SUCESIONES, SERIES, PROGRESIONES

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REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 1 
Semana 7 
Sucesiones y Progresiones 
 
 
NÚMEROS FIGURADOS 
NÚMEROS TRIANGULARES: 
Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma triangular 
(trianón) era una figura sagrada por la que tenían la 
costumbre de jurar. La tabla de formación de los números 
triangulares se presenta a continuación: 
n 1 2 3 4 … n 
T 1 3 6 10 … tn = ¿? 
¿Puedes generar cualquier número triangular, a partir de n? 
También hay otros números figurados que ha continuación mostraremos: 
 NÚMEROS CUADRADOS 
 Tabla de los números cuadrados: 
 
 
Hay muchos otros números figurados, anímate a descubrir su regla de formación. En este capítulo, a través 
del estudio de las progresiones aprenderás las bases para lograrlo. 
 OBLONGOS: PENTAGONALES: 
 
 
HEXAGONALES: ESTRELLADOS: 
 
 
 
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/algebra/patrones/patrones.htm 
n 1 2 3 4 … n 
T 1 4 9 16 … tn = ¿? 
 
 
 
2 C E P R E P U C 2021.0 
SUCESIONES INFINITAS 
Una de las formas más naturales para estudiar patrones es observar una progresión ordenada de números, 
denominada sucesión. 
Ejemplos 
1. 7;14; 21; 28; 35 (Sucesión finita) 
2. 3; 9; 27; 81; … ; 3 K ; … (Sucesión infinita) 
3. {
2k
1
; k = 1; 2; 3; … } (Sucesión infinita) 
4. {a1; a2; a3; … ; aK; … } que se abrevia como aK. (Sucesión infinita) 
La sucesión {a1; a2; a3; … ; ak; … }, se abrevia como {ak}. 
Ejemplo 
1. Se define la sucesión { an } 
an = ( 1) 1n (n 2 + 1) 
 Determina los cinco primeros términos. 
2. Escribe el enésimo término de cada sucesión: 
a. .....,
5
4
;
4
3
,
3
2
,
2
1
 
 
b. .....,
54
1
,
43
1
,
32
1
,
21
1
xxxx
 
 
Sumatoria 
En la notación de suma, la suma de los términos de la sucesión {a1; a2; a3; … an} se expresa así: 
 
 
La variable k se denomina índice de la suma. 
 
 
IMPORTANTE 
 
 

n
1k
n
1k
kk amma ; m  R 
Si m es una constante cualquiera 



n
1k
nbb ; b  R 
Si b es una constante cualquiera 
n 
k = 1 
aK 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 3 
Sumatorias Notables 
1. Suma de los n primeros números naturales positivos. 
 

n
1k
n +....................… + 3 + 2 + 1 = k = 
2
)1n(n 
. 
 
2. Suma de los n primeros números pares positivos. 
 

n
1k
 .1) + n(n = 2n +.................… + 6 + 4 + 2 = 2k 
 
3. Suma de los n primeros números impares positivos. 
 

n
1k
1) - 2n ( +..........… + 5 + 3 + 1 = 1) -(2k 2n = 
 
4. Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales positivos. 
 

n
1k
22222 n+.. ..… + 3 + 2 + 1 = K = 
6
)1n2)(1n(n 
 
 
5. Suma de los cubos de los n primeros números naturales positivos. 
 

n
1k
33333 n +.........… + 3 + 2 + 1 = K = 
2)
2
)1n(n
(

. 
 
 
Problemas 
3. Escribe la siguiente suma de forma desarrollada. 
  
4. Halla el valor de B ‒ A. 
A = 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + 12 2 
B = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + 11 3 
 
 
K = 1 
n 
k
1k 
 
 
4 C E P R E P U C 2021.0 
5. Calcula el valor de la siguiente sumatoria: 



8
1k
2 )k3k( 
 
PROGRESIÓN ARITMÉTICA 
Dada la progresión aritmética: t1, t2 , t3 , ... , tn 
DEFINICIÓN 
t2  t1 = t3  t2 = ... = tn  tn  1 = r 
r = razón aritmética 
Si r > 0, la progresión aritmética 
será creciente. 
Si r < 0, la progresión aritmética 
será decreciente. 
 
TÉRMINO DE LUGAR k 
 
tk = t1 + (k  1) r 
 
 
SUMA DE LOS n PRIMEROS 
TÉRMINOS 
Sn = (t1 + tn)
2
n
 
Sn = [ 2t1 + (n  1) r ] 
2
n
 
 
 
Problemas 
6. Debo pagar un departamento en 36 cuotas. La 
primera cuota es de $ 8000 y cada una de las 
siguientes es $ 200 menos que la anterior. 
¿Cuánto dinero debo pagar en total? 
 
 
7. Eva deposita cada mes cierta cantidad de 
dinero en el banco. Además, las cantidades 
que deposita cada mes forman una progresión 
aritmética. Finalmente, se sabe que depositó 
S/ 308 en el quinto mes y S/ 416 en el noveno 
mes. ¿Cuánto dinero tendrá acumulado Eva 
luego de nueve meses de ahorro? 
 
 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 5 
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 
Dada la progresión geométrica: t1 , t2 , t3 , ... , tn 
DEFINICIÓN 
q
t
t
...
t
t
t
t
1n
n
2
3
1
2 

 
q = razón geométrica 
 
TÉRMINO DE LUGAR k 
tk = t1 q 1k 
 
SUMA DE LOS n PRIMEROS 
TÉRMINOS 
Sn = t1 







1q
1qn
 
 
 
 
SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 
Si  1 < q < 1  S = 
q1
t
1

. 
 
 
Problemas 
8. Un padre ofrece a su hijo el siguiente sistema 
de propina: por el primer día de estudio 
constante recibirá S/ 3 y luego, cada nuevo día 
de estudio constante, recibirá el doble de lo que 
recibió el día anterior. ¿Cuánto debería recibir el 
hijo por 8 días de estudio constante? 
 
 
 
 
 
9. Calcula el valor de M. 
M = 
3
2
 +
3
1
 +
6
1
 + 
12
1
 + … 
 
 
 
q: razón geométrica 
t1: primer término de la progresión geométrica.