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Estática y Resistencia de Materiales 
 
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FÍSICA I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
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Física 1 
Estática y Resistencia de materiales 
La reproducción total o parcial de esta obra queda prohibida por 
cualquier medio, sin la autorización escrita del autor. 
 
Derechos reservados 2018 editorial Círculo Rojo. 
Ave. Chapultepec 20154 Torre A, piso 14 
Colonia moderna, Guadalajara Jal. 
 
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. 
978-970-10-6556-3 
Impreso en Guadalajara Jal.
 1. Conceptos generales de la física 
 
9
 
 
 
Presentación 
Física 1, Estática y Resistencia de Materiales es el primer acercamiento de los estudiantes 
de la ingeniería en arquitectura del sistema de educación superior Univer, que incorpora los 
conocimientos básicos de la física clásica , específicamente el análisis vectorial, para el 
estudio de las condiciones que permiten el equilibrio entre diferentes sistemas. Aunado a la 
parte teórica, se presenta una exposición clara sobre los ejemplos típicos así como a las 
aplicaciones más usuales en la ingeniería de la construcción. Como complemento de este 
material, se exponen las principales definiciones y métodos de la mecánica medios sólidos, 
especialmente enfocado a la resistencia de materiales. 
 Los principales objetivos de este libro son: 
1. Formar una base sólida de las leyes de la mecánica utilizando el lenguaje de las 
matemáticas para entender conceptos y fenómenos, analizar situaciones específicas y 
modelar el comportamiento futuro de sistemas físicos simples. 
2. Reforzar los conocimientos de física, adquiridos en la educación media superior 
mediante ejercicios auto-contenido que requieran de una aplicación integral de temas 
anteriores. 
3. Establecer una relación natural entre el lenguaje de las matemáticas con el mundo de 
los fenómenos físicos. 
4. Motivar a los estudiantes de nivel superior a incurrir en el campo de las ciencias en su 
nivel universitario. 
El texto de Física 1 abarca los temas fundamentales de la física clásica, está dividido 
en cuatro capítulos. El primero de ellos pretende esbozar una introducción a los conceptos 
fundamentales de la física y el lenguaje vectorial que es la base de los cursos posteriores. 
El segundo capítulo aborda la leyes de movimiento de Newton, aplicadas al equilibro de las 
partículas, sistemas de partículas y medios continuos. El tercer capítulo incorpora el 
concepto de momento de una fuerza, utilizado para estudiar de manera más profunda el 
equilibrio rotacional de los cuerpos y de esta manera formar una visión general del concepto 
de equilibrio. Finalmente el capítulo cuarto presenta un enfoque práctico a los conceptos 
fundamentales de la mecánica del medio continuo, específicamente del estado sólido y de 
las propiedades de resistencia de los materiales. 
 A inicio de cada capítulo se presentan una serie de preguntas introductorias con el 
siguiente símbolo para generar una especie de diagnóstico sobre el tema, no se 
espera que el alumno complete correctamente todas estas cuestiones ya que el objetivo 
principal es estimular la curiosidad y formar un panorama general del capítulo. 
 Al inicio de cada tema se presenta una introducción teórica al mismo, donde se 
desarrollan las ecuaciones más importantes, además de exponer las definiciones y 
 
 
 
 
conceptos que se trabajaran a lo largo de ese capítulo. Dentro de este desarrollo teórico se 
comienza a introducir de manera paulatina ejemplos incrementándose el grado de 
complejidad a medida que se avanza, estos ejemplos se encontrarán representados por el 
símbolo . De manera intercalada se presentan ejercicios similares a los ejemplos 
resueltos, estos ejercicios se simbolizan mediante y están clasificados en tres 
niveles de complejidad. 
El nivel uno representa una aplicación directa de la definición o de alguna ecuación 
representativa del tema, estos ejercicios tienen el propósito de fortalecer el dominio 
conceptual del tema. 
El nivel dos puede ser una aplicación directa de las definiciones o ecuaciones 
fundamentales pero además se requiere realizar alguna conversión, sustitución o despeje así 
como interpretar gráficas o construirlas a partir de datos dentro del problema. 
El nivel tres además de aplicar las definiciones y ecuaciones principales exige 
realizar un análisis de gráficas. Es común que en este nivel de ejercicios se tenga que 
fragmentar el problema para resolverlo por partes, esto implica realizar varias sustituciones, 
despejes y/o resolver ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones etc. 
 Dentro del libro igual que el de Física 1 se presenta ayuda mediante videos realizados 
por el autor del libro, estos videos son tanto de temas teóricos como de los diversos ejercicios 
que se presentan a lo largo del libro. Usted podrá acceder a estos videos escribiendo el 
nombre del video en YouTube, la identificación de estos recursos es muy intuitiva, basta con 
ubicar el símbolo e ingresar en un buscador con acceso a internet. 
 Indudablemente pese al esfuerzo que se realizó durante la elaboración de este manual, 
los errores estarán presentes, es por ello que se le pide de la manera más atenta a los 
estudiantes y profesores hacernos llegar todas las fallas encontradas para poder corregirlas a 
la brevedad y poder obtener más beneficios de este tu libro. 
 
Mauricio López Reyes 
 
 
 
 
 
 
 1. Conceptos generales de la física 
 
11
 
 
 
Sobre el autor 
Mauricio López Reyes, nació en Arandas Jalisco, un 
municipio en la región de los altos. Desde pequeño 
mostró interés por los fenómenos naturales, 
especialmente por la formación de nubes y las 
tormentas, además la enseñanza es algo que lo ha 
identificado desde la primaria “Recuerdo que en 
primero de primaria ya daba clases a mis compañeros, 
incluso les aplicaba exámenes”. 
La formación académica básica la realizó en la ciudad de Tijuana cursando el nivel 
secundario en la Secundaria federal #2 “Leyes de Reforma”, Posteriormente ingresó a Cetys 
Universidad donde realizó sus estudios de bachillerato en el área físico-matemática. A la par 
con sus estudios, representó a Baja California y a México en diversas competencias 
nacionales e internacionales de voleibol. 
 En 2013 se matriculó en la licenciatura en ciencias físicas de la Universidad de 
Guadalajara donde se graduó en 2017. Actualmente estudia la maestría en geofísica y 
meteorología estudiando los ciclones tropicales y su proceso de intensificación, además es 
docente de materias universitarias en la universidad Univer y en la U de G. Con especial 
interés en la enseñanza de las matemáticas y física. 
 Le gusta pasa tiempo en el campo con su familia, observando el cielo y la formación 
de nubes además de entrenar a un equipo juvenil de voleibol como hobby. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mauricio López Reyes, nació en Arandas Jalisco, un municipio 
en la región de Los Altos. Desde pequeño mostró interés por los 
fenómenos naturales, especialmente por la formación de nubes 
y las tormentas, además la enseñanza es algo que lo ha 
identificado desde la primaria “Recuerdo que en primero de 
primaria ya daba clases a mis compañeros, incluso les aplicaba 
exámenes”. 
La formación académica básica la realizó en la ciudad de 
Tijuana cursando el nivel secundario en la Secundaria federal 
#2 “Leyes de Reforma”, Posteriormente ingresó a Cetys 
Universidad donde realizó sus estudios de bachillerato en el área 
físico-matemática. A la par con sus estudios, representó a Baja 
California y a México en diversas competencias nacionales e 
internacionales de voleibol. 
 En 2013 se matriculó en la Licenciatura en Ciencias 
Físicas de la Universidadde Guadalajara donde se graduó en 
2017 con mención de honor. En 2022 obtuvo el grado de 
Maestro en Ciencias en Geofísica y Meteorología por la 
Universidad Complutense de Madrid. Actualmente realiza sus 
estudios de Doctorado en Física, con orientación en la dinámica 
de la atmósfera. Mauricio tiene diversos artículos publicados en 
revistas internacionales en las áreas de física de la atmósfera, 
agrofísica y física educativa. 
 Le gusta pasa tiempo en el campo con su familia, 
observando el cielo y la formación de nubes además de entrenar 
a un equipo juvenil de voleibol como hobby. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con especial dedicatoria por sus clases de todos los días. 
Prof. Tomás Reyes Vivanco 
Mi abuelito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1. Conceptos generales de la física 
 
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Índice de Contenidos 
 
Temas Página 
I. Conceptos generales de la física ................................................................ 9 
II. Sistemas en equilibrio traslacional ........................................................... 52 
III. Momento de una fuerza y equilibrio ........................................................ 89 
IV. Mecánica de sólidos .................................................................................... 121 
A1) Relación de los videos en YouTube ............................................................... 171 
A2) Formularios y tablas ....................................................................................... 172 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Si he hecho descubrimientos invaluables ha sido más por tener paciencia 
que cualquier otro talento” 
Isaac Newton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1. Conceptos generales de la física 
 
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1. Conceptos generales de la física 
 
 
ctualmente el ser humano depende de una gran cantidad de aparatos para realizar 
muchas de sus actividades cotidianas, ejemplos claros son las herramientas de la 
información y comunicación, la rápida evolución de los vehículos y los pasos 
agigantados que se dan en el mundo de la nanotecnología o de las exploraciones espaciales. 
 Por otra parte, el hombre siempre está interesado por entender a la naturaleza ya que 
su comprensión le ha permitido obtener beneficios para alimentarse, para mejorar los lugares 
de residencia y en general para elevar la calidad de vida. 
 Pues bien, la física al ser una ciencia central brinda la posibilidad de estructurar el 
conocimiento científico en aras de los paradigmas impuestos por el hombre a lo largo de la 
historia, por ejemplo en la edad media se creía que la tierra era plana además que era el centro 
del universo, universo que se creía estático y finito. Date cuenta de la cantidad de paradigmas 
que se han roto y por la naturaleza del ser humano se imponen nuevos paradigmas para poder 
dar explicación de la naturaleza y de esa manera acercarnos más a la verdad. Vaya nos hemos 
puesto muy filósofos. Resulta que la física nace mucho antes de que los hombres habitaran 
A 
1. Conceptos generales de la física 
 
 
 
 
el planeta, la física por si sola es verdadera y en palabras de Paul Dirac (Pionero de la teoría 
cuántico-relativista) es un acercamiento a lo que pensaba Dios cuando creó el universo, si es 
que existe sólo un universo… 
 En este primer capítulo de tu libro de Física I se sentarán las bases técnicas de la 
física, nos pondremos de acuerdo en un lenguaje llamado matemáticas, que nos permitirá 
explicar mediante leyes fundamentales de la naturaleza los fenómenos correspondientes a la 
mecánica newtoniana, para ello es necesario que el estudiante recuerde los conceptos básicos 
de sus cursos previos de matemáticas, tales como resolución de ecuaciones lineales, 
cuadráticas, sistemas de ecuaciones y las relaciones trigonométricas fundamentales. 
 ¿Qué es la física? 
La naturaleza es un ente vivo el cual se encuentra en constante cambio, tal es el caso de los 
cambios en la temperatura en el transcurso del día, las estaciones del año, el crecimiento de 
los seres vivos, las descargas eléctricas dentro de una tormenta, los sismos, etc. Prácticamente 
a donde observemos, lo que toquemos o cualquier cosa que podamos percibir con nuestros 
sentidos no durará en su estado por mucho tiempo. Esto debido a que la materia que es de lo 
que está constituido el universo (bueno casi todo, ya que existe la antimateria) que no 
abordaremos en estos cursos de física, como la materia está en constante cambio debido a 
otro ente físico muy escurridizo y difícil de definir, el concepto de energía, que al 
interaccionar con la materia o al transformarse en materia presupone un cambio en su 
estructura, apariencia y propiedades. 
La física se encarga de estudiar las transformaciones de la energía, sus 
manifestaciones y la interacción con la materia, de esta manera la física se puede definir 
como una ciencia central que trata el comportamiento de la materia y la energía en el nivel 
más fundamental. 
 Así mismo la física es un agente de predicción pues al estudiar la materia y la energía 
en su nivel más fundamental, se pueden establecer leyes que tengan la capacidad predecir el 
comportamiento futuro de la materia y por lo tanto, modelar fenómenos naturales como los 
huracanes, el movimiento planetario, la desintegración de partículas elementales, e incluso 
los hipotéticos viajes en el tiempo o las teorías del origen del universo. 
La interacción de la física con otras ciencias 
Debido al carácter fundamental de la física esta influye en otros sectores del conocimiento, 
por lo mismo se conoce a la física como una ciencia central. Pensemos en la química, esta 
ciencia que tú ya estudiaste en tus primeros semestres del bachillerato se centra en estudiar 
la composición y propiedades de la materia así como las transformaciones que sufre, 
comparemos esta definición con la de la física, notarás que se repiten algunas palabras clave 
como: materia y transformación, si analizamos el contexto de transformación como una 
consecuencias de la interacción de la materia con la energía podrás notar que ambas ciencias 
 1. Conceptos generales de la física 
 
17
 
 
 
se relacionan fuertemente hasta el punto de coexistir como ciencias hermanas e influyentes 
una en la otra. 
 Si pensamos en el concepto de materia, este lo podemos ir desintegrando en sus 
componentes más fundamentales, por ejemplo una nube está formada por partículas de agua 
en diferentes estados de agregación (sólido, líquido y gas) al observar con un microscopio la 
gotita de agua, notarás que esta es un conjunto de elementos más fundamentales en arreglos 
específicos llamadas moléculas uniendo dos átomos de hidrógeno con uno de oxígeno, pues 
bien, estos átomos se creían indivisibles hace algunos siglos, ignorando la presencia de 
componentes más fundamentales como los electrones, protones y neutrones, mismos que 
forman la estructura básica de un átomo de cualquier elemento de la tabla periódica y que 
por poseer masa interaccionan entre si produciendo cambios en niveles de escala muy 
pequeños. Si pensabas que esto era todo, con el desarrollo de la mecánica cuántica y la física 
nuclear se han descubierto muchísimas partículas llamadas “partículas elementales” tal es 
el caso de los quarks, neutrinos, gluones, bosones, muones y algunas partículas teóricas como 
los taquiones. Estas partículas mucho más pequeñas que los electrones son la base de la 
materia, ¡claro! Tú estás formado por estas partículas elementales y muchas otras que no se 
escribieron aquí. 
 Además la física tiene diversas aplicaciones en el mundo de la biología, ecología 
ayudando a estas ciencias a formar modelos que predigan, por ejemplo la tasa de crecimiento 
de una población de animales o el impacto ambiental que trae latala de árboles. Otro ejemplo 
del efecto interdisciplinario de la física es la aplicación en las ciencias sociales pues estas 
utilizan modelos de la teoría del caos para predecir y modelar las migraciones humanas a lo 
largo de la historia ya sea por factores económicos, bélicos o naturales del mismo modo 
muchos de los modelos y leyes de la física matemática se emplean en teorías económicas que 
se utilizan para predecir el flujo y comportamiento de las bolsas de valores. 
División de la física 
La física al igual que las otras áreas del conocimiento, tiene diferentes intereses de 
investigación mismos que se clasifican en dos grandes rubros; la física teórica y la física 
experimental, en el primer caso el objetivo es el desarrollo de nuevas teorías utilizando 
fundamentalmente las matemáticas y toda la abstracción posible para imaginar y proponer 
resultados que no necesariamente deben una demostración experimental, el estudio de los 
agujeros de gusano y los viajes en el tiempo es un ejemplo clásico de este enfoque. Por otro 
lado la física experimental utiliza las leyes fundamentales para diseñar simulaciones por 
computadora, experimentos físicos en el laboratorio aportando conocimiento al sector 
tecnológico e industrial de forma directa, un ejemplo son los avances en óptica, que han 
favorecido el desarrollo de tecnología para mejorar la visión de los humanos. 
 
 
 
 
Además de esta división, la física se puede descomponer en ramas específicas, mismas que 
admiten y compaginan la parte teórica con la experimental. Por un lado tenemos la física 
clásica que estudia los fenómenos naturales que ocurren a velocidades mucho más pequeñas 
que la velocidad de la luz (aproximadamente 300,000	𝑘𝑚/𝑠) y en una escala macroscópica, 
eso significa que los fenómenos pueden ser observados y no es necesario el uso de aparatos 
como los microscópios. 
 Por otro lado, a raíz del descubrimiento del electrón y otras partículas elementales y 
en paralelo con la teoría de la relatividad de Einstein, se creó otra vertiente de la física, esta 
vez llamada física moderna que estudia los fenómenos que ocurren a una escala muy 
pequeña y/o a velocidades muy cercanas a la de la luz. 
 
 Con base a la explicación en clase y del texto anterior, realizar una 
investigación conceptual sobre las diferentes divisiones de la física y su clasificación en 
clásica o moderna para llenar el siguiente cuadro comparativo. 
Rama de la física Campo de estudio 
F. 
Clásica 
F. 
Moderna 
Mecánica Estudia el movimiento y equilibrio de las partículas, cuerpos sólidos y líquidos. 
 
Termodinámica 
 
Mecánica cuántica 
 
Óptica 
 
Electromagnetismo 
 
 
Es la rama de la física que estudia los efectos a altas 
velocidades y en distintos marcos de referencia 
mostrando que todo depende del observador. 
 
Física nuclear 
 
 1. Conceptos generales de la física 
 
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Método experimental 
Desde los primeros descubrimientos acerca del funcionamiento de la naturaleza, estos se han 
obtenido a partir de la curiosidad del humano manifestada por la experimentación y algunos 
pocos han surgido de accidentes o como resultados colaterales. En esta sección se estudiará 
el método utilizado en la física experimental, las características de dicho método y los pasos 
que por lo general y de manera lógica se siguen para obtener algún resultado, ya sea una ley 
física, una comprobación o un producto. 
 La investigación comienza identificando un problema mediante la observación que 
no necesariamente debe ser por los sentidos del hombre sino con ayuda de instrumentos como 
los microscopios, telescopios, softwares y otros aparatos con mucha sensibilidad como los 
sismógrafos. Una vez realizada la observación se plantean predicciones tratando de explicar 
el fenómeno, una hipótesis es una idea o conjetura para explicar por qué o cómo se produce 
determinado hecho o fenómeno. 
 Para elaborar una hipótesis se debe suponer lo siguientes: 
• La existencia de determinadas relaciones entre hechos observados. 
• La posibilidad de contrastar, con la experiencia, las consecuencias que obtendríamos 
de ser verdaderas tales suposiciones. 
Hay que mencionar que la ciencia y específicamente la física no es un proceso terminado, ya 
que se encuentra en constante evolución y desarrollo, un ejemplo contemporáneo de esto es 
el actual descubrimiento de las ondas gravitacionales, apenas en el 2017 con ayuda de la 
teoría de la relatividad general de Einstein y de los inmensos interferómetros LIGO en 
Estados Unidos, se demostró que grandes explosiones de estrellas generan perturbaciones en 
el espacio tiempo, modificando su concepto mismo. 
 El método científico experimental es utilizado en las ciencias factuales que son 
aquellas que requieren una demostración experimental para validar las leyes establecidas 
Acústica 
 
Física atómica 
 
Geofísica 
 
 
 
 
 
teóricamente, tal es el caso de la física. De manera general y puntualizando que este método 
es flexible según las necesidades y objetivos propuestos, se tiene como una posible secuencia 
del método los siguientes pasos: 
1. Identificación del problema, es decir, cual es el fenómeno de estudio. 
2. Observación del fenómeno. 
3. Planteamiento del problema para poder definir claramente que vamos a investigar. 
4. Formulación de hipótesis (así como la identificación de las variables dependientes e 
independientes) 
5. Investigación bibliográfica, en libros, revistas especializadas, artículos de 
investigación, sitios en internet, etc. 
6. Experimentación, misma que se llevará a cabo mediante la manipulación controlada 
de las variables. 
7. Registro e interpretación de los datos recabados. 
8. Comprobación de la hipótesis mediante discusiones. 
9. Obtención o comprobación de una ley. 
10. Elaboración de un reporte de investigación donde se relaten las partes más 
importantes del proceso siguiendo este esquema. 
Unidades y dimensiones 
El distintivo de una buena ciencia es la medición. Lo que conozcas acerca de algo suele 
relacionarse con lo bien que lo puedas medir. La medición es una comparación entre dos o 
más patrones o magnitudes. Por ejemplo cuando hablamos de la escala de intensidad de un 
huracán, sabemos que estos se clasifican en 5 categorías de intensidad, que dependen de la 
velocidad de los vientos, de manera que cuando escuchamos en los medios de comunicación 
que un huracán categoría 4 se dirige hacia la península de Baja California usted ya tiene una 
idea de la intensidad y los posibles daños que pueda causar. El ser humano es por naturaleza 
un ser “medidor” que siempre está comparando precios, tamaños, durabilidad etc. En la física 
todas las observaciones deben ser medidas (comparadas con otras observaciones) para poder 
extraer información y llegar a conclusiones útiles. 
 El primer sistema de unidades bien definido que hubo en el mundo fue el Sistema 
Métrico Decimal, implementado en 1975 como resultado de la Convención Mundial de 
Ciencia celebrada en París. A fin de encontrar una unidad patrón para medir longitudes se 
dividió un meridiano terrestre en 40 millones de partes iguales y se llamó metro a la longitud 
de cada parte. 
 Una ventaja del SMD fue su división decimal, ya que mediante el uso de prefijos 
como: deci, centi, mili entre otros, podemos simplificar cantidades muy grandes o muy 
pequeñas en una notación más cómoda y que permite que los futuros cálculos e 
interpretaciones sean más sencillos. 
 
 1. Conceptos generales de la física 
 
21
 
 
 
 
El Sistema Internacional de Unidades (SIU) fue una convención de 
la comunidad internacional para que todos los científicos del mundo utilizaran las mismas 
unidades en sus investigaciones y publicaciones, esto con el objetivo de facilitar el 
intercambio de conocimientos. En la siguiente tabla se presentan las magnitudes 
fundamentales del SIU mismas que tendrás que investigar cómo se defineny cuál es su 
símbolo. 
Magnitud 
fundamental Definición Símbolo 
Metro 
(Longitud) 
 
 
 
 𝑘𝑔 
 
Es la duración de 9, 192, 631,770 oscilaciones de la radiación 
emitida en la transición entre los dos niveles del estado 
fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio a 0	𝐾. 
 
Kelvin 
(Temperatura) 
 
Ampere 
(Intensidad de 
corriente eléctrica) 
 
 
 𝑐𝑑 
 
Unidad de cantidad de materia, que equivale a la masa de tantas 
unidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de 
carbono 12 
 
 
Cómo pudiste observar, estas 7 magnitudes fundamentales constituyen la esencia de la 
medición física, son llamadas fundamentales pues no necesitan de otra magnitud para 
definirse ya que por sí solas son independientes del resto. 
 
 
 
 
 
 
Existen otro tipo de cantidades físicas que son una combinación de las magnitudes 
fundamentales, estas reciben el nombre de magnitudes derivadas, el ejemplo más claro de 
este tipo de cantidades es la velocidad, misma que estudiaremos en el último capítulo de este 
libro, pero por lo pronto basta con adelantarte que la velocidad se define como la razón de 
cambio del desplazamiento respecto al tiempo, matemáticamente tenemos la expresión. 
𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 =
𝑫𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐
𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 
Notemos que el desplazamiento por tener como magnitud fundamental la longitud 
medida en metros “𝑚” y el tiempo le corresponde el segundo “𝑠” como magnitud 
fundamental, entonces la velocidad deberá tener unidades de metro sobre segundo, es decir: 
𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅[=]
𝒎
𝒔 
Donde el los corchetes encerrando el signo igual indican que nos referimos a las 
unidades de esa magnitud física llamada velocidad. 
Formalmente como el metro es unidad de longitud [𝐿] y el segundo es unidad de 
tiempo [𝑇], las unidades de la velocidad las podemos escribir más generalmente como sigue: 
𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 =
[𝑳]
[𝑻] 
Como un cociente entre unidades de longitud, ya sean metros, kilómetros, yardas, milímetros 
etc. Entre unidades de tiempo, como los segundos, minutos, días entre otros. 
 
Sabiendo que [𝐿] representa unidades de longitud, [𝑇] unidades de 
tiempo y [𝑀] unidades de masa, obtener las magnitudes derivadas de los siguientes conceptos 
físicos. 
 
Magnitud Derivada Definición Unidades dimensionales 
Volumen 𝑉 = (𝑙𝑎𝑑𝑜)(𝑙𝑎𝑑𝑜)(𝑙𝑎𝑑𝑜)	 𝑉 = [𝐿]! 
Aceleración 𝑎 =
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)" 
 
 1. Conceptos generales de la física 
 
23
 
 
 
 
Fuerza 𝐹 =
(𝐾𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜)(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜)
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)" 
 
 
𝜌 =
[𝑀]
[𝐿]! 
Energía 𝐸 =
(𝐾𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜)(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜)"
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)" 
 
Potencia 
 
𝑃 =
[𝑀][𝐿]"
[𝑇]! 
Presión 𝑝 =
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
(á𝑟𝑒𝑎) 
 
Existe otro sistema de unidades llamado Sistema Británico Gravitacional o Sistema Inglés, 
este sistema de medición es utilizado actualmente únicamente en los Estados Unidos de 
América. Debido a la cercanía que tenemos con este país, es conveniente dedicarle un tiempo 
a estudiar las unidades que ellos utilizan, sin embargo hay que recalcar que en el lenguaje de 
la ciencia a nivel internacional, todos los científicos e instituciones del mundo se tienen que 
someter al SIU que tiene como base el kilogramo, metro y segundo. 
 En la siguiente tabla se presentan las unidades utilizadas en el sistema inglés para 
medir las magnitudes fundamentales. 
Cantidad física Unidad fundamental 
Longitud Pie [ft] 
Peso* Libra [lb] 
Tiempo Segundo [s] 
 
* No consideremos que peso y masa son sinónimos. 
Más adelante en este mismo capítulo se expondrán los factores de conversión entre los 
sistemas estudiados anteriormente. 
 
 
 
 
 
Notación científica 
La notación científica consiste en expresar números muy grandes o muy pequeños con ayuda 
de potencia de base 10. 
 Cuando un número se escribe en notación científica aparece como un número mayor 
o igual que 1, pero menor que 10 multiplicado por alguna potencia de la base 10. 
Por ejemplo la cantidad 100,000,000 que representa cien millones, la podemos representar 
como algún entero entre 1 y 10 multiplicado por una exponente de base 10, para este ejemplo 
nuestro número será el 1 y nuestra notación científica tendría la forma 1.0 × 10#. 
 
La distancia promedio que hay entre el centro de la tierra y la luna 
es de 384,400,000.0	𝑘𝑚. Expresar esta cantidad en notación científica. 
Primero hay que reconocer los órdenes de magnitud de la cifra, así como identificar la 
cantidad de números que tiene de forma consecutiva y a la derecha del punto nuevo. 
𝟑	𝟖	𝟒	, 𝟎	𝟎	𝟎	, 𝟎	𝟎	𝟎. 𝟎	 
 
Entonces ubicamos el nuevo punto y utilizamos las cifras distintas de cero para escribir en 
notación científica: 3.84 × 10#	𝑘𝑚 
 
Como observación, nota que si hubiéramos recorrido el punto un lugar hacia la izquierda, 
lo que tendríamos sería: 
𝟑	𝟖	𝟒	, 𝟎	𝟎	𝟎	, 𝟎	𝟎	𝟎. 𝟎	 
 
Y nuestra cifra en notación científica sería: 0.384 × 10$	𝑘𝑚 
Para el caso en que nuestras cantidades sean muy pequeñas como lo son las masas y tamaños 
de las partículas cuánticas como los electrones, positrones, quarks, muones etc. La notación 
científica nos ayuda a poder manejar de forma más cómoda estas magnitudes tan pequeñas. 
Para ello estudiemos el siguiente ejemplo. 
 
9 números a la derecha del punto nuevo 
8 números a la derecha del punto nuevo 
 1. Conceptos generales de la física 
 
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A velocidades cercanas a la luz y en condiciones de vacío, el radio 
promedio de un electrón en unidades CGS (Centímetro, gramo y 
segundo) es de 2.8179 × 10%&!	𝑐𝑚. Escribir explícitamente esta cantidad. 
En este caso se propone iniciar volviendo a colocar la cantidad pero sin la multiplicación 
por 10%&!. 
𝟐. 𝟖𝟏𝟕𝟗 
El signo negativo del exponente debemos tomarlo como un movimiento a la izquierda del 
punto (un lugar por cada valor del exponente) en este caso al tener −13 como exponente, 
debemos recorrer el punto 13 lugares hacia la izquierda y cada lugar rellenarlo con un cero. 
𝟎	𝟎	𝟎	𝟎	𝟎	𝟎	𝟎	𝟎	𝟎	𝟎	𝟎	𝟎	𝟎	𝟐	. 𝟖	𝟏	𝟕	𝟗 
 
De esta manera el resultado se reporta como sigue: 
2.8179 × 10%&!	𝑐𝑚 = 0.000,000,000,000,281,79	𝑐𝑚 
¿Qué forma prefieres? 
A continuación se presentan algunos ejercicios donde debes realizar un cambio de notación, 
bien puede ser de la forma explícita a la notación científica o viceversa. 
 
Exprese las cantidades físicas que se indican en notación científica 
o en la forma explícita. 
a) La distancia promedio entre la Tierra y el Sol es de 93,000,000	𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 
 
b) La masa de un protón es de 0.000,000,000,000,000,000,000,16	𝑔 
 
c) La masa de la Tierra es de aproximadamente 5.972 × 10"'𝑘𝑔 
 
d) El tamaño aproximado de un virus de gripe es de 0.000,000,042	𝑚 
Se recorrió 13 lugares el punto hacia la izquierda 
 
 
 
 
 
 
e) La masa de cierto compuesto de laboratorio es de 1.25 × 10%'𝑔 
 
 
Realizar las siguientes operaciones con números en notación 
científica. 
Pista: Recuerda las leyes de los exponentes de tus cursos de matemáticas 1 y 2. 
 
A propósito de la notación científica conviene estudiar los prefijos utilizados en el Sistema 
Internacional de Unidades, mismos que se presentan en la siguiente tabla y que estarás 
utilizando a lo largo de todos cursos de física futuros. 
Múltiplos y submúltiplos usados en el SIU 
Prefijo Símbolo Valor 
Exa E 1 × 10&# 
Peta P 1 × 10&( 
Tera T 1 × 10&" 
a) $,&&&,&&&,&&&
'&&,&&&
 b) (7 × 10#) + (2 × 10#) 
c) 0.0000125 + 3.2 × 10%( d) 245,000,000 × 0.000,016 
 1. Conceptos generales de la física 
 
27
 
 
 
Giga G 1 × 10$ 
Mega M 1 × 10) 
Kilo k 1 × 10! 
Hecto h 1 × 10" 
Deca da 1 × 10 
Unidad 1 1 
Deci d 1 × 10%& 
Centi c 1 × 10%" 
Mili m 1 × 10%! 
Micro 𝜇 1 × 10%) 
Nano n 1 × 10%$ 
Pico p 1 × 10%&" 
Femto f 1 × 10%&( 
Atto a 1 × 10%&# 
 
Por ejemplo si queremos hacer referencia a 1 × 10) gramos, podemos utilizar el prefijoMega 
de la siguiente forma; 1 × 10)	𝑔 = 1	𝑀𝑔 o lo que es lo mismo a un mega-gramo. Es por esta 
misma razón que cuando pides un kilogramo de tortillas en la tienda, realmente lo que estás 
haciendo es pedir mil gramos de tortillas pero utilizando el prefijo Kilo. 
 
 
Conversiones de unidades 
En virtud de que existen diversos sistemas de unidades, todos ellos de uso internacional ya 
sea técnicamente o en el lenguaje popular es necesario transformar unidades de un sistema a 
 
 
 
 
otro, tal es el caso de la conversión entre peso y dólar tan común en la frontera. Por lo anterior 
es indispensable tener presentes las siguientes equivalencias entre el sistema inglés y el SIU. 
1 pie 12 pulgadas 
1 yarda 3 pies = 36 pulgadas 
1 pie 30.48 cm 
1 pulgada 2.54 cm 
1 yarda 0.914 m 
1 milla 1.609 km 
1 kg 2.2 lb 
1 libra 454 g 
1 galón 3.785 L 
1 slug 32 lb 
1 libra 16 onzas 
1 kg 2.2 lb 
 
Investigar los factores de conversión entre las siguientes unidades 
físicas completando las siguientes igualdades. 
1. 1 kilómetro = m (metros) 
2. 1 metro = cm (centímetros) 
3. 1 metro = mm (milímetros) 
4. 1 milla = km (kilómetros) 
5. 1 pulgada = cm (centímetros) 
6. 1 yarda = ft (pies) 
7. 1 día = h (horas) = min (minutos) 
8. 1 hora = s (segundos) 
 1. Conceptos generales de la física 
 
29
 
 
 
9. 1 tonelada = kg (kilogramos) 
 
Un avión recorre una distancia en línea recta desde el Aeropuerto de 
Guadalajara hasta el Aeropuerto de Tijuana que es igual a 2,000	𝑘𝑚, si el avión recorrió esta 
distancia en 2 horas y media. 
a) Expresar la distancia recorrida en centímetros. 
b) Expresar el tiempo en segundos. 
c) Sabemos por intuición que la rapidez es la distancia recorrida en cierto periodo de 
tiempo, de esta manera la rapidez media del avión fue de 800	𝑘𝑚/ℎ. Expresar esta 
velocidad en metros por segundo. 
a) Para el primer inciso consideremos los factores de conversión entre kilómetros y 
metros, y después entre metros y centímetros. Y hagamos lo siguiente: 
𝟐, 𝟎𝟎𝟎	𝒌𝒎h
𝟏, 𝟎𝟎𝟎	𝒎
𝟏	𝒌𝒎 j 
 
 
 
Haciendo las operaciones notamos que los kilómetros del numerador se eliminan con los 
kilómetros del denominador y obtenemos: 
2,000	𝑘𝑚 h
1,000	𝑚
1	𝑘𝑚 j = 2,000,000	𝑚 
Ahora como el problema lo solicita, debemos convertir esta cantidad expresada en metros 
a centímetros, por lo que repetimos el paso anterior. 
 
2,000,000	𝑚 h
100	𝑐𝑚
1	𝑚 j = 200,000,000	𝑐𝑚 
b) Requerimos convertir el tiempo de vuelo que fue de 2.5 horas a segundos, para ello 
utilizamos el factor de conversión: 1	ℎ = 3600	𝑠 y hacemos nuestro arreglo 
numérico para eliminar las horas y quedarnos con segundos. 
En el denominador colocamos la 
unidad que vamos a cancelar, en 
este caso los kilómetros 
En el numerados colocamos la 
unidad que deseamos así como 
su factor de conversión, que es 
este caso es 1000 m= 1km 
Se coloca la cantidad original 
que deseamos convertir. 
 
 
 
 
2 
2.5	ℎ h
3600	𝑠
1	ℎ j = 9,000	𝑠 
Que fue el tiempo en segundos que tardo el vuelo del avión de Tijuana a Guadalajara. 
c) El último inciso pide expresar la rapidez en unidades de metros por segundo, es decir 
𝑚/𝑠. Para ello procedemos a realizar primero la conversión de los kilómetros y 
después la conversión de las horas, pero todo en un mismo arreglo numérico. 
𝟖𝟎𝟎	
𝒌𝒎
𝒉 h
𝟏, 𝟎𝟎𝟎	𝒎
𝟏	𝒌𝒎 j h
𝟏	𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎	𝒔j 
 
 
 
Haciendo las operaciones indicadas y cancelando las unidades repetidas tenemos: 
800	
𝑘𝑚
ℎ h
1,000	𝑚
1	𝑘𝑚 j h
1	ℎ
3600	𝑠j = 222. 2
o 𝑚
𝑠 
 
La aceleración de un cohete espacial de la Agencia Espacial 
Mexicana tiene un valor de prueba de 35.2	𝑚/𝑠". Expresar esta aceleración en las unidades 
de 𝑘𝑚/ℎ". 
En este caso consideremos que las unidades que vamos a convertir son: de metros a 
kilómetros y de segundos al cuadrado a horas al cuadrado, de forma que el diagrama de lo 
que queremos hacer es el siguiente: 
35.2	
𝑚
𝑠" →	?	
𝑘𝑚
ℎ" 
Y debemos encontrar el valor de “?” que hace verdadera esta conversión. Por lo tanto nos 
disponemos a hacer nuestro arreglo numérico. 
35.2	
𝑚
𝑠" h
1	𝑘𝑚
1,000	𝑚j h
3,600	𝑠
1	ℎ j 
 
Haciendo las operaciones y cancelando las unidades repetidas. 
35.2	
𝑚
𝑠" h
1	𝑘𝑚
1,000	𝑚j h
3,600	𝑠
1	ℎ j
"
=
35.2	𝑘𝑚
1000 h
12,960,000	
1	ℎ" j = 456,192	𝑘𝑚/ℎ
" 
Segunda conversión 
Primera conversión 
El exponente al cuadrado es debido 
a que para eliminar 𝑠! necesitamos 
tener un factor de conversión 
elevado al cuadrado. 
 1. Conceptos generales de la física 
 
31
 
 
 
 
Realiza las siguientes conversiones de forma ordenada en el espacio 
correspondiente. 
a) 5.5	 ()
*+"
→ ,-
."
 
b) 20.8	 ,-∙.
0#
→ -∙1.
.23#
 
c) 0.25	.
0
→ ,.
4ñ6
 
d) 300,000	 ,.
0
→ .
0
 
e) Calcular las veces que la manecilla del segundero de un reloj pasan por el mismo punto 
durante 5 meses. 
 
 
 
 
 
 
El precio de la gasolina “Premium” en la ciudad de Tecate B.C es de 
19.55	pesos por litro, si un carro híbrido tiene un rendimiento de 21 kilómetros por litro 
dentro de la ciudad y su tanque tiene capacidad para almacenar 50	litros de gasolina 
“Premium” 
a) Calcular cuánto dinero necesita para llenar el tanque. 
b) Si el tipo de cambio en ese momento es de 18.20	𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 = 1	𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟, calcular la 
cantidad de dólares que se necesita para llenar el tanque. 
c) Se desea saber cuántas millas rendirá el tanque completo del carro, si se usa dentro 
de la ciudad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
El año luz es una unidad de longitud, equivalente a la distancia 
recorrida por la luz en un año. La velocidad de la luz es exactamente 𝑐 = 299,792,458*
+
. 
Calcular: 
a) La distancia en metros que recorre un rayo de luz en el vacío en 1 hora. 
b) La distancia en kilómetros que recorre el rayo de luz en el vacío en 1 día. 
Pista: Según la física de la secundaria sabemos que 𝑣 = $
%
 en este caso como sabemos la velocidad 
y el tiempo pues despejamos la distancia y hacemos las conversiones. 
 
 
 
𝒂) 
𝒃) 
𝒄) 
 1. Conceptos generales de la física 
 
33
 
 
 
 
 
Un acre es una medida de superficie, relacionado con una cierta 
cantidad de superficie arable, de ahí su definición empleando un rectángulo. Los lados de 
este rectángulo se miden en yardas y pies, que son unidades del sistema inglés. Sabiendo que: 
1	𝑦𝑎𝑟𝑑𝑎	(𝑦𝑑) = 0.9144	𝑚 
1	𝑎𝑐𝑟𝑒 = (66	𝑓𝑡)(220	𝑦𝑑) 
a) Calcular el equivalente de un acre en metros cuadrados. 
b) ¿A cuántas hectáreas equivale un acre? 
1	ℎ𝑎 = 10,000	𝑚" 
 
 
 
 
 
 
Una alberca de base rectangular tiene las siguientes dimensiones: el 
largo 𝑎 = 25	𝑦𝑑, ancho 𝑏 = 300	𝑖𝑛 y una altura de ℎ = 10	𝑓𝑡. 
a) Calcular el volumen de la alberca en 𝑚!. 
b) Si un garrafón de agua almacena 20 L. Decir con cuántos garrafones se llenará la 
alberca. 
 
 
 
 
𝒂) 𝒃) 
𝒂) 
𝒃) 
𝒃) 
𝒂) 
 
 
 
 
 
Una alberca diseñada para niños y adultos, consta en una rampa con 
una pendiente de 5°, si en la parte más baja de la alberca esta tiene una profundidad ℎ& =
1.0	𝑚 y en su parte más profunda su profundidad es ℎ" = 78.74	𝑖𝑛. Además sabemos que el 
ancho de la alberca es 𝑎 = 19.68	𝑓𝑡. 
a) El largo “𝑙” que debe tener la alberca. 
b) La cantidad de metros cúbicos de agua que le caben a la alberca. 
c) Si un galón es igual a 3.785 litros. Determinar con cuantos galones se llenará la 
alberca. 
Pista: Utilizar alguna relación trigonométrica que te permita despejar el valor de la longitud “𝑙” 
posteriormente realizar las conversiones de unidades correspondientes.𝒄) 𝒃) 𝒂) 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
35
 
 
 
Vectores en el plano 
En el mundo de los fenómenos físicos existen una gran cantidad de formas de poder estudiar, 
comprender, modelar y explicar la naturaleza, sin embargo todas estas posibilidades se 
restringen al uso riguroso de los números para poder cuantificar y comparar las magnitudes 
físicas. Por ejemplo, un día típico de verano hablamos de que la temperatura en el ambiente 
es de 33℃ y a esto le atribuimos la sensación de “calor” por otro lado en los meses de 
invierno la temperatura puede descender cerca de los cero grados Celsius, atribuyendo a esto 
una sensación de “frío”. Como ya se habló en las secciones anteriores la acción de medir se 
puede asemejar a una simple comparación, o no tan simple, en este caso para nosotros es 
intuitivo hablar de la sensación de frío y calor en nuestro cuerpo pues convivimos con ella 
durante toda nuestra vida, pero existen otras variables físicas que no las podemos caracterizar 
o describir por medio de un simple número. Tal es el caso de las cantidades vectoriales que 
se definen en términos de magnitudes (números) y direcciones. 
Cantidad escalar 
Se especifica totalmente por su magnitud o coeficiente que consta de un número y su unidad, 
por ejemplo: la rapidez 𝑘𝑚/ℎ, la distancia 𝑚𝑖 o el volumen 𝑚!. 
Cantidad vectorial 
Se especifica totalmente por una magnitud (coeficiente con unidad) una dirección e 
implícitamente viene definido un sentido. Donde la dirección depende del sistema de 
coordenadas o del marco de referencia. 
Algunas cantidades físicas como la fuerza y la velocidad tienen dirección y además una 
magnitud, este tipo de cantidades físicas se definen por medio de vectores. 
 Como es de esperarse, según la definición de cantidad vectorial, nos debemos referir 
a está, utilizando un sistema de coordenadas, comencemos utilizando el ya conocido en 
nuestros cursos de matemáticas, plano cartesiano que como su nombre lo indica, representa 
un sistema de coordenadas planas y el tipo de coordenadas son las cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
 Para nosotros nos es familiar hablar de puntos en el espacio, más específicamente en 
términos de coordenadas, por ejemplo; cuando damos una referencia a los turistas que visitan 
nuestra ciudad- disculpe buenos días, podría decirme como llegar al estadio de futbol- buenos 
días claro, tienen que caminar 5 cuadras derecho y después gira hacia su izquierda 
continuando por 3 cuadras más-. Este es un ejemplo de coordenadas y de un marco de 
referencia. Serían muy distintas las indicaciones que se le darían al turista si se encontrase en 
otro punto de la ciudad. 
 
 
 
 
 
Un turista desorientado en la ciudad de Ensenada B.C camina por 
varias cuadras con el objetivo de llegar al puerto con la bandera monumental. La ruta que 
caminó el turista se muestra en la siguiente imagen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notar que el turista estaba bastante perdido pues tuvo que rodear muchas cuadras 
para poder llegar a su destino. 
 Nosotros podríamos pensar que esta ruta fue muy larga e innecesaria pues existen 
otras posibles rutas que nos ahorrarían tiempo y energía. 
Ahora imagine que el turista puede atravesar las construcciones, en otras palabras, él puede 
caminar directo hacia la bandera sin necesidad de dar vueltas en las esquinas de las 
cuadras. En la siguiente imagen se trazó una línea que va desde el punto inicial hasta el 
punto final, precisamente esta es la idea de vector, en este caso particular el vector tiene un 
nombre específico y se llama desplazamiento, este concepto lo estudiaremos con más detalle 
en el último capítulo de este manual. 
 
 
 
 
 
 
 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
37
 
 
 
Notemos que según el ejemplo anterior, el vector que trazamos del punto inicial al 
final, manifiesta el desplazamiento que el turista tuvo que realizar para llegar a la bandera 
monumental, sin embargo para cumplir rigurosamente con la definición de vector debemos 
asociarle una dirección a este movimiento, esta dirección la introduciremos gracias a las 
coordenadas que estamos muy acostumbrados a utilizar (Norte, Sur, Este y Oeste), veamos 
como luce nuestro mapa del centro de Ensenada con estas coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ahora si podremos dar unas indicaciones más precisas al turista, indicaciones que 
deberán estar en términos de nuestro sistema de coordenadas. 
Componentes de un vector 
Pensemos en un avión que se está preparando para el aterrizaje, este avión lleva una rapidez 
de 350	𝑘𝑚/ℎ y la punta del avión está con una inclinación de 15° por debajo del eje 
horizontal. Es lógico pensar que la rapidez con la que el avión se está moviendo no es 
totalmente en dirección horizontal, ni tampoco en dirección vertical, ya que el ángulo (ángulo 
de ataque) con el cual el avión está volando hace que su rapidez se distribuyan en dos 
componentes, una en dirección horizontal (eje 𝑥) y otra en la dirección vertical (eje 𝑦) 
precisamente lo que hemos hecho en este breve ejemplo es descomponer intuitivamente el 
vector velocidad con el que se mueve el avión, en dos direcciones que componen su 
movimiento (componente en 𝑥, y en 𝑦). 
 
 
 
 
 
 
 
Un avión despega con una velocidad de 420	𝑘𝑚/ℎ con un ángulo 
de 30° por encima del eje horizontal. Utilizando la escala adecuada 
y un transportador, dibuja los ejes coordenados y representar este 
vector velocidad en la siguiente cuadricula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con base en ejercicio anterior contestar los siguientes puntos. 
a) Utilizando un método de aproximación, determinar cuál será la componente en 𝑥 de 
la velocidad. 
b) Ahora calcular la componente 𝑦 de la velocidad, contar los cuadros y utilizar la escala 
de tu elección. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒗𝒙 = 
𝒗𝒚 = 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
39
 
 
 
Si queremos ver de forma analítica las componentes de un vector debemos considerar como 
ya te habrás dado cuenta dos variables, una de ellas es el ángulo que determina la dirección 
y el sentido del vector, y la otra variable es la magnitud del vector. 
 Considera el siguiente vector que representa una fuerza. Utilizaremos el plano 
cartesiano en dos dimensiones (eje horizontal y vertical) para representar el vector como se 
muestra en la siguiente imagen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por notación internacional se ha decidido representar a los vectores con una flecha encima 
de la letra que lo caracteriza, ¡ojo! Esto no quiere decir que los vectores son flechas. 
De la geometría del problema y tomando el triángulo rectángulo que se forma entre el vector 
�⃗�, 𝐹,	y 𝐹- se construye el siguiente esquema simplificado: 
 
 
De manera que por la definición de las funciones trigonométricas: 
𝑠𝑒𝑛	𝜃 =
𝐹-
𝐹 					→ 					 𝑭𝒚 = 𝑭	𝒔𝒆𝒏	𝜽 
𝑐𝑜𝑠	𝜃 =
𝐹,
𝐹 					→ 					 𝑭𝒙 = 𝑭	𝒄𝒐𝒔	𝜽 
𝑡𝑎𝑛	𝜃 =
𝐹-
𝐹,
					→ 					𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏	 h
𝑭𝒚
𝑭𝒙
j 
Vector fuerza, los vectores 
se representarán con una 
flecha sobre la letra, por 
ejemplo �⃗� 
Componente horizontal del 
vector �⃗� 
Componente vertical del 
vector �⃗� 
𝑠𝑒𝑛	𝜃 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜	𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
𝑐𝑜𝑠	𝜃 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜	𝑎𝑑𝑦𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
𝑠𝑒𝑛	𝜃 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜	𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜	𝑎𝑑𝑦𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
 
 
 
 
Una bandera es desplegada el día de la independencia de México en 
el Zócalo de la Ciudad de México, mejor conocida como CDMX, si esta bandera monumental 
es izada a las 3:00 pm de la tarde cuando la sombre de la bandera forma un ángulo de 35° 
con el piso y sabemos que la distancia 𝐿 a la cual se encuentra el mástil es de 50	𝑚. Calcular 
la altura a la cual se encuentra el punto más alto de la bandera. 
Este problema es totalmente matemático y se resuelve aplicando la función trigonométrica 
conveniente. En este caso debemos de buscar que funciónme relaciona los datos conocidos 
y me deja sólo una incógnita. 
Observemos que la función tangente cumple con estos requisitos: 
tan 𝜃 =
ℎ
𝐿 
Como la magnitud por determinar es la altura “ℎ”, la despejamos de la ecuación anterior, 
para obtener: 
tan 𝜃 =
ℎ
𝐿 					→ 					ℎ = 𝐿 tan 𝜃 
Sustituyendo los valores numéricos 
ℎ = 50	𝑚	(tan 35°) = 50	𝑚	(0.7002) = 35.01	𝑚 
Por lo tanto la altura de la bandera monumental es de 35 metros. 
 
Un papalote anclado en el suelo forma un triángulo rectángulo como 
se observa en la imagen, si la longitud de la cuerda es de 45.5	𝑚 y la altura a la que se 
encuentra el papalote es de 20.0	𝑚. 
a) Calcular el ángulo que se forma entre la cuerda y el piso. 
b) Determinar a qué distancia horizontal se encuentra el papalote. 
 
 
 
 
 
 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
41
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se aplica una fuerza de 𝐹 = 200.0	𝑁 (𝑁 es la unidad de fuerza) con 
un ángulo de 𝜃 = 60° por encima de la horizontal a un escritorio. 
Calcular las componentes horizontales y verticales de la fuerza, es decir, calcular 𝐹, y 𝐹-. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜽 = 
∆𝒙 = 
𝑭𝒙 = 𝑭𝒚 = 
 
 
 
 
 
 
La componente horizontal de una fuerza es de 𝐹, = 140.5	𝑁, si el 
ángulo con el que se aplica la fuerza es de 𝜃 = 35°. 
a) Calcular la magnitud de la fuerza 𝐹. 
b) Calcular el valor de la componente vertical de la fuerza 𝐹- . 
 
 
 
 
 
Con base en siguiente sistema de 3 fuerzas, calcular las componentes 
de cada una de ellas. 
Pista: Tome en cuenta los signos de cada una de las 
componentes de los vectores, es decir si las 
componentes horizontales y verticales se encuentran 
en “territorio” negativo o positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹& = 300	𝑁,			𝜃& = 22° 
𝐹! = 450	𝑁,			𝜃! = 48° 
𝐹' = 230	𝑁,			𝜃& = 15° 
 
𝑭 = 
𝑭𝒚 = 
𝑭𝟏𝒙 = 
𝑭𝟏𝒚 = 
𝑭𝟐𝒙 = 
𝑭𝟐𝒚 = 
𝑭𝟑𝒙 = 
𝑭𝟑𝒚 = 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
43
 
 
 
Suma de vectores por el método gráfico 
Para sumar vectores por el método gráfico podemos utilizar dos de las principales técnicas, 
la primera de ellas se utiliza cuando tenemos dos vectores en el plano cartesiano, este primer 
método consiste en colocar la punta de cualquier vector sobre el extremo de otro vector, 
formando un paralelogramo, el vector resultante será el extremo del vector sobre puesto. 
Observar el siguiente ejemplo. 
 
Sumar por el método del paralelogramo el siguiente par de vectores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es importante observar que si cada cuadrito representa la unidad, las componentes del 
vector 𝐹&���⃗ son: 𝐹&, = 8 y 𝐹&- = 2 y las componentes del vector 𝐹"���⃗ son: 𝐹", = 2 y 𝐹"- = 5 
 Notar ahora que las componentes del vector resultante 𝐹0����⃗ son 𝐹0, = 10 y 𝐹0- = 7 
mismas que corresponden a la suma de las componentes de las fuerzas en la dirección 𝑥 y 
en la dirección 𝑦, por lo tanto concluimos que: 
𝐹0, = 𝐹&, + 𝐹", = 8 + 2 = 10 
𝐹0- = 𝐹&- + 𝐹"- = 2 + 5 = 7 
Como curiosidad ¿Cuál será el ángulo del vector resultante 𝐹0����⃗ ? 
𝜃 = arctan h
𝐹0-
𝐹0,
j = arctan h
7
10j = arctan
(0.7)					 
Por lo tanto el ángulo es de 35° 
Observe como a la 
fuerza que resultó 
de la suma de los 
vectores 𝐹&���⃗ 	y 𝐹"���⃗ se 
le llamó fuerza 
resultante o 
simbólicamente 𝐹0����⃗ . 
 
 
 
 
 
 
Con base en siguiente arreglo de vectores, responder lo que se pide. 
a) Determinar las componentes de cada vector en 
unidades de fuerza (Newton). 
 
 
 
b) Realizar la suma de los vectores por el método 
del paralelogramo en la gráfica. 
 
 
 
c) Realizar la suma de las componentes en 𝑥 y la suma de las componentes en 𝑦 
Para 𝑥: 
Para 𝑦: 
 
d) Partiendo del vector resultante del inciso b), descomponerlo en sus dos componentes 
y compararlas con lo obtenido en el inciso anterior. ¿Qué concluyes? 
 
 
 
 
e) Calcular el ángulo del vector resultante. 
 
 
 
 Pista: No olvides considerar el signo correcto de cada componente. 
+ 
𝐹&( = 
𝐹&) = 
𝐹!( = 
𝐹!) = 
𝐹&( 𝐹!( = 
+ 𝐹&) 𝐹!) = 
𝜽 = 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
45
 
 
 
De manera general el método gráfico para la suma de vectores consiste en acomodar todos 
los vectores que se tengan uno en la punta del otro hasta terminar con los vectores, la última 
punta en unión con el origen de coordenadas representa el vector resultante de la suma. 
Observar el siguiente ejemplo. 
 
Un barco se desplaza inicialmente 5.0	𝑘𝑚 hacia el Este, después 
6.0	𝑘𝑚 hacia el Noroeste para finalmente recorrer la distancia de 4.0	𝑘𝑚 al Norte. 
Determinar la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante. 
Tomemos como escala 1 cuadro= 1	𝑘𝑚 
Observe como se fueron colocando cada uno de los 
vectores del desplazamiento uno en la punta final del anterior. 
 Al final se unió con un vector partiendo del origen 
hacia la última flecha del tercer desplazamiento, este vector 
𝐷0�����⃗ es el desplazamiento resultante. 
 Contando los cuadros del desplazamiento resultante 
podemos concluir que: 
𝐷0, = 9.25	𝑘𝑚,						𝐷0- = 8.25	𝑘𝑚 
De manera que el ángulo resultante será aplicar la tangente 
inversa a los datos obtenidos. 
𝜃0 = arctan h
8.25	𝑘𝑚
9.25	𝑘𝑚j = arctan
(0.8918) 				→ 					 𝜃0 = 41.72° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una ballena en su proceso de migración se mueve 8	𝑘𝑚 hacia el 
Norte, después toma una corriente que la lleva 5	𝑘𝑚 hacia el 
Suroeste para finalmente nadar 12	𝑘𝑚	hacia el Este. Dibujar el 
desplazamiento resultante y calcular sus componentes y el ángulo resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con base en siguiente sistema de vectores que representan fuerzas, 
dibujarlos y calcular el vector resultante así como su ángulo 
utilizando el método gráfico del polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑫𝑹𝒙 = 
𝑫𝑹𝒚 = 
𝜽 = 
𝜽 = 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
47
 
 
 
Suma de vectores por el método analítico 
Ahora es momento de estudiar un método más sofisticado pero no por ello más complicada. 
Este método se llama analítico debido a que en vez de hacer aproximaciones confiando en 
nuestra vista para medir longitudes y ángulos, ahora utilizaremos la suma algebraica y un 
poderoso teorema para calcular vectores resultantes así como su ángulo. 
 Comencemos recordando las componentes cartesianas o rectangulares de un vector 
con base al siguiente esquema. 
 
 
 
𝑭𝒚 = 𝑭	𝒔𝒆𝒏	𝜽 
𝑭𝒙 = 𝑭	𝒄𝒐𝒔	𝜽 
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏	 h
𝑭𝒚
𝑭𝒙
j 
Recordemos de nuestro curso de matemáticas de secundaria el Teorema de Pitágoras que 
se enuncia de la siguiente manera: la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado 
de la hipotenusa matemáticamente tenemos que si los catetos son 𝐹, y 𝐹-, la hipotenusa será 
la magnitud de 𝐹, por lo que el teorema quedaría: 
𝐹" = 𝐹," + 𝐹-" 					→ 					𝑭 = �𝑭𝒙𝟐 + 𝑭𝒚𝟐 
Si ahora tenemos un sistema de “𝑛” vectores en el plano (𝑥, 𝑦), el vector resultante de la 
suma de cada uno de ellos se obtiene siguiendo los siguientes pasos: 
1. Calcular las componentes horizontales y verticales de cada uno de los vectores. 
2. Sumar todas las componentes horizontales, obteniendo una suma total en el eje 𝑥: 
�𝐹, = 𝐹&, + 𝐹", +⋯+ 𝐹2, 
3. Sumar todas las componentes verticales, obteniendo una suma total en el eje 𝑦: 
�𝐹- = 𝐹&- + 𝐹"- +⋯+ 𝐹2- 
4. Utilizando el teorema de Pitágoras obtenemos la magnitud del vector resultante: 
Componentes cartesianas de un vector y ángulo del 
vector. Estas ecuaciones corresponden al esquema 
propuesto en la figura. Si cambiamos de punto de 
referencia, estas ecuaciones se modificarán. 
 
 
 
 
𝑭𝑹 = ���𝑭𝒙�
𝟐
+ ��𝑭𝒚�
𝟐
 
5. El ángulo del vector resultante lo obtenemos con la tangente inversa: 
𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 �
∑𝑭𝒚
∑𝑭𝒙
� 
Observarel siguiente ejemplo donde se aplicará el procedimiento antes descrito. 
 
Calcular el vector resultante de la suma de dos fuerzas que actúan 
como se muestra en la gráfica. Además obtener el ángulo del vector resultante. 
Primero descomponemos cada uno de los vectores en 
sus componentes. Para ello utilizamos las razones 
trigonométricas. 
Para 𝐹&: 
𝐹&, = 𝐹& cos 𝜃& 
𝐹&, = 100	𝑁 cos 35° = 100	𝑁	(0.8191) 
𝑭𝟏𝒙 = 𝟖𝟏. 𝟗𝟏	𝑵 
 
𝐹&- = 𝐹&𝑠𝑒𝑛	𝜃& = 100	𝑁	𝑠𝑒𝑛	35° = 100	𝑁	(0.5735) 
𝑭𝟏𝒚 = 𝟓𝟕. 𝟑𝟓	𝑵 
Para 𝐹": 
𝐹", = 𝐹" cos 𝜃" = 130	𝑁 cos 50° = 83.56	𝑁 
Notemos que la dirección de la componente en 𝑥 es negativa, por lo que debemos añadirle 
el signo correspondiente. 
𝑭𝟐𝒙 = −𝟖𝟑. 𝟓𝟔	𝑵 
𝐹"- = 𝐹"	𝑠𝑒𝑛	𝜃" = 130	𝑁	𝑠𝑒𝑛	50° = 99.58	𝑁 
En este caso le corresponde signo positivo ya que la fuerza va hacia arriba. 
𝑭𝟐𝒚 = 𝟗𝟗. 𝟓𝟖	𝑵 
 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
49
 
 
 
 
Una vez descompuestos todos los vectores en sus componentes, es recomendable realizar un 
vaciado de la información en una tabla como la siguiente: 
 
 
 
 
 
 
Utilizando el teorema de Pitágoras, calculamos la fuerza resultante 
𝐹0 = ���𝐹,�
"
+ ��𝐹-�
"
 
𝐹0 = �(−1.65	𝑁)" + (156.93	𝑁)" = �2.7225	𝑁" + 24,627.0249	𝑁" 
𝐹0 = �24,629.7474	𝑁" 
Por lo tanto, sacando la raíz cuadrada de esa cantidad: 
𝑭𝑹 = 𝟏𝟓𝟔. 𝟗𝟒	𝑵 
La dirección del vector resultante la obtenemos con la tangente inversa y los datos que ya 
tenemos 
𝜃 = arctan �
∑𝐹-
∑𝐹,
�
= arctan h
156.93	𝑁
−1.65	𝑁 j
= arctan(−95.109) = −89.4° 
De manera que el ángulo resultante es de −89.4° tomando como 
referencia el lado negativo del eje horizontal. El signo negativo 
lo debemos interpretar como un movimiento a favor de las 
manecillas del reloj. Observe la siguiente imagen. 
 
 
 
 
 
 
Calcular la magnitud de la fuerza resultante del siguiente sistema de 
vectores así como el ángulo que forma. Dibujar sobre la imagen un esbozo del vector 
resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑭𝑹 = �(																				)𝟐 + (																		)𝟐 = √																							+																						 = √																													 
Por lo tanto 
 
𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 �
																	
																					� = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
(																					)		 
Por lo tanto 
𝑭𝑹 = 
𝜽 = 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
51
 
 
 
 
Con base en la configuración de vectores que se presenta a 
continuación resolver lo que se pide. 
a) Calcular la magnitud del vector resultante. 
b) Obtener el ángulo del vector resultante. 
c) Trazar un esbozo de dicho vector. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑽𝑹 = �(																				)𝟐 + (																		)𝟐 = √																							+																						 = √																													 
Por lo tanto 
 
𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 �
																	
																					� = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
(																					)		 
𝜽 = 
𝑽𝑹 = 
 
 
 
 
 
Dos Caballos están amarrados de un poste clavado en el piso. Si el 
primer caballo tira con una fuerza 𝐹& = 1,400	𝑁 35° al Norte del Este, y el segundo 
caballo tira completamente hacia el Norte con una fuerza 𝐹" desconocida, de manera 
que la fuerza resultante es de 𝐹0 = 2,400	𝑁 con un ángulo de 75°. Calcular la 
magnitud de la fuerza F". 
Pista: Primero debes obtener las componentes de las fuerzas conocidas, es decir de 𝐹& y de 𝐹* para 
después poder igualar las componentes de la fuerza resultante con la suma de las componentes en 
ambas direcciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑭𝟐 = 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
53
 
 
 
 
Se tiene un sistema de cinco fuerzas que se aplican desde el mismo 
punto, estas fuerzas tienen las siguientes magnitudes y direcciones. Calcular la magnitud 
y dirección de la fuerza resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹& = 60.5	𝑁,							𝜃& = 40° 
𝐹" = 52.0	𝑁 
𝐹! = 45.0	𝑁 
𝐹' = 45.0	𝑁,						𝜃' = 65° 
𝐹( = 38.0	𝑁,						𝜃( = 36° 
 
𝑭𝑹 = 
𝜽 = 
 
 
 
 
 
En una competencia de un triatlón hay una prueba que trata de nadar 
en mar abierto. Un competidor representante de México nada en tres diferentes trayectorias 
como se muestra en la figura, la primera trayectoria 𝐷& es de 4.0	𝑘𝑚 hacia el Este, después 
nada en la dirección de 𝜃" = 50° una distancia 𝐷" = 2.5	𝑘𝑚, para finalizar con su último 
tramo completamente hacia el Norte una distancia 𝐷! = 3.0	𝑘𝑚. Calcular la magnitud del 
vector resultante así como la dirección del mismo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝜽 = 
𝑫𝑹 = 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
55
 
 
 
 
Una caja se jala hacia la derecha con 
una fuerza 𝐹& con cierto ángulo por encima del eje horizontal. 
Por otra parte una segunda fuerza 𝐹" jala hacia la izquierda de 
forma paralela al piso. Calcular el valor que debe tener el 
ángulo 𝜃, para que la suma de fuerzas en el eje 𝑥 sea igual a 
cero. 
Pista: Realizar la suma de fuerzas en 𝑥 e igualar a cero para 
después despejar la variable deseada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un sistema de tres fuerzas actua 
sobre una caja como se observa en 
la figura. Calcular la magnitud de la fuerza resultante así 
como su dirección. 
 
 
 
 
 
 
𝜽 = 
𝑭𝑹 = 
 
 
 
 
Propiedades de los vectores 
Sean 𝑢�⃗ , �⃗� y 𝑤��⃗ tres cantidades vectoriales definidas en tres dimensiones, es decir en el espacio 
de ℝ! y 𝛼 un escalar cualquiera. Se definen las siguientes propiedades de los vectores: 
1. 𝟎	𝒖��⃗ = 𝟎��⃗ 
2. 𝒖��⃗ + 𝒗��⃗ = 𝒗��⃗ + 𝒖��⃗ 
3. 𝜶(𝒖��⃗ + 𝒗��⃗ ) = 𝜶𝒖��⃗ + 𝜶𝒗��⃗ 
4. 𝒖��⃗ + (−𝒖��⃗ ) = 𝟎��⃗ 
5. 𝜶[𝒖��⃗ + (𝒗��⃗ + 𝒘���⃗ )] = 𝜶𝒗��⃗ + (𝜶𝒖��⃗ + 𝜶𝒘���⃗ ) 
 
Sea 𝐴 = ¦𝑎, , 𝑎- , 𝑎5§, 𝐵�⃗ = (𝑏, , 𝑏- , 𝑏5) y 𝛼 una constante arbitraria, 
demostrar la siguiente igualdad: 
𝛼¦𝐴 + 𝐵�⃗ § = 𝛼(𝐵�⃗ + 𝐴) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demostrar la propiedad 4 de las cantidades vectoriales. 
 
 
 
 
 
 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
57
 
 
 
Vectores unitarios 
En álgebra lineal y física, un vector unitario o versor 
es un vector de módulo uno. En ocasiones se le llama 
también vector normalizado. Las aplicaciones de este 
tipo de cantidades se resumen en la facilidad para 
indicar la dirección de una cantidad vectorial sin alterar 
la magnitud o tamaño del vector. 
La norma de un vector unitario se expresa como sigue: 
‖𝒆ª𝒙‖ = 𝟏 
En este caso nos estamos refiriendo al vector unitario 
en la dirección 𝑥. 
Para normalizar un vector, es necesario dividir el vector entre la norma del mismo, observe 
la siguiente expresión: 
𝒖« =
𝒖��⃗
‖𝒖��⃗ ‖
 
 
 
Utilice la expresión anterior, para normalizar los siguientes vectores. 
a) 𝐴 = 4𝚤̂ − 2𝚥̂ + �̄� 
b) 𝐵�⃗ = −3�̂� + 𝚥̂ 
c) 𝐶 = 2𝑡𝚤̂ − 𝚥̂ + 3𝑡�̄�, cuando 𝑡 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Producto escalar 
En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno, producto 
interior o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números 
de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número. 
Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las correspondientes 
entradas en dos secuencias de número. Geométricamente, es el producto de dos magnitudes 
euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. El nombre del producto 
punto se deriva del símbolo que se utiliza para denotar esta operación " · ". El nombre 
alternativo de producto escalar enfatiza el hecho del que el resultado es un escalar en lugar 
de un vector (en el caso de espacios de tres dimensiones) 
La definición formal del producto escalar es la siguiente: 
Sean 𝑢�⃗ , �⃗�, dos vectores en el espacio de dimensión 𝑛, el producto escalar o simplementeproducto punto se define como sigue: 
𝒖��⃗ ∙ 𝒗��⃗ = ²
𝒖𝒙
𝒖𝒚
𝒖𝒛
³ ∙ ²
𝒗𝒙
𝒗𝒚
𝒗𝒛
³ = 𝒖𝒙𝒗𝒙 + 𝒖𝒚𝒗𝒚 + 𝒖𝒛𝒗𝒛 
Una definición alternativa en términos de la geometría del producto 
escalar es la siguiente: 
‖𝒖��⃗ ∙ 𝒗��⃗ ‖ = ‖𝒖��⃗ ‖‖𝒗��⃗ ‖ 𝐜𝐨𝐬𝜽 
Con estas expresiones anteriores es posible calcular el ángulo entre dos vectores y más 
adelante en el curso de dinámica se calculará el trabajo efectuado por un sistema de fuerzas. 
 
Con base en los siguientes pares de vectores, calcular el producto 
escalar y el ángulo entre cada uno de ellos. Usa el caso específico (𝑡 = 1) 
a) 𝐴 = 4𝚤̂ − 2𝚥̂ + 𝑘,¶ 			𝐵�⃗ = −𝚤̂ + 2𝚥̂ + 6�̄� 
b) 𝐴 = 2𝑡"𝚤̂ − 𝑡𝚥̂ + 𝑘,¶ 			𝐵�⃗ = −𝑡𝚤̂ + 5𝑡"𝚥̂ + 6�̄� 
c) 𝐴 = �̂� + 𝚥̂ + 𝑘,¶ 			𝐵�⃗ = −�̂� − 𝚥̂ − �̄� 
 
 
 
 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
59
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular el ángulo que hay entre los dos vectores siguientes 
(Representar gráficamente los vectores) 
𝑢�⃗ = 40	𝑁, 30°,			 �⃗� = 10𝚤̂ + 10𝚥̂ + �̄� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Producto vectorial 
Al igual que el producto escalar, existe otro tipo de producto entre vectores que es definido 
por un operador algebraico llamado (producto vectorial). Las interpretaciones de este tipo de 
productos serán profundizadas en los capítulos finales de este manual y en el curso de física 
2 (dinámica y mecánica de fluidos). 
El producto vectorial se define en forma matricial como sigue: 
Sea 𝑢�⃗ , �⃗�, dos vectores definidos en ℝ!, el producto vectorial se define: 
𝒖��⃗ × 𝒗��⃗ = ·
¸̂ ¹̂ 𝒌¶
𝒖𝒙 𝒖𝒚 𝒖𝒛
𝒗𝒙 𝒗𝒚 𝒗𝒛
º = ¦𝒖𝒚𝒗𝒛 − 𝒗𝒚𝒖𝒛§¸̂ − (𝒖𝒙𝒗𝒛 − 𝒗𝒙𝒖𝒛)¹̂ + (𝒖𝒙𝒗𝒚 − 𝒗𝒙𝒖𝒚)𝒌¶ 
Esta definición manifiesta de forma clara el carácter vectorial del 
resultado. 
Es posible definir el producto vectorial ayudándonos de la 
geometría, en este caso la definición es: 
‖𝒖��⃗ × 𝒗��⃗ ‖ = ‖𝒖��⃗ ‖‖𝒗��⃗ ‖ 𝐬𝐢𝐧𝜽 
Es importante mencionar que el producto vectorial no es 
conmutativo, es decir que la siguiente expresión es válida: 
𝑢�⃗ × �⃗� = −�⃗� × 𝑢�⃗ 
 
Realizar el producto vectorial de los siguientes pares de vectores. 
a) 𝐴 = 4𝚤̂ − 2𝚥̂ + 𝑘,¶ 			𝐵�⃗ = −𝚤̂ + 2𝚥̂ + 6�̄� 
b) 𝐴 = 2𝑡"𝚤̂ − 𝑡𝚥̂ + 𝑘,¶ 			𝐵�⃗ = −𝑡𝚤̂ + 5𝑡"𝚥̂ + 6�̄� 
c) 𝐴 = �̂� + 𝚥̂ + 𝑘,¶ 			𝐵�⃗ = −�̂� − 𝚥̂ − �̄� 
 
 
 
 
 
 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
61
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea un vector definido por ‖𝑢�⃗ ‖ = 14 a 45° y un vector ‖�⃗�‖ = 10 a 
120°. Determinar el producto vectorial 𝑢�⃗ × 𝑣 y el ángulo entre los dos vectores. 
 
 
 
 
 
 
 
Sea el vector 𝐴 = 4𝑥"𝚤̂ − 𝑥%&𝚥̂ + (1 + 𝑥)"�̄�. Calcular los siguientes 
vectores: 
a) 78⃗
7,
 
 
 
b) Determinar para que valor de 𝑥, la componente en �̄� es nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Materiales necesarios: 
• 1 Caja de zapatos 
• 3 Cajitas de medicina de diferentes dimensiones 
• 1 regla graduada en centímetros y pulgadas 
Objetivos: 
Utilizar las fórmulas para obtener el volumen de prismas 
rectangulares y expresar el volumen en diferentes unidades de los 
Sistemas Inglés e Internacional. 
Procedimiento: 
1. Tomar las medidas en centímetros de al menos 4 cajas de diferentes dimensiones 
(largo, ancho y alto) y reportarlas en la siguiente tabla: 
Cajas / Medidas Largo “L” Ancho “A” Alto “h” Volumen “𝑉” 
Caja 1 
Caja 2 
Caja 3 
Caja 4 
2. Calcular el volumen de cada una de las cajas y escribirlo en la tabla anterior. 
3. Volver a medir las dimensiones de las cajas pero ahora en pulgadas y completar la 
siguiente tabla. 
Cajas / Medidas Largo “L” Ancho “A” Alto “h” Volumen “𝑉” 
Caja 1 
Caja 2 
Caja 3 
Caja 4 
Actividad Experimental 
Tabla 1 
Tabla 2 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
63
 
 
 
4. Calcular el volumen de cada una de las cajas en pulgadas y escribirlo en la tabla 
anterior. 
5. Utilizando los factores de conversión entre centímetros y pulgadas 1	𝑖𝑛 = 2.54	𝑐𝑚. 
Convertir los volúmenes de la tabla 1 a pulgadas, y los volúmenes de la tabla 2 a 
centímetros. Después completar la tabla. 
 
Cajas / Medidas Volumen 𝑐𝑚! Volumen 𝑖𝑛!	 
Caja 1 
Caja 2 
Caja 3 
Caja 4 
 
6. Para la caja 1, dividir el volumen en pulgadas cúbicas entre el volumen en centímetros 
cúbicos. ¿Qué significa ese valor encontrado? 
 
 
7. Repetir el punto 6 para las cajas 2,3 y 4. 
 
 
 
Conclusiones: 
1. ¿Qué tipo de unidades crees que es más conveniente usar? ¿Por qué? 
 
 
2. ¿Existe algún factor de conversión directo entre las pulgadas cúbicas y los 
centímetros cúbicos? Decir cuál es ese factor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Escribir las siguientes cantidades en notación científica o en notación explícita según 
sea el caso. 
a) 0.0000087	𝑘𝑚 
b) 4.51 × 10)	𝑚 
c) 1.958 × 10%;	𝑁 
2. Con base en siguiente trapecio, calcular su área en: a) 𝑚", b) 
𝑚𝑚", c) 𝑖𝑛", d) 𝑓𝑡" 
3. El kilogramo de oro en México tenía un valor de $190,000 
pesos mexicanos en 2006, si cada año su valor aumenta 1.2% 
respecto al año anterior: 
a) Decir cuál era el valor del kilogramo de oro en el 2007 y en 
el 2010 en pesos mexicanos. 
b) Si el tipo de cambio en el 2007 era de $9.56 MX = 1 Dólares de EEUU, decir con 
cuantos dólares se podía comprar 4.8	𝑙𝑏 de oro en ese año. 
4. Realizar la siguiente conversión de unidades: 
6.25	
𝑘𝑔 ∙ 𝑚"
𝑠" 		→ 		𝑥		
𝑔 ∙ 𝑐𝑚"
𝑚𝑖𝑛" 
5. Calcular las componentes de todos los vectores 
siguientes (ver imagen de la derecha). 
6. Con base en el problema anterior, calcular el valor de 
la fuerza resultante así como el ángulo de dicha 
fuerza. 
7. Se empuja un mueble con una fuerza resultante de 
𝐹 = 250.0	𝑁 completamente hacia el Norte. Calcular 
el ángulo de la fuerza (2) que hace posible este resultado. Observar la siguiente 
imagen. 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios complementarios 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
65
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l equilibrio de los cuerpos ha sido un tema de estudio y de desarrollo tecnológico a 
lo largo de toda la historia de la humanidad, por ejemplo; los grandes edificios de las 
ciudades son el resultado de la aplicación de leyes fundamentales de la física, 
aplicadas por la ingeniería y la arquitectura para poder diseñar enormes e impresionantes 
construcciones que desafíen las leyes de la física o por lo menos rocen el borde de lo 
permitido por esta ciencia. 
 En este capítulo trabajaremos sobre las leyes del movimiento de Newton, 
específicamente las aplicaremos a sistemas que se encuentran en equilibrio traslacional, es 
decir, sistemas que no se están desplazando. Cabe mencionar que el tema de las leyes de 
movimiento de Newton o simplemente leyes del movimiento se estudiará con más 
profundidad en el curso de Física II. 
 
E 
2. Equilibrio traslacional 
 
 
 
 
¿Qué es la fuerza? 
De manera formal podemos definir a la fuerza como sigue: 
Es una magnitud vectorial que mide la razón de cambio de 
momento lineal entre dos partículas o sistemas de 
partículas. Según una definición clásica, fuerza es todo 
agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la 
forma de los materiales. No debe confundirse con los 
conceptos de esfuerzo o de energía. 
 Intuitivamente tenemos una idea de lo que es una fuerza en términos de la acción de 
empujar, jalar, tumbar etc. Por nuestra experiencia cotidiana sabemos que el movimiento de 
un cuerpo es el resultado de su interacción con su entorno o con otros objetos, por ejemplo, 
cuando un jugador de futbol americano arrolla a otro jugador, la interacción de los dos 
provoca que uno de ellos salga disparado con una velocidad mayor a la que tenía, o que los 
dos jugadores sigan su camino cayendo ambos al piso. Otro ejemplo es el movimiento de la 
luna alrededor de la tierra, o el de la tierra alrededor del sol, o de todo el sistema solaralrededor del centro de la galaxia, este tipo de fuerza recibe el nombre de gravitacional debido 
a la acción de la gravedad sobre los cuerpos con masa como el sol, tierra y la luna. Otro 
ejemplo clásico de la fuerza de gravedad se puede observar al tirar un proyectil como un 
balón de futbol al ser pateado, este balón seguirá una trayectoria ascendente en el comienzo 
hasta alcanzar su altura máxima y posteriormente descenderá de manera simétrica a su 
ascenso (en ausencia de la fricción del aire) este movimiento en forma de parábola es 
provocado por la fuerza de gravedad que atrae al cuerpo hacia el centro de la tierra. 
 Es importante recalcar que una fuerza no es algo que podamos observar directamente; 
en realidad lo único que podemos percibir son sus efectos que son causados por interacciones 
que siempre será una fuerza. 
 
La fuerza como cantidad vectorial 
 
Cuando una fuerza se ejerce sobre un objeto, los efectos dependen de la magnitud de la 
fuerza, así como de la dirección en la que esta se aplique. Por ejemplo, si aplicamos una 
fuerza muy grande sobre un objeto que se encuentra en el piso pero la dirección de la fuerza 
es completamente hacia abajo, el objeto no se moverá, por otro lado si aplicamos esa misma 
fuerza con cierto ángulo y logramos vencer la fuerza de fricción el objeto se moverá en el 
sentido de la aplicación de la fuerza. 
 
 
 
 
Fuerzas actuando sobre un objeto 
en diferente dirección 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
67
 
 
 
De esta manera demostramos de forma intuitiva que una fuerza es una cantidad 
vectorial, pues depende tanto de la magnitud como de la dirección y el sentido. 
Fuerza neta o resultante 
Si varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un objeto el efecto resultante es el de sumar 
todas estas fuerzas (de forma vectorial) y esto será equivalente a aplicar solo una fuerza con 
una magnitud y dirección resultante de la combinación de todas las fuerzas. A esta suma 
resultante se le llama fuerza neta, la representación algebraica de esta suma de fuerzas se 
hace mediante el operador de suma, o simplemente sumatoria. 
𝑭��⃗ 𝒏𝒆𝒕𝒂 = 𝑭��⃗ 𝟏 + 𝑭��⃗ 𝟐 +⋯+ 𝑭��⃗ 𝒏 =�𝑭��⃗ 𝒊
𝒏
𝒊A𝟏
 
Donde el índice 𝑖 indica que la fuerza �⃗� va a ir cambiando su valor desde que 𝑖 = 1 hasta 
llegar a la fuerza n-ésima. Algo parecido a lo que hacíamos en el capítulo anterior al sumar 
vectorialmente todas las fuerzas. 
¿Qué es 𝑵 y qué mide? 
La fuerza al ser una magnitud física debe ser representada por ciertas unidades 
fundamentales, recordemos que las unidades fundamentales son las que representan longitud, 
masa y tiempo que en el Sistema Internacional de Unidades (SIU) son el metro "𝑚", el 
kilogramo "𝐾𝑔", y el segundo "𝑠" respectivamente. Entonces el Newton representado por 𝑁 
equivale a la siguiente combinación de unidades. 
𝑵𝒆𝒘𝒕𝒐𝒏 = 𝑵 =
𝑲𝒈 ∙ 	𝒎
𝒔𝟐 
 
Se empuja una caja con una fuerza de 𝐹 = 200	𝑁 sobre un piso 
totalmente horizontal. Si la fuerza que se aplica forma un ángulo de 
30° con respecto al piso. Calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza. 
Con base a la imagen, y utilizando las razones 
trigonométricas fundamentales, sabemos que la fuerza 
en el eje horizontal 𝐹, se calcula con la función cos 𝜃, 
mientras que para obtener la fuerza en el eje vertical se 
utiliza la función 𝑠𝑒𝑛	𝜃. 
 
 
 
 
 
𝐹, = 𝐹 cos 𝜃 = 200	𝑁	(cos 30°) = 200	𝑁	(0.86) = 173.21	𝑁 
𝐹- = 𝐹	𝑠𝑒𝑛	𝜃 = 200	𝑁	(𝑠𝑒𝑛	30°) = 200	𝑁	(0.50) = 100	𝑁 
En este punto es interesante saber si la suma vectorial de estas dos componentes de la fuerza 
tiene una resultante de 200	𝑁 como lo plantea el ejemplo. Para realizar esto debemos 
utilizar el teorema de Pitágoras ya que la suma del cuadrado de los catetos es el cuadrado 
de la hipotenusa que en este caso representa la fuerza aplicada. 
𝐹2BCD = �𝐹," + 𝐹-" 
Sustituyendo los valores de las componentes 
𝐹2BCD = �(173.21	𝑁)" + (100	𝑁)" 
𝐹2BCD ≈ �40000	𝑁" = 200	𝑁 
En matemáticas es frecuente utilizar el símbolo ≈ cuando las cantidades son muy 
aproximadas, en el caso del ejemplo anterior, se utilizó este símbolo para denotar que la 
suma de los cuadrados de la raíz es aproximada a 40000	𝑁". 
Leyes del movimiento de Newton 
Las fuerzas pueden actuar de tal forma que causen movimiento o que lo eviten, 
por ejemplo, los grandes puentes deben ser diseñados de tal forma que todas 
las fuerzas a las que está sometido no influyan en el equilibrio estático del 
mismo. Para nosotros en muy intuitivo hablar sobre la fuerza pues es un 
concepto que utilizamos apenas empezamos a hablar de niños, pero no fue 
hasta el siglo XVII cuando un joven ingles de nombre Isaac Newton propuso 
tres leyes fundamentales que rigen el movimiento de los cuerpos, y con lo cual 
se fortaleció enormemente la rama de la física clásica llamada mecánica. 
Primera ley de Newton 
Por experiencia sabemos que un objeto estacionario o en reposo permanecerá en esta 
condición a menos que se le aplique una fuerza externa, ya sea un empujón, jalón, golpe, etc. 
O inversamente si un objeto se encuentra en movimiento este continuará en este estado de 
hasta que se le aplique una fuerza que lo detenga o cambie las características de su 
movimiento. 
 De esta manera podemos entender el enunciado de la primera ley de movimiento. 
Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que 
una fuerza externa no equilibrada actué sobre él 
 
 Estática y Resistencia de Materiales 
 
69
 
 
 
 Newton llamó a esta primera ley como ley de inercia, definiendo a la inercia como 
la propiedad de un cuerpo de masa 𝑚 que le permite mantenerse en una constante de reposo 
o de movimiento. Un ejemplo claro de la ley de inercia es al momento de que un carro acelera, 
los pasajeros se oponen a este movimiento por lo cual sienten un jalón hacia atrás, dicho de 
otra manera, la masa de los pasajeros tiende a seguir en su estado previo de movimiento o 
reposo y al acelerar el carro la inercia de cada pasajero se vence. 
 
Segunda ley de Newton 
A sabiendas de que el estado de un objeto en reposo o en movimiento no será modificado sin 
la acción de una fuerza o de varias fuerzas en equilibrio, ahora debemos estudiar que sucede 
si las fuerzas que interactúan no son de equilibrio, en otras palabras, si ∑ �⃗� ≠ 0. 
 La experiencia nos indica que cuanto más grande sea la fuerza sobre un objeto, este 
se moverá con una tasa de variación de su velocidad más grande o directamente proporcional 
a la magnitud de la fuerza. A esta tasa de variación de la velocidad se le define como 
aceleración y es precisamente la variable de la cual habla la segunda ley de Newton. 
La aceleración �⃗� de un cuerpo en la dirección de una fuerza resultante �⃗� es directamente 
proporcional a la magnitud de la fuerza e inversamente proporcional a la masa. 
 
 
 
 
𝑭CC⃗ = 𝒎𝒂CC⃗ 
Cabe señalar que, si la masa crece, la aceleración del cuerpo al cual se le aplica la fuerza será 
menor, esta es la idea fundamental del concepto de inercia, por lo que la masa de cualquier 
cuerpo define la cantidad de inercia del mismo. 
Tercera ley de Newton 
Piense en un papá empujando a su hijo que se encuentra arriba 
de un columpio, el papá lo empuja con cierta fuerza que le 
proporciona el impulso necesario para que el niño se mueva 
junto con el columpio, de igual manera al cabo de cierto tiempo 
el papá sentirá cansancio y dolor en sus hombros debido a que 
la misma fuerza con la que él está empujando, él la siente 
reflejada en sentido contrario en sus brazos y recaerá en sus 
hombros, esta fuerza recibe el nombre de fuerza de reacción y 
es la esencia de la tercera ley de Newton. 
Para cada fuerza de acción existe una fuerza de reacción igual en magnitud, pero en 
dirección opuesta. 
 Por lo tanto, no existen fuerzas aisladas ya que al aplicar una fuerza siempre debemos 
experimentar una reacción, no necesariamente