14 4 Áreas - Ejercicios

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EJERCICIOS..areas 
 
I. En cada uno de los siguientes ejercicios, graficar la región Ω y hallar su área. Ω 
esta limitada por las graficas de: 
 
1. 0,
2
,
6
,cos ==−== yxxxy

 
 
2. 0,0,2,322 ==−=−+= yxxxxy 
 
3. 1,9 22 +=−= xyxy 
4. 2,1,0,
1 2
2
=−==
+
−
= xxy
x
xx
y 
5. xxyxxy −=−= 22 ,3 
6. xyxyx cos
3
2
,tan,0 === 
7. 0,2,0,3 ===+= yyxxxy 
8. ( ) exyxy === ,4ln,ln 2 
9. 4ln,0,0, ==== yyxex y 
10. 0,
2
3
arccos,arctan =





== y
x
yxy 
11. 1,arccos,arcsin === xxyxy 
12. 2422,223 23 +−=++−= xxyxxxy 
13. Ω es la región de mayor área encerrada por las curvas 02 32 =− yx , 082 =− yx , 
3=y . 
14. 0),1ln(),1ln(4 =+=+−= xxyxy 
15. Ω es la región de menor área encerrada por las curvas 2022 =+ yx , 
32 2xy = . 
16. Ω es la región encerrada por la elipse 
222222 bayaxb =+ 
 
 
17. Ω es la región de mayor área encerrada por las graficas de 045 2 =− yx y la 
elipse cuyos focos son los puntos )6,0(  y cuya longitud de su eje menor es 6. 
18. 02,0,0 32 =−+=−=− yxxyxy 
19. 




−
−
−−
−+
=





−
=
4,
4,
163
16
488
,
0,
0,
4
4 22
x
x
x
xx
y
x
x
x
xx
y 
20. 0,0),2(4)4( 2 ==−=+ xyxxy 
21. xyxyxxy −==−+= 8,,43 
22. 1,, === − xeyey xx 
23. 2,0,0,1,22 2 ===+=+= xyxyxxy 
24. 3,1,0,2 2 ===+−= xxxyxy 
25. 0,1,32 =−=−= yxyxy 
26.   02,0,2,0cossin =−=+=  xxyxxy 
27. 0,3,3,
16
4
2
2
==−=
−
−
= yxx
x
x
y 
28. 0,arccos,arcsin === xxyxy 
29. 0,arccos,arcsin === yxyxy 
30. 



−−

===+
x
ttt
tt
tfdttfyxy
0
2
2,2
2,3
)(donde)(,0 
31. 0,
3
,0,tan2 ==== xxyxy

 
32. 2,1,4,22 ===+= xxyxyx 
33. xyxy 8,4 == 
34. ( )xyxxy sin,3 =−= 
35. 256,23 2323 −+=++= xxyxxy 
36. 124,8, 22 +=−== xyxyxy 
37. 52,4 2 =+−= yxyyx 
38. 0,tan,sec 22 === xxyxy 
 
 
39. xyxyxy 2,2, 22 === 
40. 2
2
2,
1
1
xy
x
y =
+
= 
41. 323232 ayx =+ 
42. 
22
3
2
4
8
,4
ax
a
yayx
+
== 
43. 0,20 32 =−+= yxxxy 
44. 652,652 3223 −−+=+−−= yyyxyyyx 
45. 
4
3
,arcsin == xxy 
46. 
xyxey x == − ,
228
 
47. 4,0,0,
4
8
4
===
+
= xxy
x
y 
48. xyexy x 4,
2283 == −
 
49. 2,0,2,1 2 ==−=−= xxxxyxy 
50. 1,1,11 33 =−=−−+= xxxxy 
51. ( ) 85,16
2
=+=+ yxxyx 
52. 4,62 =−−−−= yxxxy 
53. 02,35 =−++−−= yxxxy 
54. 0,,,cossin ==−=+= yxxxxy  
55. 0,1,0,
4
3
2
2
===
−
= yxx
x
x
y 
56. ( ) 1,2,60 2345 =−=+−= xxyxxxy 
57. 
6
,0,,sin

===+= xxxyxxy 
58. 02,8,228 2323 =−+=−+= yyyxyyyx 
59. 0,0 23 =+−=−+ yyxyyx 
60. axx
a
x
a
x
cy ==

















= ,0,sinlnsin 
 
 
61. ( ) 10,1,0,12
23 ====− xxyxy 
 
 
62. ( ) 0843,84 22 =−−=+ yxxy 
 
63. Ω es un arco de la cicloide cuya ecuación paramétrica es: 
 
 
64. Ω es la región limitada por la astroide taytax 33 sin,cos == 
 
65. Ω es la figura comprendida entre la hipérbola 922 =− yx , el eje X y el diámetro 
de la hipérbola que pasa por (5, 4) 
 
 
 
66. Ω es la región limitada por la grafica de ( )
21
2
x
x
xf
+
= , el eje X y las dos rectas 
verticales correspondientes a las abscisas de los puntos máximos absolutos. 
 
 
67. Ω es la región limitada por la grafica de ( ) 242 xxxf −= , el eje X y las dos 
rectas verticales correspondientes a las abscisas de los puntos mínimos relativos. 
 
 
68. Ω es la región encerrada por 
422 xxy −= 
 
 
69. Ω esta limitada por un lazo de la curva ( )22442 xaxya −= 
 
 
70. Ω esta encerrada por un lazo de la curva ( )axaxbya 216 22224 −= 
71. Ω esta encerrada por un lazo de la curva ( ) 222322 4 yxayx =+ 
72. Ω esta encerrada por la lemniscata ( ) ( )222222 yxayx −=+ . 
73. Ω esta acotada por ( ) 52 =+ xay y el semicírculo superior de 0222 =−+ yyx 
74. Ω esta encerrada por la elipse (de eje oblicuo) ( ) 22
43 xxy −=+− 
75. ( ) 2,2ln,9 2 =−=−= yxyxy