Astronomia de Posição

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David Hernández López. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASTRONOMÍA DE POSICIÓN I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CARTOGRÁFICA, 
GEODESIA Y FOTOGRAMETRÍA. 
 
 
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA 
GEODÉSICA, CARTOGRÁFICA Y TOPOGRÁFICA. 
 ASTRONOMÍA
 
ÍNDICE. 
 
1
ÍNDICE. 
 
 
TEMA 1. CONCEPTOS Y DEFINICIONES. 
1.1. OBJETO Y RAMAS DE LA ASTRONOMÍA. 
1.2. JUSTIFICACIÓN DE LA NECESIDAD DEL ESTUDIO DE LA 
ASTRONOMÍA EN TOPOGRAFÍA: RELACIÓN GEODESIA-
ASTRONOMÍA. 
1.3.COORDENADAS GEOGRÁFICAS, GEODÉSICAS Y 
ASTRONÓMICAS. 
1.4.POSICIONES APARENTES DE LOS ASTROS. 
CONSTELACIONES. 
1.5.MOVIMIENTOS VISIBLES DE LAS ESTRELLAS, DEL SOL, 
DE LA LUNA Y DE OTROS ASTROS. 
1.6. LA ESFERA CELESTE. 
 
 
TEMA 2. SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
2.1. INTRODUCCIÓN. 
2.2.SISTEMAS DE COORDENADAS HORIZONTALES Y 
ECUATORIALES HORARIAS. 
2.2.1. SISTEMA DE COORDENADAS HORIZONTALES. 
2.2.2. SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS. 
2.2.3. DEPENDENCIA ENTRE LA ALTURA DEL POLO CELESTE Y LA 
LATITUD DEL LUGAR DE OBSERVACIÓN ASTRONÓMICA. 
2.2.4.VENTAJAS E INCONVENIENTES ENTRE AMBOS SISTEMAS DE 
COORDENADAS. 
2.2.5. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS DOS SISTEMAS DE COORDENADAS. 
2.3.SISTEMAS DE COORDENADAS ECUATORIALES 
ABSOLUTAS. 
2.3.1.DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES 
ABSOLUTAS. 
2.3.2.TRANSFORMACIÓN ENTRE EL SISTEMA DE COORDENADAS 
ECUATORIALES HORARIAS Y EL SISTEMA DE COORDENADAS 
ECUATORIALES ABSOLUTAS. RELACIÓN ENTRE α Y H. 
2.4. SISTEMAS DE COORDENADAS ECLÍPTICAS. 
2.4.1. DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS. 
2.4.2.TRANSFORMACIÓN ENTRE EL SISTEMA DE COORDENADAS 
ECUATORIAL ABSOLUTO Y EL SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS. 
2.5.RESUMEN DE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS 
CELESTES. 
2.6. TRIÁNGULO DE POSICIÓN O PARALÁCTICO. 
 
 
TEMA 3. MOVIMIENTO DIURNO. 
 ASTRONOMÍA
 
ÍNDICE. 
 
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3.1. INTRODUCCIÓN. POSICIONES CORRESPONDIENTES. 
3.2. SALIDA Y PUESTA DE LOS ASTROS: ORTO Y OCASO. 
3.3. CULMINACIÓN DE UN ASTRO. 
3.4. MÁXIMAS DISGRESIONES. 
3.5. PRIMER VERTICAL. 
3.6. VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS DE LOS ASTROS 
DURANTE EL MOVIMIENTO DIURNO. 
3.7. VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS DEL SOL. 
3.7.1. VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS ECUATORIALES DEL SOL. 
3.7.2. MOVIMIENTO DIURNO DEL SOL EN LAS DISTINTAS LATITUDES. 
3.7.2.1. Observador situado en el polo norte de la Tierra. 
3.7.2.2. Observador situado en el círculo polar ártico (ϕ = 90º-ε). 
3.7.2.3. Observador situado en el Trópico de Cáncer (ϕ = ε). 
3.7.2.4. Observador situado entre los trópicos y los círculos polares. 
3.7.2.5. Observador situado en el ecuador de la Tierra. 
3.7.2.6. Observador situado entre los trópicos. 
 
 
TEMA4. SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES. 
4.1. INTRODUCCIÓN. 
4.2.UNA APROXIMACIÓN A LOS PR INCIPIOS DE LA MEDICIÓN 
DEL TIEMPO. 
4.3. ORBITACIÓN DE LA TIERRA EN TORNO AL SOL. 
4.4. DISTINTOS TIPOS DE DÍAS Y HORAS. 
4.4.1. DÍA SIDEREO. DÍA SIDEREO UNIFORME. 
4.4.2. DÍA SOLAR VERDADERO. DÍA SOLAR FICTICIO. DÍA SOLAR MEDIO. 
ECUACIÓN DEL TIEMPO. 
4.4.2.1. Distintos tipos de días solares. 
4.4.2.2. Ecuación del tiempo. 
4.4.2.2.1. Definición de la ecuación del tiempo. 
4.4.2.2.2. Determinación de la ecuación de centro. 
4.4.2.2.3. Determinación de la reducción al ecuador. 
4.4.2.2.4. Gráficas de la ecuación del tiempo. 
4.4.3. HORA CIVIL, LEGAL Y OFICIAL. 
4.4.4. LÍNEA DE LA FECHA. 
4.5.RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO SOLAR MEDIO Y EL 
TIEMPO SIDÉREO. DISTINTOS TIPOS DE AÑOS. 
4.5.1.TIPOS DE AÑOS UTILIZADOS EN ASTRONOMÍA DE POSICIÓN. 
4.5.2.RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO MEDIO Y EL SIDÉREO. 
4.6. EL CALENDARIO. 
4.7. DÍAS JULIANOS. 
 
 
 
4.8. TRANSFORMACIÓN DE ESCALAS DE TIEMPO. 
 ASTRONOMÍA
 
ÍNDICE. 
 
3
4.8.1. TRANSFORMACIÓN EN UNA MISMA CLASE DE TIEMPO ENTRE DOS 
LUGARES. 
4.8.2. PASO DE HORA MEDIA A CIVIL EN UN LUGAR. 
4.8.3. PASO DE HORA LEGAL / OFICIAL A CIVIL EN UN LUGAR. 
4.8.4. PASO DE HORA CIVIL A SIDÉREA EN UN LUGAR Y EN UN INSTANTE. 
4.8.5. PASO DE HORA CIVIL A VERDADERA EN UN LUGAR Y EN UN 
INSTANTE. 
4.9. DETERMINACIÓN DE CIERTOS INTERVALOS DE TIEMPO 
DE INTERÉS EN ASTRONOMÍA. 
4.9.1. DURACIÓN DEL DÍA Y DE LA NOCHE, TIEMPO DE INSOLACIÓN. 
4.9.2. CREPÚSCULO. NOCHES BLANCAS. 
4.9.3. DURACIÓN DE LAS ESTACIONES. 
 
 
APÉNDICE I. 
SISTEMAS DE REFERENCIA ASTRONÓMICOS. 
I.1. INTRODUCCIÓN. SISTEMAS DE REFERENCIA ABSOLUTOS 
Y RELATIVOS. 
I.2. SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES. 
 
 
APÉNDICE II. 
EL CONCEPTO Y LA MEDIDA DEL TIEMPO. 
II.1. INTRODUCCIÓN. 
II.2. DEFINICIÓN DE UNA MÉTRICA DEL TIEMPO. 
 
 
APÉNDICE III. 
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO. 
III.1. INTRODUCCIÓN. 
III.2. ESCALAS DE TIEMPO ROTACIONAL. 
III.2.1. INTRODUCCIÓN. 
III.2.2. TIEMPO SIDÉREO VERDADERO Y MEDIO. PRECISIÓN Y NUTACIÓN. 
ECUACIÓN DE LOS EQUINOCCIOS. 
III.2.3. TIEMPO SOLAR VERDADERO. 
III.2.4. TIEMPO SOLAR MEDIO. 
III.2.5. TIEMPO UNIVERSAL. 
III.3. ESCALA DE TIEMPO DE EFEMÉRIDES. 
III.4. ESCALA DE TIEMPO ATÓMICO. 
III.5. TIEMPO UNIVERSAL COORDINADO. 
III.6. REVISIÓN DEL CONCEPTO DE AÑO TRÓPICO. 
III.7. REVISIÓN DE LA RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO MEDIO 
Y EL TIEMPO SIDÉREO. 
III.8. ACTUALIZACIONES A ESCALAS DE TIEMPO. 
 ASTRONOMÍA
 
ÍNDICE. 
 
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III.9.NUEVA DEFINICIÓN DEL TIEMPO ATÓMICO 
INTERNACIONAL. 
III.10. ESCALAS DE TIEMPO DINÁMICO. 
III.11. ACCESIBILIDAD ACTUAL DEL TIEMPO. 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
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TEMA 1. CONCEPTOS Y DEFINICIONES. 
 
1.1. OBJETO Y RAMAS DE LA ASTRONOMÍA. 
 
 Astronomía es la ciencia que trata del origen, evolución, composición, distancia 
y movimiento de todos los cuerpos celestes y de la materia dispersa en el Universo. 
 
 La astronomía estudia el Sol y las estrellas, los planetas y sus satélites, los 
cometas y cuerpos meteóricos, las nebulosas, los sistemas estelares y la materia que 
ocupa el espacio interestelar e interplanetario, cualquiera que sea el estado en que se 
encuentre esta materia. 
 
 La palabra astronomía procede de dos vocablos griegos: “astron” , estrella o 
astro, y “nomos”, ley. 
 
 La astronomía es junto a la aritmética la ciencia más antigua. 
 
 Como ciencia, la astronomía necesita del método científico basado en la 
observación, análisis de los datos y postulación de modelos teóricos que, cumpliendo 
las leyes de la física, permita interpretar los análisis. 
 
 Al estudiar los cuerpos celestes la astronomía se plantea tres tareas 
fundamentales, que requieren una solución consecuente: 
 
1. El estudio de las posiciones y movimientos aparentes, y después reales, de los 
cuerpos celestes en el espacio, la determinación de sus dimensiones y forma. 
2. El estudio de la estructura física de los cuerpos celestes, es decir, la 
investigación de la composición química y condiciones físicas (densidad, 
temperatura, etc.) en la superficie y en el interior de los cuerpos celestes. 
3. La resolución de los problemas del origen y desarrollo, es decir, el posible 
destino ulterior de algunos cuerpos celestes y de sus sistemas. 
 
Las cuestiones de la primera tarea se resuelven mediante largas observaciones, 
iniciadas ya en tiempos remotísimos, y también basándose en las leyes de la mecánica 
clásica, que se conocen desde hace unos 300 años. 
 
Respecto a la estructura física de los cuerpos celestes se sabe mucho menos. La 
resolución de algunas cuestiones relativas a esto se hizo posible hace poco más de un 
siglo y la de los problemas fundamentales solamente en los últimos años. 
 
La tercera tarea es más complicada que las dos anteriores. Para la resolución de 
sus cuestiones el material de observación acumulado es por ahora muy insuficiente. 
 
 En la siguiente ilustración se puede observar una clasificación actual de las 
ramas de la ciencia astronómica. 
 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
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 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
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 Una primera división de la astronomía se puede plantear en ramas clásicas y 
modernas de la astronomía. 
 
 Por ramas clásicas de la astronomía se entiende aquellas investigaciones y 
sectores que se basan en los cálculos de posición de los astros y en la aplicaciónde la 
teoría de gravitación. El término clásico no debe inducir a pensar que estas ramas han 
perdido ya su importancia, pues hoy día siguen siendo una base imprescindible para 
muchas investigaciones astronómicas. 
 
 La astrometría, astronomía de posición o astronomía esférica estudia la posición 
de los cuerpos celestes, la determinación de posiciones geográficas y la rotación de la 
Tierra apoyándose en los métodos teóricos y prácticos de la medición de ángulos en el 
cielo, para lo que se realizan observaciones de la posición de los astros. La pretensión 
de obtener observaciones de la mayor precisión posible minimizando los errores de 
medida remite al estudio de los instrumentos, que nos lleva a su vez a la óptica y a la 
física. 
 
 La mecánica celeste estudia el movimiento de los astros bajo la acción de la 
gravitación, elabora métodos de determinación de sus trayectorias (determinación de 
efemérides astronómicas), estudia la influencia recíproca de los cuerpos celestes sobre 
su movimiento, examina el estado de movimiento de los sistemas de cuerpos celestes y 
artificiales. Para cubrir sus objetivos se apoya en medidas, en astrometría. 
 
 Por ramas modernas de la astronomía se entiende a aquellas relacionadas con la 
astrofísica. 
 
 La astrofísica estudia el origen (cosmogonia), la estructura, composición física, 
las propiedades físicas y la evolución, tanto de astros individuales como de los sistemas 
de éstos, incluyendo todo el Universo en su conjunto (cosmología). De este modo, el 
objeto de la astrofísica es extraordinariamente diverso y amplio. Al mismo tiempo, en 
sus investigaciones la astrofísica recurre constantemente a las deducciones y métodos 
de la astrometría y de la mecánica celeste, por lo tanto, las tres partes esenciales de la 
astronomía están estrechamente interrelacionadas. La astrofísica comprende un gran 
número de subdivisiones prácticas en las que se estudian y utilizan distintos métodos de 
observaciones y análisis de radiación electromagnética cósmica, y también una serie de 
subdivisiones teóricas, basadas en la aplicación de los métodos de la física, química y 
matemática a los resultados de las observaciones. 
 
 El término cosmología viene de las palabra griegas kosmos, que significa el 
universo como un todo ordenado, y logos, que significa tratado. Hay autores que 
clasifican la cosmología como una ciencia aparte argumentando que lo abarca todo, 
todo lo que ahora observamos y lo que esperamos observar en el futuro. 
 
 
 
 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
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1.2. JUSTIFICACIÓN DE LA NECESIDAD DEL ESTUDIO DE LA 
ASTRONOMÍA EN TOPOGRAFÍA: RELACIÓN GEODESIA-
ASTRONOMÍA. 
 
 Se ha enunciado que la astronomía de posición estudia, entre otras cosas, la 
resolución de los problemas relacionados con la determinación del Norte (azimut de una 
dirección) y las coordenadas geográficas de un lugar (posicionamiento de un punto en la 
superficie terrestre). 
 
 Geodesia es la ciencia que estudia la figura y el campo gravitatorio de la Tierra. 
Por figura entendemos la forma y dimensiones. El problema de la geodesia implica una 
formulación geométrica y una física, íntimamente relacionadas dado que la causa de la 
figura de la Tierra no es otra que las fuerzas que la solicitan y estas son estudiadas por 
la geodesia física. 
 
 El problema del estudio de la figura de la Tierra se reduce a la determinación de 
las coordenadas de los puntos de su superficie en un sistema de referencia único, 
general para toda la Tierra. De acuerdo a esto, la relación entre astronomía y geodesia 
es obvia. 
 
 Desde la formulación del problema geodésico y hasta la aparición de la geodesia 
espacial (entendida como la basada en las constelaciones de satélites artificiales), en la 
década de los sesenta, la definición de los sistemas de referencia geodésicos pasaba por 
utilizar un conjunto de puntos en los que se realizaba determinación de posición 
astronómica, latitud y longitud, y el azimut astronómico de una dirección, estos son los 
“Puntos Laplace”. 
 
 En geodesia la superficie que se utiliza como mejor aproximación a la forma de 
la Tierra es el geoide (“con forma de Tierra”). La Tierra es un cuerpo solicitado por 
distintos campos de fuerzas que constituyen el campo de fuerzas gravitatorio. Los dos 
más importantes son el campo de fuerzas de atracción newtoniana, debido a la fuerza de 
atracción entre las partículas que forman parte de la Tierra, y el campo de fuerzas 
centrífugas, debido a la rotación terrestre. Ambos campos derivan de un potencial al 
igual que su composición. El geoide no es sino una superficie equipotencial del 
potencial gravitatorio terrestre. Como tal superficie equipotencial, el geoide representa 
una superficie en equilibrio que aproximadamente coincide con el nivel medio del mar 
prolongado por debajo de los continentes. Téngase en cuenta que la superficie libre del 
mar, como fluido que es, debe su configuración en un instante dado a una situación de 
equilibrio respecto a todas las fuerzas solicitantes. Obsérvese que el geoide tiene 
entidad física. 
 
 Si bien el geoide es una superficie que permite definir muy bien el origen de la 
tercera coordenada, altura ortométrica, no es útil, debido a sus condiciones de curvatura, 
para definir otros dos parámetros que junto a la altitud den posición tridimensional en el 
espacio a cualquier punto de la superficie terrestre. Esto obliga a recurrir a una 
superficie matemática auxiliar, un elipsoide de revolución. 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
5
 Todo sistema de referencia geodésico cuenta en su definición como superficie de 
referencia con un elipsoide de revolución, de ciertas dimensiones. La altimetría en los 
sistemas de referencia clásicos se refiere al geoide. 
 Se ha visto por tanto que existen dos referenciaciones para expresar la posición 
de un punto de la superficie terrestre: la astronómica y la geodésica. Hay que añadir la 
referenciación geocéntrica. 
 
1.3. COORDENADAS GEOGRÁFICAS, GEODÉSICAS Y 
ASTRONÓMICAS. 
 
 La inmensa mayoría de las observaciones astronómicas se han venido realizando 
desde puntos de la superficie terrestre y dependen de la posición del observador. Por 
ello hay que recordar algunos conceptos y términos geográficos, de los que en lo 
sucesivo se hará uso. 
 
 La Tierra tiene una forma casi esférica. Está animada de una rotación en torno a 
un eje que pasa por el centro de masas. El eje de rotación corta la superficie terrestre en 
dos puntos: en el polo geográfico norte (PN ) y en el polo geográfico sur (PS). El polo 
geográfico norte es aquél desde el que si se observa la Tierra hacia su interior, esta rota 
en el sentido contrario a las agujas del reloj. 
 
 
 
 El círculo máximo en la superficie de la Tierra cuyo plano es perpendicular al 
eje de rotación, se denomina ecuador geográfico terrestre. Este divide la superficie de 
la Tierra en dos hemisferios: boreal (conteniendo al polo norte) y austral (conteniendo 
al polo sur). 
 
 Los círculos menores, cuyos planos son paralelos al plano del ecuador terrestre, 
se denominan paralelos geográficos. El paralelo geográfico que está a una distancia de 
23º26´ al norte del ecuador se llama trópico del hemisferio boreal o trópico de Cáncer; 
el paralelo que se encuentra a una distancia de 23º26´ hacia el sur del ecuador, se llama 
trópico del hemisferio austral o trópico de Capricornio. Los paralelos geográficos que 
se encuentran a una distancia de 23º26´de los polos de la Tierra se denominan círculos 
polares: ártico (hemisferio boreal) y antártico (hemisferio austral). 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
6
 
 La faja de la superficie terrestre entre los trópicos (incluyendo el ecuador) se 
denomina zona tórrida o zona tropical. La faja entre el trópico de Cáncer y el círculo 
polar ártico se llama zona templada boreal, y la comprendida entre el trópico de 
Capricornio y el círculo polar antártico zona templada austral. Los casquetes de la 
superficie terrestrelimitados por los círculos polares y los polos respectivos se 
denominan zonas glaciares ártica y antártica. 
 
 Cualquier plano que contenga al eje de rotación terrestre se denomina plano 
meridiano geográfico. Dado un punto O sobre la superficie de la Tierra, el plano 
meridiano que lo contiene produce como intersección con la Tierra un círculo máximo y 
al semicírculo máximo del anterior que contiene a O se le denomina meridiano 
geográfico de O. El meridiano geográfico que pasa a través de un observatorio 
astronómico localizado en Greenwich (Inglaterra) es considerado internacionalmente, 
desde 1891, como el meridiano origen, o primer meridiano. El meridiano de origen y el 
meridiano que dista de éste 180º dividen la superficie de la Tierra en dos hemisferios: 
oriental, en el sentido de la rotación terrestre, y occidental. 
 
 
 
 La línea recta por la que va dirigida la fuerza de la gravedad en un punto dado de 
la Tierra se denomina línea de la plomada o vertical. 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
7
 La posición de un punto O de la superficie de la Tierra se determina 
unívocamente por dos coordenadas geográficas: la latitud geográfica y la longitud 
geográfica. 
 
 Se llama latitud geográfica del punto O al ángulo que forma la vertical de O con 
el plano del ecuador terrestre. La latitud geográfica varía de 0º a 90º en el hemisferio 
boreal (latitud norte) y de 0º a –90º en el hemisferio austral (latitud sur), 
 
 Se denomina longitud geográfica del punto O al ángulo que forma el meridiano 
del punto con el meridiano origen. La longitud geográfica varía de 0º a 180º en el 
hemisferio oriental y de 0º a –180º en el hemisferio occidental. 
 
 En aquellos trabajos en los que la precisión lo permita la consideración anterior 
acerca de la forma de la Tierra, esfera de radio 6370 km., es válida y no habrá problema 
en definir la posición de un punto de la superficie terrestre a través de sus coordenadas 
geográficas. 
 
Sin embargo, cuando las exigencias de precisión aumentan el tratamiento de la 
figura terrestre ha de hacerse de modo más riguroso. En estos casos hay que recurrir a 
las coordenadas geodésicas basadas en la aproximación a la figura de la Tierra mediante 
el geoide y su aproximación por un elipsoide de revolución. La definición de la línea de 
la plomada exige una revisión: se define la dirección de la línea de la plomada en un 
punto como aquella normal a la superficie equipotencial de la gravedad que pasa por el 
punto. La línea de la plomada no es recta sino curva debido a que las superficies 
equipotenciales de la gravedad no son paralelas. 
 
 
 
 
 
El sistema de referencia geodésico se define mediante: • Superficie de referencia.- elipsoide de revolución cuyas dimensiones quedan 
definidas por dos de los tres siguientes parámetros: semieje mayor (a), 
semieje menor (b) y aplanamiento (f), 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
8
• Definiendo unos ejes o líneas de referencia en la superficie, un origen y un 
sentido de medida en los mismos, curvas paramétricas que estudiaremos en su 
momento, • Definiendo la posición relativa del elipsoide respecto del geoide mediante el 
datum geodésico, • Definiendo el origen de alturas. 
 
Tres son las coordenadas geodésicas que definen la posición de un punto de la 
superficie de terrestre, latitud y longitud geodésica y altura elipsoidal, que 
posteriormente definiremos. 
 
En primer lugar se estudiará el modo de relacionar un punto de la superficie 
terrestre con la superficie de referencia dado que dos de las coordenadas geodésicas 
(longitud y latitud geodésicas) se refieren a esta superficie. 
 
A un punto P sobre la superficie terrestre le corresponde un punto P0 sobre el 
geoide obtenido proyectando según la línea de la plomada que pasa por P. Para obtener 
el punto correspondiente sobre la superficie de referencia, Q0, se proyecta según la 
normal a dicha superficie, elipsoide, que pasa por P0. Esta proyección es conocida como 
proyección Pizzetti. Otra posible posición para el punto Q, sobre el elipsoide, 
correspondiente al P, sobre la superficie terrestre, se obtiene mediante la proyección 
Helmert, siendo Q obtenido al proyectar según la normal al elipsoide que pasa por P. 
Esta segunda proyección es menos rigurosa pero igualmente válida por la pequeña 
separación entre Q y Q0. 
 
 
 
 
En esta figura se aprecian las diferentes altitudes utilizadas en geodesia y topografía: • Altitud ortométrica, H.- Distancia de la superficie terrestre al geoide medida 
sobre la línea de la plomada. • Altitud elipsoidal, h.- Distancia de la superficie terrestre al elipsoide medida 
sobre la normal al elipsoide. 
 
Se puede establecer como relación muy aproximada una de las principales 
ecuaciones de la geodesia, h = H + N, donde N es la ondulación del geoide o distancia 
entre Q0 y P0 medida a lo largo de la normal al elipsoide que pasa por Q0. 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
9
Al igual que se definen una serie de elementos geográficos para las coordenadas 
geográficas, se definen para el elipsoide de revolución, o para las coordenadas 
geodésicas. 
 
Se considera un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales definido 
por: 
 
 • Centro, punto origen (0,0,0).- El centro del elipsoide de revolución. • Eje Z.- Semieje menor del elipsoide de revolución. • Plano XY (Z=0).- Plano perpendicular al eje Z que contiene al origen del 
sistema de coordenadas. 
 
Antes de definir los ejes X e Y hay que definir algunos elementos geométricos: • Polos geodésicos.- Son los puntos de intersección del eje Z con el elipsoide 
de revolución. • Plano meridiano geodésico.- Cualquier plano que contenga al eje Z. • Plano paralelo geodésico.- Cualquier plano normal al eje Z. • Meridiano geodésico de un punto.- Aquella mitad de la intersección del plano 
meridiano geodésico del punto con el elipsoide de revolución que contiene al 
eje Z y al punto. • Paralelo geodésico de un punto.- Intersección del plano paralelo geodésico 
del punto con el elipsoide de revolución. Su ecuación es la de un círculo de 
radio decreciente conforme nos apartemos del plano Z=0. • Plano ecuatorial geodésico.- Plano Z=0. • Ecuador geodésico.- Es el paralelo geodésico correspondiente al plano 
ecuatorial geodésico. • Vertical geodésica en un punto de la superficie del elipsoide de revolución.- 
Coincide con la dirección del vector normal al elipsoide en dicho punto. • Vertical geocéntrica.- Es la dirección del vector que une el punto con el 
centro del elipsoide. • Plano horizonte geodésico en un punto de la superficie del elipsoide.- Plano 
perpendicular a la vertical geodésica que contiene al punto. • Meridiano geodésico origen.- Una vez posicionado el elipsoide respecto del 
geoide, mediante la definición del datum, se puede obtener el punto 
correspondiente sobre el elipsoide de cualquier punto de la superficie terrestre 
tal y como estudiamos anteriormente. Se adopta como meridiano geodésico 
origen normalmente el meridiano geodésico del observatorio astronómico de 
Greenwich. 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
10
Una vez definido el meridiano geodésico origen ya es posible definir el eje X del 
sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, como el eje intersección del plano 
ecuatorial geodésico (Z=0) y el plano meridiano origen. El eje Y estará contenido en el 
plano Z=0 y será perpendicular al X y su sentido será tal que los tres ejes formen una 
terna dextrógira. 
 
Una vez definidos los elementos geográficos ya se está en disposición de definir 
las coordenadas geodésicas de un punto de la superficie del elipsoide: 
 • Longitud geodésica.- Es el ángulo formado por el meridiano geodésico del 
punto en cuestión y el meridiano geodésico origen. En graduación 
sexagesimal se puede evaluar de 0° a 360° , creciendo hacia el oriente del 
meridiano origen, o de 0° a 180°, positivo o negativo según el meridiano del 
punto esté al oriente o al occidente del meridiano origen. • Latitud geodésica.-Es el ángulo que forma la vertical geodésica del punto 
con el plano del ecuador geodésico. 
 
También se suele definir una latitud geocéntrica como el ángulo que forma la 
vertical geocéntrica con el plano ecuatorial geodésico. 
 
Si se pretende definir la posición espacial de un punto de la superficie terrestre 
en el sistema de referencia, dado que no se encuentra sobre la superficie del elipsoide de 
revolución, hay que introducir una tercera coordenada, la altitud ortométrica (H), si el 
origen de altitudes del sistema de referencia es la superficie del geoide, o la altitud 
elipsoidal (h), si el origen de alturas del sistema de referencia es la propia superficie del 
elipsoide. 
 
La posición de un punto respecto del sistema de referencia también se puede 
expresar en coordenadas cartesianas tridimensionales respecto del sistema de tales 
coordenadas previamente definido. 
 
Para definir las coordenadas astronómicas hay que mejorar la definición del eje 
de rotación terrestre. Debido a que el eje de rotación terrestre no es fijo en el tiempo se 
considera el eje medio, Origen Convencional Internacional (CIO), definido por Bureau 
Internacional de l’Heure (B.I.H.) en 1903. La movilidad del eje de rotación terrestre da 
lugar en astronomía a la consideración de coordenadas y observaciones instantáneas o 
absolutas según se refieran al eje de rotación del instante de observación o al eje medio, 
respectivamente. En el apéndice I se incluye información relativa al movimiento del 
polo y a relación entre distintos sistemas de tiempo que serán estudiados en capítulos 
posteriores. 
 
En la siguiente figura se observa la posición relativa del eje medio de rotación 
terrestre (CIO) y el instantáneo. 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
11
 
La definición de las coordenadas astronómicas precisa de unas definiciones 
previas: 
 ♦ Dado un punto P de la superficie topográfica terrestre se denomina vertical 
astronómica de P a la recta tangente en P a la línea de la plomada. ♦ Se denomina plano ecuador astronómico instantáneo al plano perpendicular 
al eje instantáneo de rotación que pasa por el centro de masas de la Tierra. ♦ Se llama plano meridiano astronómico instantáneo de P al plano que 
contiene a la vertical astronómica de P y una paralela por P al eje instantáneo 
de rotación terrestre. 
 
Se definen las coordenadas astronómicas instantáneas como: 
 ♦ Latitud astronómica de P es el ángulo Φ que forma la vertical de P con el 
plano ecuador instantáneo. Varía de 0º a 90º en el hemisferio astronómico 
norte y de 0º a –90º en el hemisferio astronómico sur. ♦ Longitud astronómica de P es el ángulo Λ que forma el plano meridiano 
astronómico instantáneo de P con el plano meridiano astronómico 
instantáneo tomado como origen (para Greenwich). Se suele considerar de 0º 
a 360º positiva al este. 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
12
En la figura anterior, en que se aprecia la definición de las coordenadas 
geodésicas y las astronómicas, el CTP, polo terrestre convencional, coincide con el 
CIO. 
 
Los puntos que tienen igual latitud astronómica instantánea están situados en un 
mismo paralelo astronómico instantáneo. Los puntos que tienen igual longitud 
astronómica instantánea están situado en un mismo meridiano astronómico instantáneo. 
Ni las primeras líneas son circunferencias, ni las segundas elipses, sino que son curvas 
irregulares en el espacio. 
 
La corrección para obtener coordenadas astronómicas absolutas a partir de las 
coordenadas astronómicas instantáneas y del instante serán descritas en un capítulo 
posterior. 
 
Un sistema de referencia geodésico se denomina global si es tal que el eje menor 
del elipsoide incluido en su definición coincide con el eje medio de rotación terrestre y 
el origen del mismo coincide con el centro de masas de la Tierra. Un sistema de 
referencia geodésico se denomina local si la posición del elipsoide incluido en su 
definición no es la anterior sino que se elige de forma que permita una mayor 
aproximación al geoide en una zona concreta. Hasta hace muy poco sólo se definían 
sistemas de referencia geodésicos locales, tal es el caso del sistema ED50 al que viene 
referido la geodesia española. Un sistema de referencia global de gran aplicación en la 
actualidad es el WGS84, al que viene referido el Sistema de Posicionamiento Global 
(G.P.S.). 
 
 
Un concepto muy importante en astronomía y geodesia es el de desviación de la 
vertical. La desviación de la vertical en un punto no es sino el ángulo formado en dicho 
punto entre la vertical astronómica y la vertical geodésica. También puede figurar en 
algunos textos como deflexión de la vertical. Si el sistema de referencia geodésico es 
local se habla de desviación relativa de la vertical, mientras que si se trata de un sistema 
de referencia geodésico global se habla de desviación absoluta de la vertical. 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
13
 
 
 
Este concepto es de gran importancia debido a que toda observación angular 
efectuada con un goniómetro estará referido a la vertical astronómica instantánea ya que 
el eje principal del mismo materializa la dirección del vector de gravedad cuando se 
nivela. Cuando interesen coordenadas geodésicas y no astronómicas, habrá ocasiones en 
que, a pesar de la pequeña diferencia entre la vertical astronómica y geodésica, se 
tendrán que realizar correcciones a las magnitudes observadas para referirlas al sistema 
de referencia geodésico. Existe una rama de la ciencia geodésica en la que se trata en 
profundidad este tema, la rama astrogeodésica. 
 
En los sistemas de referencia geodésicos locales, para definir la posición relativa 
del elipsoide y geoide hay que fijar el datum del sistema. El datum geodésico está 
constituido por una superficie de referencia, un elipsoide, y un punto llamado 
fundamental en el que la desviación relativa de la vertical es nula, en dicho punto 
coinciden las coordenadas geodésicas y astronómicas. También hay que especificar el 
acimut de una dirección desde el establecida, considerándose también igual el acimut 
geodésico al astronómico observado. 
 
En el caso del sistema geodésico de referencia oficial en España, E.D.50, el 
punto fundamental se localiza en Postdam, localidad alemana. En el anterior sistema de 
referencia era el observatorio astronómico de Madrid, que además era el origen de 
longitudes. ED50 es un sistema de referencia geodésico local lo que se corresponde con 
la siguiente figura: 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
14
 
 
Un concepto muy importante que resta por abordar es el de acimut que une dos 
puntos. En un principio se definirá el acimut geodésico, posponiendo el acimut 
astronómico para un capítulo posterior. 
 
 
 
Acimut geodésico de un punto P a un punto Q, ambos sobre el elipsoide, es el 
ángulo entre dos planos, ambos conteniendo a la vertical geodésica del punto P, uno de 
los cuales contiene al punto polo norte geodésico y otro al punto Q (nótese que se ha 
definido cada uno de los dos planos mediante una recta y un punto). El ángulo se mide 
en el sentido de las agujas del reloj (dextrógiro ó retrógrado), desde el norte. El plano 
definido por la vertical geodésica en P y el punto Q produce como intersección con el 
elipsoide la sección normal de P a Q. Esta no coincide con la sección normal de Q a P. 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
15
 
 
El acimut geodésico que realmente interesa no es el de las secciones normales 
directa o recíproca sino el de la línea geodésica que se define, de una forma simple, 
como la línea más corta entre dos puntos sobre una superficie (una recta en una 
superficie plana, un círculo máximo en una superficie esférica, una curva de complicada 
ecuación en un elipsoide de revolución). 
 
La relación existente entre el acimut geodésico y el astronómico es objeto de 
estudio de la astronomía de posición. 
1.4. POSICIONES APARENTES DE LOS ASTROS. 
CONSTELACIONES. 
 Cualquieraque sea el punto de la superficie terrestre en que se encuentre un 
observador, siempre parece que todos los cuerpos celestes se encuentran en la superficie 
interior de cierta esfera que se suele denominar bóveda celeste, firmamento o 
simplemente cielo. 
 
 De día el cielo, si no está cubierto de nubes, es de color azul y en él se observa el 
astro celeste más brillante: el Sol. A veces, simultáneamente con el Sol, por el día se ve 
la Luna y, muy raramente, algunos otros cuerpos celestes como, por ejemplo, el planeta 
Venus. 
 
 En una noche despejada, en el cielo oscuro, son visibles las estrellas, la Luna, 
los planetas, las nebulosas y, a veces, los cometas y otros cuerpos. La primera impresión 
de la observación del firmamento es la infinidad de estrellas y el desorden de la 
disposición de ellas en el cielo. En realidad la cantidad de estrellas que se ven a simple 
vista no es muy grande, solamente unas 6 mil en todo el cielo, y en una mitad de éste, 
que en el momento dado se ve desde cualquier punto de la superficie terrestre, no es 
mayor de 3 mil. 
 
 La disposición mutua de las estrellas en el cielo varía extraordinariamente 
despacio. Sin mediciones exactas, durante el transcurso de muchos centenares de años 
(y de muchos miles de años para la inmensa mayoría de las estrellas), no se pueden 
revelar variaciones visibles en la disposición de las estrellas en el cielo. Esta última 
circunstancia permite orientarse fácilmente entre miles de estrellas, a pesar de que la 
disposición de ellas parezca ser caótica. El motivo de la conservación de la posición 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
16
relativa observada entre las estrellas no puede ser otro que las enormes distancias 
presentes en el Universo dado que existe un movimiento relativo a gran velocidad, 
téngase presente que la Tierra rota en torno al Sol a una velocidad de 30 km./s y éste, 
junto a su sistema, se traslada rotando en torno al centro de la Vía Láctea a 220 km./s. 
 
 Sólo las 130 estrellas más brillantes tienen nombre propio. Estos nombres les 
fueron otorgados por los griegos (Capela, etc.), romanos (Castor, Polux, Sirio, etc.) y 
por los árabes (Betelgeuse, Vega, Algol, Aldebaran, etc.). La clasificación de las 
estrellas se inició por comparación relativa del brillo aparente entre ellas. Desde 
Hiparco de Nicea (siglo II a. J.C.) se vienen sucediendo catálogos de estrellas 
dividiéndolas en magnitudes por su luminosidad, correspondiendo la primera magnitud 
a las más brillantes. 
 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
17
Con el fin de orientarse en el cielo, hace mucho que las estrellas brillantes 
fueron unificadas en grupos, denominados constelaciones. Los griegos dieron nombre a 
48 constelaciones, principalmente las observables desde el Mediterráneo. Los nombres 
eran de animales (Osa Mayor, León, Dragón, etc.), de héroes de la mitología griega 
(Casiopea, Andrómeda, Perseo, etc.), o simplemente de objetos que recordaban las 
figuras que formaban los grupos de estrellas más brillantes (Balanza, etc.). En el siglo 
XVII se da nombre a estrellas sueltas y se agrupan en constelaciones. En el siglo XVIII 
se dan nombre científicos a constelaciones del hemisferio sur: Telescopio, Escuadra, 
Octante, Brújula y Retícula. En global, hemisferio norte y sur, hay 88 constelaciones. 
En 1928 la Unión Astronómica Internacional (U.A.I.) fijó una delimitación rigurosa, 
mediante arcos de meridianos y paralelos celestes, a las constelaciones. Las estrellas 
más brillantes de las constelaciones sirven de buenos puntos de referencia para 
encontrar en el cielo estrellas más débiles, u otros objetos celestes. Por esto es necesario 
aprender a encontrar de manera rápida y directa en el cielo una u otra constelación. Para 
ello es menester estudiar previamente la carta del cielo estelar y retener en la memoria 
los contornos característicos que las estrellas más brillantes forman en las 
constelaciones. 
 
Desde el siglo XVII las estrellas de cada constelación se empezaron a designar 
con las letras del alfabeto griego. El orden corresponde al decreciente en brillo: la α de 
Can Mayor es Sirio (estrella más brillante de la constelación), la α del cochero es 
Capela, la α de Lira es Vega, la α de Orión es Betelgeuse, la β de Orión es Rigel, la β 
de Perseo es Algol, etc. Estos nombres y designaciones de las estrellas se emplean 
también en la actualidad. Algo después se introdujo la designación numérica, que ahora 
se emplea fundamentalmente para las estrellas débiles. 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
18
 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
19
 
 
 La siguiente ilustración corresponde a las constelaciones con declinaciones 
superiores a +25º, que corresponde al borde extremo de la figura. Son algunas de las 
constelaciones visibles desde la latitud de España si se mira en dirección al norte. La 
constelación de la Osa Menor aparece denotada como Umi (Ursa Minoris). 
 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
20
 
 
1.5. MOVIMIENTOS VISIBLES DE LAS ESTRELLAS, DEL SOL, 
DE LA LUNA Y DE OTROS ASTROS. 
 
 Si se observa el cielo estelar en una noche serena durante varias horas no es 
difícil advertir que la bóveda celeste gira levemente en su conjunto, con todos los astros 
que en ella se encuentran, alrededor de cierto eje imaginario que pasa a través del lugar 
de observación. Este movimiento de la bóveda celeste se denomina movimiento diurno, 
la vuelta completa se efectúa en un día. Como resultado del movimiento diario las 
estrellas y otros cuerpos celestes cambian continuamente su posición respecto a los 
lados del horizonte. La causa del movimiento diurno es la rotación terrestre. 
 
 Si se observa el movimiento diario de las estrellas en el hemisferio boreal de la 
Tierra (pero no cerca del polo), estando de cara hacia la parte austral del horizonte, 
mirando al sur, éste transcurre de izquierda a derecha, es decir, en el sentido de las 
agujas del reloj. Estando de cara hacia la parte boreal del horizonte, mirando al norte, el 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
21
movimiento diurno transcurre de derecha a izquierda, en el sentido directo. En cualquier 
caso, el movimiento diario siempre se produce de este a oeste. Cada estrella siempre 
sale en un mismo punto del lado oriental del horizonte, va ascendiendo hasta una altura 
máxima, comienza a descender y se pone siempre en un mismo punto del lado 
occidental. La altura máxima sobre el horizonte para cada estrella dada y para cada 
lugar de observación siempre es constante. Si el observador se sitúa de cara hacia el 
lado boreal del horizonte, las observaciones demostrarán que unas estrellas seguirán 
saliendo y poniéndose de la misma manera, mientras que otras describirán círculos 
cerrados sobre el horizonte, girando alrededor de un punto común inmóvil. Este punto 
se denomina polo celeste norte y es la proyección sobre la bóveda celeste del eje de 
rotación. 
 
 La posición aproximada del polo celeste norte en el cielo se puede localizar por 
la posición de la estrella más brillante en la constelación de la Osa Menor. En las cartas 
estelares esta estrella se designa con la letra α y, por su proximidad al polo celeste norte 
se llama estrella Polar. En la actualidad la distancia entre la estrella Polar y el polo 
celeste norte es menor de 1º. 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
22
 En la figura anterior se observa como se irá produciendo el movimiento de la 
estrella Polar en torno al Polo norte. 
 
 El Sol y la Luna, al igual que las estrellas, salen en el lado oriental del horizonte, 
ascienden y se ponen en el lado occidental. Pero, al observar la salida y la puesta de 
estos astros, se puede notar que en los distintos días del año salen, a diferencia de las 
estrellas, en diferentes puntos del lado oriental del horizonte y se ponen también en 
diferentes puntos del lado occidental. 
 
 Así, a principios del invierno, el Sol sale en el sudeste y se pone en el sudoeste.Pero cada día los puntos de su salida y puesta se desplazan hacia el lado boreal del 
horizonte. Con ello cada día el Sol a mediodía asciende sobre el horizonte más y más, el 
día se hace más largo y la noche más corta. A comienzos del verano, habiendo 
alcanzado cierto límite en el nordeste y en el noroeste, los puntos de salida y puesta del 
Sol, de orto y ocaso, comienzan a desplazarse en dirección contraria, desde el lado 
boreal del horizonte hacia el lado austral. Con esto la altura del Sol a mediodía y la 
duración del día comienzan a disminuir, mientras que la duración de la noche aumenta. 
Al alcanzar cierto límite, a comienzos del invierno, los puntos de salida y puesta del Sol 
de nuevo empiezan a desplazarse hacia el lado boreal del cielo y todos los fenómenos 
descritos se repiten. El periodo es anual y está relacionado con la inclinación de la 
órbita de traslación de la Tierra alrededor del Sol con respecto al plano ecuatorial. 
 
 Mediante observaciones elementales y no muy largas es fácil advertir que la 
Luna no permanece todo el tiempo en una misma constelación, sino que pasa de una 
constelación a otra, desplazándose de occidente a oriente aproximadamente en 13º por 
día. Mudándose por 12 constelaciones la Luna recorre por el cielo un círculo completo 
en 27.32 días. La causa de este desplazamiento es la traslación de la Luna en torno a la 
Tierra en la órbita que recorre como satélite natural. 
 
 Observaciones más minuciosas y más largas demuestran que también el Sol, al 
igual que la Luna, se desplaza por el cielo de occidente a oriente, pasando por las 
mismas 12 constelaciones. Sin embargo, la velocidad de su desplazamiento es 
considerablemente menor, cerca de 1º por día. La causa de este desplazamiento es la 
traslación de la Tierra en su órbita en torno al Sol de período anual. 
 
 Las constelaciones por las que pasan las rutas del Sol y de la Luna se denominan 
zodiacales (de la palabra griega zoon, es decir, animal). Sus nombres son: Piscis 
(Peces), Aries (Carnero), Tauro (Toro), Geminis (Gemelos), Cáncer (Cangrejo), Leo 
(León), Virgo (Virgen), Libra (Balanza), Escorpio (Escorpión), Sagitario, Capricornio y 
Acuario. En el hemisferio boreal, las primeras tres constelaciones el Sol las pasa en los 
meses primaverales, las tres siguientes las recorre en los meses de verano, transita tres 
constelaciones más en los meses otoñales y, por último, atraviesa las tres constelaciones 
restantes en los meses de invierno. Aquellas constelaciones en las que se encuentra el 
Sol en el momento dado son inaccesibles a las observaciones y solamente se hacen 
visibles transcurrido aproximadamente medio año. 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
23
 
 
 
 
 
Ya en tiempos remotísimos, entre las estrellas de las constelaciones zodiacales, 
se advirtieron cinco astros que exteriormente se parecían mucho a las estrellas, pero que 
se distinguían de éstas por el hecho de que no conservan una misma posición en las 
constelaciones, “errando” por ellas igual que el Sol y la Luna. Estos cuerpos fueron 
denominados planetas, lo que significa “astros errantes”. Los antiguos romanos dieron 
a los planetas los nombres de sus dioses: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. En 
los siglos XVIII-XX se descubrieron tres planetas más: Urano (1781), Neptuno (1846) y 
Plutón (1930). 
 
 
 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
24
 
 Los planetas se desplazan por las constelaciones zodiacales, la mayoría del 
tiempo, de occidente a oriente, pero una parte del espacio lo recorren también del este al 
oeste. El primer movimiento, es decir, el mismo que el del Sol y de la Luna, se llama 
directo, y el segundo movimiento, de este a oeste, se denomina movimiento retrógrado. 
 
1.6. LA ESFERA CELESTE. 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
25
 
 Durante el estudio de los movimientos aparentes de los astros con objeto de 
determinar posiciones u orientaciones es necesario determinar las posiciones relativas 
entre estos. Esto se consigue determinando únicamente las direcciones mediante dos 
coordenadas polares angulares, se prescinde de la distancia. 
 
 Se denomina esfera celeste a la esfera imaginaria de radio arbitrario, con centro 
en un punto cualquiera del espacio, en cuya superficie los astros se disponen tal como se 
ven en el cielo en cierto momento desde este punto dado del espacio. De este modo, el 
observador imaginario que se encuentra en el centro de la esfera celeste, debe ver la 
posición de los astros en la superficie de ésta exactamente en la misma posición relativa 
en la que el observador real ve los astros reales en el cielo. 
 
 
 La rotación de la esfera celeste repite la rotación de la bóveda celeste. 
 
 La esfera celeste sirve para el estudio de las posiciones aparentes y movimientos 
de los cuerpos celestes. Para ello, en su superficie, se fijan las líneas y puntos 
principales respecto a los cuales se efectúan precisamente las mediciones 
correspondientes. 
 
 La recta ZOZ’, que pasa por el centro de la esfera celeste y que coincide con la 
dirección de la vertical astronómica en el lugar de observación, se denomina línea 
vertical. La línea vertical intersecta la superficie de la esfera celeste en dos puntos: en el 
cenit Z, sobre la cabeza del observador, y en el punto diametralmente opuesto, en el 
nadir Z’. 
 
 Algunos de los conceptos de la siguiente figura serán tratados en capítulos 
posteriores. 
 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
26
 
 El círculo máximo de la esfera celeste (SWNE), cuyo plano es perpendicular a la 
línea vertical, se llama horizonte matemático o verdadero. El horizonte matemático 
divide la superficie de la esfera celeste en dos mitades: en la visible para el observador, 
con el vértice en el cenit Z, y la invisible, con el vértice en el nadir Z’. 
 
 El horizonte matemático se debe distinguir del horizonte visible (de la línea a lo 
largo de la cual el “cielo se junta con la Tierra”). En la tierra firme el horizonte visible 
es una línea irregular, cuyos puntos yacen ora por encima ora por debajo del horizonte 
matemático. 
 
Dado un astro, la intersección del plano paralelo al horizonte matemático que lo 
contiene con la esfera celeste es un círculo menor denominado almicantarat del astro. 
También, el semicírculo máximo de la esfera celeste que pasa por el astro y contiene a 
la línea vertical se denomina vertical del astro. 
 
Los diferentes elementos geográficos estudiados para la esfera terrestre se 
trasladan a la esfera celeste. 
 
El diámetro PP’, a cuyo alrededor tiene lugar la rotación de la esfera celeste, se 
denomina eje del mundo. El eje del mundo se corta con la superficie de la esfera celeste 
en dos puntos: en el polo celeste boreal P y el polo celeste austral P’. El polo celeste 
boreal es aquél desde cuyo lado la rotación de la esfera celeste tiene lugar en el sentido 
de las agujas del reloj, si se mira a la esfera desde el exterior. Adviértase que la 
definición es contraria a la del polo geográfico norte. La explicación no es otra que la 
rotación de la esfera celeste es un movimiento aparente debido a la rotación de la Tierra 
en el sentido contrario. 
 
El círculo máximo QWQ’E de la esfera celeste, cuyo plano es perpendicular al 
eje del mundo, se denomina ecuador celeste. El ecuador celeste divide la superficie de 
la esfera celeste en dos hemisferios: el boreal, con el polo celeste boreal P, y el austral, 
con el polo celeste austral P’. 
 
Dado un astro, el círculo menor de la esfera celeste que lo contiene, cuyo plano 
es paralelo al plano del ecuador celeste, se denomina paralelo celeste o diurno del astro. 
Los movimientos aparentes de los astros tienen lugar por los paralelos diurnos. 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
27
También, el círculo máximo de la esfera celeste que contiene al astro y al eje del mundo 
se le denomina meridiano celeste, círculo horario o círculo de declinación del astro. 
 
El meridiano celeste local se divide en dospartes a partir del eje del mundo: el 
meridiano celeste local superior, que contiene al cenit, y el meridiano celeste local 
inferior, que contiene al nadir. 
 
El círculo máximo de la esfera celeste PZQSP’Z’Q’N, cuyo plano contiene al 
eje del mundo y a la línea vertical, se denomina meridiano celeste local o del lugar. 
 
El ecuador celeste corta con el horizonte matemático en una recta que intersecta 
con la esfera celeste en dos puntos: en el punto del oriente E y en el punto del occidente 
W. 
 
El meridiano celeste local divide la superficie de la esfera celeste en dos 
hemisferios: el oriental, con el punto oriente E, y el occidental, con el punto occidente 
W. Los verticales que contienen al punto oriente y al punto occidente se denominan 
primer vertical oriental y occidental, respectivamente. 
 
El meridiano celeste local y el horizonte matemático se cortan por la línea recta 
NOS, que se denomina línea meridiana. La línea meridiana intersecta con la esfera 
celeste en dos puntos: en el punto del norte N y en el punto del sur S. Se llama punto 
del norte aquél que está más cerca del polo celeste boreal. El punto del sur está más 
cerca del polo celeste austral. 
 
El meridiano celeste local y el ecuador celeste se cortan también en una recta 
que intersecta a la esfera celeste en dos puntos: en el punto superior del ecuador Q’, 
más cercano al cenit, y en el punto inferior del ecuador Q, que está más cerca del nadir. 
 
Además del movimiento de rotación, la Tierra, al igual que el resto de los 
planetas del Sistema Solar, está dotada de un movimiento de traslación alrededor del 
Sol, en el mismo sentido que la rotación terrestre, a una distancia media de 149.6·106 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
28
km., describiendo una elipse en la que el centro de gravedad común (situado en el 
interior de la masa solar) ocupa uno de sus focos. 
 
Este movimiento real de la Tierra produce aparentemente un movimiento de 
traslación del Sol en una trayectoria ideal simétrica a la de la Tierra, ocupando ésta uno 
de los focos, y recorrida en sentido idéntico. 
 
Cuando el Sol se halla más próximo a la Tierra se dice que está en su perigeo y 
la Tierra en su perihelio; cuando se encuentran más alejados, se dice que el Sol está en 
su apogeo y la Tierra en su afelio. La línea que une el perihelio con el afelio se 
denomina línea de los ápsides. 
 
 
El plano que contiene la órbita de la Tierra se llama plano de la eclíptica. La 
intersección del plano de la eclíptica con la esfera celeste determina un círculo máximo 
llamado eclíptica. El eje perpendicular al plano de la eclíptica se denomina eje de la 
eclíptica. Corta la superficie de la esfera celeste en dos puntos: en el polo boreal de la 
eclíptica, Π, situado en el hemisferio boreal, y el polo austral de la eclíptica, Π’,situado 
en el hemisferio austral. 
 
 
 
 
 ASTRONOMÍA
 
CONCEPTO Y DEFINICIONES. 
 
29
 
 
El plano de la eclíptica forma con el plano del ecuador terrestre un ángulo 
denominado oblicuidad de la eclíptica y denotado ε. Este ángulo es aproximadamente 
de 23º27’ pero no es constante sino que varía en el tiempo tal y como será estudiado 
posteriormente. 
 
El plano de la eclíptica corta al plano del ecuador celeste según distintas rectas 
en función de la posición de la Tierra en su órbita alrededor del Sol. Un caso particular 
es de singular interés; cuando el Sol, en su movimiento aparente, corta el ecuador 
celeste para pasar del hemisferio austral al hemisferio boreal, la intersección del plano 
de la eclíptica con el plano del ecuador celeste da lugar a una recta denominada línea de 
los equinoccios. 
 
La línea de los equinoccios intersecta a la esfera celeste en dos puntos: en el 
punto del equinoccio de primavera, punto Aries (γ) o vernal, y en el punto del 
equinoccio de otoño, punto Libra (Ω). En el punto del equinoccio de primavera el Sol 
cruza el ecuador celeste, pasando del hemisferio austral de la esfera celeste al 
hemisferio boreal. En el punto del equinoccio de otoño el Sol cruza el ecuador celeste, 
pasando del hemisferio boreal de la esfera celeste al hemisferio austral. Cuando el Sol 
se encuentra en el punto Aries o en Libra la duración de la noche es igual a la del día, de 
ahí el nombre de equinoccio, que significa en latín igualador. 
 
Los puntos de la eclíptica que distan 90º de los puntos del equinoccio se 
denominan punto del solsticio de verano o vernal, punto de Cáncer, (en el hemisferio 
boreal) y punto del solsticio de invierno o hiemal, punto de Capricornio, (en el 
hemisferio austral). La línea definida por los puntos Cáncer y Capricornio se denomina 
línea de los solsticios. 
 
Se denominan máximos de longitud celeste a los círculos que pasan por los polos Π Π' de la eclíptica, y por los centros de los astros. El primer máximo de longitud es el 
que pasa por Aries. 
 
Se denominan paralelos de latitud celeste a los círculos menores de la esfera 
celeste, paralelos a la eclíptica, que pasan por los centros de los astros. 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
1
TEMA 2. SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
2.1. INTRODUCCIÓN. 
 
Se considerará el espacio afín-euclideo estándar ℜ3. 
 
En primer lugar hay que retomar la definición de superficie. Superficie es el 
lugar geométrico de los valores que adoptan tres funciones dependientes de dos 
parámetros. 
 
 
 
 
La expresión analítica de una superficie se puede realizar de distintas formas: 
 
 - en forma paramétrica: 
 ( )( )( )
x x u v
y y u v
z z u v
=
=
=
,
,
,
 
 
 - en forma vectorial: 
x y u v e z u v e x u v x u v x u v = x (u,v) = x(u,v) • e1 + + =( , ) • ( , ) • ( ( , ), ( , ), ( , ))2 3 1 2 3 
 
 - en forma explícita: ( )z f x y= , 
 - en forma implícita: ( )F x y z, , = 0 
 
Un punto de la superficie quedará definido por tres coordenadas. Los tres tipos 
de coordenadas más utilizadas son: 
 
- coordenadas cartesianas.- (x, y, z) que, para el caso de una superficie, se 
obtienen directamente de la expresión de la superficie en forma paramétrica. 
- coordenadas esféricas.- Tienen gran trascendencia en el ámbito de la ingeniería 
geográfica por su utilización tanto en el modelo de superficie de referencia esférico 
como elipsoidal. 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
2
 
 
 
 Se pueden definir otras coordenadas esféricas, cambiando el eje origen y el 
sentido. Sirva de ejemplo el cambiar el origen de la coordenada ϕ del plano Z=0 al eje 
Z, y el sentido directo por el retrógrado. 
 
 El objetivo es definir la posición de un astro en la esfera celeste. La posición 
quedará determinada por dos parámetros o coordenadas, dado que el objeto de la 
parametrización no es otro que la superficie de la esfera celeste. Se utilizarán las dos 
coordenadas angulares de las coordenadas esféricas (λ, ϕ), prescindiendo de la 
coordenada distancia. Únicamente se considerará la dirección y el sentido del vector de 
posición. Esto permite prescindir de la métrica inducida por la norma definida a partir 
del producto escalar estándar, lo que permitiría considerar el espacio afín ℜ3. 
 
 Existen infinitas parametrizaciones de una superficie. Se considerarán 
únicamente aquellos sistemas de coordenadas cuyos elementos principales tengan una 
realidad física que permitan reconstruir la dirección al astro con un instrumento 
goniométrico. 
 
 Cada sistema de coordenadas esféricas tiene asociado un sistema de coordenadas 
cartesianas tridimensionales. Al definir un sistema de coordenadas cartesianas 
tridimensionales es preciso fijar su origen, el plano fundamental (o plano Z=0, plano 
definido por los ejes X, Y). De esta forma ya ha quedado definido el eje Z, o eje 
fundamental, como el director del plano fundamental que pasa por el centro. A 
continuación se ha de definir el sentido creciente en el eje Z., la dirección del eje X en 
el plano fundamental y su sentido creciente. El eje Y, su dirección y sentido, se define 
normalmente exigiendoque forme junto a los dos ejes anteriores una terna dextrógira. 
 
 En astronomía de posición se utilizan principalmente cuatro sistemas de 
coordenadas. Como origen de cada uno de los sistemas de coordenadas se considera el 
centro de la esfera celeste. Cada sistema tendrá un plano fundamental, en el que se 
anula la segunda coordenada esférica angular. Las coordenadas esféricas recibirán 
distinta denominación y denotación en cada uno de los sistemas de coordenadas. 
 
 Es fundamental estudiar la transformación entre cada uno de los sistemas, las 
ventajas e inconvenientes entre ellos, así como el objeto de aplicación de cada uno de 
ellos. 
 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
3
 En astronomía de posición se consideran sistemas de coordenadas topocéntricos, 
geocéntricos y heliocéntricos según el origen se sitúe en el lugar de observación, el 
centro de masas de la Tierra o el centro de masas del Sistema Solar, respectivamente. 
La relación entre ellos, que pasa por una traslación afín, será objeto de estudio en temas 
posteriores. 
 
 A pesar de que la correcta notación de la latitud astronómica es Φ, se denotará 
con ϕ, notación correcta de la latitud geodésica, debido a que es la empleada en la 
bibliografía recomendada al alumno. 
 
2.2. SISTEMAS DE COORDENADAS HORIZONTALES Y 
ECUATORIALES HORARIAS. 
 
El motivo de estudiar conjuntamente estos dos sistemas de coordenadas es que 
su definición se relaciona con el movimiento diurno de la esfera celeste. 
 
2.2.1. SISTEMA DE COORDENADAS HORIZONTALES. 
 
En un punto de la superficie terrestre, la dirección de la vertical astronómica 
instantánea es materializable mediante el eje principal de un teodolito correctamente 
nivelado. El centro del teodolito estacionado materializa el centro de la esfera celeste. 
 
Por este motivo, se define como eje fundamental (eje Z) de este sistema de 
coordenadas la dirección de la vertical astronómica con sentido positivo hacia el zenit. 
El plano fundamental, normal al eje fundamental por el centro del sistema de 
coordenadas, será el plano horizonte astronómico. 
 
Como dirección del eje Y se ha de utilizar una dirección materializable, 
recuperable, que no será otra que la dirección de la meridiana astronómica, con sentido 
positivo hacia el sur. El eje X será la dirección de la línea este-oeste, con sentido 
positivo hacia el oeste, de forma que completa una terna dextrógira con los ejes Y y Z. 
Sobre la esfera celeste, el eje Z se proyecta en el cenit, el eje Y se proyecta en el punto 
S y el eje X se proyecta en el punto W. 
 
 En el sistema cartesiano tridimensional definido tiene asociado un sistema de 
coordenadas esféricas. La dirección y sentido del vector correspondiente a un astro en 
este sistema de coordenadas queda definida mediante las coordenadas: 
 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
4
- Coordenada acimut astronómico, A.- ángulo desde el meridiano celeste 
(plano X=0) hasta el plano vertical del astro, medido en el sentido 
retrógrado. Equivalentemente, se define como el arco sobre el horizonte 
astronómico desde el punto sur hasta el vertical del astro, medido en el 
sentido retrógrado, en el sentido de la rotación diaria de la esfera celeste. 
 
- Coordenada altura, h.- ángulo que forma el vector del astro con el horizonte 
matemático (plano Z=0), medido desde el horizonte astronómico en el 
sentido directo. Equivalentemente, se define como el arco medido sobre el 
vertical del astro, desde el horizonte matemático hasta el almicantarat del 
astro, en el sentido directo. 
 
En ocasiones conviene utilizar como segunda coordenada esférica horizontal la 
distancia cenital del astro, z.- ángulo que forma el vector del astro con el eje Z, medido 
desde el eje Z en el sentido retrógrado, o equivalentemente, arco medido sobre el 
vertical del astro desde el cenit hasta el almicantarat del astro, en el sentido retrógrado. 
 
 
 Los dominios de las coordenadas horizontales son: 0º ≤ A < 360º, -90º ≤ h ≤ 90º, 
0º ≤ z ≤ 180º 
 
 A diferencia de los acimutes astronómicos, que se miden desde el sur 
astronómico, los acimutes geodésicos se miden desde el norte geodésico. Debido a esto, 
a parte de la pequeña diferencia entre los nortes astronómico y geodésico, hay una 
diferencia de 180º. 
 
 
2.2.2. SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS. 
 
El origen de este sistema de coordenadas es el centro de la esfera celeste. Se 
define como eje fundamental (eje Z) la dirección del eje del mundo con sentido positivo 
hacia el polo celeste boreal. El plano fundamental, normal al eje fundamental por el 
centro del sistema de coordenadas, será el ecuador de la esfera celeste. 
 
El eje Y es la intersección del plano meridiano celeste local y en el ecuador 
celeste o fundamental. Es decir, el eje Y es la línea QQ´. El sentido positivo es el del 
punto Q´, o punto superior del ecuador celeste. El eje X será la dirección de la línea 
este-oeste, con sentido positivo hacia el oeste, de forma que completa una terna 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
5
dextrógira con los ejes Y y Z. Sobre la esfera celeste, el eje Z se proyecta en el polo 
celeste boreal, el eje Y se proyecta en el punto Q´ y el eje X se proyecta en el punto W. 
 
 En el sistema cartesiano tridimensional definido tiene asociado un sistema de 
coordenadas esféricas. La dirección y sentido del vector correspondiente a un astro en 
este sistema de coordenadas queda definida mediante las coordenadas: 
 
- Coordenada ángulo horario, H.- ángulo desde el meridiano celeste (plano 
X=0) hasta el meridiano celeste del astro, medido en el sentido retrógrado. 
Equivalentemente, se define como el arco sobre el ecuador celeste desde el 
punto Q´ hasta el meridiano celeste del astro, medido en el sentido 
retrógrado, en el sentido de la rotación diaria de la esfera celeste. Se suele 
expresar en magnitud de tiempo. 
 
- Coordenada declinación, δ.- ángulo que forma el vector del astro con el 
ecuador celeste (plano Z=0), medido desde el ecuador celeste en el sentido 
directo. Equivalentemente, se define como el arco medido sobre el meridiano 
celeste del astro, medido desde el ecuador celeste hasta el paralelo celeste 
del astro, en el sentido directo. 
 
 
En ocasiones conviene utilizar como segunda coordenada esférica ecuatorial 
horaria la distancia polar del astro, ρ.- ángulo que forma el vector del astro con el eje Z, 
medido desde el eje Z en el sentido directo, o equivalentemente, arco medido sobre el 
meridiano celeste del astro desde el polo celeste boreal hasta el paralelo celeste del 
astro, en el sentido retrógrado. 
 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
6
 Los dominios de las coordenadas ecuatoriales horarias son: 0h≤ H <24h, -90º≤ δ ≤ 90º, 0º≤ ρ ≤180º. 
 
2.2.3. DEPENDENCIA ENTRE LA ALTURA DEL POLO CELESTE Y LA 
LATITUD DEL LUGAR DE OBSERVACIÓN ASTRONÓMICA. 
 
 La rotación de la esfera celeste es un fenómeno aparente, y representa en sí el 
resultado de la rotación real de la Tierra alrededor de su eje en el sentido contrario. Por 
esto, cualquiera que sea el punto de la superficie de la Tierra en el que se encuentre el 
observador, éste siempre verá la rotación de la esfera celeste, que tiene lugar alrededor 
del eje del mundo: línea recta que es paralela al eje de rotación de la Tierra. 
 
 La dirección de la línea de la plomada, dirección del vector de la gravedad o 
vertical astronómica, por el contrario, varía al desplazarse el observador por la 
superficie terrestre, y forma distintos ángulos con el eje del mundo. La posición relativa 
de los círculos y puntos de la esfera celeste, ligados con el eje del mundo y con la 
vertical, depende, por consiguiente, de la dirección de esta última, es decir, de la 
posición del observador en la superficie de la Tierra. 
 
 Esta dependencia se expresa de la forma siguiente: “la altura hP del polo celeste 
sobre el horizonte siempre es igual a la latitud astronómica ϕ del lugar deobservación”. El polo celeste a considerar en la afirmación anterior es el boreal si el 
lugar de observación se encuentra en el hemisferio boreal, y el austral si se encuentra en 
el austral. 
 
 La comprobación de esta afirmación se desprende directamente de una 
representación gráfica de los elementos celestes que intervienen. 
 
 
 Consecuencias directas son: ♦ La declinación del cenit es igual a la latitud astronómica. ♦ La distancia polar del punto norte N es igual a la latitud astronómica. ♦ La distancia cenital del punto superior del ecuador celeste Q´ es igual a la 
latitud astronómica. ♦ La distancia polar del cenit es 90º-ϕ. 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
7
♦ La declinación del punto norte N es 90º-ϕ. ♦ La altura del punto superior del ecuador Q´ es 90º-ϕ. 
 
2.2.4. VENTAJAS E INCONVENIENTES ENTRE AMBOS SISTEMAS DE 
COORDENADAS. 
 
 La gran ventaja de las coordenadas horizontales es que pueden ser obtenidas con 
un teodolito, o con un telescopio que disponga de un sistema de nivelación. Su 
inconveniente radica en el hecho de la variación continua en el tiempo y en el espacio. 
Dado un lugar de observación, las coordenadas horizontales de un astro varían 
constantemente y, además, de forma no uniforme. Dado un astro y un instante de 
observación, las coordenadas horizontales dependen del lugar de observación. 
 
 El principal inconveniente de las coordenadas ecuatoriales horarias es que para 
medirlas es necesario situar el eje principal del aparato, teodolito o telescopio, en la 
dirección del eje fundamental de este sistema de coordenadas, en la dirección del eje del 
mundo. Esto se consigue en telescopios que disponen de montaje ecuatorial 
introduciendo como altura del polo celeste la latitud astronómica. 
 
 
 La principal ventaja del sistema de coordenadas ecuatoriales horarias es que la 
declinación de las estrellas es constante en el tiempo y en el espacio. Es constante en el 
espacio debido a que no depende del lugar de observación. Es constante respecto al 
tiempo debido a que el movimiento de una estrella, por la rotación de la esfera celeste, 
se produce en el plano paralelo celeste que la contiene, en un plano perpendicular al eje 
de rotación, eje del mundo, es decir, paralelo al plano ecuador celeste. Hay otros astros, 
animados de otros movimientos, tales como el Sol, la Luna y los planetas, que no 
conservan esta coordenada. 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
8
 
 La coordenada ángulo horario depende del lugar de observación ya que su 
origen está contenido en el meridiano celeste local. Para un astro, y para un instante, la 
diferencia entre el ángulo horario del mismo para dos observatorios distintos coincide 
con la diferencia de longitud astronómica transformada en tiempo. Además, esta 
coordenada varía con el tiempo. Las estrellas, por la rotación de la esfera celeste, se 
desplazan en su paralelo celeste de este a oeste. Si se asume que el movimiento de 
rotación de la Tierra es uniforme, la variación del ángulo horario de una estrella es 
uniforme. Cuando una estrella cruza el meridiano celeste local su ángulo horario se 
anula, transcurrido un intervalo de tiempo, el ángulo horario será igual al tiempo 
transcurrido. He aquí la explicación del sentido de crecimiento del ángulo horario y el 
motivo del porqué de que a este sistema de coordenadas se le denomine ecuatorial 
horario. 
 
 En las siguientes figuras se observa el comportamiento analizado de las 
coordenadas ecuatoriales horarias. En la figura de la izquierda se aprecia como, para un 
lugar, la declinación de una estrella es constante y su ángulo horario varía con el 
movimiento diurno. En la figura de la derecha se aprecia como, para dos lugares, la 
diferencia entre los ángulos horarios de una estrella en un instante es la diferencia de 
longitud. 
 
 
2.2.5. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS DOS SISTEMAS DE COORDENADAS. 
 
 Ya se hizo alusión a lo importante de establecer las transformaciones que 
permitan pasar de un sistema de coordenadas a cualquier otro. 
 
 La deducción de las fórmulas que permiten realizar la transformación se suele 
plantear a partir de trigonometría esférica. El inconveniente que presenta esta deducción 
es la necesidad de recordar expresiones de la misma. Esta deducción se encuentra en 
toda la bibliografía. 
 
 Se estudiará de un modo diferente, a través de álgebra lineal. 
 
 Tal y como han sido definidos los sistemas cartesianos tridimensionales las 
coordenadas horizontales y de las coordenadas ecuatoriales horarias, tienen el eje X 
común, la línea EW. Las direcciones de los ejes de un sistema cartesiano tridimensional 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
9
definen una base del espacio vectorial ℜ3. El problema que se plantea no es sino un 
cambio de base en el que uno de los vectores de ambas bases coincide, el 
correspondiente al eje X (1, 0, 0). 
 
 Recuérdese que se prescinde de la distancia, los parámetros definidos en cada 
sistema sólo permiten fijar la dirección y sentido de un vector. Para obtener las 
coordenadas cartesianas tridimensionales de un punto de la superficie de la esfera 
celeste es preciso asumir un valor para el radio de la misma. Se adopta radio unidad. De 
esta forma, si se denotan con (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) las coordenadas de un astro en el 
sistema cartesiano tridimensional horizontal y en el cartesiano tridimensional ecuatorial 
horario respectivamente, teniendo en cuenta la definición de ambos sistemas, se 
obtienen por: 
 
 
 ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )δ
δ
δ
sen
coscos
sencos
sen
coscos
sencos
2
2
2
1
1
1
=
⋅=
⋅=
=
⋅=
⋅=
z
Hy
Hx
hz
Ahy
Ahx
 
 
 La transformación de coordenadas cartesianas tridimensionales horizontales a 
cartesianas tridimensionales ecuatoriales horarias es un cambio de base que se puede 
interpretar como una rotación en torno al eje X de magnitud (90º-ϕ) y sentido directo. 
De forma matricial: 
 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
10
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=⇒⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
1
1
1
2
2
2
21
1
1
1
2
2
2
sencos0
cossen0
001
º90cosº90sen0
º90senº90cos0
001
z
y
x
z
y
x
XRX
z
y
x
z
y
x
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
 
 
 Expresado como ecuaciones y sustituyendo los valores de las coordenadas 
cartesianas tridimensionales en función de las esféricas: 
 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hAh
hAhH
AhH
zyz
zyy
xx
sensencoscoscossen
sencoscoscossencoscos
sencossencos
sencos
cossen
112
112
12
⋅+⋅⋅−=
⋅+⋅⋅=⋅
⋅=⋅
⋅+⋅−=
⋅+⋅=
=
ϕϕδ
ϕϕδ
δ
ϕϕ
ϕϕ
 
 
 Estas tres últimas ecuaciones permiten obtener la transformación. Hay dos 
formas de proceder: 
 ♦ Calcular en primer lugar la declinación con la tercera ecuación y después 
sustituirla en la segunda para obtener el cos(H). Obtener el cos(H) no 
significa, en principio, obtener H, pero teniendo en cuenta que H está en los 
dos primeros cuadrantes si, y sólo si, A lo está, el problema está resuelto. 
Adviértase que el sen(H) no permitiría resolverlo. De cualquier forma, ante 
la duda siempre se pueden obtener sen(H) y cos(H) sustituyendo la 
declinación en las dos primeras ecuaciones. ♦ Tal y como se resuelve en la bibliografía. Se parte de las mismas tres 
ecuaciones. Se plantea un cambio de variables: 
 ( ) ( ) ( )( ) ( )hMm
AhMm
sencos
coscossen
=⋅
⋅=⋅ 
 
Se transforma el sistema de tres ecuaciones llegando a: 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )MH
M
AM
H
hgAM
−⋅=
−
⋅=
⋅=
ϕδ
ϕ
tgcostg
cos
tgsen
tg
cotcostg
 
que resuelven el problema utilizando la misma relación entre los valores de A y 
H. 
 
La transformación de coordenadas cartesianas tridimensionales ecuatoriales 
horarias a coordenadas cartesianas tridimensionales horizontales es también un cambio 
de base representable como una rotación en torno al eje X, común de ambossistemas, 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
11
de la misma magnitud pero de sentido contrario, es decir, de sentido retrógrado. Se 
puede deducir su expresión al igual que se hizo en el caso anterior o partir de la 
propiedad de ortogonalidad de la matriz R(ϕ): la inversa de una matriz ortogonal es 
igual a su transpuesta. 
 ( ) ( ) ( ) 121
1
221 XRXXRXXRX T ⋅=⇔⋅=⇔⋅= − ϕϕϕ 
 
resultando, 
 
( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
2
2
2
1
1
1
sencos0
cossen0
001
z
y
x
z
y
x
ϕϕ
ϕϕ 
 
que da lugar a las ecuaciones de la transformación: 
 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δϕδϕ
δϕδϕ
δ
ϕϕ
ϕϕ
sensencoscoscossen
sencoscoscossencoscos
sencossencos
sencos
cossen
221
221
21
⋅+⋅⋅=
⋅−⋅⋅=⋅
⋅=⋅
⋅+⋅=
⋅−⋅=
=
Hh
HAh
HAh
zyz
zyy
xx
 
 
 Estas tres últimas ecuaciones permiten obtener la transformación. Hay dos 
formas de proceder: 
 ♦ Calcular en primer lugar la altura con la tercera ecuación y después 
sustituirla en la segunda para obtener el cos(A). Obtener el cos(A) no 
significa, en principio, obtener A, pero teniendo en cuenta que A está en los 
dos primeros cuadrantes si, y sólo si, H lo está, el problema está resuelto. 
Adviértase que el sen(A) no permitiría resolverlo. De cualquier forma, ante 
la duda siempre se pueden obtener sen(A) y cos(A) sustituyendo la 
declinación en las dos primeras ecuaciones. ♦ Tal y como se resuelve en la bibliografía. Se parte de las mismas tres 
ecuaciones. Se plantea un cambio de variables: 
 ( ) ( ) ( )( ) ( )δ
δ
sensen
coscoscos
=⋅
⋅=⋅
Mm
HMm 
 
Se transforma el sistema de tres ecuaciones llegando a: 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )MgAh
M
HM
A
gHMg
−⋅=
−
⋅=
⋅=
ϕ
ϕ
δ
cotcostg
sen
tgcos
tg
cotcoscot
 
 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
12
que resuelven el problema utilizando la misma relación entre los valores de A y 
H. 
 
 
2.3. SISTEMAS DE COORDENADAS ECUATORIALES 
ABSOLUTAS. 
 
2.3.1. DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES 
ABSOLUTAS. 
 
El motivo de la denominación de coordenadas ecuatoriales absolutas es las 
coordenadas de un astro en este sistema, salvo pequeñas correcciones que se estudiarán 
en temas posteriores, van a ser invariantes frente al tiempo y al espacio. Recuérdese que 
el principal inconveniente de las coordenadas horarias es la variación del ángulo 
horario. En el sistema que se define a continuación este inconveniente se solventa. El 
carácter absoluto de las coordenadas ecuatoriales absolutas hace que estas sean las más 
convenientes para definir la posición de una estrella y por ello figuran en los distintos 
catálogos estelares. 
 
El origen de este sistema de coordenadas es el centro de la esfera celeste. Se 
define como eje fundamental (eje Z) la dirección del eje del mundo con sentido positivo 
hacia el polo celeste boreal. El plano fundamental, normal al eje fundamental por el 
centro del sistema de coordenadas, será el ecuador de la esfera celeste. 
 
El eje X es la intersección del plano del ecuador celeste con el plano de la 
eclíptica, es decir, la línea de los equinoccios, con sentido positivo hacia el punto Aries. 
El eje Y será tal que complete con los ejes X y Z una terna dextrógira. Sobre la esfera 
celeste, el eje Z se proyecta en el polo celeste boreal y el eje X se proyecta en el punto γ. 
 
El sistema cartesiano tridimensional definido tiene asociado un sistema de 
coordenadas esféricas. La dirección y sentido del vector correspondiente a un astro en 
este sistema de coordenadas queda definida mediante la coordenada declinación, 
coincidente con la del sistema de coordenadas ecuatoriales horarias, y una segunda 
coordenada: 
 
Coordenada ascensión recta, α.- ángulo desde el meridiano celeste del punto 
Aries (plano Y=0) hasta el meridiano celeste del astro, medido en el sentido directo. 
Equivalentemente, se define como el arco sobre el ecuador celeste desde el punto γ 
hasta el meridiano celeste del astro, medido en el sentido directo, en el sentido contrario 
al de la rotación diaria de la esfera celeste. Se suele expresar en magnitud de tiempo. 
 
 
 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
13
 
En ocasiones conviene utilizar como segunda coordenada esférica ecuatorial 
absoluta, al igual que sucedía en el sistema de coordenadas ecuatoriales horarias, la 
distancia polar del astro, ρ. 
 
 Los dominios de las coordenadas ecuatoriales horarias son: 0h≤ α <24h, -90º≤ δ ≤90º, 0º≤ ρ ≤180º. 
 
El motivo de que la ascensión recta de un astro que conserve su posición en la 
esfera celeste sea constante es que el punto Aries también es un punto fijo de la esfera 
celeste, salvo pequeñas correcciones que se estudiarán en temas posteriores. 
 
2.3.2. TRANSFORMACIÓN ENTRE EL SISTEMA DE COORDENADAS 
ECUATORIALES HORARIAS Y EL SISTEMA DE COORDENADAS 
ECUATORIALES ABSOLUTAS. RELACIÓN ENTRE α Y H. 
 
 Tanto la coordenada H del sistema de coordenadas ecuatoriales horarias como la 
coordenada α del sistema de coordenadas ecuatoriales absolutas se miden sobre el 
ecuador. 
 
El ángulo horario tiene origen en el punto superior del ecuador que es fijo para 
un lugar de observación. La ascensión recta tiene origen en el punto vernal que es fijo 
en la esfera celeste y por tanto está afectado de la rotación diurna de la esfera celeste. 
Por tanto, el punto vernal, al igual que cualquier estrella, completa una revolución 
pasando por el meridiano celeste local. Esto lleva a considerar la variación del ángulo 
horario del punto vernal. Cuando el punto vernal se encuentra en el meridiano celeste 
local su ángulo horario se anula y comienza a aumentar a medida que la esfera celeste 
rota. Se define la coordenada temporal hora sidérea, y se denota θ, cómo el ángulo 
horario del punto vernal para un lugar y un instante de observación. 
 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
14
 
 
Si se considera una estrella cuya ascensión recta sea menor al ángulo horario del 
punto vernal, es directo el comprobar que el ángulo horario del punto vernal es igual a 
la suma de la ascensión recta de la estrella y del ángulo horario de la misma. El 
enunciado anterior es cierto para cualquier estrella pero más sencillo de ver 
gráficamente en el caso considerado. Esta consideración permite establecer una 
ecuación que en muchos textos figura como la ecuación fundamental de la astronomía 
de posición: 
 
H+= αθ 
 
Dado que la ascensión recta de una estrella es constante en el tiempo, el 
incremento de la hora sidérea con la rotación diurna de la esfera celeste se justifica con 
el incremento del ángulo horario de la estrella. 
 
Es evidente que la aplicación directa de la hora sidérea a la astronomía de 
posición es el paso entre el sistema de coordenadas ecuatoriales absolutas y el sistema 
de coordenadas ecuatoriales horarias. 
 
Un ejemplo directo de este tipo de aplicación es el determinar las coordenadas 
horizontales de una estrella para un lugar de observación y un instante determinado. El 
proceso sería transformar las coordenadas ecuatoriales absolutas a ecuatoriales horarias 
a través del tiempo sidéreo del lugar e instante para, a continuación, obtener las 
coordenadas horizontales a través de la latitud astronómica del lugar. 
 
Queda justificado que el carácter fundamental de la ecuación en cuanto a la 
astronomía de posición se refiere. Prácticamente la totalidad de los problemas que se 
plantean en astronomía de posición pasan por el conocimiento, o determinación, de la 
hora sidérea. 
 
 
 
 
2.4. SISTEMAS DE COORDENADAS ECLÍPTICAS. 
 ASTRONOMÍA
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. 
 
15
 
2.4.1. DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS. 
 
 Tanto el sistema de coordenadas ecuatoriales horarias cómo el sistema de 
coordenadas ecuatoriales absolutas incluyen en su definición como plano fundamental 
al plano del ecuador celeste. Elegir como plano fundamental