ANOVA DE DOS FACTORES (CON REPLICAS)

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ANOVA de Dos Factores
(con Réplicas)
12-1
ANOVA de Dos Factores (con Réplicas)
El ANOVA con bloques completamente aleatorizados se emplea cuando se está interesado en testear si las medias de las poblaciones (niveles) de un factor de interés son iguales, y se desea controlar por la variación potencial de un segundo factor, denominado factor de bloqueo.
Se pueden tener casos en donde se tenga dos o más factores de interés de igual importancia, en este caso se tiene que recurrir a “ANOVA de Factores Múltiples con Replicación”.
A continuación se considera el caso de ANOVA de Dos Factores con Replicación.
12-2
ANOVA de Dos Factores 
(con Réplicas)
Examina el efecto de
Dos factores de interés sobre la variable dependiente.
Ejemplo (Productos no defectuosos): Porcentaje de carbonatación y velocidad de la línea en el proceso de embotellamiento de bebidas sin alcohol
Interacción entre diferentes niveles de estos dos factores
Ejemplo (Productos no defectuosos): ¿El efecto de un nivel particular del porcentaje de carbonatación está influido por el nivel fijado de la velocidad de la línea?
12-3
ANOVA de Dos Factores 
(con Réplicas)
Supuestos
Las poblaciones son normalmente distribuidas.
Las poblaciones tienen igual varianza.
Las muestras son aleatorias e independientes.
La medida de los datos debe ser de intervalo o razón.
12-4
(continuación)
Ejemplo
La aereolínea F está evaluando redimir las millas acumuladas de sus pasajeros frecuentes a través de tres modalidades: Efectivo, Vacaciones pagadas y descuento por compras, de tal forma de reducir el acumulado a ser empleado en vuelos. Para este fin desea evaluar si las tres opciones son de igual preferencia en términos de millas redimidas, así como si la redención de millas será similar en los distintos estratos de edad.
Para esto diseña un experimento basado en una muestra de 16 clientes, todos con un acumulado de millajes superior a las 100,000. La muestra se selecciona de tal forma de tener igual número de individuos en los 4 tramos de edad que se especifican:
Debajo de 25 años
Entre 25 y 40 años
Entre 41 y 60 años
Más de 60 años
La tabla presenta la redención de millas efectuadas por los individuos de la muestra, a los cuales se les ofreció las tres opciones de rescate de millas por un período de 6 semanas.
12-5
Ejemplo
12-6
Variable respuesta:
Millas redimidas
Factor A (3 niveles):
Modalidad de redención de millas
Factor B (4 niveles):
Categoría de edad
Se tienen 12 celdas y 4 clientes por celda. Las mediciones reciben la denominación de replicaciones. Se tienen 4 replicaciones por celda.
ANOVA de Dos Factores: Desagregando la Variación Total
12-7
SST
Variación
Total
SSA
Variación debido al factor A
SSB
Variación debido al factor B
SSAB
Variación debido a la 
interacción entre A y B
SSE
Variación Inherente (Error)
Grados de libertad:
a – 1
b – 1
(a – 1)(b – 1)
nT – ab
nT - 1
SST = SSA + SSB + SSAB + SSE
Donde: a = Número de niveles del factor A
 b = Número de niveles del factor B
 nT = Número total de observaciones en todas las celdas
ANOVA de Dos Factores: Suma de Cuadrados
12-8
Suma Total de Cuadrados
Suma de Cuadrados del Factor A
Suma de Cuadrados del Factor B
Donde:
 n’ = Número de réplicas por celda
ANOVA de Dos Factores: Suma de Cuadrados
12-9
Suma de Cuadrados de la Interaction entre A y B
Suma de Cuadrados del Error
(continuación)
ANOVA de Dos Factores: Suma de Cuadrados
12-10
Donde:
(continuación)
 a = Número de niveles del factor A
 b = Número de niveles del factor B
 nT = Número total de observaciones en todas las celdas
ANOVA de Dos Factores: Medias Cuadráticas
12-11
ANOVA de Dos Factores:
Estadístico de Prueba F
12-12
Prueba F para el Factor B (efecto principal)
Prueba F para la interacción
H0: μA1 = μA2 = μA3 = • • •
HA: No todas las μAi son iguales
H0: Los factores A y B no interaccionan para afectar la respuesta media
HA: Los factores A y B interaccionan
Prueba F para el Factor A (efecto principal)
H0: μB1 = μB2 = μB3 = • • •
HA: No todas las μBi son iguales
Rechazar H0 si F > F
Rechazar H0 si F > F
Rechazar H0 si F > F
ANOVA de Dos Factores: Tabla
12-13
	Fuente de Variación	Suma de Cuadrados	Grados de Libertad	Medias Cuadráticas	Estadís-tico F
	Factor A	SSA	a – 1	
MSA = SSA /(a – 1)	MSA
MSE
	Factor B	SSB	b – 1	MSB = SSB /(b – 1)	MSB
MSE
	Interacción entre A y B	SSAB	(a – 1)(b – 1)	MSAB = SSAB /[(a – 1)(b – 1)]	MSAB
MSE
	Error	SSE	nT – ab	MSE = SSE/(nT – ab)	
	Total	SST	nT – 1		
ANOVA de Dos Factores: Características de la Prueba F
Relación de los grados de libertad
nT - 1 = (a - 1) + (b - 1) + (a - 1)(b - 1) + (nT - ab)
Total = factor A + factor B + interacción + error
El denominador de la prueba F siempre es el mismo pero el numerador cambia
Relación de las sumas de cuadrados
SST = SSA + SSB + SSAB + SSE
Total = factor A + factor B + interacción + error
12-14
No Interacción vs. Interacción
No interacción:
12-15
1 2 3
Factor B: Nivel 1
Factor B: Nivel 3
Factor B: Nivel 2
Factor A
Factor B: Nivel 1
Factor B: Nivel 3
Factor B: Nivel 2
Respuesta Media
Interacción (presente):
Respuesta Media
1 2 3
Factor A
No Interacción vs. Interacción
Recomendación
En la evaluación de hipótesis de un ANOVA de Dos Factores siga este procedimiento:
1.- Evalúe la interacción
2.- Si hay presencia de interacción, desarrolle “ANOVA
 de Un Factor” para evaluar los niveles de uno de los
 factores usando solamente un nivel del otro factor
3.- Si no hay interacción, evalúe el factor A y el factor B
12-16
(continuación)
Anova de Dos Factores - Excel
ANOVA de 2 Factores - Excel.pdf
12-17
Hoja1
						Millas redemidas en el experimento de 6 semanas
						Efectivo		Vacaciones		Compras
		Menores a 25 años				30,000		40,000		25,000
						0		25,000		25,000
						25,000		0		75,000
						0		0		5,000
		De 25 a 40 años				60,000		40,000		30,000
						0		25,000		25,000
						0		5,000		50,000
						25,000		25,000		0
		De 41 a 60 años				40,000		25,000		25,000
						25,000		50,000		50,000
						25,000		0		0
						0		25,000		0
		Mas de 60 años				0		45,000		30,000
						5,000		25,000		25,000
						25,000		0		25,000
						50,000		50,000		50,000
image2.emf
Millas redemidas en el experimento de 6 semanas
EfectivoVacacionesCompras
Menores a 25 años30,00040,00025,000
025,00025,000
25,000075,000
005,000
De 25 a 40 años60,00040,00030,000
025,00025,000
05,00050,000
25,00025,0000
De 41 a 60 años40,00025,00025,000
25,00050,00050,000
25,00000
025,0000
Mas de 60 años045,00030,000
5,00025,00025,000
25,000025,000
50,00050,00050,000
oleObject2.bin
image3.wmf
å
å
å
=
=
¢
=
-
=
a
i
b
j
n
k
ijk
)
x
x
(
SST
1
1
1
2
oleObject3.bin
image4.wmf
2
1
)
x
x
(
n
b
SS
a
i
i
A
-
¢
=
å
=
oleObject4.bin
image5.wmf
2
1
)
x
x
(
n
a
SS
b
j
j
B
-
¢
=
å
=
oleObject5.bin
image6.wmf
2
1
1
)
x
x
x
x
(
n
SS
a
i
b
j
j
i
ij
AB
+
-
-
¢
=
å
å
=
=
oleObject6.bin
image7.wmf
å
å
å
=
=
¢
=
-
=
a
i
b
j
n
k
ij
ijk
)
x
x
(
SSE
1
1
1
2
oleObject7.bin
image8.wmf
n
ab
x
x
a
i
b
j
n
k
ijk
¢
=
=
å
å
å
=
=
¢
=
1
1
1
Media
Gran 
oleObject8.bin
image9.wmf
n
b
x
x
b
j
n
k
ijk
i
¢
=
=
å
å
=
¢
=
1
1
A
factor 
 
del
 
ésimo
-
i
 
nivel
 
del
 
Media
oleObject9.bin
image10.wmf
n
a
x
x
a
i
n
k
ijk
j
¢
=
=
å
å
=
¢
=
1
1
B
factor 
 
del
 
ésimo
-
j
 
nivel
 
del
 
Media
oleObject10.bin
image11.wmf
å
¢
=
¢
=
=
n
k
ijk
ij
n
x
x
1
celda
 
cada
 
de
 
Media
oleObject11.bin
image12.wmf
1
A
factor 
 
del
 
cuadrática
 
Media
-
=
=
a
SS
MS
A
A
oleObject12.bin
image13.wmf
1
B
factor 
 
del
 
cuadrática
 
Media
-
=
=
b
SS
MS
B
B
oleObject13.bin
image14.wmf
)
1
)(
1
(
n
interacció
 
la
 
de
 
cuadrática
 
Media
-
-
=
=
b
a
SS
MS
AB
AB
oleObject14.bin
image15.wmf
ab
n
SSE
MSE
T
-
=
=
error
 
del
 
cuadrática
 
Media
oleObject15.bin
image16.wmf
MSE
MS
F
A
=
oleObject16.bin
image17.wmf
MSE
MS
F
B
=
oleObject17.bin
image18.wmf
MSE
MS
F
AB
=