notas_avanzadas compilacion matematicas olimpiadas-138

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7. Exámenes 7.2. Concursos nacionales de la OMM
7.2.12. XII Olimpiada mexicana de matemáticas (1998)
Problema 7.153 Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras y repetir esta
operación suficientes veces obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que 1900 →
82 → 68 → 100 → 1. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos
números sean suertudos.
Problema 7.154 Dos rayos l y m parten de un mismo punto formando un ángulo α, y sea P un
punto en l. Para cada circunferencia C tangente a l en P que corte a m en puntos Q y R, sea T el
punto donde la bisectriz del ángulo QPR corta a C. Describa la figura geométrica que forman los
puntos T . Justifique su respuesta.
Problema 7.155 Cada uno de los lados y las diagonales de un octágono regular se pinta de rojo
o negro. Demuestre que hay al menos siete triángulos cuyos vértices son vértices del octágono y sus
tres lados son del mismo color.
Problema 7.156 Encuentre todos los enteros que se escriben como
1
a1
+
2
a2
+ · · ·+ 9
a9
,
donde a1, a2, . . . , a9 son d́ıgitos distintos de cero que pueden repetirse.
Problema 7.157 Sean B y C dos puntos de una circunferencia, AB y AC las tangentes desde A.
Sean Q un punto del segmento AC y P la intersección de BQ con la circunferencia. La paralela a
AB por Q corta a BC en J . Demuestre que PJ es paralelo a AB si y sólo si BC2 = AC × CQ.
Problema 7.158 Un plano en el espacio es equidistante a un conjunto de puntos si la distancia de
cada punto al plano es la misma. ¿Cuál es el mayor número de planos equidistantes a 5 puntos de
los cuales no hay 4 en un mismo plano?
7.2.13. XIII Olimpiada mexicana de matemáticas (1999)
Problema 7.159 Sobre una mesa hay 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no
se especifica cuál de sus dos lados está hacia arriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada
persona en su turno hace una de las siguientes cosas:
(i) Retira un número cualquiera de fichas, con la condición de que todas las fichas retiradas tengan
el mismo color hacia arriba,
(ii) Voltea un número cualquiera de fichas, con la condición de que todas las fichas tengan el mismo
color hacer arriba.
Gana el que toma la última ficha. ¿Cuál jugador puede asegurar que ganará, el primero en jugar o
el segundo?
Problema 7.160 Demuestre que no existen 1,999 primos en progresión aritmética todos ellos me-
nores que 12,345.
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