11 Guía 04 - a de integración

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CÁLCULO INTEGRAL 141 
INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA :  dx
(x) Q
(x) P
 DONDE Q(x) 
PRESENTA FACTORES LINEALES O CUADRÁTICOS 
 
Cuando tenemos una integral de la forma  dx
(x) Q
(x) P
, donde Q(x) presenta factores enteros de 
grado uno o dos, se recomienda descomponer la expresión  dx
(x) Q
(x) P
, en fracciones parciales, 
aquí presentaremos sólo 4 casos, los demás casos los presentaremos en el Método 
de 
 
Ostrogradski. 
Cuando grad  P(x) grad  Q(x) , entonces 
(x) Q
(x) P
 admite una división.¡ Hay que dividir! 
CASO 1 : Cuando Q(x) presenta sólo factores Lineales y ninguno se repite. 
Ejemplo: 
Desarrollar : 
x + 1
dx
(x - 1)(x + 2)(x + 3) 
Resolución (a): 
Descomponiendo en Fracciones Parciales: 
x + 1 A B C
= + +
(x - 1)(x + 2)(x + 3) x - 1 x + 2 x + 3
 .......(*) 
Dando común denominador o simplificando: 
x + 1 A(x + 2)(x + 3) + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)(x + 2)
 = 
(x - 1)(x + 2)(x + 3) (x - 1)(x + 2)(x + 3)
 
 x + 1 = A(x + 2)(x + 3) + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)(x + 2) 
Utilizando el método de las raíces, para hallar los coeficientes A, B y C ; en efecto: 
Sí: x = 1 , Entonces: 2 = 12A → A = 
6
1
 
Sí: x = -2 , Entonces: -1 = - 3B → B = 
3
1
 
Sí: x = -3 , Entonces: -2 = 4C → C = 
2
1
− 
 
Reemplazando los valores de A , B y C en (*), luego integrando tenemos: 
 
x + 1
dx
(x - 1)(x + 2)(x + 3) = 
1 dx 1 dx 1 dx
 + - 
6 x - 1 3 x + 2 2 x + 3   
 CÁLCULO INTEGRAL 142 
 =
1 1 1
Ln x - 1 + Ln x + 2 - Ln x + 3 + C
6 3 2
 
 
Resolución (b): Empleando una igualdad que está dentro de las fórmulas importantes: 
 ++−
+
= dx
3)2)(x1)(x(x
1x
dx
Q(x)
P(x)
 
 = C 3 xLn
3)(' Q
3)P(
 2 xLn
2)(' Q
2)P(
 1 xLn
(1)' Q
P(1)
++
−
−
++
−
−
+− 
Siendo: Q(x) = 6x4xx 23 −++ y P(x) = x + 1 
Entonces: 18x3x(x)' Q 2 ++= Entonces: 
 12 183 (1)' Q =++= P(1) = 1 + 1 = 2 
 3116122)(' Q −=+−=− P(-2) = -2 + 1 = -1 
 4124273)(' Q =+−=− P(-3) = -3 + 1 = -2 
 ++−
+
 dx
3)2)(x1)(x(x
1x
= C 3 xLn
2
1
 2 xLn
3
1
 1 xLn
6
1
++−++− 
CASO 2 : Cuando Q(x) presenta factores Lineales y algunos se repiten. 
Ejemplo: 
Desarrollar : 
2
x + 2
dx
(x - 2)(x - 1) 
Resolución : 
 
2
x +2
(x - 2)(x - 1)
 = 
2
A B C
 + + 
x - 2 x - 1 (x - 1)
 ..... (*) 
x + 2 = A(x -1)2 + B(x - 2)(x - 1) + C(x - 2) 
x + 2 = A(x2 –2x + 1) + B(x2 – 3x + 2) + Cx – 2C 
x + 2 = Ax2 –2Ax + A + Bx2 – 3Bx + 2B + Cx – 2C 
x + 2 = (A + B)x2 + (C – 3B – 2A)x + (A + 2B – 2C) 
Por identidad de polinomios: 
3- Cy 4 -B ; 4A : valoreslos hallamos donde De 
2 2C - 2B A 
 1 2A - 3B - C
0 B A 
===





=+
=
=+
 
Reemplazando los valores de A , B y C en (*), luego integrando tenemos: 
2
x + 2
dx
(x - 2)(x - 1) = 
2
dx dx dx
4 - 4 - 3
x - 2 x - 1 (x - 1)   
 CÁLCULO INTEGRAL 143 
 = 
2
d(x - 2) d(x - 1) d(x - 1)
4 - 4 - 3
x - 2 x - 1 (x - 1)   
 = 
3
4Ln x - 2 - 4Ln x - 1 + + C
x - 1
 
CASO 3 : Cuando Q(x) presenta algún factor cuadrático y no se repite. 
Ejemplo : 
1 ) Desarrollar :  ++−
+
dx
) 1x)(x 2(x
1x
2
 
Resolución : 
) 1x)(x 2(x
1x
2 ++−
+
= 
1xx
CBx
2x
A
2 ++
+
+
−
 .......(*) 
2C)(AC)x2B(AB)x(A1x
2)C)(x(Bx1)xA(x1x
2
2
−++−++=+
−++++=+
 
Por identidad de polinomios: 





=−
=+−
=+
12CA
 1C2BA
0BA
 De donde hallamos los valores: 
7
3
A = ; 
7
3
B −= y 
7
2
C −= 
Reemplazando los valores de A , B y C en (*), luego integrando tenemos: 
2
x + 1
dx
(x - 2 )(x + x + 1 ) =
2
3 dx 1 3x + 2
 - dx
7 x - 2 7 x + x + 1  
 =
2
1
(2x + 1 + ) dx
3 d(x - 2) 3 3 - 
7 x - 2 14 x + x + 1  
 = 
2
2 2
3 3 d(x + x + 1) 1 dx
Ln x - 2 - -
7 14 14x + x + 1 x + x + 1  
 = 2
22
1
d x + 
3 3 1 2
Ln x - 2 - Ln x + x + 1 -
7 14 14 1 3
x + + 
2 2
 
 
 
  
       
 
 =
2
1
x + 
3 3 1 2Ln x - 2 - Ln x + x + 1 - arcTg + C
7 14 33
14
22
 
 
 
   
      
 
 CÁLCULO INTEGRAL 144 
 =
2
3 x - 2 3 2x + 1
Ln - arcTg + C
7 21 3x + x + 1
 
 
 
 
2 ) Desarrollar :  −++
+
dx
) 2)(x 1x(x
1x
22
 
Resolución : 
22 ) 2)(x 1x(x
1x
−++
+
 = 
1xx
DCx
2)(x
B
2x
A
22 ++
+
+
−
+
−
 ..... (*) 
222 2)D)(x(Cx1)xB(x2)1)(xxA(x1x −+++++−++=+ 
4D)2A(B4D)x4CA(BD)x4CA(BC)x(A1x 23 +−+−+−++−−++=+ 
Por identidad de polinomios: 
49
8
A:Donde 
14D2AB
 14D4CAB
0D4CAB
0CA
−=







=+−
=−+−
=+−−
=+
 ; 
7
3
B = ;
49
8
C = ;
49
3
D = 
Reemplazando los valores de A , B , C y D en (*), luego integrando tenemos: 
 −++
+
dx
) 2)(x 1x(x
1x
22
=  ++
+
+
−
+
−
− dx
1xx
4
3
2x
49
4
2)(x
dx
7
3
2x
dx
49
8
22
 
 
2 2 2
8 d(x - 2) 3 d(x - 2) 4 ( 2x + 1 )dx 1 dx
= - + + -
49 x - 2 7 49 4(x - 2) x + x + 1 x + x + 1
 
 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 22
1
d x + 
8 3 4 d(x + x + 1) 1 2
= - Ln x - 2 - + -
49 7(x - 2) 49 4x + x + 1 1 3
x + + 
2 2
 
  
   
 
   
        
 
2
1
x + 
8 3 4 1 2= - Ln x - 2 - + Ln x + x + 1 - arcTg + C
49 7(x - 2) 49 33
49
22
 
 
 
   
       
28 3 4 2 3 2x + 1
= - Ln x - 2 - + Ln x + x + 1 - arcTg + C
49 7(x - 2) 49 147 3
 
 
 
 CÁLCULO INTEGRAL 145 
CASO 4 : Cuando Q(x) presenta algún factor cuadrático y se repite. 
Ejemplo : 
1 ) Desarrollar : 
2 2
x + 3
dx
(x - 1 )(x + x + 1 ) 
Resolución : 
Por fracciones parciales: 
22 ) 1x)(x 1(x
3x
++−
+
 = 
222 1)x(x
EDx
1xx
CBx
1x
A
++
+
+
++
+
+
−
 ......(*) 
1)E)(x(Dx1)x1)(xC)(x(Bx1)xA(x3x 222 −++++−++++=+ 
E)C(AE)xDB(2AD)x(3AC)x(2AB)x(A3x 234 −−++−−++++++=+ 
Por identidad de polinomios: 
9
4
A :Donde 
3ECA
 1EDB2A
0D3A
0C2A
0BA
=








=−−
=+−−
=+
=+
=+
 ; 
9
4
B −= ; 
9
8
C −= ; 
3
4
D −= y 
3
5
E −= 
Reemplazando los valores de A , B , C , D y E en (*), luego integrando tenemos: 
 =  ++
−−
+
++
−−
+
−
dx
1)x(x
3
5
x
3
4
dx
1xx
9
8
x
9
4
1x
dx
9
4
222
 
 = 
2 2 2
3
(2x + 1 + )
4 2 (2x + 1 + 3) dx 2 2Ln x - 1 - - dx
9 9 3x + x + 1 (x + x + 1)  
 = 
2 2 2
3
(2x + 1 + )
4 2 (2x + 1 + 3) dx 2 2Ln x - 1 - - dx
9 9 3x + x + 1 (x + x + 1)  
 = 2 2 2 2 2 2
4 2 (2x + 1) dx dx 2 (2x + 1)dx 3 dx
Ln x - 1 - + 3 - +
9 9 3 2x + x + 1 x + x + 1 (x + x + 1) (x + x + 1)
  
   
   
    
2
2 2 2 22 22
1 1
d x + d x + 
4 2 d(x + x + 1) 2 -1 32 2
= Ln x - 1 - + 3 - + 
9 9 3 2x + x + 1 x + x + 11 3 1 3x + + x + + 
2 2 2 2
  
                    
                                          
  







2
 22 22
11 d x + x + 
4 2 2 2 22= Ln x - 1 - Ln x + x + 1 - arcTg + - 
9 9 3 (x + x + 1)33
1 33 
x + + 22
2 2
 
    
   
   
                           

 CÁLCULO INTEGRAL 146 
Observación: 
 C 
au
u
 
a
u
ArcTg
a
1
 
2a
1
)a(u
du
222222
+





+
+





=
+ 
Entonces:
C
2
3
2
1
x
2
1
x
2
3
2
1
x
arcTg
2
3
1
2
3
2
1
1)x(x 3
2
3
12x
arcTg
9
34
 
 1x x
1) (x 
 Ln
9
2
 
22222
2
+






















+





+
+
+












+
















−
++
+




 +
−
++
−
=
 
C
1)x(x 2
12x
3
12x
arcTg
3
32
3
2
1)x(x 3
2
3
12x
arcTg
9
34
 
 1x x
1) (x 
 Ln
9
2
 
222
2
+





++
+
+




 +
−
++
+




 +
−
++
−
=
 
 
2 2
x + 3
dx
(x - 1 )(x + x+ 1 ) C
1)x(x 3
12x
3
12x
arcTg
9
38
 
 1x x
1) (x 
 Ln
9
2
 
22
2
+
++
−
−




 +
−
++
−
= 
 
2 ) Desarrollar :  ++−
+
dx
) 1x(x) 1(x
3x
222
 
Resolución : 
Por fracciones parciales: 
2 2 2
x + 3
(x - 1 ) (x + x + 1 )
 = 
2 2 2 2
A B Cx + D Ex + F
 + + + 
x - 1 (x - 1) x + x + 1 (x + x + 1)
 ......(*) 
2 2 2 2 2 2 2x + 3 = A(x - 1)(x + x + 1) + B(x + x + 1) + (Cx + D)(x - 1) (x + x + 1) + (Ex + F)(x - 1) 
5 4 3 2x + 3 = (A + C)x + (A + B - C + D)x + (A + 2B - D + E)x + (3B - A - C - 2E + F)x 
+ (2B -A + C - D + E - 2F)x + (B - A + D + F) 
 
Por identidad de polinomios: 
A + C = 0
A + B - C + D = 0
A + 2B - D + E = 0
 Donde:
3B - A - C - 2E + F = 0
2B - A + C - D + E - 2F = 1 
B - A + D + F = 3









 
7
A = -
9
; 
4
B = 
9
; 
7
C = 
9
; 
10
D = 
9
; E = 1 ; 
2
F = 
3
 CÁLCULO INTEGRAL 147 
Reemplazando los valores de A , B , C , D , E y F en (*), luego integrando tenemos: 
2 2 2 2 2 2 2
10 2
x + x + 
x + 3 7 dx 4 dx 7 7 3dx = - + + dx + dx
9 x - 1 9 9(x - 1 ) (x + x + 1 ) (x - 1) x + x + 1 (x + x + 1)    
 
 =  ++
++
+
++
++
+
−
−−
222 1)x(x
dx )
3
1
1(2x
2
1
1xx
dx )
7
13
1(2x
18
7
1)9(x
4
 1 - x Ln
9
7
 

















+





+






+
+
++
−








+





+






+
++++
−
−−=
2
22
222
2
2
3
2
1
x
2
1
xd
6
1
1)x(x 2
1
 
2
3
2
1
x
2
1
xd
18
13
 1x xLn
18
7
1)(x 9
4
 1 - x Ln
9
7
 
1)x(x 2
1
 
2
3
2
1
x
 arcTg
2
3
18
13
 1x xLn
18
7
1)(x 9
4
 1 - x Ln
9
7
 
2
2
++
−












+








++++
−
−−= 
C
2
3
2
1
x
2
1
x
2
3
2
1
x
arcTg
2
3
1
2
3
12
1
222
+






















+





+
+
+












+
















+ 
1)x(x 2
1
3
12x
arcTg
27
313
1)(x 9
4
 
1 x
1x x 
 Ln
9
7
 
2
2
++
−




 +
+
−
−
−
++
= 
 C
1)x(x 2
12x
3
12x
arcTg
3
32
9
1
2
+





++
+
+




 +
+ 
 
C
1)x(x 9
4x
3
12x
arcTg
9
35
1)(x 9
4
 
1 x
1x x 
 Ln
9
7
 
2
2
+
++
−
+




 +
+
−
−
−
++
= 
CASO 5 : Cuando Q(x) presenta raíces múltiples, es decir el exponente de sus factores es 
elevado  3. 
Ejemplo: 
Desarrollar : 
3 2
dx
(x - 1) 
Resolución : 
Para estos casos es recomendable integrar utilizando el Método de Ostrogradski. 
MÉTODO DE OSTROGRADSKI 
 CÁLCULO INTEGRAL 148 
Una integral que tiene la forma de:  dx
(x) Q
(x) P
; donde Grad  P(x) < Grad  Q(x) . 
Además Q(x) tiene raíces múltiples, se puede expresar de la siguiente manera: 
 
 
 
 
P(x)
dx
Q(x) = 1
1
P (x)
Q (x)
+ 2
2
P (x)
dx
Q (x) .........(*) 
 
Donde: 
1) ( )1Q (x) M.C.D Q(x);Q (́x)= 
2) (x)QQ(x)(x)Q 12 = 
3) (x)P1
es un polinomio de coeficientes indeterminados tal que: Grad  (x)P1
 = Grad   1(x)Q1 − 
4) (x)P2
es un polinomio de coeficientes indeterminados tal que: Grad  (x)P2
= Grad   1(x)Q2 − 
❖ Los valores de los coeficientes indeterminados se conocerán derivando (*); y luego se 
hará una identidad de polinomios. 
 
 
Desarrollar :  − 23 ) 1(x
dx
 
Resolución : 
3 2
dx
(x - 1 ) = 1
1
P (x)
Q (x)
+ 2
2
P (x)
dx
Q (x) .........(*) 
(1) ( )3 2 2 3 3
1Q (x) = M.C.D (x - 1) ; 6x (x - 1) = x - 1 
(2) 3 2 3 3
2Q (x) = (x - 1) ÷ (x - 1) = x - 1 
(3) 2
1P (x) = Ax + Bx + C 
(4) 2
2P (x) = Dx + Ex + F 
Reemplazando (1) ,( 2) ,( 3) y (4) en (*): 
3 2
dx
(x - 1 ) = 
2 2
3 3
Ax + Bx + C Dx + Ex + F
+ dx
x - 1 x - 1 …..(**) 
Derivando (**) tenemos: 
3 2 2 2 3
3 2 3 2 3 2
1 (2Ax + B)(x -1 ) -3x (Ax + Bx + C) (Dx + Ex + F)(x - 1 )
 = + 
(x - 1 ) (x - 1 ) (x - 1 )
 
1 = 
4 3 4 3 2 5 2 4 32Ax - 2Ax + Bx - B - 3Ax - 3Bx - 3Cx + Dx - Dx + Ex - Ex + Fx - F 
 CÁLCULO INTEGRAL 149 
1 = 5 4 3 2Dx + (E - A)x + (F - 2B)x + (-3C - D)x + (-2A - E)x + (-B - F) 
Por identidad de polinomios: 
 
 D = 0
 E - A = 0
 F- 2B = 0 
 Donde:
 -3C - D = 0
 -2A - E = 0
 -B - F = 1









 A = 0 ; 
1
B = - 
3
; C = 0 ; D = 0 ; E = 0 ; 
2
F = -
3
 
Reemplazando los valores obtenidos en (**), tenemos: 
 − 23 ) 1(x
dx
 = 

1 I
33 1x
dx
3
2
1)3(x
x
 −
−
−
− …..(α) 
Resolviendo I 1 : 
 ++−
=
−
=
1)x1)(x(x
dx
1x
dx
I
231 ....Por fracciones parciales 
1xx
CBx
1x
A
1)x1)(x(x
1
22 ++
+
+
−
=
++−
 ....( ) 
1 = 1)C)(x(Bx1)xA(x 2 −++++ 
1 = C)(AC)xB(AB)x(A 2 −++−++ 
Por identidad de polinomios: 
:Donde 
1CA
 0CBA
0BA





=−
=+−
=+
3
1
A = ; 
3
1
B −= y 
3
2
C −= 
Reemplazando los valores de A , B y C en ( ), luego integrando tenemos: 
2
dx
(x - 1)(x + x + 1) = 
2
1 dx 1 x + 2
 - dx
3 x - 1 3 x + x + 1  
 =
2
1 1 (2x + 1 + 3) dx
Ln x - 1 -
3 6 x + x + 1 
 = 
2
2 22
1
d x +
1 1 d(x + x + 1) 1 2
Ln x - 1 - - 
3 6 2x + x + 1 1 3
x + + 
2 2
 
 
 
  
       
 
 
 CÁLCULO INTEGRAL 150 
 = 2
1
x + 
1 1 1 2Ln x - 1 - Ln x + x + 1 - arcTg + C
3 6 33
2 
22
 
 
 
   
       
 
 =
3
6 2
 x - 1 3 2x + 1
Ln - arcTg + C
3 3 x + x + 1
 
 
 
 .... (β) 
Luego (β) en (α) tenemos : 
 
3 2
dx
(x - 1 )
  = 
3
3 6 2
x 2 x - 1 3 2x + 1
- - Ln - arcTg + C
3 33(x - 1) 3 x + x + 1
  
  
   
 
 
Desarrollar :  +
+
xTg1
xdx1)Secx(Sec
3
22
 
 
Resolución : 
  +
+
xTg1
xdx2)Secx(Tg
3
22
 
 Sea : u = Tgx → du = xdxSec2 
Reemplazando: 
 
   +−+
+
=
+
+
1)uu)(u(1
2)du(u
u1
2)du(u
2
2
3
2
 
 =
2
2
(u u 1 1 + u)du
(1 u)(u u 1)
− + +
+ − + 
 =   +−
+
+ 1uu
du
1u
du
2
 
 =  +
+
+
1)(u
1)d(u
22
1
d u - 
2
1 3
u - + 
2 2
 
 
 
  
       

 
 CÁLCULO INTEGRAL 151 
 =
1
u
1 2 Ln u 1 arcTg + C
33
 
22
 
− 
 + +
   
       
 
 = 2 3 2u 1
 Ln u 1 arcTg + C
 3 3
 −
+ +  
 
 
Luego reemplazando u = Tgx , tenemos : 
 
 = 2 3 2Tgx - 1
Ln Tgx + 1 + arcTg + C
 3 3
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS : 
Desarrollar las siguientes integrales : 
 
1) 
++
+
dx
4x4x
3x5
2
 2) 
−
−
dx
1x
1x2
3
2
 
3) 
+−
+
dx
6x7x
1x2
3
 4) 0a;
)xx(a
dx
22

− 
5) 
+ 23 xx
dx
 6)  +−
−−
dx
1xx
83xx
2
2
 
7) 
+
+
dx
)2x(
1x
2
2
 8)  +
+
dx
4xx
1x
3
 
9) 
+
dx
1x
x6
2
3
 10)  −
dx
2x
x 3
 
11) 
+
+++
dx
)4x(x
8x5x2x
22
23
 12)  ++
+
dx
22xx
54x
2
 
13) dx
1)x(x2)(x
113x7x4x3x
22
234
 ++−
+−+−
 14) dx
42)8x(x
53x
22 +−
−
 
 CÁLCULO INTEGRAL 152 
15) 
−
dx
1x
x
2
3
 16) 
2
dx
(x + 1)(x + 1) 
17)  +−
dx
3x4x2
x2
2
3
 18) 
2
2 2
1 + 2x - x
dx
(1 + x) (1 + x ) 
19) 
4 3
dx
(x - 1) 20) 
2 2
x
dx
(x + 1) (x + 1) 
21)  −+
++
dx
4x3x
1x12x5
23
2
 22) 
3 2
2 2
x + 2x + 5x + 8
dx
x(x + 4) 
23) 
2
3 2
x + 1
dx
(x + 3x - 7) 24) 
7 5
3
x + x + 1
 dx
x - 1 
25)  −+
+
dx 
43
1
23
2
xx
x
 26) 
2 2
x - 2
dx
x(x - 4x + 5) 
 
27) 
2 2 2
dx
x ( 1 + x )(x + 4) 28) 
4
2 3
(x + 1)
dx
(x + 2x + 2) 
29) 
5 4
2 2
x + x + 1
dx
(x + x + 1) 30) 
2 3
dx
(x + 9) 
31) 
+−
++
dx
xx2x
1xx
345
2
 32)  ++
dx
)xx)(1(1
2x
22
 
33)  −
dx
3)(2x5x
9
322
 34)  +
−−+
dx
1)(xx
24xxx
223
246
 
35)  +
+
dx
1)(xx
43x
322
4
 36)  + 23 ) x1 (
dx
 
37) 
+−−
dx
x4x4x
8x5
23
 38)  +
−−−−
dx
1)(xx
2524x26xxx
223
245
 
39)  + 1)²(x
dx
4
 40)  +
+
dx
4xx²
12x
 
41)  −
−
dx
1²x 
62x
 42)  −+
dx
82xx
3x
2
 
 CÁLCULO INTEGRAL 153 
43)  − )4²x(x
dx
 44)  +++
dx
611x6xx
x
23
 
45) dx
xx
2xx5
3
2
 −
−+
 46)  −
−+
dx
xx
1x5x2
3
2
 
47)  −−
−
dx
2)xx(x
x4
2
 48)  −−
−−
dx
)1x()9x(
18x3x
2
2
 
49) 
x² - 6x + 4
dx
x³ - 3x² + 2x 50) 
x² + 1
dx
x³ + x² - 2x  
51) 
6x² + 22x + 18
dx
x³ + 6x² + 11x + 6 52)
1 + x³
dx
x³ - 4x 
53)  −−+
dx
36x9²x4³x
²x
 54) 
-14x + 20
dx
x³ + 4x² - 5x 
55) 
2x - 12
dx
x³ - 4x 56)
2
3x - 2
dx
( x - 1 ) 
 
57) 
3 2
4
4x + 18x + 30x +17
dx
(x + 2) 58) 
2
2
2 - x - x
 dx
(x + 1) 
59) 
2 2
3
4 - π - 2πx - x
 dx
(x + π) 60) 
2
3
x - 4x + 5
 dx
(x - 1) 
61) 
2 2
2 2 2
x + a
 dx
(x - a ) 62) 
3 2
3
2x - 5x + 6x + 1
 dx
x(x + 1) 
63) 
5 4 3
x +2
dx
x - 2x + x 64)  −
+
dx
1)(4x
1x
22
3
 
65)  −
++−
dx
3)(xx
xx6x9
22
32
 66)  −
++
dx
1)(x
54xx
3
2
 
67)  −−
−+−
dx
2)(x1)(x
9)14x7x2(x
22
23
 68)  +
++
dx
1)(xx
1)3(xx
34
34
 
69)  ++ d)(cxb)(ax
dx
2
 70) dx
2)(x1)(x
x4x7x5
23
32
 −−
−+−
 
 CÁLCULO INTEGRAL 154 
71)  + 4)x(x
dx
2
 72)  + 2222 )w(xx
dx
 
73)  +
+
dx
xx
1x
24
 74)  +−
dx
17x8x16
x32
2
 
75)  +−
−
dx
58x4x
78x
2
 76) dx
n2nx2x
x
22 +−
 
77) dx
106xx
73x
2 +−
−
 78)  +
dx
)π(xx
π
224
5
 
79) dx
a4x
x
44
2

+
 80)  + 44 a4x
dx
 
81) 
3 2
4
x + x - 2
 dx
x + 4 82) 
3 2
4
x + 2x - 2x
 dx
x + 4 
83) 
2 2 2 2
x
 dx
(x + a )(x + b ) 84) 
3 2
2 2
x - 2x + x
 dx
(x - 4x + 5)(x - 2x + 5) 
 
85) 
+
dx
1x
x
2
2
 86) 
2
2 2
x + 2x
 dx
(x + 2x + 2) 
87) 
3 2
2 2
x - 8x + 22x + 22
 dx
(x + 6x +10) 88) 
2
2 2
x - 6x + 7
 dx
(x - 4x + 5) 
89) 
3 2
2 2
x - 3x + 6x - 4
 dx
(x - 2x + 2) 90) 
3 2
2 2
2(x + 2x - x + 47)
 dx
(x + 4x + 13) 
91) 
3 2
2 2
x + 3x - x - 3
 dx
(x + 2x + 5) 92) 
3 2
4 2
2x + x + 5x + 4
 dx
x + 8x + 16 
93) 
2 2
dx
(x + 1) 94) 
3 2
3 3
(2x - 1)x
dx
(1 + x ) 
95) 
2 2
2x 5
 dx
(x 1) (x 3)
+
+ − 96) dx
1x2x
53x
2 ++
+
 
97) dx
1)2x(x
15x
22 ++
+
 98) dx
9)(x
8110x18xxx
32
234
 +
++++