Portilla, J G (2001) Elementos de astronomía de posición Bogotá, Colombia Observatorio Astronómico Nacional - Manolo Muñoz

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Elementos de
Astronomı́a de Posición
José Gregorio Portilla Barbosa
• José Gregorio Portilla B.
El profesor Portilla actualmente es Profesor Asociado de Dedicación Exclusiva adscrito al Observatorio
Astronómico Nacional de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia. Dicta regular-
mente las cátedras de Astronomı́a General I, Mecánica Celeste e Introducción a la Coheteŕıa y Astronáutica
que se ofrecen a los estudiantes de pregrado y posgrado en la mencionada institución. Su campo de inves-
tigación se dirige hacia la mecánica celeste, en particular sobre el movimiento de satélites, estabilidad de
órbitas, métodos de integración y mecánica celeste relativista.
.
Elementos de astronoḿıa de
posición
José Gregorio Portilla B.
Observatorio Astronómico Nacional
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Bogotá
Presente edición: mayo de 2001
c©2001, Observatorio Astronómico Nacional
Internet: http://www.observatorio.unal.edu.co/miembros/docentes/grek/grek.html
Correo-e: gportill@ciencias.unal.edu.co
No se permite la reproducción total o parcial de esta obra, ni su incorporación a un sistema in-
formático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio, sea éste electrónico, mecánico,
por fotocopia, por grabación u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito del autor.
Diseño y diagramación en LATEX: José Gregorio Portilla B.
Diseño de carátula: Martha Chacón Chacón y M. Arturo Izquierdo Peña.
Carátula: Concepción art́ıstica del paso de la nave Viajero II por el planeta Júpiter.
ISSN: 0120-2758
Impreso en Colombia
Universidad Nacional de Colombia, Bogotá
A mis padres:
Maŕıa Teresa y
José Gregorio
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Prefacio
Este libro constituye en su mayoŕıa las notas ordenadas, ampliadas y actualizadas de
parte de los cursos de Astronomı́a General I, Mecánica Celeste e Introducción a la Coheteŕıa
y Astronáutica que el autor ha tenido la oportunidad de dictar en varias ocasiones en la sede
académica del Observatorio Astronómico Nacional. Pretende ser una exposición sencilla,
clara y no demasiado técnica de diversos tópicos de la astronomı́a esférica y la mecánica
celeste, pero procurando conservar cierto nivel de profundización necesario para abordar
una ciencia que, como la astronomı́a, depende enteramente de la medida y del cálculo.
Exceptuando tal vez los caṕıtulos 12 al 15, el libro está enteramente al alcance de una
persona que haya completado un bachillerato a conciencia.
En una época clave para el desarrollo de la astronomı́a en nuestro páıs, con la conforma-
ción de la RAC (Red Astronómica Colombiana), la aparición y consolidación de grupos y
asociaciones de aficionados a lo ancho y largo del territorio nacional y el surgimiento, en el
segundo semestre de 1999, de la Especialización en Astronomı́a en la Universidad Nacional
de Colombia sede Bogotá, es de esperarse un avance significativo de la astronomı́a criolla
en los años venideros. El autor estaŕıa plenamente satisfecho si esta obra contribuye en un
infinitésimo a dicho desarrollo.
El autor agradece el apoyo de cada uno de los profesores que conforman el personal do-
cente del Observatorio Astronómico Nacional. En particular debo mencionar a tres de ellos:
el profesor Eduardo Brieva, quien leyó la totalidad del texto y realizó importantes y muy
valiosas sugerencias; el profesor Fernando Otero, quien leyó algunos de los caṕıtulos e hizo
significativas recomendaciones y el profesor Arturo Izquierdo, quien no sólo me colaboró con
su profundo dominio de muchos programas en Linux sino también ayudó en la elaboración
de la carátula.
Mi agradecimiento también se extiende a los monitores del Observatorio Germán Mon-
toya y Daniel Izquierdo quienes estuvieron atentos a resolver las dudas que tuvo el autor
con el manejo del sistema operativo Linux, el procesador de palabra cient́ıfico LATEX y varios
programas graficadores; a Martha Chacón Chacón por su diseño de carátula, y a los muchos
estudiantes de pregrado de la Universidad y en particular de los de la Especialización en
Astronomı́a sin quienes mucho del contenido de este libro estaŕıa oscuro e impenetrable. A
todos, mi agradecimiento más profundo.
José Gregorio Portilla B.
Profesor, Observatorio Astronómico Nacional
Bogotá, MMI
Índice General
1 INTRODUCCIÓN 15
1.1 La astronomı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Objeto de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 La astronomı́a esférica y dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 La astronomı́a y la astroloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 21
2.1 Relaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 EL PLANETA TIERRA 31
3.1 Forma de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Coordenadas de un observador en la superficie de la Tierra . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Coordenadas geocéntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Coordenadas geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.3 Coordenadas geográficas (astronómicas) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Unidades de longitud y su relación con las dimensiones terrestres . . . . . . . 40
3.4 Transformación entre latitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 LA BÓVEDA CELESTE 47
4.1 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Observación del cielo según la latitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 La ecĺıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Estaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Constelaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Nombres de estrellas y designaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7 Catálogos de estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 COORDENADAS CELESTES 69
5.1 Coordenadas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Coordenadas ecuatoriales horarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Coordenadas ecuatoriales (ecuatoriales absolutas) . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Coordenadas ecĺıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Coordenadas galácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 Transformación entre los sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9
5.6.1 De horizontales a ecuatoriales horarias y viceversa . . . . . . . . . . . 76
5.6.2 Ecuatoriales horarias a ecuatoriales absolutas y viceversa . . . . . . . 81
5.6.3 Ecuatoriales absolutas a ecĺıpticas y viceversa . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6.4 Ecuatoriales absolutas a galácticas y viceversa . . . . . . . . . . . . . 89
6 MOVIMIENTO APARENTE DE LOS CUERPOS CELESTES 93
6.1 Movimiento diurno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 La Luna y el Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3 Los planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3.1 Peŕıodo sinódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA 107
7.1 El d́ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.1.1 El d́ıa sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.1.2 El d́ıa solar verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.1.3 El d́ıa solar medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Conversión entre tiempo sideral y tiempo solar medio . . . . . . . . . . . . . 110
7.3 El tiempo siderallocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.4 El tiempo solar verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.5 El tiempo solar medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.6 El tiempo universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.7 Husos horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.8 La ecuación del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.9 El cálculo del tiempo sideral local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.9.1 El cálculo de la fecha juliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.9.2 El cálculo del TSG0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.10 Sistemas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.10.1 Variaciones en la tasa de rotación terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.10.2 El tiempo de las efemérides (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.10.3 El tiempo dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.11 El tiempo atómico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.12 Tiempos universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8 CÁLCULO DE ALGUNOS FENÓMENOS ASTRONÓMICOS 135
8.1 Culminación de cuerpos celestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2 Salida y puesta de un astro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2.1 Una primera aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2.2 Refinando el cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.2.3 El cálculo especial del Sol y la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.3 Paso por el meridiano del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.4 Paso por el cenit del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.5 Navegación astronómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9 CALENDARIO 155
9.1 El calendario romano primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.2 El calendario juliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.3 Calendario y cristianismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.4 El calendario gregoriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.5 Cronoloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.6 La determinación de la fecha de Pascua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.6.1 Letra dominical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.6.2 Número áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.6.3 La Epacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.6.4 Otros ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.6.5 Cálculo de la fecha de Pascua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.7 Calendario colombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10 CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS 175
10.1 Precesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.2 Nutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.3 Aberración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.3.1 Aberración estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.3.2 Aberración planetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.4 Movimiento en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.5 Paralaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.5.1 Paralaje diurno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.5.2 Paralaje anual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.6 Refracción astronómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.7 Deflección gravitacional de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11 MECÁNICA CELESTE: UNA INTRODUCCIÓN 205
11.1 Estado de las cosas en la antigüedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.2 Kepler y sus leyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.2.1 La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.2.2 Áreas y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.2.3 Peŕıodos y distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.3 El formalismo Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.3.1 Ley de atracción newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.3.2 La función potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12 EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS 223
12.1 Movimiento con respecto al centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.2 El movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.2.1 Aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
12.3 Elección de un sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.4 El momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.4.1 Áreas y tiempos: otra vez la segunda ley de Kepler . . . . . . . . . . . 237
12.5 Momentum angular cero: la órbita rectiĺınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
12.6 Momentum angular diferente de cero: trayectorias cónicas . . . . . . . . . . 242
12.6.1 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
12.7 La enerǵıa total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
12.8 Cálculos de masa: otra vez la tercera ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.9 Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
12.10El cálculo de la anomaĺıa verdadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
12.10.1 Órbita eĺıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
12.10.2 Órbita hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.10.3 Órbita parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
13 LA DETERMINACIÓN DE LA POSICIÓN EN EL ESPACIO 265
13.0.4 Elementos orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.0.5 Posición en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
13.1 Velocidad en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.2 La posición con respecto a la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
13.3 Las coordenadas topocéntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
14 PERTURBACIONES 279
14.1 Modelo vs. realidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
14.2 El problema de los tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
14.2.1 El problema restringido circular de los tres cuerpos . . . . . . . . . . . 288
14.3 El problema de los n cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
14.4 Perturbaciones al problema de los dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
14.4.1 Presencia de un tercer cuerpo, o de más cuerpos . . . . . . . . . . . . 292
14.4.2 No esfericidad del cuerpo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
14.4.3 Perturbación por rozamiento atmosférico . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.4.4 Perturbación por presión de radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.4.5 Perturbación por eyección de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.4.6 Perturbación por curvatura delespacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . 297
14.4.7 El efecto Poynting-Robertson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
14.4.8 El efecto Yarkovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
14.4.9 Resistencia por part́ıculas cargadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
14.5 Resolviendo las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
14.5.1 La integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
14.5.2 Teoŕıa de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
15 SATÉLITES ARTIFICIALES Y COHETES 315
15.1 Una teoŕıa sencilla del satélite artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
15.2 El satélite Tierra-sincrónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
15.3 El satélite Sol-sincrónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
15.4 El satélite geoestacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
15.5 El satélite Molniya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
15.6 Órbitas de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
15.6.1 Transferencia tipo Hohmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
15.6.2 Cambio de inclinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
15.7 Cohetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
15.8 La ecuación de Tsiolkovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
15.9 Las condiciones de inyección y la órbita inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
A Constantes astronómicas 353
A.1 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
A.2 Sistema de Constantes Astronómicas de la U.A.I. (1976) . . . . . . . . . . . . 354
B Posiciones geográficas de algunas ciudades colombianas 355
C Cuerpos del sistema solar 359
C.1 Datos f́ısicos de los planetas (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
C.2 Datos f́ısicos de los planetas (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
C.3 Elementos orbitales osculatrices heliocéntricos referidos a la ecĺıptica media
y equinoccio de J2000.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
C.4 Datos del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
C.5 Datos de la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
C.6 Algunos asteroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
C.7 Algunos cometas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
D Refracción astronómica a nivel del mar 363
E Estrellas 365
E.1 Las estrellas más cercanas al Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
E.2 Las estrellas más brillantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
F Fecha Juliana 367
G Calendario 369
G.1 Descansos remunerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
G.2 Fechas de Pascua para algunos años . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
G.3 Calendario Perpetuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
14
Caṕıtulo 1
INTRODUCCIÓN
1.1 La astronomı́a
La astronomı́a es aquella rama del saber cient́ıfico que estudia el universo en su conjunto. El
universo comprende cuerpos tan familiares como la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas,
hasta objetos exóticos tales como los agujeros negros, quasares, pulsares y enanas marrones.
Entendemos aqúı por universo a todo el conjunto de cuerpos celestes que han existido,
existen y existirán. Por lo que sabemos hoy en d́ıa, el universo es extraordinariamente an-
tiguo e inconmensurablemente enorme.
La astronomı́a busca explicar el universo (su composición, estructura, origen, evolución,
etc.) pero con un enfoque cient́ıfico, lo que significa que sus procedimientos y metodoloǵıas
descansan en nuestros conocimientos de las leyes f́ısicas y qúımicas hasta ahora descubiertas y
por lo tanto, de las bases matemáticas que las sustentan. Los resultados que se derivan de las
teoŕıas propuestas son continuamente comparados con la observación; aquellas teoŕıas que no
explican satisfactoriamente los fenómenos observados son reevaluadas e incluso desaparecen
si una nueva teoŕıa surge con mayor poder explicatorio y predictivo. Nuestro conocimiento
del universo es aún muy limitado. Es cierto que hemos avanzado mucho en su conocimiento,
pero permanecen muchos interrogantes todav́ıa por esclarecer.
1.1.1 Objeto de estudio
Son objetos de estudio de la astronomı́a aquellos cuerpos que observamos en el cielo —por
lo que los llamamos “celestes”—. En la antigüedad los astrónomos y filósofos contemplaron
y estudiaron aquellos objetos que son visibles a simple vista: el Sol, la Luna, planetas,
estrellas, cometas y estrellas fugaces. Con la aparición de instrumentos y herramientas tales
15
16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
como telescopios y cámaras fotográficas se logró obtener por un lado, una visión más com-
pleta y extraordinaria de todos aquellos cuerpos conocidos hasta entonces y, por otro, se
descubrieron objetos y estructuras que hab́ıan pasado desapercibidas hasta entonces senci-
llamente por la limitación de nuestros sentidos.
La astronomı́a busca dar respuestas a la curiosidad innata del hombre por comprender
lo que lo rodea desde el punto de vista cósmico. Hombres curiosos, animados por motivos
teológicos, filosóficos, o de otra clase, han dedicado sus vidas a la observación, medida y
comprensión de los cuerpos celestes. Muchos de ellos han legado sus observaciones, fruto
de sus pacientes observaciones y medidas hechas en el transcurso de muchos años, para que
los que vienen detrás de ellos, más instruidos y con una experiencia ya heredada, intenten
completar el panorama y continúen con ese anhelo de exploración y entendimiento.
El astrónomo estudia el cielo de una manera sistemática y formal. Sus preguntas son del
siguiente tenor:¿Cuándo será el próximo eclipse de Sol? ¿A qué horas exactamente saldrá el
Sol para un d́ıa y lugar determinado? ¿Por qué los planetas describen trayectorias aparentes
tan complicadas? ¿Qué tan antiguo es el Sol? ¿Qué composición qúımica tiene la Luna?
¿A qué distancia están las estrellas? ¿Por qué brillan éstas? ¿Qué tan antiguo es el universo?
Las respuestas a algunas de estas preguntas han costado mucho trabajo y dedicación a
hombres de ciencia en el transcurso de muchos siglos. Algunas de ellas todav́ıa no tienen una
explicación que podamos llamar satisfactoria, pero en el mundo entero miles de astrónomos
continuan desarrollando técnicas observacionales e instrumentales, creando y optimizando
nuevos métodos anaĺıticos y computacionales con el fin de seguir desentrañando los profun-
dos misterios e interrogantes que aún encierra el universo.
La astronomı́a es actualmente una ciencia supremamente extensa que cubre tan vastos
campos de interés que se ha hecho necesario dividirla en ramas o especializaciones. Para la
persona de la calle el astrónomo es aquel sujeto que se dedica meramente a la observación
del cielo. Pero en la realidad es mucho más que eso. El astrónomo, para los cánones
actuales, es un profesional altamente preparado con sólidos conocimientos en matemáticas,
f́ısica, qúımica, bioloǵıa, geoloǵıa, computación, etc. Dependiendo de su area de interés
tendrá mayor preparación en algunas de esas ciencias más que en otras. Aquellos que se
dedican por ejemplo al estudio de las propiedades de los agujeros negros son profesionales
con una formación muy sólida en matemáticas y f́ısica, pues sus herramienta de trabajo son
la geometŕıa diferencial, la teoŕıa de la relatividad general y la mecánica cuántica. Aquellos
dedicados a la búsqueda del origen y formación de la Luna necesitan conocimientos muy
profundos de geoloǵıa, qúımicay mecánica celeste. Y aśı ocurre con todas las demás ramas
en las que se ha subdividido la astronomı́a.
1.2 La astronomı́a esférica y dinámica
Este libro trata espećıficamente de dos ramas de la astronomı́a que están intimamente rela-
cionadas entre śı. La astronomı́a esférica estudia la manera de como es posible relacionar
las direcciones cambiantes de los cuerpos celestes con sus posiciones sobre la superficie de la
1.3. LA ASTRONOMÍA Y LA ASTROLOGÍA 17
denominada esfera celeste. La astronomı́a dinámica estudia todas aquellas explicaciones de
orden fisicomatemático que tratan de dar cuenta del movimiento de los cuerpos celestes bajo
la influencia de sus mutuas atracciones gravitacionales, aunque no se descartan otro tipo de
fuerzas. La astronomı́a esférica requiere el dominio básico de la trigonometŕıa esférica; la
astronomı́a dinámica requiere el manejo de la mecánica newtoniana, y en casos especiales y
rigurosos, de la teoŕıa de la relatividad general. En un contexto más amplio, la astronomı́a
esférica y la astronomı́a dinámica forman juntas lo que se conoce como astronomı́a de posi-
ción1.
1.3 La astronomı́a y la astroloǵıa
Es muy raro el texto de astronomı́a que se atreva a dedicar si quiera unas ĺıneas dirigidas
a dejar en claro la diferencia que existe entre la astronomı́a y la astroloǵıa. Sin embargo,
el auge que cobran cada vez más las prácticas adivinatorias y ocultistas entre la población,
aun entre personas que se precian de ser ilustradas, amerita, a modo de responsabilidad con
la sociedad, hacer las siguientes apreciaciones.
Son muchas las personas en nuestra sociedad que piensan que la astronomı́a y la astroloǵıa
son una misma cosa. La realidad es que son dos actividades completa y radicalmente dife-
rentes. La astroloǵıa parte del supuesto de que los astros (el Sol, la Luna y los planetas) y
la posición aparente de éstos en relación con las estrellas, tienen una influencia marcada y
directa en el destino y el carácter de las personas, grupos humanos e incluso naciones enteras.
Sin embargo, hoy por hoy, con el avance portentoso de la ciencia y la tecnoloǵıa, la
astroloǵıa es vista, por lo medios intelectuales y cient́ıficos, como una simple práctica adivi-
natoria, a la misma altura de la quiromancia y otras actividades similares. Los creyentes y
adeptos de la astroloǵıa insisten en que su destino, su suerte (o la carencia de ella), sus gustos
e instintos dependen y están determinados por la ubicación relativa de los cuerpos celestes
en instantes cruciales de su existencia, particularmente en el momento de su nacimiento.
La astroloǵıa, a diferencia de la astronomı́a, no busca explicar el universo. En su trabajo
diario y para el desempeño de su labor, al astrólogo lo tiene sin cuidado la constitución de
las estrellas; no pretende conocer el origen y la evolución del universo, le es indiferente el
estudio formal y excitante de la naturaleza del cosmos. Sus conocimientos en matemáticas,
f́ısica y qúımica son por lo tanto limitados, pues no es su intención desentrañar los misterios
del cosmos por lo que no requiere todas esas herramientas que son imprescindibles para el
astrónomo. Eso śı, le interesa conocer las efemérides (las posiciones de los planetas con
respecto a las estrellas) para alguna fecha dada, no con la exactitud y precisión que requiere
el astrónomo, despreocupándose por el hecho de que éstos utilizan en sus cálculos la teoŕıa
de la relatividad general (el funcionamiento, la estabilidad y el poder determinista de las
1No hay un consenso general sobre esta definición. En algunas referencias la astronomı́a de posición
se entiende como un sinónimo de astrometŕıa, esto es, aquella rama de la astronomı́a que se ocupa de las
medidas de las posiciones de los cuerpos celestes en el cielo, en particular en lo que tiene que ver con los
conceptos y métodos observacionales involucrados en la realización de las medidas.
18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
teoŕıas planetarias no son su problema), pues su intención es adivinar —no calcular— lo que
puede ocurrir con el destino de las personas.
La diferencia entre astronomı́a y astroloǵıa es equivalente, en sus justas proporciones, a
la existente entre la hepatoloǵıa y la haruspimancia. La primera es el estudio cient́ıfico del
higado, esto es, el estudio de éste órgano desde el punto de vista morfológico, fisiológico,
etc.; la segunda es la práctica adivinatoria que consiste en leer el futuro interpretando la
forma y los ligeros cambios de posición del higado de animales que se sacrifican con tal fin.
El astrólogo realiza predicciones sobre el destino de las personas basado no en las leyes
de la naturaleza sino en recetas y formulaciones carentes por completo de fundamento. El
origen de estas reglas puede trazarse hasta unos 2500 A.C. en la época de los antiguos
caldeos, cuando la ciencia y la magia eran una misma cosa. Es justo decir, sin embargo,
que hasta tiempos relativamente recientes los astrónomos fueron también practicantes de la
astroloǵıa, en particular cuando necesitaban la protección de pŕıncipes y reyes a los cuales
sólo les interesaba saber lo que los astros les deparaban en el futuro. Es el caso de Johannes
Kepler, famoso astrónomo alemán, posiblemente el último de los grandes astrónomos que
cultivó también la astroloǵıa. Sin embargo, ya para finales del siglo XVII, ambas actividades
se separaron radicalmente hasta hacerse casi irreconocibles.
Es muy normal encontrar hoy en d́ıa en prácticamente todos los periódicos y publicaciones
seriadas dirigidas al gran público, secciones enteras sobre horóscopos y avisos publicitarios
de astrólogos “profesionales”. Que la población vea a la astroloǵıa como un pasatiempo
o divertimento jocoso vaya y pase. Desdichadamente, son muchas las personas que creen
firmemente lo que les indica su horóscopo gastando para ello enormes sumas de dinero en
la consulta periódica de supuestos especialistas en astroloǵıa. Esto lo que revela no es la
eficiencia del astrólogo en sus predicciones, ni la aprobación de una práctica adivinatoria
como una ciencia “cierta” o “verdadera” sino más bien la falta de cultura cient́ıfica, la
inseguridad, y la crisis de identidad de muchos miembros de nuestra sociedad.
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
• Bakulin, P., Kononovich, E., Moroz, V. (1983) Curso de astronomı́a general, Mir, Moscú.
Texto de astronomı́a que ofrece, sin demasiada profundidad técnica, un amplio espectro de la
temática astronómica.
• Brieva-Bustillo, E. (1985) Introducción a la astronomı́a: El sistema solar, Empresa Editorial
Universidad Nacional de Colombia, Bogotá.
Un texto breve y descriptivo de la mayoŕıa de temas de la astronomı́a moderna, con énfasis
en el sistema solar.
• Culver, B., Ianna, P. (1994) El secreto de las estrellas, astroloǵıa: ¿mito o realidad?, Tikal
ediciones, Gerona.
Excelente libro que expone con detalle las fallas conceptuales de la astroloǵıa. Muy revelador
para todos aquellos que no comprenden la diferencia entre la astronomı́a y la astroloǵıa.
• Karttunen, H., et al. (1996) Fundamental Astronomy, Springer-Verlag, Heidelberg.
Excelente texto de astronomı́a a nivel universitario que cubre diversos aspectos de los moder-
nas técnicas observacionales y teóricas.
1.3. LA ASTRONOMÍA Y LA ASTROLOGÍA 19
• Sagan C. (1994) Cosmos, Planeta, Bogotá.
Inmejorable libro de divulgación astronómica, ampliamente ilustrado, con diversad de tópicos
sobre la historia y proyección del pensamiento cient́ıfico.
• Sagan, C. (1984) El cerebro de Broca, Grijalbo, México.
Una descripción autorizada sobre diversos tópicos astronómicos con algunos matices sobre la
aplicación del método cient́ıfico.
• Sagan, C. (1997), El mundo y sus demonios, Planeta, Bogotá.
Un libro que llama la atención sobre la necesidad de cultivar una visión escéptica del universo
y de los peligros que entraña la difusión de prácticas ocultistas y seudocienciasen nuestro
mundo civilizado.
• Senior, J.E. (1996) Epistemoloǵıa y divulgación de la astronomı́a, en Memorias del segundo
encuentro nacional de astronomı́a, Universidad Tecnológica de Pereira.
Excelente ensayo epistemológico que plantea estrategias para la difusión de la astronomı́a y
en general del pensamiento racional en nuestro páıs.
• http://www.wsanford.com/~wsanford/exo/zodiac.htm
Se encuentran varios comentarios referentes a la diferencia entre astronomı́a y astroloǵıa.
• http://www.voicenet.com/~eric/astrology.htm
En esta hoja electrónica se encuentran multitud de consideraciones en contra de la astroloǵıa
con gran cantidad de enlaces y bibliograf́ıa.
20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Caṕıtulo 2
TRIGONOMETRÍA
ESFÉRICA
Puesto que muchos problemas astronómicos de interés se reducen al estudio de los triángulos
esféricos, nos vemos en la necesidad de ver algunos conceptos mı́nimos en esta materia que
nos serán de gran ayuda más adelante.
La trigonometŕıa esférica es aquella rama de las matemáticas que trata con las relaciones
numéricas entre los lados y los ángulos de triángulos esféricos.
Definimos ángulo diedro (ver figura 2.1) a aquel formado por dos planos que se cortan.
Los planos reciben el nombre de caras del ángulo diedro, en tanto que la recta de intersección
recibe el nombre de arista del ángulo diedro.
ARISTA
Figura 2.1: Ángulo diedro
Definimos ángulo triedro (ver figura 2.2) a aquel formado por la intersección en un sólo
21
22 CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
punto de tres planos. El punto de intersección es denominado vértice del ángulo triedro.
Los planos reciben el nombre de caras del ángulo triedro. Las caras, tomadas de dos en dos,
forman tres ángulos diedros cuyas aristas OX, OY, OZ son las aristas del ángulo triedro.
Z
O
X
Y
Figura 2.2: Ángulo triedro
Ahora bien, cualquier intersección de un plano con una esfera es una circunferencia.
Llamamos circunferencia máxima (ver figura 2.3) a aquella que resulta de la intersección de
la superficie de una esfera y un plano que pasa por el centro de dicha esfera. En el caso
en que el plano no pase por el centro de la esfera, dará origen a una circunferencia menor.
Definimos los polos (P y P’) de una circunferencia (máxima o menor) a aquellos puntos sobre
la superficie de la esfera que resultan de la intersección de ella con una ĺınea perpendicular
al plano que da origen a las circunferencias.
P’
CIRCUNFERENCIA MENOR
CIRCUNFERENCIA MAXIMA
P
O
Figura 2.3: Circunferencia máxima y circunferencia menor
Miremos ahora la figura 2.4 en la que tenemos la circunferencia máxima que pasa por
los puntos CAB y tiene por polos P y P’. Perpendicularmente a ella tenemos dos arcos
23
pertenecientes a circunferencias máximas que pasan por A y B respectivamente. Se llama
ángulo esférico a aquel ángulo formado por dos arcos de circunferencias máximas. En nues-
tro caso, el ángulo esférico es el ángulo APB. Los arcos conforman los denominados lados
del ángulo esférico, y el punto donde se interceptan los arcos es llamado el vértice, esto es,
P (o P’).
Importante en trigonometŕıa esférica es definir la medida de un ángulo esférico. Esta
viene dada por el ángulo diedro formado por los planos de las circunferencias máximas cuyos
arcos hacen parte de los lados del ángulo esférico. Debe ser claro para el lector que el ángulo
diedro APOB corresponde a la medida del ángulo plano AOB que a su turno tiene por
medida la del arco AB.
P
P’
O
A B
C
Figura 2.4: Ángulo esférico
Un triángulo esférico (ver figura 2.5) es aquella región sobre la superficie de una esfera
que está limitada por los arcos de tres circunferencias máximas. Los arcos corresponden a
los lados del triángulo esférico; los vértices de los tres ángulos esféricos son los vértices del
triángulo esférico. Siguiendo la notación usual en trigonometŕıa plana, los ángulos se denotan
con letras mayúsculas (A, B, C) y los respectivos ángulos opuestos con letras minúsculas
(a, b, c). Nótese que al unir los vértices A, B y C con el centro de la esfera se forma un
ángulo triedro. Los lados a, b y c del triángulo esférico se miden por los ángulos de las caras
BOC, COA y AOB respectivamente del ángulo triedro.
24 CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
A
B
a
c
C
O b
Figura 2.5: Triángulo esférico
Ahora bien, es fácil verificar que tres circunferencias máximas que se cortan deter-
minan 8 triángulos esféricos. Por convención, consideraremos aqúı únicamente aquellos
triángulos esféricos en los que cualquier lado y cualquier ángulo es menor que 180o. Para
estos triángulos:
• La suma de dos lados cualquiera es mayor que el tercer lado.
• La suma de los tres lados es menor que 360o.
• Si dos lados son iguales, los ángulos opuestos son iguales. Rećıprocamente también es
válido.
• La suma de los tres ángulos es mayor que 180o y menor que 540o.
2.1 Relaciones fundamentales
Procedemos ahora a derivar las ecuaciones fundamentales de la trigonomeŕıa esférica. Con-
sidérese un sistema de coordenadas rectangular (x, y, z) centrado en el origen de una esfera
de centro O. Sea el plano xy el que forma un plano de referencia el cual tendrá por polos a
las intersecciones del eje z con la superficie de la esfera.
2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES 25
x
y
z
ξ
η
K
P
O
Figura 2.6:
Suponiendo que la esfera tiene un radio unidad e introduciendo dos ángulos, ξ, η, de la
forma como se muestra en la figura 2.6, un punto K sobre la superficie de la esfera tiene por
coordenadas rectangulares:
x = cos ξ cos η,
y = sen ξ cos η, (2.1)
z = sen η.
Con el fin de crear un triángulo esférico en nuestra esfera procedemos a realizar una
rotación un ángulo ζ alrededor del eje x de tal forma que las posiciones de los nuevos ejes y′
y z′ son como se ilustran en la figura 2.7. Con la rotación estamos introduciendo un nuevo
sistema de coordenadas (x′, y′, z′).
Nótese que ahora existe un nuevo plano de referencia conformado por los ejes x′y′.
Introduciendo ahora los ángulos ξ′, η′ con respecto al nuevo sistema de coordenadas tenemos,
para el mismo punto K:
x′ = cos ξ′ cos η′,
y′ = sen ξ′ cos η′, (2.2)
z′ = sen η′.
26 CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
z
x=x’
y
y’
P
ζ
ζ
K
z’
P’
ξ
η’
’
Figura 2.7:
Vemos que se forma un triángulo esférico conformado por los vértices P, P’, K. Es fácil
darse cuenta de los valores que adquieren los ángulos internos y los lados de dicho triángulo
esférico en términos de ξ, η, ξ′, η′ y ζ ′. Al comparar dicho triángulo con el triángulo esférico
de la derecha de la figura 2.8 obtenemos:
A = 90 + ξ,
B = 90− ξ′,
a = 90− η′, (2.3)
b = 90− η,
c = ζ.
Necesitamos encontrar la relación existente entre las coordenadas (x, y, z) y (x′, y′, z′).
Puesto que la rotación se ha hecho con respecto al eje x, obtenemos la relación de equiva-
lencia:
x′ = x. (2.4)
Para hallar las relaciones entre (y, z) y (y′, z′) hacemos uso de la figura 2.9, la cual
muestra la orientación de estos ejes con el eje x perpendicular al plano de la hoja.
Un punto K cualquiera que dista del origen por un radio igual a la unidad tiene por
coordenadas con respecto a y′ y z′:
y′ = cos θ, (2.5)
2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES 27
z′ = sen θ. (2.6)
El mismo punto K tiene por coordenadas con respecto a y y z:
y = cos(θ + ζ),
z = sen (θ + ζ), (2.7)
o, lo que es lo mismo:
y = cos θ cos ζ − sen θ sen ζ,
z = sen θ cos ζ + cos θ sen ζ. (2.8)
Al reemplazar las ecuaciones (2.5) y (2.6) en estas últimas obtenemos:
y = y′ cos ζ − z′ sen ζ,
z = z′ cos ζ + y′ sen ζ. (2.9)
De la ecuación (2.4) y de las ecuaciones (2.1) y (2.2) podemos escribir:
cos ξ cos η = cos ξ′ cos η′,
o, en términos de las relaciones (2.3):
cos(A− 90) cos(90− b) = cos(90−B) cos(90− a),
y puesto que para cualquier ángulo α se tiene cos(90 − α) = senα, la ecuación anterior es
equivalente a:
senA
sen a
=
senB
sen b
. (2.10)
De idéntica forma, podemos utilizarla segunda de las ecuaciones (2.9) y reemplazar en
ella la última de las ecuaciones (2.1) y la segunda y tercera de (2.2) para obtener:
’
’
ζ
90−η
90−η90−ξ 90+ξ
c
C
AB
a
b
Figura 2.8:
28 CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
y
ζ
y’
θ
ζ
O
K
z
z’
Figura 2.9:
sen η = sen η′ cos ζ + sen ξ′ cos η′ sen ζ.
Al tener en cuenta las relaciones (2.3) obtenemos:
sen (90− b) = sen (90− a) cos c+ sen (90−B) cos(90− a) sen c,
y puesto que para cualquier ángulo α se tiene sen (90 − α) = cosα, la ecuación anterior es
igual a:
cos b = cos a cos c+ sen a sen c cosB. (2.11)
Por último, al tomar la primera de las ecuaciones (2.9) y reemplazar en ella las ecuaciones
(2.1) y (2.2) obtenemos:
sen ξ cos η = sen ξ′ cos η′ cos ζ − sen η′ sen ζ.
Al tener en cuenta, como antes, las relaciones (2.3):
sen (A− 90) cos(90− b) = sen (90−B) cos(90− a) cos c− sen (90− a) sen c,
equivalente a:
cosA sen b = − cosB sen a cos c+ cos a sen c. (2.12)
Las ecuaciones para los otros lados y ángulos pueden obtenerse simplemente al hacer
permutaciones ćıclicas de los lados (a, b, c) y los ángulos (A, B, C), de tal forma que una
generalización de (2.10), llamada teorema del seno de la trigonometŕıa esférica, es:
senA
sen a
=
senB
sen b
=
senC
sen c
. (2.13)
De forma análoga, podemos encontrar las otras expresiones para (2.11), llamadas en
conjunto el teorema del coseno de la trigonometŕıa esférica:
cos b = cos a cos c+ sen a sen c cosB,
cos c = cos a cos b+ sen a sen b cosC, (2.14)
cos a = cos c cos b+ sen c sen b cosA.
2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES 29
Por último, las otras ecuaciones equivalentes a (2.12) son llamadas en conjunto el teorema
del seno por el coseno:
cosA sen b = − cosB sen a cos c+ cos a sen c,
cosA sen c = − cosC sen a cos b+ cos a sen b,
cosB sen a = − cosA sen b cos c+ cos b sen c,
cosB sen c = − cosC sen b cos a+ cos b sen a, (2.15)
cosC sen a = − cosA sen c cos b+ cos c sen b,
cosC sen b = − cosB sen c cos a+ cos c sen a.
Las ecuaciones (2.13), (2.14) y (2.15) son las expresiones básicas de la trigonometŕıa
esférica. Las mismas serán utilizadas frecuentemente en el transcurso del libro.
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
• Ayres, F. (1970) Lecturas y problemas de Trigonometŕıa plana y esférica, McGraw-Hill,
México.
Como todos los libros de la serie de Schaum, excelente. En los caṕıtulos 19 a 24 se encuentra
una buena descripción de conceptos útiles en la astronomı́a esférica.
• Vives, T. (1971), Astronomı́a de posición, Alhambra, Bilbao.
Libro clásico de astronomı́a de posición en español. El caṕıtulo 1 contiene una extensa ex-
posición de las fórmulas de la trigonometŕıa esférica incluyendo fórmulas diferenciales.
• http://polaris.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter2.htm
Conceptos y fórmulas fundamentales de la trigonometŕıa esférica.
• http://home.t-online.de/home/h.umland/chap9.htm
Al igual que el anterior, conceptos básicos de la trigonometŕıa esférica.
30 CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Caṕıtulo 3
EL PLANETA TIERRA
La Tierra, el lugar de origen de los seres humanos y, por supuesto, el sitio desde donde
contemplamos el universo, es un planeta que dista aproximadamente unos 150 millones de
kilómetros de una estrella de mediano tamaño que llamamos el Sol. Posee un único satélite
natural llamado la Luna, el cual está a unos 384 400 kilómetros de distancia. La Tierra es
de forma aproximadamente esférica, con un radio aproximado de 6378 kilómetros.
En orden de distancia al Sol la Tierra es el tercer planeta de dentro hacia fuera y realiza
una revolución en torno del Sol (movimiento de traslación) en un peŕıodo de tiempo que
llamamos año. La Tierra gira sobre śı misma (movimiento de rotación) en un peŕıodo que
llamamos d́ıa. Técnicas modernas revelan que nuestro planeta es supremamente antiguo:
posee, al igual que el sistema solar, una edad de 4600 millones de años.
La Tierra posee una tenue capa de gases que la rodean por completo denominada
atmósfera. Dicha atmósfera está conformada en su mayor parte de nitrógeno (78%) y ox́ıgeno
(21%), y cantidades muy pequeñas (1%) de otros gases tales como agua, bióxido de carbono,
argón, xenón, etc. El espesor de la atmósfera es ı́nfimo comparado con el radio del planeta,
pues aunque los especialistas tengan algunas diferencias con respecto a la demarcación de
sus ĺımites (algunos llegan a extenderla hasta los 2000 kilómetros), lo cierto es que ya a
una altura de los 120 kilómetros está contenido el 99.9% del peso total de la misma. Hasta
en el momento en que se escriben estas lineas la Tierra posee aún el honor de ser el único
planeta donde se ha gestado el fenómeno que llamamos vida. Pero es muy dudoso, a la luz
de recientes investigaciones, que siga siendo exclusivamente la poseedora de tan significativo
privilegio. Y no sólo ha generado vida: también ha dado origen a seres vivos autoconcientes
que poseen una curiosidad sorprendente por tratar de entender lo que los rodea.
Hasta hace unos cuantos años las observaciones astronómicas se haćıan exclusivamente
sobre la superficie de la Tierra lo que implicaba (y aún implica) multitud de inconvenientes
y desventajas: el movimiento diurno es el más obvio: los astros aparentemente se mueven de
oriente a occidente por lo que es necesario compensar dicho movimiento para poder rastrear
y observar adecuadamente los astros. La atmósfera absorbe muchas longitudes de onda de
31
32 CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
Masa 5.9736×1024 kg
Masa de la atmósfera 5.1×1018 kg
Masa de los océanos 1.4×1021 kg
Radio ecuatorial 6 378 140 m
Radio polar 6 356 755 m
Distancia media al Sol 1.496×1011 m = 1 u.a.
Densidad media 5515 kg m−3
Peŕıodo de rotación 1 d́ıa = 23h 56m 4.09s
Peŕıodo de traslación 1 año = 365.2421897 d
Temperatura superficial −35 a 50 oC
Tabla 3.1: Algunos datos del planeta Tierra
interés tales como los rayos X, los rayos gamma y la radiación ultravioleta; aquella radiación
que no es absorbida sufre de extinción atmosférica, lo que significa que la luz se dispersa
y se atenua al pasar por el aire. Además, el fenómeno de refracción atmosférica afecta la
dirección real de la luz que nos env́ıan los astros. Hoy en d́ıa se han colocado satélites
artificiales y se han mandado sondas a otros planetas, lo que ha incrementado de forma
espectacular el conocimiento que se teńıa previamente de cuerpos que sólo se observaban a
través de telescopios sobre el terreno.
3.1 Forma de la Tierra
Al igual que los otros planetas del sistema solar y la mayoŕıa de sus satélites, la Tierra posee
simetŕıa esférica, esto es, su forma es casi la de una esfera. La rotación de los planetas es
responsable de crear en el proceso de su formación una ligera acumulación de masa sobre el
ecuador, por lo que el radio en las vecindades de ese lugar es un poco mayor que en los polos.
En la Tierra la diferencia entre el radio en el ecuador y el radio en los polos es apenas de
21 385 metros. Aunque pueda parecernos un valor muy pequeño (0.3% del radio) el hecho
es que esa diferencia ha de ser tenida en cuenta en la conformación de mapas, en el cálculo
de eclipses, estimación de trayectorias de satélites, etc.
La ciencia que se ocupa de estudiar la figura geométrica precisa de la Tierra, los métodos
que emplea y su significado es llamada geodesia. Antes de 1957, esto es, antes del advenimien-
to de los satélites artificiales, el trabajo geodésico se realizaba por métodos de triangulación
y de gravimetŕıa hechos sobre el terreno. Con la utilización de satélites artificiales ha sido
posible incrementar mucho más nuestro conocimiento sobre la forma verdadera de nuestro
planeta.
Nos consta que nuestro planeta posee una superficie continental de gran diversidad de
formas y variaciones. Accidentes geográficos tales como montañas abruptas y escarpadas se
ubican en ocasiones al lado de grandes llanos y praderas. Sin embargo, el planeta Tierra está
cubierto, en más de un 70%, por agua,una sustancia fluida que como tal tiende a ajustar
3.1. FORMA DE LA TIERRA 33
GEOIDE
ELIPSOIDE
TOPOGRAFIA
Figura 3.1: Geoide, elipsoide (esferoide) y forma verdadera de la Tierra
fácilmente su superficie normal a la dirección de la gravedad. Ello quiere decir que en buena
medida la superficie de nuestro planeta puede describirse en términos del nivel medio de los
océanos que la cubren en un buen porcentaje. Se llama geoide a la figura geométrica que
busca representar la verdadera forma del planeta Tierra haciendo que la figura coincida con
el nivel medio de los océanos del mundo y continúe sobre las áreas continentales como una
superficie imaginaria (a nivel promedio del mar). El geoide tiene por definición la propiedad
de que cualquier lugar de su superficie debe ser perpendicular a la dirección de la fuerza de
la gravedad.
Figura 3.2: Una elipse rotando alrededor de su eje mayor da lugar al elipsoide de revolución
Rigurosamente hablando, el geoide es una superficie equipotencial dentro del campo
gravitacional terrestre. Ahora bien, en la práctica el geoide es imposible de identificar con
una figura geométrica sencilla, pues resulta siendo completamente irregular (ver figura 3.1).
Por ello se suele adoptar como figura geométrica apropiada —en muy buena aproximación—
un elipsoide de revolución, llamado también esferoide, cuya forma tridimensional resulta de
rotar por completo una elipse sobre su eje mayor, ver figura 3.2.
El geoide puede estar por encima o por debajo del elipsoide de revolución tanto como
unos 100 metros, diferencia llamada “ondulación del geoide”. Las ondulaciones más grandes
se registran en una depresión al sur de la India que alcanza los 105 metros y una elevación al
norte de Australia que alcanza los 75 metros. Un elipsoide de revolución o esferoide queda
determinado si se fija el radio ecuatorial a que juega el papel del semieje mayor del elipsoide,
y una relación llamada achatamiento f . El achatamiento está relacionado con el semieje
menor de dicho elipsoide que es el radio polar b (ver Tabla 3.1) a través de la relación:
b = a(1− f). (3.1)
34 CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
Con el avance de la técnica y la puesta a punto de métodos más precisos para medir las
dimensiones de la Tierra, se han establecido históricamente valores cada vez más refinados
de estas cantidades. Actualmente se recomienda la utilización de los valores fijados por la
Unión Astronómica Internacional (UAI) en 19791:
a = 6 378 140 metros,
f = (a− b)/a = 1/298.257.
Ahora bien, todos los cuerpos celestes giran sobre śı mismos, incluyendo por supuesto la
Tierra. El movimiento de rotación del planeta define instantáneamente una ĺınea imaginaria
que pasa por el centro del planeta la cual es llamada eje de rotación. Dicho eje de rotación
coincide en promedio con el eje del momento principal de inercia, llamado también eje de
figura. El eje de rotación y el eje de figura no coinciden exactamente puesto que el eje de
rotación se mueve lentamente alrededor del eje de figura en un movimiento cuasi-periódico
con una amplitud que oscila entre los 0.05 y 0.25 segundos de arco, lo que equivale a un
desplazamiento entre uno y ocho metros sobre la superficie de la Tierra. Dicho movimiento
se conoce con el nombre de movimiento polar . El astrónomo norteamericano Seth Carlo
Chandler encontró, en 1892, que el movimiento del polo es la resultante de la superposición
de dos componentes que poseen peŕıodos distintos: una componente, llamada ahora com-
ponente de Chandler, tiene una duración de 14 meses, y es una oscilación libre que surge
de la forma compleja de la Tierra; la otra componente es de 12 meses y es una oscilación
forzada originada por efectos meteorológicos tales como cambios estacionales2. La posición
del polo es la suma vectorial de estas dos componentes y describe una especie de espiral
irregular alrededor de un polo medio o promedio durante un ciclo de seis años. Puesto que
las magnitudes de las componentes pueden cambiar, el movimiento durante los ciclos no
es el mismo. Dado que este movimiento no puede ser predicho con precisión, es necesario
realizar observaciones regulares para ubicar la posición instantánea del eje de rotación.
Definido el eje de rotación de la Tierra podemos definir un plano perpendicular al mismo
de tal forma que pase por el centro de masa del planeta. La circunferencia que resulta de la
intersección de dicho plano con la superficie del esferoide es llamada ecuador terrestre (ET),
ver figura 3.3. Los puntos sobre la superficie del esferoide (i.e., sobre la superficie terrestre)
por donde emerge el eje de rotación son llamados polos terrestres . Aquel situado sobre el
hemisferio norte es llamado polo norte terrestre (PNT) en tanto que el otro es llamado polo
sur terrestre (PST). Nótese que al moverse el eje de rotación, también se están desplazando
ligeramente los polos. Obviamente el ET es completamente equidistante de ambos polos.
1Ello no significa que sea de utilización obligatoria por parte de todos los profesionales. Por ejemplo, en
navegación astronómica satelital las posiciones que da el GPS están con referencia al elipsoide WGS84.
2El movimiento polar hab́ıa sido predicho por el matemático suizo Leonhard Euler en 1765 utilizando
la teoŕıa dinámica y un modelo de la Tierra ŕıgida. Sus cálculos mostraron que la oscilación deb́ıa tener
un peŕıodo de 10 meses. En realidad el peŕıodo es cuatro meses mayor a causa de la elasticidad del manto
terrestre y del movimiento de los océanos, efectos que Euler no incluyó en su modelo.
3.2. COORDENADAS DE UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA35
PST
PNT
ECUADOR TERRESTRE
EJE DE ROTACION
Figura 3.3: Polos terrestres y ecuador terrestre
3.2 Coordenadas de un observador en la superficie de
la Tierra
Para fijar la posición de un observador sobre la superficie de la Tierra se utilizan tres tipos
de coordenadas:
- Coordenadas geocéntricas,
- Coordenadas geodésicas,
- Coordenadas geográficas (astronómicas).
Una descripción de cada uno de estos tipos de coordenadas se presenta a continuación.
3.2.1 Coordenadas geocéntricas
Este sistema de coordenadas tiene como origen el centro de masa de la Tierra. El plano
fundamental es, para los tres sistemas, el ecuador terrestre (ET).
Las coordenadas geocéntricas son:
φ′= latitud geocéntrica,
λ′= longitud geocéntrica,
ρ = distancia radial.
La latitud geocéntrica φ′ de un punto sobre la superficie terrestre es el ángulo existente
entre una ĺınea que pasa por el punto y el centro del planeta, y el ecuador terrestre.
La latitud geocéntrica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:
36 CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
−90o (90o S) ≤ φ′ ≤ 90o (90o N).
Nótese que:
φ′(PNT ) = 90
o, φ′(PST ) = −90o.
Para especificar en qué hemisferio de la superficie de la Tierra está ubicado el punto es
necesario adicionar un indicativo. Este consiste en agregar la letra N (norte) en el caso de
que el punto considerado esté en el hemisferio norte, de lo contrario se escribe la letra S
(sur). Sin embargo, en los cálculos trigonométricos que involucren la latitud es necesario
expresar la latitud expĺıcitamente con un signo negativo cuando el punto está ubicado en el
hemisferio sur.
ρ
φ
PST
PNT
ET
CENTRO DE LA TIERA
’
Figura 3.4: Latitud geocéntrica φ′
La longitud geocéntrica λ′ de un punto sobre la superficie terrestre es el ángulo medido
sobre el ecuador terrestre, desde el meridiano cero (o de referencia) hasta el meridiano del
punto correspondiente. La longitud puede medirse hacia ambos lados del meridiano cero,
haciéndose necesario en este caso especificar si el ángulo es al oeste (occidente) o si es al este
(oriente). Para tal fin utilizamos la notación siguiente: λ′E si el ángulo de longitud se mide
hacia el este del meridiano de referencia; λ′W si el ángulo de longitud se mide hacia el oeste
del meridiano de referencia. Se acostumbra a especificar lalongitud geográfica de tal forma
que nunca exceda los 180. Esto significa que si un punto posee una longitud λ′E = 200
o,
aunque enteramente válida, es conveniente escribir λ′W = 160
o. También se suele utilizar
un signo (+ o −) en frente de la longitud para especificar si un punto está hacia el este o al
oeste del meridiano de referencia. Se ha escogido el signo positivo (+) cuando la longitud se
toma hacia el este del meridiano de referencia; el signo negativo (−) se usa en caso contrario.
3.2. COORDENADAS DE UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA37
λE
ECUADOR TERRESTRE
M
ER
ID
IA
N
O
 D
E 
R
EF
ER
EN
C
IA
PST
PNT
φ
ρ
*
’
Figura 3.5: Latitud geocéntrica, longitud geocéntrica y la distancia radial
El meridiano cero o meridiano de referencia puede definirse de tal forma que atraviese
en principio cualquier lugar sobre la superficie de la Tierra. Sin embargo, desde el punto
de vista histórico, los meridianos de referencia definidos han pasado por los observatorios
astronómicos más notables de cada imperio o páıs. Fue aśı como el imperio británico definió
el meridiano de referencia como aquel que atraviesa el Observatorio Real de Greenwich, sien-
do Greenwich un municipio de Londres, Inglaterra. De la misma forma, Francia estableció
como meridiano de referencia aquel que atraviesa el Observatorio de Paŕıs y España hizo
lo propio con el Observatorio Real de San Fernando. Actualmente, el meridiano cero o de
referencia de uso general es, por acuerdo en una reunión internacional realizada en 1884, el
meridiano de Greenwich.
La distancia radial ρ de un punto sobre la superficie terrestre es la distancia en ĺınea
recta existente entre dicho punto y el centro de masa de la Tierra.
3.2.2 Coordenadas geodésicas
Este sistema de coordenadas descansa enteramente en un esferoide (elipsoide de revolución)
de referencia que hay que especificar de entrada. Un esferoide queda determinado, como
ya se dijo antes, cuando se adoptan valores espećıficos del radio ecuatorial terrestre a y
del achatamiento f (o un parámetro equivalente). La importancia de este sistema de co-
ordenadas radica en que la latitud geodésica es la que se encuentra en los mapas, atlas y
diccionarios geográficos.
38 CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
Las coordenadas geodésicas son:
φ = latitud geodésica,
λ = longitud geodésica,
h = altura sobre el esferoide.
La latitud geodésica φ de un punto sobre la superficie terrestre es el ángulo existente
entre la normal al esferoide en dicho punto y el ecuador terrestre, ver figura 3.6.
La latitud geodésica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:
−90o (90o S) ≤ φ ≤ 90o (90o N),
con:
φ(PNT ) = 90o, φ(PST ) = −90o.
La latitud geodésica φ puede llegar a diferir de la latitud geocéntrica hasta unos 11.5
minutos de arco a una latitud de 45o.
La longitud geodésica λ está definida de la misma forma que la longitud geocéntrica λ′,
de tal forma que λ = λ′.
NORMAL AL ESFEROIDE
TANGENTE AL ESFEROIDE
a
φ
ET
PST
PNT
h
CT
Figura 3.6: Latitud geodésica φ
La altura h de un observador sobre el elipsoide es la distancia sobre el esferoide medida
a lo largo de la normal a dicho esferoide. En primera aproximación se puede tomar h de un
determinado sitio como su altura sobre el nivel de mar.
En la tabla 3.2 se especifican varios esferoides de referencia de uso actual.
3.2. COORDENADAS DE UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA39
Nombre y fecha Radio ecuatorial a (metros) Achatamiento
WGS 84, 1984 6378137 1/298.257223563
MERIT, 1983 6378137 1/298.257
GRS 80, 1980 6378137 1/298.257222
UAI, 1979 6378140 1/298.257
Tabla 3.2: Algunos esferoides de referencia actuales
3.2.3 Coordenadas geográficas (astronómicas)
Cuando se determinan la latitud y la longitud mediante observaciones astronómicas, esto
es, con respecto al polo celeste y al meridiano local a través de la vertical local, a los valores
obtenidos de estos ángulos se les adiciona el adjetivo de geográficos (o también astronómicos).
La latitud geográfica (φ′′) de un punto sobre la superficie terrestre es el ángulo exis-
tente entre la dirección de la plomada (la vertical local) y el ecuador terrestre, ver figura
3.7. Puesto que la vertical local de un punto es afectada por las anomaĺıas gravitacionales
locales (montañas prominentes, depósitos subterráneos muy densos, etc.) y los campos
gravitacionales cambiantes de la Luna, el Sol y los océanos —lo que implica que la vertical
extendida hasta el centro de la Tierra no pasa por el centro del esferoide— existirá una
pequeña diferencia en dirección entre la vertical de dicho punto y la normal al esferoide (la
que define φ). La inclinación de la vertical local a la normal al esferoide de referencia se
conoce con el nombre de desviación de la vertical. Por lo tanto, lo que diferencia la latitud
geográfica de la latitud geodésica es la desviación de la vertical.
a
φ
ET
TANGENTE AL ESFEROIDE
NORMAL AL ESFEROIDE
DIRECCION DE LA PLOMADA
CT φ´´
PST
PNT
Figura 3.7: Latitud geográfica o astronómica
40 CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
La longitud geográfica (λ′′) de un punto sobre la superficie terrestre es el ángulo entre el
plano del meridiano astronómico de dicho punto y el plano del primer meridiano que pasa
por Greenwich. El meridiano astronómico es el plano que pasa por el observador y contiene
la vertical y una paralela a la dirección del eje de rotación. Como ya se dijo, la vertical de un
punto no necesariamente pasa por el centro del esferoide, por lo que el meridiano astronómico
no coincide por lo general con el meridiano geodésico (que śı pasa por el centro del esferoide).
De ah́ı que las longitudes geográfica y geodésica difieran entre śı por una pequeña diferen-
cia. En este libro supondremos que las tres definiciones de longitud son iguales: λ′ = λ = λ′′.
NOTA: La desviación de la vertical es por lo general un valor muy pequeño, de unos
cuantos segundos de arco, pero hay algunos lugares en los que se registra hasta un minuto de
arco. En este libro, como en la mayoŕıa de los libros de astronomı́a, no haremos diferencia
entre las coordenadas geodésicas y geográficas.
3.3 Unidades de longitud y su relación con las dimen-
siones terrestres
La unidad fundamental de longitud en el sitema métrico se llama metro (m). En 1795 el
gobierno francés decretó el uso de esta unidad para hacerlo lo más popular que se pudiera
pues entre las diferentes provincias se utilizaban distintas medidas. Para tal fin se nombró
una comisión cient́ıfica que al cabo de un tiempo fijó el uso del sistema decimal y definió
el metro como 1/10 000 de una cuarta parte del meridiano terrestre. Como quien dice, con
base en esta unidad de medida la circunferencia de la Tierra se estimaba en aquella época
en 40 000 metros exactamente.
Sólo en 1837 el sistema métrico decimal fue declarado obligatorio en Francia y paulati-
namente fue adoptado por casi todos los paises salvo los anglosagones quienes sólo recien-
temente lo han estado introduciendo progresivamente. Después, en 1875, la Convención del
Metro instituyó una Oficina Internacional de Pesos y Medidas cuya sede se fijó en Paŕıs
donde, en el pabellón de Breteuil se guardan el metro internacional (de platino e iridio),
como también el kilogramo internacional. Sin embargo, los avances incesantes de la técnica
obligaron a una redefinición del metro ya para comienzos de los años sesenta. Desde el
primero de enero de 1961 se define el metro como “la longitud igual a 1 650 763.73 veces la
longitud de onda en el vaćıo de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles
2p10 y 5d5 del átomo de criptón 86”.
Otra unidad de longitud, muy popular en los paises anglosajones, es la milla náutica. Ésta
se define como la distancia sobre un ćırculo máximo que subtiende un ángulo de un minuto
de arco en el centro de la Tierra. Por lo tanto, y de forma aproximada, podemos encontrar
fácilmente a qué equivale unamilla náutica. Puesto que una circunferencia comprende 360
grados, esto es, 360×60 = 21 600 minutos de arco, y estos deben dar alrededor de 40 000 000
m se desprende que una milla náutica debe equivaler a 1851 m. Ahora bien, como la Tierra
no es completamente esférica resulta que la milla náutica es distinta si se mide en el ecuador
3.4. TRANSFORMACIÓN ENTRE LATITUDES 41
que si se mide en los polos. Se ha tomado un valor promedio equivalente a 1852 metros.
Ha de tenerse cuidado con la posible confusión que pueda surgir entre la milla náutica y la
milla, donde ésta es una unidad de longitud utilizada en caminos y rutas, que equivale a
1609 metros.
3.4 Transformación entre latitudes
Aqúı supondremos que la latitud geográfica (o astronómica) (φ′′) se puede aproximar a la
latitud geodésica (φ) por lo que sólo nos ocuparemos de la relación entre ésta y la latitud
geocéntrica (φ′).
y
φ φ
x
’
a
x
b y
Figura 3.8: Relación entre latitud geocéntrica y geodésica
Observemos la figura 3.8 donde están relacionadas las latitudes en cuestión. Es evidente
que:
tanφ′ =
y
x
. (3.2)
Por otro lado, la ecuación de una elipse con centro en el origen y cuyo eje mayor a está
ubicado sobre el eje x y el eje menor sobre el eje y es:
x2
a2
+
y2
b2
= 1. (3.3)
De ésta se deduce que la tangente a cualquier punto de la elipse, denotada por dydx , es:
dy
dx
= −x
y
b2
a2
.
42 CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
Ahora bien, aquella recta normal a la tangente del elipsoide tiene como pendiente −dxdy ,
pero a su vez dicha pendiente viene dada por tanφ. De ello resulta que
tanφ =
y
x
a2
b2
, (3.4)
que al comparar con (3.2) da:
tanφ =
a2
b2
tanφ′,
o, teniendo en cuenta la relación entre a y b (ver ecuación 3.1, pág. 33) se obtiene:
tanφ =
1
(1− f)2 tanφ
′. (3.5)
Procedamos ahora a encontrar una relación entre la distancia radial ρ y la latitud
geodésica φ.
La excentricidad e de un elipsoide está definida por la siguiente relación entre el semieje
mayor y menor (ver sección 11.2.1, pág. 212):
e2 = 1−
(
b
a
)2
. (3.6)
Puesto que el achatamiento f puede escribirse de la forma f = 1 − b/a, entonces al
comparar con (3.6) se deduce:
e =
√
f(2− f). (3.7)
De la ecuación (3.3) obtenemos:
x2 = a2 − a
2
b2
y2,
y de (3.4):
y2 =
x2b4tan2 φ
a4
,
entonces:
x2 = a2 − x
2b2tan2 φ
a2
.
Al despejar x2 obtenemos:
x2 =
a2
1 + b2a2 tan
2 φ
,
o, teniendo en cuenta la ecuación (3.6):
x2 =
a2cos2 φ
1− e2 sen2 φ. (3.8)
3.4. TRANSFORMACIÓN ENTRE LATITUDES 43
Un procedimiento similar permite encontrar:
y2 =
a2(1− e2)2 sen2 φ
1− e2 sen2 φ . (3.9)
La distancia radial ρ está relacionada con x y y mediante:
ρ2 = x2 + y2,
que al tener en cuenta (3.8) y (3.9) nos da la relación buscada:
ρ = a
√
1− e2(2− e2) sen2 φ
1− e2 sen2 φ , (3.10)
la cual representa la distancia desde el centro del planeta hasta la superficie del elipsoide.
La distancia geocéntrica para un observador ubicado a una altura h con respecto al nivel
del mar se halla, en muy buena aproximación, sumando h al valor de ρ con las unidades
pertinentes.
Ejemplo 1
Calcular la latitud geocéntrica φ′ y la distancia geocéntrica de un punto cerca de la
población de Ciénaga (Magdalena) con las siguientes coordenadas geodésicas: φ = 11o1′34′′,
λ = 74o15′35′′ y h =122 metros sobre el nivel medio del mar.
Solución
Tomaremos como elipsoide de referencia el recomendado por la UAI en 1979: a =
6 378 140 m y f = 1/298.257 = 0.0033528. De la ecuación (3.5) obtenemos:
tanφ′ = (1− f)2 tanφ = (1− 0.0033528)2 tan(11o1′34′′) = 0.1935489.
Entonces:
φ′ = tan−1(0.1935489) = 10o57′15′′.
Procedemos ahora a calcular la excentricidad e del elipsoide. Utilizando la fórmula (3.7)
tenemos:
e =
√
0.0033528× (2− 0.0033528) = 0.0818191.
Encontramos para ρ de acuerdo con (3.10):
ρ = a×
√
1− (0.0818191)2 × (2− 0.08181912)× sen2 (11o1′34′′)
1− 0.08181912 × sen2 (11o1′34′′) ,
ρ = 0.9998783× a = 6 377 364 m.
Sumando el valor de la altura h obtenemos por fin:
ρ = 6377364 + 122 = 6 377 486 m.
44 CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
Ejemplo 2
Calcular la latitud geodésica φ y la altura h a la que se encuentra un determinado
observador con los siguientes valores: φ′ = 6o54′43′′, ρ = 0.9999765.
Solución
Como en el ejemplo anterior, tomaremos como elipsoide de referencia el recomendado
por la UAI en 1979: a = 6 378 140 m y f = 1/298.257 = 0.0033528, e = 0.0818191. De la
ecuación (3.5):
tanφ =
tanφ′
(1− f)2 =
tan(6o54′43′′)
(1− 0.0033528)2 = 0.1220418.
Entonces:
φ = tan−1(0.1220418) = 6o57′29′′.
Encontramos para ρ (la distancia a la superficie del elipsoide) de acuerdo con (3.10):
ρ = a×
√
1− (0.0818191)2 × (2− 0.08181912)× sen2 (6o57′29′′)
1− 0.08181912 × sen2 (6o57′29′′) ,
ρ = 0.9999512× a.
Por lo tanto, la altura h sobre la superficie del mar, en unidades del radio terrestre a, es:
h = 0.9999765− 0.9999512 = 0.0000253,
lo que en unidades de metros es h = 0.0000741× 6 378 140 = 161 m.
NOTA: En la gran mayoŕıa de los libros de astronomı́a se acostumbra a presentar la
relación entre la latitud geocéntrica φ′ y la geodésica φ y la distancia radial ρ en función de
φ por medio de una serie trigonométrica. La deducción de tales fórmulas no es complicada
pero śı algo elaborada. Damos las expresiones (a la centésima del segundo de arco) sólo a
manera de referencia:
φ′ = φ− 11′32.74′′ sen 2φ+ 1.16′′ sen 4φ, (3.11)
ρ = a(0.99832707 + 0.00167644 cos 2φ− 0.00000352 cos 4φ). (3.12)
LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS
• Seidelmann, P.K. (1992), Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, University
Science Books, Mill Valley.
La obra indispensable que expone sin entrar en la rigurosidad las modernas teoŕıas y métodos
de la astronomı́a de posición actual. Aunque se supone que es un suplemento del Astronomical
Almanac, es de todas formas un excelente libro para comprender con extensión muchos tópicos
de la astronomı́a moderna. El caṕıtulo 4 cotiene una completa descripción acerca de las
coordenadas terrestres.
3.4. TRANSFORMACIÓN ENTRE LATITUDES 45
• Long, S. A. (1974) Derivation of Transformation Formulas Between Geocentric and Geodetic
Coordinates for Nonzero Altitudes, NASA TN-7522, Washington.
Este art́ıculo técnico contiene desarrollos algebráicos que permiten encontrar fórmulas útiles
entre la latitud geocéntrica y geodésica
• Smart, W. M. (1965) Text-Book on Spherical Astronomy, Cambridge University Press, Cam-
bridge.
En su caṕıtulo IX posee una excelente descripción de la relación matemática entre φ′ y φ.
• The Astronomical Almanac, U.S. Goverment Printing Office, Washington.
En sus reciente versiones describe algunos geoides de referencia aśı como fórmulas para el
cálculo de reducciones.
• http://164.214.2.59/GandG/geolay/toc.htm
En esta hoja electrónica se encuentran conceptos básicos de geodesia.
• http://www.globalserve.net/~nac/city.html
Aqúı se encuentran las latitudes y longitudes de más de dos mil ciudades en el mundo.
• http://maia.usno.navy.mil/
Información actualizada con emisión de reportes periódicos sobre el movimiento del polo aśı
como de la introducción de segundos bisiestos.
46 CAPÍTULO 3. EL PLANETA TIERRA
Caṕıtulo 4
LA BÓVEDA CELESTE
Imaginemos cómo es la visión del cielo para un observador que flota en el espacio sideral
ubicado entre las estrellas, lejos de la superficie de un planeta o de cualquier otro cuerpo
celeste. Dado que las distancias entre las estrellas, e incluso entre los planetas, son tan
extraordinariamente enormes, el observador se enfrenta a algo que con los objetos coti-
dianos de nuestra experiencia diaria es muy dif́ıcil de observar: al contemplar los cuerpos
celestes el sentido de percepción de profundidad y de estimación de distancia desaparece.
Y al carecer de sentido de profundidad y de perspectiva, todos los cuerpos celestes dan la
ilusión óptica de estar adheridos a una superficie, la cual, al extenderse a todas direcciones,
crea el engaño de conformar una esfera perfectaque rodea por completo al espectador, es-
to es, el observador siente que está ubicado en el centro de dicha esfera ilusoria, ver figura 4.1.
OBSERVADOR
BOVEDA CELESTE
Figura 4.1: Observador flotando en el espacio
Para este observador, (y para cualquier otro observador en el universo) la visión aparente
del cielo es la de estar ubicado en el centro de una gran esfera de color negro salpicada con
puntos o manchones luminosos distribuidos al azar. Para él, todas las estrellas, planetas,
47
48 CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
satélites, etc., parecen estar adheridos a la superficie de esa esfera negra.
La esfera ilusoria en la que los cuerpos celestes aparecen adheridos como si estuvieran
todos a la misma distancia del observador (éste ubicado exactamente en medio de ella) y
sobre la cual es posible aplicar las propiedades de los triángulos esféricos se conoce con el
nombre de bóveda celeste.
Pero ahora imaginemos que ese observador esté situado sobre la superficie de un planeta,
digamos la Tierra (ver figura 4.2). Nuestro planeta, comparado con objetos corrientes, o
con nosotros mismos, es un objeto de dimensiones colosales. Este simple hecho hace que
cualquier persona que observe el cielo contemple (suponiendo que no existen nubes, ni otros
objetos naturales o artificiales que estorben su visión) el siguiente panorama: él, ubicado en
el centro de un gran disco rodeado de forma simétrica por una enorme cúpula semiesférica
(media esfera) de color azul (en el d́ıa) o negra con puntos luminosos (en la noche).
SECTOR DE LA BOVEDA CELESTE
VISIBLE AL OBSERVADOR
SECTOR DE LA BOVEDA CELESTE
NO VISIBLE AL OBSERVADOR
PLANETA
Figura 4.2: Observador situado en la superficie de un planeta
Lo importante aqúı es recalcar el hecho de que es el borde de ese disco aparente (el
horizonte) lo que le demarca al observador qué es lo que puede observar de la bóveda celeste
y qué no (ver figura 4.3). En otras palabras: el estar ubicado en la superficie de un planeta
implica que un observador no puede contemplar sino apenas la mitad del cielo para un ins-
tante dado: el mismo planeta impide observar la otra mitad. Esto sigue siendo más o menos
válido para observadores que están ligeramente alejados de la superficie de la Tierra, como
un piloto ubicado en un avión de reacción o un astronauta situado en una estación espacial
a varios centenares de kilómetros de altura.
Al observar la bóveda celeste de d́ıa, esto es, cuando el Sol es visible para el observador,
notamos que el cielo es de un color azul. De d́ıa las estrellas y los planetas son imposibles de
49
HORIZO
NTE
Figura 4.3: Origen del concepto de horizonte
observar en condiciones ordinarias (en ciertas situaciones muy favorables es posible observar
el planeta Venus, o pueden observarse las estrellas más brillantes en la breve duración de
un eclipse total de Sol). En ausencia de la luz solar el cielo adopta una coloración negra y
aquellos astros que pasan desapercibidos en el d́ıa comienzan a observarse, como los planetas
y las estrellas.
Un observador ubicado lejos de la superficie de un planeta no tiene ningún tipo de in-
conveniente en observar el 100% del cielo que lo rodea por completo. Estrellas, planetas, el
Sol y la Luna están al alcance de su visión de manera permanente. Sólo tiene que dirigir
la mirada en la dirección que le llame la atención. Pero la situación cambia drásticamente
cuando se está en la superficie de un planeta, un satélite o un asteroide. Como veremos más
adelante, no es lo mismo observar el cielo si se está ubicado en los polos del planeta o en su
ecuador. Existirán lugares en la superficie de la Tierra en donde para ciertas épocas del año
no es posible observar el Sol durante el d́ıa, otros en los cuales se ve durante las 24 horas
del d́ıa, etc.
El precio que se ha de pagar por estar observando la bóveda celeste desde la superficie
de un planeta, satélite, asteroide o cometa es que debido a la rotación de éstos alrededor
de un eje, las estrellas y objetos conspicuos como una estrella cercana (por ejemplo el Sol),
se moverán con respecto al horizonte. La magnitud de dicho movimiento y su dirección
dependerá del tipo de movimiento de rotación que tenga el objeto desde donde se hace la
observación. La Tierra posee un movimiento de rotación en el sentido oeste-este de tal forma
que describe una revolución completa en 24 horas. Este movimiento del planeta sobre su
eje es visualizado por un observador ubicado sobre su superficie como un movimiento de la
bóveda celeste en dirección este-oeste (la direccion contraria en la que rota el planeta) la
cual describe una vuelta completa alrededor de la Tierra en 24 horas. En la sección 6.1 se
50 CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
PNT
PST
PSC
PNC
ET
M
ER
ID
IA
N
O
 C
EL
ES
TE
EC
TIERRA
Figura 4.4: Definiciones sobre la bóveda celeste
ampliará este tema con más detalle.
A menos que estemos en un viaje interplanetario o interestelar —circunstancia que de-
safortunadamente no es común dado nuestro actual estado tecnológico— en adelante nos
concentraremos en la forma como un observador, ubicado sobre la superficie de un planeta,
contempla aparentemente el cielo. Para ello necesitamos introducir unos conceptos básicos
para nuestro estudio.
4.1 Conceptos fundamentales
Como ya se dijo atrás, la bóveda celeste es aquella esfera ilusoria que resulta del hecho de
que, aparentemente, los cuerpos celestes se hallan ubicados sobre un fondo de color negro,
(o azul si es de d́ıa) dando la impresión de que dicha superficie es de hecho real y que el
observador es el centro de la misma. Por mucho tiempo los astrónomos antiguos creyeron
que la bóveda celeste era real, y que sobre la misma estaban ubicadas las estrellas, de tal
forma que todas estas estaban a la misma distancia de la Tierra.
Bien puede uno estar tentado a asignar un determinado valor al radio de la bóveda ce-
4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 51
MERIDIANO DEL
OBSERVADOR
HORIZONTE
φ
W
C
C’
PSC
N
E
(CENIT)
(NADIR)
PNC
S
Figura 4.5: Meridiano del observador
leste. De hecho, es claro que si se le ha de asignar un radio éste debe ser muy grande, incluso
infinito. Sin embargo, en astronomı́a esférica dicho radio se adopta igual a la unidad con lo
que se obtienen enormes ventajas a la hora de poder describir con detalle la posición de los
astros sobre ella.
A continuación definimos sobre la bóveda celeste los siguientes conceptos:
- El polo norte celeste (PNC) y el polo sur celeste (PSC) son puntos que resultan de
la intersección del eje de rotación terrestre con la esfera celeste. Nótese que esto equivale
a tomar los polos terrestres, ubicados en el eje de rotación, y proyectarlos sobre la bóveda
celeste (ver figura 4.4).
- El ecuador celeste (EC) es aquella circunferencia máxima que resulta de la intersección
del plano que contiene al ecuador terrestre (ET) con la esfera celeste. La introducción del
ecuador celeste permite dividir la esfera celeste en dos hemisferios: el hemisferio norte celeste
(que contiene el polo norte celeste) y el hemisferio sur celeste.
- Los meridianos celestes son semicircunferencias máximas que pasan por los polos ce-
lestes PNC y PSC. Como el lector habrá notado, el concepto de meridiano celeste resulta
de la proyección de los meridianos terrestres en la bóveda celeste.
52 CAPÍTULO 4. LA BÓVEDA CELESTE
Los anteriores conceptos son independientes de la posición del observador. Definimos
ahora los siguientes conceptos:
- El cenit (o zenit) (C) de un observador es el punto de la esfera celeste que está situado
directamente sobre el observador. En un sentido literal, decimos que el cenit es aquel punto
imaginario en la bóveda celeste que está ubicado directamente encima de la cabeza del ob-
servador.
- El nadir (C′) de un observador es el punto de la esfera celeste que es diametralmente
opuesto a C. El nadir es entonces aquel punto imaginario en la bóveda celeste que está
directamente