3 1 Anexo Matrices

Vista previa del material en texto

CAPÍTULO1
Matrices
1.1. Concepto de matriz
DEFINICIÓN. Llamaremos matriz de dimensión (u orden) m × n a un conjunto de
m × n números distribuidos enm filas y n columnas:
A =





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn





.
Los elementos de una matriz se representan por aij , donde i indica la fila y j la co-
lumna. La matriz se representa por A = (aij)m×n
EJEMPLO
Matriz de dimensión 4 × 2:
A =




1 3
8 0
3 5
2 1




, a12 = 3 .
Matriz de dimensión 3 × 5:
B =


1 2 0 −4 −1
2 4 5 17 8
12 4 0 −2 1

 , b33 = 0 .
Matriz de dimensión 2 × 2:
C =
�
3 2
1 4
�
, c21 = 1 .
4 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
1.2. Tipos de matrices
DEFINICIÓN. Una matriz de dimensión 1 × n, es decir, que sólo tiene una fila, se
llama matriz fila o vector fila. Del mismo modo, una matriz de dimensión m × 1, es
decir, que sólo tiene una columna, se llama matriz columna o vector columna.
EJEMPLO
Matriz o vector fila:
A =
�
3 7 1
�
.
Matriz o vector columna:
B =
�
3
2
�
.
DEFINICIÓN. Una matriz constante es aquella cuyos elementos son todos iguales en-
tre sí. Si λ es un número real, la matriz constante de orden m × n tal que todos
sus elementos son iguales a λ suele representarse como (λ)m×n. Cuando todos los
elementos son iguales a cero se llama matriz nula, y se representa por (0)m×n o sim-
plemente por 0.
EJEMPLO
Matriz constante:
A =
�
2 2 2
2 2 2
�
= (2)2×3 .
Matriz nula:
B =


0 0
0 0
0 0

 = (0)3×2 = 0 .
DEFINICIÓN. En el caso particular en que coincidan el número de filas con el de
columnas, es decir, cuando la dimensión es n × n, tendremos una matriz cuadrada.
En este caso diremos más brevemente que es de orden o dimensión n.
Las matrices cuadradas tienen una gran importancia y, por eso, merecen una atención
especial.
DEFINICIÓN. En una matriz cuadrada A = (aij)n, la diagonal principal (o simple-
mente diagonal) es el conjunto de elementos [a11, a22, . . . , ann] = [aii].
MATRICES 5
EJEMPLO
La diagonal principal de la matriz
A =


2 1 0
1 0 3
4 2 −1


es el conjunto [2, 0,−1].
DEFINICIÓN. Llamaremos traza de una matriz cuadrada, A = (aij)n, a la suma de
los elementos de la diagonal principal:
tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann =
n�
i=1
aii .
EJEMPLO
La traza de la matriz del ejemplo anterior será
tr(A) = 2 + 0 − 1 = 1 .
DEFINICIÓN. Diremos que una matriz cuadrada es una matriz diagonal si todos los
elementos que no están en la diagonal principal son nulos, es decir, si aij = 0 ∀i �= j.
Si además todos los elementos de la diagonal principal son iguales se llama matriz
escalar. Si además son todos la unidad, se llama matriz identidad o matriz unidad, y
se representa por In o simplemente I.
EJEMPLO
Matriz diagonal:


2 0 0
0 −3 0
0 0 1

 .
Matriz escalar: 

2 0 0
0 2 0
0 0 2

 .
Matriz identidad: 

1 0 0
0 1 0
0 0 1

 = I3 .
6 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
DEFINICIÓN. Diremos que un elemento aij de A está por encima de la diagonal de
A si i < j. Cuando i > j diremos que el elemento está por debajo de la diagonal.
Llamaremos matriz triangular superior a aquella cuyos términos por debajo de la
diagonal son cero, y triangular inferior cuando los términos por encima de la diagonal
son cero.
EJEMPLO
Matriz triangular superior:


1 3 −2
0 2 4
0 0 3

 .
Matriz triangular inferior:




2 0 0 0
1 −3 0 0
4 1 2 0
2 6 5 −2




.
DEFINICIÓN. Diremos que una matriz cuadrada A = (aij)n×n es simétrica si
aij = aji ∀i = 1, . . . , n , ∀j = 1, . . . , n .
Diremos que una matriz cuadrada es antisimétrica si
aij = −aji ∀i = 1, . . . , n , ∀j = 1, . . . , n .
EJEMPLO
Matriz simétrica: 



1 2 0 3
2 −1 4 6
0 4 0 5
3 6 5 1




.
Matriz antisimétrica: 



0 2 0 −3
−2 0 4 6
0 −4 0 −5
3 −6 5 0




.
Nota. Los elementos de la diagonal de una matriz antisimétrica son todos nulos ya
que aii = −aii =⇒ aii = 0.
MATRICES 7
1.3. Operaciones con matrices
Igualdad de matrices. Diremos que dos matrices de la misma dimensión u orden,
A = (aij)m×n y B = (bij)m×n, son iguales si aij = bij ∀i, j, es decir, cuando son
iguales los elementos que ocupan la misma fila y la misma columna.
Suma de matrices. La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)m×n
es otra matriz C = (cij)m×n de la misma dimensión que se obtiene sumando cada
elemento deA con el elemento de B que ocupa la misma posición: cij = aij + bij .
EJEMPLO
�
2 0 −1
3 2 6
�
+
�
1 1 4
−3 −2 1
�
=
�
2 + 1 0 + 1 −1 + 4
3 + (−3) 2 + (−2) 6 + 1
�
=
�
3 1 3
0 0 7
�
.
Producto de un escalar por una matriz. El producto de un escalar λ ∈ IR por
una matriz A = (aij)m×n es otra matriz de la misma dimensión que A, y se obtiene
al multiplicar cada elemento deA por el número λ, es decir, λA = (λ aij)m×n.
EJEMPLO
A =
�
2 3 0
1 1 7
�
=⇒ 3A =
�
3 · 2 3 · 3 3 · 0
3 · 1 3 · 1 3 · 7
�
=
�
6 9 0
3 3 21
�
.
Producto de matrices. El producto de dos matrices A y B sólo puede realizarse
cuando el número de columnas del primer factor, A, es igual al número de filas del
segundo factor, B. El resultado es una matrizC que tiene tantas filas comoA y tantas
columnas como B, es decir, Am×n ·Bn×p = Cm×p. El elemento cij deC se obtiene
multiplicando la fila i deA por la columna j de B, es decir:
cij =
n�
k=1
aikbkj .
8 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
EJEMPLO
�
a b c
x y z
�
� �� �
2×3


λ
µ
ν


� �� �
3×1
=
�
aλ + bµ + cν
xλ + yµ + zν
�
� �� �
2×1
.
EJEMPLO


1 1 −2 0
2 −1 0 4
−1 1 3 −3






2 0
3 2
1 1
−1 −3




=
=


1 · 2 + 1 · 3 − 2 · 1 + 0 · (−1) 1 · 0 + 1 · 2 − 2 · 1 + 0 · (−3)
2 · 2 − 1 · 3 + 0 · 1 + 4 · (−1) 2 · 0 − 1 · 2 + 0 · 1 + 4 · (−3)
−1 · 2 + 1 · 3 + 3 · 1 − 3 · (−1) −1 · 0 + 1 · 2 + 3 · 1 − 3 · (−3)


=


3 0
−3 −14
8 14

 .
Nota. El producto de matrices no es conmutativo: A ·B �= B ·A. Hay incluso casos
en los que es posible efectuar el producto A ·B pero no B · A (por ejemplo, las
matrices A3×7 y B7×4). De hecho sólo se pueden efectuar ambos productos cuando
las dos matrices son cuadradas y del mismo orden.
Proposición. El producto de cualquier matrizA por la matriz identidad es la misma
matrizA. Es decir, siAm×n es de dimensión m × n entonces
Am×n · In = Am×n , Im ·Am×n = Am×n .
EJEMPLO




1 3 2
−4 2 1
0 −1 6
7 8 2






1 0 0
0 1 0
0 0 1

 =




1 3 2
−4 2 1
0 −1 6
7 8 2




.




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1








1 3 2
−4 2 1
0 −1 6
7 8 2




=




1 3 2
−4 2 1
0 −1 6
7 8 2




.
MATRICES 9
Nota. Lógicamente, si An×n es una matriz cuadrada de dimensión n × n, entonces
An×n · In = In ·An×n = An×n .
EJEMPLO


1 3 2
−4 2 1
7 8 2




1 0 0
0 1 0
0 0 1

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1




1 3 2
−4 2 1
7 8 2

 =


1 3 2
−4 2 1
7 8 2

 .
Proposición. El producto de una matriz triangular superior (inferior) por otra matriz
triangular superior (inferior) del mismo orden es triangular superior (inferior).
EJEMPLO


1 3 2
0 2 1
0 0 2




2 1 −1
0 3 1
0 0 4

 =


2 10 10
0 6 6
0 0 8

 .
Potencias de matrices. Cuando la matriz A es cuadrada pueden definirse las po-
tencias deA:
A0 = I , A1 = A , A2 = A · A , . . . , An = A ·A · · ·A
� �� �
n
, An ·Am = An+m .
Trasposición de matrices. Sea A = (aij)m×n. La matriz traspuesta de A, que
se denota porAt, es una matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas
de A por sus columnas. La nueva matriz será de orden n × m, y tendrá por elemento
genérico aji:
A = (aij)m×n =⇒ At = (aji)n×m .
EJEMPLO
A =
�
2 3 0
1 1 7
�
=⇒ At =


2 1
3 1
0 7

 .
10 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
Propiedades.
1. La traspuesta de una matriz fila es una matriz columna. Recíprocamente, la
traspuesta de una matriz columna es una matriz fila.
2. La traspuesta de una matriz triangular superior es triangular inferior. Recípro-
camente, la traspuesta de una matriz triangular inferior estriangular superior.
3. Una matriz cuadrada A es simétrica si y sólo si A = At. Una matriz cuadrada
B es antisimétrica si y sólo si B = −Bt.
4. La traspuesta de la traspuesta es la propia matriz:
�
At
�t
= A.
5. SiA y B son del mismo orden: (A + B)t = At + Bt.
6. Si A y B son dos matrices tales que tiene sentido el producto A ·B, entonces
(A ·B)t = Bt ·At.
1.4. Operaciones elementales (por filas)
DEFINICIÓN. Sobre toda matrizA podemos realizar ciertas transformaciones, llama-
das operaciones elementales por filas, obteniendo una nueva matriz B de la misma
dimensión. Dichas operaciones elementales son tres:
1. Sumar a una fila otra distinta multiplicada por un escalar.
2. Multiplicar una fila por un escalar no nulo.
3. Intercambiar dos filas.
La nueva matriz B así obtenida se dice que es equivalente por filas a la primera.
Las operaciones elementales así definidas pueden representarse de la siguiente manera:
1. Sumar a la fila i la fila j con i �= j multiplicada por un escalar λ se representa
por fλ
ij .
2. Multiplicar la fila i por un escalar λ con λ �= 0 se denota por f λ
i .
3. Intercambiar las filas i y j con i �= j se representa por: fij .
MATRICES 11
EJEMPLO


1 0 1 3
2 0 3 0
−1 −1 −1 1


f2
32−−→


1 0 1 3
2 0 3 0
3 −1 5 1




1 0 1 3
2 0 3 0
−1 −1 −1 1


f3
1−−→


3 0 3 9
2 0 3 0
−1 −1 −1 1




1 0 1 3
2 0 3 0
−1 −1 −1 1


f23−−→


1 0 1 3
−1 −1 −1 1
2 0 3 0

 .
Podemos realizar varias operaciones elementales sucesivas a la matriz de partida:




3 0 2
−2 2 1
−1 0 −2
2 −2 3




f13−−→




−1 0 −2
−2 2 1
3 0 2
2 −2 3




f−2
21−−−→




−1 0 −2
0 2 5
3 0 2
2 −2 3




f
1/3
3−−−→




−1 0 −2
0 2 5
1 0 2/3
2 −2 3




f1
31−−→




−1 0 −2
0 2 5
0 0 −4/3
2 −2 3




.
Nota. El orden en el que se realizan las operaciones elementales por filas es muy
importante, ya que en general no conmutan. En el siguiente ejemplo realizamos el
mismo conjunto de operaciones elementales sobre la misma matriz, pero en distinto
orden, obteniendo dos matrices distintas.
EJEMPLO




1 0 0 2
1 2 −2 0
1 1 3 2
−2 −2 1 0




f12−−→




1 2 −2 0
1 0 0 2
1 1 3 2
−2 −2 1 0




f−1
41−−−→




1 2 −2 0
1 0 0 2
1 1 3 2
−3 −4 3 0








1 0 0 2
1 2 −2 0
1 1 3 2
−2 −2 1 0




f−1
41−−−→




1 0 0 2
1 2 −2 0
1 1 3 2
−3 −2 1 −2




f12−−→




1 2 −2 0
1 0 0 2
1 1 3 2
−3 −2 1 −2




.
Nota. A veces es posible realizar ciertos bloques de operaciones elementales por fi-
las de forma conjunta, sin tener que escribir las matrices transformadas intermedias
por separado. Esto sólo puede hacerse cuando cada operación elemental no cambie
ninguna fila que influya en alguna de las operaciones siguientes del bloque.
12 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
EJEMPLO
Las siguientes operaciones elementales por filas




1 −1 2
1 −1 0
−1 1 −1
3 1 −1




f−1
21−−−→




1 −1 2
0 0 −2
−1 1 −1
3 1 −1




f1
31−−→




1 −1 2
0 0 −2
0 0 1
3 1 −1




f−3
41−−−→




1 −1 2
0 0 −2
0 0 1
0 4 −7




podría haberse realizado conjuntamente:




1 −1 2
1 −1 0
−1 1 −1
3 1 −1




f−1
21 , f1
31, f
−3
41−−−−−−−−−−→




1 −1 2
0 0 −2
0 0 1
0 4 −7




.
Nota. De una forma análoga definiríamos las operaciones elementales por columnas,
que representaríamos por cλ
ij , cλ
i , cij . Estas operaciones por columnas se emplearán
en el siguiente capítulo en el cálculo de determinantes. Sin embargo, en lo que resta
del presente capítulo nos limitaremos a las operaciones elementales por filas, pudiendo
por tanto omitir el apelativo por filas.
1.5. Forma escalonada y forma escalonada reducida
DEFINICIÓN. Se dice que una matriz está en forma escalonada (por filas) si satisface
las dos condiciones siguientes:
1. Todas las filas nulas (compuestas enteramente por ceros) se encuentran en la
parte inferior.
2. Llamando pivote al primer elemento distinto de cero de cada fila empezando por
la izquierda, cada pivote está situado a la derecha de todos los pivotes de las filas
superiores a él.
DEFINICIÓN. Se dice que una matriz escalonada está en forma escalonada reducida
si además de las anteriores satisface las dos nuevas condiciones:
1. Cada pivote es un 1.
2. Cada pivote es el único elemento distinto de cero de su columna (que llamare-
mos columna pivotal).
MATRICES 13
EJEMPLO
Las siguientes matrices están en forma escalonada. Los elementos pi �= 0 son los pivotes (en
recuadro), y los ∗ representan números cualesquiera:
�
p1 ∗ ∗
0 0 p2
�
,


0 p1 ∗ ∗
0 0 p2 ∗
0 0 0 0

 ,



p1 ∗ ∗ ∗
0 p2 ∗ ∗
0 0 0 p3


 ,



p1 ∗ ∗
0 p2 ∗
0 0 p3


 .
EJEMPLO
Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida:
�
1 ∗ 0
0 0 1
�
,


0 1 0 ∗
0 0 1 ∗
0 0 0 0

 ,



1 0 ∗ 0
0 1 ∗ 0
0 0 0 1


 ,



1 0 0
0 1 0
0 0 1


 .
Teorema. Toda matriz puede ser convertida en forma escalonada y en forma escalo-
nada reducida mediante una serie de operaciones elementales.
Algoritmo de Gauss. Es un procedimiento general que nos permite transformar
sistemáticamente toda matriz en su forma escalonada. Lo podemos resumir en las
siguientes etapas:
1. Las filas nulas se mueven a la parte inferior (si todas las filas son nulas, la matriz
está ya en forma escalonada).
2. Se localiza la primera columna, empezando por la izquierda, que contiene un
elemento distinto de cero (llamémosle p), y se mueve la fila que contiene a p a
la parte superior. Este p será el primer pivote.
3. Se restan múltiplos de esa primera fila a las filas inferiores para hacer cero cada
elemento debajo del pivote. Esto completa el proceso en la primera fila. De la
misma forma se realizan las operaciones con el resto de filas.
4. Se repiten los pasos 1 - 3 sobre la matriz resultante al tomar las filas restantes.
El proceso termina cuando, o bien no quedan filas para aplicar el paso 4, o bien
las filas que quedan son nulas.
14 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
EJEMPLO
Vamos a aplicar el algoritmo de Gauss para llevar a la forma escalonada la siguiente matriz:






8 −8 −10 10 8 17
12 −12 −15 15 12 24
4 −4 −5 5 4 1
8 −8 −10 8 7 11
−8 8 10 −8 −4 −10






f
−12/8
21 , f
−4/8
31−−−−−−−−−−→
f−1
41 , f1
51






8 −8 −10 10 8 17
0 0 0 0 0 −3/2
0 0 0 0 0 −15/2
0 0 0 −2 −1 −6
0 0 0 2 4 7






f24−−→






8 −8 −10 10 8 17
0 0 0 −2 −1 −6
0 0 0 0 0 −15/2
0 0 0 0 0 −3/2
0 0 0 2 4 7






f1
52−−→






8 −8 −10 10 8 17
0 0 0 −2 −1 −6
0 0 0 0 0 −15/2
0 0 0 0 0 −3/2
0 0 0 0 3 1






f35−−→






8 −8 −10 10 8 17
0 0 0 −2 −1 −6
0 0 0 0 3 1
0 0 0 0 0 −3/2
0 0 0 0 0 −15/2






f
−15/3
54−−−−−→






8 −8 −10 10 8 17
0 0 0 −2 −1 −6
0 0 0 0 3 1
0 0 0 0 0 −3/2
0 0 0 0 0 0






.
Nota. No siempre hay que seguir el algoritmo estrictamente. A veces realizando al-
guna operación elemental adicional, el proceso de obtención de la forma escalonada
se simplifica. Otras veces resulta conveniente hacer todos los pivotes iguales a 1, lo
que simplifica los cálculos.
MATRICES 15
Algoritmo de Gauss-Jordan. Es una extensión del algoritmo de Gauss para trans-
formar una matriz en su forma escalonada reducida. Una vez obtenida la forma esca-
lonada, el proceso se completa mediante los dos siguientes pasos:
1. Se hacen todos los pivotes iguales a 1mediante las correspondientes operaciones
elementales.
2. Partiendo de la última fila no nula, se hacen ceros los elementos situados por
encima de cada pivote.
EJEMPLO
Continuamos con la matriz anterior para llevarla a la forma escalonada reducida:






8 −8 −10 10 8 17
0 0 0 −2 −1 −6
0 0 0 0 3 1
0 0 0 0 0 −3/2
0 0 0 0 0 0






f
1/8
1 , f
−1/2
2−−−−−−−−→
f
1/3
3 , f
−2/3
4






1 −1 −5/4 5/4 1 17/8
0 0 0 1 1/2 3
0 0 0 0 1 1/3
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0






f
−17/814 , f−3
24−−−−−−−−−→
f
−1/3
34






1 −1 −5/4 5/4 1 0
0 0 0 1 1/2 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0






f−1
13−−−−→
f
−1/2
23






1 −1 −5/4 5/4 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0






f
−5/4
12−−−−→






1 −1 −5/4 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0






.
16 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
EJEMPLO
Transformamos en forma escalonada reducida la siguiente matriz:




0 0 0 2 1 9
0 −2 −6 2 0 2
0 2 6 −2 2 0
0 3 9 2 2 19




f12−−→




0 −2 −6 2 0 2
0 0 0 2 1 9
0 2 6 −2 2 0
0 3 9 2 2 19




f
−1/2
1−−−−→
f
1/2
3




0 1 3 −1 0 −1
0 0 0 2 1 9
0 1 3 −1 1 0
0 3 9 2 2 19




f−1
31−−−→
f−3
41




0 1 3 −1 0 −1
0 0 0 2 1 9
0 0 0 0 1 1
0 0 0 5 2 22




f
1/2
2−−−→




0 1 3 −1 0 −1
0 0 0 1 1/2 9/2
0 0 0 0 1 1
0 0 0 5 2 22




f−5
42−−−→




0 1 3 −1 0 −1
0 0 0 1 1/2 9/2
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 −1/2 −1/2




f
1/2
43−−−→




0 1 3 −1 0 −1
0 0 0 1 1/2 9/2
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0




f
−1/2
23−−−−→




0 1 3 −1 0 −1
0 0 0 1 0 4
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0




f1
12−−→




0 1 3 0 0 3
0 0 0 1 0 4
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0




.
Teorema. La forma escalonada reducida de una matrizA es una propiedad inherente
a la matrizA, es decir, no importa qué conjunto de operaciones elementales se utilicen
para transformar A en la forma escalonada reducida, ya que el resultado es siempre el
mismo.
Nota. Sin embargo, la forma escalonada no es única: series diferentes de operaciones
elementales pueden convertir la matrizA en diferentes matrices escalonadas.
Teorema. El número de pivotes es una característica de la matriz A: es decir, tanto
la forma escalonada reducida como las diversas formas escalonadas de una misma
matrizA tienen el mismo número de pivotes.
DEFINICIÓN. El rango o característica de una matrizA, que denotaremos por r(A),
es el número de pivotes de su forma escalonada (o escalonada reducida) o, lo que es
lo mismo, el número de filas no nulas de su forma escalonada.
EJEMPLO
El rango de la matriz del ejemplo anterior es tres.
MATRICES 17
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1.1
Sean
A =


1 2 0 −1
3 −1 1 2
1 1 1 4

 , B =




0 2 −1
1 3 −2
0 0 4
2 4 0




.
Calcúlense
(a) A ·B.
(b) Bt ·At.
(c) 2A + Bt.
(d) A ·Bt.
(e) tr (B ·A + I4).
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
(a)
A · B =


1 2 0 −1
3 −1 1 2
1 1 1 4






0 2 −1
1 3 −2
0 0 4
2 4 0




=


0 4 −5
3 11 3
9 21 1

 .
(b)
Bt ·At = (A · B)
t
=


0 4 −5
3 11 3
9 21 1


t
=


0 3 9
4 11 21
−5 3 1

 .
(c)
2A + Bt = 2


1 2 0 −1
3 −1 1 2
1 1 1 4

 +




0 2 −1
1 3 −2
0 0 4
2 4 0




t
=


2 4 0 −2
6 −2 2 4
2 2 2 8

 +


0 1 0 2
2 3 0 4
−1 −2 4 0

 =


2 5 0 0
8 1 2 8
1 0 6 8

 .
(d) La matrizA es una matriz 3× 4 y la matrizBt es una matriz 3× 4. Por tanto, no se puede
realizar el productoA · Bt.
18 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
(e)
B · A + I4 =




0 2 −1
1 3 −2
0 0 4
2 4 0






1 2 0 −1
3 −1 1 2
1 1 1 4

 +




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




=




5 −3 1 0
8 −3 1 −3
4 4 4 16
14 0 4 6




+




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




=




6 −3 1 0
8 −2 1 −3
4 4 5 16
14 0 4 7




.
Por tanto, tr (B ·A + I4) = 6 − 2 + 5 + 7 = 16.
PROBLEMA 1.2
Encuéntrense una forma escalonada, la forma escalonada reducida y el rango de la
siguiente matriz




1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3




.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Calculemos una forma escalonada:




1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3




f−2
21 f−3
31−−−−−−→
f−4
41




1 2 3 4
0 −1 −2 −7
0 −2 −8 −10
0 −7 −10 −13




f−2
32−−−→
f−7
42




1 2 3 4
0 −1 −2 −7
0 0 −4 4
0 0 4 36




f1
43−−→




1 2 3 4
0 −1 −2 −7
0 0 −4 4
0 0 0 40




.
Como la forma escalonada tiene cuatro filas no nulas ya podemos afirmar que el rango de la
matriz es 4.
Calculemos ahora la forma escalonada reducida:




1 2 3 4
0 −1 −2 −7
0 0 −4 4
0 0 0 40




f−1
2 f
−1/4
3−−−−−−−→
f
1/40
4




1 2 3 4
0 1 2 7
0 0 1 −1
0 0 0 1




f−4
14 f−7
24−−−−−−→
f1
34




1 2 3 0
0 1 2 0
0 0 1 0
0 0 0 1




f−3
13−−−→
f−2
23




1 2 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




f−2
12−−−→




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




.
MATRICES 19
PROBLEMA 1.3
Encuéntrense una forma escalonada, la forma escalonada reducida y el rango de la
siguiente matriz




−2 −4 0 −1 −2
−3 −6 3 2 −2
−2 −4 2 5 6
−1 −2 1 0 −2




.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Calculemos una forma escalonada:




−2 −4 0 −1 −2
−3 −6 3 2 −2
−2 −4 2 5 6
−1 −2 1 0 −2




f41−−→




−1 −2 1 0 −2
−3 −6 3 2 −2
−2 −4 2 5 6
−2 −4 0 −1 −2




f−3
21 f−2
31−−−−−−→
f−2
41




−1 −2 1 0 −2
0 0 0 2 4
0 0 0 5 10
0 0 −2 −1 2




f42−−→




−1 −2 1 0 −2
0 0 −2 −1 2
0 0 0 5 10
0 0 0 2 4




f
−2/5
43−−−−→




−1 −2 1 0 −2
0 0 −2 −1 2
0 0 0 5 10
0 0 0 0 0




.
Como la forma escalonada tiene tres filas no nulas ya podemos afirmar que el rango de la
matriz es 3.
Calculemos ahora la forma escalonada reducida:




−1 −2 1 0 −2
0 0 −2 −1 2
0 0 0 5 10
0 0 0 0 0




f−1
1 f
−1/2
2−−−−−−−→
f
1/5
3




1 2 −1 0 2
0 0 1 1/2 −1
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0




f
−1/2
23−−−−→




1 2 −1 0 2
0 0 1 0 −2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0




f1
12−−→




1 2 0 0 0
0 0 1 0 −2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0




.
20 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
PROBLEMA 1.4
Encuéntrense una forma escalonada, la forma escalonada reducida y el rango de la
siguiente matriz








−2 0 −3 −1
0 0 0 0
−2 2 5 2
7 1 12 4
4 0 6 2
−3 3 2 1








.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Calculemos una forma escalonada:








−2 0 −3 −1
0 0 0 0
−2 2 5 2
7 1 12 4
4 0 6 2
−3 3 2 1








f26−−→








−2 0 −3 −1
−3 3 2 1
−2 2 5 2
7 1 12 4
4 0 6 2
0 0 0 0








f
−3/2
21 f−1
31−−−−−−−→
f
7/2
41 f2
51








−2 0 −3 −1
0 3 13/2 5/2
0 2 8 3
0 1 3/2 1/2
0 0 0 0
0 0 0 0








f42−−→








−2 0 −3 −1
0 1 3/2 1/2
0 2 8 3
0 3 13/2 5/2
0 0 0 0
0 0 0 0








f−2
32−−−→
f−3
42








−2 0 −3 −1
0 1 3/2 1/2
0 0 5 2
0 0 2 1
0 0 0 0
0 0 0 0








f
−2/5
43−−−−→








−2 0 −3 −1
0 1 3/2 1/2
0 0 5 2
0 0 0 1/5
0 0 0 0
0 0 0 0








.
Como la forma escalonada tiene cuatro filas no nulas ya podemos afirmar que el rango de la
matriz es 4.
Calculemos ahora la forma escalonada reducida:








−2 0 −3 −1
0 1 3/2 1/2
0 0 5 2
0 0 0 1/5
0 0 0 0
0 0 0 0








f
−1/2
1 f
1/5
3−−−−−−−−→
f5
4








1 0 3/2 1/2
0 1 3/2 1/2
0 0 1 2/5
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0








f
−1/2
14 f
−1/2
24−−−−−−−−−→
f
−2/5
34








1 0 3/2 0
0 1 3/2 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0








f
−3/2
13−−−−→
f
−3/2
23








1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0








.
MATRICES 21
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 1.1. Dígase de qué tipo es cada una de las siguientes matrices (fila,
columna, cuadrada, diagonal, triangular superior, triangular inferior, simétrica, antisi-
métrica):
(a)




5 −3 −6 4 0
−3 −4 11 4 0
−6 11 15 12 0
4 4 12 0 0




.
(b)


6 −6 8
0 21 −29
0 0 50

 .
(c)




−4 −5 0 2
−5 21 −2 6
0 −2 2 −8
2 6 −8 5




.
(d)


0 10 1
−10 0 −5
−1 5 0

 .
(e)




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




.
(f)




1/5
2/5
−2/5
1/5




.
(g)




5 0 0 0
−25 15 0 0
15 −9 −6 0
5 2 −5 1




.
(h)
�
0 −3 4 −2
�
.
(i)




−2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 3 0
0 0 0 −1




.
(j)


1 −3 2
3 1 −5
−2 5 1

 .
PROBLEMA 1.2. Sean
A =


2 −1 1 3
4 −2 1 0
1 0 2 −4

 , B =



−1 0 2
2 3 −2
1 2 4
−2 −4 0




.
Calcúlense
(a) tr(B ·A).
(b)
�
At · Bt
�t
.
(c) 3I4 + B ·Bt.
(d) 2A · A + Bt.
(e) A ·B ·At.
(f) A · I4 + Bt.
22 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
PROBLEMA 1.3. Encuéntrense una forma escalonada, la forma escalonada redu-
cida y el rango de las siguientes matrices:
(a)




5 −3 −6 4 −7
0 −4 11 4 7
10 −14 15 12 5
0 1 −4 0 −3




.
(b)






6 −6 8
−21 21 −29
36 −36 50
6 −6 10
3 −3 5






.
(c)




0 −3 4 −2
0 6 −8 4
−3 −2 7 1
3 −4 1 −5




.
(d)


6 10 1
6 8 −5
−3 −7 −5

 .
(e)




1/5 0
2/5 3/4
−2/5 −1/2
1/5 3/4




.
(f)




−4 −5 0 2
20 21 −2 6
−8 −8 2 −8
8 8 −2 5




.
(g)




5 −3 −2 1
−25 15 10 −5
15 −9 −6 3
5 2 −5 1




.
(h)






−2 5 −7 5
4 0 −11 −2
−2 0 3 3
−6 5 9 3
−2 0 8 −1






.
(i)






2 −17 −22
2 −19 −25
−2 15 20
2 −5 −5
0 −2 −2






.
(j)




2 2 0 14 2
2 2 −2 16 5
−2 −1 −4 −8 5
3 5 −6 31 16




.
(k)


−6 9/2 7/5
−13 10 16/5
1 −1/2 3/5

 .
(l)


8 5 −1 34
12 7 −3 50
−20 −12 4 −82

 .
PROBLEMA 1.4. Encuéntrense una forma escalonada, la forma escalonada redu-
cida y el rango de la siguiente matriz:






−8 14 33 −6 35 21
0 1 6 0 8 1
0 −1 −5 2 −5 −4
4 −4 −3 −6 −7 6
4 −3 3 −6 1 7






.
MATRICES 23
PROBLEMA 1.5. Encuéntrense una forma escalonada, la forma escalonada redu-
cida y el rango de las siguientes matrices:
(a)




9 −19 −5 15 −4
3 −11 9 6 3
0 0 −2 −5 4
12 −28 −2 17 0




.
(b)






−1/5 1/4 −25/6 −38/3 −1
−1/5 1/4 −8/3 −26/3 −2/5
0 0 0 −4/5 3
1/5 −1/4 −1/3 22/15 −53/10
0 −1/2 3/4 −3 −1






.
(c)






4/3 −72/5 56/3 −2 4/3
−2 108/5 −28 3 −2
−2/3 38/5 −26/3 15/4 8/3
−1/3 18/5 −14/3 1/2 −1/3
−1/3 22/5 −10/3 5 16/3






.
(d)


−3/5 2/3 1 15/4 1 −11/20
−6/5 4/3 2 7/2 3/2 −27/10
−6/5 4/3 2 7/2 2 −19/10

 .