sen,4 : sen a sen B
senásenC:sen¿senB
que combinadas por adición y substracción, obtendremos
sen b sen.4 * sen ó sen C: sen 4 sen B * sen c sen B
sen b sen.á - sen b sen C : sen 4 sen B - sen c sen B
o bien:
sen b (sen z4 * sen C)
sená(senA-senC)
(sena*senc)
(sena-senc)
2 sen b sen ll2(A * C) cos tl2(A - C) :
2 sen B sen ll2(a * c) cos ll2(a - c)
2 sen b cos ll2(A * C) sen Il2(A - C) :
2 sen B cos Il2(a * c) sen ll2(a - c)
Si substituimos a sen b y sen B como sigue
senb:2sen l12bcosll2b
senB:2sen l12Bcosl12B
entonces resulta:
sen 1/2 b cos I 12 b sen I l2(A * C) cos I l2((A '- C) :
sen 112 B cos I 12 B¡en I lT(a * c) cos I'12(a - c)
sen 1,/2 b cosl12b cos Il2(A * C) sen Il2(A - C) :
sen I 12 B cos I'12 B cos I lT(a * c) sen 112(a - c)
Mediante la descomposición en factores de las dos ecuaciones anteriores se lle-
ga a las cuatro analogí¡s d9 Delanbre:
senl12b cos ll2(A- C) : sen ll2 Bsenll2(a * c)
cosl,f2b senIl2(A * C¡ ': cos l12Bcosll2(a- c)
senl12b sen11l2(A - C) : cos l12Bsenll2(a- c)
cos l,l2 b cos L,l2(A + C) : sen l,l2 B cos 112(a I c)
r\l dividir ahora la segunda ecuación entre la cuarta y la tercera entre la
primera, se obtienen lut. 43!ggtq*-*\gpuli,
tan 112(A * c¡ : Xffir+ cot rl2B
:senB
:senB
ran tt2(A- c):#ffi;+ cot tt2B
I
{
'rRrcoNoMiirnía E,s¡,Énrc¡ 19
tan 112(a * c) = 
*' !./,?14---9 an 1t2 b' cos 112(A -r C)
tan 112(a-- c) :'"" \.1!! , !) tan y2b' sen ll2lA * C 
1
Los valores de, Il2A, 1128, llZC, cxpresados en forma logarítmica,
:roJu:o"o.toos 
como -fgll$ilaq-9." -F_o-td-ly se obtienen de la siguiente ma-
f)e la ecuación fundamental
cos ¿: cos á cos ¿ * sen b sen c cos A
se despeja a cos A, como sigue:
cos4-cosócos¿
sen , sen c
Si restamos y sumamos ambos miembros, de Ia uniclad, vemos que
sen ó sen ¿ * cos b cos c- cos ¿¿ _ cos (b - rL- cos¿; - (ús,-l : -ffi : --*], T*ñ.
cos ,{ :
sen á sen ¿ * cos a - cos á cos ¿
sen ó sen c
* cos a_* cos (b -f c).
sen á sen c
1*cos.4:
o bien
v
2 sen2
cos(á-c)-cosa
sen ó sen ¿
2 cos'l O _ cos a - cos (b * c)
¿ senDsena
Al substituir los valores de los numeradores como sigue, obtenemos
cos (á - c) - cos a: - 2 sen 112(b - c i a) sen ll2(b - c - a)
cos d-cos (á *r) : - 2 sen ll2(a* b * c) sen 112(a- b - r)
v si hacemos
a*b*c:25
a*b =25-¿
a*b-c:25-2c
-a-b--c:-2,5
-b-c:a-25
a-b-c:2a-25
*o-c--1,>-r0
b-c*a:-25+2b
quedan los numeradores siguientes
cos (ó - c) - cos a:2 sen (,S - ,) sen (S - ó)
cos a - cos (ó * c) :2 sen,S * sen (,S - a)
1 A-
20
M. MEDINA PERALTA
y de nuestra substitución es como resultan f^- rtras rtamadas fórmulas de Borda:
1t
scnz- d -----' o" -
sen (,S - c) sen (,s - á)
sen á.sen ,
D]
c)
-tcos'ZA =
sen (,S - ¿) sen .g
sen ,.sen c
que al dividirse queda
j
I
I
tan2 sen (S - c) sen (^s - á)
sen (,S - a) sen S
1 ,-
1.3 Tridngulos esféricos reclóngulos
Puesto que las fórmulas 
-fundamentales son válidas paragulos esféricos, podemos aplicarlos 
"uu;;; l" t.ut" el casostu ángulos sea recto. Hu"]".,do ; :;;""" Ias sigrientes
senlsená:sen Bsena
sen a cos -B : cos b sen c _ sen á cos¿ coslcos a : cosá cos¿ * sen b sen c cos A,
se llega a las siguientes:
todos los trián_
en que uno de
fórmulas
1.5 Fur
Cuan
cuadranr
cuadrairti
de ]as tal:
tock dos
D^
cci
\- u.
!:;
tr: -.
-l ::.
\r I
:
a
L.
C
L
_1e
sen á : sen .B sen a, de donde ,"., B : I13
sen 4
sen 4 cos .B: cos b sen c, de donde cos B : cos ó sen ¿
finalmente, sen ¿
tan B:tan !
sen d
cos4:cosácosc.
1,4 Operociones numér¡cos
Es ventajoso se'quir cierto orden en los cálculos, de tar manera quecualquier otro caiculisra pueda 
""t."d;;l;; seguir su curso.Comstock aconseja fu, ,i*ri.,rt";';";,;: t
A) Sintetice los cálculos escribiendo solsu lugar r .rd;;;;":;urc'uo,-solálrente lo necesario ]
cárcurás 
", "* 
j,?""'JiliJ?; *, ?-'.,il ffi #;it J ;:'T:
tr:
i:
:r
A'
TRIGoNoI{ETRíA ESFÉRICA
Para pasar de Ia funcién al ánsulo:
Cuandoel arco se encuentre er, ,n .rudrante impar busque en el
i:'-T^::\::i.ti::: :t,ángulo.q,'e corresponde a ta runci¿n dada Iagregueie un múltipio par de g0o 10o ó 1B0o)
Ejemplo:
3er. cuad¡ante tan (24015, + 1B0o) :204015,.
2l
B) cuando ia misma cantidad se use varias 
'eces 
en el cálcurq se
arreglará ia forma de escribirra una sola vez; v, g.: un factor se escri-birá en medio si debe multiplicarse por dos cantidades y los re_
sultados dei producto se pondrán arriba y abajo.c) Algunas veces se hace un cáiculo con diferentes datos. En este
caso se hará un arregro por corumnas y se calcurará simultánea-
MAñtA
I.5 Funciones trigonoméfricos
cuando en los cárcuros intervienen ras líneas trigonométricas del primercuadrante no hay dificultad, pero cuando se tiene q:rr" op.ru, con todos loscuadrantes debe procederse con cuidado para no cometer un error ar tomarde las tablas la línea trigonométri.u .orr"itu. Al respecto, recomienda coms_tock dos reglas muy sencillas que a continuación ,r"r.*or.
A) Para el caso de un cuadrante impar (1or 3or 50, etc.), reduzca elángulo dado al primer cuadrante, para lo cual tache el número 9 
.
de las centenas y decenas de grado o ,r-,-" ios dígitos de ras centenasy decenas hasta obtener un número menor d" nrerr"; a continuación
busque la función del arco reducido.
Ejemplos:
3er. cuadrante tan 264035,: I tan 84033/, 2 * 6: B.
5s cuadrante cot 414ol}t: * cot 54018,, 4 f 1 : 5.
B) Para un cuadrante par (2e,40,60, etc.), reduzca el ángulo al pri_mer cuadrante _como en el caso ¿¡1g¡i6t_ y tome la función
complementaria.
Ejemplos:
2q cuad¡ante cos 144028, : - sen S+o2g,, l * 4 : 5.
4q cuadrante sen 316057': - cos 46o51i 3l l:1.
6s cuadrante tan 499a4V cot lgo19, tachá el 9.
A)
22
]If. MEDINA PERALTA
B) Cuando el arco cr
j"*;*;:'ili'"**::'#::"'Ti'i:hiil,?H':"1;:i*:
l_1rAr",""^el primer cuadranre el áneulimpar de g0o (g0o ó 270.).--- 
-' q'sulo y agréguele un múltipJo
Ejempto:
2o cuadrante cot (65045, + g0o) : 155o45,.
1.6 precisión en los cófcufos
Es necesario eregir convenientemente er número de cif¡as rogarítmicas
i::,iT.:::f'.i:n T:T$,;i::*j *J1 :t"*.,," p,."¡,¿" deseada
aproximados, el eryor 
";-";":^:::l:1T-1 
medla.nte logaritmos son 
'úmerosmenor número d" ,é, "l 
el cómputo depende i"d"d;"b;;;;;; J"i ,r.uro, o
que enrran 
"n "r .árlT#"; ; Jt#*:l:' i* .: "r "ú-;;;';J"iogu.;,*o,rímite probabr. ;;i;;". está dado p;;l; jil:|il 
"h.,$,?"1*u,itmo,, 
"r
Límite:280ül/n XIO_,
'1;:ffi1iff#,1ii'ili:":"ir::il'que para obtener décir.os de grado se
para obtener minutos
cuatro cifras; 
se requiere el empleo de tablas de logaritmos de
:"::ifftfindos se requiere el empleo de tabias de logaritmos de
para obtener décimos r
mos de siete cifras. 
Ce segundo se requiere el empleo de tablas de logarit_
( Poto.¡ A
Luís M) B
Figura Z
1.7
E
ic r::.:
T-)---
T- - I .-
S¡ l.-: :
S.
Tl---
T--i --
Sol'-:l- -
elr -:
\,;-,r.-
' para
cinco
(s.
TRIGONO}f ETRIA ESFERICA
1.7 Problemqs
Problema 1
En un triángulo es{érico A B C se collocen dos lados y el ángulo que
forman. Calcúlense los demás elementos del triángulo'
Datos: b :3Ta5t; c: 5lo4'i A:9041'
Incógnitas: a, B, C
Solución:
Problema 2
Se conocen los tres lados de un triánguio esférico y se piden los tres
ángulos diedros'
Datos: a:Il3a03'; b': 82"40'; c : 75400'
Incógnitas: Angulos diedros A, B, C.
Solución: Se aplica la fórmula de Borda:
sen (S - c) sen (S - ó)
23
LR ]]
i"j
tan!
en la cuai
sen (S - o) sen S
25:alb*c
i A-
'¿
Cálculo:
(S - a) : 22a18'30" log sen :9'57932
(,S - ¿r) : 52o+I'30' log sen : 9'90058
(S - c) : 60o21n30" log sen:9'93968
,S : 135"21'30" iog sen : 9'84676
1og sen (s - ,) : 9'93968 log sen (s - ') 
: 9'93968
Iog ,en ("9 - b) : 9'90058 log sen (S - o) -- 9'57932
.olog r"n (S - o) : 0'42068 colog sen (S - b) : 0'09942
colog sen r : 0.15324 colog sen s : q'15324
log tan2 t A: O.+fZSA log tan2 4 B:917|OA
log tan 4 A:0.20679 log tan á B : 9'88553
A: 116020, B:75a04'
iog sen (S - b) : 9'9005u
log sen (S - o) :9.57932
colog sen (S - ,) : 0.06092
cologsen s :0'15324
tanz 4 C: 9.69406
tan2C:9'84703
C : 70a14'
24
Comprobación:
sen I sen B;a; ::;;-r:
M, MEDINA PERALTA
sen I
,.";: 9.98856;
sen C
sen c'
sen B
,A_r: 9.98865;
sen C : 9.98869Sen c
Problema J
En un triánguro esférico rectángrrro A u g en er que c es er ángurorecto, se conocen los lados a y c y,"'pia"-fu longitud del lado á.
Datos:. ¿ : 5601 1,; c :81o30,
rncognlta: &: (?)
Solución:
Problema 4
, El l" triángulo esférico A B C se conocer
dro A. s" piJ.i toul"-a, elementos. 
r los lados b' c y e|ángulo die-
Gen,g,r
:l'
C:-: - .tl
}--:--: *
::
Desi.
nr¡eh r-
astro: a
2.1 Lí
T^
señalai"
y se sas:
vul-Q-ar I
toque a
arriba :
Ia sup.::
Datos: b : QBaS,;
fncógnitas: a, B C.
Solución: Fórmulas
Cálculo:
c = 51,a4'.¡ A- 9004'
¡' I -''- jil
cos d:cos á cos c*sen b sen c cos Asen B = sen 14 sen b csc a
sen C: sen .4 sen c csc a
logsen b:g.79115
Iogsen c:9.8g221
Iog cos A: 7.B43gSn
7.5t6ñ;
Iog 0.48543 : s.asa:127, :ouooo.u#
log sen ,4 : 9.99999
logsen c:g.Bg2g+
log csc a: 0.05822
logsenC:935125
C : 63021'.5
sen -B sen C
logcos b:g.84354
logcos c:9.7951A
T'oiB6?
a: 0.4BBB2
S : - 0.00399
¡78543
log sen l: 9.99999
logsen b=9.7g415
log csc a: 0.0b832
log sen A: g.952+6
B - 45a2+'
Prueba:
sen á
, sen .B
'og G;J.: 0.05831
sen ,
, senc
'oS ;*; : 0.05831
CAPITULO
LA ESFERA CELESTE
Generolidodes
- En cualquier lugar de ra Tierra en que nos encontremos, estaremos ro-
deados de un espacio que.se extiende por iguar en todas direcciones y que
no tiene límite. Este espacio es ra "esfera o bó"eda celeste,, y .., 
"ilu 
," 
"rr-cuentran todos ]os cuerpos cerestes, incrusive ros que forman nuestro sistema
planetario.
Dentro del concepto astronómico, la Tie*a en que vivimos tiene ra for-ma de una esfera cuyo radio mide aproximadamente 6,378 kilómetros.
Desde su superficie podemos contemprar un gran número de cuerpos quepueblan el universo y que utilizamos para resorver ros probremas de la
astronomía práctica que vamos a desarrollar en este libro.
2.1 líneos, plonos y círculos de lo esferq celesle
La primera línea que podemos apreciar visualmente es la ,,vertical,,,
señalada por una cuerda flexibre en cuyo extremo suspendemos un cuerpoy se sostiene por el otro 
_extremo. 
Este dispositirro se .orro.e en er renguaje
vulgar como la "plomada". prorongando idealmente esta ]ínea hasta que
toque a la bóveda celeste, marca en erla ros puntos rlamados ,,zenít,, hacíaarriba del observador y ,,nadif', hacia abaio.
La segunda línea en importancia es er ;eje porar", cuya intersección conla superficie de la Tierra materializa los po1o, Norte y Sur p y p/.
N
Figura 3
25
(l
o
o,
26 M. MEDINA PERALTA
La tercera rínea es la "meridiana", que es la intersección de los pranosdel 
_meridiano y del horizonte q,r. ua"turrt" se definen.
Los planos de ra esfera cereste reracionados con ras ríneas antes descritasson: Los planos verticales, que son aquellos que contienen a una línea verti-cal'Tor-cada lugar de ra Tierra p,r"i".r pasar varios planos verticales.El plano "meridiano" que es .tr ptuno vertical que contiene a ra rinea
,* 
t:il_.]"r.Por cada lugar de Ia Tierra sólo pasa'un pf.rro *.riaiano ylos planos o círcuros horarios, que son los que contienen a la línea de rospolos; siguen, en orden de importancia, los planos siguientes:El plano der horizonte que diüde ra esfera cereste en dos partes igualesy es perpendicular a Ia vertical del lusar.
El primer uerticar es el que for*u 
".rn 
ángulo de 90o con el prano delmeridiano.
El plano der ecuador divide la esfera cereste en dos partes iguares y esperpendicular al eje del mundo.
Los círculos horarios son los que contienen al eje del mundo.El plano de ta ectíptic¿ es el qúe contiene a ra 
'rbita 
de ra Tierra en sumovimiento anual alrededor del Sol.
Los círcuros t .enores o d,e decrinación son ros planos donde se haran lastrayectorias aparentes de ras- estretas (debidas ar movimiento diurno¡ y sonparalelos al plano del ecuador.N
Figura 5
te
\?
PI,
P.lano del
orizonte
Figura rl
LA trSFER-A. CELESTE 27
Las figuras +,5,6 y I dan una idea gráfica cle estos planos. Las inter_
secciones de tales planos entre sí son:
La merírliana o línea en que se cortan ros planos der meridrano y cler
horizonte. La intersección de esta línea con ra esfera cereste marca ros
puntos cardinales 1/ y S (Norte y Sur) .
La intersección del primer vertical con el plano del horizonte corta l¿r
csfera en los puntos E y W (Este y Oeste).
La intersección de los pranos der ecuador y ra ecríptica se ilama rínea de
los equin'occios; uno de sus extremos es el punto vernar, punto o equinoccio
de primauer¿. Es el pnnto en que se encuentra er sor en su trayectoria apa-
rente el 21 de marzo. Er opuesto, equinoccio tre otoño, corresponde ar 21
de septiembre.
2.2 Coordenqdqs celesles
Para fijar la posición de un astro en Ia esfera celeste la Astro'omía de
Posición se vale de alguno de los tres sistemas de coorcienadas sip.ientes.
cuyas características generales son:
a) El punto origen de todos los sistemas es el centro de Ia esfera
celeste.
b) cada sistema tiene un plano fundamentar y un radio vector.c) En cada sistema una de ras coordenadas se micre a partir de ura
dirección fija del prano fundamentar hacia 3600; Ia otra coorde-
nada se mide a uno y otro rado del plano fundamental de 0o a 90o.
En el prirner sistema ei plano furrclamental es el horizonte y el raclio
vector, la meridiana. Las coordenadas se llaman azimut y olturi, respecti_
vamente.
_ En la siguie'te figura ry'E's representa el prano del horizont e, pZ el
plano meridiano y lvs ia intersección de ambos planos o sea 1a meridiana.
Altura
Figura B
Azímu t
28 M. MEDINA PERALTA
E representa el lugar ocupado por el cuerpo celeste y ZEE'un círculo ver-
tical que pasa por é1.
El ángulo EZS se \larna azimut y, como se ve en la figura, es igual al
formado en el plano del horizonte por la meridiana Si/ y la proyección
de la visual al astro OE.En astronomía los azimutes se miden a partir del
Sur hacia el Oeste, es decir, en la dirección indicada por la flecha de 0o
a 3600.
Para usos topográficos y en la navegación sobre el Hemisferio Norte
se acostumbra medir los azimutes a partir del Norte hacia el Este.
Si en la figura citada el ángulo EZS o sea el azimut del astro E, tiene
por valor v. g. 78050', en topografía o en navegación sería expresado por
258o50'.
La otra coordenada en este sistema es el ángulo EOE formado por la
visual al astro y su proyección sobre el plano del horizonte; se llama altura
y se mide de 0o a 90o. El complemento de este ángulo ZOE es la distancia
zenital del astro. Si designamos por ¿ la altura y por z la distancia zenital,
se tiene que a * ¿l: 90o.
Este sistema se adapta a la determinación de las coordenadas de un astro
por medio del teodolito, pues estando nivelado el instrumento y orientado
en dirección del meridiano, las indicaciones del círculo horizontal serán
azimutes, y las del círculo vertical serán alturas.
Pero, debido al movimiento diurno aparente de los astros, ambas coor-
denadas variarán continuamente y será preciso un tercer elemento para
fijarlas; este elemento es la "hora".
En el segundo sistema el plano fundamental es el ecuador y el radio
vector, la meridiana. Las coordenadas se llaman: d.ngulo horario y decli-
nación.
El ángulo formado por el plano meridiano PP' y el círculo horario PEü
es el horario del astro. Se cuenta a partir del meridiano hacia el Oeste en
el sentido de la flecha y de 0o a 3600.
Figura 9
tl
C:
horario
LA ESFER{ CELESTE 
90
En atención :l m^.,i_:^_
por Io mismo 1 
al, mlvirruento aPar
poros v "f".,"u::-'i:¡"b 
;;ü;u':;""'? de la esfera celeste' e't astto E Y
;; ;"' ; ** ::A ;:l*:*#T.,# jl 1l.:;: h{#i*j
3600: 2Q horas
jr 
-: 
I lTX,.
tr r segundo.
: ,iJi::":f"""T:1o se mide el ánguro horario de un astro en ra tarde
"Tl':,;*:;'#:-:. i ü','1, 1;"i;l 
meridiano' 
""''""'o'"uau ",,".i
a;a" 
",,i,""- i io', ?T^..1; 
." í' ;;;;t,"::J$:i í",u"1:'::;.,.á compr en_La segunda ;"::: s*d"s' equivalent"' u lui tu t"tn i"*,
"irrr u,?ri.l-.;:":t",roa en esre siste,
: :: I i i 
",.a g.i 
"gX 
"; tX' #f j* 11T 
1.":{"f"i fr' : ; :,í "T :"':H;,1;
oecrr que hay ast,
r",i o septen tii "; i' . : :.::'""".' # *'f_ ü3, ru;ffiJ ** f#j:tr.*ri.i"'"r",.d. y otros de declinacion negativa (los que pe¡tenecen al
,i";',::':,:11,,",:;Li':ifr".1i,"J."",rtiiu;.i.,: jillr,#i::;Tixl"Í;
ar e.¡e poiar. Dicho
¿". _"i_i.";';'J 
,ntr*menro se ilama ecuato.ro"í ,..^)r.íJ está provistopotar con ;;;;; 
reJo'¡ería' de manera,ql" 
{.: "ir.¿"a". ¿" dicho eje;r ";-u'" ffi,:jil:"l"ffilft*ual ar mov,'mi""," l"'lu ii",,u. to-u
." ;:::ffi"r"Tl tiene ta ventaja sobre
En el rercer ,,r,1, 
,rju, ,, o"ii""_rc.el 
sisterua horizontar, de que una
vector es la línea ;;t:"' 
el plano fundamental es el ecuador y el radiorecta y declina"ión. 
los equinocciosr' sus 
"oo.denadas ,"]r;;, ascensión
La ascensión rec;
pasan por el punto ,'i:.,t] -gulo formaclo por ios círculos ho
'.'íff;;i irtt" fifi 
:H"1 ilTJT' J.*f ,T j:T**,'
;:,'iT:i:,:#:ii"::H::"#l jTn:i':::' o su eq uiva,en,e, es decir,oer¿stro y que se designa o". i" i.*"":::^Y' y ov es la arcensión r".ras" *;á.'r-o-;":T"i::la letra griega a'
y d-e 0o ' suoíl;tü'r:Tt: tn"iji,Xlto' directo, esro es, hacia er E,
.-,^_tu 
segunda coordenada o" .r*^rrriiJu. ,mismo nombre del segundo sistema. 
''declinación", 
es igual a la del
I,I. X{DDINA PERALTA
JU
En este sisterna las dos coordenadas son fijas y por elIo es el empleado
prr;;;;;r;, tu po'itiJ" de los cuerpos celestes en las efemérides y anua-
rios astronómicos'
rrrrrfuil
ü
iii lllLLLu[
I
Figura 10
Dado que el punto y, origen de las ascensiones rectas' es un punto de la
esfera celest" qrr" puttifip;'il'J;;;i*itnto aparente de ésta' t: tl:::l:
horario ocupatálas posiciones sucesivas que cualquieta offai esto es' pasara
o coincidirá con el *"'idiu'-'o en cierto moment-o y efectuará una revolu-
ción completu, ut'"¿"iot ¿"i-":" del mundo' en 21 inorcs siderales'
El ángulo horario del punto 7' "1 
tt^*omento dado' se llama hora
sideral y ," ,"p,""ttta por la letra-griega d'
En ia figura 10 se deduce fácilmente que:
0: a* H (1)
lo cual indica que el tiempo sideral "'. lSuul 
a la suma de la ascensión
;;; y el ángulo horario del astro considerado'
Si en esta fórmula se hace H :0' esto es' para el momento en que el
astro E se encuentre en el meridiano' tenemos:
0:a (2)
En otras palabras, el tiempo sicieral es igual a la ascensión recta cuando el
astro está en el meridiano'
De io anterior se obtiene un método senciilo para poner en marcha un
cronómetro de tiempo sidéreo: elija una estrella próxima a su paso lne-
ridiano y tome su u'c"nsión recta de un anuario astronómico; coloque las
manecillas del cronómetro cle manera que marquen las horas' minutos y
segundos "o,'"'po"ai"'-'t"' 
t lu ascensión recta y espere que la estrella
elegida alcance '" "f'"" 
ÁáÁ^u' es decir' "l -om""to' del' paso por el
*..idiu.to. E" "l 
i"';;;;-pt"J"'¿" dicho paso' hasa lunfonar 
el cro-
nómetro haciéndolo ;;;;; rapidez' Si la operación se ha hecho con es-
mero se tendrá urr"gi"Jo "i 
..on¿*"tto al tiempo sidéreo local'
T,A ESFERA CDLEST¡
31
2.3 El frióngulo ostronómico
. Con el conocimiento de los sistemas d,
;::iil'i:,"H:{ j:mrtxr*T#'T:'ff i:ff"::'ln::Él::i
,, Í 1,!,,,2'^ii:lrm;:1;il ",j;'.1* ;,1 
;! !: t z N 
.l 
a rín e a d e, o s p or os
i::;:t n ;,1 d;a fi I 
;' em os pa s ar su p I an o i:lT:" i?,ü?,TT:: ;i :1
Figura t I
El triángulo esférico pZx se llama triá:que-sus ereÁentos (t1_" , ángulos) ,*""i12!!,iÁ::::t:"^:,:s fác' ver
Lado pz, es un etemenlo frjo p'uru r^áutrgur-d" i;C;;; tiene porvalor 90o - p; se llama colatit;a i.l lü, de observación 0.Lado px, también
::T'"':lJ;;'#jffiTfi :'iT:,!Hi:iu::::ilii:"J'il,:fi 
1::t:
Lado Zx' distancia angular dei zenit ai astro y se lrama distancia zeni_
i3t;"1ifl?,1Tr1X,j'll,,"j*e"to es ffi[*"",ario de ru urt.,,u ¿.r astro;
Er ánguro diedro Zp-x está formaclo por er planorneridiano del rugar y
i"ÍT$L,HTl" in,t?l 
p"' 
"i ;;;i'"" '"-u 
á's"1;;;;]'0", u,,,o
Ei ángulo dieclro pzx, está formacro por el-plano meridiano dei lugar
Ir:*iTi.:tfl; pasa por el astro. Este ángulo es el suplemento del
Sur hacia el Oeste, 
z, plles se recordará que los azimutes ,",.lr..rtun a.l
ry T"lJ"- Jl' if * J:ff :'í*:T ij ?, #: i::li. I_" :..,,r "a, v h orari o
senta por Ia letra e. 
-----v'qsvj üs 'i:lrria angu.lo paraláctico y se repre-
32 M. MEDINA PERALTA
Los problemas básicos de ra Astronomía de posición consisten en ra
::,:.^..|iir-"^,"Tlin 
de este. triángulo. A diferencia del triángulo ptonq qr.
t
+
:Í,t"_T:1" l.:olverse :".i.d: ," ár,o"" uno de ,"* ;;*-;;;", ;ñil;'""t 
";lliTgl. esférico es factible su resolución "";;. ;""¿;;':* á" J:elementos.
Los problemas concretos que resuerve ra Astronomía de posición con_sisten en:
a) determinación de la hora;
b) determinación de Ia latitud geográfica;
c) determinación de la tongitud g; gráfica;
d) determinación del azimut d" ,rrr. lírr.r.'
Ahora podemos escribir ras fórmulas fundamentales der triánguro esfé-rico en función de los elementos del triángulo astronómico.
Fórmulas del coseno
cos z : sen g sen g * cos g cos,g cos.É1
sen g : sen g cos z _ cos g.sen z cos Az (3)
sen g: sen g cos z * cos g sen z cos e
Fórmulas del seno - coseno
- sen z cos Az : sen ,g cos g _ cos g sen p cos I/
senz cos e : sen g cos g _sen 6 cos o cosfl
cos g cos Il : cos z cos g _sen z rer, é cos e
(+)
- cos g cos Az: sen ,g sen z _cos g cos z cos e
cos I cos .F1 : cos z cos tp *sen e sen p cos Az
cos I cos e : s€n p sen e *cos I cos'z cos Az
Relación de los senos
senz:aorf_cosg 
/<\
sen H sen Az sen Q \J/
. De manera semejante pueden escribirse las fórmulas aplicando ros roga-
ritmos.
2.4 Fórmulq diferenciql fundomenfql
si diferenciamos la primera fórmula del grupo (3), considerando varia-
bles todos sus elementos, tendremos una relación quá'serürá pu.u 
"sti*u.el grado de precisión con que puede obtenerse er elemento aeráaq en fun-
ción de otros elementos donde hay errores de observación.
É
3l
dentr
({; l-
diudir
ú
que es
2.5 I
Pa¡
sistema
estrella
to del r
sus coo
Dos
Iaánu
ma inl.
Prirncr
Pu-nto (
Enr
manvl
Del
introduc
3
LA ESFERA CELESTE
Tenemos que:
* sen zdz: cos I dD sen 9 * sen 6 cos g d,p
-- sen g dg cos I cos ,I1
- cos I sen I dD cos 11 - cos p cos 6 sen H dH
: (cos 6 sen g - sen I cos g cos H) d6
* (sen I cos g - cos 3 sen I cos H) de
-cosgcosSsenHdH
Al substituir en esta fórmula los valores de las cantidades contenidas
dentro de los paréntesis y del último términq obtenidos de las fórr¡ulas
(+) y (¡), resulta lo siguiente:
-sen z dz: -sen z cos Az.dg * sen z cos Q.dD -
- cos g sen Az sen z. dH
clividiendo entre z y despejando a dH nos da
.).1
dH:
cos g sen ,42
Id:-- dc|
cos g tan Az
cos Q
cos gr Sen ,42
d8
(6)
que es la fórmula cliferencial buscada.
2.5 Tronsformqción de coordenqdqs
Para poder efectuar aigunas observaciones es necesario pasar de un
sistema de coordenadas a otro. En varias ocasiones se tienen que observar
estrellas no visibles al ojo humano, de modo que no bastaría el conocimien-
to del cielo para poderlas localizar en el campo de un anteojo. Se necesitan
sus coordenadas en un sistema adecuado al instrumento que va a usarse.
Dos son ios casos más usuales: el paso del primer sistema de coordenadas
(azimut y altura) ai segundo (ángrio horario y declinación) ; y "l proble-
ma inverso.
Primer caso: Daclos el azimut y altura de un astro, así como la latitud del
punto de observación, calcular su ángulo horario y declinación.
En el triángulo astronómico se conocen dos lados y el ángulo que for-
man y los elementos incógnitos son F1 y I (Fig. 12).
Del grupo de fórmulas (3), (1) y (5) empleamos las siguientes:
sen I : sen 9 cos ¿ - cos g sen z cos Az
cos I cos 11 : cos g cos z* sen 9 sen z cos Az
cos I sen .I{ : sen Az sen z
introducienclo las var-iables a.uxiliares :
3
tI
I
I
I
t"
i
I
I
--,t-f-¡
1og tan z: 0.342M
log co3 Az: 9,69323
3+ M. MEDINA PERALTA
Figura 12
rn sen fuf : sen z cos Az
nx cos M: cos z
y substituyendo en las ecuaciones anteriores, nos quedan
sen ,8 : trl sen (g - M)
cosDcosH:mcos(9-M)
cos 8 sen É/ : sen Az sen z
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones que resuelven el problema:
tan M: tan z cos Az
tan H : tan Az sen M sec (p - fuI) (7)
tan 8: tan (9- M) cos H
Problema: En un lugar de latitud g: 79o24r' se midieron el azimut y
la altura de la estrella.!/R/U.S (,a canis majoris), el 27 de noüembre de
1949. Vamos a calcular su ángulo horario y su declinación.
t
Datos:
Az: 299034'
.^ : 1qorLl
a: 2+"29
log tan Az: 0.24618n
log tan M : A.035ü log sen M :9.86667
M : 47o21,7 logsec (9 - M) :0J5391
9-M:-27o57'7 logtan U:0.t6676n
H : 304015'7
log tan (e - M) :9.72496n
log cos H :9.75048
logran 6:9.47544n
I - - 160395
I,
I
I
35
Ii
!
l
' LA ESFER.{ CELESTE
Comprobación: sen Az cos rr : sen 'FI cos I
log sen Az : 9.93941
log cos a: 9.95925
9.89866
log sen H :9.91723
logc.os8:9.98142
9.8986s
Segundocaso:Dadoselángulohorarioyladeclinacióndeunastro'
así como la latitud del punto de observación, calcular su azimut y altura'
También en este.u,o '" conocen dos lad6s y el ángulo que forman:
las ecuaciones adecuadas para resolverlo son:
cÓs z: sen I sen 6 * cos I cos I cos fl
-sen z cos Az: sen 6 cos - cos E sen I cos 11
' sen z sen Az: - cos 6 sen FI
Introduciendo las variables auxiliares
¿ sen N: sen 8
¿ cos N : cos 6 cos -F1
se tienen 1as siguientes transforrnadas:
cosz:rzcos(9-N)
sen z cos Az : n sen (9 - A')
sen z sen Az: cos 6 sen F1
cle doncle se obtiénen 1as ecuaciones que resuelven el caso:
tan N: tan 3 sec É1
ran Az: tan H cos l{ csc (e - N ) (B)
tan z : tan (9 - ll) sec áe
Problema: Con los resultados del problema anterior calcular el azimut
y altura de S-IRIU^9, para el 27 de noviembre de 1949' en un lugar de
latitud : I9a24',.
Datos: H : 3O1oI5'7"
Resoiución: 
611603',5"
log tan 6 :9'47544n
to"g .o, H :9.75048 log tan H,: 0''16675n
1og tan X : YIZ+gA" 1og cos l{ : 9'94609
- ¡f : - 27a57'7" 1og csc (e - ¡{) : 0'13333
_ ¡ú - 47ó2I,7', log tan Az: 0.2161.1tt
Az: 299034'0"
1og tan (e : ¡f) : 0'03584
log cos Az:9'69323
z: 65034t0'
36 M. MEDINA PBRALTA
Comprobación: Queda hecha con el cálculo anterior.
Nor¡s: Para efectuar correctamente estos cálculos deberá ponerse cui-
dado en el manejo de ios signos. Las siguientes reglas prácticas pueden ser
útiles:
a) El signo de M en las fórmulas (7) será siempre negativo para
distancias zenitales comprendidas entre 0o y 90o. El signo de N
en las fórmulas (B) puede ser positivo o negativo; en este último
caso, N será un arco negativo y se calculará haciendo el comple_
mento del logaritmo de tan N y tomando en las tablas el arco que
corresponde a ia cotangente.
b) El azimut y el ángulo horario siempre tienen el mismo signo y se-
rán, simultáneamente, mayores o menores de 1800.
2.6 Algunos problemos que se presenlon frecuenlemenle
a) Determinar la hora de salida y puesta de un astro para una fecha
y lugar dados,
Cuando un astro está en el horizonte su altura es nula y por lo mismo
su distancia zenttal valdrá 90o, en este caso, en la primera fórmula del
grupo (3) hacemos zi:90o y se tendrá:
0 : sen g sen I * cos 9 cos I cos 11
de donde
cosltl=-tanptanS (")
Sin embargo, debido al fenómeno de refracción atmosférica, que en el
horizonte tiene su máximo valor, se deben modificar las dos fórmulas ante-
riores como indicaremos.
En la distancia zenital de un astro en el horizonte hay que considerar el
error por refracción, que es de 34 en dicho plano.
Si se trata de una estrella la fórmula (1) debe quedar:
cos (90034') : sen 9 sen I * cos 9 cos 6 cos 11,
de donde //
cos F/ :lsen 34 sec a sec I - tan g tan A.
cuando se trata del sol, cuya observación se hace en sus limbos supe-
rior o inferior,habrá que agregar, a la distancia zenitar aparente además de
la corrección por refracción, la de semidiámetro que es de 16r, por lo que
resulta:
cos (90050): sen f sen I * cos I c.os 6 cos 11
LA ESFERA CELESTE
de donde
cos FI: -sen 50' - sen g sen I
cos g cos 8
al substituir el valor numérico de -sen 50,: -0.0145 nos queda
cos_É1 : -0.0145 secasec I -tanptan 6 (2)
La declinación del sol (s), que entra en esta fórmula debe corresponder
al momento de la tangencia con el plano del horizonte, lo que hace nece-
sario conocer la hora en dicho momento.
sin error apreciable, esta hora puede estimarse si sumamos 6 horas a
la hora del paso meridiano del sol, para obtener la declinación en el
ocaso, o bien restando seis horas para tener la hora en el orto.
a) Problema: ¿cuáles fuernn las horas de salida y puesta del sol en
la ciudad de México (p: l9a2},) el ls cle septiembre de lg72?
El cálculo se desarrolla como sigue:
Datos: g: 79a26', \t: $n!$n32s
JI
Salida
lzk 1- 11
6h. 6 + Bo0g,
log sec a 0.02547
log sec I 0.00441
11¿59.48".61
los (- 0.0145) B.tGt37n
log ler. térm. 8.19125n . . .
ler. térm. -0.01555
Puesta
+ 7o5B' (1Br)
0.02547
ü.00421
B.16137n
log tan 9.54750
log tan 9.15598
Iog 2o term. 8J0357
2': térml0.05053
la+2 térms. -0.06608
H 86012',10'
(en tiempo) H 5k44ry50'.7
t2 + E 11 59 48.6
I{ora local 6 14 57.9
b) cálculo del azimrt y ángulo horario de ra uísuar a una estrclla
circtLml:olar en el momento de una de sus elongaciones.
LTna estrella circumpolar está en una de sus elongaciones (oriental u
occidental) en el momento que arcanza su máximo azimut; a partir de este
instante cornienza a disminui¡ su azimut. Bn dicho momento, el triángulo
astronór¡ico es rectángulo en la estrella.
8.1 9i052
* 0.01555
9.5+75+
9.14597
8.69351
0.04938
- 0.06493
8601"6'40"
5k+5*06."7
11 si 48.6
14 ó^ ?- 
^I / JO JJ.J
3B M. MEDINA PERALTA
Para determinar el azimut de la visual a la estrella, en dicho instante,
se usa la fórmula de la relación de los senos.
cos I sen 90o
sen l" : : cos I sec a (o)
cos p
El ángulo horario .É/, se calcula por la fórmula del seno-coseno siguiente
cos a cos 90or: sen g cos 3 - cos p sen I cos H"
de donde
cos H": tan g cot I
y finalmente, la hora de la elongación
T":a-H"- L,T
Ejemplo: Calcular el azimut de la visual a la estrella polar en su elon-
gación oriental, el 12 de diciembre de 1949, para un lugar de latitud
pt: 19024, así como la hora sideral de la elongación.
Datos:
g : 79024'
cu : 1¡49m01.*0
I : 89002'01".7
D---N:1-
.::
(b)
2"7
P-,
I-\--.
f_:
- i-l-
,"".
Resolución:
log sec : 0.02539
log cos :8.22692
log sen A":8.25231
A": Lo0!n27"
log tan : 9.54673
log cot :8.22699
log cos H":7.77372
H": B9o3B'55"
: 5¿58.38'.3
Tu = 19k50*22'.7
{
,!
c) Cálculo del azimut de un astro en el momento de su orto.
En el triángulo astronómico se tiene at: 0, por lo que
sen Az: sen fl cos 6
- cos 11: tan g tan I (r)
Ejemplo: Calcular el azimut del Sol a su salida, el 12 de diciembre
de 1949, en un lugar de latitud lgo24,,
LA IISF¡,RA, CELUS'II-
log tan ,p: 9.5+6t"3
log tan 6 : 9.629562 log cos 6 : 9.96377
log cos H :9.17629, log sen 'll :.9'99505n
log Fl : 278a37'50" log sen Az : 9.95882+t
Az: 291a33'30"
logtan 9:9.5+lB7
logtanS:9.6301i
9.17198
á : a.i4860
39
Resolución:
9: 1942+',
6 - -23o0,1'5+"
2.7 Problemqs
Problema 5
Se midieron el azimut y la distancia zeníaal de una estrella con un teo-
dolito de 1'de aproximación en ambos círculos.
¿ Cuál es el margen de error en su ángulo horario ?
Datos: Latitud ,p : 19a2U; Azimut -l0o
Fórmula diferencial:
i
dH _ _.,-__- ,- dz
:}
Solución:
Problema 6
Calcule la hora de salida del Sol en el Puerto de Veracruz el 12 de
diciembre de 1972.
Datos: g: 79o12'; X: 6h21^33'
Solución: Con los datos anteriores se toman del Anuario la ecuación del
tiempo E y la declinación del Sol a la hota del orto y se ob-
tienen los siguientes valores: E : -5*54".2; I : -23o06,26,r.5
Fórmula:
cos .F/ : - 0.0145 sec p sec 3 - tan 9 tan 6
Cálculo:
log (-0.0145) : 8.16137n
Iog sec a: 0.02485
logsecS:0.03633
8.22285n
¿ : -0.01668
ú' : --0.14860
- 0.16528 los : 9.21827n: Iog cos FI
I{ : -(80029') - - 5h2lm56s
Paso merid. del Sol i I 54 06
Solución: Hora del orto 6433'10.
CAPITULO
CORRECCIONES A LAS COORDENADAS
Las observaciones que se efectúan a ros astros, con los instrumentos
usuales, resultan siempre_ alteradas por los errores debidos a la imperfecciónde los instrumentos usados, a ra man"ra de utilizarror, ul -.iio donde seefectúan las observaciones, al lugar ocupaclo por "t o¡r"r,,,uaor, así comopor el punto visado der astro ..,urrdo ti.nl ,rn Jiá*.tro sensible, como en ercaso del Sol o de la Luna.
Se pueden agrupar tales causas cle error en la siguiente tabla:
a) instrumentales;
correcciones que debe'apli- :l ffi rT'j"',HffT:'ff,"1:s luminososcarse a ]as observaciones. ai atravesar la atmósfera (íefracción at_
mosférica) ;
d) debido al lugar ocupado por el obser_
vador (paralaje, depresión del horizon_
t") ;
c) por el punto visado clel astro¡ semidiá_
metro.
3.1 Correcciones por errores insfrumenloles
Pueden ser las debidas a:
a) errores de graduación y cle excentricicracl de ros círcuros graciuados:b) error de colimación;
c) error de índice;
d) error de desviación 
_del 
eje principal del instrunento;e) error de horizontalidad del eje cle alturas.
, Los errores de graduación y excentriciclad, se reclucen u'os y erirninanIos otros haciendo varias series de observaciones con diversos orígenes delinstrumento y leyendo ros dos o más vernieres der mismo. cuando se ob-serya con sextante, que sólo tiene un vernier deberá determinarse previa_mente el error de excentricidad, rnidiendo para erlo varios án.gur., 1."'",
41
}I. I\ÍDDINA PI,B'{LTA
42
sextante y con un teodolito.aju"",U:' ::.:l::"UtU 
una tabla de correcciones
';;;";"í",,"u d" las 
. 
divisiones i:]^l1ll"ltl;L::iXJX::fi #'Jffi ;;";;;i'r::::i j"1"11"?'ffi::iTJ.1;Los errores de colrmacrorr trurr¿v'!e^
haciendo las observacio""' "' las dos T::l::: :": ';;tilffilli* .o*"'-haciendo las observacrt
con el círculo t'"t'itui lii ;;; a la izquierd a y a la derecha del obser-
f
vador, sucesivamente'or, sucesivamente' e al principio de.una serie
gi 
"rro, 
de índice debe determinarse stempl 
,*^ "t "rror de índice del
u":i,:I"^:,3:JJH""ff :",:T"#;i;i:{::*';*:i::**#*''J.11
3;.J:'ffi [ff :"i:'#;;;4;i"n'i'"::rT.,":::"": ji*:]i*ff T
Íi:*,::i'*ü.'?:ffJiJil;;;;"::i'Tl'J"":":l;^*:":l
:*:': lliu"ll,"tjl"H";';;;tura tomada con su signo es 
'a 
correc-
,J;;;t""";" üit' la corrección '"'li,l^l'11.
;l'ffi:'#ii"l" i 1 
"' 
i "lffi ;""''ii;"'i- l : :T1":3 il #Li; J' -
,",JJ,f :1",ilit"JT"*;;;".oi,,.i¿u,,.nf-"-'^'-T::::.::'"ru*:;;ii.
:ffi;Trf#l:#"r'"ffiG" '" "rno) 
correspondiente en el sextante
es la corrección Por índice'
lectura dc:
ción del índice'
Eiemplo: Después de niveiado un teodolito y puesto horizontalmente
su anteojo, el círculo *""" marc|una lectura de l'3ü'' La corrección por
índice es : - 1t30"' o?oo¡q, ^,,o en.i',,ale a una lec-
Si la lectura hubiera sido por :j."*pl: "3'13,';;o* 
equivale a
Ejempto: Suponga :": t" :l]:],1-.^": *jrlt^l[;l:ltlemPtO: DuPUrró* '1*- - r - ñ,t,Lñt'
utg.Liio,. El error de índice es negativo:f"::":,;:;;.
;lf :;J'il::.;#fi ;"";;'*.'.:^:::::1"::::]Ti:if ff;
,*iJ:X,:::'JilJffl"'l'J;".Jil;T¡:ii:l:t':1":':::*:"."$ili;
i::ffif:: :T ffi: u';' ;'il;e s der 1 imr¡o.li :: ". ::,'::#';'';"i:;lectura en el sentrdo *li:.^:-;.,""-""**,ivámente, y el error de índice
;;"* lecturas se denominan D y F' respecl
se calcula Por la fórmula:
7:i$'-D)
Se harán tantas determinaciones como series de observaciones vayan a
tomarse, para qlre o""""'.r"ttión tenga el mismo peso que aquellas'
Los errores ¿" ""t'it-"i¿^a 
det eje principal di instrumento y de hori-
zontalidacl del eje ¿" 'iit"u" 
se determina" *"diu"t" los niveles de burbuja
clue llevan lo' upu'uio' u'tto"¿-i"o' llumudo' -respectivamente- 
nivel
paralelo y nivel montante' Bl principio es el siguiente:
Sean c el lugar "t"o^at 
po' "t 
áb*t"'odo' lrlg' ra¡ y cz la clirección
ciel zenit verdadero, '¿?áti"ttión 
del 
-zenit 
erróneo que marca el instru-
mento y eo ún"i""11"1;J"ja fijo"l "i; 
vertical' Ét uiT]:j:1'"' .t
error por desviación d;i "j" 
p'ü"iput cuyo valor vamos a determrnar'
CORRECCIONI¡S A LAS COORDENADAS .14-fJ
Debido a su menor densidad, ra burbuja ocupa er punto más alto de lafiola o sea el punto b. La lectura q'.r" ár."rporrde á su centro ;; ;";;iecturas de sus extremos e1 será t (oi * ,r) .
Figura 13
- -Ahora si designamos por ?n Ia rectura der niver cuando el e.ie sea verticar,el ángulo zcz, queda expresado por:
zcz' : [4 (o, * er) - m] u
en la que a es el valor angular de una división del niver.
. como. por lo regular er varor de m no es conocicro se procede cor'<rsigue: se invierte el instrumento de modo que el extremo o pase ¿r ocuparla posición que ocupaba el extremo a. La burbuja se conserv¿¡{ 
-s6msantes- en el punto más arto. teniendo en cuenta que er sentido de Ia gra_duación quedará ahora invertido; el ángulo zcz, tendrá por valor:
zcz' : lm -- * (e, * o")lu
€z y oz son las nuevas recturas hechas en ros extremos de Ia burbuja en susegunda posición.
Promediando ros dos valores anteriores logrará eliminarse m y queda:
zcz,: *l(nr+ or) *(e, * o.)]¿, (g)
Ejemplo: Al medir ra crista.cia zenitar de una estrella se tomaron rassiguientes lecturas clel nivel paralero cuyo varor angurar era de 10,r.
^ _ t^ o
o^: )\')
^-ñO^U: - ¿,J.U
,'-+,l="0.6 ;;T;;=4sz
r. la corrección por nivel será: : tl+q.O - 48.21 X 10,,: * 19,,.
++ M. MEDINA PERALTA
Si el objetivo está inclinado hacia la señal, en cuyo caso la lectura más
a|ta está del lado del ocular, la corrección es positiva. En el caso contrario,
o sea cuando la lectura más alta está del lado del objetivo, la corrección
es negativa.
En Io que respecta a ia corrección por horizontalidad del eje de alturas,
necesaria en las observaciones r¡eridianas y en las determinaciones de azi-
*rrr,"lprincipioeselmismoconlaposiblevariacióndequeelnivelesté
gruá.ruao u pt.ti, del centro' En todo caso, en el capítulo respecti'o se
volveráattatatestacorrecciónparacadaunadelasdeterminacionesque
Ia requieran
g.2 Corrección por refrocción qlmosféricq
Los rayos de luz emanados por un astro, al penetrar a la atmósfera te-
rrestre, ,rrfr"n lr.o desviación y llegan al ojo del observador después de
haber seguido una trayectoria curva, de modo que éste aprecia la posición
del astro en la dirección de la tangente al último elemento (Fig' 1a) '
Figura 1'l
SeaEellugarsobrelasuperficieclelaTierraocupadoporelobservador'
Er l¿r dirección real cle la estrella y x' cl lugar en que la vemos debido al
{enómeno de la refracción. El ángulo r es llamado ángulo de refracción
cuyo valor necesita conocerse para corregir las observaciones afectadas por
esta causa.
Elestudiofisicomatemáticoclelarefracciónesdernasiadocomplejoy,
para 7a finalidad de estas lecciones, será trataclo elementalmente' Desde
ltr"go, ud,r"rtimos que los valores obtenidos para la corrección- por refrac-
.i¿i ,o' aproximados, raz6n por la cual las observaciones que deban corre-
girse por esta causa, qrr"du,átt afectadas -de 
pequeños errores i¡evitables'
" 
Lu, leyes físicas de la refracción que funclamentan este estudio son las
sieuientes:
CORRECCIONES A LAS COORDENADAS 45
a) Los rayos incide'te y refractado se encuentran en un mismo plano
verticai.
b) Al pasar ei rayo luminoso de un medio menos
mayor densidad, el ángulo de refracción es más
ángulo de incidencia.
c) La relación de los senos de los ángulos de incidencia y de refrac-
ción es constante. si uno de los medios es el vacío la relación cle
ios senos se llama índice de refracción clel otro medio.
d) De un rnedio al otro, los senos de los ángulos de incidencia y cle
refracción, son inversamente proporcionares a los índices de re-
fracción de clichos medios.
Para el estuclio de la refracción debe consiclerarse la atmósfera compuesra
de capas concéntricas de densidad creciente hacja la corteza terrestre. Es
posible, sin embargo, simplificar el problema ar aceptar que cuando el rayo
de luz no es demasiado inclinado la refracción se efectúa en una zona cle
capas atmosféricas que pueden considerarse planas. se tiene entonces, de
acnerdo con la ley 4 (Fig. 15), que
denso a otro de
pequeño que el
(.o)
(b)
scn .I, l*,
-- -E-- : "1*; scn '1, : scn Rn-,
)Urr II¿_1 [n
en la que l,nt y ln son los índices de refracción
(a)
n-lyn.
I
t--
I
I
Ln-t
-J
I
Figura 15
Pero, I, difiere una cantidad infinitesimal de -R,,_1, ya que podemos consi_
derar las capas tan cerca una de otra como se quiera, para ruego poner
(*)
cle las capas
ln
ln
sen 1, : sen (Rr,-1 + dR)
v queda la expresión (a)
sen (1?,,-, + dR) : sen 1?r-, (b;)
46 M' I{EDINA PEITAI
la cual, debido a la pequeñez de dR' puede escribirse como
sen Rr-r * cos R*"dR : sen R'-' l4\"^ \ l. /
de donde
cos Rn-tdR: sen R*-r
de incidencia.
Entonces quedará:
R:tan rr+
si desPejamos a dR" 
dR =ran R,-, ( r*, 
, '-\\¿,/
y, sin error apreciable, tenemos finalmente que
, dt (d)
dR: tan I -t
Si se hace ia suma de estas desviaciones parciales se obtendrá la suma
total, es decir, la corrección por refracción' esto es:
2dn:R:)lf t"'r
El valor de I varíapor dos causas: por 1a desviación del rayo luminoso
d"bid" ; la refracción , q* t" **^:11'^u"uffifif 
;'rrt3ff#JJ"::;
a aumentar el valor de 'I y la segunda a
abstracción de esta última' tenemos, que compensar el error resultante en
la primera,,'po"i""Jo';;;;¿;tt la distancia zenital z es igual al ángulo
Po:
e1
-Y,.
OI:
(¿)
(+)
(u)
Esta suma debe tomarse entre los límites I : l' va\or del índice de re-
fracción en la prime;:;;1 lu x*ó'f"'u Y' l:1" valor del mismo
* iu .upu doná" '" encuentre el observador' esto es
l,*\',=:\'
como l, es una cantidad poco diferente de la unidad, podemos escribir
log l': log [1 * (/ - 1)] : (I'- 1) -á (Y - l)'
que substituida en la (e) ''?":',r" 
z (f _ r) 
')
:\, i:rosr
CORRECCIONIIS A LAS COORDENADAS 4i
Ahora bien, se admite que l' vatía con la densidad del aire y se puede
Poner (-1 D':--
lo - 7 Do
(cl
en la que Do es la densidad del aire a cero grados de temperatura, a la
presión normal de 762 mm y, /¡, el índice de refracción respectivo. Por
otra parte, designando por p' y /to las presiones atmosféricas en las dos
capas respectivas y por u' y a¡ ios volúmenes de un prisma de aire sobre
la unidad de superficie en dichas capas, se tiene:
P' : u'D' y Ps: u, D6
de donde
P' : u'D!
Po uaDo
y considerando que los volúmenes varían con la ternperatura del aire, en-
tonces
u': uo (1 * er)
siendo ,a el coeficiente de diiatación del aire, de donde
y por lo tanto:
a'
-- 
L I UL
uo
P' D' /1 I -r\
(a L)o
de donde:
D':P', _ 1_
Do Po.. I-fat
vaior que llevado a la igualdad (g) nos da
y-l Pt 1
t- I: Po ^ I + 
"1
de donde:
.P'1.' - r : (ro - ¡) n* Tr_ "/
r la fórnlula (/.¡ Iinalmente queda:
D- lo-1 P", Irr * 
sen i, * p"n 1¡ *tan z (h)
:rr ]a que se ha dividido pol' sen |'t para obtener a -R en segundos cle arco.
I
I
I
4B
Si se acePtan los
se tendrá que
y, finalmente
M. }TEDINA PERA
valores obtenidos por Briot y Arago:
/o : 1'00029+
a: 0'004
'1[
l[
ü
0.00029+
l{ - 
---1;-a 
tán
R:60"t.6 tan z
' xP;x r+kd{,
fixtrk
Al {actor 60"'6 tan z se l1ama ret'racción media y se encuentra tabulado
en los anuarios y tablas astronómicas; 1o vamos a designar por r'
Pl
Ei factor tu¡ t' el llamado factor barométrico' también tabulado' que
designamos Por B'
Y finalmente el factor termométrico 
-+r04; 
que' como los ante-
riores, se encuentra tabulado para diverso"'uÉi"t de / en las tablas astro-
nómicas; se designa Por T'
Enbaseaestasanotacioneslafórmula{inalparacorrecciónporrefrac.
ción es:
R: r' B'T'
Debe tenerse Presente que la refracción tiene signo negativo para las
tlt;; y signo positivo putt lut distancias zenitales'
Eiempto: Se midió el ángulo cle altura cle la estrella Polar v se obtuvo
"1 "aior 
a' : 19o22'15"'6'
La presión bo'o*?t'itu eta P: 585 mm y la ten-rperatura ambiente
t :2CIá,. ¿Cuál es la corrección por refracción?
Solución:
''4726 log !" : 2'7674559 log 0'920 : 9'9637878
log 60.6: l'78'2
,, 1;i; z:0'4539675 log P : 3'81955'0
log r : 2'2361401 log B : 9'8852009
log R : 2'0854288
R : 121".7 1: 2t01" '7
El cálculo de este ejemplo' con el 
113 
de las tablas de refracción publi-
cadas en "t 
e,t'lutio1""tto"¿*it" de 1950 (pág' 179 y siguientes)' da como
resultado R : 2'oI1''0' Esto significa que i"' iZt*"ttt ciesarrolladas pueden
aplicarse hasta en ob"*u<:io"Js hechas al segundo de arco' Cuando se tra-
I
i
I
i
'
ts
f
I
Y
CORRECCIONES A LAS COORDENADAS
baja al minuto y no se dispone de aneroide y termómetro, entonces puede
corTeglrse por refracción media empleando sólo el primer término de la
fórmula, esto es:
R' :60"'6 tan z.
Debido a que la refracción se efectúa en un plano vertical, en teoría
no afecta a la coordenad.a azimut. Prácticamente, en visuales muy bajas y
sobre todo cuando son rasantes con objetos terrestres se producen desvia-
ciones laterales de los layos luminosos; éstos son sumamente peligrosos por-
que no puede determinarse su dirección y magnitud. El único remedio es
no observar c tes a una altu nor de 20o sobre el horizonte.
Yu*or ahora a estudiar el efecto de la refracción en el segundo sistema
cle coordenadas: el ángulo horario y la dechnacrÓn'
En atención a que la refracción incrementa la distancia zenital' se pue-
de escribir R': dz.
Vamos, pues, a expresar los incrementos de estas coorclenadas en función
de un incremento a la distancia zenital, Para lo cual partiremos de las
fórmulas sizuientes:
sen I : sen I cos z - cos I serr z cos Az
cos 3 cos Q,: sen g sen z f cos I cos z cos Az
cosEsenQ:cosgsenAz
cos z: sen I sen I * cos g cos I cos F/
sen z cos Q: t.tt I cos 6 - cos I sen 6 cos 'Él (b)
sen z sen Q: cos I sen FI
Diferenciando la primera ecuación del grupo (a), tomando como varia-
blesaDyz,setiene:
cos 8 dE: - (sen I sen z * cos 9 cos z cos Az) dz
: - cos I c.os Qdz
de donde:
d8=-cos Qdz
que expresa el efecto de ia refracción en la declinación'
Si ahora diferenciamos la primera ecuación del gmpo (b), con lesPecto
a las variables z, 6 Y FI, tenemos:
_sen z dz:sen ecos 6 d8 -cosgsen I dE cosIl-cos gcos I senH dH
, : (sengcos8-cos9sen6 cos H) d8 -cosgcosS sen H dH
: sen z cos Q d8 - cos I cos I sen ÍI dH
substituyendo por sen H cos g su vaior (sen Q sen z) y dividiendo entre sen z
nos da
-dz- cos Q dD - sen Q cos I dÍl
+9
(")
¡
'r
I
i
Ii
r,.
I
50
Al poner dE
obtiene
\IA PERALTA
en lugar de su valor tomado de (c) y
dH: R sen Q sec 3
despejando a dH, se
que es el efecto de la refracción en el ángulo horario.
Para conocer e1 efecto de la refracción en a, coordenada a.rcensión recta,
obtenemos la diferencial de la ecuación
y obtenemos
0:&+H
da: - dH: * R sen Q sec I (')
Para dejar resuelto este problema se requiere conocer la distancia zenital
y el ángulo paraláctico del astro considerado. La solución se deriva de las
ecuaciones del grupo (á), introduciendo las variables n y l{ como sisue:
sen ly' : cos g cos 11
cos ly': sen g
Al substituir estos valores en las citadas ecuaciones del grupo (á), se llega
fácilnrcnte a las ecuaciones
tan N: cot g cos ¡1
tan Q: tanll seny'y' sec (6 * l/)
tan z: cot (E * 1/) sec Q
Ejemplo: Caicular las correcciones por refracción a la ascensión rec-
ta y deciinación del sol a la hora de su paso superior por el rnericliano
90o tr4/ G, e\ 17 de mayo de 195Q en un lugar de latitud 19024,.
Las coordenadas clel Sol, tomadas del Anuario Astronómico de 1950
(pág. 36), sonr
aR - 3k35*43*.56
3 : 19019,14".3
Resolución:
a) Cálculo de É1.
El ángulo horario del So1, en el momento en que se encuentra en el
meridiano 90o, es igual a la diferencia de longitudes entre éste y el meridiano
de Tacubaya, es decir, 36*46'74 al Este. Mediante la corrección por inter-
vaio sidéreo (-6'06) y expresando el resultado en ángulo, quedará
H :350a16'18"
b) Cálculo de Q y z:
n
CORRECCIONES A LAS
9 : 19Ó2+' log cot p: 0.+5326
fI : 3501648 log cos H :9.99155
rV - 702200 log tan 
^¡ 
:¡.11761
P : 9?€240 , ,. t¿í
kjg cot (8 * A') :7.73699
log sec Q: 1.1+76+
z - 801.2, log tan : :-g. 1f1163
c) Cálculo de dz : R.
log tan 11 : 9.21035x
iog sen l/: 9.97399
log sec (S + ¡/) : 2.26305
los ran Q:1.1+i'54,,
COORDENADAS ltl
Tomando de las tablas.cle refracción (Anuario cle 1g50, pág. 178) conel argumento 
G4.2,, se tiene la
' 'i" t "]'
t t ''' d¿ : 8"25
d) Cálculo de dE:
log cos Q: B.55236¡
log dz - :0.91645
d$ - -grt3 log dD :¡.46881
e) Cálculo de rtll:
)og dz: 0.91645 ' . '
log sen Q: 9.99972
logsecó:0$2517
dFI : * 2,,7& log dFI :T.t+15+ _.
' 
1¡'.1 .t* ,lt-:¿,
3.3 Corrección por poroloie
Esta corrección tiene por objeto reducir ar centro de ra Tierra ras ob_servaciones hechas en ra superficie de eila, ya que las coordenadas cerestesestán referidas a este punto como orige¡r.
Sea O el centro de.la Tierra, S el lugar ocupado por el observa dor y Zsu zenit; ar medir Ia distancia zenitar de un astro l, se obtendrá er ánguioZSA'Pata reducir dicho ángulo al que se hubiera observado en el centro dela -Iierra, o sea el ZOA, habrá que restar el ángulo p, ttuma,o á'gulode paralaje, al primero.
Liarnando .y' ra distancia zenifar aparente u observada; z a la reducida,se tendrá que
z:/-?
paralaje se define 
.como ei ángulo que subtiende el radio de raTierra desde el astro considerado. Es, ior eiro, una función que crepe'crede la distancia al astro y también de su distan cia zenitar en er momento crela observación. Este ángulo es muy pequeño cuando el astro considerado
52 M. MEDINA PERALTA
es una estrella ¡ en cambiq es relativamente grande para astros cercanos,
como la Luna y el Soi.
lry lg: elgb!em-11 que estudia la Astronomía de posición, sólo tiene
ep!g?p.lg1i-b _p_'fild:_!:lg, á cuyó éiiudió ñós iimiiáremos.
luj
sa
de
nel
est
ap
Figura 16
En la figura se tiene que
considerando el caso en que R sea el radio ecuatorial terrestre y
/:90o, el ángulo de paralaje resultante se llama pararaje ecuatorial ho-
rizontal y se representa por la letra griega z, se tendrá:
(2)
combinando las dos últimas ecuaciones y substituyendo los arcos por
los senos, se tiene que
p: zr sen / (3)
El valor de zr es una constante astronómica cuyo valor, según la con-
ferencia de París, es igual a 8".80, por lo cual queda, en definiiva,
P : 8".80 sen z'
El signo de esta corrección ey' negativo para las distancias zenitales y
positivo para las alturas. ',
3.4
5€
OJ
Ilnr
cui
zea
del
refr
(1)
,RsenP:¡sen./
del
d*I
rnzR
sen zr: 
¡
CORRECCIONES A LAS COORDENADAS
Los azimutes y los ángulos horizontales no son afectados por la para-
laje, pues éstos son medidos entre planos verticales que necesariamente pa-
san por el centro de la Tierra.
Ejemplo: Determinar la corrección por paralaje a la distancia zenital
cielSol, /:43o2U.
Solución:
log B.B0 :0.9+448
log sen / :9.83648
log P :1.79695
/ : 13020'
P : 6"0+
Las correcciones por paralaje a la declinación y ángulo horario no tie-
nen aplicación en los métodos de la Astronomía de Posición que adelante se
estudian, por lo que no consideramos necesario desarrollar las fórmulas
aplicables a este caso.
3.4 Corrección por depresión del horizonte
En las observaciones hechas sobre el mar, generalmente con el sextante,
se miden las alturas de los cuerpos celestes con relación al horizonte uisible
o sensible, que es la línea circular de separación dei mar con el cielo. Esta
línea resulta más o menos deprimida con relación al horizonte racional, el
cual marcaría un aparato provisto de niveles de burbuja, según sea la altu-
ra del punto de estación. De lo anterior se decluce que la altura o distancia
zenital de un astro, depende de ia altura del observador sobre la superficie
dei mar, lo que no es consecuente; se trata, pues, de reducir las alturas
referidas al horizonte sensible, a las aituras sobre el horizonte racional.
Sean, E el lugar ocupado por el observador a una altura a sobre el nivel
del mar; EH y EH' los horizontes racional y sensible y, D el ángulo de
depresión que trata de deterninarse. Este ánguio es igual alEOH', f.or-
mado en el centro O de la Tierra.
Figura 17
54 M. MEDINA PERALTA
Se tiene en la figura que
EH' *v(R+a): - R' _ \/zar. + d.
tanD:_{:__R _ 
R
y, dada la pequeñez de a con relación R, podernos desechar ae y queda:
tan D: 
{
Puesto que D, Por lo general, es un
expresar:
tanD:D"xtanl"
y, en definitiva, queda
I t-fD":*o-yt{¡xV"
Para encontrar el valor numérico del coeficiente de
valores siguientes:
log tan l" : 4.6855749
1og R : 6.8045497
Haciendo el cálculo se tiene:
log 2 : 0.3010300
log rR : 6.8045497
)
loe *: 3.49&803-tl
.rfIoc 
{; - 6'7482402
1
los --i -:5.3144251- IAN I'
log coef: 2.0626653
coef : 115.5
La fórmula (1) queda definitivamente como
D" -- 115.5 \/;
en la que a deberá expresarse en metros'
Ejemplo: Desde el puente de un barco, a 16 m de altura sobre el
mar, se midió con el sextante la altura del Sol:
a: altura :37o+B'25n'
L
R
XVa
ángulo muy Pequeño, se Puede
(1)
1/álusaremos los
CORRECCIONES A LAS COORDENADAS 55
¿Qué operación debe aplicarse a esta observación para corregirla por
depresión del horizonte?
Solución:
log 1/i6:0.6020600
log ii5.5 : 2.0626653
D - - 7'+2't log D : 2.66+7253
La aplicaciln clel signo no presenta ninguna dificultad, pues será ncga-
tivo para las alturas y positir,o para las distancias zenitales.
3.5 Corrección por senridiámetro
Cuando se observa una estrella, cualquiera que sea su magnitud, puede
apuntarse el anteojo al punto rnás o menos brillante que es el centro
geométrico del astro. 'fratándose de cuerpos como el Sol y la Luna, que
presentan un diámetro aparente nla)or, no es posibie dirigir la visual a
su centro. En estos casos se observan los bordes, bien sea el superior o el
inferior, cuando se trata de medir alturas, o el oriental u occidental cuan-
do se miden aeimutes. Al resultado obtenido se le hace la corrección por
semidiámetro para reducir la observación al centro del astro. Estudiare.
r rros sucesivamente estos dos casos.
a) Correccíón de altt¿ras 7:or semidiámetrc¡.
A1 observarse el Sol, para medir ,r, ul,rrru, el borde superior o inferior
de su irnagen se pone tangente con el hilo horizontal medio de la retícula.
si la ta'gencia se hizo en el borde superior s y, llamand o d ar diámetro
aparente del So1, se obtiene:
altura del centro r: altura clel borde súp, * + d
Figura lB
- - - ^l,: trl
,-
56 M. MEDINA PERALTA
y si la tangencia se hizo en el borde inferior' se tendrá:
altura clel centro : altura del borde inf'' * á d
ElsemidiámetrodelSolesunelementovariable'porloquedeberáto-
marse del Anuario citado, para el día de la observación que se trate'
b) Correccíón ltor semidiámetro a los azimutes'
Cuandolaobservaciónsehacesobreunodelosbordes,orientaluocci-
dental,paramedirunángulohorizontalentreelSolyunaseñal'lare-
ducciónalcentrodelsolocorrecciónporsemidiámetrosecalculapor
rnedio del triángulo esférico SZe' en que el ángulo Z es la diferencia de
azimutés buscada *J"L::;;] 
:,." t tt csc z
substituyendo los arcos por los senos, dacla la pequeñez de A' - A" y 2 d'
queda: 
A, - A,r: $ d csc z. (1)
Ejemplo:Deterrninarlacorrecciónporsemidiámetrosolarenunaob-
,"*u"i¿,, efectuada el 17 de marzo de 1950, para z:5!".9!,. 
.
Solución:VeaelAnuariodeTacubaya(pág'2|)clellcualsetomará
+ d gd':16'09"'19
: 966,.19 /' log d:2.9850625
z:56o61' log csc z : 0.0810854
Au - A',: 1g'2iry'.5+'i l"g (A' - A'") : 3'0661479
En las observaciones 
'solares 
"' tornú" hacer la eliminación de las
correcciones po. ,"toiaiametro, observando ambos limbos' en operaciones
sucesivas hechas dentro de un tiempo pequeño y tomando los promedios'
En .rt" caso y clado que el Sol ha variado de posición entre. una y otra
observación, to, p,o-"dios corresponderán a la posición media del astro'
3.ó Problemqs
Problema 7
CalcularelerrordeíndicedelsextanteCarynúrn.gpormcdiodelas
sisuientes observaciones de los bordes del Sol:
Fuera
30'3V',
30 25
30 30
9ozo
30 30
Dentro
35',10"
34 50
34 50
3+50
34 60
57
Fórmula:
Solución:
ooRRECCIONES A LAS COORDENADAS
(Fuera - Dentro)
Problema B
corregir por refracción la distancia zenital z: 13o25'3',2".5 empleando
las fórmulas del texto y asimismo las tablas de refracción que publica el
Anuario Astronómico del Observatorio Nacional'
Datos: z: +3o25'32".5; Presión 568'4 mm; Temperatura 27'2 grados cent'
Solución: Por las fórmulas clel texto, r : + 3\tt '7
Por las Tablas del Anuario r : + 38't '6
Problema 9
CorregirlasiguienteobservacióndelbordesuperiordelSolporrefrac-
ción, paralaje, semidiámetro y depresión clel horizonte'
Datos: z:15a02'37".9; Presión 635 mm; Temperatura, 25'5 g'c' altura
de la estación sobre el nivel del mar 2,200 m'
Solución:
._ 1L-Z
i-
,,.,,1
r; _-,
'-r
f
,r
TI(ee-- Es e:I 'i,-a,s€u':sa ¿,n4,¿ <..s::
r?,{) -aú i, i<..
-Daroa,ár, dx Jcan : , r ¡¡....1, . )-1at 
. -., .*.r.,: €¡ ., .,
:l: .. i-.:t -
Ce ..-:.s i
L
CAPITULO
TIEMPO
4.1 Sisfemqs Poro medir el tiemPo
FIay tres sistemas para medir ei tiernpo:
1. El tiemPo sideral'
2. El tiemPo solar verdadero'
3. El tiemPo soiar medio'
La característica de estos sistemas es que en todos eilos el tiempo' en
unmomentodaclo,esigualalángulohorariodelllamaclolluntocerodel
sistema.
Eneltiernposicleralelpuritocerodeisistemaeseiequinocciodepri-
Ina\'eraoPuntovernal;eneltie,,rposolarverclacleroloeselcentrodel
Sol; y, 
"n 
el sola, meclio, el punto ficticio se llama Sol medio'
El origen del tiempo es el instante dei paso por el rneridiano clel punto
cero y la irnidad de tiempo es el clía, o sea el intervalo entre dos pasos con-
secutivos. para los .rro, .lá la Astronomía, el origen clel día es el paso superior
del punto cero por el mericliano, mientras que para la vida civil se toma
.o*o o,ig.,' .1 po,o inferior del Sol meclio por el meridiano. El segunclo se
llama tieirpo civil, mientras que el primero es el tiempo astronómico; como
"orrr".rr"rrJr, 
la fecha civil y 1a astronómica difieren en las horas de Ia ma-
ñana 1 se igualan en las horas de la tarde' Por ejemplo' en tiempo civil el
10 de *o1'á, o l¿rs 5 h. -\/l'{, r:orresponcle en tiempo astronón'rico al 9
de mayo a las 17 h.
Et día se subdivide en 2.1 horas. la hora en 60 minutos y el minuto en
60 segundos.
piesto que la hora se refiere al ángulo horario que forma ei punto cero
con un meridiano, para definirla debe expresarse el meridiano respectivo'
Isí, tiempo civil cle Greenrvich es el ángulo horario del punto cero con cI
rneridiano de Greenwich, en cuyo caso el punto cero es el So1 medio; tiempo
civil de México es el ángulo horario clel sol rnedio con el meridiano de
México, etc. De acuerdo con 1o anterior, el tiempo en tln mislno instante
cs cliferente para todos los puntos clel globo clue no estén en el 
.mismo 
me-
ricliano, y la iif"rencia en los tiempos se llama diferencia cle longitudes entre
59
60 M. I\{EDINA PER*{LTA
los lugares considerados. Si se conoce, pues, el tienipo de un lugar y la
diferencia de longitudes entre dicho lugar y otro, el tiempo en este úitimo
será igual al tiempo. en el primero más o menos la diferencia de longitudes,
según que se encuentre al Este o al Oeste del prirnero.
4.2 Cqrocferísticqs de los tres sislemqs de tiempo
El punto cero del sistem:r sidéreo es el punto vernal del cielo cuya Po-
sición con respecto a las estrellas es casi fija, por 1o clue es el adecuado para
medir el movimiento de éstas.
Ei punto cero en el tiempo solar es el centro del Sol y su posición
cambia con relación a las estrellas de un día a otro, debido al movimiento
anuai de ]a Tierra en su órbita. Además, este cambio no es uuiforme Por
efectuarse ei movimiento de translación en urr plano inclinado sobre el
ecuador: la eclíptica. De esto resulta que en un año cualquier meridiano
dado de la Tierra ha pasado una vez menos por el Sol que por una estre-
11a; el número de días solares en un año es menor en una unidad al de
días sidéreos, a saber:
un año trópico tiene 366.242197 días siderales
un airo trópico tiene 365.2+2197 días solares.
De el19 resulta que la unidaddet día sidéreo es un poco nenor que el
día solar. Gráficamente podemos darnos cuenta de esta cliferencia entre
el día sicleral y el día solar. Sean E, S y 7 las posiciones de una estrella del
sol y de Ia -fierra en un día cualquiera y TM la dirección del meridiano.
Al clía siguiente la Tierra se encontrará en 'f' y habrá dado una revolu-
ción cornpleta cuando T' Mt sea paralela a TM, esto es, cuando vuelva a
coincidir con la clirección de la estrella. Se habrá completado un día sidé-
reo, pero faltará todavía cierto período representado por el ángulo 7SZ'
: A,f'T'|, para que el Sol se vea en el meridiano o bien para completar el
día solar (Fig. l9).
Este sistema tiene el inconveniente de la irregularidad del movimiento
del Sol 
-más 
rápido en ciertos días clel año- lo que ocasiona que los días
tengan diferente cluración; v. gr.: un día de diciembre es cerca de un mi-
nuto más grande que uno de septiembre. Para obviar tal inconveniente se
usa el tiempo solar medio, en el que el punto cero es un Sol ficticio que
recorre el plano del ecuador con moümiento uniforme. El tiempo solar
medio en un momento dado es iguai al ángulo horario del Sol medio. La
diferencia entre los tiempos solar verdadero y solar medio se lLama ecua'
ción del tíempo y se expresa en los anuarios astronómicos para todos los
días del airo y para cierta hora del día.
f
Figura lg
4.3 Conversión de fiempo solqr verdqdero en
Llamando Tnt aI tiempo solar meclio; Ze., alE a la ecuacjón clei tiempo, se tenclrá:
TIEMPO
61
E
liempo solor medio
tiempo solar verdadero;
Tm - Tu: Il
Cuatro veces al año la ccuación del tiempo se recluce a cero:
el 24 c]e diciembre.
el 15 cle abril,
el 14 de junio y
el le de septiembre.
Figura Z0
I{ora media : hora verdadera *.8.
6'2 
Ir' I\IDDI]'JA fER*{LTA
El valor cle E es positivo d'ei 2'4ie 
'1'":"*O'" 
ai 15 de abril; el valor
cre E es positivo d"r i;;;';nio ar 3r o" ;'o^Jo; "' '''"guti.,o 
en todas las
demás fechas'
4.4 Relqción enlre los tiempos siderql y medio
L a cruración del año trópi c o ?':1 I ::'i,? Xt: ;J H t1;;'tt":ff :il::;
,r"J*aJis.i fo, "t 
equinoccio de prtmavt 
toda su órbita o sean 360o, su
¿:;"-;" estc dernpo it sot ha recorrrdo
movimiento diario es de
3600_ = 59,08',.33
YT.,,:: ." sor cn *:,::'::T"I:,1;:
Si entonces llarnamos p ^la.I'o"ltltlu
::*T#k i:i; i%*l/i 
^. 
*'i:;r ;irr?J *:i *rl*
"uió:té;ó*"''3' como el día solar se drvt'
t""*pt"a"tá a tn t'|loh"" 
'.23 - 15og2r2r,,.847:=*-
El intervalo entre dos P as os :on::c;il:; iffi"J'*1' :J'"; "*lTi';;":
"r 
,i" áil 
"¿eral; 
en este intervalo t" 11:
entonces tua^ no#;;;;i";ttttsponderá 
a un arco de
3600 _ 1 io
-Ar - '"
De 1o anterior se cleduce ?*,,:l:::l'JT":ff',T#"ff.J:iitil;
ffi :*,f"H"'.1Ti':T:'i"T':':T1i"ffi 
;;i;;*'entiemposidéreo
P"t" rá i'im"to tendremos que ;'r '
7n = x ..*:'9?gá## =235''ee=3'55''eoe
foz'zl''+l=6Ñt53' 
/' t5"u¿ ¿t '"''
y en tiempo sidéreo: 
,n" - ?648//.33 on.É
rh _ x_,*: SqJg*ooo,ry'33 - 3'5G'.55
T:f= 59'Ñ'33' '-
B st a dif erencia entr e 
" li"t i T;lT'lJJ' 1': :l:ff : :$Ti:; ""::::
orrlrlo.r¡¿n d,e las estrellas fi.jas t o";; 
;;;r.. Designando, en efecto' por
;;";": "::"ff: H',[fi:"-:XT;;l ;;;i equivalente en tiempo s'l-
I¡n un inten'¿
cléreo' resulta:
TIENIPO
Int 3'55-.9i
--: -OQQ7?AtlAI s 3'56'.55
63
cle cioncle
Is
Im
:1.0027379
0.9972696
y, por Llltlmo,
In'¿ : 0.9972696 1s - 1s - 0.0027304 1s
Is : 1.0027379 Im: Im * 0.A027379 Im
. Los valores del segundo término cle los seguncros mienrbros de estas ecua-
crones se encuentran tabuladas en los anuarios y tablas astronómicas para
cliferentes valores de Is e Im.
Ejemttlo: ¿A q'é intervalo rneclio corresponden sh50*72t sidéreos?
Im - 3h50m12" - 0.0027304 ¡ (qr'56n12"¡
_ 3¡-lq,¡3{".2g 1
4.5 Trsnsformqción de horqs
La transformació' cle la hora rocaj rnedia en hora locai siderai y vice_
versa se efectíra fácilmente si se dispone de un dato origen; v. g., la hora
sideral que corresponde a una hora mecria cualquiera. Este dato i" 
"rr..r"r-r-tra en los anuarios astronómicos para cada día del año y para cierto
meridiano origen. El anuario del observatorio Astronómico ñacional de'I'acubaya, México 
-por ejemplo- -correspondiente ar año de 1954, en
sus páginas 26 y 27 publica una tabia bajo er títuro ,,llora sideral a ras
0r' del Meridíano g0o I,l/. G.
El cálculo de Ia hora sideral que corresponde a una hora media para er
'reridiano 90o es una simple operación aritrnética: sumar a la hora sicleral
clada Ia hora media, reducida a intervaro sidéreo por ra fórmura
Is : Im 4- 0.0027379 Im. \u)
Pero en ei caso generai, cuando se clesea hacer ra conversión de horas
para un meridiano cualquiera, habrá entonces que procecler en la siguiente
l orme:
i' Reducir el dato origen (que consigne la tabla) al meridiano rocal,
para 1o cual debe conocerse la diferencia de longitud entre ambos meri_
clianos.
2. Agregar al resr-rltado la hora rocal media reducida a intervalo sicle_
ral por la fórmula (a) o emplear la tabla respectiva.
6+
M. MEDINA PERALTA
¿1 : 9s.856 d,\
Para reducir el dato origen (hora.sideral a la 0h' del meridiano x)
al meridiano local, se ;;"'";;; o;e dicho dato varia 3-56''55 en 24 horas'
;t;;^;" '" variación Por una l*i *-1"-i',lll' 
u,r".""cia de longitudes
La c.orrección, por consiguiente ' para
d). será: (b)
al
Esta corrección es positiva cuando "' T"^':y::-i:::1"* 
encuentra
oeste cle1 meridiano o'ig" t ll*'^ttt,":,:1^'T;u:'":"il'l;" emplearse la,te cler merrur4'u vrrsv¡¡ / - o .déreo puede emplearse.ra
p"o* ,"a.,.ir la hora media ,t iit::t:l:*rll. ., An,,ario Astronómico
róJ:il i;;";''";'a" r^' tablas que ry:]t',Tt*::::1""fiTffi::
fHtYJ ; ;-* nz'' t'." 'o"""'ió" 
que debe hacerse a
clia, por este concepto, se designa ryi^"ipor este lo"t"lt?l ':";"Tt':;';;;e establecerse la fórmula general si-
De acuerdo con lo af
gurente: 
hora sideral: hora sid' a las 0h' en el merid' r
-r'9'.856 Y' dX: ct
* hora media local: H'*
+ 0.0027379 ¡ hora local: cz (')
Cuandosetratedeconvertirrrrraltoralegalensidérea,laprimeradebe
transformarse en hora local media' por la fórmula:
H*= H7 -a dl' @)
se usará er signo negativo !-l n-111-t:ir;,T'T"i,.t"it;"t:,ff::ut*"
*i+; v d p"'lli'-",-,:lJ"[:,t",i"".,-"'il]J;,1"ái.".tu,,,"'te ra transrorma-
En este caso, s1n
ciírn cle horas como sigue: 
hora sideral :
hora sid' a las 0ñ en el merid'*
l- hora legal /.\
+ 0.0027379 X hora legalt: ce \Ú t
- d'\" 
longitudes'
En las fórrnulas anteriores d'\ representa la diferen:il d"
expresada "" ti""tpo' "ti'" tl'o"tidit":^:;*r";.1 t"l1dtn::^t;ál;"' ""
,"''*:'Il1,lT"T:;; T: 
':1':f1'?'i;i'á"'p"j^"¿' 
a H" Y queda:
H*:
hora sideral : H,
- 1ho.u sicl. a las 0¿ merid' r * c1)
-C2
-; L^ {'f"rencia de longitudes entre el meridiano de México y el meridiano 90"
es de 36,,,46".67:0h.613. 
:'.:i- i I
¡
I
t
4
U)
4.6 Eiemplos prácticos
a) Calcular la hora sideral Para
ciudad de México, el 15 de junio de
1a solución:
hora sid. a las 0¿ merid. 90 .
* c,. : 9'.856 X Ú.613 x =.
I H*: i2¿00'00 -(36-46'.67) : ...
* c" : 0.0027379 X (11h23*13.33) :
hora sidérea :
Al resultado se le substrajeron 24 horas.
2a solución:
hora sid,. a las
hora legal --
C2 :
hora sid.
- (hora sid. a 0¿ merid. 90 * c1)
cz:.
hora media local .
i i;':
-/.
las 12 horas de tiempo legal de la
1954. I:6h36*46'.67
l7k3r*57' .27
6.04*
\t 23 13.33
| 52.2+
4 57 OB,BB
l7h3l^57".27
12 00 00.00
1 58.28
+h57^0B".BB
17 32A331
rr %61fr
1^r94
lr2sl:.:¿
0& merid. 90 :
Surrla 29 33 55.55
Dif.delongitudes:.... .3646.67
hora sidérea + SZ Og.Be
b) Calcular la hora media local a las 4h57^08'.BB sidéreas, de la ciudad
de México, el 15 de junio de 1954. I :6t'36^46'.67-
Empleando la fórmula (l) se tendrá que
Para conocer la hora legal, a este resultado se agregará la diferencia de
longitudes, de acuerdo con la fórmula (d) :
hora local IIh23*13'.33
d - .. 36+6.67
hora legal 12¡0¡0.00
c) Calcular la hora legal en que pasará la estrella polar por el meri-
diano de N{éico, el 15 de junio de 1954.
*