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Los Cuadernos del Pensamiento 
LA NOCION DE 
ESTRUCTURA EN LA 
CIENCIA MATEMATICA 
(Introducción al pensamiento 
matemático actual) 
Pedro Fernaud 
INTRODUCCION 
M
. ucho ha llovido en la tradición inte­
lectual de Occidente desde la mate­
mática pitagórica hasta el momento 
actual. Desde hace más de dos mile­
nios una cierta familiaridad con las matemáticas 
(así, en plural) ha sido considerada como parte 
indispensable de la formación intelectual de to­
da persona cultivada. Recordemos que en la 
Academia platónica no podía ingresarse sin co­
nocimientos previos de Geometría. Durante la 
Modernidad europea las matemáticas estuvie­
ron en el centro de la vida intelectual, desde 
Descartes a Kant. Las matemáticas, el modo de 
pensamiento matemático, era el paradigma del 
pensamiento verdaderamente científico. Galileo 
dirá taxativamente que el gran libro de la Natu­
raleza está escrito en caracteres matemáticos. 
La Matemática actual hunde sus raíces en el 
siglo pasado, en que se produce una des-subs­
tancialización del pensamiento matemático de 
largas consecuencias. La transformación del 
pensamiento matemático es un proceso cons­
ciente: ya desde mediados del siglo pasado se 
vienen empleando para la Matemática los califi­
cativos de moderna o abstracta; simultáneamen­
te con ello se ha prescindido de su nombre en 
plural. En este estudio queremos aproximarnos 
a las razones históricas y científicas que han pro­
piciado y conducido a esta unificación de la 
Ciencia Matemática. 
ESTRUCTURA Y RELACION 
El gran matemático Richard Courant, en su li­
bro What is Matematics ha sintetizado en estos 
términos su visión del proceso unificador de la 
Ciencia Matemática: «A través de los tiempos, 
los matemáticos consideraron sus objetos, tales 
como puntos, números, etc., como cosas sustan­
ciales en sí. Pero en vista de que los entes desa­
fiaban siempre los intentos para una descripción 
adecuada, los matemáticos del siglo pasado lle­
garon paulatinamente a la convicción de que la 
cuestión de la significación de dichos objetos 
como cosas sustanciales no tenía, en modo algu­
no, sentido dentro de las matemáticas. Las úni­
cas proposiciones relativas respecto a ellos que 
33 
pueden importar no se refieren a su realidad 
sustancial; representan únicamente las relacio­
nes mutuas entre objetos indefinidos y las reglas 
que rigen las operaciones con ellos. Lo que real­
mente son los puntos, las rectas y los números ni 
se puede, ni es necesario discutirlo en la ciencia 
matemática. Lo que interesa y lo que correspon­
de a hechos comprobables es: estructura y rela­
ción; que dos puntos determinan una recta, que 
los números se combinan según ciertas reglas 
para formar otros números, etc. La percepción 
clara de la necesidad de una des-substanciación 
de los conceptos elementales matemáticos ha 
sido uno de los resultados más importantes y fe­
cundos del desarrollo axiomático moderno». 
He transcrito largamente esta cita de Courant, 
porque me parece muy significativa e ilustrativa 
del modo de pensamiento matemático actual, 
aunque habrá que hacer, a lo largo de este traba­
jo, algunas aclaraciones y precisiones. 
ESPACIO Y NUMERO 
Las matemáticas se ocupan desde la Antigüe­
dad básicamente de la forma (espacio) y de la 
cantidad (número). Sobre la naturaleza de estos 
entes matemáticos ha habido muchas discusio­
nes a lo largo de los siglos, aun tomando la ex­
presión «entes matemáticos» en un sentido neu­
tral, equivalente a «aquello de que se ocupa la 
matemática». La relación entre las nociones de 
espacio y número es tan estrecha que a lo largo 
de la historia de las matemáticas ha podido defi­
nirse la una en función de la otra. Pero en el 
proceso histórico de las matemáticas unas veces 
ha tenido prioridad en la jerarquía ontológica un 
concepto y otras veces el otro. En la matemática 
griega el estudio de los números fue absorbido 
por la geometría. Esta concepción se conservó 
hasta el siglo XVII. Con la geometría analítica 
de Descartes, se invierte esta jerarquía y la geo­
metría se convierte en un capítulo del álgebra, 
que es la formalización abstracta de la aritmética. 
Como escribe el matemático francés Frarn;ois 
Lorrain en un trabajo reciente sobre «el pensa­
miento matemático actual» (Revista de Occiden­
te, número 4, año 1981), «espacio y número es­
tán ligados entre sí de modo inextricable. Inclu­
so hasta el punto de que pueda pensarse que 
estos dos objetos matemáticos no son sino las 
dos caras de un objeto único cuyo concepto, por 
el momento, no llegamos a captar». Y más ade­
lante señala Lorrain en el trabajo citado: «Por el 
momento, y ante la ausencia de una auténtica 
unidad conceptual, las matemáticas alternan, o 
combinan en proporciones diversas, los puntos 
de vista algebraico y geométrico. lCorresponden 
el espacio y el número a modalidades irreducti­
bles de nuestro intelecto? lEs posible -e inclu­
so deseable- una síntesis conceptual superior? 
No lo sabemos. Sin embargo, los conceptos de 
número y espacio se han extendido extraordina­
riamente durante el pasado siglo». 
Los Cuadernos del Pensamiento 
Ahí tenemos, por ejemplo, el espacio euclídeo 
de n dimensiones, es decir el espacio que satis­
face todos los axiomas de Euclides (luego volve­
remos sobre el tema), a los que se añaden los 
dos siguientes (suponiendo que n sea un núme­
ro positivo): a) hay n perpendiculares entre sí; b) 
es imposible que n + 1 rectas del espacio sean 
perpendiculares entre sí. 
De modo análogo a la geometría, en que se 
han generalizado los espacios más allá del espa­
cio físico intuitivo, también se han generalizado 
las nociones de número, hasta el punto de que 
hoy hablamos de «álgebra» ante cualquier situa­
ción en la que se disponga de determinado con­
junto de entes (que no han de ser estrictamente 
numéricos) y de reglas que permitan combinar 
dichos entes entre sí para dar lugar a otros entes 
del mismo conjunto. 
La matemática moderna considera a los nú­
meros como entes abstractos prescindiendo de 
su origen práctico. Por lo tanto los números na­
turales son entes para los que se pueden definir 
dos operaciones -la adición y la multiplica­
ción-, que cumplen las leyes asociativa, conmu­
tativa y distributiva, mediante las cuales se com­
binan dando lugar a otro número natural. Si es­
tos entes no cumplen las leyes antedichas no 
son aptos para la operación de contar, pero, sin 
embargo, esa aritmética tiene validez lógica. Es 
lo que acontece con el álgebra de los colores, en 
el que los colores son los entes que se conside­
ran, y que da lugar a ecuaciones como: 
rojo + amarillo = amarillo + rojo = naranja; 
naranja + verde = violeta + amarillo = marrón, y 
así sucesivamente. 
Volviendo a la geometría, aparte de la genera­
lización de los espacios euclídeos métricos, hay 
otro tipo de espacios en que no interviene la 
medida. Es el caso del espacio proyectivo, forma­
do por puntos y rectas pero en los que no es po­
sible comparar longitudes. Está también el espa­
cio topológico, en el que ha desaparecido incluso 
la noción de recta y sólo permanece la noción de 
continuidad. (A mediados del siglo XIX comen­
zó un desarrollo enteramente nuevo de la geo­
metría -la Topología- que pronto se convirtió 
en una de las fuerzas directrices de la matemáti­
ca moderna. La Topología estudia las propieda­
des de las figuras geométricas que subsisten aún 
si estas figuras se someten a deformaciones tan 
radicales que les hagan perder todas sus propie­
dades métricas y proyectivas). 
EL CONCEPTO DE ORDEN 
Durante mucho tiempo se consideró a la Ma­
temática como la ciencia de la cantidad. Este 
punto de vista no puede mantenerse actualmen­
te, pues hay disciplinas matemáticas como la to­
pología que no se ocupan de la cantidad. Por es­
te motivo se ha intentado encontrar un concep­
to más general para definir el contenido de las 
matemáticas: es el concepto de orden. 
34 
El orden, desde el punto de vista formal-ma­
temático, se define como la disposición deun 
conjunto de entidades. Ejemplos de ordenación 
de conjuntos de entes son el orden de los núme­
ros naturales, el orden de los puntos de una 
línea, etc. De un modo más preciso, el orden se 
define como relación entre miembros de una 
clase de modo que unos miembros precedan a 
otros y otros miembros sigan a otros. 
Se debe a Georg Cantor la elaboración de la 
teoría de los conjuntos, que ha desempeñado un 
papel decisivo en la Ciencia Matemática y en la 
Lógica. La teoría de Cantor levantó grandes po­
lémicas entre los matemáticos a causa de algu­
nas insuficiencias, pero ha sido considerable­
mente refinada mediante la aplicación del méto­
do axiomático. 
Es importante destacar la contribución de 
Peano para la construcción del sistema de los 
números naturales, es decir los enteros positi­
vos. El Sistema de Peano contiene cinco postu­
lados: a) el cero (O) es un número; b) el sucesor 
de cualquier número dado es un número; c) no 
hay dos números que tengan un mismo sucesor; 
d) cero (O) no es el sucesor de ningún número e)
cualquier propiedad que pertenezca a cero (0), y
también al sucesor de cualquier número que po­
sea tal propiedad, pertenece a todos los núme­
ros.
LA MATEMATICA MODERNA 
La increíble proliferación de cálculos y de es­
pacios de todo género en las matemáticas del úl­
timo siglo está relacionada con el desarrollo del 
medio axiomático, del cual nos ocuparemos más 
adelante con detalle. La presentación de una 
teoría en forma rigurosa desde el punto de vista 
deductivo, fundado en un número limitado de 
axiomas sencillos, proporciona una idea clara de 
la compleja red de relaciones lógicas existentes 
entre las proposiciones de la teoría. Además el 
método axiomático permite una generalización, 
bien fundada lógicamente, de las estructuras 
matemáticas, que es una de las características 
centrales, como ya vimos, de la Ciencia Mate­
mática actual. 
Ahora bien, la axiomatización de la Matemáti­
ca es un producto históricamente tardío. Y así 
sólo se logra una axiomatización válida y precisa 
de la Geometría en 1899 a cargo del gran mate­
mático alemán Hilbert. Para comprender el esta­
do actual de la Ciencia Matemática es conve­
niente encontrar su razón histórica, para lo que 
es preciso hacer un recorrido por las etapas an­
teriores de la Matemática, que forzosamente ha­
brá de ser brevísimo, dados los condicionamien­
tos de este trabajo. 
LA MATEMATICA GRIEGA 
La matemática contemporánea vive una fase 
de unificación de propósitos y métodos sólo 
comparable a la de los pitagóricos, en el comien-
Los Cuadernos del Pensamiento 
zo de la matemática occidental. Sin embargo, 
existe una importante diferencia cualitativa y 
«filosófica» entre la matemática pitagórica y la 
matemática actual. La matemática pitagórica es 
una matemática filosófica, mientras que la ma­
temática contemporánea es una matemática 
científica. 
Los pitagóricos consideraban que la Matemá­
tica reflejaba la esencial realidad del Universo. 
Los pitagóricos pensaron que los principios de la 
Matemática -de los objetos matemáticos- eran 
principio de todas las cosas, principios de reali­
dad. Para Pitágoras «los entes existen por imita­
ción de los números». Como ha mostrado Julián 
Marías en su ensayo El descubrimiento de los ob­
jetos matemáticos en la filosofía griega, los pita­
góricos inician su especulación por los números, 
35 
a los que otorgan prioridad sobre las figuras geo­
métricas. Pero esta teoría numérica no está des­
ligada de la geometría, pues se atribuye figura a 
los propios números, de los que se dice que son 
cuadrados, oblongos, planos, sólidos, cúbicos. 
Números, figuras y entes reales aparecen estre­
chamente unidos en la especulación pitagórica, 
que pretende ser un conocimiento de objetos 
invariables, dotados de propiedades permanen­
tes y sometidos a una ratio, a un lagos que esta­
blece relaciones congruentes entre ellos. 
Hay que subrayar que los pitagóricos se cen­
traron en la consideración contemplativa de los 
objetos matemáticos en sí mismos, entendidos 
como la verdadera realidad inmutable del Uni­
verso, y carecieron de un procedimiento opera­
torio eficaz. Los griegos carecieron de un ade-
Los Cuadernos del Pensamiento 
cuado sistema de notación (nuestra actual nota­
ción fue traída de la India por los árabes), lo que 
retrasó considerablemente el cálculo aritmético; 
sin embargo la geometría alcanzó un desarrollo 
muy alto. 
Para entender la matemática griega hay que 
partir de que el trato con los objetos matemáti­
cos va enderezado a su conocimiento filosófico. 
Se distancia así la matemática griega de las téc­
nicas orientales que sólo pretenden un manejo 
de los números y las figuras con fines utilitarios. 
Es interesante también subrayar que la matemá­
tica moderna también tiene una concepción pre­
dominantemente operatoria; según la cual se 
piensa poseer el objeto matemático cuando exis­
te un medio de referirse a él y hacerlo entrar en 
las operaciones. La matemática moderna occi­
dental procede de la matemática griega, pero se 
diferencia sustancialmente de ella. 
CIENCIA ARISTOTELICA 
La matemática griega en sus desarrollos se 
rige por el esquema conceptual impuesto por 
Aristóteles, que diverge radicalmente de la no­
ción actual de ciencia. Podemos esquematizarlo 
en estos términos: 
a) Una primera adquisición de los objetos
matemáticos mediante definiciones. La defini­
ción nos hace aprehender el objeto definido en 
su esencial realidad sustancial. A diferencia de 
lo que acontece en la matemática actual la defi­
nición griega no tiene nada de convención ( en la 
matemática actual se conviene en llamar de cier­
to modo a un comportamiento o una relación li­
bremente escogidos, en el sentido de que se 
dice que tal condición se cumple por defini­
ción). Aristóteles niega que las definiciones 
sean suposiciones; para el Estagirita la defini­
ción supone la aprehensión mental de la esencia 
del objeto matemático que se considere. Literal­
mente para Aristóteles, «la definición es el decir 
que significa la esencia». 
b) Una vez en posesión de la esencia de los
objetos matemáticos, se estudian sus propieda­
des, que habrán de ser demostradas deductiva­
mente a partir de verdades indemostradas e in­
demostrables que son los axiomas. Los axiomas 
sirven de principio para la cadena deductiva de 
demostraciones. Esos principios no son objeto 
de ciencia ni demostración, sino de una visión 
poética. El axioma muestra su verdad como algo 
patente y su conocimiento es necesario para la 
cadena demostrativa. 
c) Junto a los axiomas hay otro tipo de
enunciados indemostrados en que se apoya la 
ciencia aristotélica: los postulados, que ni son 
evidentes como los axiomas ni puede ser de­
mostrado como los teoremas. Muchas son las 
discusiones que en torno al estatuto epistemoló­
gico de los postulados se han mantenido en la 
época contemporánea. Ya veremos más adelan­
te cómo la crítica epistemológica del postulado 
36 
se inscribe en el proceso de cristalización de la 
axiomática moderna. 
d) Finalmente, la realización plena de la
ciencia matemática griega consiste en el estable­
cimiento de las proposiciones acerca de los obje­
tos matemáticos y su demostración. Es funda­
mental en la matemática griega el género subya­
cente a cada disciplina. Esto lo ha visto muy 
bien Julian Marías en el ensayo antes citado so­
bre la matemática griega: 
«Cada disciplina -por ejemplo, la aritmética, 
la geometría- tiene un género propio, dentro 
Los Cuadernos del Pensamiento 
del cual se realiza la demostración, y no es lícito 
aplicar una demostración geométrica a un pro­
blema aritmético, o viceversa. Esto explica la di­
versificación de varias disciplinas matemáticas 
rigurosamente distintas -cada una tiene un gé­
nero propio, de demostración, fundada en la 
índole peculiar de sus objetos- y el uso general 
del plural -las matemáticas- para designar esta 
ciencia. Por esta razón, a pesar de tener los axio­
mas cierto carácter universal y comúna todas las 
demás ciencias, se distinguen los axiomas priva­
tivos de cada disciplina, que definen el recinto 
37 
genérico dentro del cual ha de moverse y consti­
tuyen, junto con las definiciones de sus objetos, 
los efectivos principios de esa ciencia». 
LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES 
Los famosos Elementos de Euclides son una 
recopilación de los conocimientos geométricos 
de los griegos, sometidos al esquema lógico­
conceptual aristotélico que hemos descrito an­
tes. Vamos a hacer una brevísima descripción de 
los contenidos de los Elementos, porque la críti­
ca de este libro fundamental de la historia de las 
Matemáticas dio lugar en el siglo XIX a una de 
las líneas más claras de avance dentro de la 
Ciencia Matemática actual. 
Euclides comenzó el libro I de sus Elementos 
con 23 definiciones que corresponden a los prin­
cipales objetos de la geometría: punto, línea, 
recta, superficie, plano, ángulo, figura, círculo, 
diámetro, figuras rectilíneas, paralelas, etc. Estas 
definiciones euclídeas son más bien descripcio­
nes intuitivas, que no parecen tener importancia 
para la construcción deductiva de la geometría. 
Después de las definiciones, Euclides intro­
duce cinco postulados, el último de los cuales es 
el famoso de las paralelas, al que habremos de 
referirnos con alguna extensión más adelante. 
Estos postulados tienen un contenido estricta­
mente geométrico, a diferencia de los axiomas 
que siguen. Estos postulados pueden conside­
rarse como definiciones implícitas por las que se 
establecen propiedades realmente esenciales del 
objeto en cuestión. El sentido de los postulados 
sería el de los requisitos o condiciones de un ob­
jeto cuya definición estricta se rehuiría. La exi­
gencia fundamental de los postulados sería, en 
todo caso, la ausencia de contradicción. 
En tercer lugar introduce Euclides un cierto 
número (que varía de cinco a nueve, según los 
textos) de axiomas o nociones comunes; a lo 
largo de los Elementos se van agregando otros 
axiomas a medida que resultan necesarios. Los 
axiomas iniciales se refieren a magnitudes gene­
rales y tienen un sentido más general que los 
postulados. 
Una vez en posesión de este triple repertorio 
de principios, Euclides puede encadenar la serie 
de sus proposiciones, que utilizan a la vez el 
método de la construcción geométrica con regla 
y compás y el de la demostración silogística. 
ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA 
Vamos a estudiar las dos creaciones matemá­
ticas preleibnizinas, el álgebra y la geometría 
analítica, que mejor ilustran el tránsito de las 
matemáticas griegas basadas en el principio de 
incomunicación de los géneros a la matemática 
unificada europea. 
La invención del álgebra por Vieta, a fines del 
siglo XVI, estuvo orientada originariamente a 
un procedimiento más cómodo de notación para 
hacer más sencillo el desarrollo de cuestiones 
Los Cuadernos del Pensamiento 
relacionadas con el estudio de los números. Pe­
ro, de hecho, la creación del Algebra hizo posi­
ble la forma regular del análisis, es decir de la 
deducción. Gracias al Algebra, la Aritmética, 
que había quedado muy retrasada ya en Grecia 
respecto de la Geometría, la adelanta y supedita 
de un golpe. El programa de que era portador el 
Algebra tiene todavía vigencia en la Matemática 
actual. Como escribe Ortega en su libro La idea 
de principio en Leibniz y la evolución de la teoría 
deductiva, de Vieta se llega, sin salto, a Hilbert: 
«Para Vieta, (el Algebra) era la matemática de 
los números -Logistica numera/is- que se ex­
presaba con figuras (species: signos), transfor­
mándose en Logistica speciosa. Para Hilbert, la 
matemática es formalmente ciencia de signos, y 
no primordialmente de números o magnitudes. 
La Historia ha cogido por su palabra a Vieta, y 
de modo que le hubiera espantado, la ha cum­
plido literalmente». 
En el Algebra cada número se nos hace pre­
sente por su propia definición, que consiste ex­
clusivamente en relaciones -igual, mayor, me­
nor-. Ahora bien estas relaciones tienen un 
sentido diferente cuando se las aplica a los nú­
meros (Aritmética) o a las magnitudes extensas 
(Geometría). Dos magnitudes son iguales cuan­
do, superpuestas la una a la otra, coinciden ple­
namente; es mayor la que excede, es menor la 
que es excedida por la otra. Dos cantidades, en 
cambio, son iguales cuando tienen las mismas 
unidades, y es mayor o menor una que otra 
cuando esto no ocurre. 
Tenemos, en consecuencia, que relaciones 
38 
cuyo nombre es el mismo -igual, mayor, me­
nor- tienen significados distintos e irreductibles 
en Aritmética y Geometría. Por esta razón, am­
bos mundos -el numeral y el extensivo- y am­
bas ciencias -la Aritmética y la Geometría- se 
separaron en tiempos de Aristóteles, pues no ca­
bía, salvo los principios formales de la Lógica, 
descubrir ningún principio común a ambas ma­
terias. Este hecho -según Ortega en su libro an­
tes citado- corroboró a Aristóteles en las razo­
nes que ya tenía para formular la ley de la «inco­
municabilidad de los géneros», que dejaba el 
«globo intelectual» dividido en una pluralidad 
de ciencias irreductibles las unas a las otras. 
Cada ciencia quedaba así encajonada en la intui­
ción básica de que partía. 
La gran hazaña de Descartes consistió en ad­
vertir que, si bien la intuición del número y del 
espacio son irreductibles, las relaciones geomé­
tricas pueden representarse mediante relaciones 
numéricas y viceversa; y que, por tanto, es indi­
ferente en principio lo que diferencia a la intui­
ción numérica de la espacial. Técnicamente ca­
be, pues, establecer una identidad de correspon­
dencia entre número y extensión. Mediante el 
hallazgo de Descartes queda invalidado el prin­
cipio de la incomunicabilidad de los géneros y 
de la pluralidad de las ciencias. 
LA REVOLUCION MATEMATICA DEL XVIII 
La revolución científica y matemática del si­
glo XVII tuvo un doble efecto paradójico res­
pecto a la matemática griega. Por un lado unifi-
Los Cuadernos del Pensamiento 
có la Ciencia Matemática al invalidar el princi­
pio de incomunicabilidad de los géneros y de la 
pluralidad de las ciencias. Por otro lado, debilitó 
el ideal axiomático griego. Sólo en el siglo XIX 
se conjugan la comunicabilidad de los géneros 
matemáticos y vuelve a imponerse el ideal axio­
mático, pero naturalmente desde supuestos filo­
sóficos y epistemológicos diferentes. De esta 
síntesis del siglo pasado nace la Matemática ac­
tual. Courante, en su ya citada obra What is 
Mathematics ?, hace un recorrido sintético y efi­
caz de este largo período de interregno, cier­
tamente de extraordinaria productividad mate­
mática: 
«Es muy posible que el descubrimiento de las 
dificultades relacionadas con las cantidades in­
conmensurables desviara a los griegos del desa­
rrollo del cálculo numérico, alcanzado con ante­
rioridad en Oriente. En su lugar se abrieron ca­
mino a través de la geometría axiomática pura. 
Y así comenzó un extraño rodeo en la historia 
de la ciencia, y quizá se perdió una gran oportu­
nidad. Durante casi dos mil años el peso de la 
tradición geométrica griega retrasó la inevitable 
evolución del concepto de número y el desarro­
llo del cálculo algebraico, que más tarde habían 
de ser la base de la ciencia moderna». 
«Después de un período de preparación lenta 
-prosigue Courant- la revolución en la mate­
mática y en la ciencia comenzó su fase vigorosa
en el siglo XVIII, con la geometría analítica y el
cálculo diferencial e integral. Mientras la geo­
metría griega conserva aún un lugar destaca­
do, el ideal griego de cristalización axiomática
y deducción sistemática desaparece durante
los siglos XVII y XVIII. Razonamientos lógi­
cos rigurosos a partir de definiciones claras y
no contradictorias, axiomas evidentes, fueron
cuestiones sin importancia para los nuevos ex­
ploradores de la ciencia matemática. En una ver­
dadera orgía de conjeturas intuitivas, de razona­
mientos convincentes entrelazados con un mis­
ticismo sin sentido, con una confianza ciega en
el podersobrehumano de los procesos formales,
conquistaron un mundo matemático de inmen­
sas riquezas. Luego, gradualmente la exaltación
del progreso dejó paso a un espíritu de autocríti­
ca. En el siglo XIX la necesidad inmanente de
consolidar, y el deseo de una mayor seg\lridad
en la extensión de la enseñanza superior, que
había impulsado la Revolución Francesa, con­
dujo inevitablemente a una revisión de los
fundamentos de la nueva matemática, en par­
ticular del cálculo diferencial e integral, así co­
mo del concepto fundamental de límite. Así el
siglo XIX constituyó no sólo un período de
nuevos avances, sino que además puede carac­
terizarse por un afortunado retorno al ideal
clásico de precisión y demostraciones riguro­
sas. Y en este sentido llegó a superar al mode­
lo de la ciencia griega. Una vez más el péndulo
se inclinó del lado de la pureza lógica y de la
abstracción.
39 
GEOMETRIAS AXIOMATICAS 
Un hecho significativo es que los primeros li­
bros matemáticos en que figura la denomina­
ción de «moderna» son dos libros de Geome­
tría, el de Pfaff en 1867, y el de Pasch, en 1882. 
Si analizamos el contenido de estos libros, nos 
encontramos con sendos tratados de Geometría 
en los que no figuran resultados que no fueran 
conocidos muchos siglos antes, lo que indica 
que el calificativo de «moderno» no se refiere a 
nuevos resultados o teorías. Consiguientemente 
si tal calificativo tiene algún sentido deberá refe­
rirse al método empleado. En cuanto a éste, se 
observa que es axiomático es decir que todas las 
proposiciones se deducen lógicamente de otras 
proposiciones primitivas o axiomas. Pero si bien 
es cierto que en la época inmediatamente ante­
rior a la publicación de las Geometrías de Pfaff y 
Pasch se había prescindido de tal método de ex­
posición, no lo es menos que tampoco era nue­
vo, pues ya había sido empleado en los «Ele­
mentos» de Euclides. Todo esto indica que las 
diferencias deberán ser más profundas. Efectiva­
mente, un análisis comparativo más minucioso 
de los libros de Pasch y Pfaff con el de Euclides 
nos revela las siguientes diferencias esenciales: 
1) Las primeras definiciones del Libro de
Euclides no se emplean en el resto de la obra, 
mientras que en la de Pasch toda definición es 
posteriormente utilizada. 
2) Euclides distingue entre axiomas o pro­
posiciones absolutas, cuya validez es general, y 
postulados o proposiciones cuya validez dentro 
de la Geometría resulta evidente. En la geome­
tría moderna, por el contrario, no se emplean el 
primer tipo de proposiciones fundamentales, 
usándose indistintamente las denominaciones 
de axiomas o postulados para las del segundo. 
De estas diferencias, triviales en apariencia, 
nacerá la matemática moderna. Veámoslo. La 
cuestión básica que hay que plantearse es: lPor 
qué daba Euclides definiciones que luego no 
empleaba? lPor qué hasta fines del siglo pasado 
no se reconocía la superfluidad de las mismas? 
Esa es la cuestión. 
Estudiemos el sentido de las definiciones 
euclídeas. En realidad son simples descripcio­
nes, que sólo pueden tener sentido en uno de 
estos casos: a) El objeto descrito tiene existencia 
independiente del sujeto pensante; b) el objeto 
es un ente racional unívocamente determinado 
por la descripción. 
Hasta el siglo pasado se aceptaba que el espa­
cio geométrico definido por Euclides era el mis­
mo espacio del universo o una transcripción ra­
cional del mismo unívocamente determinada 
por él. En ambos casos las descripciones de Eu­
clides (punto es aquello que no tiene parte, etc.) 
estarían plenamente justificadas, ya que me­
diante ellas se provoca la formación en la mente 
del lector de la imagen del ente correspondien­
te. De hecho, hasta el advenimiento de la Mate-
Los Cuadernos del Pensamiento 
mática moderna la Geometría se ha considerado 
como una ciencia experimental y sus teoremas 
como propiedades del espacio del Universo. 
Kant formuló explícitamente esta actitud tradi­
cional al afirmar que los axiomas euclídeos son 
inherentes a la mente humana y que, por tanto, 
tienen una validez objetiva para el espacio 
«real». 
GEOMETRIAS NO EUCLIDEAS 
La crítica del axiomatismo euclídeo pasó por 
el replanteamiento del postulado quinto de los 
Elementos, que reza que por un punto exterior 
a una recta dada se puede trazar una y sólo una 
paralela a la misma. El rasgo característico de es­
te postulado consiste en que hace una aserción 
acerca de toda la extensión de una recta, imagi­
nada como indefinida en ambas direcciones; ya 
que decir que dos rectas son paralelas equivale a 
afirmar que no se cortan nunca, por mucho que 
se las prolongue. El caso es que muchas rectas 
pasan por un punto y no cortan a otra recta dada 
dentro de una distancia finita dada, por grande 
que sea. Dado que la máxima longitud posible 
de una regla real es finita, y puesto que dentro 
de cualquier círculo finito hay infinitas rectas 
que pasan por un punto dado y que no cortan a 
otra recta dada interior al círculo, se deduce que 
este postulado quinto no podrá verificarse por 
experimentación. Todos los otros axiomas de la 
geometría euclídea tienen carácter finito, en el 
sentido de que tratan con porciones finitas de 
rectas y con figuras planas de extensión finita. 
Si el postulado quinto fuera una consecuencia 
lógica necesaria de los otros axiomas sería posi­
ble eliminarlo como axioma y dar una demostra­
ción del mismo mediante los otros axiomas de 
Euclides. Durante varios siglos los matemáticos 
trataron de hallar esa demostración, porque 
existía el sentimiento general de que el postula­
do de las paralelas era de carácter esencialmente 
diferente de los demás, al faltarle ese carácter de 
evidente plausibilidad que debería poseer todo 
axioma de la geometría. La demostración de la 
independencia del postulado de las paralelas fue 
asunto que atormentó a generaciones de mate­
máticas durante siglos, a partir de Proclo, un co­
mentador de Euclides. En el siglo XVIII el je­
suita Sacheri y más tarde el matemático francés 
Lambert trataron de probar el postulado de las 
paralelas por el método indirecto de admitir lo 
contrario y deducir consecuencias absurdas 
(método de reducción al absurdo). Lejos de ser 
absurdas, sus conclusiones realmente equivalían 
a teoremas de las geometrías no euclídeas desa­
rrolladas después. Si hubieran considerado tales 
conclusiones no como absurdas, sino como 
enunciados compatible en sí mismos, habrían 
sido los descubridores de las geometrías no 
euclídeas. No fueron ellos, sino el húngaro Bo­
lyai y el ruso Lobachevski, quienes en el siglo 
XIX cogieron el toro por los cuernos y cons-
40 
truyeron con detalle una geometría en la que no 
se verificaba el postulado de las paratelas. Se ha­
bía consumado una gran hazaña matemática, 
que cambió el rumbo de esta ciencia y abrió el 
paso a la Matemática moderna. Demostrada la 
independencia del postulado quinto de Eucli­
des, era posible construir sistemas compatibles 
de proposiciones «geométricas» referentes a 
puntos, rectas, etc., deduciéndolas de .un con­
junto de axiomas en el que el postulado de las 
paralelas se reemplazaba por un postulado con­
trario. 
Desde posiciones no euclídeas se han cons­
truido diversos modelos de geometrías no euclí­
deas. Así tenemos el modelo de Klein de la lla­
mada geometría hiperbólica: el «plano» consiste 
sólo en los puntos interiores a un círculo; los 
puntos exteriores no se consideran. Es fácil pro­
bar que el nuevo sistema satisface todos los pos­
tulados de la geometría euclídea, con la sola ex­
cepción del de las paralelas. Que el postulado de 
las paralelas no se verifica en el nuevo sistema 
se ve por el hecho de que a todo «punto» exte­
rior a una «recta» pueden trazarse infinitas rec­
tas que no tengan ningún «punto» común con la 
«recta» dada. 
Otro modelo no euclídeo muy conocido es el 
de Riemann de la geometría elíptica. El espacio 
que consideramos en este modelo es la superfi­
cie de la esfera. Las «rectas» son los círculos má­
ximos de la esfera.Dos «rectas» cualesquiera se 
encuentran en dos puntos: es imposible que dos 
«rectas» no se encuentren. El modelo de Rie­
mann abandona el presupuesto de la geometría 
de Euclides y de la hiperbólica de Bolyai y Loba­
chevski de que la recta es infinita. En el modelo 
de Riemann las rectas son finitas y cerradas. 
Los Cuadernos del Pensamiento 
GEOMETRIA Y REALIDAD 
Las geometrías no euclídeas, consideradas co­
mo un sistema formal deductivo, resultan tan 
satisfactorias como la geometría euclídea clásica. 
Pero, lcuál de ellas es preferible como descrip­
ción de la geometría del mundo físico? El desa­
rrollo de los procedimientos de medición y el 
desarrollo de la Física Teórica han mostrado 
que cada sistema geométrico tiene un campo 
propio de validez. Para las tareas geométricas 
tradicionales la geometría euclídea, que es la 
que se enseña en el Bachillerato, tiene plena va­
lidez. Pero cuando consideramos al universo co­
mo un todo la Geometría euclídea muestra su 
insuficiencia frente al modelo de Klein. Por otra 
parte, desarrollos modernos de la Física como la 
teoría de la relatividad y la teoría general de la 
propagación de las ondas encuentran un marco 
geométrico más adecuado en el modelo de 
Riemann. 
La importancia revolucionaria del descubri­
miento de las geometrías no euclídeas radica en 
que destruyeron la noción tradicional que se te­
nía de los axiomas de Euclides, como esquema 
matemático inmutable al que debía ser adaptado 
nuestro conocimiento experimental de la cien­
cia física. 
EL METODO AXIOMATICO 
La hazaña de la Matemática moderna consiste 
en volver al rigor demostrativo de la matemática 
griega, pero desde unos supuestos rigurosamen­
te nuevos a la hora de concebir y definir los en­
tes matemáticos. Como señalamos antes, en la 
matemática griega la definición nos hacía apre-
41 
hender el objeto definido en su esencial realidad 
sustancial. Por el contrario, en la Matemática 
moderna se reconoce la imposibilidad de tales 
definiciones y se deja a los conceptos primitivos 
sin describir, limitándose a postular las relacio­
nes fundamentales entre ellos. Los axiomas es­
tablecen las relaciones fundamentales entre los 
conceptos primitivos. El conjunto de los axio­
mas habrán de ser simples y poco numerosos. 
Además los axiomas habrán de ser compatibles, 
en el sentido de que no puedan deducirse de 
ellos dos teoremas contradictorios entre sí; y su­
ficientes, de modo que todo teorema del sistema 
sea deducible de ellos. Por razones de economía 
también es deseable que los axiomas sean inde­
pendientes, es decir que ninguno de ellos sea 
consecuencia lógica de los restantes. 
FORMALISMO E INTUICIONISMO 
La axiomatización de la Matemática moderna 
está vinculada, en su proyecto originario a la for­
malización. Para los formalistas los axiomas no 
son generalizaciones inductivas, sino simple­
mente un conjunto de postulados formales 
cuyos términos no lógicos no están interpreta­
dos no asociados con nociones experimentales. 
Los axiomas son, entonces, parte de un cálculo 
abstracto, que debe ser operado de acuerdo con 
reglas que sólo tomen en cuenta las característi­
cas sintácticas del sistema dado de signos. Los 
axiomas interpretados no son afirmaciones acer­
ca de relaciones experimentalmente discernibles 
entre cuerpos físicos. Los axiomas son sólo un 
esquema al cual pueden ajustarse los conceptos 
experimentales. En la tesis formalista los axio­
mas son convenciones. 
La tesis formalista, que puede ser considerada 
como la gran fuerza directriz de la Matemática 
moderna, encontró un serio correctivo con el 
teorema de Godel, que sacudió los cimientos de 
la Matemática. Godel demostró que, cualquiera 
que sea el sistema de axiomas que tomemos pa­
ra fundamentar la aritmética, siempre es posible 
construir un enunciado que es verdadero, pero 
que no puede demostrarse a partir de los axio­
mas de partida; tampoco es posible demostrar la 
negación de dicho enunciado a partir de los mis­
mos axiomas. Godel echó por tierra el programa 
de completa axiomatización de la matemática 
que habían propugnado Hilbert y otros matemá­
ticos, que suponían que podía hallarse un siste­
ma logístico en el cual se alojara la matemática y 
que podía probarse que tal sistema era completo 
y consistente. Godel mostró que dado un siste­
ma logístico razonablemente rico ( el sistema de 
los Principia Mathematica de Russell-White­
head o el sistema axiomático de los conjuntos 
elaborado por Zermelo), tal sistema es esencial­
mente incompleto, por aparecer cuando menos 
un enunciado o teorema que no es decidible. 
Frente al formalismo, la tesis intuicionista 
-defendida, entre otros, por Brouwer y Hey-
Los Cuadernos del Pensamiento 
ting- mantiene que sólo puede hablarse de en­
tes matemáticos si podemos construirlos men­
talmente. La existencia de un ente matemático 
viene determinada por su posibilidad de cons­
trucción mental. Ahora bien hay que subrayar 
que los modernos matemáticos intuicionistas no 
confían en la intuición pura en el vasto sentido 
kantiano. Sin embargo, para los intuicionistas 
modernos: 1) la Matemática no sólo posee signi­
ficación o caracterización formal sino también 
intrínseca; 2) los conceptos matemáticos son in­
tuidos directamente por el espíritu pensante; 
por ello, el conocimiento matemático es inde­
pendiente de toda experiencia. La crítica que se 
hace a los intuicionistas es que sus principios 
excluyen partes importantes de la Matemática y 
el resto lo hace a veces exasperadamente com­
plicado. 
Según la ponderada opinión de Ferrater Mora 
en su Diccionario de Filosofía, «cada una de es­
tas posiciones ha alcanzado grandes triunfos y 
ha impulsado grandemente el progreso en Mate­
mática. No puede predecirse qué teoría triunfa 
definitivamente; lo más probable es que haya 
que mantener las partes más fecundas de cada 
una de ellas. Debe observarse que en todas estas 
teorías, incluyendo la intuicionista, se tiende a 
la formalización máxima de las operaciones ma­
temáticas; es un error, por lo tanto, interpretar 
ciertos resultados de la Matemática contemporá­
nea como un apartamiento de esta vía (formali­
zadora)». 
EL DISCURSO MATEMATICO ACTUAL 
La Matemática contemporánea continúa la te-
42 
sis de la comunicabilidad de los géneros implan­
tada por Descartes en ruptura con la tradición 
matemática helénica. En la Matemática actual 
no se estudia nada aisladamente, con lo que se 
consigue un máximo de generalización lógica. 
Dentro de la Matemática contemporánea hay 
una gran variedad de modelos y teorías, pero en­
tre ellos existe una densa relación entre ellas, de 
modo que podemos considerarlas como lugares 
distintos de una misma región. Como señala el 
ya citado matemático francés Fran9ois Lorrain, 
el conjunto de todas las transformaciones entre 
estructuras matemáticas diversas constituye en 
sí mismo una estructura con valor óntico-mate­
mático propio, que es posible relacionar con ni­
veles estructurales más simples y más complejos 
en un proceso dialéctico unitario. El objetivo del 
discurso matemático actual no es casi nunca una 
estructura única, sino, en la mayoría de los ca­
sos, un conjunto de estructura semejantes, o al 
menos comparables, que sólo adquieren todo su 
sentido en el contexto global en que están ubi­
cadas. 
El método axiomático añade rigor y consis­
tencia a esta tendencia unificadora de la Ciencia 
Matemática actual. Desde este enfoque episte­
mológico y metodológico se ha llegado a decir 
que la Matemática no sería más, ni menos, que 
la ciencia de la pura necesidad lógica en todas 
sus manifestaciones o formas posibles. Y así el 
espacio y el número no serían más que � 
dos formas particulares, entre otras mu- .. � 
chas, de la necesidad lógica. �