Moreno_Galan_Daniel

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TRABAJO FIN DE GRADO 
 
 
 
 
TRANSPORTE CUÁNTICO EN ÁTOMOS 
ARTIFICIALES 
 
 
 
 
Daniel Moreno Galán 
 
Grado de Física 
Facultad de Ciencias 
 
Año Académico 2019-20 
 
 
 
TRANSPORTE CUÁNTICO EN ÁTOMOS 
ARTIFICIALES 
Daniel Moreno Galán 
Trabajo de Fin de Grado 
Facultad de Ciencias 
Universidad de las Illes Balears 
Año Académico 2019-20 
Palabras clave del trabajo: 
Punto cuántico, efecto Kondo.
Nombre Tutor/Tutora del Trabajo: Rosa López Gonzalo 
Se autoriza la Universidad a incluir este trabajo en el Repositorio 
Institucional para su consulta en acceso abierto y difusión en línea, 
con fines exclusivamente académicos y de investigación 
 Autor Tutor 
 Sí No Sí No 
☐ ☐ ☐ ☐ 
Daniel
Resaltado
Daniel
Resaltado
 
 
Índice
1. Introducción 6
1.1. Coulomb Blockade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Efecto Kondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Modelo 15
2.1. Hamiltoniano de Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Representación Bosones Esclavos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Resultados: 22
3.1. Parámetros renormalizados: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Densidad de estados: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3. Corrientes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Conclusiones 31
Referencias 32
1. Introducción
El desarrollo de la tecnoloǵıa actual sigue un camino en el cual se busca reducir
el tamaño de los sistemas electrónicos para poder conseguir una mayor eficiencia. La
disminución acelerada del tamaño de dichos componentes genera un problema, ya que nos
estamos acercando al punto donde afecta su correcto funcionamiento, debido a que los
efectos cuánticos empiezan a no poder ser despreciables [1]. Por este motivo a d́ıa de hoy
el estudio de sistemas mesoscópicos tiene una especial relevancia en el campo de estado
sólido, estos sistemas se caracterizan por tener tamaños comprendidos entre el mundo
microscópico (del tamaño de unos cuantos átomos) y el macroscópico. Una definición más
formal de un sistema mesoscópico seŕıa: un sistema el cual su tamaño es del orden de la
longitud de coherencia del electrón, esta distancia está relacionada con el movimiento del
electrón a través del sistema, ya que durante su recorrido, la fase de su función de onda,
puede aleatorizarse debido a procesos de ‘scattering’ inelástico, por lo tanto definimos la
longitud de coherencia como aquella distancia en la cual el electrón se mantiene en su fase
inicial. Normalmente suelen tener un tamaño del orden de nanómetros los sistemas que
estudiamos y por este motivo los denominamos nanoestructuras.
En este trabajo nos vamos a centrar en una nanoestructura en concreto, el pun-
to cuántico (ver Fig. 1). Este sistema presenta múltiples caracteŕısticas interesantes, por
ejemplo, la completa cuantización de la enerǵıa, la cual se consigue restringiendo su mo-
vimiento en las tres direcciones espaciales mediante el confinamiento, dando lugar a un
espectro de enerǵıa discreto. Otra caracteŕıstica importante de esta nanoestructura es
que para poder añadir o quitar un electrón del punto cuántico es necesario añadir enerǵıa
al sistema de forma análoga a la enerǵıa de ionización de un átomo, este es uno de los
motivos por el cual a veces se refieren a esta nanoestructura como átomos artificiales. El
punto cuántico es un sistema muy versátil ya que un solo punto cuántico nos permite
estudiar varias variaciones del sistema al ser posible cambiar diferentes caracteŕısticas del
propio sistema (su tamaño, forma, niveles discretos de enerǵıa y número de electrones
confinados) de manera controlada en un laboratorio [2].
La estructura del sistema que vamos a estudiar consiste en un punto cuántico
conectado a dos contactos, de los cuales uno será la fuente y el otro será el drenador.
Los contactos consistirán en dos reservorios de electrones entre los cuales aplicaremos una
diferencia de potencial, además de que también podremos variar su temperatura, lo cual
nos permitirá estudiar situaciones de transporte de carga o enerǵıa interesantes.
Muchas de las propiedades que estudiaremos en este trabajo son debidas al efecto
túnel, que permite a los electrones de los reservorios pasar a través de las barreras clásicas
de potencial y entrar o salir del punto cuántico. No obstante, si tenemos una situación
donde el efecto túnel es débil (lo cual se puede lograr colocando barreras de potencial
grandes entre el punto y los contactos) el número de electrones dentro del punto cuántico
queda bien definido y lo denotaremos como N .
6
Figura 1: Estructura de un punto cuántico conectado a los reservorios. Los voltajes VS
y VD se aplican externamente. VG controla el número de electrones o cargas en el punto
cuántico. ΓL,R son las probabilidades de túnel.
1.1. Coulomb Blockade
De forma similar al caso de los átomos, las propiedades del punto cuántico (como
por ejemplo las propiedades de transporte) se ven muy afectadas por la variación del
número de electrones que están confinados en la nanoestructura. Como se ha comentado
previamente este número está bien definido cuando el punto cuántico se encuentra casi
aislado (barreras grandes de potencial que lo separan de los contactos), aunque el hecho
de que el número de electrones este bien definido no implica que no se pueda variar.
Podemos variar el número de electrones dentro del punto cuántico de uno en uno mediante
la aplicación de voltajes externos VS y VD (Fig. 1). Cuando se da esta situación la carga
del punto cuántico puede aumentar o disminuir una cantidad definida q = e (e denota
la carga del electrón), lo cual provoca una reorganización del potencial interno del punto
cuántico debido a las interacciones en el mismo. El resultado es por tanto un cambio de
la enerǵıa potencial electrostática. La transferencia de un electrón al interior del punto
cuántico hace aśı aumentar su potencial electrostático una cantidad EC = e2/C (que
es la llamada enerǵıa de carga) donde C es la capacitancia del punto cuántico. Esta
enerǵıa refleja la repulsión electrónica debido a la interacción Coulombiana. Por tanto
el sistema con un electrón adicional posee una mayor enerǵıa. Consecuentemente, para
añadir un electrón más desde los contactos al punto cuántico será necesario aplicar un
voltaje externo que supla esta enerǵıa de carga EC . Si no se suple esta enerǵıa entonces no
podremos transferir el electrón al punto cuántico y el transporte se verá bloqueado, este
fenómeno es conocido como Coulomb Blockade [3]. Finalmente, para que la transferencia
de carga entre los contactos y el punto cuántico ocurra de manera discreta, en unidades
7
de la unidad de carga eléctrica e, se tienen que cumplir dos condiciones: la primera es que
la variación de enerǵıa EC ha de ser mayor que la enerǵıa térmica (kBT , kB la constante
de Boltzmann y T la temperatura), y la segunda es que las barreras de potencial que
separan al punto cuántico de los contactos han de ser lo suficiente grandes como para que
los electrones estén bien localizados ya sea en el punto cuántico o en los contactos.
Figura 2: Representación gráfica de la corriente eléctrica en función del voltaje de puerta
VG. Se observa el efecto Coulomb Blockade, aqúı podemos ver como no se produce corriente
para determinados valores de VG debido a las interacción Coulombiana (reproducida de
[4]).
El proceso de adición de un electrón al punto cuántico también se puede describir
mediante el potencial qúımico del punto cuántico y el de los contactos. Sean µs = EF +eVS
y µd = EF +eVD los potenciales de los contactos fuente y drenador respectivamente (EF es
la enerǵıade Fermi, VS y VD son los potenciales externos aplicados a los contactos). Adi-
cionalmente, sea µd el potencial qúımico del punto cuántico (el cual depende del número
de electrones N) se define como la diferencia de la enerǵıa de N+1 electrones y la enerǵıa
de N electrones. Aśı µd = εd + U(N + 1) − U(N), siendo εd la enerǵıa discreta del nivel
del punto cuántico y U(N + 1), U(N) la enerǵıa electrostática de N + 1 y N electrones.
Cuando el potencial qúımico del punto cuántico se encuentra en la llamada
ventana de transporte, dada por la diferencia de potencial entre los contactos como eV =
e(VS−VD) = µs−µd, entonces es posible el transporte de electrones al punto cuántico. Aśı,
si el potencial qúımico del punto cuántico está fuera de la ventana de transporte entonces
no se podrá añadir más carga al punto cuántico (véase Fig. 3). Modificando externamente
los potenciales VS y VD es posible transferir cargas al punto cuántico. También modificando
externamente los potenciales U(N) y U(N + 1) con un voltaje de puerta VG aplicado al
punto cuántico, es posible hacer que el potencial qúımico del punto cuántico se sitúe dentro
de la ventana de transporte. Teniendo en cuenta estos argumentos se puede explicar la
Fig. 2 en la que se representa la corriente de electrones en función del voltaje de puerta.
En esta figura se ha representado los sucesivos picos de corriente N → N + 1→ N + 2 · · ·
En nuestra descripción previa hemos considerado el efecto túnel de tal mane-
ra en la que las cargas atraviesan el punto cuántico una a una. Este caso corresponde
8
Figura 3: El diagrama de la izquierda representa el caso en el que µ(N + 1) está dentro de
la ventana de transporte. El diagrama de la derecha representa el caso en el que µ(N + 1)
está fuera de la ventana de transporte (Coulomb Blockade).
a considerar los órdenes más bajos en la teoŕıa perturbativa en el efecto túnel, sin em-
bargo, bajo ciertas condiciones, ordenes más altos en el proceso efecto túnel pueden ser
importantes. Para estos casos, los electrones son capaces de ”tunelear”mediante un es-
tado virtual en situaciones donde considerando ordenes más bajos no seŕıa posible, ya
que, energéticamente no es posible. Supongamos el caso donde los electrones no pueden
”tunelear”directamente de la fuente al drenador, también consideremos que el electrón no
puede pasar de la fuente al punto debido a que tendŕıa un potencial mayor. Dadas estas
condiciones el proceso de corriente explicado previamente no seŕıa posible, no obstante,
si consideramos procesos de orden superior de efecto túnel, un electrón puede pasar de
la fuente al drenador mediante un estado virtual, esto se puede entender de la siguiente
forma: un electrón pasa de la fuente al punto violando el principio de la conservación
de enerǵıa por un breve periodo de tiempo permitido por el principio de incertidumbre
de Heisenberg, si entonces un electrón diferente del punto sale hacia el drenador, en el
mismo breve periodo de tiempo, tenemos como resultado que un electrón ha pasado de
la fuente al drenador. Este proceso es conocido como cotunel inelástico, ya que produce
una excitación en el punto que se disipa con el tiempo, también existe el proceso cotunel
elástico, en el cual el electrón pasa a través del sistema sin dejar excitaciones, el proceso
es similar al caso inelástico, en el cual electrón pasa de la fuente al punto en un tiempo
breve, sin embargo, la diferencia está en que para este caso el electrón que sale del punto
hacia el drenador es el mismo electrón que ha entrado de la fuente al punto.
1.2. Efecto Kondo
Una de las consecuencias del transporte en sistemas en el que intervienen estados
virtuales es el efecto Kondo [5]. Históricamente el efecto Kondo estuvo relacionado con el
comportamiento de la resistividad de un metal con la temperatura. Dicha resistividad está
gobernada por dos factores: las colisiones producida entre los electrones de conducción
9
y los fonones (dependen de la temperatura) y los choques que tienen lugar entre los
electrones de conducción y los defectos de la red cristalina del metal (son independientes
de la temperatura). A temperaturas altas la resistividad está dominada por la interacción
entre los electrones y los fonones, sin embargo, a medida que bajamos la temperatura del
material (por temperaturas por debajo de la temperatura de Debye) las poblaciones de
fonones decrecen y el efecto de la resistividad pasa a estar dominado por las colisiones de
los electrones con los defectos de la red cristalina. Siguiendo este modelo la resistividad
debeŕıa decrecer con el descenso de la temperatura, no obstante, a temperaturas muy
bajas observamos un aumento de la resistividad del material, este fenómeno es conocido
como efecto Kondo, y es debido a la interacción antiferromagnética entre el momento
magnético local de pequeñas concentraciones de impurezas magnéticas (átomos o iones
que tienen un momento magnético distinto de cero) y el mar de electrones de conducción.
El modelo que J. Kondo desarrollo [6] describ́ıa que el descenso de la temperatura
provocaba un aumento de forma logaŕıtmica de los choques producidos entre los electrones
y las impurezas magnéticas, sin embargo, su modelo diverǵıa para temperaturas cercana
a cero. El problema fue resuelto por J. Kondo en 1964 cuyos cálculos mostraron que para
temperaturas por debajo de la temperatura Kondo, TK , la impureza forma un singlete
con el mar de electrones que le rodea y da lugar al mı́nimo de resistividad en metales con
la temperatura.
Cuando un punto cuántico contiene un número impar de electrones, el esṕın total
es S = 1/2 y por tanto podemos considerar que actúa como si fuera un átomo magnético
(analoǵıa a una impureza magnética). Los puntos cuánticos son unas nanoestructuras
interesantes para estudiar el efecto Kondo ya que nos ofrecen múltiples ventajas: Sus
estados están mejor definidos que los de un metal macroscópico, como ya hemos comentado
anteriormente muchos de sus parámetros son fácilmente modificables, podemos centrarnos
en estudiar una sola impureza, en vez de tener que estudiar el comportamiento promedio
de las distintas impurezas distribuidas en el metal y nos permiten estudiar situaciones
fuera del equilibrio.
Otra diferencia que encontramos entre estudiar el efecto Kondo en un metal o
en un punto cuántico, es que para el caso del metal los electrones se anclan o localizan
alrededor de las impurezas, sin embargo, en el estudio del punto cuántico, debido a su
geometŕıa, se fuerza a que los electrones se transporten de un contacto al otro por medio
del efecto Kondo. Este hecho hace que el efecto Kondo aumente la conductancia en vez de
la resistividad, con la disminución de la temperatura. En los puntos cuánticos nos centra-
remos en el estudio de la conductancia lineal que está definida como G0 = ĺımV→0 dI/dV .
En el punto cuántico el efecto Kondo surge cuando un estado degenerado de
esṕın se acopla por efecto túnel a los electrones móviles que se encuentran dentro de
los contactos metálicos. En nuestra descripción teórica para el sistema del punto cuántico
conectado a los contactos utilizaremos el Hamiltoniano de Anderson, el cual comentaremos
en secciones posteriores, sin embargo, en determinadas condiciones podemos simplificar
este Hamiltoniano llegando a una versión llamada el Hamiltoniano Kondo.
De forma análoga a como aparećıa un estado singlete en el metal cuando la
temperatura se acercaba a cero, el estado fundamental que predice el Hamiltoniano Kondo
(para temperaturas menores a TK) consiste en un singlete de esṕın, el cual está conformado
10
por el esṕın de un electrón bien localizado (recordemos que previamente hemos comentado
que los electrones que se encuentran el interior del punto, están bien localizados, mientras
que los electrones que se encuentran los contactos no lo están) con electrónes deslocalizados
dando lugar a un esṕın total nulo.La formación del singlete, tanto para el caso del metal
macroscópico como para el sistema del punto cuántico, da lugar al fenómeno conocido
como nube de apantallamiento Kondo, que consiste en un efecto de muchos cuerpos como
se observa en la Fig. 4.
Figura 4: Esquema de la formación de un singlete para el caso del metal macroscópico.
Múltiples electrones deslocalizados del metal participan en el apantallamiento del esṕın
de la impureza magnética formando un estado de muchos cuerpos singlete que da lugar a
la nube de Kondo (reproducida de [7]).
La formación de la nube de apantallamiento Kondo tiene dos consecuencias dife-
rentes dependiendo del sistema que estemos estudiando, para el caso del metal observamos
un aumento de la resistividad con el descenso de la temperatura, debido a que aparece
un nuevo mecanismo de colisión para los electrones, que reduce su velocidad de desplaza-
miento, y por tanto reduce la corriente, pero para el caso de la nanoestructura tenemos
que se produce un aumento de la conductividad, el motivo de este comportamiento es que
para el estudio del punto cuántico, como ya hemos comentado previamente, hacemos que
los electrones se desplacen a través de la nanoestructura. En el proceso de formación del
singlete Kondo un electrón de esṕın σ en el contacto fuente por efecto túnel atraviesa la
barrera y durante un breve tiempo (h̄/EC) forma un estado virtual con el electrón del
punto cuántico que tiene esṕın contrario σ̄. Finalmente el electrón de esṕın σ̄ tunelea al
contacto drenaje y queda un electrón en el punto cuántico con esṕın σ. Para que el trans-
porte sea desde el contacto fuente al drenaje aplicamos un potencial pequeño entre ambos
contactos para privilegiar este sentido de la corriente. El resultado es el transporte de un
electrón desde la fuente al drenador y el cambio del esṕın del punto cuántico σ̄ → σ. Por
lo tanto observamos como para temperaturas inferiores a TK aparece un nuevo mecanismo
de conducción.
Como hemos visto previamente para que se de el efecto Kondo el punto cuántico
11
ha de tener un número total de electrones impar, podemos controlar el número de elec-
trones dentro del punto cuántico utilizando el efecto de Coulomb Blockade y contando el
número de picos que se han producido. Dos condiciones más que ha de cumplir el punto
cuántico para poder trabajar en el régimen Kondo es que la temperatura sea inferior a
TK y que la enerǵıa del punto cuántico este entre un régimen concreto de enerǵıas que
veremos en las secciones posteriores.
En nuestro estudio nos centraremos en investigar el transporte de carga y enerǵıa
en presencia de singlete Kondo. Abordaremos la dependencia del transporte cuando apli-
camos diversas fuerzas generalizadas como es un gradiente de temperatura entre los con-
tactos o un voltaje eléctrico externo [7]. Exploraremos cual es la respuesta del transporte
cuando aplicamos un campo magnético que rompe la degeneración de esṕın en el punto
cuántico.
A continuación enunciamos cual es el principal efecto de estas tres situaciones
en el efecto Kondo.
·Dependencia con la temperatura:
En general si consideramos una temperatura finita con un punto cuántico que
tenga un número de electrones impar, se espera que la conductancia disminuya a medida
que aumentemos ésta, debido a la supresión del efecto Kondo. En el caso en el que no
exista efecto Kondo como es la situación en el que el número de electrones sea par, la
conductancia aumenta con la temperatura ya que ésta produce un ensanchamiento del
nivel de enerǵıa del punto cuántico. En nuestro estudio investigaremos que ocurre cuando
aplicamos una temperatura diferente a cada contacto siendo uno de ellos un contacto fŕıo
y el otro caliente en relación a una temperatura común.
·Dependencia con el voltaje entre los contactos:
Como hemos explicado previamente es necesario un pequeño voltaje para que
fluya corriente de un contacto de mayor potencial al de menor potencial a través de
la resonancia Kondo [8]. Cuando aplicamos un voltaje mayor (eV � kBTK) al punto
cuántico, provocamos que los contactos tengan potenciales electroqúımicos diferentes,
y la función espectral Kondo muestra la aparición de dos picos de resonancia cada uno
centrado en estos potenciales qúımicos (Fig. 5). Si aumentamos el voltaje estas resonancias
decaerán debido a la decoherencia asociada a que nos alejamos del nivel de Fermi en cada
contacto, por una cantidad dada por el voltaje aplicado y por tanto disminuyendo la
conductancia de la nanoestructura.
·Dependencia con el Campo magnético:
El campo magnético rompe la degeneración de esṕın. La asimetŕıa que se genera
entre los dos estados de esṕın destruye el efecto Kondo, provocando que un aumento del
campo magnético disminuya la conductancia [9]. Tiene un efecto similar al del voltaje.
Inicialmente con un punto cuántico degenerado en esṕın la densidad espectral muestra un
solo pico de anchura TK y centrado en ω ≈ EF . Sin embargo, cuando ∆Z ≈ TK la enerǵıa
Zeeman µBgB (µB momento magnético de Bohr, g factor giromagnético y B campo
magnético aplicado) el nivel del punto cuántico rompe su degeneración y la diferencia de
enerǵıas entre procesos que apantallan el esṕın del punto cuántico con esṕın ↑ y los que
12
Figura 5: Diagrama de las resonancias Kondo centradas en los potenciales qúımicos de
sus respectivos contactos (reproducida de [7]).
apantallan el esṕın ↓ difieren en la enerǵıa Zeeman rompiendo aśı el singlete Kondo.
1.3. Transporte
Una vez que hemos descrito el tipo de sistemas que nos interesa y los diferentes
reǵımenes de transporte pasamos a describir más detalladamente cuales son las cantidades
que nos interesa estudiar en este trabajo. En general estudiaremos el flujo cargas y tam-
bién el de enerǵıa cuando aplicamos una diferencia de potencial o de temperatura entre los
contactos. En el caso en el que tengamos una corriente eléctrica generada por un gradiente
de temperatura entre los contactos o bien una corriente de calor o de enerǵıa generada
por un voltaje externo eléctrico tenemos transporte termoélectrico. La termoelectricidad
está definida mayoritariamente por dos efectos: Seebeck y Peltier [10]. El efecto Seebeck
consiste en el flujo de corriente eléctrica que aparece en respuesta al gradiente de tempe-
ratura que aplicamos sobre la nanoestructura, mientras que el efecto Peltier reside en el
flujo de enerǵıa que se genera como consecuencia de la diferencia de voltaje que aplicamos
entre los dos contactos. Ambos efectos nacen de que las cargas transportan tanto carga
como enerǵıa, por este motivo observamos como un gradiente de temperatura produce
un flujo de calor, de la zona más caliente a la más fŕıa produciendo a su vez un flujo de
carga. De forma análoga podemos observar como aplicando una diferencia de voltaje se
produce un flujo de cargas del voltaje más alto al voltaje más bajo dando lugar también
a un flujo de enerǵıa.
Por lo tanto, vemos que la corriente de carga se generará a partir de aplicar una
diferencia de voltaje entre la fuente y el drenador, lo cual genera un movimiento de cargas
de un contacto al otro, y por la diferencia de temperatura entre los contactos, lo cual es
13
consecuencia del efecto termoeléctrico Seebeck comentado previamente. De la corriente de
carga también es importante destacar que la carga que sale de la fuente es la misma carga
que entra en el drenador, lo que implica que la carga se conserva durante el transporte.
De forma similar la corriente de calor estará generada por la diferencia de tempe-
ratura aplicada entre los contactos, lo cual nos genera un flujo de enerǵıa del contacto más
caliente al contacto más fŕıo, hasta que la temperatura de ambos contactos se iguale, y por
la contribución generada por el efecto electrotérmico de Peltier. Es importante diferenciar
que el flujo de enerǵıa no esta generado por la disipación del efecto Joule. Cuando tenemos
en cuentael calor disipado junto al flujo de enerǵıa entonces ya no estamos hablando de
corrientes de enerǵıa, sino de corrientes de calor. Como consecuencia de la conservación
de enerǵıa, la corriente de calor total es igual al calor producido por efecto Joule.
14
2. Modelo
2.1. Hamiltoniano de Anderson
Retomando la explicación que empezamos en el apartado 1.2 del efecto Kondo,
en este apartado explicaremos el modelo de Anderson, el cual es uno de los más relevantes
para describir los puntos cuánticos actualmente. El modelo de Anderson fue presentado
en 1961 para describir la interacción de los electrones de la banda de conducción de un
metal con los estados electrónicos de las impurezas magnéticas [11]. En 1988 a partir de los
trabajos de Glazman y Râıkh [12] y Ng y Lee [13], se descubrió que los puntos cuánticos
conectados a dos reservorios estaban bien descritos por el Hamiltoniano de Anderson, al
poder actuar como impurezas magnéticas bajo determinadas situaciones.
Lo primero que debemos destacar del Hamiltoniano de Anderson, es que se com-
pone de tres contribuciones diferentes: la contribución del punto cuántico Hqd, la con-
tribución de los dos contactos (reservorios) conectados con el punto cuántico Hleads y
la contribución de la interacción del punto con los dos reservorios Hhp, de modo que el
Hamiltoniano de Anderson resultaŕıa de la siguiente forma:
H = Hqd +Hleads +Hhp. (1)
Pasamos ahora analizar las contribuciones por separado, empezando por el ter-
mino que describe los contactos, el cual vendŕıa dado por la expresión:
Hα
leads =
∑
kσ
εαkc
†
αkσcαkσ. (2)
Donde cαkσ (c†αkσ) corresponde al operador destrucción (creación) de un electrón
dentro del contacto α (que puede corresponder al contacto izquierdo (L) o derecho (R)),
con un valor k (donde k representa el número de onda del electrón), con esṕın σ (que
denota si se trata de un esṕın “up” or “down”) y enerǵıa εαk. Para esta contribución es
importante remarcar que no estamos teniendo en cuenta las interacciones Coulombianas
para los electrones dentro de los contactos, y por tanto actúan como electrones libres
dentro de ellos. Esta aproximación es buena para metales con buen apantallamiento.
El termino que describe la contribución del punto esta descrito por la expresión:
Hqd =
∑
σ
ε0σd
†
σdσ + Ud†↑d↑d
†
↓d↓. (3)
Para este termino d†σ(dσ) representa el operador de creación(destrucción) de un
electrón dentro del punto con esṕın σ que ya hemos comentado que puede representar
los estados up y down. La variable ε0σ representa el nivel de enerǵıa del punto cuántico,
aqúı es importante aclarar que el Hamiltoniano de Anderson describe el punto cuántico
como si tan solo tuviera un único nivel cuántico (correspondiente al último nivel), esta
15
representación es válida aunque no sea el caso real del sistema, ya que podemos considerar
que el resto de los niveles por debajo de este están ocupados y por tanto no contribuyen al
transporte de corriente. El último término que nos queda por comentar es la interacción
U , la cual describe las interacciones entre los electrones dentro del punto cuántico.
Y por último analizamos la contribución dada por la conexión entre contactos y
el punto:
Hhp =
∑
αkσ
(Vαkc
†
αkσdσ + V ∗αkd
†
σcαkσ). (4)
Para esta expresión tenemos que Vαk representa los elementos de matriz que
parametriza el intercambio de electrones entre los contactos y el punto.
Como se comentó en secciones anteriores, en determinadas condiciones este Ha-
miltoniano se encuentra en el régimen en el cual podemos apreciar el efecto Kondo
en nuestra nanoestructura. Nuestro sistema se encontrará en el régimen Kondo cuan-
do se cumpla el caso de que T < TK (donde TK es la temperatura Kondo) y que
EF − U + Γ ≤ ε0σ ≤ EF − Γ (donde EF representa la enerǵıa de Fermi).
2.2. Representación Bosones Esclavos
El Hamiltoniano de Anderson describe tanto las fluctuaciones de esṕın como
las fluctuaciones de carga que suceden en el punto cuántico. Para el estudio del efecto
Kondo realizado en este trabajo nos interesa descartar las fluctuaciones de carga, para
ello realizaremos una aproximación en el Hamiltoniano, conocida como la aproximación
de campo medio en la representación de bosones esclavos.
En el caso Vαk = 0, los estados localizados posibles del punto cuántico seŕıan:
|0, 0〉 estado en el cual no hay ningún electron, |1, ↑〉 estado ocupado con un electrón con
esṕın en estado up, |1, ↓〉 estado ocupado con un electrón con esṕın en estado down, y
|2, ↑↓〉 estado doblemente ocupado con cada electrón en un estado de esṕın. Entonces
vemos que podemos escribir los operadores de creación y destrucción de electrones con
estado esṕın definido dentro del punto a partir de estos estados.
Operadores creación:
d†↑ = |1, ↑〉 〈0, 0| + |2, ↑↓〉 〈1, ↓| , d†↓ = |1, ↓〉 〈0, 0| + |2, ↑↓〉 〈1, ↑| (5)
Operadores destrucción:
d↑ = |0, 0〉 〈1, ↑| + |1, ↓〉 , 〈2, ↑↓| d↓ = |0, 0〉 〈1, ↓| + |1, ↑〉 〈2, ↑↓| (6)
En el ĺımite donde suponemos que el termino de interacción U es muy grande,
tenemos una situación donde dos electrones no pueden ocupar el mismo estado cuántico,
por este motivo solo consideramos los estados: |0, 0〉, |1, ↑〉 y |1, ↓〉. De modo que para este
ĺımite el Hamiltoniano de Anderson quedaŕıa de la siguiente forma:
16
H =
∑
αkσ
εαkc
†
αkσcαkσ + E0 |0, 0〉 〈0, 0| +
∑
σ
E1,σ |1, σ〉 〈1, σ|
+
∑
αkσ
(Vαkc
†
αkσ |0, 0〉 〈1, σ|+ V ∗αk |1, σ〉 〈0, 0|
† cαkσ) (7)
Para la cual E0 representa la enerǵıa del punto cuando este está desocupado, y
E1σ representa la enerǵıa del punto cuando está ocupado por un electrón con esṕın σ.
El siguiente paso es cambiar a la aproximación de bosones esclavos: dσ = b†fσ,
d†σ = f †σb, donde el operador bosónico b (b†) destruye (crea) un estado vaćıo en el pun-
to cuántico, mientras que operador pseudofermiónico fσ (f †σ) destruye (crea) un estado
ocupado por un electrón con esṕın σ dentro del punto cuántico. Es importante destacar
que los operadores pseudofermiónicos y bosónicos siguen las reglas de anti-conmutación
y conmutación tal que [b, b†] = 1 y {fσ, f †σ′} = δσσ′.
Por último, para que se cumpla la situación que hemos propuesto al principio en
la cual consideramos que U → ∞, es necesario añadir una restricción al Hamiltoniano,
mediante el uso del multiplicador de Lagrange (λ) de modo que dos electrones no puedan
ocupar el mismo estado.
λ(b†b+ f †σfσ − 1). (8)
Y por tanto nuestro Hamiltoniano queda de la siguiente forma:
HSB =
∑
αkσ
εαkc
†
αkσcαkσ + +
∑
σ
ε0σf
†
σfσ
+
∑
αkσ
(Vαkc
†
αkσfσb
† + V ∗αkf
†
σcαkσb) + λ(b†b+ f †σfσ − 1). (9)
La siguiente aproximación que realizamos en nuestro Hamiltoniano consiste en
la aproximación de campo medio, la cual consiste en que en vez de tener en cuenta
las interacciones de todas las part́ıculas al mismo tiempo, consideramos que todas las
interacciones que sufren las part́ıculas como una interacción promedio como si fuera el
efecto de un campo externo. Para ello sustituimos los valores de los operadores bosónicos
b†, b por b†/
√
N = 〈b†〉
√
N = b̃∗, b/
√
N = 〈b〉
√
N = b̃ y redefinimos nuestro potencial
tal que Ṽαk = b̃V̄αk , donde N es la degeneración de momento angular total. Por tanto,
podemos reescribir nuestro Hamiltoniano de la siguiente forma:
HSB =
∑
αkσ
εαkc
†
αkσcαkσ + +
∑
σ
ε0σf
†
σfσ
+
∑
αkσ
(Ṽα,kc
†
αkσfσb
† + Ṽ ∗αkf
†
σcαkσb) + λ(N‖b‖2 + f †σfσ − I). (10)
17
Una vez que hemos trabajado el Hamiltoniano de Anderson construimos un sis-
tema de ecuaciones con la finalidad de poder encontrar los valores de nuestros parámetros
renormalizados ε̃0σ = ε0σ + λ y b̃.
La primera ecuación que compondrá nuestro sistema de ecuaciones la obtenemos
a partir de la ecuación del movimiento del operador bosónico:
ib†(t)
∂b(t)
∂t
=
i
h̄
[b,H]b†. (11)
Desarrollando el conmutador:
ib†(t)
∂b(t)
∂t
=
1√
N
∑
α,k
V̄αkb(t)
†c(t)†αkσf(t)σ + λb(t)†b(t). (12)
Trabajando en el caso estacionario:
0 =
1
N
(
∑
α,k
Ṽα,k 〈c(t)†αkσf(t)σ〉) + λ‖b‖2.(13)
La segunda ecuación la obtenemos a partir de la ligadura definida previamente:
1
N
= ‖b‖2 +
1
N
(
∑
σ
〈f(t)†σf(t)σ〉). (14)
Podemos reescribir nuestro sistema de ecuaciones en función de funciones de
Green, mediante el uso de las siguientes definiciones:
G<
f,σ(t− t′) = −i 〈f †σ(t′)fσ(t)〉 , G<
f,αkσ(t− t′) = i 〈c†αk,σ(t′)fσ(t)〉 . (15)
Estas son las funciones de Green ”lesser”definidas dentro del formalismo de
Keldysh [14]. Primero buscamos su valor mediante el uso de la ecuación de movimiento
de funciones de Green de no equilibrio:
−i∂Gf,αkσ(t− t′)
∂t′
= εαkGf,αkσ(t− t′) + ṼαkGfσ(t− t′). (16)
Expresando la Ec. (16) como una integral:
Gf,αkσ(t− t′) =
∫
CK
dτGfσ(t− τ)Ṽαkgαk(τ − t′). (17)
18
Ahora podemos aplicar el formalismo de Keldysh junto con las reglas de Lagrenth
[14]. Finalmente encontramos una expresión para calcular el valor de la función de Green
”lesser”:
G<
f,αkσ(t− t′) = Ṽαk
∫ ∞
−∞
dτ [Gr
fσ(t− τ)g<αk(τ − t′) +G<
fσ(t− τ)gaαk(τ − t′)]. (18)
Donde g<,aαk es la función de green no perturbada para el contacto α, y el sub́ındice
f de la función de Green nos indica que se trata de la función de Green mixta, entre un
pseudofermión y un fermión en el contacto α. Aplicando las definiciones de la funciones
de Green en las Ecs. (13) y (14), y pasando las ecuaciones al espacio de Fourier llegamos
a nuestro sistema de ecuaciones:
Γ̃α
Γ
− i 1
N
∑
σ
∫
dε
2π
G<
fσ(ε) =
1
N
. (19)
1
N
∑
σ
Γ̃α
Γ
(ε̃0σ − ε0σ) = −i 1
N
∑
σ
∫
dε
2π
G<
fσ(ε)(ε− ε̃0σ). (20)
Para estas ecuaciones hemos introducido las definiciones: Γ̃α = ‖b̃‖2Γα y Γα(ε) =
π
∑
αk ‖Ṽαk‖2δ(ε− εαk), que representan los ritmos de túnel.
Para resolver las integrales de nuestro sistema de ecuaciones, utilizamos la si-
guiente definición de la función de Green [15]:
G<
fσ(ε) = 2i
Γ̃LfL(ε) + Γ̃RfR(ε)
(ε− ε̃0σ)2 + (Γ̃L + Γ̃R)2
. (21)
Donde fα(ε) es la función de Fermi:
f(z) =
1
2
[1 +
i
π
Ψ(
1
2
+ iβα
z − µα
2π
)− i
π
Ψ(
1
2
− iβα
z − µα
2π
)]. (22)
Con Ψ siendo la función Digamma [16], βα = 1/(kBTα) y µα la temperatura y
el potencial qúımico del contacto α respectivamente. Sustituyendo la Ec. (21) en las Ecs
(19) y (20), podemos resolver las integrales mediante el uso del Teorema de los Residuos
[17], para el cual definimos los contornos de las integrales de modo que evitemos los polos
de la función Digamma. Resolviendo las integrales llegamos a las siguientes expresiones:
∑
ασ
Γα
π
Im[ψ[
1
2
+
ε0σ
iΓ̃
2
− µα
2πkBTα
]] = −2Γ̃. (23)
19
∑
ασ
Γα
π
[ln[
2πkBTα
D
] +Re[ψ[
1
2
+
ε0σ
iΓ̃
2
− µα
2πkBTα
]]] =
∑
σ
(ε0σ − ε̃0σ)
2N
π
(24)
Donde Γ̃ =
∑
α Γ̃α. En este trabajo hemos resuelto este sistema de ecuaciones
mediante el uso de un método numérico implementado en Python, el procedimiento con-
siste en la definición de ambas ecuaciones en dicho lenguaje y su resolución mediante el
modulo fsolve de la libreŕıa numpy.
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones podemos centrarnos finalmente en el
cálculo de nuestras corrientes de transporte. Las expresiones de las cuales partimos para
poder calcularlas son:
Îασ = −∂nασ
∂t
, Q̂α = −∂H
α
leads,
∂t
− µα
e
Îα. (25)
Para las cuales hemos definido:
nασ =
∑
k
c†αkσcαkσ. (26)
Hα
leads =
∑
kσ
εαkc
†
αkσcαkσ. (27)
Donde Iασ representa la corriente de carga medida en el contacto α con esṕın
σ, y Qα es la corriente de calor medida en el contacto α. Vemos que la corriente de calor
esta conformada por dos términos uno dado por el flujo de enerǵıa generado entre los dos
contactos y otro por el calor disipado por el efecto Joule.
Empezamos aplicando la ecuación de Heisenberg a la corriente de carga de la
Eq. (25), y al primer termino de la corriente de calor de la Eq. (25) de modo que nuestras
corrientes 〈Îασ〉 = Iασ, 〈Q̂Eα〉 = QEα quedaŕıan de la siguiente forma:
Iασ =
∑
k
−ie
h̄
[V ∗αk 〈d†σcαkσ〉 − Vαk 〈dσc
†
αkσ〉]. (28)
QE,α = − i
h̄
∑
k,σ
εαk[Vαk 〈d†σcαkσ〉 − V ∗αk 〈dσc
†
αkσ〉]. (29)
Sustituyendo los valores esperados de las Ecs. (28) y 30 por funciones las fun-
ciones de Green:
G<
f,αkσ(ω) = 〈d†σcαkσ〉 , G<
αkσ,f (ω) = 〈dσc†αkσ〉 . (30)
20
Y pasando al espacio de Fourier llegamos a:
Iασ =
e
2πh̄
∑
k
∫
dω[V ∗kσG
<
f,αkσ(ω)− VkσG<
αkσ,f (ω)]. (31)
QE,k = − i
h̄
∑
kσ
∫
εkσ[VkσG
<
f,αkσ(ω)− V ∗kσG<
αkσ,f (ω)] (32)
Utilizamos ahora la Ec. (18) en el espacio de Fourier:
G<
αkσ,f (w) = Vα,k,σ[grαkσ(ω)G<
σ,f (ω) + g<αkσ(ω)Ga
σ,f (ω)] (33)
Sustituyendo la Ec. (33) en las Ecs. (31) y (32), siendo g<αkσ(ω) = 2iπf(εαkσ)δ(ω−
εαkσ) y grαkσ(ω) = −iπδ(ω − εαkσ), las cuales son las funciones de Green de los contac-
tos sin acoplar al punto cuántico (”lesser” y retardada respectivamente), llegamos a las
expresiones:
Iασ =
e
h̄
∑
β
∫
dω[fα(ω)− fβ(ω)]Tασ,β,σ(ω). (34)
QE,α −
µα
e
Iα = Qα =
1
h̄
∑
βσ
∫
dω[fα(ω)− fβ(ω)](ω − µα)Tασ,β,σ(ω). (35)
Donde se define la transmisión como:
Tασ,β,σ(ω) = Tr[Gr
σ,fΓβG
a
σ,fΓα]. (36)
Además la corriente de carga se obtiene como:
Iα =
∑
σ
Iασ. (37)
Para el calculo de la conductancia de la corriente eléctrica hemos hecho uso de
la definición:
G =
dI
dV
, I ≡ IL = −IR. (38)
La cual hemos calculado de forma numérica, mediante el uso de la expresión de
diferencias centrales, haciendo uso de los valores calculados con la Ec. (34).
21
3. Resultados:
En esta sección se tratarán los datos obtenidos a partir de las resoluciones de
forma numérica de las expresiones presentadas en la sección anterior. Concretamente nos
centraremos en ver el comportamiento de determinadas magnitudes f́ısicas: la temperatura
Kondo (TK), las corrientes de carga y calor y la conductancia eléctrica. Nuestro sistema
esta definido por una configuración de parámetros (ε0,Γα, µα, βα) que establecen nuestras
condiciones para resolver las ecuaciones numéricamente, obteniendo como resultado los
valores de campo medio ||b||2 y λ los cuales sirven para renormalizar el ritmo túnel (Γα)
y la posición del nivel del punto cuántico tal que: Γ̃α = Γα||b̃||2 y ε̃0σ = ε0σ + λ.
3.1. Parámetros renormalizados:
A partir de los parámetros renormalizados podemos definir la temperatura Kon-
do del sistema de la siguiente forma:
∑
α Γ̃α = Γ̃ = TK . Esta magnitud TK no representa
la temperatura Kondo que nos hemos referido hasta ahora (la cual consiste en la tempe-
ratura Kondo en situación de equilibrio y que de ahora en adelante denotaremos como
TK0), sino a la temperatura Kondo en situaciones fuera del equilibrio (en nuestro caso
cuando aplicamos a la nanoestructura variaciones de la temperatura o un campo magnéti-
co externo). Además, TK representa la anchura de la resonancia Kondo (el pico Kondo)
o la enerǵıa de ligadura del estado singlete Kondo si la definimos como kBTK , mientras
que ε̃0σ representa la posición de la resonancia (generalmente ε̃0σ ≈ 0). Nuestro objetivo
es conocer el efecto que tiene la temperatura, el voltaje y el campo magnético en el efecto
Kondo, cuanto menor sea el valor de TK , más débil será el singlete Kondo.
El primer caso que estudiamos es el efecto de la temperatura en la anchura del
pico Kondo (TK):
Figura 6: TK/TK0 en función de la temperatura TL = TR = T/TK0 en equilibrio. Resto de
parámetros: ε0 = −3.5Γ, D = 100, TK0 = 0.0016Γ, ΓL = ΓR = Γ/2.
22
Como podemos ver en las Fig. 6 y 7 presentamos dos casos distintos, en la Fig.
6, los dos contactos se encuentran a la misma temperatura, la cual vamos incrementado,
mientras que para la Fig. 7 aplicamos un gradiente de temperatura causado por una
diferencia de esta magnitud entre los dos contactos, diferencia que aumentamos. Para el
caso de la Fig. 6, vemos como la anchura de la resonancia Kondo decrece a medida que
vamos aumentando la temperatura, esto es debido a que el efecto Kondo solo se puede
dar a temperaturas bajas, por lo tanto aumentando la temperatura salimos del régimen
en el cual es accesible este estado.
Figura 7: Dependencia de TK con un gradiente de temperaturas TR = T0 = 0.01TK0 y
TL = T0 = 0.01TK0 + θ. En este caso un contacto está frio y el otrose va calentando
a medida que θ aumenta. Resto de parámetros: ε0 = −3.5Γ, D = 100, TK0 = 0.0016Γ,
ΓL = ΓR = Γ/2.
En el caso presentado en la Fig. 7, vemos que el comportamiento de TK consiste
en una disminución con el aumento de θ, a diferencia del caso anterior la cáıda de esta
función es más suave en comparación con la Fig. 6. Un detalle importante a destacar en
este caso es que vemos que el valor de TK no se anula aunque θ aumente, esto es debido
a que estamos manteniendo uno de los contactos siempre a una temperatura muy baja
para que se de lugar al gradiente de temperatura, esto permite que en el contacto más
“fŕıo” no desaparezca la resonancia del efecto Kondo.
Comentamos a continuación el efecto de aplicar un campo magnético externo en
la anchura de la resonancia Kondo:
Al aplicar un campo magnético, generaramos un desplazamiento en el nivel del
punto cuántico, este desplazamiento en la enerǵıa hará que la enerǵıa del punto cuántico
sea mayor, cuando el esṕın del electrón que ocupa el punto cuántico este orientado en la
dirección del campo (ε̃0↑ = ε̃0 + ∆Z/2), y menor cuando se de el caso contrario (ε̃0↓ =
ε̃0−∆Z/2). Este desdoblamiento generado por el aumento o disminución de la enerǵıa del
punto cuántico debido al efecto Zeeman, hace que sea energéticamente más desfavorable
23
formar el estado singlete, lo que debilita el efecto Kondo, provocando que TK disminuya
con el aumento de ∆Z Fig. 8.
Figura 8: Dependencia de la anchura Kondo con el campo magnético externo B produ-
ciendo una enerǵıa Zeeman ∆Z = gµBB en este caso la temperatura de los contactos es la
misma TL = TR = 0.01TK0 . Resto de parámetros: ε0 = −3.5Γ, D = 100, TK0 = 0.0016Γ,
ΓL = ΓR = Γ/2.
En la Fig. 9 podemos apreciar como al aplicar θ entre los dos contactos se
produce una reducción global de TK , que es más significativa cuanto mayor es el valor de
θ. Además, observamos como también provoca que TK se anule para valores inferiores del
campo magnético.
24
Figura 9: Dependencia de la anchura Kondo con el campo magnético externo B produ-
ciendo una enerǵıa Zeeman ∆Z = gµBB en el caso de que apliquemos un gradiente de
temperatura (θ) TR = T0 = 0.01TK0 y TL = T0 = 0.01TK0 + θ. Resto de parámetros:
ε0 = −3.5Γ, D = 100, TK0 = 0.0016Γ, ΓL = ΓR = Γ/2.
3.2. Densidad de estados:
La densidad de estados para el sistema que estamos tratando viene dada por la
siguiente expresión:
ρ(ω) =
−1
π
=Gr
d =
1
π
1
ω − ε̃dσ + iΓ̃
(39)
Para poder calcularla primero es necesario resolver el sistema de Ecs. (21) y (22)
para poder obtener los parámetros renormalizados (ε̃dσ, Γ̃). En este subapartado veremos el
comportamiento de ρ(ω) cuando aplicamos a nuestro sistema un gradiente de temperatura
o un campo magnético externo (efecto Zeeman). El primer caso se ha representado en la
Fig. 10:
Como se puede apreciar en la Fig. 10 cuando no aplicamos un gradiente de
temperatura la densidad de estados consiste en un pico centrado en el nivel de Fermi
ω = 0, con una anchura Γ̃ = TK0 . A medida que aumentamos θ, apreciamos como la
anchura del pico (TK) sufre una reducción. Es importante destacar que nuestro pico se
mantiene siempre a la misma altura debido a que en nuestra aproximación no hemos
considerado la decoherencia del estado singlete la cual produciŕıa que la altura del pico
también se redujese.
El siguiente caso que comentamos es el de la densidad de estados al aplicar un
campo magnético:
25
Figura 10: Densidad de estados del punto cuántico para diferentes valores del gradiente
térmico entre los dos contactos TL = T0 = 0.01TK0 + θ y TR = T0 = 0.01TK0 . Resto de
parámetros: ε0 = −3.5Γ, D = 100, TK0 = 0.0016Γ, ΓL = ΓR = Γ/2.
Figura 11: Densidad de estados del punto cuántico para diferentes valores de la enerǵıa
Zeeman entre los dos contactos ∆Z. Resto de parámetros: ε0 = −3.5Γ, D = 100, TL =
TR = 0.01TK0 , TK0 = 0.0016Γ, ΓL = ΓR = Γ/2.
Como podemos observar en la Fig. 11, el efecto del campo magnético resulta en
una reducción de la altura y la anchura del pico, debido a que debilita el efecto Kondo, sin
embargo, la caracteŕıstica más importante observada en la gráfica consiste en como cuando
el campo magnético es suficientemente grande (∆Z = TK0) para romper la degeneración
de esṕın de los electrones dentro del punto cuántico, se rompe también el singlete que
se conforma en el estado Kondo, dando lugar a que el pico de la densidad de estados se
26
desdoble en dos resonancias centradas en las frecuencias ω ≈ ±Γ̃/2 ≈ ±TK/2.
3.3. Corrientes:
En este apartado estudiamos las variaciones que sufren las corrientes en frente
de la variación de ciertos parámetros. Las corrientes que comentaremos son: la corriente
de carga y la corriente de calor.
El primer tipo de corriente en el cual nos centramos es la corriente de carga,
la cual esta producida por el desplazamiento de las cargas en nuestro sistema. Los casos
para los cuales hemos evaluado esta corriente son: en función de las diferencias de enerǵıas
generadas por el efecto Zeeman (aplicación de un campo magnético externo), en función
de un gradiente de temperatura al cual hemos sometido el punto cuántico y en función
de la diferencia de voltaje entre los contactos.
Figura 12: Caracteŕıstica I-V para diferentes campos magnéticos. Resto de parámetros:
ε0 = −3.5Γ, D = 100, TK0 = 0.0016Γ, ΓL = ΓR = Γ/2.
La tendencia observada en la Fig. 12 es clara, la corriente aumenta con el voltaje y
luego sufre una cáıda abrupta, debido a que TK ∼ 0. Como apreciamos esto ocurre entorno
a un valor de eV/TK0 = 2. Para poder representar la corriente de carga para valores
superiores de voltaje, seŕıa necesario incluir las fluctuaciones del bosón, las cuales no
hemos incluido en nuestra aproximación de campo medio. El efecto del campo magnético
en la corriente es claro, produce una reducción global a medida que es más intenso.
A continuación representamos la conductancia no lineal (G(V ) = dI
dV
). Lo intere-
sante de esta magnitud es el hecho de que nos permite observar de forma experimental la
densidad de estados, ya que sigue la relación G(V ) ∝ 2e2
h
ρ(V ).
En la Fig. 13 podemos apreciar como las curvas presentan una forma similar a
27
Figura 13: Conductancia no lineal para diferentes campos magnéticos. Resto de paráme-
tros: ε0 = −3.5Γ, D = 100, TK0 = 0.0016Γ, ΓL = ΓR = Γ/2.
las que obtuvimos para la densidad de estados. La tendencia que sigue la conductancia al
aumentar el campo magnético es clara, la altura del pico se reduce igual que también lo
hace su anchura. Además podemos observar como también se produce el desdoblamiento
del pico en dos resonancias distintas.
En la Fig. 14, apreciamos el comportamiento de la corriente termoeléctrica, la
cual consiste en la corriente de carga producida por el gradiente de temperatura entre los
contactos. Para el caso en el cual el campo magnético aplicado es pequeño observamos
como la corriente carga no se llega a hacerse cero, esto es debido a que al mantener
uno de los contactos fŕıo, permitimos que uno de los dos contactos siga estando en el
régimen Kondo. Al aplicar un campo magnético vemos como la corriente termoeléctrica
sufre una reducción global de su valor, haciendo que para valores altos del gradiente de
temperatura esta se anule, (ya que el efecto del campo magnético rompe el estado Kondo
que se produćıa en el contacto que manteńıamos fŕıo). Sin embargo, el fenómeno más
importante que observamos en la Fig. 14, es como la corriente termoeléctrica se anula,
este fenómeno se conoce como ceros no triviales de la termocorriente y han sido observados
en en puntos cuánticos en el régimen de bloqueo de Coulomb [18] y que han sido predichos
teóricamente en dobles puntos cuánticos en el régimen Kondo. El hecho de que aparezcan
ceros no triviales representa que el transporte de cargas pasa de ser un transporte de
electrones de izquierda a derecha a ser un transporte de huecos de derecha izquierda, lo
cual es posible gracias al desdoblamientoZeeman de la densidad de estados. Es importante
mencionar también el caso para (θ = 1.5TK0) en el cual la corriente no llega a tener valores
positivos, teóricamente para este caso la corriente debeŕıa anularse para algún valor de θ,
sin embargo, esto no se observa en la gráfica debido a que igual que para el caso anterior
no hemos tenido en cuenta las fluctuaciones del bosón y por tanto TK ∼ 0.
28
Figura 14: Termocorriente I(θ) para diferentes campos magnéticos. Resto de parámetros:
ε0 = −3.5Γ, D = 100, TL = 0.01TK0 + θ, TR = 0.01TK0 , TK0 = 0.0016Γ, ΓL = ΓR = Γ/2.
Figura 15: Corriente de carga en función de la enerǵıa Zeeman entre los dos contactos
∆Z. Resto de parámetros: ε0 = −3.5Γ, D = 100, TK0 = 0.0016Γ, ΓL = ΓR = Γ/2.
En la Fig. 15 evaluamos diferentes corrientes de cargas cada una sometida a un
gradiente de temperatura distinto (θ). Esta gráfica complementa el resultado observado
en la Fig. 12, ya que nos permite conocer para distintos valores θ, cual es el valor ∆Z
necesario para poder apreciar ceros no triviales.
Para finalizar este apartado representaremos la variación del flujo de calor en
función del gradiente de temperatura.
29
Figura 16: Corriente de calor en el contacto izquierdo QL en función del gradiente térmico.
Resto de parámetros: ε0 = −3.5Γ, D = 100, TL = 0.01TK0 + θ, TR = 0.01TK0 , TK0 =
0.0016Γ, ΓL = ΓR = Γ/2.
En la Fig. 16 vemos como para valores del gradiente de temperatura compren-
didos entre 0 y TK0 se produce un pico que luego que decae suavemente a medida que el
gradiente θ aumenta. Para los valores que se produce el pico, el sistema debe encontrarse
en el régimen Kondo, estando el sistema en una configuración favorable para que se de
el transporte de calor, y a medida que aumenta la temperatura el efecto Kondo se va
debilitando hasta que el flujo de calor se anula. En la gráfica también podemos compro-
bar como el efecto de aplicar un campo magnético externo produce una reducción en la
corriente de calor, ya que también contribuye a debilitar el efecto Kondo.
30
4. Conclusiones
En este trabajo hemos estudiado el comportamiento de las caracteŕısticas de
transporte para el sistema conformado por un punto cuántico acoplado a contactos electróni-
cos, centrándonos particularmente en el régimen Kondo. Para poder describir el punto
cuántico hemos hecho uso de la aproximación de bosones esclavos y el Hamiltoniano de
Anderson, y hemos obtenido los parámetros renormalizados que caracterizan nuestro sis-
tema resolviendo las ecuaciones de campo medio de forma numérica. A partir de dichas
variables hemos podido calcular la densidad de estado, a ráız de la cual hemos podido
observar como debido al efecto Zeeman se produce un desdoblamiento del pico Kondo al
aplicar un campo externo de una cierta magnitud. Este fenómeno es el que da lugar al
resultado más importante del trabajo y el cual observamos al representar la corriente de
carga en función del gradiente de temperatura, la aparición de ceros no triviales. Además
de estos resultados también hemos representado la corriente de calor, la conductancia
eléctrica y la corriente de carga para diferentes casos, que nos han permitido comprobar
como los efectos de un aumento de la temperatura y la aplicación de un campo magnético
al sistema debilitan el efecto Kondo.
31
Referencias
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