Geometria Analítica Tridimensional

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Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
 
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Índice de contenidos 
Introducción .................................................................................................................................................. 3 
4.1 Definición de sistema de coordenadas tridimensional ........................................................................... 4 
4.2 Fórmula de distancia y el punto medio entre dos puntos en el espacio ................................................ 4 
4.2.1 La esfera y sus ecuaciones ............................................................................................................... 6 
4.3 Gráfica de una ecuación en tres variables .............................................................................................. 7 
4.4 Rectas y planos en el espacio .................................................................................................................. 8 
4.4.1 Rectas en el espacio ......................................................................................................................... 8 
4.2.2 Planos en el espacio ....................................................................................................................... 11 
4.2.3 Trazado de planos en el espacio .................................................................................................... 12 
4.5 Cilindros y superficies cuadráticas ........................................................................................................ 15 
4.5.1 Definición de cilindro ..................................................................................................................... 15 
4.5.2 Definición de superficies cuádricas ................................................................................................ 15 
4.5.3 Clasificación de las superficies cuádricas ....................................................................................... 16 
5.5.4 Resumen de superficies cuádricas ................................................................................................. 21 
4.6 Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas ................................................................................... 24 
4.6.1 Sistema de coordenadas cilíndricas ............................................................................................... 24 
4.6.2 Coordenadas esféricas ................................................................................................................... 27 
Bibliografía .................................................................................................................................................. 30 
 
 
Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
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Introducción 
Hasta el momento nuestro estudio había estado centrado en el plano bidimensional (coordenadas 
rectangulares y coordenadas polares), pero de ahora en adelante nos adentraremos al estudio de figuras 
que requieren una dimensión adicional, y por eso estaremos estudiando la geometría en tres dimensiones 
o geometría espacial. 
Esta nueva dimensión nos permitirá ir más allá del espacio euclidiano, por lo tanto, podremos definir qué 
es un espacio tridimensional y así comprender todas las figuras que se encuentran en el espacio 
tridimensional que en que nos encontramos. 
Es importante resaltar que comprender el sistema de coordenadas tridimensional nos permite ampliar 
nuestro estudio del cálculo, debido a que podremos analizar las funciones de más de una variable, es decir, 
que estaremos trabajando con funciones de varias variables. 
El sistema de coordenadas tridimensional es ampliamente utilizado en diversos campos como la 
geometría, la física, la ingeniería, la informática gráfica y la navegación. Una ventaja muy notoria es que 
nos permite la representación y el cálculo preciso de la posición de objetos en el espacio tridimensional, 
lo cual es fundamental para el modelado, la visualización y el análisis de sistemas y estructuras en tres 
dimensiones. 
 
4 
 
4.1 Definición de sistema de coordenadas tridimensional 
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye haciendo pasar por el origen de los ejes x y y
un eje z perpendicular a estos dos (como se observa en la Figura 1). Tomados por pares, estos ejes 
determinan tres planos coordenados: plano ,xy plano xz y el plano yz . Estos tres planos coordenados 
dividen el espacio tridimensional en octantes. El primer octante es aquel que tiene las tres coordenadas 
positivas. En este sistema, un punto se escribe como P en el espacio se determina por una terna ordenada 
( ), ,x y z donde , x y y z son:1 
 
Figura 1. Sistema de coordenadas tridimensional 
Observando la Figura 1 se puede concluir que los tres ejes de coordenadas tomados como pares 
ordenados determinan los tres planos coordenados: 
✓ el plano xy (horizontal), donde 0;z = 
✓ el plano yz (vertical), donde 0x = y 
✓ el plano xz (vertical, donde 0.y = 
 4.2 Fórmula de distancia y el punto medio entre dos puntos en el espacio 
Dado que el sistema de coordenadas en tres dimensiones no es más que la generalización del sistema de 
coordenadas en dos dimensiones, entonces podemos extender el uso de las fórmulas en tres dimensiones. 
Una forma palpable es cuando nos vemos en la necesidad de determinar la distancia entre dos puntos en 
el espacio, donde utilizamos el teorema de Pitágoras dos veces. Dados dos puntos ( )1 1 1 1
, ,P x y z= y 
 
1 Larson, Cálculo Esencial 
x = distancia dirigida que va del plano yz a P 
y = distancia dirigida que va del plano xz a P 
z =distancia dirigida que va del plano xy a P 
 
 
 
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( )2 2 2 2
, , ,P x y z= entonces la distancia entre ambos puntos podemos determinarla mediante la 
siguiente fórmula 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + − 
De la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio se deriva la fórmula del punto medio entre 
dos puntos dados. Sean ( )1 1 1 1
, ,P x y z= y ( )2 2 2 2
, ,P x y z= los extremos de un segmento de recta, 
entonces el punto medio ( )1 2 3
, ,M m m m= tiene las coordenadas 
1 2 1 2 1 2
1 2 3, , 
2 2 2
x x y y z z
m m m
+ + +
= = = 
Ejemplo 1. Dados los puntos ( )1
4,8,3P = y ( )2
6,4,5 .P = Determine la distancia entre ambos puntos 
y las coordenadas del punto medio. 
Primero procedemos a encontrar la distancia entre los dos puntos mediante la fórmula 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 2 6 4 4 8 5 3 2 4 2 4 16 4 24d PP= = − + − + − = + − + = + + = 
Ahora procedemos a calcular las coordenadas del punto medio entre los puntos dados 
1 2 1 2 1 2
1 2 3, , 
2 2 2
x x y y z z
m m m
+ + +
= = = 
1 2 3
4 6 10 8 4 12 3 5 8
5, 6, 4
2 2 2 2 2 2
m m m
+ + +
= = = = = = = = = 
Entonces el punto medio tiene las coordenadas ( )5,6,4 . 
 
 
6 
 
4.2.1 La esfera y sus ecuaciones 
Definición. La superficie esférica se define como el lugar geométrico de los puntos del espacio que 
equidistan de un punto fijo. La distancia constante recibe el nombre de radio y el punto fijo centro. 
(Lehmann). En la Figura 2 se puede observar una esfera con centro en el origen y radio 1. 
 
Figura 2. Esfera con centro en el origen 
Tomando como base la definición anterior podemos obtenemos el siguiente teorema. 
Teorema 1. Ecuación de la esfera 
 
La ecuación de la esfera cuyo centro es el punto ( ), ,h k l y su radio es la contante r viene dada por 
 ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 ~ (3)x h y k z l r− + − + − = 
 
Esta expresión (3) recibe el nombre de ecuación canónica de la esfera. 
 
Caso especial. Si 0,h k l= = = la superficie esférica entonces tiene su centro en el origen y la ecuación 
(3) se transforma en 
 
2 2 2 2 ~ (4)x y z r+ + = 
 
Desarrollamos la ecuación(3) y reorganizamos los términos, esta se transforma en la siguiente ecuación 
 
2 2 2 0 ~ (5)x y z Gx Hy Iz K+ + + + + + = 
 
La ecuación (5) recibe el nombre ecuación general de la esfera. Esta contiene cuatro constantes 
independientes, por lo que, una superficie esférica queda determinada por cuatro puntos no coplanares. 
 
Ejemplo 2. Escribe la ecuación estándar de la esfera cuyo centro viene dado por el punto ( )2, 3, 6− − − 
y su radio es 5. 
 
Utilizando la ecuación estándar de la esfera obtenemos que 
 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
22 2 2
2 3 6 5x y z− − + − − + − − = 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 6 5x y z+ + + + + = , esta es la ecuación buscada 
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Ejemplo 3. Determine el centro y el radio de la esfera cuya descrita por la ecuación 
2 2 2 12 14 8 1 0.x y z x y z+ + − + − + = 
Para encontrar el centro y el radio de la esfera, procederemos a completar cuadrado. 
2 2 212 14 8 1x x y y z z− + + + − = − 
2 2 212 36 36 14 49 49 8 16 16 1x x y y z z− + − + + + − + − + − = − 
( ) ( ) ( )
2 2 2
6 36 7 49 4 16 1x y z− − + + − + − − = − 
( ) ( ) ( )
2 2 2
6 7 4 1 36 49 16x y z− + + + − = − + + + 
( ) ( ) ( )
2 2 2
6 7 4 100x y z− + + + − = 
El centro de la esfera dada es el punto ( )6, 7,4− y su radio es 10. 
 
Figura 3. Esfera con centro no en el origen 
4.3 Gráfica de una ecuación en tres variables 
Definición. La gráfica de una ecuación en tres variables , x y y z es el conjunto de todos los puntos en el 
espacio con coordenadas rectangulares que satisfacen la ecuación. En general, la gráfica de una ecuación 
en tres variables es una superficie bidimensional en 
3R (espacio tridimensional con coordenadas 
rectangulares). (Purcell). 
8 
 
4.4 Rectas y planos en el espacio 
4.4.1 Rectas en el espacio 
En nuestro estudio de una función en una variable aprendimos que una recta queda determinada por un 
punto y otro valor que llamamos pendiente de la recta. En el espacio, donde analizaremos las funciones 
en más de una variable, una recta queda definida por un punto y un vector que indica la dirección de ella. 
Asumiendo que L es una recta en el espacio que pasa por el punto ( )0 0 0 0
, ,P x y z y que es paralela a un 
vector 1 2 3v i j k.v v v= + + Entonces L es el conjunto de todos los puntos ( ), ,P x y z tal que 
0
P P es 
paralelo a v , ver la Figura 4. Así, donde t es un parámetro escalar. El valor de t depende de la posición 
del punto P a lo largo de la recta, y el dominio de t es ( ),−  (Thomas, 2006). 
 
Figura 4. Recta en el espacio que pasa por un punto 
Ahora veremos la ecuación de la recta tanto desde su forma vectorial como paramétrica. Es importante 
recordar que, dado que este no es un curso de Cálculo Vectorial, nuestro enfoque estará dirigido 
especialmente a analizar la ecuación de la recta en el espacio desde la estructura paramétrica. 
Teorema 2. Ecuación vectorial de una recta 
La ecuación vectorial de una recta L que pasa por el punto ( )0 0 0 0
, ,P x y z paralelo a un vector v es 
( ) 0r r v, , ~ (5)t t t= + −    
donde r es el vector de posición de un punto ( ), ,P x y z en L y 0r es el vector de posición de un vector 
( )0 0 0 0
, , .P x y z (Thomas, 2006). 
La ecuación (5) puede escribirse de una forma más desarrollada como 
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( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1 2 3i j k i j kx x y y z z t v v v− + − + − = + + 
Si hacemos una igualación del lado izquierdo con el lado derecho de la ecuación de arriba, obtenemos tres 
ecuaciones escalares con el parámetro .t Este resultado nos lleva al siguiente teorema. 
Teorema 3. Ecuaciones paramétricas de una recta 
La parametrización estándar de la recta L que pasa por ( )
0 0 0 0
, ,P x y z y que es paralela a 
1 2 3v i j kv v v= + + es 
0 1 0 2 0 3, , , ~ (6)x x tv y y tv z z tv t= + = + = + −    
En caso que los números de dirección no sean todos iguales a cero, podemos eliminar el parámetro t y así 
obtenemos las ecuaciones simétricas de la recta en el espacio. 
0 0 0
1 2 3
 ~ (7)
x x y y z z
v v v
− − −
= = Ecuaciones simétricas 
Teorema 3. Distancia de un punto a una recta en el espacio 
La distancia de un punto Q a una recta en el espacio se calcula mediante la expresión 
u
u
PQ
D

= 
donde u es un vector de dirección de la recta y P es un punto de la recta. 
Demostración: 
Para realizar la demostración nos auxiliaremos nuestro conocimiento trigonométrico básico. 
 
Figura 5. Distancia de punto a una recta 
 
Procedemos a calcular el seno del ángulo formado entre 
los vectores PQ y u 
D
sen D PQ sen
PQ
 = → = 
Por lo aprendido del producto vectorial sabemos que 
 
 u u uPQ sen PQ PQ =  =  
dividiendo la expresión anterior entre u , nos queda 
10 
 
u
u
PQ
PQ sen

= , por tanto, la distancia viene dada por 
u
u
PQ
D

= , entonces QED. 
Ejemplo 4. Determine el conjunto de ecuaciones paramétricas y simétricas para la recta a través de los 
puntos ( ) ( )2,3,0 , 10,8,12 . 
Para construir la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados necesitamos primero determinar el 
vector de dirección de ella. 
( ) ( ) ( )v 10 2 , 8 3 , 12 0 8,5,12PQ= = − − − = 
Ahora aplicamos el teorema 3, donde 0 1 0 2 0 3, , zx x v t y y v t z v t= + = + = + 
2 8 , 3 5 , z 12x t y t t= + = + = este es el conjunto de ecuaciones paramétricas 
Para encontrar el conjunto de ecuaciones simétricas despejamos al parámetro t 
El conjunto de ecuaciones simétricas de la recta es 
2 3
=
8 5 12
x y z− −
= 
Ejemplo 5. Dado el punto ( )1, 4, 2− encuentre la distancia entre este y la recta del ejemplo 4. 
De acuerdo al teorema 3, la distancia entre un punto y una recta en el espacio se calcula mediante la 
fórmula 
u
u
PQ
D

= 
El vector de dirección de la recta del ejemplo anterior es u 8,5,12= 
Para saber un punto por donde pasa la recta solo hay que igualar a cero al parámetro 𝑡, pero en el caso 
nuestro no es necesario, porque ya conocemos un punto a través de donde la recta pasa. En este caso 
vamos a tomar el punto ( )2,3,0 . 
Procedemos a calcular el vector PQ 
( ) ( ) ( )( )2 1 , 3 4 , 0 2 1, 1,2PQ = − − − − = − 
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Ahora realizamos el cálculo vectorial entre el vector de dirección de la recta y el vector PQ 
i j k
1 2 1 2 1 1
u 1 1 2 i j k
5 12 8 12 8 5
8 5 12
PQ
− −
 = − = − + 
( ) ( ) ( )u i j k12 10 12 16 5 8PQ  = − +− − − + 22i 4 j 13k= − + + 
( ) ( ) ( )
2 2 2
u 22 4 13 669PQ  = − + + = 
( ) ( ) ( )
2 2 2
u 8 5 12 233= + + = 
Dividiendo los dos resultados anteriores tenemos que la distancia entre el punto dado y la recta es 
669
1.69
233
D = = 
4.2.2 Planos en el espacio 
Cuando iniciamos el estudio de la recta en el espacio observamos que esta queda definida por un vector 
de dirección y un punto de ella. En lo referente a un plano en el espacio este queda determinado por un 
punto del plano y un vector normal (perpendicular) al plano. 
Teorema 4. Ecuación estándar de un plano en el espacio 
El plano que contiene el punto ( )1 1 1
, ,x y z y tiene un vector normal n , ,a b c= puede representarse 
en forma estándar, mediante la ecuación (Larson, 2010) 
( ) ( ) ( )1 1 1
0 ~ (8)a x x b y y c z z− + − + − = 
Desarrollando la expresión (8) tenemos lo siguiente 
1 1 1
0ax ax by by cz cz− + − + − = 
1 1 1
0,ax by cz ax by cz+ + − − − = 
ahora asumimos que 
1 1 1
,ax by cz d− − − = por tanto, la ecuación queda escrita como sigue 
0 ~ (9)ax by cz d+ + + = Forma general de la ecuación del plano 
12 
 
 En el espacio tridimensional dos planos pueden ser paralelos o se intersecan en una recta. Si se 
intersecan, se puede determinar el ángulo 0
2

 
 
 
 
 formado entre ellos a partir del ángulo entre sus 
vectores normales. Si conocemos los vectores1n y 2n vectores normales a los dos planos, podemos 
calcular el ángulo entre ambos planos mediante la fórmula 
1 2
1 2
n n
arccos
n n
 ~ (10)

=
 
 
 
 Ángulo entre dos planos 
Es importante recordar que dos planos que tienen vectores normales 1n y 2n son: 
1. perpendiculares si 1 2n n 0 = 
2. paralelos si 1n es múltiplo escalar de 2n . 
4.2.3 Trazado de planos en el espacio 
Si un plano en el espacio intersecta uno de los planos coordenados, la recta de intersección recibe el 
nombre de traza del plano dado en el plano coordenado (Larson, 2010). Para dibujar un plano en el 
espacio, es conveniente determinar sus puntos de intersección con los ejes coordenados y sus trazas en 
los planos coordenados. 
A continuación, vamos a desarrollar la metodología para hallar las trazas de un plano 
Sea 0,ax by cz d+ + + = las trazas las encontramos mediante los siguientes pasos: 
1. la traza 0xy z→ = y la ecuación del plano se transforma en 0.ax by d+ + = Esta recta 
intersecta al eje x en el punto ( ),0,0a y al eje y en el punto ( )0, ,0 ;b 
2. la traza 0,yz x→ = la ecuación del plano se convierte en la ecuación de la recta 
0.by cz d+ + = Esta recta intersecta al eje y en el punto ( )0, ,0b y al eje z en el punto 
( )0,0, ;c 
3. la traza 0,xz y→ = la ecuación del plano queda como la recta 0.ax cz d+ + = Esta recta 
intersecta al eje x en el punto ( ),0,0a y al eje z en el punto ( )0,0, .c 
En la Figura 6 se visualiza el plano antes analizado mediante sus trazas y sus intersecciones con cada 
uno de los ejes coordenados. 
Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
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Figura 6. Plano en el espacio tridimensional 
Para hallar la distancia entre un punto y un plano vamos hacer uso de nuestro conocimiento del producto 
escalar entre dos vectores, tal como se observa en el teorema siguiente. 
Teorema 5. Distancia entre un punto y un plano 
Sea ( )0 0 0, ,Q x y z= un punto que no pertenece al plano 0ax by cz d+ + + = y P un punto en el 
plano dado, entonces la distancia entre el punto y el plano es 
n
 ~ (11)
n
PQ
D

= 
Es importante recordar que n es el vector normal al plano. 
La ecuación (11) podemos escribirla como 
0 0 0
2 2 2
 ~ (12)
ax by cz
D
d
a b c
+ +
=
+
+ +
 
 Para encontrar un punto en el plano dado por ( )0 0 ,ax by cz d a+ + + =  hacemos 
0.y z= = Entonces de la ecuación 0ax d+ = se obtiene que el punto ,0,0
d
a
−
 
 
 
 se encuentra en 
el plano. 
Ejemplo 6. Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos ( ) ( )2,4,5 , 1,5,7 y ( )1,6,8 .− 
Para determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados primero necesitamos encontrar 
un vector normal al plano. 
Calculamos un vector con los puntos: ( ) ( )2,4,5 , 1,5,7 
14 
 
( )1 2,5 4,7 5u 1,1,2− − −= = − 
Calculamos otro vector con los puntos: ( ) ( )2,4,5 , 1,6,8− 
( )1 2,6 4,8 5v 3,2,3− − − −= = − 
El vector normal entre los vectores u y v viene dado por 
i j k
1 2 1 2 1 1
n=u v 1 1 2 i j k i+9j+k
2 3 3 3 3 2
3 2 3
− −
 = − = − + = −
−
−
 
El vector normal es n 1,9,1= − 
Ahora utilizamos la ecuación canónica del plano 
( ) ( ) ( )0 0 0 0a x x b y y c z z− + − + − = 
( )( ) ( ) ( )1 4 9 4 5 0 4 9 36 5 0x y z x y z− − + − + − = →− + + − + − = 
9 37 0x y z− + + − = Ecuación del plano que contiene los tres puntos dados 
Ejemplo 7. Calcule la distancia del punto ( )2, 3,4− al plano 2 2 13 0.x y z+ + − = 
Para calcular la distancia entre un punto y un plano utilizamos la siguiente fórmula 
0 0 0
2 2 2
ax by cz
D
d
a b c
+ +
=
+
+ +
, donde el vector normal a plano viene dado por 1,2,2 
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 2 4 13 9 9
391 2 2
ax by cz
D
d
D
a b c
+ ++ +
=
− −+
→ = = =
+ + + +
 
3D = 
 Es importante recordar que si en la ecuación de un plano falta una de las variables, esto indica 
que el plano es paralelo al eje representado por dicha variable. En caso que falta dos variables 
en la ecuación del plano, entonces este es paralelo al plano coordenado formado por las dos 
variables faltan. 
 
Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
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4.5 Cilindros y superficies cuadráticas 
Hasta el momento habíamos estudiado dos tipos de superficies, el plano y la esfera. Ahora procederemos 
a estudiar un tercer tipo de superficie, la cual llamamos superficie cilíndrica o sencillamente cilindro. 
4.5.1 Definición de cilindro 
Sea C una curva en un plano y L una recta que no se encuentra en un plano paralelo. El conjunto de todas 
las rectas paralelas a L y que intersectan a C se conoce como cilindro (ver Figura 7). A C se le denomina 
curva generatriz (directriz) del cilindro y las rectas paralelas reciben el nombre de rectas generatrices. 
(Larson, 2010). 
 
Figura 7. Cilindro circular recto 
El cilindro circular recto que se visualiza en la Figura 7, la ecuación de la curva generatriz en el plano xy
es, 2 2 100.x y+ = Podemos decir que la ecuación de la curva generatriz de un cilindro paralelo al eje z se 
escribe como 
2 2 2 ~ (13)x y a+ = Ecuación de la curva generatriz en el plano xy 
En el teorema que veremos a continuación generalizaremos las ecuaciones de cilindros. 
Teorema 6. Ecuaciones de cilindros 
En el espacio, la gráfica de una ecuación en dos variables de las tres variables , x y y z es un cilindro cuyas 
generatrices son paralelas al eje de la variable que falta. 
4.5.2 Definición de superficies cuádricas 
Si una superficie es la gráfica en el espacio tridimensional de una ecuación de segundo grado, se le llama 
superficie cuádrica. Las secciones planas de una superficie cuádrica son cónicas. (Purcell, 2007). 
16 
 
La ecuación general de una superficie cuádrica es una ecuación de segundo grado que tiene la forma 
2 2 2 0 ~ (14)Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J+ + + + + + + + + = 
La ecuación (14) puede reducirse mediante rotación y traslación de los ejes de coordenadas, en una de las 
dos formas siguientes: 
1. 2 2 2 0Ax By Cz J+ + + = 
2. 2 2 0Ax By Iz+ + = 
Las superficies cuádricas representadas por la primera de estas ecuaciones son simétricas respecto a los 
planos de coordenadas y al origen. Estas se llaman cuádricas centrales. 
4.5.3 Clasificación de las superficies cuádricas 
A continuación, enumeramos cada una de las superficies cuádricas: 
1. Elipsoide, este queda descrito por la ecuación 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + = 
Traza Plano 
Elipse, 0z = Paralela al plano xy 
Elipse, 0y = Paralela al plano xz 
Elipse, 0x = Paralela al plano yz 
 
 
Figura 8. Elipsoide con sus trazas 
 
 
2. Hiperboloide de una hoja 
 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − = 
Esta superficie es una esfera si 0.a b c= =  
Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
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Traza Plano 
Elipse, 0z = Paralela al plano xy 
Hipérbola, 0y = Paralela al plano xz 
Hipérbola, 0x = Paralela al plano yz 
 
 
Figura 9. Hiperboloide con sus trazas 
 
 
 
3. Hiperboloide de dos hojas 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
− − + = 
 
Traza Plano 
Elipse, punto o conjunto vacío, 0z = Paralela al plano xy 
Hipérbola, 0y = Paralela al plano xz 
Hipérbola, 0x = Paralela al plano yz 
El eje de este hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. 
18 
 
Reorganizando la ecuación del hiperboloide de dos hojas tenemos que 
2 2 2
2 2 2
1 0
x y z
a b c
+ = −  
La traza en el plano xy es una elipse si 0 ,z z= siendo 0 ,z c en caso contrario hay un conjunto 
vacío. 
 
 
Figura 10. Hiperboloide de dos hojas 
En este caso en el plano xy no hay traza, sino, un conjunto vacío. 
4. Cono elíptico 
 
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
+ − = 
Traza Plano 
Elipse o punto, 0z = Paralela al plano xy 
Hipérbola, 0y = Paralela al plano xz 
Hipérbola, 0x = Paralela al plano yz 
Es importante resaltar que, el eje de este cono corresponde a la variable cuyo coeficientees negativo. 
Las trazas en los planos coordenados paralelos a estos ejes son rectas que se intersectan. 
Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
19 
 
 
Figura 11. Cono elíptico 
5. Paraboloide elíptico 
Este se define mediante la ecuación 
2 2
2 2
x y
z
a b
= + 
Traza Plano 
Elipse 0z = Paralela al plano xy 
Parábola, 0y = Paralela al plano xz 
Parábola, 0x = Paralela al plano yz 
Para este caso el eje del paraboloide corresponde a la variable lineal. 
20 
 
 
Figura 12. Cono paraboloide 
6. Paraboloide hiperbólico 
Un paraboloide hiperbólico se describe mediante la ecuación 
2 2
2 2
y x
z
b a
= − 
Traza Plano 
Hipérbola 0z = Paralela al plano xy 
Parábola, 0y = Paralela al plano xz 
Parábola, 0x = Paralela al plano yz 
Es importante recordar que, el eje de este paraboloide queda definido por la variable elevado a la unidad. 
 
Figura 13. Paraboloide hiperbólico 
 
Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
21 
 
5.5.4 Resumen de superficies cuádricas 
En la tabla siguiente se presenta un resumen de las gráficas de las superficies cuádricas y sus ecuaciones, 
esto ayudarás a los y las estudiantes internalizar las seis cuádricas que hemos analizado en esta unidad. 
Tabla 1. Resumen de gráficas y ecuaciones de superficies cuádricas 
 
2
 
2 J. Stwart, 2008 
22 
 
Ejemplo 1. Escriba la ecuación dada en una de las formas estándar, clasifique la superficie y haga la gráfica. 
1. 2 2 2 4 2 2 4 0x y z x y z− + − − − + = 
El primer paso que vamos a dar completar cuadrado para poder escribir la ecuación en una de las formas 
estándar 
( )2 2 24 4 4 2 4 4 2 4 0x x y y z z− + − − − + − + − + = 
Ahora reorganizamos la expresión anterior 
( )2 2 24 4 4 2 4 4 2 4 0x x y y z z− + − − − + + + − + = ( )2 2 24 4 2 4 2 4 0x x y y z z− + − − + + − + = 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 0 ~ (2),x y z− − − + − = si observamos la ecuación (2), nos damos cuenta que esta tiene la 
forma 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
0
x h y k z l
a b c
− − −
− + = , por tanto, es un cono circular, porque a b c= = con centro 
( ), , .h k l 
La superficie cuadrática es un cono circular paralelo al eje ,y debido a que es la variable que tiene el signo 
negativo. 
Análisis de las trazas 
Sea 0,x = entonces corresponde al plano yz 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
0 2 2 2 0 4 2 2 0y z y z− − − + − = → − − + − = 
( ) ( )
2 2
2 2 4 ~ (3)y z− − + − = − 
Multiplicamos a (3) por -1 y nos queda 
( ) ( )
2 2
2 2 4y z− − − = , ahora dividimos la ecuación entre 4. 
( ) ( )
2 2
2 2
1~ (5)
4 4
y z− −
− = es una hipérbola paralela al plano yz 
Sea 0y = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 0 2 2 0 2 4 2 0 2 2 4 ~ (6)x z x z x z− − − + − = → − − + − = → − + − = 
Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
23 
 
La expresión (6) es una circunferencia paralela al plano .xz 
Sea 0,z = entonces es paralela al plano xy 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 0 2 0 2 2 4 0, 2 2 4 ~ (7)x y x y x y− − − + − = → − − − + = − − − = − 
La ecuación (7) es una hipérbola paralela al plano .xy 
Ahora haremos la gráfica de la superficie cuadrática 
 
Ejemplo 2. Indique el nombre y haga la gráfica de la siguiente ecuación en el espacio tridimensional. 
2 22. 4 16 32 0x y z+ − = 
Primero dividimos la ecuación (2) entre 32 y despejamos la variable lineal 
2 24 16 32
0
32 32 32
x y z
+ − = 
2 2
~ (3)
8 2
x y
z+ = 
La ecuación resultante es un cono parabólico paralelo al eje ,z dado que esta variable es lineal. 
 
24 
 
4.6 Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas 
En el espacio tridimensional solo habíamos estudiado el sistema de coordenadas cartesianas, pero a partir 
de ahora vamos a analizar dos sistemas de coordenadas en el espacio tridimensional, estos sistemas son 
los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. La necesidad de estos dos sistemas adicionales se debe 
a la misma razón por la cual fue necesario el estudio del sistema de coordenadas polares cuando 
estábamos estudiando las funciones en el espacio bidimensional. 
4.6.1 Sistema de coordenadas cilíndricas 
En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio se representa mediante una tríada 
ordenada ( ), , .r z 
1. ( ),r  es una representación polar de la proyección de P sobre el plano .xy 
2. z es la distancia dirigida de ( ),r  a .P (Larson, 2010). 
Al igual que cuando estudiamos las coordenadas polares, donde mediante unas ecuaciones podíamos 
convertir ecuaciones que estaban en coordenadas rectangulares a polares y viceversa, así mediante las 
siguientes ecuaciones podemos transformar una ecuación de coordenadas rectangulares a coordenadas 
cilíndricas y de cilíndricas a polares. 
 
Figura 14. Sistema de coordenadas cilíndricas 
Conversión de cilíndricas a rectangulares: 
 cos , , x r y rsen z z = = = 
Conversión de rectangulares a cilíndricas: 
 2 2 2 , tan , 
y
r x y z z
x
= + = = 
El punto ( )0,0,0 es el polo. Al igual que en el sistema de coordenadas polares en el sistema de 
coordenadas cilíndricas un punto no tiene representación única. 
Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
25 
 
Ejemplo 3. Exprese en coordenadas rectangulares el punto dado en coordenadas cilíndricas. 
3. 2, ,2
6
 
 
 
 
Para convertir un punto de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas utilizaremos las ecuaciones 
siguientes: cos , , .x r y rsen z z = = = 
Un punto en coordenadas cilíndricas se expresa mediante la tríada ( ), , .r z 
2, , 2.
6
r z

= = = Una vez identificado cada componente de la terna, procederemos a realizar la 
transformación. 
2cos 1, 2 3, 2
6 6
x y sen z
    
= = = = =   
   
 
Por tanto, el punto dado en coordenadas cartesianas es ( )1, 3,2 
Ejemplo 4. Escriba en coordenadas cilíndricas el punto dado en coordenadas rectangulares. 
( )4. 2 2, 2 2,4− 
Para convertir en punto dado en coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas vamos a utilizar las 
ecuaciones 2 2 , arctan , .
y
r x y z z
x

 
= + = = 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 4 2 4 2 8 8 16 4r = + − =  +  = + = = 
( )
2 2 3
arctan arctan 1
42 2


 
= = − =  − 
 
4z = 
Ahora decimos que el punto dado en coordenadas cilíndricas es 
3
4, ,4
4
 
 
 
 
 
 
26 
 
Ejemplo 5. Dada la ecuación en coordenadas rectangulares exprésela en coordenadas cilíndricas. 
2 2 25. 3 0x y z z+ + − = 
 Sabemos que para pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas utilizamos las ecuaciones 
siguientes: 
2 2 2 , tan , 
y
r x y z z
x
= + = = 
La ecuación dada en coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas queda como 2 2 3 0r z z+ − = 
 
Ejemplo 6. Dada la ecuación en coordenadas cilíndricas escríbala en coordenadas cartesianas y luego trace 
su gráfica. 
2 26. cosz r = 
Sabemos que 2 2 2 , cos , , , arctan
y
r x y x r y rsen z z
x
  
 
= + = = = =  
 
 
De la expresión cos ,x r = tenemos que 
2 2
cos .
x x
r x y
 = =
+
 Ahora haremos las sustituciones 
correspondientes. 
( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
2 22 2
x x
z x y z x y x
x yx y
   
 = + → = + =   ++   
 
Por tanto, la ecuación en coordenadas cartesianas es 2z x= 
La gráfica de la ecuación dada es un cilindro parabólico cuyas rectas generatrices son paralelas al eje .y 
 
Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
27 
 
4.6.2 Coordenadas esféricas 
En un sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio se representa mediante una tríada 
ordenada ( ), , .   
1.  es la distancia de P al origen, 0.  
2.  es el mismo ángulo que se emplea en coordenadas cilíndricas para 0.r  
3.  es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta , 0 .OP    (Larson, 2010). 
 
Figura 15. Sistema de coordenadas esféricas 
 A continuación,mostramos las ecuaciones que se utilizan para pasar de un sistema de coordenadas 
rectangulares y un sistema de coordenadas esféricas. 
Sistema de coordenadas esféricas a sistema de coordenadas rectangulares: 
 cos , , cosx sen y sen sen z       = = = 
Sistema de coordenadas rectangulares a sistema de coordenadas esféricas: 
 2 2 2 2
2 2 2
, tan , arccos
y z
x y z
x x y z
  
 
 = + + = =
 + + 
 
En algunas ocasiones necesitamos cambiar entre sistema de coordenadas cilíndricas y sistema de 
coordenadas esféricas, para eso nos auxiliamos de las ecuaciones siguientes. 
Sistema de coordenadas esféricas a sistema de coordenadas cilíndricas: 
 2 2 2 , , cosr sen z     = = = 
 
 
28 
 
Sistema de coordenadas cilíndricas a sistema de coordenadas esféricas: 
 2 2
2 2
, , arccos
z
r z
r z
   
 
= + = =  
+ 
 
 
Cuando se tienen superficies en el espacio que poseen un punto o centro de simetría, el sistema de 
coordenadas esféricas es muy útil. 
Ejemplo 7. Encuentre la ecuación en coordenadas esféricas de la ecuación siguiente dada en coordenadas 
rectangulares. 
2 2 27. 3 0x y z+ − = 
Ahora utilizaremos la relación que existe entre el sistema de coordenadas esféricas y el sistema de 
coordenadas cartesianas. 
cos , , cosx sen y sen sen z       = = = 
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
cos 3 cos 0
cos 3 cos 0
cos 3 cos 0
3 cos 0 3 cos
3cos
sen sen sen
sen sen sen
sen sen
sen sen
sen
       
       
     
       
 
+ − =
+ − =
+ − =
− = → =
=
 
Dividimos la ecuación anterior entre 2cos : 
2
2
2
3 tan 3
cos
sen 


= → = 
Para despejar a la función tangente es necesario aplicar raíz en ambos lados de la ecuación. 
2tan 3 tan 3 = → = → arctan 3
3

 = = 
Por tanto, la ecuación dada llevada a coordenadas cilíndricas es .
3

 = 
Sea que se vaya a pasar de sistema de coordenadas esféricas a sistema de coordenadas 
cilíndricas o viceversa, 0.r  
Unidad 4. Geometría Analítica en el Espacio Tridimensional 
29 
 
La figura siguiente es la correspondiente a la ecuación 7 y se puede observar que tiene un punto se 
simetría. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Bibliografía 
1. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2010). Cálculo Esencial. México: Cengage Learning. 
2. Edwards, H. & Penny, D. (2008). Cálculo con trascendentes tempranas (7ma ed.). México: Pearson. 
3. Purcell, E., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo (9na ed.). México: Pearson. 
4. Thomas, G. (2006). Cálculo de varias variables (11ma ed.). México: Pearson. 
5. Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables con transcendentes tempranas (6ta ed.). México: 
Cengage Learning.