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ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE DIRAC Y
SU SOLUCIÓN FUNDAMENTAL
UTILIZANDO TEORÍA DE
DISTRIBUCIONES
Félix Humberto Maldonado Villamizar
2 de agosto de 2006
ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE DIRAC
Y SU SOLUCIÓN FUNDAMENTAL
UTILIZANDO TEORÍA DE
DISTRIBUCIONES
FÉLIX HUMBERTO MALDONADO
VILLAMIZAR
Director:
ARIEL REY BECERRA. Ph.D.
Trabajo de Grado.
UNIVERSIDAD DE PAMPLONA
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y
MATEMÁTICAS
PAMPLONA
2006
1
A mis padres:
Félix y Amanda
2
Agradecimientos a:
Dr. Ariel Rey Becerra.
Dr. Juan Carlos López.
Dr. Ángel José Chacón.
Compañeros, entre otros, por su colaboración y observaciones que ayudaron
mucho en este trabajo.
3
Resumen
Se estudia el comportamiento de la solución fundamental de la ecuación de
Dirac para la part́ıcula libre y utilizando los conceptos de la teoŕıa de las
distribuciones se calcula la velocidad y aceleración instantáneas del electrón
relativista, se concluye este trabajo con una pequeña digresión de los resul-
tados.
Índice de figuras
1.1. Función en el sentido clásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Nuevo modelo de las ”funciones” . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1. Supp de Dt,τDτ,0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Disposición de los tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3. Modelo del electrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.1. Contorno para la función de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A.2. Contornos para las funciones de Hankel . . . . . . . . . . . . . . 35
1
Índice general
1. Teoŕıa de Distribuciones 4
1.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Los espacios S y S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Los espacios D y D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. La Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. La Ecuación de Dirac 13
2.1. El espacio de Hilbert para la ecuación de Dirac . . . . . . . . 13
2.1.1. Subespacios espectrales de H0 . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2. La transformación de Foldy-Wouthuysen . . . . . . . . 16
2.2. La solución fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Resultados Principales 22
3.1. Velocidad instantánea del electrón . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Aceleración instantánea del electrón . . . . . . . . . . . . . . . 27
A. Funciones de Bessel 33
2
Introducción
Indudablemente la teoŕıa cuántica representa hoy en d́ıa la forma más
aproximada para describir los mecanismos que utiliza la naturaleza para ex-
presarse, y actualmente una de la teoŕıas que más sobresale es la llamada
electrodinámica cuántica, siendo Paul Dirac uno de sus más importantes con-
tribuyentes, inicialmente su nombre se hizo famoso al plantear la ecuación
que lleva su nombre y que describe el comportamiento del electrón en condi-
ciones que los efectos relativistas sean de considerar, esta ecuación nos lleva
mucho más allá, no solo haciendo las correcciones antes mencionadas sino
también describiendo el movimiento interno del electrón y llevando su des-
cripción a una forma invariante, lo cual es muy importante y que es uno de
los principios fundamentales de la relatividad especial. De esta forma se tra-
ta de unir, por un lado la teoŕıa que ampĺıa la mecánica clásica y que es de
naturaleza muy profunda, y por otro lado se incorpora la teoŕıa especial de la
relatividad, para poder estudiar el comportamiento de part́ıculas a grandes
velocidades. Esto implica que un estudio en esta área es mucha importancia
en el contexto actual de la ciencia.
3
Caṕıtulo 1
Teoŕıa de Distribuciones
1.1. Funciones
Las funciones en el sentido clásico de la palabra hace referencia a un
conjunto de pares ordenados, es decir que si tenemos una función f cuyo
dominio es un conjunto D, para cada elemento x ∈ D se asigna una imagen,
elemento através de f en un conjunto R el cual es único, de esta forma
podemos pensar en una función, o mejor lo que le hace una función a un
elemento x0 de D y lo cual se puede escribir como (x0, f(x0))
Ahora veamos el caso de una ”función”que tiene las siguientes propiedades
y que es llamada función delta de Dirac en R, las propiedades de esta son:
δ(x) =
{
0 para x 6= 0,∫∞
−∞ δ(x)dx = 1.
(1.1)
De manera análoga se puede extender este concepto a un espacio de n di-
mensiones, claramente no hay una función en el sentido clásico que cumpla
con estos requisitos, por lo tanto se debe ampliar el concepto de función que
se tiene hasta ahora, y en dicha generalización deben incluirse las funciones
tal y como las conocemos hasta ahora, de aqúı surge el nombre: Funciones
generalizadas.
Una función generalizada o distribución es un funcional lineal.
4
Figura 1.1: Función en el sentido clásico.
1.2. Los espacios S y S ′
Antes de entrar a definir estos espacios introduzcamos primero algunos
conceptos. Sea Zn
+ el conjunto de n-uplas (α1, ..., αn), para cada cada αi que
pertenezca a los naturales, |α| =
∑n
i=1 αi, x = (x1, ..., xn) ∈ Rn y sea Dα que
denota el operador diferencial ∂|α|
∂x
α1
1 ,...,∂xαn
n
y por último
xα = xα1
1 × xα2
2 × ...× xαn
n .
Definición 1.2.1 El espacio lineal complejo de los operadores acotados de
valores complejo de Rn se denota como Cb(Rn) y está equipado con la norma:
‖f‖∞ = sup
x∈Rn
|f(x)|. (1.2)
Definición 1.2.2 El espacio lineal de las funciones acotadas infinitamente
diferenciables sobre Rn se denota por Cinfty
b (Rn). El espacio S(Rd) es el sube-
spacio lineal de C∞
b (Rn) formado por el conjunto de funciones f sobre Rn tal
que xαDβf(x) está acotado en Rn para α, β ∈ Zn
+.
S(Rd) está equipado con la familia de seminormas:
‖f‖α,β = sup
x∈Rn
|xαDβf(x)|. (1.3)
5
Para α, β ∈ Zn
+. Normalmente se dice que los elementos del espacio S son
funciones de rápido decrecimiento en el infinito.
Definición 1.2.3 Se dice que una sucesión (fn) en S(Rd) converge a f en
S(Rd)si para cada α, β ∈ Zn
+, ‖fn − f‖α,β → 0 cuando n→∞.
Definición 1.2.4 Los funcionales lineales continuos sobre S(Rd) son llama-
dos distribuciones temperadas. El espacio lineal de las distribuciones tempe-
radas se denota por S ′(Rd). Entonces T ∈ S ′(Rd) si y solo si T : S(Rd) → C
es lineal y fn → f en S(Rd) implica que T (fn) → T (f) en C.
Podemos definir ya de manera estricta la que en un principio llamamos ”fun-
ción”delta de Dirac.
Ejemplo 1.2.1 Sea a ∈ Rd fijo, sea δa el mapeo sobre S(Rd) dado por:
f 7→ f(a), evidentemente δa es una distribución temperada, ahora śı podemos
llamar a esta distribución función delta de Dirac siguiendo la nomenclatura,
pero sin perder de vista lo que verdaderamente significa.
Proposición 1.2.1 Supóngase que T : S → C es lineal y que hay α, β ∈ Zd
+
tal que:
|T (f)| ≤ ‖f‖α,β, (1.4)
para todo f ∈ S(Rd). Entonces T ∈ S ′(Rd).
Prueba: Para demostrar que es continuo solo debemos mostrar que es con-
tinuo en el elemento 0. Pero si f → 0 en S, se sigue en particular que
‖fn‖α,β → 0 y también que:
|T (fn)| ≤ ‖fn‖α,β → 0,
a medida que n→∞.
Teorema 1.2.1 Un funcional lineal T sobre S(Rd) es una distribución tem-
perada si y solo si hay un C > 0 y algunos k,m ∈ Z+ tales que:
|T (f)|C‖f‖k,m, (1.5)
para todo f ∈ S(Rd).
6
Prueba: Si dicha cota existe, es claro que T ∈ S ′(Rd). Al contrario, supong-
amos que T ∈ S ′(Rd) pero que no hay dicha cota. Entonces para cualquier
n ∈ N, es falsa la afirmación:
|T (f)| ≤ n‖f‖n,m
para todo f ∈ S(Rd). En otras palabras, existe una sucesión (gn) en S tal
que:
|T (gn)| > n‖gn‖n,m
tomemos dicha sucesión como fn = gn/n‖gn‖n,m de forma que T (fn) > 1por
tanto:
‖fn‖k,m =
‖gn‖k,m
n‖gn‖k,m
≤ 1
n
,
siempre que n ≥ max(k,m). Se sigue que fn → 0 en S(Rd). Pero nos lleva
a una contradicción ya que T (fn) → 0 lo que es falso y concluye nuestra
demostración.
Proposición 1.2.2 Sea g ∈ L2(Rd). Entonces el mapeo lineal:
Tg : f 7→
∫
g(x)f(x)dx, (1.6)
sobre S(Rd) define unadistribución temperada.
Prueba: Para f ∈ S(Rd) tomemos |Tg(f)| = |
∫
g(x)f(x)dx| ≤ ‖g‖L2‖f‖L2 ,
pero:
‖f‖2
L2 =
∫
|f(x)||f(x)|dx
≤ ‖f‖0,0
∫
|f(x)|dx
= ‖f‖0,0
∫ ( d∏
j=1
(1 + x2
j)
)
|f(x)| 1∏d
k=1(1 + x2
k)
≤ ‖f‖0,0‖f‖2d,0
∫
1∏d
k=1(1 + x2
k)
dx1dx2...dxd
= πd‖f‖0,0‖f‖2d,0
≤ πd‖f‖2
2d,0.
7
Esto nos lleva a un estimativo:
|Tg(f)| ≤ ‖g‖L2π
d
2‖f‖2d,0,
lo que muestra que T ∈ S(Rd), como se propuso.
El siguiente resultado indica que funciones acotadas por polinomios determi-
nan distribuciones v́ıa integración.
Teorema 1.2.2 Supongamos que g(x) es medible y que para algún
m ∈ N,
∏d
j=1(1 + x2
j)
−mg(x) es acotado en Rd. Entonces el mapeo:
Tg : 7→
∫
g(x)f(x)dx, (1.7)
es una distribución temperada.
Prueba: Sea p(x) =
∏d
j=1(1 + x2
j). La hipótesis nos dice que para cualquier
f ∈ S(Rd):
|g(x)f(x)| = p(x)−m|g(x)|p(x)m|f(x)|
< Mp(x)m|f(x)|.
Para algún M > 0, se sigue que f(x)g(x) es integrable y que Tg está bien
definida en S(Rd).
Para mostrar que T ∈ S ′(Rd), hagamos un estimativo:
|Tg(f)| < M
∫
p(x)m|f(x)|dx
= M
∫
p(x)m+1|f(x)| 1
p(x)
dx
≤ M‖f‖2d(m+1),0π
d.
Por tanto Tg ∈ S ′(Rd).
A estas instancias podemos acercarnos una nueva idea de la generalización
de funciones, designándolo el nuevo modelo. Pensemos por su acción (valores
funcionales) en un espacio el cual aqúı llamamos S(Rd) y que normalmente
se les llama funciones de prueba.1 Esta acción está definida por medio de los
valores (Tg(f), f).
1También se le llama espacio de Schwartz
8
Teorema 1.2.3 (Valor Principal de Cauchy) El funcional:
P
(
1
x
)
: f 7→ ĺım
ε↓0
∫
|x|≥ε
1
x
f(x)dx (1.8)
pertenece a S ′(Rd).
Prueba: Mostremos primero que P
(
1
x
)
está bien definida en S(R). Para
f ∈ S(R) ∫
|x|≥ε
1
x
f(x)dx =
∫ ∞
ε
f(x)− f(−x)
x
dx.
Sin embargo,f(x)−f(−x)
x
→ 2f ′(0) cuando x → 0 y por tanto f(x)−f(−x)
x
es
integrable en [0,∞) y P
(
1
x
)
está de verdad bien definida.
Este funcional es lineal debido a la linealidad de la integral, solo nos hace
falta verificar su continuidad en S(R). Para esto veamos que cuando x > 0:∣∣∣∣f(x)− f(−x)
x
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣1x
∫ x
−x
f ′(t)dt
∣∣∣∣
≤ 1
x
∫ x
−x
|f ′(t)|dt
≤ 2‖f ′‖∞.
Por tanto∣∣∣∣P (1
x
)∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∫ 1
0
f(x)− f(−x)
x
dx+
∫ ∞
1
f(x)− f(−x)
x
dx
∣∣∣∣
≤
∫ 1
0
2‖f ′‖∞dx+
∫ ∞
1
{|f(x)|+ |f(−x)|}xdx
x2
≤ 2‖f ′‖∞ + 2‖xf(x)‖∞
∫ ∞
1
dx
x2
= 2‖f‖0,1 + 2‖f‖1,0.
De donde se sigue el resultado.
Teorema 1.2.4 Sea gε(x) = x
x2+ε2
. Entonces Tgε → P ( 1
x
) en S ′(R) cuando
ε→ 0.
9
Prueba: Sea f ∈ S(R) y sea δ > 0. Entonces:∣∣∣∣P (
1
x
)(f)− Tgε(f)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣P (
1
x
)(f)−
∫ ∞
−∞
xf(x)
x2 + ε2
dx
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∫ ∞
0
f(x)− f(−x)
x
dx−
∫ ∞
0
xf(x)− xf(−x)
x2 + ε2
dx
∣∣∣∣
≤
∫ δ
0
∣∣∣∣f(x)− f(−x)
x
∣∣∣∣ dx+
∫ ∞
δ
∣∣∣∣ ε2δ2
f(x)− f(−x)
x
∣∣∣∣ dx.
El primer término puede hacerse tan arbitrariamente pequeño escogiendo δ
lo suficientemente pequeño, el hecho de que
∣∣∣f(x)−f(−x)
x
∣∣∣ se integrable, quiere
decir que la segunda integral se aproxima a cero cuando ε→ 0.
Teorema 1.2.5 Para ε > 0, Sea hε = 1
x−x0+iε
. Entonces:
hε → P
(
1
x− x0
)
− iπδx0
en S ′(R), cuando ε→ 0.
Para la demostración ver [1]
1.3. Los espacios D y D′
Se considera otro espacio y su adjunto.
Definición 1.3.1 Sea Ω ⊆ Rd un conjunto abierto de Rd. C∞
0 (Ω) denota el
subconjunto lineal que consiste en aquellas funciones en C∞
0 (Rd) las cuales
tienen soporte 2en Ω.
Supongamos que (ϕn) es una sucesión en C∞
0 (Ω) y sea ϕ ∈∞0 (Rd). Decimos
que ϕn → ϕ en C∞
0 (Ω) si:
i Hay algún conjunto compacto K ⊂ Ω tal que supp ϕn ⊂ K para todo n.
2El soporte de una función f en Rd, se denota por supp f es la clausura del conjunto
en el cual f no se anula:
supp f = {x ∈ Rd : f(x) 6= 0}.
C∞0 (Rd) denota el subespacio lineal de C∞(Rd) de aquellas funciones con soporte com-
pacto. Claramente C∞0 (Rd) ⊂ S(Rd).
10
ii Dαϕn → Dαϕ uniformemente cuando n→∞ para cada α ∈ Zd
+.
Note que supp ϕ ⊂ K.
D(Ω) es el espacio C∞
0 (Ω) equipado con esta noción dde convergencia y dec-
imos que ϕn → ϕ en D(Ω).
Definición 1.3.2 Se dice que (ϕn) es una sucesión de Cauchy en D(Ω) si
hay algún conjunto compacto K ⊂ Ω tal que supp ϕn ⊆ K para todo n tal
que ‖Dα(ϕn − ϕm)‖∞ → 0 cuando n,m→∞ para todo α ∈ Zd
+.
Definición 1.3.3 Un funcional lineal u : D(Ω) → C se dice que es continuo
si u(ϕn) → u(ϕ) en D(Ω) cuando n → ∞. Dicho funcional lineal continuo
es llamado una distribución, el espacio lineal de las distribuciones se denota
como D′(Ω)
C
Funciones singulares.
Funciones regulares.
D′
∫
g(x)f(x)dx
Figura 1.2: Nuevo modelo de las ”funciones”
1.4. La Transformada de Fourier
Daremos aqúı algunas caracteŕısticas y algunos teoremas que son de im-
portancia.
Definición 1.4.1 La transformada de Fourier de una función f ∈ S(Rd) es
la función Ff la cual está dada por:
Ff(λ) =
1
(2π)
d
2
∫
Rd
e−iλxf(x)dx. (1.9)
11
Donde λ ∈ Rd y λx =
∑d
j=1 λjxj para x ∈ Rd.
Definición 1.4.2 La transformada inversa de Fourier de f ∈ S(Rd) es la
función F−1f y está dada por:
F−1f(λ) =
1
(2π)
d
2
∫
Rd
eiλxf(x)dx. (1.10)
Algunas veces es conveniente denotar Ff como f̂ .
Teorema 1.4.1 Para cualquier f ∈ S(Rd),
F−1(Ff) = f = F(F−1f) (1.11)
Para la demostración del teorema anterior consultar [1] o ver también [3]
A continuación daremos un ejemplo de la aplicación de la transformada de
Fourier.
Para mayor detalle de algunas de las demostraciones dadas aqúı ver [1].
Definición 1.4.3 La transformada de Fourier FT de la distribución tem-
perada T ∈ S ′(Rd) está dada po:
FT (f) = T (Ff) para f ∈ S(Rd)
Se puede entender esta definición como una extensión del teorema de Plancherel
en L2(Rd) ver [1]
Definición 1.4.4 Una distribución E ∈ D′(Rd) que satisface la ecuación
P (D)E = δ, se dice que es una solución fundamental para el operador difer-
encial P (D).3
3P (x1, ..., xd) es un polinomio de d variables y P (D) resulta de reemplazar Dj por xj .
12
Caṕıtulo 2
La Ecuación de Dirac
2.1. El espacio de Hilbert para la ecuación de
Dirac
Escribamos la ecuación de Dirac para la part́ıcula libre:
i~
∂
Ψ
(x, t)∂t = H0Ψ(x, t). (2.1)
Donde el operador H0 se llama operador de Dirac para la part́ıcula libre, el
cual toma la forma:
H0 = −i~cα · ∇+ βmc2 =
(
mc21 −i~cσ · ∇
−i~cσ · ∇ −mc21
)
. (2.2)
Donde σ · ∇ = σ1∂1 + ...+ σ3∂3 y σi son las matrices de Pauli, αi y β son las
matrices de Dirac, las cuales se relacionan como:
σ1 =
(
0 1
1 0
)
, σ2 =
(
0 −i
i 0
)
, σ3 =
(
1 0
0 −1
)
,
β =
(
1 0
0 −1
)
, αi =
(
0 σi
σi 0
)
, i = 1, 2, 3.
(2.3)
Si vemos las matrices (2.3) y (2.1), encontramos que H0 es un operador
matricial de 4 × 4 el cual actúa sobre una función que llamamos Ψ(x, t)
donde por lo general es de valores complejos, para que este producto sea
13
válido Ψ(x, t) debe ser un vector columna de cuatro componentes, es decir:
Ψ(x, t) = (ψ1, ψ2, ψ3, ψ4)
>.
El operador H0 pertenece al espacio:
H = L2(R2)⊕ L2(R2)⊕ L2(R2)⊕ L2(R2). (2.4)
Ya sabemos que la función de onda que e solución de la ecuación de Dirac
es una función de cuatro componentes, las cuales a su vez son funciones1
de las cuatro variables (x, t) para cada una de estas es posible hallar su
transformada de Fourier, la cual nos da:
(Fψk)(p) ≡ 1
(2π)
3
2
∫
R3
e−ip·xψk(x)d3x, k = 1, 2, 3, 4. (2.5)
Según la mecánica cuántica no relativista, la transformado o imagen de
Fourier de el espacio de coordenadas (x, y, z) es un espacio de coordenadas
(px, py, pz, ), es decir el espacio de momentos o espacio de momentum, según
la notación que hemos tráıdo hasta aqúı, podemos escribir:
FL2(R2, d3x)4 = L2(R3, d3p)4.
Mediante una transformación de semejanza2 para el operador de Dirac se
llega a:
(FH0F−1)(p) = h(p) ≡
(
mc21 cσ · p
cσ · p −mc21
)
. (2.6)
El producto σ · p es simbólico y quiere decir: σ · p = σ1p1 + σ2p1 + σ3p1.
Al diagonalizar esta matriz llegamos a que los autovalores de ésta son:
λ1(p) = λ2(p) = −λ3(p) = −λ4(p) =
√
c2p2 +m2c4 ≡ λ(p). (2.7)
Se puede mostrar que la transformación unitariaque lleva a cabo dicha dia-
gonalización es:
u(p) =
(mc2 + λ(p))1 + βcα · p√
2λ(p)(mc2 + λ(p))
= a+(p)1 + a−(p)β
α · p
p
, (2.8)
1A este tipo de funciones también se les llama espinores. Ver[1]
2Para transformaciones de semejanza ver [6]
14
donde a± = 1√
2
√
1± mc2
λ(p)
, esta ultima transformación nos lleva h(p) a la
forma diagonal βλ(p), de estas últimas ecuaciones podemos hallar fácilmente
que el operador:
W = uF , (2.9)
convierte el operador de Dirac para la part́ıcula libre en una matriz diagonal:
(WH0W−1) = βλ(p), (2.10)
en el espacio de momentum. Si φ = Wψ es integrable, entonces podemos
escribir:
ψ(x) =
1
(2π)3
2
∫
R3
eip·xu(p)−1φ(p)d3p, φ ∈ L1(R3)4
⋂
L2(R3)4. (2.11)
2.1.1. Subespacios espectrales de H0
En el espacio de Hilbert donde el operador de Dirac es diagonal, se puede
ver que hay dos componentes de la función de ondas que pertenecen a estados
de enerǵıas positivas y dos de ellas a enerǵıas positivas, por tanto podemos
definir un subespacio, o mejor dos, cada uno de los cuales va a ser generado
por vectores del tipo:
ψ± ≡ W−1 1
2
(1± β)Wψ, ψ ∈ L2(R3, d3x). (2.12)
El śımbolo +(−) designa a los componentes que corresponden a enerǵıas po-
sitivas (negativas).
Estos vectores generan los espacios H+ (H−) de enerǵıas positivas (negati-
vas). Los subespacios de enerǵıas positivas y negativas son ortogonales entre
śı y por tanto el espacio de Hilbert para la ecuación de Dirac se puede escribir
como una suma ortogonal directa de dichos subespacios:
H = H+ ⊕H− (2.13)
Los vectores que pertenecen a cada uno de estos subespacios pueden ser
llevados a esta forma por medio de unos operadores llamados operadores de
proyección ortogonal, al igual que se puede descomponer un vector en sus
componentes cartesianas, estos operadores los podemos escribir:
P± = W−1 1
2
(1± β)W =
1
2
(
1± H0
|H0|
)
. (2.14)
15
Donde |H0| =
√
−c2∆ +m2c4, es de aclarar que el operador H0 conmuta
con P+. Por tanto si el estado inicial es de enerǵıa positiva será de enerǵıa
positiva en todo instante, de esta forma:
ψ(t) ≡ e−iH0tψ = P+ψ(t) si y solo si ψ = P+ψ (2.15)
2.1.2. La transformación de Foldy-Wouthuysen
Esta transformación3 la podemos escribir como:
UFW = F−1W . (2.16)
Esta transformación lleva el operador de Dirac a la forma diagonal:
UFWH0U
−1
FW =
( √
−c2∆ +m2c4
0 −
√
−c2∆ +m2c4
)
= β|H0| (2.17)
Según (2.17) el operador de Dirac para la part́ıcula libre es equivalente uni-
tariamente al par de ecuaciones de Klein-Gordon.
3Ver ([5])
16
2.2. La solución fundamental
Consideremos separadamente la acción de e−iH0t sobre las enerǵıas posi-
tivas y negativas de la función de onda, ver[2] para ello empecemos toman-
do una variable temporal compleja que involucre la variable temporal real:
t± = t± iε con tal que se cumpla lo siguiente:
ĺım
ε→0
e−iH0t±Ψ = e−iH0tΨ ; ∀Ψ ∈ H±. (2.18)
Consideremos ahora:(
e−iH0t±P±Ψ
)
(x) =
(
F−1e∓iλt±
1
2
(
1± h(p)
λ(p)
)
FΨ
)
(x)
=
1
(2π)
3
2
∫ {
±1
(2π)
3
2
∫
eip·(x−y)×
× (±λ(p) + h(p))
e∓iλ(p)t±
2λ(p)
d3p
}
Ψ(y)d3y
≡
∫
S±(t±,x− y)Ψ(y)d3y. (2.19)
La parte imaginaria de esta ecuación se ha escogido de tal manera que la
integral entre corchetes exista siempre que ε > 0, aqúı podemos hacer la
siguiente asignación:
S±(t±,x− y) =
±1
(2π)
3
2
∫
eip·(x−y) × (±λ(p) + h(p))
e∓iλ(p)t±
2λ(p)
d3p, (2.20)
ya que:
∂
∂t
e∓λ(p)t± = ∓iλ(p)e∓iλ(p)t± ,
−i∇eip·(x−y) = ipeip·(x−y). (2.21)
Descomponiendo la integral:
S±(t±,x− y) =
±1
(2π)
3
2
[∫ {
eip·(x−y)±λ(p)
2λ(p)
e∓iλ(p)t±+
+ eip·(x−y) h(p)
2λ(p)
e∓iλ(p)t±
}]
d3p. (2.22)
17
Recordando que:
h(p) =
(
mc21 cσ · p
cσ · p −mc21
)
, (2.23)
se puede escribir (2.23)como:
h(p) = mc2β + cα · p, (2.24)
sustituyendo (2.24) en la integral (2.22) obtenemos que:
S±(t±,x− y) =
±1
(2π)
3
2
[∫ {
eip·(x−y)±λ(p)
2λ(p)
e∓iλ(p)t±+
+ eip·(x−y)mc
2β + cα · p
2λ(p)
e∓iλ(p)t±
}]
d3p, (2.25)
introduciendo aqúı las derivadas (2.21) llegamos a:
S±(t±,x− y) =
±1
(2π)
3
2
[∫ {
i
∂
∂t
− icα · ∇+mc2β
}
eip·(x−y)e∓iλ(p)t±
2λ(p)
]
, (2.26)
teniendo en cuenta que la integral conmuta con operadores diferenciales,
(2.26) se puede escribir en la forma:
S±(t±,x− y) = i
(
i
∂
∂t
− icα · ∇+mc2β
)
×
×
[
−i
(2π)
3
2
eip·(x−y)e∓iλ(p)t±
2λ(p)
]
, (2.27)
expresión que se puede escribir de manera más condensada como:
S±(t±,x) = i
(
i
∂
∂t
− icα · ∇+mc2β
)
∆± (t±,x), (2.28)
donde
∆+(t+,x) = ∆−(t−,x) =
−i
(2π)
3
2
∫
eip·x e
−iλ(p)t+
2λ(p)
d3p, (2.29)
18
hay que analizar el integrando a fin de simplificar más la integración, intro-
duciendo coordenadas polares y haciendo uso de la simetŕıa del problema.4
∆± (t±,x) =
−i
(2π)
3
2
∫ ∞
0
p sen(px)
e−iλ(p)t+
λ(p)
dp. (2.30)
En vista de que λ(p) =
√
c2p2 +m2c4 llegamos al siguiente resultado:
∆+(t+, x) =
−im2c
4π2
K1(mc
√
x2 − c2t2+)
mc
√
x2 − c2t2+.
(2.31)
Aplicando las siguientes fórmulas para las funciones de Bessel.5
K1(e
−iπ
2 ) (z) = −π
2
H
(1)
1 (z) −π < arg z < π
2
K1(e
iπ
2 ) (z) = −π
2
H
(2)
1 (z) −π < arg z < π
2
(2.32)
y estas otras para su argumento:
e
iπ
2
(√
x2 − c2t2+
)
→
√
c2t2 − x2 cuando ε→ 0 si ct < −x
e
−iπ
2
(√
x2 − c2t2+
)
→
√
c2t2 − x2 cuando ε→ 0 si ct > x
tomemos finalmente el comportamiento para c|t| 6= x cuando ε→ 0.
∆+(t, x) =
m2c
8π

H
(1)
1 (mc
√
c2t2−x2)
mc
√
c2t2−x2 si ct < −x
2i
π
K1(mc
√
c2t2−x2)
mc
√
c2t2−x2 si c|t| < x
H
(2)
1 (mc
√
c2t2−x2)
mc
√
c2t2−x2 si ct > x
(2.33)
4Las coordenadas polares para el problema se introducen de la siguiente forma:
px = p cos φ py = p sen(φ) d2p = 2πdp
.
5z el punto en el plano complejo dado por: z = x + iy.
19
Pasemos ahora a observar el comportamiento del núcleo en el cono de luz, es
decir c|t| = x.
∆+(t+,x) + ∆−(t−,x) =
−1
2π2c2x
sgn(t)
∫ ∞
mc2
sen(p(λ)x) sen(λ|t|)e−λεdλ, (2.34)
donde tenemos que p(λ) = 1
c
√
λ2 −m2c4, haciendo expansión en serie de
potencias para p(λ) de la siguiente manera:
p(λ) =
1
c
(λ2 −m2c4)
1
2
=
λ
c
(
1− m2c4
λ2
) 1
2
∼=
λ
c
(
1− 1
2
m2c4
λ2
)
=
λ
c
− 1
2
m2c3
λ
. (2.35)
En vista de que 1
2
m2c3
λ
� 1 podemos introducir esto en (2.34), más espećıfi-
camente en su integrando, como seno de una suma:
sen(p(λ)x) ∼= sen
(
λx
c
)
− 1
2
m2c3
λ
cos
(
λx
c
)
. (2.36)
La integración del primer término es:
−1
2π2c2x
sgn(t)
∫ ∞
0
sen
(
λx
c
)
sen(λ|t|)e−λεdλ =
−i
4π2
sgn(t)
(
1
c2t2 − x2 − c2ε2 + 2ic2|t|ε
− 1
c2t2 − x2 − c2ε2 − 2ic2|t|ε
)
,(2.37)
tomando el ĺımite cuando ε→ 0 se llega a:
−i
4π2
sgn(t)
(
1
c2t2 − x2 + i0
− 1
c2t2 − x2 − i0
)
= −sgn(t)
2πc
δ(c2t2− x2). (2.38)
Para el segundo término de (2.34) tenemos lo siguiente:
m2c
4π2
sgn(t)
∫ ∞
0
cos(
λx
c
) sen(λ|t|)e−λε dλ
λ =
mc2
4π2
sgn(t)
{
1
2
arctan
(
2ε|t|
ε2 − t2 + x2
c2
)
+
π
2
θ(c2t2 − x2 − ε2)
}
, (2.39)
20
teniendo en cuenta que:
ĺım
ε→0+
arctan
(
2ε|t|
ε2 − t2 + x2
c2
)
=
{
π
2
si c2t2 − x2 = 0
0 si c2t2 − x2 6= 0
, (2.40)
la integral (2.39) se convierte en:
m2c
4π2
sgn(t)
∫ ∞
0
cos(
λx
c
) sen(λ|t|)e−λε dλ
λ =
1
2πc
sgn(t)θ(c2t2 − x2). (2.41)
Con base en lo anterior podemos decir que la solución fundamental de la
ecuación de Dirac para la part́ıcula libre está dada por:
i
(
i
∂
∂t
− icα · ∇+ βmc2
)
∆(x, t) =
sgn(t)
2πc
{
−δ(c2t2 − x2) +
m2c2
4
θ(c2t2 − x2)
sgn(t)
J1(mc
√
c2t2 − x2)
mc
√
c2t2 − x2
}
(2.42)
Siempre y cuando c|t| ≥ x.
21
Caṕıtulo 3
Resultados Principales
3.1. Velocidad instantánea del electrón
La solución fundamental para la ecuación de Dirac puede escribirse como:
Dt,0 =
(
γµ ∂
∂xµ
− Im
)
×
×
{
δ(t2 − x2)
2π
− θ(t− x)
4π
mJ1(m
√
t2 − x2)√
t2 − x2
}
. (3.1)
Donde la hemos escrito en forma más compacta, denotando en este caso con
γµ las matrices de Dirac y haciendo caso al convenio de suma de Einstein,
respecto a las letras griegas. Cabe aclarar aqúı que se han escogido unidades
de forma que la velocidad de la luz c sea igual a la unidad.
Se puede probar que cuando t→ 0 todos los términoscarecen de importancia
exceptuando el primero que es:
γµ ∂
∂xµ
δ(t2 − x2)
2π
.
Este término podemos manipularlo de la siguiente manera: Haciendo una
suposición adicional, que es tomar t → 0+ con lo cual podemos escribir el
22
primer término como:
γµ ∂
∂xµ
δ(t2 − x2)
2π
=
1
2π
[
γ0 ∂
∂t
δ(t2 − x2) + γ1 ∂
∂x1
δ(t2 − x2)+
+γ2 ∂
∂x2
δ(t2 − x2) + γ3 ∂
∂x3
δ(t2 − x2)
]
, (3.2)
tomemos ahogara un elemento ϕ ∈ S(R3) y analicemos el comportamiento
del segundo término de (3.2).
C =
∫
R3
γ0 ∂
∂t
δ(t2 − x2)ϕ(x)d3x, (3.3)
dado que γ0 es una constante, ahora teniendo en cuenta la identidad:
δ(t2 − x2) =
1
2‖x‖
[δ(t− x) + δ(t+ x)], (3.4)
y que el diferencial de volumen en coordenadas esféricas es:n d3x = ‖x‖2 sen θdxdθdφ,
nuestra integral (3.3) se convierte en:
C = γ0 ∂
∂t
∫
R3
1
2‖x‖
[δ(t− x) + δ(t+ x)]ϕ(x)‖x‖2 sen θdxdθdφ, (3.5)
tomando según nuestra anterior suposición t > 0, pasamos a escribir nuestra
integral como:
C = γ0 ∂
∂t
∫ 2π
0
dφ
∫ π
0
sen θdθ
∫ ∞
−∞
1
2
δ(t− x)ϕ(x)‖x‖dx, (3.6)
resolviendo obtenemos finalmente:
C = γ0 ∂
∂t
2πϕ(t)t,
= 2πγ0(ϕ(t) + tϕ,(t)),
H = γ0(ϕ(t) + tϕ,(t)), (3.7)
en el ĺımite cuando t→ 0 se concreta el siguiente resultado:
ĺım
t→0
C = 2πγ0ϕ(0),
ĺım
t→0
Dt,0 = γ0ϕ(0). (3.8)
23
Ya que tenemos el estudio de la solución fundamental cuando
t → 0 pasemos al estudio de la velocidad instantánea del electrón del elec-
trón relativista, para ello partamos de la velocidad media de una part́ıcula
cualquiera:
v =
∆x
∆t
=
x− x0
t− t0
, (3.9)
es claro que si tomamos el ĺımite de esta expresión cuando ∆t→ 0 se convierte
en la velocidad instantánea de la part́ıcula, más aún, si hacemos que x0 = 0
y t0 = 0, la velocidad media toma la forma v = x
t
, introduciendo esto como
argumento de ϕ en (3.7) obtenemos el siguiente resultado:
H = γ0ϕ(1), (3.10)
cuando operamos esta función notamos que el argumento era la velocidad del
electrón relativista, tomando el ĺımite cuando t → 0 la velocidad media se
convierte en la velocidad instantánea, para nuestro caso cuando se estudia la
velocidad llegamos al resultado que la función ϕ nos arroja como resultado
su imagen en 1, que debe ser la velocidad instantánea del electrón relativista,
debido a la forma como se escogieron las unidades, la velocidad del electrón
es la velocidad de la luz, ya que estamos en un sistema de unidades en el cual
dicha velocidad es 1.
Aqúı este primer resultado nos muestra que el método es bueno, ya que para
el electrón se obtuvo también velocidad instantánea igual a la de la luz.
La solución fundamental de la ecuación de Dirac es en forma expĺıcita:
Dt,0 =
γ0
{
1
2t
[δ′t(x+ t) + δ′t(x− t)]− 1
t
[δ(x+ t) + δ(x− t)]
}
+
3∑
i=1
γi 1
2t
[δ′(x− t) + δ′(x+ t)]
xi
x
−
−imI 1
2π
[
δ(t2 − x2)− θ(t− x)
2
mJ1(m
√
t2 − x2)√
t2 − x2
]
−m
4π
[
2mθ(t− x)J2(m
√
t2 − x2)
(t2 − x2)
(
γ0t−
3∑
i=1
γixi
)
+
+
J1(m
√
t2 − x2)√
t2 − x2
δ(t− x)
(
γ0t−
3∑
i=1
γi
)]
, (3.11)
24
busquemos ahora el soporte supp de esta función generalizada, asumiendo
que t > 0:
Dt,0 =
γ0
{
1
2t
δ′t(x− t)− 1
t
δ(x− t)
}
+
3∑
i=1
γi 1
2t
δ′(x− t)
xi
x
−
−imI 1
2π
[
δ(t2 − x2)− θ(t− x)
2
mJ1(m
√
t2 − x2)√
t2 − x2
]
−m
4π
[
2mθ(t− x)J2(m
√
t2 − x2)
(t2 − x2)
(
γ0t−
3∑
i=1
γixi
)
+
+
J1(m
√
t2 − x2)√
t2 − x2
δ(t− x)
(
γ0t−
3∑
i=1
γi
)]
. (3.12)
Soporte
αr̂2 r̂1
xtx0
t− ττ
r̂3
Figura 3.1: Supp de Dt,τDτ,0
25
La ecuación (3.12) se convierte para t 6= 0 en:
Dt,0 =
mθ(t− x)
4π
{
iI
mJ1(m
√
t2 − x2)√
t2 − x2
−2mJ2(m
√
t2 − x2)
(t2 − x2)
(
γ0t−
3∑
i=1
γixi
)}
, (3.13)
por definición de θ(x), llegamos a la conclusión de que (3.13) se anula excepto
cuando x < t, de modo que supp Dt,0 es una esfera de radio t.
1
1En realidad es una esfera de radio ct, es decir un frente de onda esférico producido
por una fuente de luz puntual.
26
3.2. Aceleración instantánea del electrón
xt
xτ
x0
Figura 3.2: Disposición de los tres puntos
Para hallar la aceleración, procedemos igual al caso de la velocidad,
definiendo la aceleración promedio que tiene la aceleración promedio que
tiene la part́ıcula entre x0 y xt, par ello escojamos tres puntos en el espacio,
los dos que ya tenemos y un tercero que llamamos xτ lo que indica que esa
es la posición de la part́ıcula en un tiempo τ con tal que satisfaga 0 < τ < t,
utilizando la aceleración aceleración promedio:
a =
vt − v0
t− t0
. (3.14)
Con respecto a lo que contempla (3.14), llamemos vt la velocidad promedio
entre xτ y xt, de forma análoga v0 seria la velocidad promedio entre x0 y xτ ,
entonces podemos escribir lo siguiente: vt = xt−xτ
t−τ
y v0 = xτ−x0
τ
y escribir la
aceleración en la forma:
a =
xt−xτ
t−τ
− xτ−x0
τ
t
. (3.15)
Notemos que cuando τ → 0, xτ
τ
es la velocidad instantánea en x0, si por
otra parte hacemos que t → τ obtenemos la velocidad de la part́ıcula en el
punto xτ , tomando dichos ĺımites obtenemos la aceleración instantánea de la
part́ıcula, dado que tenemos dos puntos, y que además están relacionados, es
decir obedecen al principio de causalidad, por eso debemos utilizar la ecuación
de Einstein-Smoulochovsky.2 Esta ecuación nos da una relación de este tipo,
para nuestro caso tenemos el producto de dos soluciones fundamentales de la
ecuación de Dirac, a saber, Dt,τ y Dτ,0, la primera de ella es la solución que
2La ecuación de Einstein-Smoulochovsky es una distribución que posee las siguientes
27
se escribió más haciendo el cambio t→ t− τ y a la segunda se llega haciendo
t = τ , haciendo el producto de estas dos distribuciones e introduciéndolas en
la ecuación de Einstein-Smoulochovsky se llega a:
A =
∫
R3
Dt,τγ
0Dτ,0d
3xτ , (3.16)
este producto de dos funciones generalizadas para la ecuación de Dirac se
anula excepto para le región de la intersección de las dos esferas con radios
t − τ y τ , esta intersección tiene forma de lente esférica con los radios da-
dos anteriormente, dado que es alĺı donde no se anula la integral debemos
hallar un diferencial de volumen que satisfaga dicha simetŕıa. Tomando los
vectores como unitarios r̂1, r̂2 y r̂3. Los cuales son respectivamente los radios
de las esferas y un vector tangente a éstas, en la lente forman un sistema
dextrógiro, de la siguiente forma podemos hallar el diferencial de volumen, es
decir el volumen del paraleleṕıpedo formado por los elementos diferenciales
end dichas direcciones, si α es el ángulo entre r̂1 y r̂2 el elemento de volumen
viene dado por:
|dx3r̂3 · (dx1r̂1 × dx2r̂2)| = senαdx1dx2dx3. (3.17)
Aśı el término principal cuando t→ 0 es:
∂2
∂τ∂(t− τ)
∫
R3
γ0 senα
(4π)2τ(t− τ)
ϕ(a)dx1dx2dx3. (3.18)
propiedades: ∫ ∞
−∞
W (x0, 0;xt, t)dxt = 1,
W (x0, 0;xt, t)
t → 0
−→ δ(xt − x0).
Además también tiene en cuenta el principio de causalidad f́ısica, es decir, que se puede
escribir de la siguiente forma:
W (x0, 0;xt, t) =
∫ ∞
−∞
W (x0, 0;xτ , τ)W (xτ , τ ;xt, t)dxτ ,
siempre que:
0 ≤ τ ≤ t,
esto nos garantiza que los sucesos sean consecuentes.
28
Pasemos ahora a calcular el radio de la lente que encontramos anteriormente,
para ello tenemos dos vectores básicos que llamamos r̂1 y r̂2, para elementos
en el borde de la lente.
τ r̂1 ; (t− τ)r̂2.
Formemos ahora el tercer vector que v a estar dirigido desde el punto x0
hasta el punto xt el cual llamaremos A y que es en forma de vector:
A = τ r̂1 − (t− τ)r̂2 ; ‖A‖ = xt − x0,
con esta construcción vectorial podemos hallar el radio de la dado por:
r =
‖τ r̂1 × ‖
xt − x0
r =
τ(t− τ) senα
xt − x0
, (3.19)
notemos que cuando t→ 0 senα→ 0 dado que r̂1 y r̂2 se hacen paralelos.
Debido a que la integral (3.18) no satisface algunos de los requerimientos de
normalización. Por tanto podemos introducir una integral que posea dicha
propiedad y que sea equivalente a (3.18), la cual podemos tomar como:
γ0 1
2πr
∫
ϕ(a)dxτ
t → 0
−→ γ0ϕ(0). (3.20)
Donde como se dijo anteriormente la integración se lleva a cabo a lo largo de
la circunferencia de radior que es el término principal:
γ0 1
2πr
∫
ϕ(|a|)dxτ
t → 0
−→ γ0ϕ(∞). (3.21)
De esta manera, cuando t→ 0 la integral (3.21) desaparece (recordemos que
ϕ(∞) = 0, ya que ϕ ∈ S). De los resultados obtenidos en (3.10) y (3.21)
llegamos a la siguiente conclusión: El electrón de Dirac se mueve con veloci-
dad instantánea igual exactamente a la velocidad de la luz, además en cada
instante de tiempo esta velocidad cambia su dirección con una aceleración
angular infinitamente grande, para dar una interpretación que no contradiga
estos dos resultados, intuitivamente es más fácil desde un punto de vista semi-
clásico, los resultados anteriores no se contradicen si miramos esto como un
29
ω
z
Figura 3.3: Modelo del electrón
movimiento circular uniforme, es decir el electrón se puede considerar como
una esfera masiva y cargada de radio muy pequeño la cual está girando con
velocidad de la luz. Este resultado se puede comparar con el fenómeno cono-
cido como Zitterbewegung, movimiento vibratorio del electrón relativista.
Podemos ahora, siguiendo este modelo, hallar el momento magnético de una
esfera uniformemente cargada, el cual es:
−→m = eω
r2
5
r̂z = ec
r
5
r̂z (3.22)
De medidas experimentales, se tiene que el momento magnético del elec-
trón m = 9,2847701× 10−24JT−1.
30
igualando esto a (3.22) y despejando para r, obtenemos:
r ∼ 10−13m. (3.23)
Comparando esto con el radio clásico del electrón, que es: rc ∼ 10−15m vemos
que nuestro modelo es bastante aceptable con la interpretación semiclásica
que se le dio.
31
Conclusiones
La teoŕıa de distribuciones se halla completamente desarrollada, pero su
aplicación a la mecánica cuántica se halla en la teoŕıa de campos.poco
desarrollada, se ve aqúı aunque en pequeña escala, la importancia de
este aparato matemático y esto no solo se puede intensificar en este
campo, sino en muchas áreas de ciencia e ingenieŕıa.
El electrón relativista se mueve con velocidad instantánea igual a la de
la luz, este resultado es importante en cuanto se refiere a la naturaleza
del electrón, este resultado junto con el que se obtuvo para la acel-
eración pueden llevarnos más allá de un simple ejercicio matemático,
incluso nos pueden revelar algunos aspectos de la estructura interna del
electrón, que hasta ahora se considera como fundamental.
El estudio de esta teoŕıa puede, en mi opinión, incluso resolver algunos
resolver problemas que hasta hoy tienen respuesta que no es la más
adecuada por medio de los operadores.
32
Apéndice A
Funciones de Bessel
Las funciones de Bessel aparecen en una gran variedad de problemas
f́ısicos, como lo indica este trabajo, vemos la importancia de este concepto
en la deducción de la solución fundamental.
La representación integral para la función de Bessel de primer orden está
dada por:
Jν =
1
2πi
∫
C
e(x/2)(t−1/t)t−ν−1dt. (A.1)
Donde C es la trayectoria en el el plano complejo como se muestra en la
figura (A.1).
<(t)
=(t)
−∞
Figura A.1: Contorno para la función de Bessel
Asociadas con esta función se encuentra las funciones de Bessel de segunda
clase.
33
La función de Neumann es una de ellas, la cual se forma por medio de una
combinación lineal de Jν(x) y J−ν(x) la cual se escribe de la siguiente forma:
Nν(x) =
cos νπJν(x)− J−ν(x)
sen νπ
. (A.2)
Para ν que no sea entero.
1 Otra combinación lineal entre Jν y Nν nos lleva a definir las funciones de
Hankel:
H(1)
ν (x) = Jν(x) + iNν(x) (A.3)
H(2)
ν (x) = Jν(x)− iNν(x). (A.4)
De la misma forma en que se define e±θ = cos θ ± sen θ. Para argumentos
reales H
(
ν1)(x) y H
(
ν2)(x) son complejas conjugadas.
De igual manera podemos dar una representación integral para la s funciones
de Hankel y que tienen la forma:
H(1)
ν (x) =
1
πi
∫ ∞eiπ
0
e(x/2)(t−1/t) dt
tν+1
(A.5)
H(2)
ν (x) =
1
πi
∫ 0
∞ei−π
e(x/2)(t−1/t) dt
tν+1
. (A.6)
Los contornos de integración se muestran en la figura (A.2).
Cuando el argumento de la función de Bessel o sus asociadas cambian
de forma que su argumento sea imaginario puro, se empieza a tratar con las
denominadas funciones de Bessel modificadas. Estas funciones se representan
por medio de los śımbolos: Iν(x) y Kν(x), la relación con las funciones de
Bessel de primer y segundo genero son:
Iν(x) = i−νJν(ix). (A.7)
Kν(x) =
π
2
iν+1[Jν(ix) + iNν(ix)]. (A.8)
Para mayor información acerca de las funciones de Bessel ver [7]
1En AMS-55 y en la mayoŕıa de las tablas, se le denota por Yν(x).
34
<(t)
=(t)
−∞e−iπ
−∞eiπ
C1
C2
Figura A.2: Contornos para las funciones de Hankel
35
Bibliograf́ıa
[1] F. Wilde Distribution Theory (Generalized Functions). (Notes Ian F.
Wilde 2005)
[2] B, Thaller.The Dirac Equation(Springer-Verlag, 1992)
[3] G. Fano.Mathematicals Methods of Quantum Mechanics. (Mc Graw Hill
1985)
[4] V. Mijailov. Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. (Mir
1975)
[5] Jhon P. Costella, Bruce Mckellar. The Foldy-Wouthyusen Transforma-
tion. (School of physics, The University of Melbourne, Australy, 1995.)
[6] H.Goldstein. Mecánica Clásica. (Editorial Ariel, Barcelona.)
[7] G. B. Arfken. H. J. Weber. Mathematical Methods for Physicists (Har-
court Academic Press, 2001)
36
	Teoría de Distribuciones
	Funciones
	Los espacios S y S'
	Los espacios D y D'
	La Transformada de Fourier
	La Ecuación de Dirac
	El espacio de Hilbert para la ecuación de Dirac
	Subespacios espectrales de H0
	La transformación de Foldy-Wouthuysen
	La solución fundamental
	Resultados Principales
	Velocidad instantánea del electrón
	Aceleración instantánea del electrón
	Funciones de Bessel