12 1 Guia 05 de integración

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO 
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA 
CURSO: MATEMÁTICA II 
 PROFESOR: RICARDO A. GUTIÉRREZ TIRADO 
 
GUIA DE ESTUDIO N° 4 
 
 
CONTENIDO : 
 
1.-Integración de funciones hiperbólicas: 
• Recuerdo de algunas definiciones e identidades más importantes. 
• Recuerdo de algunas integrales inmediatas. 
• Ejercicios. 
 
2.-Integración de funciones que cumple las condiciones de Chebishev: 
• Desarrollo de los 3 casos. 
• Ejercicios. 
 
 
OBJETIVOS: 
 
1) Hacer que el alumno conozca el mecanismo para integrar funciones hiperbólicas. 
 
2) Reconocer las condiciones que debe cumplir una integral para que se pueda llamar de 
 “Chebishev”, así como también indicarle la sustitución adecuada. 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA 
RICARDO A. GUTIÉRREZ TIRADO CÁLCULO INTEGRAL 
 
1 
1.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS: 
 
 Para integrar funciones hiperbólicas se utiliza los mismos criterios que para funciones 
trigonométricas o para funciones exponenciales de la forma ex. 
 
Recordando: 
2
e e
senhx
xx −−
= 
2
ee
xcosh
xx −+
= 
 
xx
xx
ee
ee
tanhx
−
−
+
−
= 
 
• 1xsenhxcosh 22 =− 
• ctgh2x – 1 = csch2x 
• xhsecxtanh1 22 =− 
• ( ) 1x2cosh 
2
1
xsenh2 −= 
•  += C xcoshdxsenhx 
•  += Csenhxdxxcosh 
•  += Cxtanhdxxhsec 2 
•  +−= Cctghxdxxhcsc 2 
•  +−= Chxsecdxxtanhhxsec 
•  +−= Chxcscctghxdxhxcsc 
• ysenhxcoshycoshxsenh)yxsenh( +=+ 
• ysenhxsenhycoshxcosh)yxcosh( +=+ 
 
❖ Ejemplo: 
1) dxxsenh2
 
 Solución: 
  −= dx) 1x2cosh (
2
1
dxxsenh2 
  −= dx 
2
1
 xdx2 cosh 
2
1
 dxxsenh2 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA 
RICARDO A. GUTIÉRREZ TIRADO CÁLCULO INTEGRAL 
 
2 
 C
2
x
x2senh 
4
1
 dxxsenh2 +−= 
 
También se puede trabajar como función exponencial: 
 dx
2
ee
dxxsenh
2
xx
2
 




 −
=
−
 
 
−− +−= dx)eee2e(
4
1
dxxsenh x2xxx22 
 
−+−= dxe
4
1
dx
2
1
dxe
4
1
dxxsenh x2x22 
 Ce
8
1
2
x
e
8
1
dxxsenh x2x22 +−−= −
 
 C
2
x
2
ee
 
4
1
dxxsenh
x22x
2 +−







 −
=
−
 
 C
2
x
x2 senh
4
1
dxxsenh2 +−= 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA 
RICARDO A. GUTIÉRREZ TIRADO CÁLCULO INTEGRAL 
 
3 
Nota: Para casos más generales de integración de funciones hiperbolicas podemos utilizar los 
mismos criterios que funciones trigonométricas es decir tambien se reduce al estudio de los 
siguientes casos: 
 
1) nSenh xdx 2) nCosh xdx 3) nTgh xdx 4) nCtgh xdx 
5) nSech xdx 6) nCsch xdx 7) m nSenh x Cosh xdx 
8) 
m
 n
Senh x
dx ; m n
Cosh x
 9) 
m
 n
Cosh x
dx ; m n
Senh x
 10) 
 m n
dx
Senh x Cosh x 
 
*Se deja al lector el desarrollo de cada caso tomando como referencia la guía anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA 
RICARDO A. GUTIÉRREZ TIRADO CÁLCULO INTEGRAL 
 
4 
2.- INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:  + dx)bxa(x pnm
 
 donde m, n y p  Q. 
 Cuando una integral tiene la forma :  + dx)bxa(x pnm y cumple alguna de las condiciones 
 de Chebishev, entonces es recomendable hacer las siguientes sustituciones, según sea el 
 caso. 
 
* Para el caso 1: 
Si p  Z, entonces hacer x = t r = m.c.m. ( denominador de m y n ) 
 
* Para el Caso 2: 
 Si 
+
n
1m
, entonces hacer a + bx n = t r = denominador de p 
 
* Para el Caso 3: 
 Si +
+
p
n
1m
, entonces hacer n
n
n
axb
x
bxa −+=
+
 = t r = denominador de p 
 
❖ Ejemplos: 
Desarrollar: 1) dx 
x1
x
 
4/3
+
 
 Solución: 
 I = 
−+=
+
dx ) x1 ( x 
x1
dxx 14/32/1
4/3
 
 Donde: m = 1/2 ; n = 3/4 ; p = -1 
 entonces estamos en caso 1 
 hacemos x = t4 = m.c.m. ( denominador de m y n) 
 dtt4dx 3= 
 reemplazando en la integral tenemos: 
 I =    +
=+=+ −−
3
5
1353132
t1
dtt
4dt)t1(t4dtt4)t1(t 
 haciendo u = 1 + t3 
 tenemos: du = 3t2 dt 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA 
RICARDO A. GUTIÉRREZ TIRADO CÁLCULO INTEGRAL 
 
5 
dtt
3
du
 ) 1u ( 5=− 
 I = 
−
du
u
)1u(
3
4
 
 I =  −
u
du
3
4
du
3
4
 
 I = Cu Ln
3
4
u
3
4
+− 
 I =   Ct1 Lnt1
3
4 33 ++−+ 
 I =   C x1 Lnx1
3
4 4/34/3 ++−+ 
 
 Desarrollar: 2) 
−
dx
x
 ) xx (
 
6
5/15
 
 Solución: 
 I =   −=−=
− −− dx)x1(xdx) x1 (xxdx
x
 ) xx ( 5/145/295/1465/1
6
5/15
 
donde: m = - 29/5 ; n = 4 ; p = 1/5 
 Como: −=+
+−
1
5
1
4
1
5
29
, entonces estamos en el caso 3 
 Hacemos: 
 dtt5dxx4t1xt
x
x1 45545
4
4
=−=−=
− −− 
 dttx5dxxx4dtt5dxx4 45/45/45/2545/25 −−−− =−=− 
 dt
x4
t5
dxxdt
x
t5
dxx4
5/4
4
5/29
5/4
4
5/29
−
==− −− 
 reemplazando en la integral tenemos: 
 I = dt
x
x1
t
4
5
dt
x
)x1(t
4
5
5/1
4
4
4
5/4
5/144







 −
−=
−
−  
 I = C
6
t
4
5
dt)t(t
4
5
dt)1x(t
4
5 6
45/144 +−=−=−−  
−
 
 I = ( ) C1x
24
5 5/64 +−− − 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA 
RICARDO A. GUTIÉRREZ TIRADO CÁLCULO INTEGRAL 
 
6 
 Desarrollar: 3) 
+
dx
x
x1 3
 
 Solución: 
 I =  +=
+ − dx)x1(xdx
x
x1 3/12/11
3
 
 Como =
+−
0
2
1
11
, entonces esta integral es de chebishev, 2do caso. 
 entonces hacemos: 
 dt 3t dxx
2
1
1txtx1 22/132/132/1 =−==+ − 
 dtt1)- t( 6dxxdtt) 1t ( 3dxxx
2
1 21-312132/12/1 =−= −−−− 
 reemplazando en la integral tenemos: 
 I =  
−− −=+− dt)t(t)1t(6dt)x1( t )1t(6 2133/12/1213 
 
1t
dt
 6 dt 6 dt 
1t
dt ) 11 t(
 6 dt 
1t
t
 6 I
33
3
3
3
  
−
+=
−
+−
=
−
= 
 dt
1tt
2 t 
 - 
1t
1
 2 t d 6 I
2 





++
+
−
+= 
 dt 
1 t t
) 3 1 t 2 (
 - 
1-t
dt
 2 dt 6 I
2 
++
++
+= 
 
2
3
2
1
t
dt
 3 - 
1 t t
) 1 t td(
 - 
1-t
dt
 2 dt 6 I
222
2
  








+





+
++
++
+= 
 C 
3
1 2t 
 arctg 3 2 - 1 t tLn - 1 - t Ln 2 t6I 2 +




 +
+++= 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA 
RICARDO A. GUTIÉRREZ TIRADO CÁLCULO INTEGRAL 
 
7 
EJERCICIOS 
 
 a) Desarrollar las siguientes integrales hiperbólicas: 
 1)  xcosh
dx
2
 2)  + dx)axsenhax(cosh 22
 
 3)  + xsenhxcosh
dxex
 4)  xdxtanh 2
 
 5)  xdxtghc 2
 6)  xdxtanh 4
 
 7)  xdxtghc 4
 8)  xdxtghc 5
 
 9)  )2/x(cosh4
dx
4
 10)  dx
xsenh
e
4
x2
 
 11)  xdxcoshxsenh 32
 12)  xcoshxcosh
dx
 
 13)  xcosh
dxx
2
 14)  xcoshxsenh
dx
2
 
 15)  − xcosh4senhx3
dxxcosh
 16)  +1tanhxdx
 
 17)  + xcosh2xsenh
dx
 18)  + xcosh1.0
dx
 
 19) ( )dx1xcoshxtanh 2
 −− 
 
 b) Desarrollar las siguientes integrales: 
 1) 
( )
+
dx
 x1
x
23
 2)  + dxx13 4 
 3) 
+3 3x1
dx
 4)  + dx)x1(x 4
 
 5) 
+ 411 x1x
dx
 6) 
−
dx
x
x1
5
4
 
 7) 
+
dx
x
x13
 8) 
+
dx
x
x1
2
3 3
 
 9) dxxx33 3
 + 10) 
+
x
dxx1
3 5