16 2 Función gamma y beta

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
TEMA: FUNCIÓN GAMMA Y FUNCIÓN BETA
1. Función Gamma
DEFINICIÓN.- La función Gamma, denotada por , se define por la siguiente 
integral impropia: 


−−=
0
1 (n) dxex xn
PROPIEDADES IMPORTANTES
)()1() nnna =+
= )2/1()b
)(n
Obs: El valor de dicha integral es : ( )!1-n (n) =
( )( )( )( )( ) 12012345!5 ==Donde ( )( )( )( )( )( ) 120123456!6 ==
Ejemplos : 
1.- Represente la siguiente integral como una función Gamma


−=
0
2 (.......)) dxexa x


−=
0
 (.......)) dxexb x


=
0
1
 (.......)) dx
ex
c
x
Sol
Sol
Sol
2 3 1
0 0
x xx e dx x e dx 
 
− − −= =  𝚪(3)
1 3
1
2 2
0 0 0
x x xxe dx x e dx x e dx
−  
− − −= = =   𝚪(
3
2
)
1 1
1
2 2
0 0 0
1 x x
x
dx x e dx x e dx
xe
− −  
− −= = =   𝚪(
1
2
)
Ejemplos : 
2.- Complete las siguientes igualdades


=
0
........... (3)) dxa


=
0
............... )
2
3
() dxb


=
0
............ )
2
3
(-) dxc
Sol
Sol
Sol
3 1 2
0 0
x x(3) x e dx x e dx
 
− − − = = 
3 1
1
2 2
0 0 0
x x x3
( ) x e dx x e dx xe dx
2
−  
− − − = = =  
3 5
1
2 2
0 0
x x3
(- ) x e dx x e dx
2
− − − 
− − = = 
Ejemplos : 
3.- Calcule las siguientes funciones Gamma
 (4)) a
 )
2
3
() b
 )
2
5
() c
Sol
Sol
Sol
(4) 3! (3)(2)(1) 6 = = =
3 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2


       
 = + =  = =       
       
2
5 3 3 3 3 1 3 3
1
2 2 2 2 2 2 42

 
        
 = + =  = = =        
        
Ejemplos : 
3.- Calcule las siguientes funciones Gamma
imparn
n
Generalicef ,3
2
) 






 )
2
7
() d
 )
2
9
() e Sol
Sol
Sol
2
7 5 5 5 5 3 15
1
2 2 2 2 2 82
 
        
 = + =  = =        
        
2
9 7 7 7 7 5 3 105
1
2 2 2 2 2 2 162
 
         
 = + =  = =         
         
( )
( ) ( )( )( )....642!!;
2
!!2
2
)
2
1
−−−=
−
=






−
nnnnn
nn
f
n

Ejemplos : 


−
0
2) dxexa x
4.- Utilice la función Gamma para evaluar las siguientes integrales 
Sol
2 2=  =Sea u x du dx
2 2
 =  =x
u u
x
0 0→  →Si x u
→   → Si x u
2
0 0
1
22
 
− −= = 
x u du
I xe dx ue
1 3
1
2 2
0 0
1 1
2 2 2 2
  −
− −= = 
u uI u e du u e du
1 3 1 1 1 1 1
1
2 2 2 22 2 2 2 2 2
  
       
= = + =       
       
I
1 1 2 2
2 82 2 2


  
= =       
I
EJEMPLOS : 


0 3
2
) dx
e
x
b
x
4.- Utilice la función Gamma para evaluar las siguientes integrales 
Sol
2 3
0

−= 
xI x e dx
3 3
3
=  =  =
du
Sea u x du dx dx
0 0→  →Si x u
→   → Si x u
2
2 3
0 0 3 3
 
− − 
= =  
 
 
x uu du
I x e dx e
2 3 1
0 0
1 1
27 27
 
− − −= = 
u uI u e du u e du
( ) ( )
1 1 2
3 2
27 27 27
= = =I !
EJEMPLOS : 
4.- Utilice la función Gamma para evaluar las siguientes integrales 


0
4) dxxLnc
Sol
0 1 0   Como x Lnx
0= −   Sea Lnx u ; u
− −=  =−u uSea x e dx e du
0→  →Si x u
1 0=  =Si x u
( ) ( )
0 44
0

−

= = − − 
uI Ln x dx u e du
0
4 4
0

− −

=− = 
u uI u e du u e du
( )5 1
0
5 4 24

− −= = = =
uI u e du !
2. FUNCION BETA
DEFINICIÓN.- La función Beta, denotada por , se define por la siguiente 
integral impropia: 
PROPIEDADES IMPORTANTES
( )nmB ,
( ) ( )
−− −=
1 11 1, dxxxnmB
nm
( ) ( ) ( )
−−=
2
1212,
2
1 
 dCosSennmB nm
( )
( ) ( )
( )nm
nm
nmB
+

=,
( )
( )

+
−
+
=
0 nm
1m
dx
x1
x
n,mB
b) Para todo m > 0 ; n > 0, se cumple: 
c) Para todo m > 0; n > 0, se cumple : 
d) Para todo m < 0 y n < 0, se cumple:
( ) ( )mnBnmBa ,,) =
Ejemplos : 
1.- Represente la siguiente integral como una función Beta
( ) ( ) −=
1 33 1....;....) dxxxBa
( ) ( )
1 13 4 13 4 11 1
−−
 
= − = − = I x x dx x x dx
Sol
𝑩 𝟒; 𝟒
( )
( )

−
=
1 1
....;....) dx
x
x
Bb
( )
( ) ( )
1 11 311 1 1 1
2 22 2
1
1 1
− − −
  
−
= = − = − =  
x
I dx x x dx x x dx
x
Sol
𝑩
𝟏
𝟐
;
𝟑
𝟐
Ejemplos : 
1.- Represente la siguiente integral como una función Beta
( ) = 2 65 cos....;....)

xdxxsenBc
( )
7
2 1
2 3 15 6 22 2
 
− −  
 
= = = I sen xcos xdx sen xcos xdx
 
Sol
𝑩 𝟑;
𝟕
𝟐
1
2 1
5 2 3 1 22 2
 
− 
−  
 
= = = 
( )I sen xdx sen cos xdx
 
( ) = 2 5....;....)

xdxsenBd
𝑩 𝟑;
𝟏
𝟐
Sol
( ) ( )
1 3 12 12 3 1
−−

= − =B ; x x dx
EJEMPLOS : 
2.- Complete las siguientes igualdades
( ) =
1
...........3;2) dxBa
Sol
න
𝟎
𝟏
𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙
=




 1
............4;
2
1
) dxBb
Sol
( ) ( )
1 1
11 14 1 3
2 2
1
4 1 1
2
− −−
 
 
= − = − = 
 
 B ; x x dx x x dx ඲
𝟎
𝟏
𝟏 − 𝒙 𝟑𝒅𝒙
𝒙
Ejemplos : 
=




 2 .............
2
1
;3)

dxBc
Sol
( ) = 2 ..........5;3)

dxBd
Sol
( ) ===





 
−





− 2 052
1
2
1
2
132 coscos
2
1
;3

dxxxsendxxxsenB
( ) ( ) ( ) == 
−−2 152132 cos5;3

xdxxsenB

2 5

dxxsen

2 95 cos

xdxxsen
Ejemplos : 
3.- Utilizando las funciones Gamma, exprese las siguientes funciones Beta
( )3;2) Ba
( )5;3) Bb
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )5
32
32
32
3;2


=
+

=B
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )8
53
53
53
5;3


=
+

=B
Sol
Sol
Ejemplos : 
3.- Utilizando las funciones Gamma, exprese las siguientes funciones Beta






2
1
;3) Bc
Sol
( ) ( )














=






+







=





2
7
2
1
2
2
1
3
2
1
3
2
1
;3B
Ejemplos : 
3.- Utilizando las funciones Gamma, exprese las siguientes funciones Beta






4;
2
1
) Bd
Sol
( ) ( )














=






+







=





2
9
4
2
1
4
2
1
4
2
1
4;
2
1
B






2
5
;
2
1
) Be
Ejemplos : 
3.- Utilizando las funciones Gamma, exprese las siguientes funciones Beta
Sol
( )3
2
5
2
1
2
5
2
1
2
5
2
1
2
5
;
2
1














=






+













=





B






3
2
;
3
1
) Bf
Sol
( )












=














=






+













=





3
2
3
1
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
;
3
1
B
Ejemplos : 
4.- Evalúe las siguientes integrales
( ) −
1 33 1) dxxxa
Sol
( ) ( ) ( )4,411
1 1414
1 33 BdxxxdxxxI =−=−=  
−−

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )1234567
123123
!7
!3!3
8
44
44
44
4,4 ==


=
+

== BI
140
1
=I
Ejemplos : 
4.- Evalúe las siguientes integrales

−1 1
) dx
x
x
b
Sol
( ) ( ) 





=−=−=  
−−

−
2
3
,
2
1
11
1 1
2
31
2
1
1
2
1
2
1
BdxxxdxxxI
( ) ( ) ( )2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
,
2
1














=







+






=














=






+













=





= BI
( )( ) 422

==I
Ejemplos : 
4.- Evalúe las siguientes integrales

2 65 cos)

dxxxsenc
Sol
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
6
2
6
3
2
113
2
17
2
10395
2
15
2
1357911
2
135
2
2
!!11
2
!!5
!2
2
13
2
7
3
2
7
,3 ===














=





=
−
−


BI
( )






== 
−





−
2
7
,3
2
1
cos2
1
2
7
2
132 BdxxxsenI

Ejemplos : 
4.- Evalúe las siguientes integrales
……. Continuación
( )( )
( )( )
( )( )
693
16
10395
215
210395
215
2
10395
2
15
2
7
,3
4
2
6
6
2
====





= BI
Ejemplos : 
4.- Evalúe las siguientes integrales

2 5)

dxxsend
Sol
( )






== 
−





−
2
1
,3
2
1
cos2
1
2
1
2
132 BdxxxsenI

( ) ( )
( ) ( )()
( )( )( ) 15
16
135
22
2
!!5
!2
2
7
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
,3
3
2
17

===














=






+







=





=
−
BI
DESARROLLE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS :5/25/25/2 ayx =+1.- Calcule el área limitada por el astroide 
Solución:
Parametrizando el astroide tenemos: 
( ) ( )   2;0;;cos 55 = ttasentat
Recordando la formula para calcular el 
área en coordenadas paramétricas 
( ) ( ) ( )( )  battYtXtSea ;;; =
Una curva paramétrica cerrada de orientación 
positiva, entonces el área limitada por la curva 
esta dada por la siguiente expresión : ( )t
( ) ( )−=
b
a
dttXtYA '
DESARROLLE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS :
( ) −−=
2
0
45 cos5 dttsentatasenA
=
2
0
462 cos5 tdttsenaA
( )( )= 2
0
462 cos45

tdttsenaA
( ) 





==  2
5
;
2
7
20
2
1
cos20 22
0
462 BatdttsenaA

( )6
2
5
2
7
10
2
5
;
2
7
10 22














=





= aBaA
DESARROLLE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS :
( )
( )( ) ( )
!5
2
3
2
35
10
6
2
5
2
7
10
23
22
















=














=

aaA
( )( ) ( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )
2
2
5
2
23
2
128
15
123452
335
10
12345
2
3
2
35
10 m
a
aaA


==
















=
DESARROLLE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS :
2.- Las graficas de las siguientes ecuaciones representan curvas cerradas, calcule 
el área limitada por dichas curvas 
1)
22
=





+





b
y
a
x
a 1)
5
2
5
2
=





+





b
y
a
x
c
1)
3
2
3
2
=





+





b
y
a
x
b 3/23/23/2) ayxd =+