Resolução de Problemas de Bancarrota

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Equation Chapter 1 Section 1 
Trabajo Fin de Máster 
Máster en Organización Industrial y Gestión de 
Empresas 
 
Resolución de Problemas de Bancarrota usando 
reglas y juegos cooperativos 
Autor: Javier Redondo Torres 
Tutor: Sebastián Lozano Segura 
Dpto. Organización Industrial y Gestión de Empresas I 
Escuela Técnica Superior de Ingeniería 
Universidad de Sevilla 
 Sevilla, 2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii 
 
Trabajo Fin de Máster 
Máster en Organización Industrial y Gestión de Empresa 
 
 
 
 
 
Resolución de Problemas de Bancarrota usando 
reglas y juegos cooperativos 
 
 
Autor: 
Javier Redondo Torres 
 
 
Tutor: 
Sebastián Lozano Segura 
Catedrático de Universidad 
 
 
 
Dpto. Organización Industrial y Gestión de Empresa I 
Escuela Técnica Superior de Ingeniería 
Universidad de Sevilla 
Sevilla, 2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
 
 
Trabajo Fin de Máster: Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 
 
 
 
Autor: Javier Redondo Torres 
Tutor: Sebastián Lozano Segura 
 
 
El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: 
Presidente: 
 
 
 
Vocales: 
 
 
 
 
Secretario: 
 
 
 
 
Acuerdan otorgarle la calificación de: 
 
Sevilla, 2018 
 
 
 
 
 
 
El Secretario del Tribunal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii 
 
 
 
 
 
 
 
A mi familia 
A mi tutor, Sebastián, por su 
dedicación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Índice 
Índice viii 
Índice de Figuras x 
1 Objetivo y Alcance 1 
2 Teoría de Juegos Cooperativos 3 
2.1 Introducción Teoría de Juegos 3 
2.2 Juegos Cooperativos de Utilidad Transferible 3 
2.2.1 Propiedades 4 
2.2.2 Soluciones 5 
3 Problemas de Bancarrota 9 
3.1 Reglas de Bancarrota 9 
3.1.1 Proportional rule (Pr) 9 
3.1.2 Constrained equal awards rule (CEA) 10 
3.1.3 Constrained equal losses rule (CEL) 11 
3.1.4 Adjusted proportional rule (AP) 11 
3.1.5 Talmud rule (TAL) 12 
3.1.6 Random arrival rule (RA) 15 
3.2 Juegos Cooperativos de Bancarrota 16 
3.3 Propiedades 16 
3.3.1 Equal treatment of equals 16 
3.3.2 Scale invariance (a.k.a. Homogeneity) 16 
3.3.3 Composition up 17 
3.3.4 Path Independence (a.k.a. Composition down) 17 
3.3.5 Consistency 17 
3.3.6 Exemption 17 
3.3.7 Exclusion 17 
4 Experimentos 11 
4.1 Reparto y Satisfacción de cada Regla para cada Acreedor y cada Estate 11 
4.1.1 PR 11 
4.1.2 CEA 12 
4.1.3 CEL 13 
4.1.4 AP 14 
4.1.5 TAL 15 
4.1.6 RA 16 
4.2 Media de asignación y satisfacción para cada Acreedor y cada Regla 17 
4.3 Variación para estates pequeños, medianos y grandes. 18 
4.4 Nucleolus y Valor de Shapley 20 
4.5 Comprobación de propiedades 20 
4.5.1 Equal treatment of equal 20 
4.5.2 Scale invariance 21 
ix 
 
4.5.3 Composition up 25 
4.5.4 Path independence 29 
4.5.5 Consistency 32 
4.5.6 Exemption 34 
4.5.7 Exclusion 35 
4.5.8 Resumen de las propiedades. 35 
5 Conclusiones 37 
Referencias 38 
 
 
 
 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
 
 
Ilustración 1. Reparto de la Regla PR para todo Estate 11 
Ilustración 2. Satisfacción de la Regla PR para todo Estate 12 
Ilustración 3. Reparto de la Regla CEA para todo Estate 12 
Ilustración 4. Satisfacción de la Regla CEA para todo Estate 13 
Ilustración 5. Reparto de la Regla CEL para todo Estate 13 
Ilustración 6. Pérdidas de la Regla CEL para todo Estate 14 
Ilustración 7. Satisfacción de la Regla CEL para todo Estate 14 
Ilustración 8. Reparto de la Regla AP para todo Estate 15 
Ilustración 9. Satisfacción de la Regla AP para todo Estate 15 
Ilustración 10. Reparto de la Regla TAL para todo Estate 16 
Ilustración 11. Satisfacción de la Regla TAL para todo Estate 16 
Ilustración 12. Reparto de la Regla RA para todo Estate 17 
Ilustración 13. Satisfacción de la Regla RA para todo Estate 17 
Ilustración 14. Media de Asignación a cada acreedor de cada regla 18 
Ilustración 15. Media de Satisfacción a cada acreedor de cada regla 18 
Ilustración 16. Asignación a cada acreedor de cada regla para un estate de 50 19 
Ilustración 17. Asignación a cada acreedor de cada regla para un estate de 100 19 
Ilustración 18. Asignación a cada acreedor de cada regla para un estate de 150 19 
Ilustración 19. Satisfacción a cada acreedor de cada regla para un estate de 100 19 
Ilustración 20. Satisfacción a cada acreedor de cada regla para un estate de 50 20 
Ilustración 21. Satisfacción a cada acreedor de cada regla para un estate de 150 20 
Ilustración 22. Comprobación propiedad Equal Treatment of Equals 21 
Ilustración 23. Reparto de la Regla PR para todo Estate con claims 10 veces menores 21 
Ilustración 24. Reparto de la Regla PR para todo Estate con claims 10 veces mayores 22 
Ilustración 25. . Reparto de la Regla CEA para todo Estate con claims 10 veces menores 22 
Ilustración 26 Reparto de la Regla CEA para todo Estate con claims 10 veces mayores 22 
Ilustración 27. Reparto de la Regla CEL para todo Estate con claims 10 veces menores 23 
Ilustración 28. Reparto de la Regla CEL para todo Estate con claims 10 veces mayores 23 
Ilustración 29. Reparto de la Regla PR para todo Estate con claims 10 veces menores 23 
Ilustración 30. Reparto de la Regla AP para todo Estate con claims 10 veces mayores 23 
Ilustración 31. Reparto de la Regla TAL para todo Estate con claims 10 veces menores 24 
Ilustración 32. Reparto de la Regla TAL para todo Estate con claims 10 veces mayores 24 
Ilustración 33. Reparto de la Regla RA para todo Estate con claims 10 veces menores 24 
Ilustración 34. Reparto de la Regla RA para todo Estate con claims 10 veces mayores 25 
xi 
 
Ilustración 35. Tabla de Reparto de la Regla PR para varios Estates 26 
Ilustración 36. Tabla de Reparto de la Regla CEA para varios Estates 26 
Ilustración 37. Tabla de Reparto de la Regla CEL para varios Estates 27 
Ilustración 38. Tabla de Reparto de la Regla AP para varios Estates 28 
Ilustración 39. Tabla de Reparto de la Regla TAL para varios Estates 28 
Ilustración 40. Tabla de Reparto de la Regla RA para varios Estates 29 
Ilustración 41. Reparto de la Regla PR para todo Estate con Claims modificadas 30 
Ilustración 42. Reparto de la Regla CEA para todo Estate con Claims modificadas 30 
Ilustración 43. Reparto de la Regla CEL para todo Estate con Claims modificadas 30 
Ilustración 44 Reparto de la Regla AP para todo Estate con Claims modificadas 31 
Ilustración 45 Reparto de la Regla AP para todo Estate con Claims modificadas 31 
Ilustración 46. Reparto de la Regla RA para todo Estate con Claims modificadas 32 
Ilustración 47. Reparto de la Regla PR para todo Estate sin Acreedor 4 32 
Ilustración 48. Reparto de la Regla CEA para todo Estate sin Acreedor 4 33 
Ilustración 49. Reparto de la Regla CEL para todo Estate sin Acreedor 4 33 
Ilustración 50. Reparto de la Regla AP para todo Estate sin Acreedor 4 33 
Ilustración 51. Reparto de la Regla TAL para todo Estate sin Acreedor 4 34 
Ilustración 52. Reparto de la Regla RA para todo Estate sin Acreedor 4 34 
Ilustración 53. Resumen propiedades de las Reglas 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
1 OBJETIVO Y ALCANCE 
El objetivo de este documento es tratar los Problemas de Bancarrota desde dos visiones, la primera, la de la 
Teoría de Juegos Cooperativos, más superficialmente, y la segunda, más en profundidad, la de las Reglas de 
Bancarrota. Estas dos maneras de enfocar el problema serán desarrolladas, de manera teórica, en los apartados 
2 y 3. Posteriormente,se efectuarán una serie de experimentos con un ejemplo concreto de Problema de 
Bancarrota. Para ello se han programado estas reglas en MATLAB. Los resultados obtenidos serán mostrados 
en ilustraciones realizadas mediante Google Data Studio en el apartado 4. Además, en el apartado 5 se muestran 
las conclusiones a las que se ha llegado en este documento. 
Sobre la Teoría de Juegos Cooperativos se darán unas nociones básicas, incluyendo definiciones, soluciones 
principales y propiedades, contenido necesario y suficiente para entender el enfoque que esta teoría da de los 
Problemas de Bancarrota. Además, se mostrará la relación de las soluciones propuestas por esta teoría y las 
Reglas de Bancarrota. 
En relación a las Reglas de Bancarrota, se desarrollarán las seis reglas principales y sus propiedades. Además, 
se proporcionará el código utilizado para su programación, y se realizarán diversos experimentos para visualizar 
lo comentado de manera teórica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
2 TEORÍA DE JUEGOS COOPERATIVOS 
2.1 Introducción Teoría de Juegos 
La Teoría de Juegos es un área de las matemáticas que puede ser definida como el estudio de modelos 
matemáticos de conflictos y cooperación entre decisores inteligentes y racionales. Teniendo aplicación en 
diversos campos de las ciencias sociales como la economía, la política o la ciencia, además de resultar útil de 
manera práctica a personas que tengan que tomar decisiones concretas. Ofrece, por tanto, técnicas matemáticas 
para analizar situaciones donde dos o más individuos toman decisiones que afectan al bienestar de los otros. El 
concepto de juego puede desvirtuar un poco el significado que se quiere transmitir. Un nombre más preciso 
podría ser “Análisis de Conflictos” o “Teoría de Decisiones Interactivas”. Aun así, el concepto de “juego” está 
ampliamente aceptado y se refiere a cualquier situación social que afecte a dos o más individuos, a los que se 
les suele llamar jugadores. Estos jugadores han sido previamente definidos como inteligentes y racionales. Estos 
adjetivos tienen su propia definición dentro de este ámbito [1]. 
Un jugador es racional si toma decisiones consistentes en virtud de alcanzar sus propios objetivos. Asumimos 
en Teoría de Juegos que estos beneficios son maximizar los valores esperados de sus recompensas, que se 
medirán en función de la utilidad. Nótese que esta utilidad no será siempre medida en dinero. Por ejemplo, la 
medida del dinero puede ser relativa, ya que, un euro no tendrá la misma utilidad para un pobre que para un rico. 
Por este motivo, el concepto de utilidad es más completo que el simple valor monetario. Por otro lado, está el 
concepto de jugador inteligente, que está relacionado con el de racional pero no son exactamente iguales. El 
jugador inteligente es aquel capaz de percibir el entorno, procesar esa información y actuar en ese entorno de 
manera racional, es decir, buscando maximizar el valor esperado de sus ganancias [1]. 
La parte de Teoría de juegos que se aplicará, en este documento, serán los conocidos como Juegos Cooperativos 
de Utilidad Transferible y concretamente en forma coalicional. 
El que sean cooperativos, quiere decir, que los jugadores pueden hacer acuerdos vinculantes sobre la distribución 
de las recompensas o la elección de la estrategia, aun cuando estos acuerdos no estén especificados en las reglas 
del juego. [2] 
El concepto de utilidad transferible, que diferencia de los juegos de utilidad no transferible, será desarrollado en 
el siguiente apartado. Además, estos juegos serán estudiados en forma coalicional. El otro modo de estudio sería 
la forma estratégica [3] que no será contenido de este documento. En qué consiste la forma coalicional también 
será explicado en el siguiente apartado. 
 
2.2 Juegos Cooperativos de Utilidad Transferible 
Un juego cooperativo de utilidad transferible en su forma coalicional no es más que un par (N,v), siendo N un 
conjunto finito de jugadores  N 1,2,...,n y v : 2𝑛 → ℝ una función que asocia a cada coalición S un 
número real v(S) tal que v(∅)=0. Esta v se conoce como función característica. [4] 
 
 
 
 
Teoría de Juegos Cooperativos 
 
 
4 
2.2.1 Propiedades 
2.2.1.1 Monotonicidad 
Un juego cooperativo es monótono si el valor de la función característica de una coalición que abarque a otra es 
mayor o igual que el valor de la función de la coalición menor [5]. Matemáticamente, un juego cooperativo (N,v) 
es monótono si: 
v(S) v(T) S,T N : S T    
2.2.1.2 Superaditividad y subaditividad 
Un juego cooperativo es superaditivo si se produce algún tipo de sinergia entre coaliciones, es decir, que la suma 
de los valores de las funciones características de dos coaliciones disjuntas por separado es menor o igual que el 
valor que conseguirían si formaran una sola coalición[5]. Matemáticamente un juego cooperativo (N,v) es 
superaditivo si: 
v(S T) v(S) v(T) S,T N : S T        
La subaditividad será por tanto lo contrario: 
v(S T) v(S) v(T) S,T N : S T        
2.2.1.3 Convexidad y Concavidad 
La convexidad es la extensión de la superaditividad a conjuntos que no son disjuntos. Es decir, un juego es 
convexo si se produce algún tipo de sinergia entre coaliciones, es decir, que la suma de los valores de las 
funciones características de dos coaliciones por separado (descontando la parte que se debe a que ambas 
coaliciones comparten a algún jugador en el caso de que los compartieran) es menor o igual que el valor que 
conseguirían si formaran una sola coalición. Matemáticamente: 
v(S T) v(S) v(T) v(S T) S,T N       
Otra interpretación de la convexidad es el hecho de que la función característica de una coalición cualquiera 
aumente más al añadir a un jugador cuanto mayor sea esta coalición. Es decir que se produzca un efecto por el 
cual cuanto mayor sea una coalición más incremento de ganancia consigue si se añade un jugador a dicha 
coalición. Este efecto tiene sentido en la vida real y es conocido como el efecto red. Por ejemplo, en las relaciones 
sociales puede pasar que el efecto de la colaboración conjunta de un grupo de personas crezca más, al añadir a 
una persona, en un grupo mayor. Matemáticamente: 
     v S i v(S) v T i v(T) S T N i T          
Esta interpretación se puede extender a que se una un grupo de jugadores a la coalición en vez de un solo 
individuo: 
   v S R v(S) v T R v(T) R N S T N \ R          
La concavidad trata entonces de las condiciones contrarias. Las siguiente son estas condiciones de concavidad 
análogas a las anteriores [5]: 
v(S T) v(S) v(T) v(S T) S,T N       
     v S i v(S) v T i v(T) S T N i T          
   v S R v(S) v T R v(T) R N S T N \ R          
 
 
 
 
5 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
2.2.2 Soluciones 
Una solución de un juego cooperativo de utilidad transferible es un reparto de las ganancias entre todos los 
jugadores. Evidentemente la suma de lo repartido nunca puede superar el valor de la función característica para 
la gran coalición. Es más, lo deseable es que esta suma sea igual a este valor. Así se reparte todo lo posible. Esta 
propiedad que pueden tener las soluciones se denomina eficiencia [5]. Matemáticamente: 
i
i N
x v(N)

 
Todas las soluciones que tienen esta propiedad, es decir, las soluciones eficientes forman un conjunto que se 
denomina conjunto de pre-imputaciones. En este conjunto se encuentran todos los repartos que distribuyen por 
completo el valor máximo a repartir v(N). Matemáticamente este conjunto sería: 
𝐼𝑝𝑟𝑒(𝑁, 𝑣) = {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛)𝜖ℝ𝑛 ∶ 𝑥(𝑁) = ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑣(𝑁)} 
Este conjunto no es más que un espacio vectorial y para n grandes no se puede visualizar, pero para 3 jugadores 
sí es posible hacerlo.Concretamente este conjunto es un triángulo contenido en el plano 1 2 3x x x v(N)   
cuyos vértices son:  v(N),0,0 ,  0, v(N),0 y  0,0, v(N) 
Otra propiedad deseable para una solución es que es que un jugador no se lleve menos en el reparto que lo que 
se llevaría si se quedara con su parte yendo por separado. Esta condición se conoce como racionalidad individual. 
El conjunto de soluciones que cumple eficiencia y racionalidad individual se conoce como conjunto de 
imputaciones. 
𝐼(𝑁, 𝑣) = {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛)𝜖ℝ𝑛 ∶ 𝑣({𝑖}) ≤ 𝑥𝑖 ∀𝑖 𝑥(𝑁) = 𝑣(𝑁)} 
En el caso de 3 jugadores se puede visualizar como el interior de un triángulo con vértices:  v(N),0,0 , 
 0, v(N),0 y  0,0, v(N) y que es intersección entre los semiespacios   ix v i i  . 
 
2.2.2.1 Nucleolus 
Para entender en qué consiste el Nucleolus hay que introducir unos conceptos previos: Core y Least Core. 
Si ampliamos el concepto de racionalidad individual para todas las coaliciones obtenemos la racionalidad 
coalicional. Es decir:  i
i S
x(S) x v S S N

    . Y si en el conjunto de imputaciones hacemos también 
esta ampliación, se obtiene el primer concepto de solución: El Core [6]. Matemáticamente: 
𝐶𝑜𝑟𝑒(𝑁, 𝑣) = {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛)𝜖ℝ𝑛 ∶ 𝑥(𝑁) = 𝑣(𝑁) 𝑣(𝑆) ≤ 𝑥(𝑆) ∀𝑆 ⊂ 𝑁, 𝑆 ≠ ∅} 
Este Core puede ser un espacio vacío, un punto o infinitos puntos. Además, siempre que sea no vacío, el Core 
será un conjunto cerrado. Esto es porque es la intersección de un hiperplano x(N) v(N) y múltiples 
semiespacios  x(S) v S S N   . 
Además, el Core es convexo, es decir, que cualquier combinación lineal de dos puntos que estén en el Core 
también estará en el Core o matemáticamente: 
x Core(N,v)
x (1 )y Core(N,v) 0 1
y Core(N,v)
 
         
 
 
Otra propiedad importante del Core es la estabilidad, que quiere decir que ningún jugador o coalición sale 
 
Teoría de Juegos Cooperativos 
 
 
6 
ganando por salirse de la gran coalición. 
Least Core 
Cuando el Core no es un solo punto puede ser útil el concepto de Least Core. Esta solución relaja las condiciones 
del Core cuando este es vacío y las endurece cuando tiene infinitos puntos. Para entenderlo primero hay que 
definir el exceso (e). El exceso es una medida de insatisfacción de una coalición con un cierto reparto. A mayor 
exceso mayor insatisfacción. Matemáticamente: 
i
i S
e(S,x) v(S) x(S) v(S) x

    
Por tanto, la condición de racionalidad coalicional es igual a que el exceso sea menor o igual que 0 (
e(S,x) 0 S N, S     ). Quedando el Core, por tanto: 
𝐶𝑜𝑟𝑒(𝑁, 𝑣) = {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛)𝜖ℝ𝑛 ∶ 𝑥(𝑁) = 𝑣(𝑁) 𝑒(𝑆, 𝑥) ≤ 0 ∀𝑆 ⊂ 𝑁, 𝑆 ≠ ∅ } 
Esta forma del Core se puede modificar para realizar la relajación o endurecimiento de las condiciones como se 
comentó anteriormente. Si en vez de que el exceso sea menor o igual que 0 se parametriza esta desigualdad se 
puede conseguir el efecto deseado. Este es el concepto de Ɛ-Core: 
𝐶𝑜𝑟𝑒𝜀(𝑁, 𝑣) = {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛)𝜖ℝ𝑛 ∶ 𝑥(𝑁) = 𝑣(𝑁) 𝑒(𝑆, 𝑥) ≤ 𝜀 ∀𝑆 ⊂ 𝑁, 𝑆 ≠ ∅} 
Dependiendo de este parámetro Ɛ se podrá endurecer o relajar condiciones. En el caso de que el Core este vacío 
se establecerá un Ɛ>0. Así se permitirá algo de exceso y este conjunto dejará de ser vacío. En el caso de que el 
Core contenga infinitos puntos se fijará un Ɛ<0, así no solo bastará con que el exceso sea 0 sino que, además, se 
obligará a que sea menor a un cierto valor negativo. O dicho de otra manera se exigirá una mejor solución que 
disminuya más el descontento de los jugadores. 
La solución que maximiza la satisfacción de las coaliciones se conoce como Least Core. Si definimos el 
𝜀𝑚𝑖𝑛(𝑁, 𝑣) como el mínimo Ɛ para que el Ɛ-Core sea no vacío (  min (N,v) min : Core (N,v)    ), 
el Least Core es el Ɛ-Core con el Ɛ mínimo. En otras palabras, el Least Core es el más pequeño de los Ɛ-Core 
no vacíos. 
min
LCore(N,v) Core (N,v) 
Este Least Core nunca es vacío, pero si puede ocurrirle que contenga infinitos puntos. En la siguiente solución 
que se expondrá se solucionará este problema. 
Como se ha visto, el Least-Core busca minimizar la máxima insatisfacción. Si este conjunto solo contuviera un 
punto entonces este sería el Nucleolus. Cuando el Least Core tiene infinitos puntos, estos tienen vectores de 
excesos (vector que contiene la insatisfacción de cada jugador) diferentes, pero que coinciden en una cosa, su 
componente máxima. Esta componente es el Ɛ mínimo expuesto en el apartado anterior. Pero, a diferencia del 
Nucleolus, el Least Core no tiene en cuenta el resto de componentes del vector de excesos. El Nucleolus trabaja 
sobre los puntos del Least Core e intenta minimizar la insatisfacción de los segundos más insatisfechos, y entre 
esos, de los terceros y así sucesivamente hasta encontrar un solo punto. Este punto, resultado de la optimización 
lexicográfica, es el Nucleolus. [7] 
Dadas dos imputaciones x,z I(N,v) sean         1 2 n2
x x , x ,..., x     y 
 
 
 
7 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
        1 2 n2
z z , z ,..., z     sus correspondientes vectores de excesos ordenados (de mayor a menor): 
a) L(x) (z)   si 1 1(x) (z)   o bien 
k k j jj 1: (x) (z) 1 k j & (x) (z)           
b) L(x) (z)   si k k(x) (z) k    
c) L(x) (z)   si L(x) (z)   o bien L(x) (z)   
El Nucleolus de un juego (N,v) se define como el conjunto: 
  1 2 n L(N,v) , ,..., I(N,v) : ( ) (z) z I(N,v)              
Es decir, el Nucleolus es el mínimo lexicográfico de los vectores de excesos ordenados correspondientes a todas 
las imputaciones. Por tanto, el Nucleolus sólo está definido cuando el conjunto de imputaciones I(N,v)   . 
Recordemos que      n
1 2 n iI(N,v) x x ,x ,..., x : x v i i x(N) v(N)      y que una 
condición necesaria y suficiente para que el conjunto de imputaciones sea no vacío es que   
i N
v i v(N)


.Pues bien, aunque hemos definido el Nucleolus como un conjunto, en realidad está demostrado que siempre 
que I(N,v)   el Nucleolus (N,v) siempre existe y consiste en un único punto [5]. 
2.2.2.2 Valor de Shapley 
El valor de Shapley es un promedio de la contribución marginal de cada jugador para todas las permutaciones 
del orden en el que los jugadores se van incorporando a la coalición. Se basa en la situación hipotética de que 
los jugadores se vayan incorporando uno a uno a la gran coalición y se cuenta el valor marginal, o valor que 
aportan al valor de la función característica, al incorporarse. Este valor de cada jugador se promedia en todas las 
permutaciones posibles y da el reparto que el Valor de Shapley asigna a ese jugador. Téngase en cuenta que el 
valor marginal depende de los jugadores que se hayan incorporado previamente pero no de los que quedan por 
incorporarse [8]. Matemáticamente se puede expresar de tres formas equivalentes: 
    i
S N
i S
(s 1)!(n s)!
(N, v) v S v S \ i
n!


 
      siendo s S 1 n N   
 
    
 
i
S N\ i
S !(n S 1)!
(N, v) v S i v S
n!

 
       
 
    i
(N)
1
(N, v) v P( ,i) i v P( ,i)
n!

        
siendo  N el conjunto de permutaciones de los jugadores N y, para cada permutación 
 N
, 
 P ,i
 
es el subconjunto de jugadores que preceden a i en la permutación . Para cada permutación  se denomina 
vector de contribución marginal a: 
   1 2 nm m ( ),m ( ),...,m ( )    
 
 
Teoría de Juegos Cooperativos 
 
 
8 
donde 
 
    im ( ) v P( ,i) i v P( ,i)     
 
 
Algunas propiedades importantes del Valor de Shapley son [5]: 
a) VS siempre existe y es único 
b) Si un juego (N,v) es superaditivo entonces su VS es una imputación, esto es, (N, v) I(N, v)  
c) Si un juego de ganancia(N,v) es convexo (o un juego de coste es cóncavo) entonces su VS es estable, 
esto es, (N, v) Core(N, v)  . Se trata de una condición suficiente pero no necesaria. El VS puede 
estar dentro del Core aunque el juego no sea convexo. 
 
9 
 
3 PROBLEMAS DE BANCARROTA 
 
Los problemas de bancarrota describen una situación en la que se debe repartir una cantidad divisible dada 
(Estate o “E”) entre un grupo de agentes, siendo esta cantidad insuficiente para satisfacer todas las demandas 
(Claims o “c”). Una regla de bancarrota es, por tanto, un procedimiento que asigna a cada problema concreto un 
reparto que cumple dos características: (1) Los agentes no reciben más de su reclamación, ni menos de cero. (2) 
Se reparte toda la cantidad disponible. [9] Un ejemplo de esta situación podría ser un hombre que muere dejando 
una herencia que no supera el valor total de sus deudas. La cuestión es cómo se debe repartir esa herencia entre 
los distintos acreedores. [10] Para visualizarlo se puede imaginar un caso donde la herencia fuese de valor 100 
y las reclamaciones de los acreedores de 30, 50 y 80, respectivamente. En principio no es trivial decidir cómo 
se puede repartir esa cantidad. Un ejemplo de solución directa sería repartir por igual el estate entre los acreedores 
(33,3 a cada uno) pero esto incumpliría la regla (1) anteriormente mencionada. Otra solución lógica podría ser 
repartir de manera proporcional a la claim (quedando el reparto: 16,67; 33,33; 50), y como se explicará más 
adelante, esto sí que es una regla de bancarrota. En próximos apartados se estudiarán los distintos criterios o 
“reglas” para repartir. 
Hay dos maneras de enfocar este problema: como un problema de distribución o como uno de racionalización. 
El enfoque de distribución intenta repartir lo que hay, es decir, el estate (E). El de racionalización intenta repartir 
lo que falta para satisfacer las claims, valor conocido como pérdidas agregadas (L). Este segundo enfoque se 
debe entender como un proceso por el cual primero se reparte la claim a cada jugador y como esto excede el 
estate, se reparten las pérdidas agregadas. 
Además de las distintas reglas, estos problemas de bancarrota, también se pueden solucionar aplicando 
conceptos de solución desarrollados en Teoría de Juegos [10]. 
3.1 Reglas de Bancarrota 
A continuación se presentarán seis reglas de bancarrota con sus respectivos códigos utilizados en la programació. 
3.1.1 Proportional rule (Pr) 
Esta regla propone que a cada acreedor se le reparta de manera proporcional a su claim, tratando a todas por 
igual [5]. Matemáticamente: 
 Pr
i iE; c i N    c donde  
E
0,1
C
   
El algoritmo de esta regla sería, por tanto, el siguiente: Se calcula el número de jugadores y la suma de sus 
claims. Si la suma de las claims es menor que el estate, se fija el estate como la suma de claims, ya que, si el 
estate es mayor que dicha suma, se repartirá, a al menos un jugador, una cantidad superior a su claim. Tras esta 
comprobación, se calcula el factor de proporción como el estate dividido entre la suma de claims. Por último, se 
asigna a cada jugador el resultado de multiplicar su claim por este factor de proporción. De esta manera la suma 
de todas las asignaciones es igual al estate. 
El código comentado es: 
function [ x ] = PR( E,c ) 
n=length(c); %n es el número de claims o acreedores 
Ctotal=sum(c); %suma de todas las claims 
if E>Ctotal %comprobación de si el estate es mayor que la suma de claims 
 E=Ctotal; %si es así, el estate se iguala a la suma de claims 
end %lo máximo que se reparte es la suma de las claims 
alfa=E/Ctotal; % alfa es el factor de proporción 
for i=1:n %para cada acreedor: 
 
Problemas de Bancarrota 
 
 
 
10 
 x(i)=c(i)*alfa;% x es la asignación a cada acreedor, proporcional a su claim 
end 
end 
 
3.1.2 Constrained equal awards rule (CEA) 
A cada acreedor se le reparte la misma cantidad a no ser que esta supere a su claim. Equivale a repartir la cantidad 
i
Lc
n
 , siempre que no sea negativa. La regla CEA, intenta repartir las pérdidas por igual entre los jugadores, 
pero sin otorgar nunca un reparto negativo. Esta regla es la que, entre todas las reglas, hace menor la distancia 
entre el jugador que más recibe y el que menos y minimiza la varianza entre lo repartido a cada jugador, por 
tanto, favorece a los jugadores con menores claims [5]. Matemáticamente: 
   CEA
i iE; min ,c i N    c donde  i
i N
min ,c E

  
El código comentado es el siguiente: 
function [ x ] = CEA( E,c ) 
n=length(c); %n es el número de claims o acreedores 
R=E; %R son los restos a repartir entre los que tienen las claim sin satisfacer 
x=zeros(1,n);%Inicializa el vector de reparto x a cero 
Happy_players=zeros(1,n);%Inicializa el vector de acreedores satisfechos 
(Happy_players) a cero 
Ctotal=sum(c); %suma las claims 
if E>Ctotal %esto cubre la posibilidad de que haya suficiente para satisfacer 
las claims 
 x=c; %en este caso se asigna a cada acreedor su claim 
else %si no hay suficiente, comienza el reparto 
 while R~=0 %R va siendo lo que queda por repartir, así que, mientras haya por 
repartir (R distinto de 0) sigue el bucle 
 m=n-sum(Happy_players); %m serán los acreedores que todavía no han 
satisfecho su claim 
 alfa=R/m; %alfa será lo que se reparta a cada acreedor en cada iteración 
 R=0; %como se va a repartir R entre los acreedores, R pasa a ser 0 por el 
momento. 
 for i=1:n %bucle para ir pasando por los acreedores 
 if Happy_players(i)==0 %happy_players es un vector donde se contiene la 
información de si el acreedor de la posición i tiene satisfecha su claim. En 
este caso valdría 1 y si no está satisfecho valdrá 0 
 if c(i)>alfa+x(i) %aquí se comprueba que no se asigne más de la claim. 
 x(i)=x(i)+alfa; %en caso de que no se vaya a sobrepasar la claim se 
le asignará al acreedor lo que se le asignará en iteraciones anteriores más el 
alfa que se asigna en esta iteración 
 else %en caso de que sobrepasase la claim: 
 R=R+alfa+x(i)-c(i); % el resto se mete en R para repartir a los 
insatisfechos en la siguiente iteración 
 x(i)=c(i); %se le reparte su claim al jugador 
 Happy_players(i)=1; %se marca al jugador i como satisfecho 
 end 
 end 
 end 
 end 
end 
 
 
 
 
11 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
3.1.3 Constrained equal losses rule (CEL) 
Esta regla intenta repartir por igual la pérdida de los acreedores con respecto a su claim, evitando que esta sea 
negativa para que nadie reciba más que su claim. Por tanto, favorece a los acreedores con claim mayores. 
   CEL
i iE; max c ,0 i N    c donde  i
i N
max c ,0 E

  
El código comentado es el siguiente: 
function [ x ] = CEL( E,c ) 
n=length(c); %n es el número de claims o acreedores 
x=c; %inicializa el vector de asignaciones (x) dando a cada jugador su claim 
null_players=zeros(1,n);%Inicializa el vector null_player a cero. Este vector 
contiene la información de si al jugador i no se le reparte nada. En este caso 
valdría 1. 
Ctotal=sum(c); %suma las claims 
if E<Ctotal %si no hay suficiente para satisfacer las claims: 
 R=Ctotal-E; %R son los restos de pérdidas a repartir entre los que tienen las 
claim sin satisfacer 
 while R~=0 %R va siendo las pérdidas que quedan por repartir así que mientras 
haya por repartir, sigue el bucle 
 m=n-sum(null_players); %m serán los jugadores que todavía pueden llevarse 
algo 
 alfa=R/m; %alfa será la pérdida que se reparta a cada jugador en cada 
iteración 
 R=0; %se pone R a 0 porque ya se va a repartir usando alfa 
 for i=1:n %bucle para ir pasando por los acreedores 
 if null_players(i)==0 %si al acreedor no se le ha asignado 0 y por tanto 
puede llevarse algo: 
 if x(i)>alfa %aquí se comprueba que no se dan asignaciones negativas 
 x(i)=x(i)-alfa;%se va restando la pérdida a la asignación de cada 
acreedor que no sea null 
 else %en caso que se fuera a hacer una asignación negativa: 
 R=R-x(i)+alfa; %La parte negativa de esa asignación se mete en R 
para repartir dicha pérdida a los que sí se pueden llevar algo en la siguiente 
iteración 
 x(i)=0; %se le asigna 0 al acreedor que iba a tener asignación 
negativa 
 null_players(i)=1; %se marca al acreedor i como null 
 end 
 end 
 end 
 end 
end 
end 
 
3.1.4 Adjusted proportional rule (AP) 
Para entender esta regla hay que definir primero dos conceptos. El primero es el de minimal right que es, la 
cantidad que el resto de jugadores no tiene problemas en conceder a un cierto jugador. Matemáticamente: 
i j
j i
v max 0, E c

  
  
  
 
El otro es el concepto de relevant claim, que es la parte del estate que reclama dicho jugador. Este concepto se 
diferencia del concepto de claim en que si la claim es mayor que el estate su relevant claim es igual al estate, ya 
que, es la parte de la claim que podría satisfacer en ese caso o parte “relevante”. Matemáticamente: 
 E
i ic min c ,E . 
 
Problemas de Bancarrota 
 
 
 
12 
Esta regla se compone de dos pasos. En el primero se le asigna a cada jugador su minimal right y en el segundo 
se reparte lo que sobra de manera proporcional a su relevant claim. Matemáticamente: 
 
E
AP i i
i i jE
j Nj j
j N
c v
E; v E v
c v 

 
     
   


c 
donde
 
i j
j i
v max 0, E c

  
  
  
 
El código comentado es el siguiente: 
function [ x ] = AP( E,c ) 
n=length(c); %n es el número de claims o acreedores 
v=zeros(1,n); % v es el vector de minimal rights. Se inicializa a 0 
cE=zeros(1,n); %cE es el vector de relevant claims. Se inicializa a 0 
x=zeros(1,n); %inicializa el vector de asignaciones (x) a 0 
for i=1:n % bucle para pasar por todos los acreedores 
 v(i)=max(0,E-sum(c)+c(i)); %se calcula el minimal right 
 cE(i)=min(c(i),E); %se calcula el relevant claim 
end %A continuación se aplica la fórmula 
k=(E-sum(v))/sum(cE-v); %se calcula k como resto por repartir /outstanding 
relevant claim total 
for i=1:n % bucle para pasar por todos los jugadores 
 x(i)=v(i)+(cE(i)-v(i))*k; %asignación igual a minimal right + outstanding 
relevant claim * k 
end 
3.1.5 Talmud rule (TAL) 
Es regla se puede ver como una mezcla entre las reglas CEA y CEL, aplicando una u otra en función del valor 
del estate. Concretamente usando CEA si el estate es menor que la mitad de la suma de las claims y CEL si es 
mayor. Si es exactamente igual, es irrelevante cual se aplique porque ambas dan el mismo resultado. Se usan 
estas otras dos reglas (CEA y CEL) pero no directamente, como se verá en las posteriores fórmulas. El objetivo 
de esta regla es que cuando la pérdida total sea grande nadie gane mucho y cuando la pérdida total sea pequeña 
nadie pierda mucho. 
Las cuatro siguientes fórmulas son equivalentes para el cálculo de la regla del Talmud: 
 
 
 
CEA
i
TAL
i CELi
i
E; / 2 if E C/ 2
E; c
E C/ 2; / 2 if E C/ 2
2
  

  
   

c
c
c
 
 
i
TAL
i
i
i
c
min , if E C/ 2
2
E;
c
max ,c if E C/ 2
2
  
  
  
  
      
c 
 
 
 
CEA
iTAL
i CEA
i i
E; / 2 if E C/ 2
E;
c L; / 2 if E C/ 2
 
  
 
c
c
c
 
 
 
13 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 
i
TAL
i
i
i
c
min , if E C/ 2
2
E;
c
c min , if E C/ 2
2
  
  
  
  
       
c 
Al igual que estas cuatro fórmulas expresan la misma regla, también hay varias formas de programarla. La 
primera es un algoritmo que se entenderá mejor viendo el apartado 4.1.5, donde se explica el significado de los 
puntos críticos o umbrales usados en este algoritmo: 
function [x]=TAL1(E,c) 
n=length(c);%nº de claims 
x=zeros(1,n);%se inicializa el vector de reparto x 
Ctotal=sum(c);%suma de claims 
c_medios=c/2; % vector con la mitad de las claims 
flag=0;%variable bandera para una condición posterior 
[c_ord, ord]=sort(c); %ordena c de menor a mayor 
L=Ctotal-E; %L son las pérdidas 
Ei(1)=n*c_ord(1)/2;%vector con los puntos críticos 
Si(1)=Ei(1);%vector con las diferencias entre los puntos críticos 
k=0;%k servirá para saber en qué punto crítico se encuentra E 
if E>Ei(1) 
 k=1;%se inicializa k a 1 siempre que E no sea menor que el primer punto 
crítico 
end 
if E<Ctotal%si no se da esta condición todas las claims pueden ser 
satisfechas 
for i=2:n-1%bucle para calcular los puntos críticos de la mitad izquierda 
 Si(i)=(n+1-i)*(c(i)-c(i-1))/2;%Se calcula lo que separa el último punto 
crítico calculado del siguiente 
 Ei(i)=Ei(i-1)+Si(i);%se calcula el siguiente punto crítico 
 if E>Ei(i)%se va calculando como es E en relación a los puntos críticos y 
se guarda la información en k 
 k=i; 
 end 
end 
Ei(n)=Ctotal/2;%se calcula el punto crítico de en medio 
Ei(2*n)=Ctotal;%se calcula el último punto crítico 
for i=1:n-1%bucle para calcular los puntos críticos de la mitad derecha 
 Ei(2*n-i)=Ei(2*n-i+1)-Si(i); 
 if E>Ei(2*n-i) && flag==0 
 k=2*n-i; 
 flag=1;%variable bandera para que solo se entre una vez en esta 
condición 
 end 
end 
if k<=n%cálculo del reparto si E se encuentra en la parte izquierda 
 if k==0% si k es igual a 0 se reparte E por igual 
 for i=1:n 
 x(i)=E/n; 
 end 
 else%si k es distinto de 0 se procede al reparto 
 for i=1:k%primero se les asigna ci/2 a todos los que corresponde 
 x(i)=c_ord(i)/2; 
 end 
 R=E-sum(x);%se calcula lo que sobra 
 for j=k:n-1%se reparte por igual lo que sobra entre los demás 
 x(j+1)=R/(n-k); 
 end 
 end 
else %cálculo del reparto para E situado en el ala derecha del vector de 
puntos críticos 
 
Problemas de Bancarrota 
 
 
 
14 
 if k==2*n-1 %si E es mayor que el penúltimo punto crítico todos se 
reparten las pérdidas 
 for i=1:n 
 x(i)=c_ord(i)-L/n; 
 end 
 else% si E es menor que el penúltimo punto crítico se les asigna ci/2 a 
quien corresponda y el resto de pérdidas se reparten por igual 
 for i=1:2*n-k-1%asignación de ci/2 
 x(i)=c_ord(i)/2; 
 L=L-x(i); 
 end 
 for j=i+1:n %reparto de pérdidas por igual 
 x(j)=c_ord(j)-L/(n-i); 
 end 
 end 
end 
else 
 x=c_ord;%si hay suficiente se le asigna a cada acreedor su claim 
end 
end 
 
Se muestran a continuación otras dos formas de programar esta regla usando las reglas CEA y CEL, 
correspondientes a la primera y tercera fórmula, vistas al principio del apartado, respectivamente. 
 
function [ x ] = TAL2(E,c) 
n=length(c);% n igual a número de acreedores 
x=zeros(1,n); % inicializa el vector de reparto 
C_total=sum(c); % C_total= suma de claims 
[c_ord,ord]=sort(c); %ordena de menor a mayor las claims 
C_medios=C_total/2; % C_medios es igual a la mitad de la suma de claims 
if E<=C_medios %si el estate es menor o igual que la mitad de claims 
 x=CEA(E,c_ord/2); %se aplica la regla CEA con el vector de claims 
dividido entre 2 
else %si no 
 x=CEL(E-C_medios,c_ord/2); %se aplica la regla CEL con el estate igual al 
estate menos la mitad de la suma de claims y el vector de claims dividido 
entre 2 
 for i=1:n %se le suma a lo calculado la mitad de la claim de cada acreedor 
 x(i)=x(i)+c_ord(i)/2; 
 end 
end 
end 
 
La fórmula tres corresponde con: 
function [ x ] = TAL3( E,c ) 
n=length(c); %nº de claims 
x=zeros(1,n); %se inicializa el vector de reparto x 
C_total=sum(c); % C_total= suma de claims 
[c_ord,ord]=sort(c); %ordena de menor a mayor las claims 
C_medios=C_total/2; % C_medios es igual a la mitad de la suma de claims 
L=C_total-E;%L es igual a las pérdidas, es decir, suma de claims menos estate 
if E<=C_medios %si el estate es menor o igual que la mitad de claims 
 x=CEA(E,c_ord/2); %se aplica la regla CEAcon el vector de claims 
dividido entre 2 
else %si no 
x=c_ord; %se asigna a cada acreedor su claim 
y=CEA(L,c_ord/2); %se calcula la regla CEA con el estate igual a las pérdidas 
L y con el vector de claims dividido entre 2 
if E<C_total %si el estate es menor que la suma de claims 
 for i=1:n 
 
 
 
15 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 x(i)=x(i)-y(i); %se le quita a cada acreedor lo correspondiente de la 
regla CEA calculada anteriormente 
 end 
end 
end 
end 
 
 
3.1.6 Random arrival rule (RA) 
En esta regla se le asigna a cada a acreedor el valor esperado que obtendría en un mecanismo que consiste en 
que los acreedores van llegando en orden aleatorio y reciben su claim, si hay suficiente, y una parte de su claim 
o nada si no queda estate para repartir porque se le haya dado a los anteriores. Matemáticamente se calcula, 
contemplando todos los escenarios posibles de cada acreedor y haciendo una media: 
 RA
i i j
(N) j P (i)
1
E; min c ,max E c
n!  
  
  
    
  
  
 c 
donde (N) es el conjunto de permutaciones de los acreedores y, dada una permutación  , el conjunto P (i)
 
representa todos los acreedores que preceden a i en la permutación  . 
El código comentado es el siguiente: 
function [ x ] = RA( E,c ) 
n=length(c); %n es el número de claims o acreedores 
x=zeros(1,n);%inicialización de x 
Ctotal=sum(c);%suma las claims 
e=0.00000001;%valor muy pequeño 
for i=1:n-1%bucle para el caso de que dos acreedores tengan la misma claim 
 for j=i+1:n 
 if c(i)==c(j) 
 c(j)=c(j)+e;% en caso de dos acreedores con misma claim se le suma 
a uno de ellos un número muy pequeño para poder diferenciarlos 
 end 
 end 
end 
perm=perms(c); %matriz con todas las permutaciones del vector c 
for i=1:factorial(n) 
 for j=1:n 
 for k=1:n 
 if perm(i,j)==c(k) 
 ord(i,j)=k;% matriz donde se almacena la información de que 
acreedor es cada uno en la permutación 
 end 
 end 
 end 
end 
if E>Ctotal %si hay suficiente se reparte a todos su claim 
 x=c; 
else %si no hay suficiente se calcula según RA 
 for i=1:factorial(n)%para cubrir todas las combinaciones 
 R=E;%R es el resto a repartir, al principio, es todo el estate 
 for j=1:n %bucle para pasar por los acreedores 
 k=ord(i,j);%k es el jugador de esa posición j en la 
permutación i 
 if R>c(k) %si el resto es mayor que la claim de k se le 
repartirá toda la claim a k 
 M(i,k)=c(k);%M es la matriz donde se van guardando los 
valores de cada reparto en cada permutación 
 
Problemas de Bancarrota 
 
 
 
16 
 R=R-c(k);%si se reparte la claim a k, el resto se 
disminuye ese valor de claim 
 else 
 M(i,k)=R;% si no hay suficiente para satisfacer la claim 
de k, se le reparte el resto 
 R=0;% si se reparte todo el resto, este pasa a ser 0 
 end 
 
 end 
 end 
for j=1:n% este bucle suma todos los valores de reparto de cada jugador en 
todas las permutaciones y lo divide entre el número de combinaciones (n!) 
 for i=1:factorial(n) 
 x(j)=x(j)+M(i,j); 
 end 
 x(j)=x(j)/factorial(n); 
end 
end 
end 
 
3.2 Juegos Cooperativos de Bancarrota 
Los problemas de Bancarrota también se pueden tratar como Juegos Cooperativos. Un juego de bancarrota es 
un juego donde los jugadores reclaman ciertas cantidades a un deudor común, pero este no tiene suficiente para 
satisfacerlas todas. Esas reclamaciones se denominan claims y la cantidad insuficiente a repartir se conoce como 
estate. Como se trata de un juego, este tiene por supuesto una función característica, que asigna a cada coalición 
lo que sobre de repartir el estate entre los jugadores que no están en la coalición. Por supuesto este reparto nunca 
puede ser negativo [5]. Matemáticamente: 
  i
i S
v S max 0,E c

  
  
  
 
Estos juegos son convexos y por tanto tienen Core no vacío y Valor de Shapley dentro del Core.[11] [10]. 
El Nucleolus de este juego equivale al reparto de la regla TAL y el Valor de Shapley al reparto de la regla RA. 
3.3 Propiedades 
Las siguientes cinco propiedades son cumplidas por las reglas Pr, CEA y CEL [12] 
3.3.1 Equal treatment of equals 
Esta propiedad es simple, se cumple cuando una regla reparte lo mismo a dos jugadores que tengan la misma 
claim. 
   i j i jc c E; E;    c c 
3.3.2 Scale invariance (a.k.a. Homogeneity) 
Es lo mismo repartir una cierta cantidad entre unos jugadores con ciertas claims y multiplicar el reparto por 
cierto valor que repartir una cantidad multiplicada por ese valor entre unos jugadores con claims también 
multiplicadas por ese valor. 
   0 E; E;      c c 
 
 
 
17 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
3.3.3 Composition up 
El reparto es independiente de si el estate se reparte por partes o se hace todo al final. Esto puede ser útil cuando 
no se está seguro del estate, ya que se puede hacer una aproximación conservadora, repartirla, y cuando se 
conozca el valor exacto repartir lo restante. 
      1 2 1 2 1 2 1E ,E 0: E E E E; E ; E ; E ;        c c c c 
 
3.3.4 Path Independence (a.k.a. Composition down) 
Esta propiedad se aplica cuando se hace una estimación demasiado optimista del estate que resulta ser menor de 
la estimada. Entonces esta propiedad implica que es irrelevante si se usa como claim en el recálculo de los 
repartos las claims originales o el reparto que resultó con el estate erróneo. 
    E' E E; E; E';     c c 
3.3.5 Consistency 
Esta propiedad supone que si un conjunto de jugadores (S) decide juntar todo lo que se le ha repartido y volver 
a repartirlo entre ellos aplicando la misma regla el resultado no varía. 
   i i i S
i S
S N i S N;E; S; N;E; ;

 
        
 
 
c c c 
Entiéndase que en esta fórmula se ha incluido como argumento a los jugadores que se le aplica la regla (N y S 
en respectivas partes de la ecuación). 𝑐𝑆 designa la restricción del vector c al subconjunto S. 
 
Las siguientes propiedades son características de algunas reglas. 
3.3.6 Exemption 
Es propiedad favorece a los acreedores con menor claim, ya que considera que si una claim es muy pequeña esta 
debería ser atendida en su totalidad y no ser racionalizada. La regla CEA satisface esta propiedad. 
 i i i
E
c E; c
n
   c 
3.3.7 Exclusion 
Esta propiedad es la contraria a la anterior, es decir, ignora las claim más pequeñas o irrelevantes, El criterio que 
establece es la pérdida media, es decir, toda claim menor que la pérdida media es desatendida. Esta propiedad 
es característica de la regla CEL 
 i i
L
c E; 0
n
   c 
 
 
11 
 
4 EXPERIMENTOS 
 
Para visualizar los resultados de las distintas reglas se usará un ejemplo. Concretamente un caso con cuatro 
acreedores cuyas claims serán: c= (20, 40, 60, 80). 
4.1 Reparto y Satisfacción de cada Regla para cada Acreedor y cada Estate 
A continuación, para cada regla, se mostrarán dos ilustraciones, la primera, una gráfica donde se observa la 
asignación que la regla da a cada acreedor, para cada estate, desde 0 hasta 200 (ya que es 200 la suma de claims, 
es decir, el límite a partir del cual los jugadores recibirían siempre lo mismo, concretamente su claim). La 
segunda ilustración es una gráfica parecida, pero que muestra la satisfacción de cada jugador para cada estate. 
Siendo la satisfacción el resultado de dividir la asignación del acreedor entre su claim. Cuando la satisfacción es 
1 es que el jugador ha recibido íntegramente su claim y por tanto está satisfecho. 
 
4.1.1 PR 
En la ilustración 1, se muestra elreparto con las condiciones mencionadas anteriormente que resulta de aplicar 
la Proportional Rule. Se observa aquí, la característica más importante de esta regla, que es, que la asignación a 
cada acreedor es proporcional a su claim. A medida que aumenta el estate, la asignación de cada acreedor 
siempre aumenta en la misma proporción. 
 
 
Ilustración 1. Reparto de la Regla PR para todo Estate 
Se puede observar que, como es lógico, cuando el estate es 0 la asignación a cada acreedor es 0 y que, cuando 
el estate es igual a la suma de claims (200), la asignación a cada acreedor es igual a su claim. Esto se cumplirá 
en todas las reglas. 
Es trivial, también, que esta regla trata por igual a todos los acreedores, en términos de satisfacción, sin recibir 
penalización ni mejor trato por tener mayor o menor claim. Esto se puede observar en la ilustración 2, que 
muestra la satisfacción de cada acreedor para cada estate, resultando esta igual para todos los acreedores. Por 
tanto, la característica más importante de esta regla se podría definir en estos términos: La Proportional Rule 
mantiene, para un estate determinado, siempre la misma satisfacción a todos los acreedores. 
 
 
Experimentos 
 
12 
 
12 
 
Ilustración 2. Satisfacción de la Regla PR para todo Estate 
4.1.2 CEA 
La ilustración 3 es análoga a la 1 pero para la regla CEA. Se observa como se le asigna la misma cantidad a cada 
acreedor hasta que cada uno llega a su claim, momento en el que se estanca su asignación y se sigue 
distribuyendo entre los demás. En ese momento aumenta la pendiente de los demás, debido a que hay uno menos 
para repartir. Esto se produce hasta que todos satisfacen su claim al llegar a un estate igual a 200(suma de claims). 
Esta regla reparte lo mismo a los jugadores aunque unos tengan más claim que otros (es decir, no es proporcional 
como la anterior), por tanto, se benefician aquellos con menores claims. 
 
 
Ilustración 3. Reparto de la Regla CEA para todo Estate 
El hecho de que los acreedores con menor claim sean más beneficiados, se observa mejor en la ilustración 4. 
Donde se puede ver como el acreedor 1, con la claim menor, aumenta su satisfacción más rápidamente. Una vez 
que llega al 100% la pendiente (o “velocidad”) de satisfacción aumenta para los demás. Y esto pasa cada vez 
que un acreedor llega al 100% (se le asigna su claim) hasta que llega el acreedor con mayor claim. 
Esta regla asigna lo mismo a todos los acreedores, con la única salvedad, de que un acreedor no reciba más que 
su claim. Por tanto, esta regla no considera que un acreedor con mayor claim tiene más derecho que uno con una 
claim menor. 
 
 
 
 
 
 
 
13 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 
 
Ilustración 4. Satisfacción de la Regla CEA para todo Estate 
 
4.1.3 CEL 
En la ilustración 5 se puede observar el reparto de la regla CEL. Esta regla funciona de manera contraria a la 
anterior. Asigna a todos los acreedores la misma pérdida siempre que ésta, no sobrepase su claim. Por este 
motivo, es más visual si se representan las pérdidas en la gráfica en vez de las asignaciones, entendiendo la 
pérdida como la diferencia entre la claim y la asignación. En la ilustración 6, se puede observar el mismo gráfico 
que en la 5 pero representando las pérdidas. 
Se ve (en la ilustración 6) como, primeramente se le asigna a cada acreedor una pérdida igual a su claim, por 
tanto se le asigna 0. Después se va disminuyendo la pérdida del acreedor con claim mayor hasta que iguala la 
pérdida inicial, o claim, del segundo acreedor con mayor claim, momento en el que empieza a reducirse sus dos 
pérdidas de manera igualitaria y por tanto, al ser dos, disminuye la pendiente porque se reparte la pérdida entre 
más agentes. Esto continua hasta alcanzar la pérdida o claim del tercer acreedor, y así, hasta que todos alcanzan 
pérdida 0, es decir, se les asigna su claim. 
 
 
Ilustración 5. Reparto de la Regla CEL para todo Estate 
 
 
Experimentos 
 
14 
 
14 
 
Ilustración 6. Pérdidas de la Regla CEL para todo Estate 
Respecto a la satisfacción de los acreedores, se puede observar, en la ilustración 7, como primeramente aumenta 
la satisfacción del acreedor con mayor claim y comparando con la ilustración 6, se ve que la satisfacción del 
acreedor 3, aumenta justo cuando su pérdida empieza a disminuir. Así sucede también para los acreedores 2 y 
1. Además como se ha comentado anteriormente, las disminuciones en la pendiente, se debe a que se le empieza 
a asignar algo a un nuevo acreedor, por tanto, son más para repartir y el aumento de la satisfacción en más lento. 
 
 
 
Ilustración 7. Satisfacción de la Regla CEL para todo Estate 
4.1.4 AP 
En la ilustración 8 se ve como reparte la Adjusted Proportional Rule. Esta regla es menos intuitiva que las 
anteriores, y consigue un efecto parecido a la PR pero con la diferencia de que para estates bajos satisface más 
a las claims menores, para estates altos, satisface más a las estates mayores y solo para estates intermedios los 
satisface por igual. Esto se comprueba en la ilustración 9. 
 
 
 
15 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 
Ilustración 8. Reparto de la Regla AP para todo Estate 
 
Ilustración 9. Satisfacción de la Regla AP para todo Estate 
4.1.5 TAL 
Observando el gráfico de la ilustración 10, esta regla se puede entender de la siguiente manera: según va 
creciendo el valor del estate, primero todos los acreedores reciben lo mismo, hasta que se alcanza el primer 
umbral, que es cuando el acreedor con menor claim recibe justo la mitad de su claim, a partir de ahí ese acreedor 
queda estancado y se va repartiendo entre el resto. Esto sucede hasta que se llega al segundo umbral, que es 
cuando el segundo acreedor con menor claim llega a recibir la mitad de su claim, y así sucesivamente. hasta que 
el acreedor con mayor claim alcanza la mitad de su claim. En ese momento el estate es igual a la mitad de la 
suma de todas las claims. 
Para valores del estate superiores a la mitad de la suma de claims, el reparto se calcula de forma simétrica, pero 
usando las pérdidas y empezando cuando el estate es igual a la suma de claims. Mientras el valor de la pérdida 
total sea inferior al menor de los valores de las mitades de los claims, la pérdida se reparte entre todos los 
acreedores. Cuando se llega a ese umbral, la pérdida (y, por tanto, la cantidad asignada a ese jugador) se mantiene 
constante de forma que las pérdidas adicionales sólo se reparten entre los otros acreedores. Así hasta que se 
alcanza el 2º umbral. Esto es cuando el valor de la pérdida total iguala a la mitad de la segunda menor claim. A 
partir de ese momento, ese jugador deja de asumir más pérdidas y su premio se mantiene constante. Las pérdidas 
adicionales se reparten entre los demás y así sucesivamente hasta que la pérdida total llega al valor de la mitad 
de la suma de claims, que coincide con el estate igual a la mitad de la suma de claims. 
 
Experimentos 
 
16 
 
16 
 
Ilustración 10. Reparto de la Regla TAL para todo Estate 
En la ilustración 11, aparecen representadas las satisfacciones de los acreedores. Se puede comprobar, que esta 
regla es una combinación de la CEA y la CEL, observando la forma del gráfico. Concretamente, se ve, como la 
primera mitad del gráfico de la ilustración 11, es decir, del estate=100 hacia la izquierda, tiene la misma forma 
que el gráfico del CEA (ilustración 4) y que la segunda parte tiene la misma forma que el gráfico de la regla 
CEL (ilustración 7). 
Esta regla también satisface más a los acreedores con menor claim cuando el estate es bajo y a los acreedores 
con mayor claim cuando el estate es alto, al igual que la anterior, solo que no tiene un tramo intermedio que 
satifasga por igual a todos, solo un punto. 
 
 
Ilustración 11. Satisfacción de laRegla TAL para todo Estate 
 
4.1.6 RA 
La regla RA tampoco es intuitiva al observar los gráficos de reparto y satisfacción, al igual que le pasaba a la 
AP. De hecho estas dos reglas consiguen resultados parecidos. En la RA también se cumple que para estates 
bajos los acreedores con menores claims se satisfacen más y para estates altos, son los acreedores con mayores 
claims los que satisfacen más, solo que en esta regla, no es tan sencillo el resultado para estates intermedios. 
 
 
 
17 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 
Ilustración 12. Reparto de la Regla RA para todo Estate 
 
 
Ilustración 13. Satisfacción de la Regla RA para todo Estate 
4.2 Media de asignación y satisfacción para cada Acreedor y cada Regla 
En la ilustración 14 se puede ver la media de la asignación para todos los estates de cada regla y cada acreedor. 
Lógicamente todas las reglas, en media, asignan más a los acreedores con claims más altas. Pero comparando a 
los acreedores en las distintas reglas vemos que no todos los tratan igual en media. 
Para el acreedor 1, que tiene la claim menor, vemos como es la CEA la que más le asigna. Como ya se había 
comentado anteriormente, es esta regla la que mejor trata a los acreedores con claims menores. La segunda, sería 
la AP, que asigna un valor que es muy ligeramente mayor a la tercera del ranking. La tercera posición es 
compartida entre la PR, RA y TAL. Y por último la CEL, que como también se ha comentado anteriormente es 
la que peor trata a los acreedores con claims menores. 
Para el acreedor 2 el ranking es igual que para el 1. Con la única diferencia de que lo que le asigna la regla CEA 
y CEL es menos diferente. Estas diferencias se hacen casi inapreciables para el acreedor 3. En este caso la CEL 
le reparte algo más, la CEA algo menos, y las demás prácticamente lo mismo. 
Para el acreedor 4 el ranking es justo al contrario que para el 1. CEL le da más que PR, RA y TAL, que dan algo 
más que AP, que a su vez da más que CEA. 
 
Experimentos 
 
18 
 
18 
 
Ilustración 14. Media de Asignación a cada acreedor de cada regla 
En la ilustración 15 se puede observar el mismo gráfico, pero representando la satisfacción. En él, se puede 
corroborar el ranking anteriormente expuesto, además de comprobar como las reglas PR, RA y TAL satisfacen 
en media a todos los acreedores por igual, que la AP satisface un poco más a los acreedores con menos claim, y 
que la CEA y la CEL satisfacen más a los acreedores con menor y mayor claim respectivamente. 
 
 
Ilustración 15. Media de Satisfacción a cada acreedor de cada regla 
 
4.3 Variación para estates pequeños, medianos y grandes. 
En este apartado se comparará cómo se comportan las regla en función de si el estate es pequeño (50), mediano 
(100) o grande (150). En las ilustraciones 16, 17 y 18 se muestran las asignaciones para estates de 50, 100 y 150 
respectivamente para cada regla y cada acreedor y en la 19, 20 y 21, las satisfacciones para dichos estates. 
Es evidente que para estates bajos las asignaciones serán menores, y que la suma de las asignaciones a los 4 
acreedores es igual al estate. 
 
 
 
 
 
19 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 
Ilustración 16. Asignación a cada acreedor de cada regla para un estate de 50 
 
Ilustración 17. Asignación a cada acreedor de cada regla para un estate de 100 
 
Ilustración 18. Asignación a cada acreedor de cada regla para un estate de 150 
 
Ilustración 19. Satisfacción a cada acreedor de cada regla para un estate de 100 
 
Experimentos 
 
20 
 
20 
 
Ilustración 20. Satisfacción a cada acreedor de cada regla para un estate de 50 
 
Ilustración 21. Satisfacción a cada acreedor de cada regla para un estate de 150 
 
4.4 Nucleolus y Valor de Shapley 
Con la ayuda del paquete de MATLAB: TUGlab cuyos autores son: Miguel Angel Miras Calvo (Department 
of Mathematics.University of Vigo) y Estela Sanchez Rodriguez (Department of Statistics and Operations 
Research. University of Vigo), Julio, 2005; Se han comprobado el Nucleolus y el Valor de Shapley del ejemplo 
original del apartado 4.1. 
El estate que se ha utilizado es de 100, y el objetivo es comprobar si efectivamente el Nucleolus coincide con el 
reparto de la regla TAL, y el Valor de Shapley con el de la regla RA. La función característica utilizada es la 
siguiente: v(s) = (0 0 0 0 0 0 0 0 20 40 20 40 60 80 100). Correspondiente a las siguientes coaliciones de los 4 
jugadores: (v{1} v{2} v{3} v{4} v{12} v{13} v{14} v{23} v{24} v{34} v{123} v{124} v{134} v{234} 
v{1234}). 
El resultado es el siguiente: El nucleolus da 10, 20, 30 y 40 y el Valor de Shapley también da 10, 20 ,30 y 40. 
Se comprueba con las ilustraciones 10 y 12 que las reglas TAL y RA también dan esas asignaciones para un 
estate de 100. Y esto se cumple para cualquier estate. 
4.5 Comprobación de propiedades 
4.5.1 Equal treatment of equals 
Para comprobar esta propiedad en todas las reglas, se va a modificar el ejemplo de los puntos 4.1 y 4.2. En este 
caso las claims serán (20, 40, 40, 100). Así los acreedores 2 y 3 tienen ahora la misma claim, y las reglas que 
cumplan esta propiedad deberían tratarlos por igual. En la ilustración 22, se pueden observar los repartos 
obtenidos por cada regla para todos los estates. Solo se han representado los repartos de los acreedores 2 y 3, ya 
que son los que tienen la misma claim. 
 
 
 
21 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
Las reglas que cumplan esta propiedad deberían dar para el acreedor 2 y el acreedor 3 los mismos repartos. En 
la ilustración 22 se puede comprobar como hay 6 líneas diferenciadas, y cada una correspondiente a una regla. 
Esto nos comprueba que cada una de las 6 reglas asigna lo mismo a los acreedores con la misma claim. Si alguna 
no tratara igual a uno de estos acreedores el resultado mostraría más de 6 líneas. Dicho de otra manera, las líneas 
que representan a los acreedores 2 y 3 en cada regla están superpuestas, es decir, los tratan por igual. 
 
Ilustración 22. Comprobación propiedad Equal Treatment of Equals 
 
4.5.2 Scale invariance 
Para que se cumpla esta propiedad, usando el ejemplo del apartado 4.1 y 4.2, debería ser lo mismo repartir 200 
entre los acreedores con claims (20, 40, 60, 80) que repartir 20 entre acreedores con claims (2, 4, 6, 8) y después 
multiplicar por 10. 
Se van a ir mostrando los resultados de esta prueba para las distintas reglas. Para cada regla, hay dos ilustraciones, 
una con la gráfica del reparto para claims (2, 4, 6, 8) y otra, con el mismo gráfico pero multiplicado por 10. Si 
las ilustraciones 24, 26, 28, 30, 32 y 34 son iguales a las respectivas ilustraciones del apartado 4.1 (1, 3, 5, 8, 10, 
12) significa que es independiente que se calcule el reparto con claims en una escala menor y luego se 
multiplique por el factor de escala o que se calcule el reparto directamente con la escala mayor. Esto es, que se 
cumple la propiedad de scale invariance. 
 PR 
Se comprueba que la ilustración 24 es igual que el gráfico de la ilustración 1. Por tanto, la regla PR, 
cumple esta propiedad. 
 
Ilustración 23. Reparto de la Regla PR para todo Estate con claims 10 veces menores 
 
Experimentos 
 
22 
 
22 
 
Ilustración 24. Reparto de la Regla PR para todo Estate con claims 10 veces mayores 
 CEA 
La regla CEA también cumple esta propiedad y se puede comprobar comparando la ilustración 26 con 
la 3. 
 
Ilustración 25. . Reparto de la Regla CEA para todo Estate con claims 10 veces menores 
 
Ilustración 26 Reparto de la Regla CEA para todo Estate con claims 10 veces mayores 
 CEL 
La regla CEL también cumple la propiedad de Scale Invariance. Se comprueba comparado la ilustración 
28 con la 5. 
 
 
 
23 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativosIlustración 27. Reparto de la Regla CEL para todo Estate con claims 10 veces menores 
 
Ilustración 28. Reparto de la Regla CEL para todo Estate con claims 10 veces mayores 
 AP 
La regla AP cumple esta propiedad. Compárese la ilustración 30 con la 8 para comprobarlo. 
 
Ilustración 29. Reparto de la Regla PR para todo Estate con claims 10 veces menores 
 
Ilustración 30. Reparto de la Regla AP para todo Estate con claims 10 veces mayores 
 
 
Experimentos 
 
24 
 
24 
 TAL 
Comparando la ilustración 32 con la 10, se comprueba que la regla TAL también cumaple esta 
propiedad. 
 
Ilustración 31. Reparto de la Regla TAL para todo Estate con claims 10 veces menores 
 
Ilustración 32. Reparto de la Regla TAL para todo Estate con claims 10 veces mayores 
 RA 
Comparando la ilustración 34 con la 12 se observa que la regla RA cumple también esta propiedad. 
 
Ilustración 33. Reparto de la Regla RA para todo Estate con claims 10 veces menores 
 
 
 
25 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 
Ilustración 34. Reparto de la Regla RA para todo Estate con claims 10 veces mayores 
4.5.3 Composition up 
Para comprobar esta propiedad en cada regla, se usará el ejemplo de los apartados 4.1 y 4.2. Se muestra, a 
continuación, para cada regla, una tabla, con los resultados del reparto para varios estates. Si esta propiedad se 
cumple, debe dar lo mismo calcular un reparto directamente con un estate, que calcularlo sumando los repartos 
de dos estates menores que sumen el mayor, usando siempre como claim en el reparto de uno de los dos 
sumandos, la claim original menos la asignación. A continuación se vuelve a presentar la fórmula de esta 
propiedad: 
      1 2 1 2 1 2 1E ,E 0: E E E E; E ; E ; E ;        c c c c 
Por ejemplo, debería dar el mismo reparto, si el estate es 100, que si sumamos los repartos del estate igual a 60 
e igual a 40, para cada acreedor, usando como claim en el reparto del estate igual a 60, la claim original menos 
la asignación que haya dado cuando el estate es 40 y las claims iguales a las originales. 
A continuación, con la ayuda de las tablas correspondientes a las ilustraciones de la 35 a la 40, se comprobará si 
se cumple esta propiedad en cada regla. 
 
 PR 
En la ilustración 35 se pueden observar, por ejemplo, las asignaciones cuando el estate es 100 (10, 20, 30 y 40 
respectivamente) y cuando el estate es 60 (6, 12, 18 y 24). Si esta regla se cumpliera, las asignaciones para un 
estate igual a 40 y unas claims iguales a las originales (20 40 60 80) menos las asignaciones para el estate igual 
a 60, deberían ser 4, 8, 12 y 16, para que así sumen las asignaciones del estate igual a 100 (60+40). Por tanto 
basta con comprobar las asignaciones para un estate igual a 40 y unas claims igual a 12, 28, 42 y 56 (20, 40, 60 
y 80 menos 6, 12, 18 y 24, respectivamente). Efectivamente las asignaciones a los acreedores bajo estas 
condiciones son las anteriormente expuestas: 4, 8, 12 y 16. 
 
Experimentos 
 
26 
 
26 
 
Ilustración 35. Tabla de Reparto de la Regla PR para varios Estates 
 CEA 
Lo mismo sucede para la regla CEA. En la tabla de la ilustración 36, usando el mismo ejemplo, las 
asignaciones para el estate igual a 100 son de 20; 26,67; 26,67 y 26,67. Para un estate de 60, de 15 para 
todos los acreedores. Por tanto, falta calcular las asignaciones para un estate de 40 y unas claims de 5, 
25, 45, y 65. El resultado es de unas asignaciones iguales a 5; 11,67; 11,67 y 11,67 respectivamente. 
Con lo cual se comprueba que la suma de las asignaciones para los estates de 40 y 60 son iguales a las 
asignaciones cuando el estate es 100. 
 
Ilustración 36. Tabla de Reparto de la Regla CEA para varios Estates 
 
 
 
27 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 CEL 
Exactamente igual que las dos reglas anteriores en la regla CEL. Usando la tabla de la ilustración 37, 
se observa que el reparto del estate igual a 100 es de 0; 13,33; 33,33 y 53,33 y el del estate igual a 60 es 
de 0, 0, 20 y 40. El reparto para un estate igual a 40 y unas claims de 20, 40, 40 y 40 es de 0; 13,33; 
13,33 y 13,33. Por tanto la suma, de ambos repartos de estates menores es igual al reparto del estate 
suma. 
 
 
Ilustración 37. Tabla de Reparto de la Regla CEL para varios Estates 
 AP 
Para la regla AP se comprueba que esta condición no se da, es decir, esta regla no tiene la propiedad 
Composition up. Por ejemplo, para los estates igual a 100 y 60 los repartos son 10, 20, 30 y 40, y 6,67; 
13,33; 20 y 20 respectivamente. Si se cumpliera la propiedad, el reparto para un estate igual a 40 y unas 
claims iguales a 13,33; 26,67; 40 y 60 debería ser: 3,33; 6,67; 10 y 20, pero en cambio, calculando este 
reparto resulta que es: 4,44; 8,89; 13,33 y 13,33 . Por tanto la regla AP no cumple esta propiedad. 
 
 
Experimentos 
 
28 
 
28 
 
 
Ilustración 38. Tabla de Reparto de la Regla AP para varios Estates 
 TAL 
Es fácil comprobar que para la regla TAL tampoco se cumple esta propiedad. Los repartos para los 
estates de 100 y 60 son: 10, 20, 30 y 40, y, 10; 16,67; 16,67 y 16,67. El reparto para el estate igual a 40 
y las claims igual a 10; 23,33; 43,33 y 63,33 es de 5; 11,665; 11.675 y 11.675 y no de 0; 3,33; 13,33 y 
23,33 como debería ser si cumpliera esta propiedad. Por tanto la regla TAL no cumple la propiedad 
Composition up. 
 
Ilustración 39. Tabla de Reparto de la Regla TAL para varios Estates 
 
 
 
 
 
29 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 RA 
La regla RA tampoco cumple la propiedad y se comprueba usando la tabla de la ilustración 40. Las 
asignaciones para los estates de 100 y 60 son de 10, 20, 30 y 40, y, 6,67; 13,33; 20 y 20 respectivamente. 
Para un estate de 40 y unas claims de 13,33; 26,67; 40 y 60 el reparto de esta regla es de 4,43; 8,89; 
13,33 y 13,33. Si cumpliera esta propiedad el reparto debería ser: 3,33; 6,67; 10 y 20. Por tanto esta 
regla tampoco cumple la propiedad Composition up. 
 
Ilustración 40. Tabla de Reparto de la Regla RA para varios Estates 
4.5.4 Path independence 
Para visualizar esta propiedad se usará el mismo ejemplo que en el apartado 4.1 y se efectuará lo siguiente: Para 
cada regla se elegirá un estate concreto y el reparto que resulte se usará como claim para volver a realizar el 
cálculo. Si el resultado obtenido es distinto al reparto original, la regla en cuestión no cumplirá con esta 
propiedad. Para todas las reglas se probará con el estate igual a 150. 
 PR 
Observando la ilustración 35 se comprueba que las asignaciones para los acreedores con la regla PR 
con un estate de 150 es de 15, 30, 45 y 60 respectivamente. En la ilustración 41 se puede encontrar el 
reparto de esta regla usando como claims el reparto con las claims originales, es decir, 15, 30, 45 y 60. 
El resultado de este reparto para un estate de 150 es de 15, 30, 45 y 60, es decir, se comprueba que bajo 
estas condiciones se obtiene el mismo resultado que con las condiciones originales con un estate de 150 
y por tanto, en este caso, se cumple la propiedad de Path Independence. 
 
Experimentos 
 
30 
 
30 
 
Ilustración 41. Reparto de la Regla PR para todo Estate con Claims modificadas 
 CEA 
En la ilustración 36 se observa que el reparto para un estate de 150 es de 20, 40, 45 y 45 respectivamente. 
Por tanto estás serán las claims usadas en la ilustración 42 para comprobar esta propiedad. Se puede ver 
que esta regla también cumple esta propiedad en este caso, ya que el reparto bajo las nuevas condiciones 
de claim para un estate de 150 es el mismo que con las condiciones originales, es decir, 20, 40, 45 y 45. 
 
Ilustración 42. Reparto de la Regla CEA para todo Estate con Claims modificadas 
 CEL 
En la regla CEL, observando la ilustración 37, se puede observar que el repartopara un estate de 150 y, 
por tanto las claims para el Segundo cálculo son de 7,5; 27,5; 47,5 y 67,5 respectivamente. 
En la ilustración 43, se comprueba que la regla CEL, en este caso, también cumple la propiedad de Path 
Independence, porque asigna bajo estas condiciones de claims lo mismo que bajo las condiciones 
originales para un estate de 150, concretamente, 7,5; 27,5; 47,5 y 67,5. 
 
 
Ilustración 43. Reparto de la Regla CEL para todo Estate con Claims modificadas 
 
 
 
 
31 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 AP 
Las claims para el nuevo cálculo y el reparto sacado de la ilustración 38 con un estate de 150 y con las 
claims originales son de 13,75; 27,5; 44,375 y 64,375. Se comprueba, en la ilustración 44, que esta regla 
también cumple esta propiedad bajo estas condiciones. Para el estate de 150 el reparto de esta regla con 
las claims nuevas es de 13,75; 27,5; 47,5 y 64,375. Por tanto, al ser iguales al reparto con las claims 
originales, la regla AP ha cumplido la propiedad de Path Independence en este caso. 
 
Ilustración 44 Reparto de la Regla AP para todo Estate con Claims modificadas 
 
 TAL 
Para un estate de 150 y las claims originales, observando la ilustración 39, la regla TAL asigna 10; 
26,667; 46,667 y 66,667 respectivamente. Por tanto estás serán las claim usadas para el segundo reparto. 
En la ilustración 45, se puede observar que el reparto bajo estas condiciones para el estate de 150 es el 
mismo: 10; 26,667; 46,667 y 66,667. Por tanto, se puede afirmar que en este caso, esta regla cumple 
con esta propiedad. 
 
Ilustración 45 Reparto de la Regla AP para todo Estate con Claims modificadas 
 RA 
Usando la ilustración 40, se observa que el reparto de la regla RA para un estate de 150 con las claims 
originales y por tanto, las claims que se usarán en el segundo cálculo son de 14,167; 27,50; 44,167 y 
64,167. En la ilustración 46, se observa, que son iguales las asignaciones para el estate de 150 con las 
segundas claims que con las claims originales, por tanto, en este caso se cumple la propiedad. 
 
Experimentos 
 
32 
 
32 
 
Ilustración 46. Reparto de la Regla RA para todo Estate con Claims modificadas 
 
4.5.5 Consistency 
Para comprobar esta característica en todas las reglas, volveremos a usar el ejemplo de los puntos 4.1 y 4.2, pero 
se eliminará al acreedor 4. De esta manera es como si los acreedores 1, 2 y 3 decidieran repartirse lo que se les 
ha asignado en el ejemplo original. Las claim utilizadas serán las mismas que en el ejemplo original, pero, solo 
para los acreedores 1, 2 y 3, que son, respectivamente, 20, 40 y 60. Se comprobará para cada regla un estate que 
sea suma de las asignaciones para estos tres acreedores del ejemplo original. La reglas que no cumplan esta 
propiedad darán resultados distintos en ambos cálculos. 
Se muestra, a continuación, el resultado para las distintas reglas.: 
 PR 
Para la regla PR se comprobará el estate igual a 72, que es la suma de las asignaciones de los acreedores 
1, 2 y 3 del ejemplo original para un estate de 120, concretamente la suma de 12, 24 y 36 (ilustración 
35). En la ilustración 47 se puede comprobar que para un estate de 72, las asignaciones de estos tres 
acreedores son exactamente esas, con lo cual en este caso, se cumple la condición impuesta por esta 
propiedad. 
 
Ilustración 47. Reparto de la Regla PR para todo Estate sin Acreedor 4 
 
 CEA 
En esta regla se comprobará el estate igual a 100, que es la suma de las asignaciones de los acreedores 
1, 2 y 3 del ejemplo original para un estate de 140, concretamente la suma de 20, 40 y 40 (ilustración 
36). En la ilustración 48 se puede comprobar que para un estate de 140, las asignaciones de estos tres 
acreedores son exactamente esas, con lo cual en este caso, se cumple la condición impuesta por esta 
propiedad. 
 
 
 
 
 
33 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
 
Ilustración 48. Reparto de la Regla CEA para todo Estate sin Acreedor 4 
 
 CEL 
En el caso de la regla CEL se comprobará el estate igual a 90, que es la suma de las asignaciones de los 
acreedores 1, 2 y 3 del ejemplo original para un estate de 160, concretamente la suma de 10, 30 y 50 
(ilustración 37). En la ilustración 49 se puede comprobar que para un estate de 90, las asignaciones de 
estos tres acreedores son exactamente esas, con lo cual en este caso, se cumple la condición impuesta 
por esta propiedad. 
 
Ilustración 49. Reparto de la Regla CEL para todo Estate sin Acreedor 4 
 AP 
La regla AP, se comprobará usando el estate igual a 72, que es la suma de las asignaciones de los 
acreedores 1, 2 y 3 del ejemplo original para un estate de 120, concretamente la suma de 12, 24 y 36 
(ilustración 38). En la ilustración 50 se puede comprobar que para un estate de 72, las asignaciones de 
estos tres acreedores son 11,11; 22,22 y 38,67. Con lo cual, al ser distintas de las asignaciones que se 
les dieron en el ejemplo original, se puede afirmar que la regla AP no cumple esta propiedad. 
 
Ilustración 50. Reparto de la Regla AP para todo Estate sin Acreedor 4 
 TAL 
Para la regla TAL se comprobará el estate igual a 90, que es la suma de las asignaciones de los 
 
Experimentos 
 
34 
 
34 
acreedores 1, 2 y 3 del ejemplo original para un estate de 160, concretamente la suma de 10, 30 y 50 
(ilustración 39). En la ilustración 51 se puede comprobar que para un estate de 90, las asignaciones de 
estos tres acreedores son exactamente esas, con lo cual en este caso, se cumple la condición impuesta 
por esta propiedad. 
 
 
 
 
Ilustración 51. Reparto de la Regla TAL para todo Estate sin Acreedor 4 
 RA 
La regla RA, se comprobará usando el estate igual a 80, que es la suma de las asignaciones de los 
acreedores 1, 2 y 3 del ejemplo original para un estate de 140, concretamente la suma de 13,33; 26,67 
y 40 (ilustración 40). En la ilustración 52 se puede comprobar que para un estate de 80, las asignaciones 
de estos tres acreedores son 13,33; 23,33 y 43,33. Con lo cual, al ser distintas de las asignaciones que 
se les dieron en el ejemplo original, se puede afirmar que la regla RA no cumple esta propiedad. 
 
 
 
Ilustración 52. Reparto de la Regla RA para todo Estate sin Acreedor 4 
 
4.5.6 Exemption 
Se recuerda primero la condición que debe cumplir una regla para tener esta propiedad: 
 i i i
E
c E; c
n
   c 
Se usará el ejemplo del apartado 4.1 con las distintas reglas. 
Para probar esta propiedad, el primer paso es calcular el valor del estate a partir del cual la claim debe ser 
 
 
 
35 Resolución de Problemas de Bancarrota usando reglas y juegos cooperativos 
 
satisfecha para cada acreedor, es decir, el valor del estate a partir del cual, la claim multiplicada por el número 
de acreedores es menor que él. Siendo el número de acreedores igual a 4, estos valores son: para el acreedor 1, 
80 (20*4), para el 2, 160 (40*4), para el tres 240 (60*4) y para el 4, 320 (80*4). Dicho de otra manera, a partir 
de estos valores de estates que se han calculado, una regla que cumpla esta propiedad, debe de satisfacer a los 
acreedores correspondientes. 
En este caso, es lógico que si el valor calculado es mayor a la suma de claims esta propìedad se va a cumplir, 
puesto que para esos valores del estate todos los acreedores tienen satisfecha su claim, así que, se comprobarán 
solo los acreedores 1 y 2. 
Para el Acreedor 1, entonces, la regla que tenga esta propiedad, debe satisfacer su claim (20) para estates mayores 
a 80. Comprobandolo en los gráficos de las ilustraciones 1, 3, 5, 8, 10 y 12 se observa que esto solo se cumple 
en la regla CEA. En todas las demás, las asignaciones, para ese estate, son menores que la claim. Concretamente 
en la PR, la asignación es de 8, para la CEL, es de 0; para la AP es de 8; para la TAL de 10 y para la RA