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ANALES DE LA FACULTAD NACIONAL DE MINAS
No.61
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TUBER lAS YCANAL'ES
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Profesor Asociado
Ans~ Fac: Nal. Mi~as, Medellrn (Colombia), No. 61, 1985. ISSN ()120-2561
"Anales de la Facultad Nacional de Minas" es una publicacion no peri6dica destinada prj.
mordialmente a difundir la produccion cientifica y tecnica de los docentes de la Facultad
Nacional de Minasde la Universidad Nacional de Colombia, Seccional Medellin.
ISSN 0120·2561
Direccion: Facultad Nacional de Minas
Apartado Aereo 1027
Medellin, Colombia
Flujo en Tuberfas y Canales
Octubre 1985
©1985, Facultad Nacional de Minas
lmpreso por Ediciones Greificas Ltda.
PRESENTACION
Para quienes hemos seguido de cerca el destacado trabajo aCademi
nal del profesor Rodrigo Cano Gallego, es motivo de gran compl
serie Anales de fa Facultad Nacionaf de Minas pub/ique este teJ
principalmente a estudiantes de ingenieria que conozcan los fund
mecanica de fluidos, y referencia obligada para diferentes cursm
El trabajo es un aporte significativo a la docencia de la hidrauli
medio, tanto por su elevado valor pedagogico como por fa ade<
que establece entre los aspectos teoricos y las aplicaciones pr(
encuentran comunmente en la actividad profesional del ingeniero.
La selecci6n, el orden y el tratamiento de los principales tema,
extraordinaria y completa coleccion de problemas resueltos q
teoria, superan muchas veces los textos de otros paises que frecl
utilizan entre nosotros, no en cuanto a la profundidad teo rica, qu
jetivo del trabajo, sino en cuanto a su aplicacion al diseiio y el call
Son signos de mencion los desarrollos sobre perdidas de energfa,
des de tuber fa, resa/to hidrtiulico y el metodo de la superficie ene
calculo de Uneas abiertas de tuberia y redes de tuberia. Este me
del profesor Cano Gallego, constituye un aporte didtictico y pro
pecial importancia.
Finalmente, conviene seiialar que la o~ra de tan distinguido cate
marca dentro de una dinamica tradici6ndocente e investigativa qz
yo del Departamento de Ingenieria Civil, ha caracterizado a la Sec
nica de Fluidos de la Facultad.
Dario Vale
Profeso
Universidad Naciona
1
I
PRESENTA CION
Para quienes hemos seguido de cerca el destacado trabajo academico y profesio
nal del profesor Rodrigo Cano Gallego, es motivo de gran complacencia que la
serie Anales de la Facultad Nacional de Minas publique este texto, destinado
principalmente a estudiantes de ingenier(a que conozcan los fundamentos de la
meccinica de fluidos, y referencia obligada para diferentes cursos del Claustro.
EI trabajo es un aporte significativo a la docencia de la hidraulica en nuestro
medio, tanto por su elevado valor pedagogico como por la adecuada relacion
que establece entre los aspectos teoricos y las aplicaciones practicas que se
encuentran comunmente en la actividad profesional del ingeniero.
La seleccion, el orden y el tratamiento de los principales temas, as( como la
extraordinaria y completa coleccion de problemas resueltos que ilustran la
teoria, superan muchas veces los textos de otros paises que frecuentemente se
utilizan entre nosotros, no en cuanto a la profundidad teo rica, que no es un ob
jetivo del trabajo, sino en cuanto a su aplicacion al diselio y el calculo.
Son signos de mencion los desarrollos sobre perdidas de energia, ancilisis de re
des de tuberia, resalto hidraulico y el metoda de la superficie energetica para el
calculo de l(neas abiertas de tuber(a y redes de tuberia. Este metodo, original
del profesor Cano Gallego, constituye un aporte didactico y profesional de es
pecial importancia.
Finalmente, conviene selialar que la oqra de tan distinguido catedriztico se en
marcadentro de una dinamica tradiciOndocente e investigativa que, con el apo
yo del Departamento de Ingenieria Civil, ha caracterizado a la SecciOn de Meca
nica de Fluidos de la Facultad.
Dario Valencia Restrepo
Profesor Titular de la
Universidad Nacional de Colombia
iii
PROLOGO
La finalidad de esta obra es proporcionar a los estudiantes conocimientos gene
rales para el maneio de problemas en el campo de la Hidraulica. El texto esta
dirigido a estudiantes que hayan cursado mecanica de fluidos y por esta raz6n
no se profundiza en principios btisicos de esta materia.
En el primer capftulo se hace un repaso de los principios generales de La meca
nica de fluidos, necesarios para el tratamiento de los problemas que estudiaran
en los capftulos posteriores El capitulo segundo se dedica al estudio de fluio
confinado en estado permanente.
Se estudian en detalle los casos mas comunes que se presentan en este campo.
Problemas de fluio confinado en estado no permanente sobrepasan el alcance
de este texto, raz6n por la cual no se estudian aqui.
Se estudia con especial detalle el calculo de redes de tuberia y se presenta un
nueuo metodo de calculo para estos sistemas preparado por el autor de este
texto. Para el tratamiento de lfneas ramificadas de tuberfa tambien se presenta
un sistema de ctilculo preparado por el au tor del texto.
El capitulo tercero se dedica al estudio del fluio libre 0 flujo en canales. Este
capitulo pretente introducir a los estudiantes en el tema y supone que estos
tomaran posteriormente cursos mas auanzados que les permitirtin completar
sus conocimientos. Se estudian problemas en estado permanente y se hace una
pequeiia introducci6n a estados no permanentes con el estudio de la onda ele
mental de grauedad.
Temas tan importantes en el estudio del flujo libre como: calculo de transicio
nes, curuas y estados no permanentes sobrepasan el alcance de este texto y de
ben ser estudiados en cursos posteriores.
El texto esta dirigido a estudiantes de ingenieria, por esta raz6n se profundiza
principalmente en la parte aplicada de la materia y no se hacen planteamientos
'!1atematicos muy profundos.
Se han publicado muchos textos sobre hidraulica aplicada, en cada uno de ellos
sus autores recopilan conocimientos anteriores y hacen nuevos aportes, los
textos que mayor influencia han tenido en la elaboraqiOn de este trabajo
son: "Elementary Fluid Mechanics" por John K. Vennard, "Open. Channel
Hydraulics" por Ven Te Chow, "Engineering Hydraulics" editado por Hunter
Rouse, "Fluid Mechanics" por Iruing Shames, "Elementary Fluid Mechanics"
por Hunter Rouse, "Boundary Layer Theory" por Herman Schlichting.
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985. 1
1. GENERALIDADES
SOBRE MECANICA DE FLUIDOS
I .
I'
i
~I.
I
I
i
I,
I
1.1 CONCEPTOS SOBRE LA VISCOSIDAD Y SUS EFECTOS
Se llama viscosidad el efecto producido sobre los fluidos en movimiento, por la
accion combinada de la cohesion intermolecular y el cambio de momenta lineal
de las capas vecinas de partfculas en movimiento. La viscosidad se manifiesta
como una fuerza de fdccion entre las capas de partfculas en movimiento.
Cohesion es la fuerza de atraccion entre grupos de moleculas vecinas debida ala
atraccion de sus masas y a fuerzas electroqufmicas de las mismas.
La viScosidad es una propiedad flsica de los fluidos y varia con la temperatura
en forma diferente para los liquidos y los gases. En los lfquidos la cohesion es
una fuerza importante y su magnitud disminuye al aumentar la temperatura, es·
to hace que la viscosidad disminuya al aumentar la temperatura en este estado
ffsico de la materia. En los gases la cohesion es muy baja y la actividad molecu
lar aumenta con la temperatura incrementando el cambio de momenta lineal
de las particulas de capas vecinas. En los gases la viscosidad aumenta con el in
cremento de temperatura.
EI esfuerzo unitario de friccion desarrollado entre capas de fluido en movimien
to es una funcion crecientecon el gradiente de velocidad "dv/dy". Al llamar
"Ii" a la constante de viscosidad se puede establecer la siguiente ecuacion:
r = lidvldy (1)
En donde:
r = esfuerzo unitado de fdccion.
dvldy - = gradiente de velocidad.
;;:, constante de proporcionalidad llamada viscosidad absoluta del
fluido.
Ans. Fac. Naf. Minas, Medellin (Colombia), No. 61,1985. 3
l
La ecuacion (1) fue propuesta por Isaac Newton y a los fluidos que obedecen
a ella se les denomina Newtonianos.
1.2 FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO.
Cuando entre dos particula~ vecinas en movimiento existe un gradiente de velo
cidad 0 sea que una se mueve mas nipido que la otra se desarrollan fuerzas de
friccion que actuan tangencialmente a las mismas. Las'fuerzas de friccion tratan
de inducir rotacion sobre las particulas en movimiento pero simultaneamente
la viscosidad trata de impedir la rotacion. Dependiendo del valor relativo de
estas fuerzas se pueden producir diferentes estados de flujo.
Cuando el gradiente de velocidad es bajo la fuerza de viscosidad es mayor que
la de fri~cion, las partic~las se desplaza~ p:ro no rotan 0 10 hacen ~on muy po
ca energla, el resultado fmal es un mOVlmlento en el cual las partIculas siguen
trayector~as ~efinidas y. todas las particulas que pasan por un punta en el cam
po de flu]o slguen la mlsma trayectoria. Este tipo de flujo fue identificado por
Osbold ,Reynolds y se denomina "laminar", queriendo significar con ella que
las partlculas se desplazan en forma de capas 0 laminas.
Al ~umentar ~l g~adiente de. velocidad se incrementa la friccion entre particulas
vecmas de flu]o, est as adqUleren una energfa de rotacion apreciable la viscosi
d.ad pierde su efecto y debido a la rotacion las particulas cambian d~ trayecto
rt:'l' Al pasar de unas trayectorias a otras las particulas chocan entre sf y cam·
bIan de rumbo en forma emltica. Este tipo de flujo se denomina "turbulento".
EI flujo turbulento se caracteriza porque: 1) las particulas de fluido no se mue
yen siguiendo trayectorias definidas 2) la accion de la viscosidad es despreciable
3) las part!c.ulas de fluido poseen energia de rotacion apreciable y se mueven en
forma erratIca chocando unas con otras 4) al entrar las particulas de fluido a
capas de diferente velocidad su momenta lineal aumenta 0 disminuye y el de
las particulas vecinas 10 hacen en forma contraria.
Cuando las fuerzas de inercia del fluido en movimiEmto son muy bajas Ja viscosi
dad esla fuerza dominante y el flujo es laminar. Cuando predominan las fuerzas
de inercia el flujo es turbulento. Las fuerzas de inercia y viscosidad se pueden
expresar en forma general con las siguientes relaciones:
Fi Ma p ~3 (y2 /~)
Fv rA /l (dl'/dy)A
En donde:
I' densidad del flujo
V velocidad
~ una longitud caracteristica.
4 Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (COlOmbia), No. 61,1985.
Sea R ::: Fi/Fv la relacion entre las fuerzas de inercia y viscosidad, al reem
zar y simpIificar se obtiene:
La relacion anterior denominada numero de Reynolds permite cpnocer eli
de flujo que se posee en un determinado problema. Para numeros de Reyn
bajos el flujo es laminar y para valores altos el flujo es turbulento. Osl
Reynolds mediante un aparato senciUo cuya descripcion aparece en la may,
de los textos de mecanica de fluidos fue el primero en demostrar experimer
mente la existencia de estos dos tipos de flujo. Mediante un colorante agreg
al agua en movimiento demostro que en el flujo laminar las particulas de ~
y colorante se mueven siguiendo trayectorias definidas sin mezclarse, en can
en el flujo turbulento las particulas de tinta se mezclan rapidamente co
agua.
En conductos de seccion circular se acostumbra tomar como dimension can
ristica el di<imetro y el numero de Reynolds tom a la forma:
R P YD/IJ YD/v
En donde:
o diametro del tubo.
v viscosidad cinematica del fluido v
V velocidad media del fluido.
EI numero de Reynolds se puede expresar como una funcion del gasto Q
diante las ecuaciones siguientes:
R ::: 4Q/rr DvY Q/A :::
Experimentalmente se ha encontrado que cuando el numero de Reynolds
de 2.400 se inicia turbulencia en la zona central del·tubo, sin embargo este 1
te es muy variable y depende de las condiciones de quietud del conjunto.
numeros de Reynolds mayores de 4.000 el flujo es turbulento. AI descend
velocidad se eIicuentra que para numeros de Reynolds menores de 2.1C
fluj6 es siempre laminar y cualquier turbulencia que se produzca es elimi
por la accion de la viscosidad. EI paso de flujo laminar a turbulento es un t
meno gradual inicialmente se produce turbulencia en la zona centra,l del
donde la velocidad es mayor, pero queda una corona de flujo laminar ,enb
paredes del tuba y el nucleo central turbulento. Al aumentar la velocidad II
el espesor de la corona laminar disminuye hasta desaparecer ,totalmente.
ultima condicion se consigue a altas velocidades cuando se tiene turbulenci
tal en el flujo.
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia). No. 61. 1985.
Sea R = Fi/Fv la relacion entre las fuerzas de inercia y viscosidad, al reempla
. zar y simplificar se obtiene:
£. = P V2/1l (2)
La relacion anterior denominada numero de Reynolds permite conocer el tipo
de ,flujo que se posee en un determinado problema. Para numeros de Reynolds
,bajos el flujo es laminar y para valores altos el flujo es turbulento. Osbold
Reynolds mediante un aparato sencillo cuya descripcion aparece en la mayoria
de los textos de meCB.nica de fluidos fue el primero en demostrar experimental
mente la existencia de estos dos tipos de flujo. Mediante un colorante agregado
al agua en movimiento demostro que en el flujo laminar las partfculas de agua
y colorante se mueven siguiendo trayectorias definidas sin mezclarse, en cambio
en el flujo turbulento las particulas de tinta se mezclan rapidamente con el
agua.
En conductos de sec cion circular se acostumbra tomar como dimension caracte- ,
rfstica el diametro y el numero de Reynolds toma la forma:
£. = PVD/Il = VDlv (3)
En donde:
D = dilimetro del tubo.
v = viscosidad cinematic a del fluido v '" III p
V velocidad media del fluido.
EI numero de Reynolds se puede expresar como una funcion del gasto Q me
diante las ecuaciones siguientes:
v = Q/A = R '" 4Q/rr Dv (4)
Experimentalmente se ha encontrado que cuando el numero de Reynolds pasa
de 2.400 se inicia turbulencia en la zona central del tubo, sin embargo este limi
te es muy variable y depende de las condiciones de quietud del conjunto. Para
numeros de Reynolds mayores de 4.000 el flujo es turbulento. AI descender la
velocidad se ericuentra que para numeros de Reynolds menores de 2.100 el
flujo es siempre laminar y cualquier turbulencia que se produzca es eliminada
por la accion de la viscosidad. EI paso de flujo laminar.a turbulento es un feno
menD gradual inicialmente se produce turbulencia en la zona central del tuba
donde la velocidad es mayor, pero queda una corona de flujo laminar .entre las
paredes del tuba y el nucleo central turbulento. AI aumentar la velocidad media
el espesor de la corona laminar disminuye hasta desaparecer totalmente. Esta
ultima condicion se consigue a altas velocidades cuando se tiene turbulencia to
tal en el flujo.
Ans. Fac. Nal. Minas. Medel! In (Colombia), No. 61,1985. 5
Para flujo entre placas paralelas al tomar, como dimension caracteristica el espa
ciamiento de estas, el nuniero de Reynolds maximo que garantiza flujo laminar
es 1.000. Para canales rectangulares anchos con la profundidad como dimension
caracteristica este limite es 500. Para una esfera en movimiento dentro de un
fluido' al tomar su diametro como dimension caracteristica, el numero de
Reynolds limite que garantiza flujo laminar es 1.
1.3 .ESFUERZOS T ANGENCIALES GENERADOS POR EL MOVIMIENTO
DEL FLUIDO.
Cuandogrupos de pa,rticulas vecinas se mueven a diferente velocidad, se gene
ran fuerzas tangenciales a la direccion del movimiento. Los esfuerzos unitarios
debidos a estas fuerzasson una funcion del gradiente de velocidad. Para el f1ujo
laminar los esfuerzos tangenciales 0 de corte se rigen por la ecuacion (1) esta
blecida por Isaacs Newton. .
Para flujo turbulento el problema es mas complejo porque debido al choque en
tre particulas, estas rebotan en forma erratica tomando direcciones variables
con el tiempo y entrando en zonas de mayor 0 menor velocidad que la poseida
por elias antes del choque. El cambio de momenta lineal de las particulas y de
las nuevas capas a donde elIas ingresan se manifiesta como el efecto de una
fuerza tangencial.
La velocidad en un punto cualquiera del campo de flujo varia con el tiempo
aunque el estado del flujo sea permanente. El vector velocidad de un punt.<;.>
cualquiera del campo de flujo puede descomponerse en un vector constante v
representativo de Ia velocidad media y un vector variable con el tiempo, el cual
a su vez tiene una componente )': en Ia direccion del movimiento y otra j:y en
el plano normal al movimiento.
---r---r -+ -+
V V + I'x + Vy
Figura 1
Lasvelocidades I'x y Vy se denominan componentes de turbulencia y varian
conel tii~mpo. Para un flujo homogeneo sus valores promedios son iguales.
(5)
An., Fac. Nal. Mina., Medellin (Colombia), No. 61, 1985.
Basado en ia suposicion anterior Osbold Reynolds demost1'6~que el esfuer
cortante puede expresarse por la ecuacion: '
1, Prandtl supuso que al choear las particulas de fluido rebotan y avanzan dl
tro de las capas de diferente velocidad una longitud "!?" la eual denomi
"longitud'de mezclado". Las componentes de turbulencia son iguales al cam I
de velocidad 1::.1' que se produce con este movimiento luego: '
1::.1' .Q (dl'/dy)
En donde:
~ longitud de mezclado.
dl'/dy gradiente de veloeidad.
Al reemplazar la eeuacion (7) en (6) se obtiene Ia ecuacion:
7 == p!?2 (dl'/dy)2
Esta ecuaeion presenta la dificultad para su aplicacion de ,que Q == f(y) sien
"y" Ia distancia desde Ia pared solida hasta el punto de estudio. Para algUJ
problemas Prandtl hizo I? == "yen donde "" " es una constante.
Th. Von Karman basado en los trabajos de L. Prandtl propuso para "I?" la 'ec
cion:
En donde:
derivada del gradiente de velocidad con respeeto a y.
eonstante de turbulencia adimensional.
Al reemplazar (9) en (8) se obtiene la ecuacion:
T (>,,2 (dv/dy)4 I (d2I'/dy2)2
La ecuacion (10) se conace como la ecuacion para fluja turbulento de V
Karman - Prandtl y es la que mas se aplica en la actualidad para el calculo
este fenomena.
Medidas euidadosas han demostrado que "K" varia pero la ecuacion (10)
resultados satisfactorios.
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61. 1985.
Basado en Ia suposicion anterior Osbold Reynolds demostroque el esfuerzo
cortante puede expresarse por la ecuacion: .
(6)
L, Prandtl supuso que al chocar las partfculas de fJuido rebotan y avanzan den
tro de las capas de diferente velocidad una longitud "£" la cual denomino
"longitud'de mezclado". Las componentes de turbulencia son iguales al cambio
de velocidad D.l' que se produce con este movimiento luego: '
rx = Vy == D.l' = Q (dl'/dy) (7)
En donde:
Q == longitud de mezclado.
dl'/dy = gradiente de velocidad.
Al reemplazar la ecuacion (7) en (6) se obtiene la ecuacion:
T == pQ2 (dl'/dy)2 (8)
Esta ecuacion presenta la dificultad para su aplicacion de que Q == f(y) siendo
"y" la distancia desde la pared solid a hasta el punto de estudio. Para algunos
problemas Prandtl hizo Q == KY en donde "K " es una constante.
Th. Von Karman basado en los trabajos de L. Prandtl propuso para "Q" la ecua
cion:
Q = K(dv/dy)/(d 21'/dy2) (9)
En donde:
derivada del gradiente de velocidad con respecto a y.
K = constante de turbulencia adimensional.
Al reemplazar (9) en (8) se obtiene la ecuacion:
= (10)
La ecuacion (10) se conoce como la ecuacion para flujo turbulento de Von
Karman . Prandtl y es la que mas se aplica en la actualidad para el calculo de
este fenomeno.
Medidas cuidadosas han demostrado que "K" varia pero la ecuacion (10) da
resultados satisfactorios.
Ans. Fac. Nat. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985. 7
Para flujo en tubos de seccion circular" ::::: 0,40.
I
I
1.4 INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA CAPA LIMITE.
Consideremos un tubo de seccion circular alimentado por un tanque de gran
tamafio en cuyo interior el flujo es laminar y de velocidad constante. En una
seccion 0-0 antes de la entrada al tubo la distribucion de velocidad es constante
con valor V·. Al acercarse el flujo a la seccion 1-1 de entrada al tubo las par
ticulas de cfuido en contacto con las paredes del tubo toman velocidad cero y
sus vecinas tom an velocidades que varian desde cero cerca a las paredes hasta
un maximo constante en la zona central.
En la seccion 5-5 de la figura No.2 se tiene una corona exterior de fluido de
espesor Ii con velocidad variable desde cero en las paredes del tubo hasta un
maximo VI en su limite interior y un nucleo circular interior con velocidad I·
constante VI ' i
Debido al retardo' del flujo en la corona exterior la velocidad en el nucleo cen
~ .
tral aumenta a 10 largo del tubo y VI > VO' I
o
I
I
IV
-I
I
J
U
o
I
I
I
I
t
I
'--'-,---.'
I
I
I
I
I
DIAGRAMA DE
VELOCIDAD EN
baja y el flujo en esta zona es laminar. Esta situacion ocurre en la figura N
entre entre las secciones 1-1 y 2-2. De la seccion 2 en adelante Ia veloci
maxima dentro de la capa limite es suficientemente alta y se produce f
turbulento dentro de la capa limite.
EI espesor de la cap a limite Ii crece a 10 largo del tubo hasta llegar a su v
maximo en la seccion tres de la figura .2. A partir de la seccion tres desapa
el nucleo central de velocidad constante y Ia capa limite cubre toda la seci
del tubo. Entre las secciones uno y tres de la figura 2 se efectua el desan
de la capa limite y {, es variable. De la seccion tres en adelante b es const:
igual al radio del tubo y la capa limite esta desarrollada.
Cerca a las paredes la velocidad del flujo es muy baja y puede producirse
pequefia capa de flujo laminar de espesor b 0 Hamada "s~bcapa laminar",
existencia 0 no de la subcapa laminar depende de Ia magmtud de la rugosl
absoluta "e" de las paredes del tubo. EI lfmite superior de la subcapa lam
corresponde a la transicion entre flujo laminar y turbulento y por esta ra
no corresponde a una posicion exacta. La subcapa laminar desempefia un p.
muy importante. El concepto de subcapa lamin.ar permite e;xplicar e.1 efectl
la rugosidad de las paredes sobre el flu]o. Al muar en el mlCroscoplO una
cion transversal de las paredes del conducto se puede tener un panorama c(
el de la figura tres.
T---------
Figura 3
La altura de las irregularidades de la pared "e" 0 rugosidad absoluta es vari
asi como su distribucion en el area.
Figura 2
LA SECCION 5.5
En la zona inicial del tubo las velocidades en la corona exterior y el nucleo cen
tral son bajas 10 cual permite que el flujo sea laminar. La corona de flujo
exterior detallada anteriormente se denomina "capa li'mite" y su espesor se
designa por el valor "Ii ".
AI comienzo del tubo la velocidad maxima dentro de la cap a limite es muy
8 Ans, Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia). No. 61, 1985.
El efecto de la rugosidad absoluta sobre el flujo depende de su magnitud y
tribucion. La medicion directa de estas variables para superficies muy pUlidl
imposible con los medios de que se.dispone en Ia actualidad. Peropormed
indirectas es posibIe calcular un valor para la rugosidad absoluta "e" de dir
sion lineal que tenga en consideracion el efecto combinado de la magnitl
distribucion de las irregularidades de la superficie.
Las irregularidades de la superficie generan pequefios remolinos y vort
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia). No. 61.1985.
http:lamin.ar
\
I
f
i I baja y el flujo en esta zona es laminar. Esta situacion ocurre en la figura No.2
entre entre las secciones 1-1 y 2-2. De la seccion 2 en adelante lavelocidadl. maxima dentro de la capa lfmite es suficientemente alta y se produce flujo I :
i turbulento dentro de la capa limite.
Elespesor de la capa limite I) crece a 10 largo del tubo hasta llegar a su valor
maximo en la seccion tres de la figura .2. A partir de la seccion tres desaparece
el nueleo central de velocidad constante y la capa limite cubre toda la seccion
del tubo. Entre las secciones uno y tres de la figura 2 se efectua el desarrollo
de la capa limite y I) es variable. De la seccion tres en adelante b es constante
igual al radio del tubo y la capa limite esta desarrollada.
Cerca a las paredes la velocidad del flujo es muy baja y puede producirse una
pequeiia capa de flujo laminar de espesor /'0 Hamada "subcapa laminar". La
existencia 0 no de la subcapa laminar depende de la magnitud de la rugosidad
absoluta "e" de las paredes del tubo. EI limite superior de la subcapa laminar
corresponde a la transicion entre flujo laminar y turbulento y por esta razon
no corresponde a una posicion exacta. La subcapa laminar desempeiia un papel
muy importante. El concepto de subcapa laminar permite explicar el efecto de
la rugosidad de las paredes sobre el flujo. Al mirar en el microscopio una sec
cion transversal de las paredes del conducto se puede tener un panorama como
el de la figura tres.
T-----------------------------
Figura 3
La altura de las irregularidades de la pared "e" 0 rugosidad absoluta es variable
as! como su distribucion en el area.
El efecto de la rugosidad absoluta sobre el flujo depende de su magnitud y dis
tribucion. La medicion directa de estas variables para superficies muy pulidas es
imposible con los medios de que sedispone en la actualidad. Pero por medidas
. indirectas es posible calcular un valor para la rugosidad absoluta "e" de dimen
. sion lineal que tenga en consideracion el efecto combinado de la magnitud y
distribucion de las irregularidades de la superficie.
Las irregularidades de la 'superficie generan pequeiios remolinos y vortices.
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (colombia), No. 61, 19B5. 9.
10
Cuando la rugosidad absoluta "e" es apreciablemente menor que el espesor de
la subc-apa laminar 00 los vortices son eliminados por la viscosidad dentro de la
subcapa laminar y su efecto desaparece, en caso contrario estos vortices alcan
zan a sobrepasar la subcapa laminar y contribuir a la formacion de turbulenciai
En el primer caso la rugosidad absoluta no eierce ningun efecto en la formacion
de turbulencia y se dice que la superficie del material actua como "hidrimlica
mente lisa", en el segundo caso los vortices generados en las irregularidades del
material destruyen la subcapa laminar y generan turbulencia apreciable en este
caso se dice que la superficie del material actua como "hidraulicamente rugo
sa".
Con base en experimentaciones en tuberias y placas planas con flujo paralelo
Herman Schlichting demostro que para que una superficie actue como hidrauli
camente lisa se debe cumplir la condicion:
Vte/v< 5
En donde:
Vf =
g =
R =
S :::
e
l'
(11)
velocidad de friccion = .j"gifS
aceleracion de la gravedad
radio hidraulico
gradiente.de la linea de energia
rugosidad absoluta de la pared
viscosidad cinematica del fluido
1.5 CLASIFICACION DEL FLUJO EN CONDUCTOS.
Cuando el fluido se mueve dentro de un conducto se pueden presentar dos cir
cunstancias diferentes:
1. El fluido llena totalmente el conducto y se dice que el flujo es confinado.
2. EI fluido sOlo llena parcialmente el conducto y se dice que el fluio es'libre.
EI fluio libre implica una cara superior en contacto con la atmosfera y por esta
circunstancia solo se present a en los Ifquidos.
En el flujo confinado el conducto debe ser cerrado, ejemplo un tubo. En el flu
jo libre el conducto puede ser cerrado, ejemplo una alcantarilla 0 abierto por
su parte superior, ejemplo un canal. En el flujo confinado un aumento 0 dismi
nucion de la presion en un punto del conducto se transmite a 10 largo de este
como una onda de presion de alta velocidad y magnitud constante. En el flujo
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985.
libre un aumento 0 disminucion de presion en un punto del conducto se tra
mite a 10 largo de este como una onda caracterizada por aumento 0 dismil
cion en el area transversal del flujo y su velocidad media.
En el flujo confinado al aumentar 0 disminuir el gradiente de la linea de ener
la velocidad aumenta 0 disminuye pero el area transversal permanece constan
En el flujo libre al v.ariar el gradiente de la Ifnea de energia varian las veloci
des y el area transversal. En ambos casos se puede tener flujo laminar 0 turl
lento.
I
I
I
!,
Ans. Fac. Nal. Minas, MeClellin (Colombia). No. 61. 1985,
http:gradiente.de
Iibre un aumento 0 disminucion de presion en un punto del conducto se trans:.
mite a 10 largo de este como una onda caracterizada por aumento 0 disminu
cion en el area transversal del flujo y su velocidad media.
En el flujo confinado al aumentar 0 disminuir el gradiente de la linea de energia
la velocidad aumenta 0 disminuye pero el area transversal permanece constante.
En el flujo libre al v.ariar el gradiente de la linea de energia varian las velocida
des y el area transversal. En ambos casos se puede tener flujo laminar 0 turbu
lento.
Ans. Fac. Noll. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985. 11
Debido a la facilidad de construccion y al optimo usa estructural ~,e lo~ mate
dales los conductos para flujo confinado tienen gene.ralmente ~ccIOn CIrcular.
Las ecuaciones que se deduciran mas adelante se aphc~m a fluJo ~m conductos
de seccion circular pero con ligeros ajustes pueden aphcarse a fluJo en conduc
tos cerrados de otras form as geometricas.
2.1 CONSERV ACION DE ENERGIA.
La energia total que posee un fluido en ~ovimient? se compone de dos partes
principales: cinetica y potenciaJ. La en~r~!a pote~clal a su ve~ se"d~~o~pone
en: energia de presion y energla de pOSICIOn. Debldo a la preSIon P eXIstente
en un punto la masa de fluido puede ascender hasta ~na altura Ph sobre eS,e
punta si tiene libertad de hacerlo, 'Y es el peso por umdad de volumen del flUl
do.
_J:!!!.e.!.-.2e ener"ra
---<.:..::--~-
, . , . ,II: 2 V /2g
Linea de presIon 0 PIela metrica
--------__.-1..__-,
HI Hz
22
21
Plano de re ferencio --------- -
2
Figura 4
12 Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia). No. 61, 1985.
I·
!
f
!
I
/.
La energia total del fluido es:
Et Ep +Ec ::: W(z + Ph + v2/2g)
La energia total del fluido por unidad de peso es:
H :::
L~ v~locidad del fluido en el conducto varia desde cero en las paredes ha
max!mo en el c~ntro, es~o hace, qt;te la energia cinetica sea diferente para
las IIneas de fluJo. Para fmes practIcos se trabaja con la velocidad media d,
jo. La energ~a cinetic~ de unas lineas de flujo sera menorque la correspor
te a la velocIdad medIa y a la de otras mayor. Para poder utilizar la velo
media en el calculo de la energia cine tic a se aplica un factor de correccion
y la energia cinetica sera:
:::
En donde:
V
g
velocidad media del flujo
aceleracion de la gravedad.
Figura 5
Ans. Fac, Nal. Minas, Medellin (Colombia), No, 61,1985.
La figura 4 muestra un conducto con flujo en la direccioIi 1-2. En al
ciones si el fluido tuviera libertad ascenderia hasta una altura (z + Ph
pecto al plano de referencia. La linea definida por la altura anterior
"linea de presion" 0 mas comun "linea piezometrica".
Una I!1asa d/e f~uido "M" con peso "v.J" que se mueve en el conducto Pi
energla potencIal con respecto al plano de referencia.
2. FLUJO CONFINADO i W(z + PI'Y)
I La energia cinetica de la misma masa sera:
MVl/2 ::: Wv 2 /2g
La figura 4 muestra un conducto con flujo en la direccion 1-2. En ambas sec
dones si el fluido tuviera libertad ascenderia hasta una altura (z + PII') con res
'pecto al plano de referencia. La linea definida por la altura anterior se llama
"linea de presion" 0 mascomun "linea piezometrica".
Una masa d~ fluido "M" con peso "W" que se mueve en el conducto posee una
energia potencial con respecto al plano de referencia.
= W(z + Ptr) (12)
La energia cinetica de la misma masa sera:
(13)
La energia total del fluido es:
= (14)
La energia total del fluido por unidad de peso es:
H z + P/'Y + v l /2g (15)
La velocidad del fluido en el conducto varia desde cero en las paredes hasta un
maximo en el centro, esto hace que la energia cinetica sea diferente para todas
las lfneas de flujo. Para fines practicos se trabaja con la velocidad media del flu
jo. La energia cinetica de unas lineas de flujo sera menor que la correspondien
te a la velocidad media y a la de otras mayor. Para poder utilizar la velocidad
media en el calculo de la energfa cinetica se aplica un factor de correccion "a",
y la energfa cinetica sera:
He = ay2/2g
En donde:
y = velocidad media del flujo
g = aceleracion de la gravedad.
Figura 5
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61,1985. 13
14
.. . I d" tro DLa velocidad
La fi~ura 5 muestra u1n condudcto d~ s:~c~~~~~~~~.a;:ra ~~maenillo de radio ryes.}' vana entre cero en as pare es y I I
pesor dr se tiene:
dA, = 2rrrdr (16) dQ == l'dA
En donde:
Q == Gasto 0 caudal que fiuye por el conducto.
Integrando la ecuacion (17) se obtiene:
Q == =j:"dr .D'V/4
En cada caso particular se requiere conocer la ecuacion I' =
calcular V.
La energia dm~tica del fluido que cruza el anillo diferencial es:
dEc = idQI,l/2g = pl,3 dA/2
La energia cinetica total es: " fA
E "= (p /2) " 1,3 dA
c 0
(17)
(18)
fer) para poder
La energia cinetica correspondiente a la velocidad media y el gasto total es:
E~ = iQy2/2g = (p y2/2!AvdA
Para igualar la energia cinetica calculad~. c~? !~ velocidad media con la energia
total se debe aplicar el factor de correCClOn 0: •
E = o:E~, (o:pY2/2)j~'dA = (P/2)j~'3dA
0:c == (19)(1/Y~) (j~'3d;) /cf~'dA)
H = z + Ph + o:y2/2g (20)
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61,1985.
La turbulencia y friccion generados por el movimiento del fluido prl
transformacion de energia en calor con disminucion de la energia total
nible para el movimiento del fluido a 10 largo del conducto.
Entre las secciones (1) y (2) a 10 largo del conducto puede escribirse Iecion:
En donde h l - 2 es la energia por unidad de peso transformada en calor
las secciones (1) y (2).
}
k La ecuacion (21) se conoce como ecuacion de conservacion de la energia
teriormente se estudiaran en detalle los componentes de h - y las ecuac i, para su calculo. l 2
I
I, EI coeficiente a: es un valor siempre mayor 0 igual a la unidad. Es. igual (
I cuando la velocidad v es constante e igual a la velocidad media. Situacion
cercana a la anterior se obtiene para flujo turbulento de alta velocidad. E
mayorla de los casos pnicticos 0: tiene un valor muy cercano ala unidad y c
una aproximacion puede tomarse 0: =1,0.I
;.I·
2.2 PERDIDAS DE ENERGIA
Cuando un fluido avanza a traves de un conducto parte de la energia uti! de
este dispone se transform a en calor como se indico en la ecuacion (21). La el
gia transformada en calor deja de ser utH para el movimiento porque el proc
es irreversible y se design a como "perdida de energia". Las perdidas de ener
tienen varios origenes:
Fricci6n entre particulas, entre estas y las paredes del conducto, choque de I
queiios grupos de particulas debido a la turbulencia, choque de grandes rna!
de particulas debido a la turbulencia, choque de grandes masas de particul
con formacion de vortices 0 rerftolinos debido a cambios sUbitos en la forr
geometrica del conducto.
Las perdidas por fricci6n y turbulencia se Haman "perdidas por fricci6n", alg
nos autores las Haman impropiamente perdidas mayo res.
Las perdidas debidas a cambio subito del conducto se Haman "perdidas locale
o singulares" algunosautores las Haman impropiamente perdidas menore!
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61,1985.
(21)
La turbulencia y fricdon generados por el movimiento del fluido producen
transformadon de energia en calor con disminucion de la energia total dispo
nible para el movimiento del f1uido a 10 largo del conducto.
Entre las secciones (1) y (2) a 10 largo del conducto puede escribirse la ecua
cion:
En donde h t - z es la energia por unidad de peso transformada en calor entre
las secciones (1) y (2).
La ecuadon (21) se conoce como ecuacion de conservacion de la energia. Pos
teriormente se estudianin en detalle los componentes de h t - z y las ecuaciones
para su calculo.
EI coeficiente a es un valor siempre mayor 0 igual a la unidad. Es igual a 1,0
cuando la velocidad v es constante e igual a la veloddad media. Situacion muy
cercana a la· anterior se obtiene para flujo turbulento de alta velocidad. En la
mayoria de los casos practicos a tiene un valor muy cercano a la unidad y como
una aproximacion puede tomarse a = 1,0.
2.2 PERDIDAS DE ENERGIA
Cuando uri fluido avanza a traves de un conducto parte de la energia 6tH de que
este dispone se transform a en calor como se indico en la ecuacion (21). La ener
gia transformada en calor deja de ser 6tH para el movimiento porque el proceso
es irreversible y se designa como "perdida de energia". Las perdidas de energia
tienen varios origenes:
Friccion entre particulas, entre estas y las paredes del conducto, choque de pe
queiios grupos de particulas debido a la turbulencia, choque de grandes masas
de particulas debido a la turbulencia, choque de grandes masas de particulas
con formacian de vortices 0 rerfioIinos debido a cambios s6bitos en la forma
geometrica del conducto.
Las perdidas por friccion y turbulencia se llaman "perdidas por friccion", algu
nos autores las llaman impropiamente perdidas mayores.
Las perdidas debidas a cambio s6hito del conducto se llaman "perdidas locales
o singulares" algunosautores las llaman impropiamente perdidas menores.
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61,1985. 15
16
2.2.1 Perdidas de energia por friccion.
Simplificando la ecuacion anterior se obtiene:
Figura 6
La figura 6 muestra parte de, un conducto dIe sed,ccio~ cirl~~ardo~~n;nl~i~~~
t U fl 'do no compreslble avanza en a IreCClOn ,
tan e. n !-II b . s'bilidad su peso especifico "-y" permane
.no compresIble 0 de muy ala compre 1 un tramo corto del conducto de
l~n.~it~~dadflf::e~~!~irRdo~dr'm\laf~r~~~~~:~elJ~~~~i!idi~~~~i.t:.sdW~d~~S~
el area e a secclOn n ,
En "I" la velocidad, altura y presion son V, Z, p, En "2" lOtS valoQre~ ~~r:~~~~
, V + d y P + dP Como A y Q son constan es y - " " ~~:n~~s~~nst~~te. At aplicar la ~cqacion de energia entre las secciones 1 y
"2" se obtiene la ecuacion:
z + P 11' + a V2 /2g = z + dz + (P + dP) h + a V2/2g + dhr
En donde dhr es la energia transiorma,da en calor por la friccion, 0 perdida por
friccion. De la ecuacion anterior se obtlene:
dhr = - d (z + P h) (22) ,
1 1 l'mitado por las paredes del conducto y ·AJ tomar como volumen d; cdonltr~ e 1 "I" y "2" y aplicando la ecuacion las secciones normales al eJe e mlsn:? en
,de momenta lineal se obtien~la ecuaClOn:
PA - (P + dP)A - PI dS7(;, - dW • dz/dS = h/g) Q (V - V) = 0
En donde:
= Perimetro del conducto,
= Esfuerzo unitario de friccion en la pared del conducto,
Ans. Fac, Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985.
1'0 =- hA/Pd d (z +P h) IdS = - -yRd (z + P / ')') / dS
R = AlP I es un valor con dimension longitud Hamado radio hidniulico.
Reemplazando la ecuacion (22) en la (23) se obtiene:
1'0 = ')'Rdhr/dS
Para una longitud "L" de tuberia, la perdida de energia por friccion es
integrar (24) se obtiene:
o
Si en la figura 6 se toma un cilindro central de fluido de radio "r" (conr ~ :
se obtiene una ecuacion similar a la (25)
l' = hA/P1 ) (hr/L) = (,),1Tr 2 /21Tr) (hr/L) = ,),rhf/2L
De la ecuacion (26) se deduce que el esf'uerzo unitario de friccion;varia Iii
mente con "r", es cero en el centrodel cbnducto y maximo en Ia par,ed d€
boo Las ecuaciones para "1''' han sido deducidas sin considerar el tipo de f]
luego son aplicables a fluido laminar 0 turbulento.
La fuerza de dragado ejercida por el fluido en movimiento sobre una placa .
na en reposo paralela a la direccion del movimiento puede calcularse COl
ecuacion:
F = cpv2 A/2
En esta ecuacion c es un coeficiente adimensional y A es el area de la placa
contacto con el 'fluido. Aplicando la ecuacion antetior aun traino de tube
de diametro D y longitud dS se obtiene: '"', . . _
F = (cpV2 /2),1TDdS
Cuando el fluido contenido en el tramo definido .teriormente recorre una 10
gitud "L". a 10 largo del tuba la fuerza de friccion e~ectua un trabajo E.
(2
Este trabajo transform a parte de la energia del fluido en calor, 0 sea que la ecu:
cion (28) define la energia perdida por friccion cuando el volumen 1T D2 dS/.
recorre la longitud "L", EI peso del fluido en movimiento es W = ')'1T D2 dS/4
Ans. Fac, Nal, Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985.
l'
Simplificando la ecuacion anterior se obtiene:
. "
To =-(,A/Pdd(z+P/,)/dS = -,Rd(z+Ph)/dS (23)
R = AIPI es un valor con dimension longitud llamado radio hidrimlico.
Reemplazando la ecuacion (22) en la (23) se obtiene:
To = ,Rdllr/dS (24)
/\~\,./ ·,t
Para una longitud "L" de tuberia, la perdida de energia por friccion eshr, al
integrar (24) se obtiene:
(25)o
Si en la figura 6 se toma un cilindro central de fluido de radio "r" (con r ~ D/2),
se obtiene una ecuacion similar a la (25)
T= ('YAfPI) (hf/L) = (,1Tr 2 /21Tr) (hf/L) = ,rhr/2L (26)
De la ecuacion (26) se deduce que el esfuerzo unitario de friecion varia lineal
mente con "r", es eero en el centro del conducto y maximo en la pared del tu
boo Las ecuaciones para "r" han sido deducidas sin eonsiderar el tipo de flujo,
luego son aplicables a fluido laminar 0 turbulento.
La fuerza de dragado ejercida por el fluido en movimiento sobre una placa pla
na en reposo paralela a la direecion del movimiento puede calcularse con la
ecuacion:
(27)
En e;;ta ecuacion, c es un coeficiente adimensional y A es el area de la placa en
contacto con el fluido. Aplicando la ecuacion anterior a un traino de tuberia
de dhimetro D y longitud dS se obtiene:.... . -
Cuando el fluido contenido en el tramo definido .teriormente recorre una lon
gitud "L" a 10 largo del tuba la fuerza de fricci6n eEectiia un trabajo E. .
E = 'FL (cp V2 /2). 1TDLdS (28)
Este trabajo transform a parte de la energia del fluido en calor, 0 sea que la ecua
cion (28) define la energia perdida por fdccion cuando el volumen 1T D2 dS/4
recorre la longitud "L". El peso del fluido en movimiento es W = ,1T D2 dS/4.
Ans. Fac, !'Ial. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985. 17
l
18
llamando hr la perdida de energia por unidad de peso, se tiene como perdida
de energia totalla cantidad:
(29)
Las ecuaciones (28) y (29) definen la misma energia, luego se pueden igualar.
Al igualar, las ecuaciones y simplificar se tiene:
hf = 4c(L/D) (y2/2g)
En la ecuacion anterior como c es un coeficiente adimensional que depende de
las condiciones del flujo podemos hacer 4c f, en donde f es otro coeficiente
de propiedades similares. Haciendo esta sustitucion se obtiene:
hr = f(L/D) (y2/2g) (30)
La ecuacion anterior se conoce como ecuacion racional para el calculo del flujo
en tuberias. Tambiim se Ie conoce como ecuacion de Darcy-Weisbach, porque
ecuaciones deducidas empiricamente por estos senores en forma separadase
pueden transformar a una forma similar a la ecuacion (30). Esta ecuacion tuvo
gran aplicacion a fines del siglo pasado y comienzos del presente, pero fue susti
tuida por ecuaciones empiricas en las primeras decadas de este siglo debido a
que no se conocian con exactitud las caracteristicas del coeficiente "f".
Estudios teorico-experimentales han permitido en los ultimos aiios conocer con
exactitud las variables que afectan el coeficiente f y han permitido regresar al
uso de la ecuacion racional para el calculo del flujo en tuberias y tambien en
canales como se vera mas adelante.
EI coeficiente "f" se conoce con el nombre de factor de friccion y es un valor
adimensional. EI factor de friccion depende de: la velocidad media del fluido,
la rugosidao absoluta de las paredes del tubo, el diametro del tuba y la viscosi
dad del fluido.
Al igualar las ecuaciones (25) y (30) se obtiene la ecuacion
~
.,jf/8,Y (31)
EI valor .,j I p tiene dimensiones de velocidad, aparece con frecuencia enTo
ecuaciones, no representa ningiin ente fisico, pero debido a su forma dimensio
nal se Ie denomina "velocidad de friccion".
Yf = ..J:;;:r;
AnS. Fat:. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985.
La ecuacion (31) se pU,ede transformar a:
!
I Y v'87T. Yr
r De la ecuacion (25) se obtienen:I
Yr ..J:;;:r; = .,j gRSr
( ~
En donde:
R radio hidniulico.
Sf hf IL pen,diente de la linea de energia..
g aceleracion de la gravedad.
densidad del fluido.
esfuerzo unitario de friccion en la pared del conducto.
2.2.1.1 Ecuacion general para el factor de friccion.
I
I '
/'
I,
i,
,iI'
La fig~ra 7 muest~a un tubo. de ~ccion circular y diametro D por donde fluy
un flUldo .de densldad p ~ Vlscosldad 11 a una velocidad media V. Las pared€
del tubo tu:nen una rugo~ldad ~bsoluta ~e .espesor promedio e. Las paredes dE
c~:mducto e}ercen una reslstencla al mOVlmlento del fluido con esfuerzo unit;:
no prOmedl? To' Este ~sfuerzo unitario es una funcion de las variables represer.
tadas er. la flgura 7 y solo de esas, luego se puede escribir la ecuacion:
F(Y,p,Il,D,e)
(34
La~ cinc? variabl~s del, l~do derech? de la ecuacion anterior pueden agnipars
en. ~ropledades cI.ne~atlCas del flUldo V, propiedades fisicas del fluido P, 11 '
propledades geometncas del conducto D, e. La yariable mas importante de cad;
uno de los tres grupos es V, p y D. La ecuacion (34) puede reagruparse en I,
fu~a , '
(35
AilS. Fac. Nal. Minas, Medellin (COlombia), No. 61,1985.
To
v UP--,
Figura 7
La ecuacion (31) se puede transformar a:
v = ..JSTT. Vr
De la ecuacion (25) se obtienen:
Vr =...r;;:r;; = VgRSr
En donde:
== radio hidnlulico. R
Sf
g
== hfIL pendiente de Ia linea de energfa ..
aceleracion de la gravedad.
densidad del fluido.
esfuerzo unitario de friccion en la pared del conducto.
2.2.1.1 Ecuacion general para el factor de friccion.
v Ill)--
Figura 7
,.11>
(32)
(33)
La figura 7 muestra un tubo de seccion circular y diametro D por donde fluye
un fluido de densidad p y viscosidad IJ. a una velocidad media V. Las paredes
del tuba tienen una rugosidad absoluta de espesor promedio e. Las paredes del
conducto ejercen una resistencia al movimiento del fluido con esfuerzo unita
rio promedio To' Este esfuerzo unitario es una funcion de las variables represen
tadas ep. la figura 7 y solo de esas, luego se puede escribir la ecuacion:
F(V,p,;t,D,e) (34)
Las cinco variables del Iado derecho de la ecuacion anterior pueden agruparse
en: propiedades cinematicas del fluido V, propiedades ffsicas del fluido p, /" Y
propiedades geometricas del conducto D, e. La variable mas importante de cada
uno de los tres grupos es V, p yD. La ecuacion (34) puede reagruparse en la
fu~a .
F (To' V, il, ,", D, e) (35)
Ans. Fac. Nat. Minas, Medellin (ColomOiaj. No. 61, 1985. 19
Endonde:
=
Los numeros n son valores adimensionales que agrupan las variables definid~s
en cada ecuacion. Los exponentes a, bye tienen valor diferente para cada nu
mero. EI numero II I puede expresarse dimensionalmente como:
De la ecuacion anterior se obtiene para cada dimension la siguiente ecuacion:
F: o = 1 + b
L: O=-2+a 4b + c
T: o - a + 2b
La solucion de estas ecuaciones es: a = - 2, b = - 1, c = 0, y el numero II I tiene
por ecuacion:
AI operar en forma similar con el numero n:2 se obtiene:;
o =
F: 0 = 1 + b
L: 0 = - 2 + a - 4b + c
T: 0 = 1 - a + 2b a =-1 b =-1 c =-1
112 :: /1 (p VD)-1 (pYDIJ.L)-l= R-1
En donde R es.el numero de Reynolds.
19ualrpente se obtiene para 11 3 :
0 = (L) (LIT) a (FTz /L4 ) b (L)C
F: 0 = b
L: 0 1 a - 4b + c= +
T: 0 - a + 2b a = 0 b = 0 c =-1 ==
fl3 = eD-1 = e/D
Ans. Fac. Nal. Minas. Medellin (COlombia), No. 61, 1985.20 .
Al reemplazar los valores anteriores en la ecuacion (35) resulta:
F(nl,nZ,n 3 )= F('0/py 2,R,e/D) = 0
La ecuacion anterior puede transformarse a:
F( (R,e/D)
Despues de reemplazar la ecuacion (36) en la (31) y simplificar se obtie:
f = F2 (R. e/D)
La ecuacion (37) indica que el factor de friccion es una funcion del numero
Reynolds y la relacion e/D Hamada rugosidad relativa del conducto. Esta fl
cion es valida para flujo laminar 0 flujo turbulento.
2.2.1.2 Coeficiente de friccion para flujo laminar.
En el capitulo anterior se demostro matemiiticamente que el factor de friccil
es una funcion del numero de Reynolds y de Ia rugosidad relativa
dA
Figura 8
La figura 8 muestra un tubo de seccion circular y diiimetro D. El esfuerzo un
tario de friccion es un punto a una distancia "y" de la pared del tubo, 0 "r" dl
. . centro esta dado por la ecuacion (26),
T = -yRSr 'YrSr /2
De acuerdo con Ia ecuacion anterior para un determinado problema 'YSr/2 es u
valor constante y el esfuerzo unitario de friccion varia linealmente con "r", tc
mando valores extremos cero en el centro del tuba y '0 en la pared del mismc
. La ecuacion de Newton para el flujo laminar es:
• = }Jdl' Idy dl' (. /}J) dy
Ans. Fac. Nal. Minas. Medellin (COIOmlllal. No. 61, 1985• 2:
Al reemplazar los valores anteriores en la ecuacion (35) resulta:
F(n1>n2,n3) F(To /pV2,R,e/D) = 0
La ecuacion anterior puede transformarse a:
(36)
Despues de reemplazar la ecuacion (36) en la (31) y simplificar se obtiene:
f = F2 (R, e/D) (37)
La ecuacion (37) indica que el factor de friccion es una funcion del numero de
Reynolds y la relacion e/D Hamada rugosidad relativa del conducto. Esta fun
cion es valida para flujo laminar 0 flujo turbulento.
2.2.1.2 Coeficiente de friccion para flujo laminar.
En el capitulo anterior se demostro matematicamente que el factor de friccion
es una funcion del numero de Reynolds y de la rugosidad relativa.
dA
-"",,---£
Figura 8
La figura 8 muestra un tubo de seccion circular y diametro D. EI esfuerzo uni
tario de friccion es un punto a una distancia "y" de la pared del tubo, 0 "r" del
centro esta dado por la ecuacion (26).
T IRSI' ),rSf/2
De acuerdo con la ecuacion anterior para un determinado problema)' Sf/2 es un
valor constante y el esfuerzo unitario de friccion varia linealmente con "r", to
mando valores extremos cero en el centro del tubo y To en la pared del mismo .
. La ecuacion de Newton para el flujo laminar es:
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985. 21 .
Al reemplazar la ecuacion Ten la anterior se obtiene:
dl' = ,Srrdy/2il, r + y D/2 dr + dy == 0 ,
d)' = -,Srrdr/2il
La integracion de la ecuacion anterior produce:
l' = - ,Srr2/4il + C
En la pared del tubo r == D/2 , )' == 0, C == ,SfD2 116il y la ecuacion de la veloci
dad queda:
)' == (,SfD2/16il) (1 - 4r2 /D2) (38)
La ecuacion (38) muestra que para el flujo laminar el perfil de velocidad tiene
forma parabolica con maximo en el centr,o del tubo, cuyo valor es:
1'0 == ,Sf D2/16il
En la figura 8 dA == 21Trdr. EI gasto que avanza por el tubo es Q = AV en donde
A es el area total del tubo y V la velocidad media.
dQ j'dA = 21Tvrdr = (21T,SfD2 /16il) (1 - 4r2 /D2) rdr
Q = - (1T,Scn4 /64Jl) l~t-4r2/D2) d (1 - 4r2 /D2) = 1T,SfD4 /128il
v == ,SfD2/32il == 1'0/2 (39)
La ecuacion (39) da la ve10cidad media para flujo laminar en conductos circula
res. De la ecuacion (39) se obtiene:
Sf '= 32Jl V/,D'2
AI reemplazar la ecuacion anterior en la (32) y simplificar se obtiene:
r == 64Jl/pVD = 64/11. (40)
La ecuacion (40) muestra que para el flujo laminar en tuberias el factor de fric
cion es una funcion del numero de Reynolds 10 cua1 se habia demostrado di
mensionalmente en el capitUlo anterior.
La ecuacion (39) puede transformarse a:
V = ,D2hf/32ilL (41)
22 Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia). No. 61.1985.
De ,esta ,ecuacion se deduce 9u~ en el flujo l~minar la v~locidad media y el gast
var~an hnealmente con la perdIda de energla. Este fenomeno fue verificado eJ
penmentalmente en forma independiente por Hagen y Poiseuille en mitad d
siglo pas~do,.por'lo cu~l.la ~~uacion ~41) se conoce come:' ley o,ecuacion d
Hagen-Po~s~Ull1e, La verIfIcaclOn experImental de la ecuacion (41) prueba qu
las SUPOSICIones que se hicieron para su integracion: 1) v = 0 para r = D /
2)r = il dl' Idy son ciertas,
2.2.1.3 Coeficiente de friccion para flujo turbulento.
En elJlujo turbulento el esfuerzo un ita rio de friccion pue'de calcularse con I.
ecuaClOn:
(10]
La ecuaci0!.l ~26) prueba que el esfuerzo unitario de friccion varia lineal mente
entre un maXImo To en la pared del tubo y cero en el centro del mismo.
Lo anterior se expresa p~r medio de la ecuacion:
T = TO (1- 2y/D)
(42)
Al igualar las ecuaciones (10) y (42) se obtiene:
To (1-2y/D) =pK2 (dp/dy)4/(d21'/dy2)2
Al tomar la raiz cuadrada de la ecuacion anterior se obtiene:
(dl'/dy)2 "" ± (IlK) ~ (1- 2y/D)112 • d2 V/dy2
Por la forma d~)a concayidad del perfil de velocidad se deduce que d2v/dy 2 < 0,
luego la ecuaClOn anterIor se tom a con signo negativo y al reemplazar .JT::TP
por Vf se obtiene: 0
(dl'/dy)2 - (Vf/K) (1- 2y/D)1/2 d 21'/dy2
Para integrar esta ecuacion se introduce la variable:
z = dl'/dy dz/dy = d21'/dy2 Z2 - (Vi !K) (1- 2y/D)112 (dz/dy)
dz/z2 == - (K/Vc) (1 - 2y/D) -1/2 dy
La integracion de la ecuacion anterior produce:
-lIz == (DK/Vr) (1- 2Y/D)1/2 + C
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No, 61,1985.
23
I
De esta ecuacion se deduce que en el flujo laminar Ia velocidad media y el gasto
varian linealmente con Ia perdida de energia. Este fenomeno fue verificado ex
perimentalmente en forma independiente por Hagen y Poiseuille en mitad del
siglo pasado, por'10 cual la ecuacion (41) se conoce como ley 0 ecuacion de
Hagen-Poiseuille. La verificacion experimental de la ecuacion (41) prueba que
las suposiciones que se hicieron para su integracion: 1) v = 0 para r = D /2
2) 1 = IJ dl' /dy son ciertas.
2.2.1.3 Coeficiente de fdccion para flujo turbulento.
!, En el flujo turbulento el esfuerzo unitario de friccion puede calcularse con la
ecuacion:
(10)
La ecuacion (26) prueba que el esfuerzo unitario de friccion varia linealmente
entre un maximo 10 en la pared del tubo y cero en el centro del mismo.
Lo anterior se expresa por medio de la ecuacion:
1 = To (1 2y/D) (42)
Al igualar las ecuaciones (10) y (42) se obtiene:
TO (1-2y/D) =pK2 (dv/dy)4/(d2 1'/dy2)2
Al tomar la raiz cuadrada de la ecuacion anterior se obtiene:
(dl'/dy)2 ""± (l/K)..;-;;:r;:: (1 2y/D)1/2. d2 v/dy2
Por la forma de la concavidad del perfil de velocidad se deduce que d2 v Idy 2 < 0,
luego la ecuacion anterior se toma con signo negativo y al reemplazar ...;-:r;:r;
por Vi se obtiene:
(dl'/dy)2 = - (Vf/K) (1- 2y/D)1/2 d 2vldy2
Para integrar esta ecuacion se introduce la variable:
z = dl'/dy dz/dy = d2 l'/dy 2 Z2 (Vf IK) (1- 2y/D)1/2 (dz/dy)
dz/z2 =- (K/Vr) (1- 2y/D)-1/2 dy
La integracion de la ecuacion anterior produce:
-lIz (DK/Vf) (1 2y/D)1/2 + C
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985, 23
Suponiendo que en la pared el gradiente de velocidad es muy alto y tom an do
y -+ 0 z -+ ex: se obtiene:
C :::: - DK/Vf , lIz (DK/Vf) (1- (1- 2y/D)iI2)
Reemplazando Ia variable z se obtiene:
dv = (Vf/KD) (1-(1-2y/D)1/2)-1 dy
Para integrar esta ecuacion se introduce la variable
U = (1- 2Y/D)1/2 dy =-DUdU
AI reemplazar se obtiene:
dv =-(Vf/K)(UdU)/(1-U) (VfiK) (1-1/(1 U» dU
Despues de integrar se obtiene:
V=(Vf/K)(U+1n(1-U» + C1 =(Vf/K)«1-2y/D)1/2 + In(l (1-2y/D)1I2»+C 1
Para y =D/2 v = v0 velocidad maxima en el centro del tubaC I I' o
La ecuacion anterior se puede transformar a la forma:
(43)
Con ia ecuacion anterior se puede calcular el valor de K si se miden experi·
mentalmente con un tuba pitot 1'0, v, y, hr, L ..La velocidad de friccion se
calcula con la ecuacion Vf:::: V gOhf/4L. Medidas cuidadosas efectuadas por
Nikuradse en tubos con granos de arena pegada en sus paredes inteiiores per
mitieron calcular K. Este parametro varia ligeramente con un valor medio de
0,40. .
La ecuacion (43) permite calcular el perfil de velocidad si se conocen VI' , I' 0' K
pero su forma es compleja y dificil de manejar. Mediciones experimentales del
pet:fil de velocidad en flujo turbulento hechas por Nikuradse muestra que este
se puede aproximar por la ecuacion:
(ve -1') / Vf ::::- 2,5 In (2y/D) (44)
La variacion de K se debe a la suposicion de que cuando y -+ 0 dv /dy -+ ex: en
la integracion de la ecuacion (43); si se Ie hubiera dado un valor constante a
dl,/dy, K hubiera tornado valores aproximadamente constantes cercanos a
0,40 el valor comunmente aceptado para este parametro.
24 Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (ColombIa), No. 61, 1985.
Para, enc<;lnt~ar ~r:a relacion entre la velocidad media V y I ,. , .
tuara la sIgUJente mtegracion: a maxIma) 0 se el
f D12
Q V:::: e ~'. 27Trdr
Al reemplazar la ecuacion (44) en Ja anterior e integrar se obtiene:
V == I'Q - 3, 75 Vf
(,
!~arc~6~;Iazar la ecuacion (32) en Ia ecuacion (45) y simpJificar se obtiene
V/I'e = 1/(1 + 3,75 v7i8)
Sin embargo para que esta relacion se a' t . I
tales es necesario cambiar el 3 75 por J,u(he mtJort ~s redsultados experime
velocidad maxima queda:' ,yare aClOn e velocidad media
V11'0 == 1/(1 + 4,07.../fiB)
(4
La discrepancia se debe a que I ., (44) d '
tubolo cual difiere de Ia realid~dcuaclOn a dl'/dy ~ ,q para el centro d
bien los perfiles de velocidad m~d'd obstante. esta eiuaclOn define bastalll
(~3) y (44) son aplicables a flujo t~r~~I:~roe~~ne~~ap::;~I.nctI'ee·hLI'das, eI~uaciom1Isa 0 rugosa. rau Icamen1
2.2.1.3.1 ~ao~~i~~:l~:a~e friccion para flujo turbulento con superficie hidraul
~: ::R~st~~I~~ter:~rment? que el f~ctor de friccion es una fun cion d~1 mImE
hidraulic:mente 1isa l~f~:~:i~n~~~a~;~. Pda el flrjo turb.ulento con superfici
disipa dentro de Ia subcapa laminar {ra a P!lr a rugosldad de las paredes s
es una funcion exclusiva del numero' d~e~o en IdsteL·caso el ~~ctor de fricciol
reescribir en la forma: eyno s. a ecuaClon (44) se puedl
,1'/Vr :::: )'0 I VI' + 5,75 log (2y/D) :::: (voNn + 5,75 log (21lIpVfD) + 5,75 log (VfpY/l"
De las experimentaciones de Nik d .
mente lisa se encontro que la sum~~~ r ~ara t~bos con, sUl?erficie hidraulica·
cho def la ecuacion anterior es un valor ~~n~~~:~n:ge~~t;e5I1ll50myoSladellad?, detre
rna la orma: ' ecuaClon o·
l'/Vf = 5,50 + 5,75 log (Vfpylll)
(47)
AilS. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61. 1985.
21
Para encontrar una relacion entre la velocidad media V y la maxima l' 0 se efec
tuanlla siguiente integracion:
Q = (.n' /4). V =f~2><,d,
Al reemplazar la ecuacion (44) en la anterior e integrar se obtiene:
V = )'0 - 3, 75 Vr (45)
Al reemplazar la ecuacion (32) en la ecuacion (45) y simplificar se obtiene la
relacion:
VIvo = 1/(1 + 3,75 Vfi8)
· Sin embargo para que esta relacion se ajuste mejor a los resultados experimen
tales es necesario cambiar el 3,75 por 4,07 y la relacion de velocidad media a
velocidad maxima queda:
VIvo 1/(1 + 4,07 Vfi8) (46)
La di!)Crepancia se debe a que la ecuacion (44) da dl'/dy::/: 0 para el centro del
· tubo 10 cual difiere de la reaIidad, no obstante esta ecuclcion define bast ante
bien los perfiles de velocidad medidos experimentalmente. Las ecuaeiones
(43) y (44) son aplieables a flujo turbulento con superficie hidril.Ulieamente
lisa 0 rugosa.
2.2.1.3.1 Coefieiente de frieeion para flujo turbulento con superfieie hidril.Uli
. eamente lisa.
Se demostro anteriormente que el factor de friecion es una funcion del nume
ro de-Reynolds y la rugosidad relativa. Para el flujo turbulento con superfieie
hidraulieamente lisa la turbuleneia generada por la rugosidad de las paredes se
. disipa dentro de la subcapa laminar, luego en este .caso el factor de friccion
·es una funcion exclusiva del numero de Reynolds. La ecuacion (44) se puede
reescribir en la forma:
l'/V( )'0 I Vr + 5,75 log (2y/D) = (volVe) + 5,75 log (21l/pVfD) + 5,75 log (vrpY/Il)
De las experimentaciones de NikUl:adse para tubos con superficie hidraulica
mente lisa se encontro que la suma de los dos primeros tEmninos dellado dere
cho de la ecuacion anterior es un valor constante igual a 5,50 y la ecuacion to
_rna la forma:
l'/Vr=5,50 + 5,75 log (VfPy/ll) (47)
AQs. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61,1985. 25
26
La ecuacion (47) sirve para el calculo del perfil de v,~locida~ ~n flujo turbu
lento con superficie hidraulicamente lisa, Esta ecuaClon es facd de usar pues
define la velocidad en funcian de Vr =y"g'RSf valor que se puede calcular con
la medicion de R. hr. L, En la ecuaci6n ,(47), v, = Vo para,! == D 12, al reempiazar"
las ecuaciones (32) y (46) en la (47) y slmphflcar se obtlene:
1/.jT= -1,03 + 2,03 log (Ry'1)
Sin embargo para una mejor coincidencia de esta e~u,acion con lo~ r,esultados
medidos experimentalmente por Nikuradse se modlflCan sus coeflclentes nu
mericos y se obtiene la ecuacian:
1/yY:::-O,80 + 2log(RyY) (48)
Esta ecuacion sirve para calcular el factor de friccion para tubos con flujo tur
bulento y superficie hidraulicamente lisa.
Espesor de la subcapa laminar.
La ecuacion (47) fue obtenida experimenta.l"!en~e ~ s~ ajusta bi~n ai, perfil
de velocidad en flujo turbulento con superflcle hldrauhcamente hsa, SlI~ em
bargo tiene dos limitaciones: 10. cuando y -+ 0 v -+ 0: 10 cual contra~lCe la
realidad 20. cuando y == D/2 dvldy i= 0 situacion igualmente contrana a la
realidad. Esta ecuacion es valida para flujo turbulento y cerca a las t:a:edes
cuando y -+ 0 el flujo puede ser laminar, luego en esta zona, no es valIda la
ecuacion (47). Cerca a las paredes del tubo en la subcapa laI?mar el esfuerzo
unitario de friccion es aproximadamente constante, luego se tlCne:
T =To 'J-Id~'/dy
al integrar la ecuacion anterior se tiene:
I' (To / J-I)Y • vIp == (To / p) (y/J-I) =: Vr2 Y/J-I, v/Vr "'" V(PY/J-I (49)
La ecuacion (49) tiene forma similar a la ecuacion (47) y es valida para flujo
en la subcapa laminar.
Figura 9
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia). No. 61,1985.
En la figura 9 se muestran las ecuaciones (47) y (49). Se acostumbra tom
como espesor de la subcapa laminar 50 el punto de corte de las dos curve
r~~lm~nte ~ste punto corresponde a una zona de flujo transicional. La sol
CIOn slmultanea de. las dos ecuaciones da: Vr P ° j J-I == 11,6-26-. Este'valor se pu
0de transformar haCIendo Vr == V vITi8, R =: PVDIJ-I y se obtiene:
/j olD 32,884 j ( R v7)
, (51
Con. es~a ecuacion se calcula el espesor de la subcapa laminar. Al aument.
R d!sI?muye 0. 0 I,? ~ual hace q.ue en un mismo tuba para baja velocidad la Sl;
perfIcle sea hldrauhcamente hsa y para alta velocidad . sea hidraulicament rugosa.
La ecuacion (50) puede escribirse en la siguiente forma: .
(ooID) R.jT 32,884
Si en el lado izquierdo de la ecuacion anterior se reemplaza "6 "eI espesor dl
l~ subcapa laminar por "e" la altura promedio de la rugosidalabsoluta se obtlene:
(ejD) RVr
AI tomar los valo~e?_corresp(:>ndientes de las experiencias de Nikuradse y reem.
plaza!, et; l~ expreslO~ antenor se encuentra que la superficie se comporta co.
mo hldrauhcamente lIsa cuando
(e/D) RVr< "'" 8
(51)
La ec:ua~io~ (11) est~blece l!l condicion para que la superficie se comporte co
mo hldrauhcamen.~e hsa segun las experiencias de H. Schlichting. AI reempla
zar V f de la ecuaClon (32) en la (11) y reorganizando se obtiene:
(e/D) aVr< 5 V 8 14.14
(52)
EI lft;nite superior de la velocidad para que la turbulencia generada en las irre
gulandad~sde la pared del tubo comience a destruir fa subcapa laminar no es
muy preclso. co~o se d~sprende de las ~cu~ciones (51) y (52) repr:esentativas
d~ las expenen.cIas de Nl.lmradse y Schhchtmg, pero cualquiera de estas eeua
Clones n~s defme aproxlmadamente el limite maximo en don de se inicia la
destrucclOn de la subcapa laminar.
Si se ~o:nanlas eXI?~riencias de Nikuradse por ser un poco mas conservadoras
y se dlVlde la ecuaClon (51) por la ecuacion (59) se obtiene:
e I ho < 1/4,1
(53)
Ans. Fac. Nal, Minas, Medellin (Colombia). No, 61, 1985.
27,
En la figura 9 se muestran las ecuaciones (47) y (49), Se acostumbra tomar
como espesor de la subcapa laminar 6" el punta de corte de las dos curvas,
realmente este punta corresponde a una zona de flujo transicional. La solu
cion simultanea de las dos ecuaciones da: Vfp"o/ll '" 11,626. Este valor se pue-'
de transformar haciendo Vf = v..;Ti8,:R = pVDl1l Y se obtiene:
"olD 32,884 I ( R.j7) (50)
Con esta ecuacion se calcula el espesor de la subcapa laminar. Al aumentar
R disminuye 00 10 cual hace que en un mismo tuba para baja velocidad la su
perficie sea hidniulicamente lisa y para alta velocidad sea hidrimlicamente
rugosa.
La ecuacion (50) puede escribirse en la siguiente forma:
(oo/D) RYf = 32,884
Si en el lado izquierdo de la ecuacion anterior se reemplaza "0 0 " el espesor de
la subcapa laminar por "e" la altura promedio de la rugosidad absoluta se ob
tiene:
(e/D) Rv'T
AI tomar los valores correspondientes de las experiencias de Nikuradse y reem·
plazar en la expresion anterior se encuentra que la superficie se comporta co
mo hidraulicamente lisa cuando
(e/D) Rv'T<~ 8 (51)
La ecuacion (11) establece la condicion para que la superficie se comporte co
mo hidraulicamente lisa segun las experiencias de H. Schlichting. Al reempla
zar Vr de la ecuacion (32) en la (11) y reorganizando se obtiene:
(e/D) RYr< 5.J 8 == 14,14 (52)
Ellfmite superIor de la velocidad para que la turbulencia generada en las irre
gularidades de la pared del tuba comience a destruir la subcapa laminar no es
muy preciso como se desprende de las ecuaciones (51) y (52) representativas
de las experiencias de Nikuradse y Schlichting, pero cualquiera de estas ecua
dones nos define aproximadamente el limite maximo en donde se inicia la
destruccion de la subcapa laminar.
Si se toman·las experiencias de Nikuradsepor ser un poco mas conservadoras
y se divide la ecuacion (51) por la ecuacion (50) se obtiene:
e I bo < 1/4,1 (53)
Ans. Fac. Nat. Minas, Medellin (Colombia), No. 61.1985. 27
28
La ecuacion (53) muestra que cuando la rugosidad absol~~a es menor que el
es esor de la subcapa laminar dividido por 4,1 la superflcle del conducto se
ctmporta como hidrimIicamente lisa. Cu!':,ndo la rugosidad. absoluta is mat<?r
que el valor anterior se inicia la destrucclOn de l~capalla~mar )er?d e /a ~~
no es instantan~o porque la distribucio.n y tam~no?e as m.egu an a es de _
pared no son uniformes. Con base en lasexperJenclas de Nlkuradse se ha en
contrado que la turbulencia total se obtiene cuando
(e I D) RvlrS;; 200 (54)
AI dividir la ecuacion (54) por la (50) se obtiene:
e s;; 6 ° 0
(55)
Cuando la rugosidad absoluta es mayor que aproximadamente. se!s ~eces el
espesor de la subcapa laminar la superficie se comporta co~o hldr~~hcamlen
te rugosa. En el intermedio 0 0 /4,1 - 60 0 'se presenta.un fluJo tranSlclona con
parte de la pared del tubo recubierta por subcapa lam mar.
2.2.1.3.2 Coeficiente de friccion para flujo turbulento con superficie hidr[m
, licamente rugosa.
Mediante anaIisis dimensional se demostro que :1 factor ~e fr~lcio~l?:b~ sir
una funcion del numero de Reynolds y la rugosldad reiativa. ana ISIS e a
ca a limite demostro que para flujo ~on nU.mer? de Reynol,ds alto se d~str~ye
la ~ubcapa laminar y la viscosidad deja de mflulr en ~l fenomeno de fncclOn.
Las razones anteriores permiten esperar que para fluJo turbule~to.. con super
ficie hidraulicamente rugosa (turbulencia total), el factor de frJCClon sea una
funcion exclusiva de la rugosidad absoluta.
La ecuacion (44) puede transformarse a:
V/Vf :::; Vo IVf + 5,75 log (2y/D) :::; 1'0 IVr + 5,75Iog(2e/D) + 5,75 log (Y/e)
Con los resultados de las experiencias de I:Iikuradse s~ dem,ostro que la ecua
cion anterior define bien el perfil de velocldad en fluJo turbule~tolco~ supe~-
. ficie hidraulicamente rugosa y que en este tipo de flujo la suma ~ os os PrJ
meros terminos de la ecuacion anterior toma un valor constante 19ual a 8,48
y la ecuacion queda:
v/Vr = 8,48 + 5,75 log (y Ie) (56)
AI reemplazar en la e.cuac.i~n anterio~ y = D 12, Vr:::; v...;-fiS, Vo :=
V (1 + 4,07 .JIT8) Y slmphflcar se obhene:
11 vir:::; 0,9742 + 2,039 log (DIe)
Ans. Fac.. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985.
Esta ecuacion comparada con los resultados experimentales de Ni~
muestra que su forma matematica es correcta pero que para un mejor
es necesario modificar sus coeficientes y la ecuacion queda:
I/v'T == 1,14 + 2 log (DIe)
La ecuacion (48) sirve para calcular "f'; cuando la superficie es hidraulic
te lisa y la (57) cuando ~s hidraulicamente rugosa; el primer caso se Cl
cuando (e!D)R v'T~ 8 el segundo cuando (e/D R V f ~ 200. Para valores
de RIa ecuacion (48) da valores mayores de "f" que la (57), al aUmental
situacion se invierte. Si se igualan las ecuaciones (48) y (57) y se simplif
obtiene Ia ecuacion (e/D)R v'T= 9,33.
Cuando el factor (e ID)R v'T~ 9,33 se debe usar Ia ecuacion (48) para eI (
10 de "f" en caso contrario se debe usar la ecuacioh (57), Siguiendo la n,
anterior se obtienen valores de "f" ligeramente mayo res 0 iguales al valor
2.2.1.4 Estudios experimentales def"factor de friccion.
Los resultados de los capftulos anteriores demostraron que el factor de friCI
es una fun cion del numero de Reynolds y de la rugosidad relativa del tt
Experimentalmente pueden medirse los pariimetros necesarios para calcular
con la ecuacion (30) en la siguiente forma: se colocari dos piezometros en
tubo de diametro D y espaciados una longitud L, se miden el gasto Qque ~
por el tubo, la diferencia de altura piezometrica hr y la temperatura del ag
Con las medidas anteriores se calculan: V:::; 4QI1TD2, R= VDlv y f con la ec
cion (30) 0 con las ecuaciones la :::; 8fLQ 2 11T 2 gD 5 Y R= 4QI1TDv. Se aume.
el gasto Q desde cero hasta obtener un numero de Reynolds que garantice t
bulencia total, en esta forma se obtiene un numero conveniente de pares de
lores f, R para dibujar su relacion. .
Stanton (1914) dibujo f contra Ren escalas logarftmicas y encontro una re
cion entre f y Rpara los diferentes tipos de flujo, pero no pudo definir un {:
rametro para representar la rugosidad de la~paredes del tubo. . .
Nikuradse (1933) preparo tubos con rugosidad conocida, para ello pego gran(
de arena de tamafio uniforme y diiimetro conocido al interior de tubos de dif,
rentes diametros. Las experiencias de Nikuradse son universalmente aceptad.
como validas para el estudio del flujo turbulento. . .
La figur.a 10 presenta el resumen de las experiencias de Nikuradse, dibujadas se
bre el dIagram a de Stanton. Para valores de R inferiores a 2000 todos los pun
tos experimentales se agrupan sobre una recta de ecuacion f == 64 I R. Al au
Ans. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 1985.
2~
http:presenta.un
.Esta ecuacion comparada con los resultados experimentales de Nikuradse
muestra que su forma matematica es correcta pero que para un mejor ajuste
es necesario modificar sus coeficientes y la ecuacion queda:
1/ yT = 1,14 + 2 log (DIe) (57)
La ecuacion (48) sirve para calcular "f" cuando la superficie es hidraulicamen
te lisa y la (£)7) cuando ~s hidrtlulicamente rugosa; el primer caso se cumple
cuando (e/D)R.jT~ 8 el segundo cuando (e/D R V f ~ 200. Para valores bajos
de RIa ecuacion (48) da valores mayo res de "f" que la (57), al aumentar R la
situacion se invierte. Si se igualan las ecuaciones (48) y (57)y se simplifica se
obtiene la ecuacion (e/D)R.jT= 9,33.
Cuando el factor (e/D)R ~~ 9,33 se debe usar la ecuacion (48) para el calcu
10 de "f" en caso contrario se debe usar la ecuacion (57). Siguiendo la norma
anterior se obtienen valores de "f" ligeramente mayo res 0 iguales al valor real.
2.2.1.4 Estudios experimentales del~actor de friccion.
Los resultados de los capftulos anteriores demostraron que el factor de friccion
es una funcion del numero de Reynolds y de la rugosidad relativa del tubo.
Experimentalmente pueden medirse los parametros necesarios para calcular "f"
con la ecuacion (30) en la siguiente forma: se colocan dos piezometros en un
tuba de diametro D y espaciados una longitud L, se miden el gasto Q que pasa
por el tub'o, la diferencia de altura piezometrica hf y la temperatura del agua.
Con las medidas anteriores se calculan: V = 4QlnD2, R= VDlv y f con la ecua
cion (30) 0 con las ecuaciones ht = 8fLQ2 In 2 gD5 y R = 4Q InDv. Se aumenta
el gasto Q desde cero hasta obtener un numero de Reynolds que garantice tur
bulencia total, en esta forma se obtiene un numero conveniente de pares de va
lores f, R para dibujar su relacion.
Stanton (1914) dibujo f contra Ren escalas logarftmicas y encontro una rela·
cion entre f y Rpara los diferentes tipos de flujo, pero no pudo definir un pa·
rametro para representar la rugosidad de las paredes del tubo.
Nikuradse< (1933) preparo tubos con rugosidad conocida, para ella pego granos
de arena de tamaiio uniforme y diametro conocido al interior de tubos de dife·
rentes diametros. Las experiencias de Nikuradse son universalmente aceptadas
como validas para el estudio del flujo turbulento.
La figura 10 presenta el resumen de las experiencias de Nikuradse, dibujadas so
bre el diagrama de Stanton. Para valores de R inferiores a 2000 todos los pun·
tos experimentales se agrupan sobre una recta de ecuacion f = 64 / R. Al au-
Ans. rae. Nal. Minas, Medellin (Colombia), No. 61, 19B5. 29
http:e/D)R.jT
http:e/D)R.jT
--
--
,
0.10
0.08
0.06
I\... V
\' ........v~ i...-~0.04
\ I -
" +-\ "'" I- 2 ....
1\ '"
I
104 10 5 I,310 0 6
IR
Figura 10
•. 1 irregular entre 2000 y 5000. Paramen tar R· se presenta una zona transl~lOna erimentales se agrupan inicialmen
valores de R mayores de 5000 losdunl ~~~~Pturbulento con superficie hidrauli
te sobre una curva que coRsPdn e d.' ndo del valor de e/D los puntos se sepa
camente lisa. Al au~entar y epene~ecurvas separadas para cad a valor de eiD.
ran de la curva comun y se algrupan t t independiente de R para cada eiD.Finalmente "f" toma un va or cons an e .
0.0333
0.0163
0.00B3f e/d
0.0040
0.0020
0.0
0.0010
0.0
. . d N'k d no se pueden aplicar directa· Los resultados de las ~xpenencblas e I c~:~ss~orque la rugosidad de estos es mente al calculo de flu]o en tu os comer
diferente.
. , t resultados y las ecuaciones obtenidas CO!!Colebrook (1939) demostro que. es os idad de los tubos comerciales. Expen
elIos pueden, utilizarse para :nedIr la rufos de R suficientemente altos p-ara ob
mentando en tubos comercIales con va ores laza en la ecuacion (57). En
tener "f" constante kse mlidel.estleDval~:aYatg~~~~~~bos comerciales Y obtuvo los esta forma Colebroo ca cu 0 e p
siguientes valores para e:
Hierro vaciado sin revestimiento 0,25 mm
Hierro galvanizado 0,15 mm
Hierro vaciado y asfalto 0,13 mm
Hierro forjado 0,05 mm
30 Fa.. Minas•.Medellin (Colombia). No. 61. 1985.Ans. C Nal
~------------
Las ecuaciones (48) y (57) se pueden transformar a:
I/Yf- 2 log(D/e) :::: - 0,8 + 2Iog(e/D)RV'Y
1/ ..[f - 2 log(D/e):::: 1,14
Si en un grcifico se tom a como abscisa la variable (e/D)R V7en escala loga
mica y como .ordenada la variable 1/..;7- 2 log(D/e) en escala aritmetica se
tienen dos rectas para las ecuaciones (48) y (57) esto se muestra en la figura
las cuales corresponden a superficies hidraulicamente lisa e hidraulicamente gosa en su orden.
De acuerdo con las experiencias de Nikuradse y Colebrook la ecuacion (48)
valida para valores de (e/D)R ..;7hasta"", 8 la ecuacion (57) es valida para va
res de (e /D) Rv' f mayores de aproximadamente 200, en el intermedio de est
dos valores se encuentra una zona transicional; Colebrook encontro que los]
sultados de todas las superficies en tubos comerciales se pueden aproximar p la ecuacion: .
l/V'Y- 2 Jog (DIe) "" 1,14 210g (1 + 9,28/ «e/D)RYf)
(5
La ecuacion (58) si bien se puede aplicar a toda c1ase de tubos comerciales eJ
muy compleja para su usa en el tiempo en que se propuso, (hoy no 10 es por I
facilidad que prestan las calculadoras electronicas) para obviar esta dificulta
Moody (1944) dibuj6 la ecuacion (58) en una forma similar a la propuesta pc
Stanton y present6 el grclfico de la ligura 12 basado en las experiencias d
Colebrook y en las propias, este gratico ha sido muy utilizado para ciilculo d
tuberfas y se conoce con el nombre de "diagram a de Moody".
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Figura 11
Ans. Fac. Nal. Minas. Medellin (Colombia). No. 61. 1985.
31
Las ecuaciones (48) y (57) se pueden transformar a:
1/-/T 2 log(D/e) =- 0,8 + 21og(e/D)R-/T
1/ .JT - 2 log(D/e) = 1,14
Si en un grafico se toma como abscisa la variable (e/D)R .JTen escala logarit
mica y como. ordenada la variable 1/.jT 2 log(D Ie) en escala aritmetica se ob
tienen dos rectas para las ecuaciones (48) y (57) esto se muestra en la figura 11,
las cuales corresponden a superficies hidraulicamente lisa e hidraulicamente ru
gosa en su orden.
De acuerdo' con las experiencias de Nikuradse y Colebrook la ecuaci6n (48) es
valida para valores de (e/D)R .jThasta "'" 8 la ecuacion (57) es valida para valo
res de (e/D) Rv' f mayores de aproximadamente 200, en el intermedio de estos
dos valores se encuentra una zona transicional; Colebrook encontro que los re
sultados de todas las superficies en tubos comerciales se pueden aproximar por
la ecuacion:
1/.JT- 2 log (D/e) = 1,14 - 2log (1 + 9,28 / «e/D)R v'T» (58)
La ecuacion (58) si bien se puede aplicar a toda clase de tubos comerciales era
muy compleja para su uso en el tiempo en que se propuso, (hoy no 10 es por la
facilidad que prestan las calculadoras electronicas) para obviar esta dificultad
Moody (1944) dibujo la ecuacion (58) en una forma similar a la propuesta por
Stanton y presento el grafico de la figura 12 basado en las experiencias de
Colebrook y en las propias, este grafico ha sido muy utilizado para calculo de
tuberias y se conoce con el nombre de "diagrama de Moody".
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(e ID) 1R v' f
Figura 11
Am. Fac. Nal. Minas, Medellin (Colomblal, No. 61, 1985. 31
Moody continuo, la medicion de rugosidad absoluta en tubos comerciales inicia
da por Colebrook y obtuvo los siguientes valores:
Madera 0,18 - 0,91 mm
Concreto 0,30 - 3105 mm
Acero remachado 0,89 - 8,89 mm
La rugosidad de cada material varia ampliamente con el proceso de fabricacion
del tubo y algunos materiales cambian rugosidad con el tiempo de uso del tubo.
En la actualidad mediante el uso de calculadoras electronicas es mas facil utili
zar las ecuaciones (48), (57) y (58) para calcular f que usar el diagrama de
Moody.
2.2.1.5 Formulas empiricas para el calculo de flujo en tuberia.
Durante el siglo pasado y comienzos del presente se obtuvieron much as formu
las empiricas basadas en resultados experimentales de flujo de agua en tubos de
diversos materiales.
Cada una de estas formulas representa un modelo matematico que se aproxima
a los valores de velocidad y friccion obtenidos en ellaboratorio para unas deter
minadas condiciones, pero no puede asegurarse que este modelo sea valida por
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