958-9352-12-X _1999_1

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METODOS NUMERICOS 
UN PRIMER CURSO 
IvAN FRANCISCO ASMAR CHARRIS 
PROFESOR ASOCIADO 
J,!!a;vamAD 1~~" II .:: E! COLOMBIA. 
J.UJ.l t t ,I 
DEPTO. DE B lBUOTECAS 
'IBLlOTECA "EFE" GOME? 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 
SEDE MEDELLIN 
FACULTAD DE CIENCIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS 
1999 
I I I~ I IIIIIIII 
6 4000 00128374 9 
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Mis agradecimientos a la 
permanencia en esta instilllcioll par 
y fZlego como docen/e, me ha 
METODOS NUMERICOS 
UN PRIMER CURSO 
Segunda Edici6n 
1999 
ISBN 958-9352-12-X 
Caratula: 
"Fractal ". 1999 
Horacio Arango Marin 
Profesor Asociado 
Universidad Nacional 
Medellin 
Diseno de caratula: 
Hector H. Aristizabal G. 
Profesor Asociado 
Universidad Nacional 
Medellin 
Ayudas computacionales: 
Julio C. Morales C. 
Profesor Asociado 
Universidad Nacional 
Medellin 
Asistencia tecnica: 
Libardo Lotero Valencia 
Asistente Administrativo 
Facultad de Ciencias 
Universidad Nacional 
Medellin 
Impreso en Medellin 
Esta obra se termin6 de imprimir en Julio de 1999 
en la Litografia Graficas Montoya 
Se imprimieron 500 ejemp/ares 
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Mis agradecimientos a /a Universf'dad Naciona/ de Colombia, pues mi 
permanencia en esta institl/cion por mas de veinte anos, primero como estudiante 
y fuego como docente, me ha posibilitado e/ feliz termino de esta obra 
/win F Asmar Ch. 
l1NtvP:R~m 0 NACI( l~lALDI:! CoLOMBtA 
! I ... ~ . • t If 
DEfT I). Vl..!. L I pI IOT~CAS 
R1Rl I{ ,"'ITA "r-I· r " G"Ml ' 
INTRODUCCION 
EI presente material esta dirigido a servir de ayuda tanto a estudiantes como profesores en 
un primer curso de Metodos Numericos, y ha sido escrito teniendo en cuenta el programa del 
curso que se dicta actualmente para las carreras de Ingenierfa en la Universidad Nacional de 
Colombia, sede Medellin. 
En el primer capitulo se hace una introducci6n a la aritmetica de punto fiotante, errores de 
redondeo, estabilidad de un algoritmo y problemas mal condicionados. 
En el capitulo dos se estudian los metodos numericos basicos para encontrar ralces 
aproximadas de una ecuaci6n algebraica no-lineal en una variable. Se hace enfasis en los 
metod os de Punto Fijo y Newton-Raphson y la aplicaci6n de este ultimo en la busqueda de 
ralces reales de ecuaciones polin6micas. 
EI capitulo tres se dedica al estudio de metodos numericos para encontrar soluciones 
aproximadas de sistemas de ecuaciones lineales y no-lineales. En el caso de los sistemas 
lineales se estudian metodos directos basad os en la eliminaci6n de Gauss y los metodos 
iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR; tambien se estudia con algun detalle el problema 
del condicionamiento de una matriz y su relaci6n con la soluci6n numerica de un sistema de 
ecuaciones. Para sistemas no-lineales se estudian los metod os de Punto Fijo y Newton­
Raphson , y como una aplicaci6n del metodo de Newton-Raphson, se estudia el metodo de 
Bairstow para hallar ralces reales y/o complejas de ecuaciones polin6micas. 
En el capitulo cuatro se tratan los temas de interpolaci6n polinomial y ajuste, segun mlnimos 
cuadrados, mediante polinomios. En 10 referente a la interpolaci6n se estudian las formas 
interpolantes de Lagrange y Newton y la interpolaci6n segmentaria cubica. Se hace 
aproximaci6n discreta polinomial por mlnimos cuadrados para un conjunto fin ito de puntos en 
el plano y se consideran los casos de ajuste exponencial, logarltmico y de potencia p~r 
minimos cuadrados. 
En el capitulo cinco se trata el calculo numerico de integrales definidas mediante los metodos 
de los Trapecios, Simpson (iJy (%), Romberg, coeficientes indeterminados y cuadratura 
Gaussiana. 
Finalmente, el capitulo seis esta dedicado al estudio de algunos metod os numericos para la 
.' 	 aproximaci6n discreta de la soluci6n de un problema de valor inicial para ecuaciones 
diferenciales ordinarias. En este capitulo he recogido los metodos unipasos de Euler, Euler 
mejorado, Heun, metodo de los tres primeros terminos de la serie de Taylor y metodo de 
Runge-Kutta de cuarto orden. 
AI final de cada capitulo se incluye una colecci6n de problemas, a manera de taller, para que 
el leCtor complemente los aspectos te6ricos y se ejercite en las aplicaciones. 
vi INTRODUCCION 
Hace algunos anos, los cursos de metodos numericos eran practicamente te6ricos , ya que el 
acceso a los computadores era diflcil. A los estudiantes se les ensenaba c6mo trabajar los 
algoritmos numericos y se les mostraban los resultados de algunos programas hechos 
previamente en el computador, pero el estudiante tenia poca oportunidad de experimentar 
por si mismo con los algoritmos. 
Una vez que el computador fue mas accesible, el estudiante pudo experimentar algo mas 
con los metodos numericos, luego de capacitarse en algun lenguaje de programaci6n como 
BASIC, FORTRAN, PASCAL, etc., pero al gastar horas en la programaci6n de tales metodos, 
ya no disponia de tiempo suficiente para explorar un gran numero de algoritmos numericos 
diferentes 
Afortunadamente, en la actualidad disponemos de herramientas computacionales que no 
requieren del conocimiento de algun lenguaje de programaci6n , las cuales ademas de 
permitir explorar diversos algoritmos numericos, ofrecen entre otras las siguientes ventajas: 
se puede realizar un numero importante de iteraciones, 10 cual sin tales herramientas no 
seria posible 0 requeriria demasiado tiempo; facilita el manejo de las funciones desde el 
punto de vista del calculo ; familiariza en el uso del computador; refuerza el trabajo en 
pequerios grupos y permite abordar algunos problemas que por la enorme cantidad de 
operaciones aritmetico-algebraicas involucradas no era posible tratar. 
Para lIevar a cabo los calculos numericos correspondientes a la mayorfa de los metodos .. 
numericos desarrollados en este texto, se ha escogido el paquete computacional DERIVE ( el 
cual es potente, amigable, de poco requerimiento de maquina y relativamente econ6mico) 
complementado con procedimientos en DERIVE elaborados por el profesor Julio Cesar 
Morales C , de nuestro Departamento de Matematicas. Por esta raz6n he agregado en esta 
segunda edici6n algunas instrucciones correspondientes a tales procedimientos, y que el 
lector encontrara enseguida de algunos ejemplos; tambien he adicionado a este material un 
disquete que contiene los procedimientos mencionados. 
Para complementar la informaci6n en DERIVE, aqui utilizada, puede consultarse el manual 
"Ayudese en Matematicas y Graficas con DERIVE", escrito por el profesor Morales (ver 
bibliografia) . 
Para utilizar las ayudas que vienen en el disquete, una vez que se ha cargado el DERIVE, 
ejecute el comando TRANSFER+ LOAD+UTILITY y digite X:\zETAM .MTH, donde X denota el 
nombre del drive donde insert6 el disquete (deje cargar completamente, sin tocar el teclado!). 
Tambien estan, dentro de las ayudas ofrecidas, unos archivos demostrativos 
correspondientes a cadauno de los capitulos desarrollados en este libro; tales archivos 
contienen resultados de algunos ejemplos y problemas planteados en el texto. Para cargar 
estos archivos demostrativos, una vez que se ha cargado el archivo ZETAM.MTH, cargue el 
archivo que usted requiera , de acuerdo con el capitulo deseado, ejecutando el comando 
TRANSFER+DEMO y editando X:\CAP?DMO, donde ? denota el numero del capitulo (si 
desea salir de este archiv~ , use la tecla Esc). En el mismo disquete esta el archivo 
HMETODOS.MTH , que especifica las ayudas para la sintaxis de las funciones que se utilizan 
en los calculos numericos que aparecen en este texto y da una breve descripci6n de algunas 
de elias. Para hacer uso de estas ayudas, puede cargarlas ejecutando el comando 
TRANSFER+MERGE (agrega las expresiones que estan en el archivo que se carga a las 
que se encuentran en la ventana de Algebra) y editando X:\HMETODOS.MTH. 
Quiero agradecer al profesor Julio C 
computacional correspondiente a este 
desarrollo del curso de Metodos l'tUll ta'I'lIiIIlIII 
En la portada apareceel graflCo de un 
lenguaje PASCAL por el profesor 
de la Universidad Nacional, sede 
la funci6n f(Z) ::: Z2 +c, con zee · 0 
Zo e[-2,2] x [-2,2] (condici6n InlCill). 
condici6n inicial dada zo, el NUllil lrtlft1 
Finalmente, quiero agradecer al 
sobre este material, las cua" 
profesores Mario Arias Zabala 
Manuel, actual Director del Des.­
para IIevar a cabo este trabajo. 
)s numericos eran practicamente te6ricos, ya que el 
los estudiantes se les ensenaba c6mo trabajar los 
,an los resultados de algunos programas hechos 
~studiante tenfa poca oportunidad de experimentar 
cesible, el estudiante pudo experimentar algo mas 
pacitarse en algun lenguaje de programaci6n como 
I gastar horas en la programaci6n de tales metodos, 
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DERIVE (el 
economico) 
Julio Cesar 
ado en esta 
'os, y que el 
material un 
orales (ver 
INTRODUCCI6N vii 
Quiero agradecer al profesor Julio C. Morales C por su valiosa ayuda en la parte 
computacional correspondiente a este material, ya que con su aporte se ha facilitado e/ 
desarrollo del curso de Metodos Numericos. 
En la portada aparece el grafico de un conjunto de Julia para c = 0.36 + 0.1 Oi , realizado en 
lenguaje PASCAL por el profesor Horacio Arango Marin, del Departamento de Matematicas 
de la Universidad Nacional, sede Medellin. Este conjunto se obtuvo mediante la iteracion de 
fa funci6n f(Z)=Z2+C, con ZEC; 0 sea mediante la iteraclon Zn+1=Z~+C , n = 0,1, ... y 
Zo e[-2,2]x'[-2,2] (condici6n inicial) . Si la sucesi6n {Iznlt diverge a infinito para una 
condici6n inicial dada zo, el conjunto de todos estos puntos zo, se llama el conjunto de 
escape y su frontera se llama conjunto de Julia asociado a c. Mis agradecimientos al 
profesor Arango Marin por haberme facilitado tal grafico. 
Finalmente, quiero agradecer al profesor Abraham Asmar Ch . por sus valiosas sugerencias 
sobre este material, las cuales me permitieron mejorarlo significativamente, y a los 
profesores Mario Arias Zabala, actual Decano de la Facultad de Ciencias, y Arturo Jessie 
Manuel , actual Director del Departamento de Matematicas, por el apoyo que me brindaron 
para lIevar a cabo este trabajo . 
Ivan F. Asmar Ch. 
el DERIVE, 
X denota el 
el teclado l). 
mostrativos 
les archivos 
I Para cargar 
'H, cargue el 
:el comando 
capitulo (si 
el archivo 
e se utilizan 
de algunas 
el comando 
carga a las 
CONTENIDO 
CAPiTULO 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 
1.1 ARITMETICA FINITA 	 3 
1.2 ERRORES DE REDONDEO 	 10 
1.3 PERDIDA DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS 	 16 
1.4 ESTABILIDAD DE UN ALGORITMO 	 20 
1.5 CONDICIONAMIENTO DE UN PROBLEMA 27 
TALLER 1. 28 
CAPiTULO 2. 	 SOlUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N 
NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 33 
2.1 METODOS CERRADOS 	 38 
<-2.1.1 Metodo de Bisecci6n 
 38 * 
2.1.2 Metodo de Posicion Falsa 	 41 
2.2 METODOS ABIERTOS 	 43 
......2.2.1 Metodo de Punto Fijo 43 ~ 
'-2.2.2 Metodo de Newton-Raphson 56 
2.2.3 EI metodo de Newton-Raphson-Horner 65 
L2.2.4 Metodo de Newton-Raphson modificado 76 
2.2.5 Metodo de la Secante 78 
2.3 RAPIDEZ DE CONVERGENCIA 	 80 
2.3.1 Orden "e convergencia del metodo de iteracion de Punto fijo 	 84 
2.3.2 Orden de convergencia del metodo de Newton-Raphson 86' 
TALLER 2. 88 
CAPiTULO 3. 	 SOlUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE 
ECUACIONES 93 
3.1 SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 93 
3.2 METODOS DIRECTOS 	 94 
3.3 SISTEMAS MAL CONDICIONADOS Y NUMERO DE CONDICION DE UNA MATRIZ 99 
3.4 ESTRATEGIAS DE PIVOTEO 	 114 
3.4.1 Pivoteo maximo por columna 	 114 
3.4.2 Pivoteo escalado de fila 	 116 
3.5 FACTORIZACION TRIANGULAR 	 117 
3.5.1 Algunas aplicaciones de la factorizaci6n PA=LV 	 119 
3.6 SISTEMAS TRIDIAGONALES 	 120 
3.7 FACTORIZACION DE CHOLESKI 	 124 
3.8 METODOS ITERATIVOS 	 127 
3.8.1 Metodo iterativo de Jacobi 	 129 
3.8.2 Metodo iterativo de Gauss-Seidel 	 141 
3.8.3 Metodo SOR 	 149 
X CONTENIDO 
3.9 SOl,UCI6N NUMERICA DE SISTEMAS NO-LINEALES 
3.9.1 Iteraci6n de Punto Fijo para sistemas no-lineales 
_ 13.9.2 Metodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales 
3.10 CEROS COMPLEJOS DE POLINOMIOS: METODO DE BAIRSTOW ' 
TALLER 3. 
CAPiTULO 4. 	 INTERPOLACI6N POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 
4.1 INTERPOLACI6N POLINOMIAL 
4.1.1 Forma de Lagrange del polinomio interpolante 
4.1 .2 Forma de Newton del polinomio interpolante 
4.2 INTERPOLACI6N SEGMENTARIA CUBICA 
4.3 AJUSTE DE UN POLINOMIO POR MINIMOS CUADRADOS 
4.3.1 Regresi6n polinomial 
4.3.2 Regresi6n exponencial. logaritmica y de potencia 
TALLER 4. 
CAPiTULO 5. 	 INTEGRACI6N NUMERICA 
5.1 ALGUNAS F6RMULAS CERRADAS DE NEWTON-COTES 
5.1.1 Regia de los trapecios 
5.1.2 Regia de Simpson (~) 
5.1.3 Regia de simpson (%) 
5.2 INTEGRACI6N DE ROMBERG 
5.3 METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 
5.4 METODO DE CUADRATURA GAUSSIANA 
TALLER 5. 
CAPiTULO 6. 	 SOLUCI6N NUMERICA DE PROBLEMAS DE 
VALOR INICIAL PARA ECUACIONES 
DIFERENCIALES ORDINARIAS 
6.1 METODO DE EULER 0 DE LA RECTA TANGENTE 
6.2 UN METODO DE EULER MEJORADO 
6.3 METODO DE LOS TRES PRIMEROS TERMINOS DE LA SERlE DE TAYLOR 
6.4 METODO DE RUNGE-KUTTA 
TALLER 6. 
BIBLIOGRAFiA 
iNDICE 
iNDICE DE ALGORITMOS 
SiMBOLOS, NOTACIONES Y ABREVIATURAS 
155 
156 
162 
167 
174 
183 
184 
185 
197 
206 
216 
217 
224 
226 
231 
231 
233 
237 
241 
253 
259 
263 
269 
273 
284 
295 
299 
303 
318 
323 
325 
329 
331 
. :.-.", 
CAPfTULO 1 
INTRODucclON 
AI momento de 
menudo con DroIlIIIfIlil 
cuya soluciOn 
continuaciOn con.... 
para los cualls 
IS NO-LINEALES 155 
156 
162 
167 
174 
183 
184 
185 
197 
206 
216 
217 
224 
226 
231 
231 
233 
237 
241 
253 
259 
263 
269 
273 
284 
295 
R 299 
303 
318 
323 
325 
329 
331 .-.. 
I 
CAPiTULO 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 
INTRODUCCICN 
AI momenta de aplicar las Matematicas a situacjones del mundo real nos encontramos a 
menudo con problemas que no pueden ser resueltos analiticamente 0 de manera exacta y 
cuya soluci6n debe ser abordada con ayuda de algun procedimiento numerico. A 
continuaci6n consideramos algunos problemas tipicos, ya formulados matematicamente, 
para los cuales estudiaremos tecnicas numericas de soluCi6n. 
Problema 1.1 Encontrar el area de la regi6n comprendida entre las graficas de y = 2 sen x , 
x
y=e- con XE[O,1t] .• 
Problema 1.2 Encontrar las rafces de la ecuaci6n polin6mica 
Problema 1.3 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 
a) EI sistema lineal AX = b con 
~ 
-I 3 
-1 2 -1 0 0 
2 0 0 0 
-2 
A= 0 -1 2 -1 0 b= 2 
0 0 -1 2 -1 
 -2 
0 0 0 -1 2 
 1 
b) EI sistema no-lineal 
{ x' +XY' = 9 
3x2 y _ y3 =4 
 • 
Problema 1.4 Dada la siguiente tabla de datos correspondiente a una cierta funci6n y = f( x) , 
~ f~:) Ilr_=_~__r-~-1__+-_0~~_-~~~__=~__r-=~~ 
TABLA 1.1 
encontrar el polinomio de menor grado que pase a traves de los puntos dados. 
Cual sera una estimaci6n para los valores f( x) correspondientes a x = -1.5 Y x = 1.5? • 
-Problema 1.5 Hallar el valor de cada una de las siguientes integrales: 
2 METODOS NUMERICOS 
1 
b) Je
x2 
dx 
0 
n 
2J~ 
3 
c) ~1-~-4 (ellptica)-'dX d) J~Inx x • 
o 2 
Problema 1.6 Resolver el problema de valor inicial 
d28 d8 
-2 + - +16sen8 = 0 
dt dt 
{ 
•8(0) =~, 8'(0) = 0 
En re/aci6n can los problemas anteriores, tenemos que: 
En el problema 1.1, es necesario determinar los puntas de intersecci6n de las graficas de . 
y =2 sen x y y =e-x , para 10 cual debemos resolver la ecuaci6n 2 sen x =e-x y no 
disponemos de un metoda algebraico para hacerlo. 
En el problema 1.2, se trata de hallar los ceros de un polinomio de grado 5 y, como sabemos, 
s610 se conocen metodos algebraicos para encontrar rarces de ecuaciones polin6micas de 
grado menor a igual que 4. 
En el problema 1.3, tenemos dos sistemas de ecuaciones: EI de la parte a) es lineal y 
conocemosmetodos de soluci6n (par ejemplo, el metoda de eliminaci6n Gaussiana) , sin 
embargo, para sistemas de tamano mayor, no s610 es conveniente sino necesario 
implementar tales metodos. a traves del computador (metodo numerico). En la parte b) 
tenemos un sistema no-lineal y no conocemos metod as algebraicos generales para 
resolverlo. 
EI problema 1.4 se puede resolver anaifticamente (por interpolacion), sin embargo para 
determinar los coeficientes de dichos polinomios existen tecnicas que permiten encontrarlos 
rapidamente y que pueden implementarse en el computador. 
EI problema 1.5, corresponde a integrales definidas cuyo integrando tiene antiderivada que 
no es elemental. 
Finalmente, en el problema 1.6, la ecuaci6n diferencial ordinaria 
d2 8 d8 
-2 + - + 16sene = 0 (ecuaci6n de movimiento de un pendulo) 
dt dt 
es no-lineal (por la presencia de sen 8) Y no disponemos de un metoda analitico para 
resolverla. 
Los problemas anteriores sirven 
un primer curso de m'todOi nllnall 
una variable, soluci6n nu 
interpolaci6n polinomial, integrad6n 
inicial para ecuaciones dihtrlllCil.... 
Un metoda numenco es un 
manera aproximada, la 
aritmeticos y 16glcos (Ooet'l~nM 
una tabla de va/ores, calculO 
finlta de nstrucciones preas. 
16gicas (algoritmo), que fV'M~_ 
( olucion num6rica) a bien lit 
depende, en parte, de la fICIldId) 
especiales y limltaclon 
emplear estos instrumen 
5iendo los computadores 
indicar c6mo son los nUnilllftlul 
La mayoria de los conrtpUl._ 
los nLimeros reales 
contiene numeros raciloniIlI 
numeros de punto 
simplemente conJunto ell 
Cada nLimero del con•• 
finita), segun se indlCI 
Un numero del 
matematicamente en 
J3 es un entero 
(Sistema Blnlrlc!l).41 
http:Blnlrlc!l).41
Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 3 
Los problemas anteriores sirven como motivaci6n para el estudio de cinco grandes temas en 
un pri mer curso de metodos numericos: soluci6n numerica de una ecuaci6n no-lineal en 
una variable, soluci6n numerica de sistemas de ecuaciones lineales y no-lineales, 
interpolaci6n polinomial , integraci6n numerica y soluci6n numerica de problemas de valor 
inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias 
Que es un metodo numerico? 
Un metodo numerico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casl slempre de 
manera aproximada, la soluci6n de ciertos problemas realizando calculos puramente 
aritmeticos y 16gicos (operaciones aritmeticas elementales, calculo de funciones, consulta de 
una tabla de valores, calculo proposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista 
fin ita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y 
16gicas (algoritmo), que producen 0 bien una aproximaci6n de la soluci6n del problema 
(soluci6n numerica) 0 bien un mensaje. La eficiencia en el calculo de dicha aproximaci6n 
depende, en parte, de la faci lidad de implementaci6n del algori tmo y de las caracteristicas 
especiales y limitaciones de los instrumentos de calculo (los computadores). En general, al 
emplear estos instrumentos de calculo se introducen errores Ilamados de redondeo. 
1.1 ARITMETICA FINITA 
Siendo los computadores la herramienta basica en los metodos numericos es conveniente 
indicar c6mo son los numeros del computador y c6mo se simula su aritmetica. 
La mayoria de los computadores usan s610 un subconjunto finito, relativamente pequeno, de 
los numeros reales para representar a "todos" los numeros reales; este conjunto, que s610 
contiene numeros racionales y que describiremos mas adelante, es lIamado conjunto de 
numeros de punto flotante 0 conjunto de numeros de maquina en punto flotante 0 
simplernente conjunto de punto flotante. 
Cada numero del computador se representa mediante un numero finito de digi tos (aritmetica 
fin ita), segun se indica a continuaci6n : 
Un numero del computador 0 de punto flotante, distinto de cero, se describe 
matematicamente en la forma 
t {. f I 
forma en la cuallos simbolos que all[ aparecen, tienen el siguiente significado: 
(J =+ 1 0 (J =- 1 es el sig no del numero. 
~ es un entero que denota la base del sistema numerico usado. Por 10 general ~ '" 2 
(Sistema Binario), ~ = 8 (Sistema Octal) 0 ~ = 16 (Sistema Hexadecimal). 
ai, i = 1,2, ... , t , es un entero con 0 ~ ai ~ ~ - 1. Los enteros 0,1, .. ,0 - 1 son lIamados digitos 
en la base ~ Nosotros asumiremos en todo 10 que sigue que a, :tc 0 , en cuyo caso el 
numero se dice que esta en forma normalizada. 
4 METODOS NUMERIC OS 
a1 a2 at I' f '6 d I .()· . . a t ~ denota la suma 1" + 2+"'+\ yes IIamada a mantlsa 0 racci n e numero. a1a2 p p p 
de punto flotante. 
EI entero t indica el numero de dfgitos en la base p que se usan para representar el 
numero de punta flotante , y es \\amado precisi6n. Por 10 general t =6 0 t =7 con ~ =10 
(precisi6n sencilla), t =14 0 t = 15 can ~ =10 (doble precisi6n). En algunos computadores 
se pueden hacer representaciones en precisi6n sencilla, doble precisi6n e incluso en 
precisi6n mayor. 
e es un entero lIamado el exponente, y es tal que L ~ e ~ U para ciertos enteros L y U; es 
comun encontrar L = - U a L = -U ± 1. Un caso frecuente es L = -63 Y U = 64 , para un total 
de 128 posibles exponentes. 
EI numero cero requiere una representaci6n especial. 
De acuerdo con 10 anterior un conjunto de punto flotante F queda caracterizado por cuatro 
parametros: 
a) La base p , 
b) La precisi6n t , 
c) Los enteros L y U tales que L ~ e ~ U , donde e es el exponente. 
Cualesquiera sean los parametros elegidos, los conjuntos de punta flotante correspondientes 
comparten las mismas caracterlsticas cualitativas, entre elias la carencia de algunas de las 
propiedades algebraicas de que gozan los numeros reales. . 
Una de las caracterfsticas de todo conjunto de punto flotante F es que es finito y tiene 
numeros diferentes (incluyendo el cera), y donde los distintos de cero estan en forma 
normalizada. En efecto: 
puede tomar p- 1 valores y ai, i =2,3, ... , t puede tomar p valores, asf que haya1 
(p - 1)p ... P=(p _1)pt-1 fracciones positivas distintas. 
'--v--' 
t-1 
Ahora, considerando que el numero de posibles exponentes es U - L + 1, que el numero de 
punta flotante puede ser positiv~ 0 negativ~, y teniendo en cuenta que el numero cero esta 
tambi{m en el conjunto de punto flotante, concluimos que el conjunto F tiene 
numeros diferentes. 
Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 5 
Lo anterior nos dice que se usan 2(~ -1)~t- '(U - L + 1) + 1 numeros de punto fiotante para 
"representar" el conjunto continuo de los numeros reales (que es infinito) , 10 que impl ica que 
muchos numeros reales tendrfan que ser representados par un mismo numero de punto 
flotante . 
Como ejemplo, consideremos el conjunto de punto flotante F con para metros p== 2 
(Binario) , t == 3 , L == -1 , U == 2. Tal conjunto F tiene 
numeros diferentes (inciuyendo el cero). 
Los numeros de F , distintos de cero, son de la forma 
con a, = 1, a2, a3 = 0, 1 Y e = - 1, 0, 1, 2 ; asf que las fracciones positivas distintas son: 
Combinando estas mantisas con los exponentes, obtenemos todos los numeros positivos de 
F que aparecen en la TABLA 1.2 siguiente. 
I MANTISA I EXP. -1 I EXP. 0 I EXP. 1 IEXP. 2 
I 
8 
(.100)2 =­
16 
(.100) x T'=~
2 16 
(.100) x 2° = ~ 
.. 2 16 
(.100) x 2' = ~ 
2 16 
(.100) x 22 == 32 
2 16 
(.101) =!Q
2 16 
(.101)2 x T' = ~ 
16 
(.101) x 2° = !Q 
2 16 
(.101) x 2' = 20 
2 16 
(.101)2 22 == 40 
16 
(.110) = ~ 
2 16 
(.110) xT' =~ 
2 16 
(.110) x 2° ==~ 
2 16 
(.110) 2 x 2,= 24 
16 
( ) 2 48 .1 10 x 2 =­
2 16 
(.111) = .!i
2 16 
(.111) x T' = ~ 
2 16 
(.111) x 2° = .!i
2 16 
(.111) x 2' = 28 
2 16 
(.1 11) x 22 = 56 
2 16 
TABLA 1.2 
6 METOOOS NUMERICOS 
Como estamos mas familiarizados con los numeros decimales (en base p= 10), los 33 
elementos de F en forma (racional) decimal son 
16 20 24 28 32 40 48 56 
+- ±- ±- ± - +- +- +- +­
-16' 16' 16 ' 16 ' -16' -16' -16' -16 
Una representaci6n de los numerospositiv~s y el cero de F en la recta real se muestra en 
la FIGURA 1.1 siguiente. 
o )( flex) 
Iii 
56: 
~T 16 20 32 
, b 
40 48 
, ~R 
-TS" 16 16 16 16 16 I 
regIon de under1low region de overflow 
(subfJujo) (sobreflujo) 
FIGURA 1.1 
Algunos hechos que se pueden observar en un conjunto de punta flotante F son: 
1. Todo numero real x que entra en el computador 0 que es el resultado de un calculo, es 
reemplazado (si es posible) por un numero de punto flotante que notaremos fl(x). Existen 
reg las para escoger tal numero (reglas de redondeo), por 10 general es el numero de punto 
flotante mas cercano a x. La diferencia Ix - f1( x) I se llama error (absoluto) de redondeo. 
2. Si observamos la distribuci6n de los elementos de F , en la recta real, vemos que no 
estan igualmente espaciados (eslan mas densamente distribuldos ella cercanla del cero), 10 
que implica que el error de redondeo puede depender del tamar'\o del numero (entre mas 
grande sea el numero en valor absoluto, mayor puede ser el error de redondeo). 
En el ejemplo, el numero de punto f10tante positiv~ mas pequer'\o es ~ =.!. , y el numero de 
16 4 
punto flotante positiv~ mas grande es 56 = ~. 
16 2 
En general, en un conjunto de punto flotante F con param~tros p, t, L Y U, se tiene que 
es el numero de punta f10tante positiv~ mas pequer'\o (para el ejemplo, FL = 2-1-1 = ±), y 
con y = P-1 
Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 7 
es el numero de punto flotantepositivo mas grande (para el ejemplo, Fu =(1- 2-3 )22 = !... ) 
. 2 
A la regi6n RL = { X ER / 0 < IxI< FL se Ie llama region de underflow 0 subflujo, y en 
algunos computadores si un numero real cae en esta region, el numero es redondeado a 
cero . 
Por otra parte, a la regi6n Ru = { X ER / Ixl > Fu ' se Ie llama region de overflow 0 
sobreflujo, y en algunos computadores si un numero real cae en esta regi6n , el numero es 
redondeado al numero de punto flotante mas cercano (Fu , - Fu) 0 se infomia del fen6meno 
overflow. 
Se define como range del conjunto F, al conjunto 
De acuerdo con esto, todo numero de punto flotante, distinto de cero, fl(x) , debe satisfacer 
3. La combinaci6n aritmetica usual +, -, x, 7- de dos numeros de punto flotante no 
siempre produce un numero de punto flotante. 
Supongamos que fl(x), fl(Y)EF. Veamos, como ejemplo, que la suma usual fl(x)+fl(y) no 
necesariamente sera un numero en F . Para ello consideremos el conjunto de punto f10tante 
F dado en el ejemplo: fl(x) = ~: EF, fl(Y) = 1~ E F , sin embargo 
28 5 33
fl( x) + fl(Y) = - + - = - ~ F . Luego la adici6n usual no es cerrada en el sentido 
16 16 16 
matematico ordinario. 
Una manera de simular la adici6n Y las demas operaciones aritmeticas entre numeros rea les, 
pero realizadas por el computador es la siguiente: 
Si x e Y son numeros reales en el range de F , definimos las operaciones 83, 8, ® Y 8, a las 
que nos referiremos como operaciones de punta flotante, asi 
x EB Y = fl( fl( x) + fl( Y ) ) 
x 8 Y= fl( fl( x) - fl( Y ) ) 
x ® Y = fl( fl( x) x fl( Y ) ) 
x 8 Y = fl( fI( x) .;.fI(Y)) 
donde +, - x Y 7 son las operaciones aritmeticas usuales. 
8 METOOOS NUMERICOS 
Ilustraremos estas operaciones en 81 conjunto F del ejemplo, al tiempo que pondremos de 
manifiesto la carencia de ciertas propiedades para tales operaciones. Supondremos que f1(x) 
se escoge como el numero de punto f10tante mas cercano a x y que cuando el numero x 
equidista de dos numeros de punto f1otante, se escoge flex) como el mas cercano a la 
derecha si es positiv~ 0 el mas cercano hacia la izquierda si es negativo: 
· 28 5 R t I
Tomemos en F ,os numeros - y - y supongamos que X, y E son a es queI
 
16 16 
28 5
f1(x) = - Y f1(Y) = - . Entonces 
16 16 
xG) = f1(28 + ~) = fl( 33) = 32 
Y 16 16 16 16 
x e y = f( 28 _~) = fl( 23) = 24 
\1616 16 16 
X!&> y=fl( 28 x~) = fl( 35) = 32 = ~ 
16 16 64 64 16 
xEEJ y = fl( 28 -;- ~) = fl( 28) = 56 (fen6meno overflow) 
16 16 5 16 
28 56
t Overflow, ya que - > - = Fu 
5 16 
6 6
Tomemos - EF Y supongamos que z ER es tal que fl(z) = -, entonces 
16 16 
z e y = fl(~ - ~) =f1( _1 ) = 0 (fen6meno underflow) 
16 16 16 
1 4
t Underflow, ya que 0 < - < - = FL 
16 16 
16 7 14 5 10 
Como 1 = 16 ' "8 = 16 ' s = 16 E F, entonces existen u, v, WE R tales que fl(U) = 1, 
7 5
f~V)=S Y f1(W) = s ' Entonces 
luego 
Air que 
Fi_ ...