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Interacción radiación-materia mediada
por fonones en la electrodinámica
cuántica de cavidades
Santiago Echeverri Arteaga
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Departamento de Física
Bogotá, Colombia
2019
Interacción radiación-materia mediada
por fonones en la electrodinámica
cuántica de cavidades
Santiago Echeverri Arteaga
Tesis presentada como requisito para optar al título de:
Doctor en Física
Director:
Ph.D. Herbert Vinck Posada
Codirector:
Ph.D. William Javier Herrera
Línea de Investigación:
Electrodinámica cuántica de cavidades
Grupos de Investigación:
Superconductividad y Nanotecnología
Óptica e Información Cuántica
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Departamento de Física
Bogotá, Colombia
2019
A mi madre Gloria Amparo Arteaga Gómez y
a la memoria de mi abuela Mercedes Gómez, por
permitirme soñar y darme alas para llegar hasta aquí.
A la memoria de M.Sc. Pedro Antonio Ruiz,
apoyo incondicional cuando me comenzaba a formar
como Físico.
Agradecimientos
A mi madre Gloria Amparo Arteaga Gómez por haberme apoyado en todo momento, por su
ejemplo de lucha constante, pero más que todo por su amor y motivación.
A mi padre Francisco Luis Echeverri Castrillón por haberme formado desde el ejemplo en la
constancia, disciplina, tenacidad, dedicación y por su amor.
A Herbert Vinck Posada, Ph.D y William Javier Herrera, Ph.D por dirigirme y co-dirigirme
en el presente trabajo de investigación.
A Edgar Arturo Gómez, Ph.D. y Herbert Vinck Posada, Ph.D por formarme como doctor
desde la rigurosidad académica, ética profesional, independencia académica y la amistad.
A Jose María Villas Boâs y a la Universidade Federal de Uberlândia por acogerme cordial-
mente en pasantía de investigación; a todos sus esfuerzos y los de su familia por hacerme
sentir como en casa.
A Edgar Arturo Gómez, Ph.D y a la Universidad del Quindío por acogerme cordialmente en
pasantía de investigación.
A mi familia por haber creído en mi en todo momento, por su apoyo constante e incondicio-
nal desde lo emocional, personal y económico.
A mis compañeros del grupo de investigación, especialmente a Diego Nicolás Bernal, Jhon
Edinson Ramirez, Juan Pablo Restrepo, Ms.C y Erik Petrovish Navarro por las invaluables
discusiones académicas.
A la financiación por parte de la “Beca de Doctorados Nacionales de COLCIENCIAS” con-
vocatoria 727 y el proyecto “Interacción radiación-materia mediada por fonones en la elec-
trodinámica cuántica de cavidades”, código 201010028651, HERMES 42134.
Todos ellos fundamentales para que esta tesis y cada uno de los artículos que la sustentan
se hayan podido desarrollar.
ix
Resumen
En este trabajo de tesis doctoral se realiza un análisis amplio del mecanismo de asistencia
fonónica a la interacción en las propiedades ópticas y cuánticas de los principales sistemas de
la electrodinámica cuántica de cavidades, a saber, puntos cuánticos verticalmente alineados,
un sistema cavidad-punto cuántico y una molécula fotónica acoplada a un punto cuántico.
Se encuentra que éste es un mecanismo de decoherencia selectiva que estabiliza desde cortos
tiempos las coherencias y afecta la estructura del espacio de Hilbert asociado. Sus efectos
sobre los observables del sistema son estudiados a fondo y permiten introducir el régimen de
acople intermedio, responsable por varios fenómenos considerados en la literatura hasta la
fecha como anómalos. La existencia de éste régimen abre un nuevo panorama de trabajo en la
electrodinámica cuántica de cavidades y es además corroborada por medidas experimentales
de una molécula fotónica acoplada a un punto cuántico, realizadas en colaboración con el
grupo experimental de Finley et al. [1].
Palabras clave: Asistencia fonónica a la interacción, electrodinámica cuántica de cavi-
dades, modelo de Jaynes-Cummings, puntos cuánticos verticalmente alineados, sistema
cavidad-punto cuántico, molécula fotónica, transición de fase dinámica, decoherencia,
espectro de emisión.
Abstract
In this Ph.D. thesis it is studied the influence of the phonon-assisted cavity feeding mecha-
nism on the optical and quantum properties of the main systems in the cavity quantum elec-
trodynamics; which are the vertically stacked quantum dots, a quantum dot-cavity system,
and a photonic molecule coupled to a quantum dot. It is found that the phonon-assisted
cavity feeding is a selective decoherence mechanism, that makes the coherences constant
from short times and affects the structure of the associated Hilbert space. Its effects over
the system observables are deeply studied and allow to introduce the intermediate quantum
coupling regime. This new regime is responsible for many effects that have been considered
as anomalous in the literature. The existence of this regime open a new research scenario in
the cavity quantum electrodynamics, and it is corroborated by experimental measurements
of a photonic molecule coupled to a quantum dot, which was realized in cooperation with
the Finley et al. [1] experimental research group.
Keywords: Phonon assisted cavity feeding, cavity quantum electrodynamics, Jaynes-
Cummings model, vertically stacked quantum dots, quantum dot-cavity system, pho-
tonic molecule, dynamical phase transition, decoherence, emission spectrum.
Artículos
Como resultado de la presente tesis se tienen los siguientes artículos publicados
1. S. Echeverri-Arteaga, H. Vinck-Posada, E.A. Gómez, Explanation of the quantum phe-
nomenon of off-resonant cavity-mode emission Phys. Rev. A 97, 043815 (2018).
2. S. Echeverri-Arteaga, H.Vinck-Posada, E.A. Gómez, A comparative study on the re-
liability of non-Hermitian effective Hamiltonian approach for modeling open quantum
systems Optik 171, 413 (2018).
3. S. Echeverri-Arteaga, H.Vinck-Posada, E.A. Gómez, A study on the role of the initial
conditions and the nonlinear dissipation in the non-Hermitian effective Hamiltonian
approach Optik 174, 114 (2018).
4. S. Echeverri-Arteaga, H.Vinck-Posada, E.A. Gómez, A comparative study on different
non-Hermitian approaches for modeling open quantum systems Optik 180, 505 (2019).
5. S. Echeverri-Arteaga, H. Vinck-Posada, E.A. Gómez, The strange attraction phenome-
non in cQED: the intermediate quantum coupling regime Optik 183, 389 (2019).
el siguiente artículo en proceso de revisión
1. S. Lichtmannecker, M. Kaniber, S. Echeverri-Arteaga, I. C. Andrade, J. Ruiz-Rivas, T.
Reichert, M. Becker, M. Blauth, G. Reithmaier, P.L. Ardelt, M. Bichler, E.A. Gómez,
H. Vinck-Posada, E. del Valle, J.J. Finley, Coexistence of weak and strong coupling
with a quantum dot in a photonic molecule arXiv:1806.10160.
Contenido
Agradecimientos VII
Resumen IX
Artículos XI
Introducción. 3
1. Marco Teórico 6
1.1. Modelo de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Sistemas cuánticos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Desfase dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Interacción mediada por fonones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Propiedades ópticas y cuánticas del modelo Jaynes-Cummings . . . . . . . . 13
1.4. Solución cerrada a la ecuación maestra de Lindblad sin ganancia . . . . . . . 18
2. Control de puntos cuánticos dobles a través de asistencia fonónica a la
interacción 21
2.1. Sistema físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1. Influencia sobre las propiedades ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Sumario y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Estudio de la confiabilidad de los hamiltonianos no hermíticos 30
3.1. Sistema físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1. Estudio de la disipación a partir delhamiltoniano efectivo no hermítico 31
3.2.2. Disipación y bombeo incoherente a través del NHEH. . . . . . . . . . 35
3.2.3. Espectro de emisión del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.4. Comparación entre diferentes condiciones iniciales . . . . . . . . . . . 40
3.2.5. Bombeo y disipación no lineal a través del NHEH. . . . . . . . . . . . 43
3.2.6. Comparación entre diferentes enfoques de corrección . . . . . . . . . . 45
3.3. Sumario y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Contenido 1
4. Explicación de la emisión no resonante en el modo de la cavidad 50
4.1. Sistema físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3. Sumario y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5. El fenómeno de atracción anómalo en cQED: el régimen de acople intermedio 62
5.1. Sistema físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3. Sumario y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6. Coexistencia del régimen de acople débil y fuerte en un sistema PM-QD 71
6.1. Sistema físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2. Colaboración experimental: fabricación de la muestra . . . . . . . . . . . . . 72
6.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4. Sumario y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7. Conclusiones 83
A. Derivación general de la ecuación maestra 86
B. Desfase dipolar 92
C. Derivación del Liouvilliano Ln,m 95
D. Artículos publicados 98
Bibliografía 98
Introducción
El reciente premio Nobel concedido a los investigadores Serge Haroche y David Wineland [2]
ha llamado la atención y posibilitado el rápido crecimiento de la línea de investigación co-
nocida como electrodinámica cuántica de cavidades (cQED por sus siglas en inglés) [3] en
sistemas de estado sólido tales como cristales fotónicos (PhC por sus siglas en inglés) o mi-
cropilares, lo cual ha posibilitado el desarrollo de estructuras ad hoc. en complejas geometrías
que permiten indagar por la física fundamental de múltiples fenómenos cuánticos. Uno de los
aspectos más relevantes en la cQED es la existencia de diferentes regímenes de interacción
entre la radiación electromagnética y la materia. En particular, han sido predichos teórica-
mente y confirmados a nivel experimental algunos de los cuatro regímenes de interacción
conocidos como: régimen de acoplamiento débil, fuerte, ultra-fuerte y profundo ultra-fuerte.
A nivel experimental dichos regímenes de interacción radiación-materia son frecuentemente
estudiados considerando sistemas de puntos cuánticos (QD, por sus siglas en inglés) semicon-
ductores que interactúan con modos confinados de radiación electromagnética (microcavida-
des ópticas, nano-resonadores). Por ejemplo, el régimen de acoplamiento débil se caracteriza
por el decaimiento irreversible de los estados excitados del QD y ha dado origen al fenómeno
cuántico conocido como efecto Purcell y sus diversas aplicaciones tecnológicas [10, 11].
Por otro lado, el régimen de acoplamiento fuerte se caracteriza por el intercambio de ener-
gía coherente entre el QD y el modo confinado de radiación. En particular dicho régimen
de acoplamiento ha permitido confirmar el desdoblamiento espectral predicho por Rabi
[12, 13], efectos de agrupamiento (bunching) y desagrupamiento (anti-bunching) de foto-
nes [14, 15, 16], además de posibilitar el desarrollo de múltiples aplicaciones tecnológicas,
tales como: el desarrollo de dispositivos emisores de luz orgánicos (OLEDs) [17, 18], genera-
ción de fotones entrelazados para computación cuántica [19] y fuentes emisoras de fotones
individuales [20, 21].
El régimen de interacción radiación-materia ultra-fuerte fue propuesto teóricamente por A.
Blais et al. [22] y confirmado experimentalmente por el grupo de A. Anappara [23], se ca-
racteriza porque el vacío cuántico juega un papel fundamental en el intercambio coherente
de excitación entre el QD y la radiación. Entre sus aplicaciones destaca el entrelazamiento a
más de 1m de distancia [24], la obtención de estados comprimidos [25, 26], óptica no lineal
con un fotón [27], y láseres no clásicos [28].
El último régimen de interacción radiación materia es el profundo ultra-fuerte. En éste, el
intercambio coherente de excitación entre el QD y el modo de radiación no puede ser tratado
perturbativamente a ningún orden, y debido a la alta frecuencia a la que se presenta el inter-
cambio coherente de radiación, es posible observar colapsos y resurgimientos de la condición
inicial, fuerte oscilación del número de fotones sin necesidad de un forzamiento externo y el
surgimiento natural de estados coherentes y comprimidos [27].
4 Contenido
Sorprendentemente, en la última década se han observado una serie de fenómenos que no
pueden ser clasificados dentro de ninguno de los anteriormente mencionados re-
gímenes de interacción. Uno de estos fue reportado por primera vez por Hennessy et al.
[29] usando un cristal fotónico acoplado a un solo punto cuántico. En este reporte se aprecia
en el espectro de fotoluminiscencia una inesperada emisión en el modo de la cavidad cuando
el sistema se encuentra en condición de baja excitación. Esta particular forma de línea ha
sido confirmada experimentalmente por prestigiosos grupos experimentales [29, 30] y nume-
rosos estudios teóricos han intentado dilucidar la fenomenología subyacente, y aunque se ha
determinado que la presencia de este pico de emisión anómalo debería estar relacionado con
emisión de fotones y fonones acústicos [32] o con un mecanismo intrínseco de “alimentación”
fonónica [33, 34], los resultados no han sido concluyentes.
Por otro lado, Tawara et al. trabajando en un cristal fotónico con un punto cuántico in-
merso demuestran la aparente atracción espectral entre los picos de emisión del modo
de la cavidad y del QD [31]. Su estudio teórico-experimental no consigue explicar de forma
concluyente la fenomenología observada. Sin embargo, confirman que el rol que juegan los
fonones debe ser determinante y que podrían estar ante un nuevo régimen de interacción
intermedio.
En la presente tesis se realiza un estudio detallado de la influencia del acople mediado por
fonones en los principales sistemas de la cQED, encontrándose que el mecanismo fonóni-
co de acople no resonante cavidad-QD [43, 44, 45, 46] genera la aparición de un nuevo
régimen de interacción, al que nos referiremos como régimen de acople interme-
dio. El régimen intermedio, que se caracterizará en el presente documento, responde por
la fenomenología anómala presentada en el literatura en la última década y es corroborado
por medidas experimentales realizadas en una molécula fotónica (PM) acoplada a un punto
cuántico. Con este hallazgo se ponen en tela de juicio algunas suposiciones realizadas durante
años en el área y se abre la puerta a cuantiosas aplicaciones tecnológicas, dentro de las cuales
sería posible el control fonónico de las propiedades ópticas y cuánticas de los sistemas de la
cQED.
Para realizar este estudio de forma sistemática se analiza en primer lugar el efecto de la
asistencia fonónica sobre las propiedades ópticas y cuánticas de dos sistemas de dos niveles
acoplados, los cuales presentan una fenomenología similar a la que se evidencia en un sis-
tema cavidad-QD a muy bajos bombeos, consiguiendo, debido a su baja dimensionalidad,
resultados analíticos. Posteriormente, se continua con el análisis en el sistema cavidad-QD
y se termina en un sistema más complejo que permite escalar el efecto del acople mediado
por fonones sobre las arquitecturas más generales de la cQED. Este sistema es un cristal
fotónico, en donde dos nano-resonadorespróximos forman una PM [47, 48, 49, 50, 51, 52],
estando uno de ellos acoplado a un QD.
El documento se organiza como sigue: en el capítulo 1 se abordan brevemente los aspec-
tos teóricos más importantes relacionados con la tesis, necesarios para entender la discusión
Contenido 5
presentada en ella. En el capítulo 2 se estudia la influencia de acople fonónico y del desfase
dipolar en un sistema de dos QDs acoplados. En el capítulo 3 se realiza el estudio detallado
y comparativo de los modelos no hermíticos para estudiar sistemas cuánticos abiertos, pues
en los capítulos posteriores se hará uso de uno de ellos para ahondar en la discusión. En
el capítulo 4 se aborda el estudio del acople fonónico en un sistema cavidad-QD a bajas
temperaturas (4K), lo que permite reproducir y entender la fenomenología reportada por
Hennessy et al.. En el capítulo 5 se estudia el caso de altas temperaturas (4K ≤ T ≤ 80K)
para el mismo sistema cavidad-QD, en donde se logra reproducir y entender la fenomenolo-
gía reportada por Tawara et al.. En el capítulo 6 se hace el estudio teórico-experimental de
la influencia del acople mediado por fonones en una molécula fotónica acoplada a un QD.
Para la componente experimental de este capítulo se contó con la colaboración del grupo de
investigación Semiconductor Nanostructures and Quantum Systems, perteneciente al Wal-
ter Schottky Institute de la Technische Universität München, en cabeza del Ph.D. Jonathan
Finley. Finalmente en el capítulo 7 se dan las conclusiones del trabajo.
1. Marco Teórico
En este capítulo se abordan las bases teóricas necesarias para realizar el estudio de los prin-
cipales sistemas de la cQED, es decir, sistemas en donde la radiación y la materia se acoplan
y exhiben su carácter cuántico. El tratamiento que se realizará será general y aplicable a
cualquier sistema experimental, ya sean cavidades tridimensionales con átomos de Rydberg,
cavidades superconductoras con átomos artificiales en su interior, centros Nitrógeno-Vacancia
en diamantes, microesferas acopladas a puntos cuánticos, sistemas semiconductores, entre
otros; sin embargo, tal como se habló en la introducción, su aplicación será pensada inicial-
mente en estructuras semiconductoras, esto son, micropilares o cristales fotónicos, en donde
es posible alcanzar tanto el régimen de acople débil como el fuerte.
Estos sistemas, que poseen puntos cuánticos embebidos en su interior, son crecidos usual-
mente por epitaxia de haces moleculares y algunas veces también nano-litografía. Logran
confinar un solo modo de radiación electromagnética con un factor de calidad aproxima-
do de Q ∼ 104 − 105 y un acople radiación materia tres órdenes de magnitud menor a la
frecuencia de la radiación confinada. Además, permiten generar fácilmente puntos cuánti-
cos verticalmente alineados para inducir transferencia de excitación resonante entre ellos, o
crecer cavidades muy cercanas entre sí para que se solapen las densidades espectrales y se
presente así un acople cavidad-cavidad.
1.1. Modelo de Jaynes-Cummings
Uno de los modelos físicos más exitosos por su reproducibilidad, escalabilidad a diferentes
sistemas físicos y simplicidad, es el desarrollado por Edwin Jaynes y Fred Cummings en
1963, para describir la interacción entre la radiación y la materia en un marco totalmen-
te cuantizado. El modelo de Jaynes-Cummings consta de las siguientes aproximaciones o
consideraciones:
1. Un solo modo de radiación confinado: Esta aproximación se establece debido a
que las cavidades se diseñan con una relación largo-ancho tal que la separación entre
sus modos energéticos es muy grande.
2. La materia es descrita por un sistema de dos niveles: Esta aproximación se
puede traducir en que la materia debe venir descrita por un sistema de niveles cuan-
tizados, dos de los cuales deben tener una separación energética muy diferente a la
1.1 Modelo de Jaynes-Cummings 7
existente entre los otros; la cual además, debe ser comparable a la energía de los fo-
tones confinados en la cavidad. Esto es fácilmente alcanzable en una gran variedad de
sistemas físicos, a los que se les denomina qubits o átomos artificiales. En el caso de los
sistemas semiconductores los qubits son los puntos cuánticos, que suelen ser elaborados
de GaInAs o GaAlAs. En ellos los dos niveles corresponden a un estado ligado electrón
en la banda de conducción - hueco en la banda de valencia y el estado de equilibrio
con la banda de conducción vacía y la de valencia llena. En el desarrollo de la presente
tesis a estos niveles se les llamará estado excitado |X〉 y base |G〉, respectivamente.
3. Interacción dipolar radiación-materia: Esta aproximación, que equivale a tomar
el campo electromagnético constante para el QD, es válida cuando la longitud de onda
del campo electromagnético es mucho mayor al tamaño del punto cuántico, lo cual se
garantiza en las arquitecturas anteriormente mencionadas.
4. Aproximación de onda rotante: Esta aproximación, que es la más limitante de
todas, equivale a imponer que el acople radiación materia sea mucho menor a las fre-
cuencias típicas del sistema, por lo menos un par de órdenes de magnitud, de forma que
los términos anti-rotantes puedan ser despreciados. Estos términos inducen procesos
físicos a dos fotones y hacen que el hamiltoniano no preserve variedad de excitación.
La violación de ésta aproximación define el conocido régimen de acople ultra-fuerte,
que hasta la fecha solo ha sido alcanzado experimentalmente en sistemas de excitones
intra-banda y en cavidades coplanares superconductoras acopladas a puntos cuánticos
superconductores. Sin embargo, como los sistemas de estudio en los que se centra la
presente tesis son los semiconductores, cuyos acoples son por lo menos tres órdenes
de magnitud menores a las frecuencias típicas del sistema, no habrá inconveniente con
esta aproximación.
Estas aproximaciones permiten escribir el hamiltoniano de Jaynes-Cummings como (~ = 1):
ĤJC = ωcâ
†â+ ωxσ̂
†σ̂ + g(â†σ̂ + σ̂†â), (1-1)
donde ωc es la frecuencia del modo de radiación confinado, ωx la frecuencia del QD y g la
constante de acople dipolar radiación materia. Los dos procesos físicos involucrados en éste
último término son la desexcitación del QD/creación de un fotón en la cavidad y la exci-
tación del QD/aniquilación de un fotón de la cavidad. Interesantemente, esta misma forma
matemática es la que toman otros dos procesos físicos de origen completamente diferente, el
primero es el que se tiene cuando hay dos cavidades cercanas, donde el solapamiento de las
densidades espectrales induce la transferencia de fotones de una cavidad a otra. Este proceso
de acople coherente cavidad-cavidad se recupera al reemplazar el operador σ̂ por uno de ra-
diación. El segundo proceso físico es la transferencia de excitación entre dos puntos cuánticos
cercanos, lo cual puede tener un origen en el tunelamiento o en la transferencia de excitación
Förster, su forma matemática es recuperada al reemplazar el operador â por otro de materia.
8 1 Marco Teórico
Una de las propiedades más destacables de este modelo es que preserva la variedad de
excitación del sistema, esto es, la cantidad definida como N̂ = â†â+ σ̂†σ̂, que cuenta el total
de excitaciones entre radiación y materia. Físicamente implicando que el sistema aislado
(sin bombeo y sin disipación) puede ser entendido como una serie infinita de sub-sistemas
desacoplados, donde solo los que poseen una población inicial no nula van a tener evolu-
ción no trivial. Matemáticamente esto se traduce en que en la base desnuda del sistema
{|αn〉 , α = G,X;n = 1, ...,∞}, con α la condición de excitación del QD (excitado X o en el
estado base G) y n el número de fotones al interior de la cavidad, el hamiltoniano es diagonal
por bloques. Con lo que se pueden encontrar los autovalores y autovectores del sistema a
partir del análisis del hamiltoniano de la variedad n-ésima Ĥ(n), la cual se lee
Ĥ(n) =
(
nωc g
√
n
g
√
n (n− 1)ωc + ωx
)
, (1-2)
y sus autovectores
|n−〉 = sin νn |Xn− 1〉+cos νn |Gn〉 (1-3)
(1-4)
|n+〉 = sin νn |Xn− 1〉+ cos νn |Gn〉 (1-5)
con tan 2νn = 2g
√
n
∆
y ∆ = ωx − ωc. Estos estados son conocidos como polaritones bajos y
altos o estados vestidos del sistema, y sus respectivas energías (energías vestidas del sistema)
son
En− =
(2n− 1)ωc + ωx
2
−
√
4g2n+ ∆2
2
(1-6)
En+ =
(2n− 1)ωc + ωx
2
+
√
4g2n+ ∆2
2
. (1-7)
A partir de éstas, se puede extraer tanto una primera aproximación al espectro de emisión
del sistema, al hacer la diferencia entre los autovalores de las diferentes variedades, como
el diagrama de dispersión, que muestra la relación entre las auto-energías del sistema y las
frecuencias. Éste último se muestra en la Fig. 1-1 y permite ver que para disonancias gran-
des, las auto-energías del sistema vestido tienden a las del sistema desacoplado, esto es, al
estado |Xn− 1〉 o el estado |Gn〉; pero cerca de la resonancia se presenta un cruce evitado o
anticruce, dejando en evidencia que los auto-estados del sistema son una superposición entre
los estados de luz y de materia.
Por otro lado, en la Fig. 1-2 se grafíca la diferencia entre las auto-energías de las dos primeras
variedades de excitación (E2±-E1± y E1±-E|G0〉). Estas corresponden a las posiciones espec-
trales de los picos cuando el bombeo es bajo. La emisión producida por la primera variedad
1.1 Modelo de Jaynes-Cummings 9
994 996 998 1000 1002 1004 1006
ωx/g
995.0
997.5
1000.0
1002.5
1005.0
ω
/g
Figura 1-1.: Diagrama de dispersión para la variedad 1, donde se ha establecido ω/g = 1000.
En línea interrumpida azul se muestra la energía del polaritón |1−〉 y en línea
interrumpida roja la del polaritón |1+〉. Las energías de la cavidad y del QD
son mostradas como referencia en línea negra y verde, respectivamente.
996 998 1000 1002 1004
ωx/g
996
998
1000
1002
1004
ω
/g
Figura 1-2.: Transiciones ópticas del sistema para las primeras dos variedades de excitación
como función de la frecuencia. Las transiciones de la primera variedad son
graficadas en línea azul interrumpida, las internas de la segunda variedad en
línea roja y las externas de la segunda variedad en línea-punto verde.
reproduce el diagrama de dispersión anteriormente mostrado, dejando ver en resonancia el
conocido doblete de Rabí, esto es, dos picos de emisión distanciados el doble de la constante
de acople (máximo acercamiento en todo el espectro); a esta distancia espectral se le conoce
como "splitting". Cuando en el espectro de emisión son estos picos los que dominan (o los
únicos visibles), se dice que el sistema se encuentra en el régimen del Jaynes-Cummings li-
neal. Sin embargo, cuando los picos dominantes son los de segunda variedad o de variedades
superiores de excitación, se dice que el sistema se encuentra en el régimen no lineal. Esta
10 1 Marco Teórico
denominación se debe a la dependencia entre el bombeo y el número medio de fotones.
Los picos de emisión que se aprecian fruto de las transiciones de órdenes superiores (tran-
siciones asociadas al Jaynes-Cummings no lineal) se clasifican en picos internos y externos.
Los picos internos presentan un distanciamiento espectral menor a 2g y en resonancia igual
a 2g(
√
n −
√
n− 1); mientras que los externos, que suelen ser menos intensos, poseen un
distanciamiento siempre mayor a 2g y en resonancia igual a 2g(
√
n+
√
n− 1).
1.2. Sistemas cuánticos abiertos
A pesar de que el modelo hamiltoniano otorga un primer acercamiento a la dinámica y los
observables del sistema, es necesario tener en cuenta la influencia del entorno sobre éste para
poder dar una descripción real de su dinámica, observables y propiedades cuánticas, pues la
decoherencia inducida por el entorno las puede afectar radicalmente.
Esto puede realizarse de dos formas, la primera es considerar términos no hermíticos en
el hamiltoniano que den cuenta de forma aproximada de sus pérdidas; sin embargo este en-
foque no garantiza la preservación de la traza y puede desembocar en resultados erróneos.
Su análisis detallado y la forma de corregir los errores inducidos en la dinámica y el espectro
de emisión se mostrará en el capítulo 3.
La otra forma de abordar la interacción con el entorno es considerar un sistema mucho
más grande S+B, compuesto del sistema de estudio S y el entorno como una serie de baños
térmicos B. En un sistema cavidad-QD los acoples que se suelen considerar con el entorno
dan cuenta de las pérdidas de fotones por los espejos de la cavidad, la emisión espontánea
del QD y del bombeo incoherente a la materia. Con esto, el hamiltoniano que se abordará
será Ĥ = ĤJC + ĤB + ĤSB, donde
ĤB =
∑
i,j
ωi,j b̂
†
i,j b̂i,j (1-8)
ĤSB =
∑
i,j
gi,j
(
b̂†i,j + b̂i,j
)(
Âj + †j
)
, (1-9)
con Âj cada uno de los operadores de aniquilación del sistema S que se acoplan con el
reservorio, b̂i,j el operador de aniquilación del i-ésimo modo del j-ésimo reservorio, ωi,j la
frecuencia propia de cada modo del entorno y gi,j cada una de las constantes de acople
sistema-entorno. Así, la ecuación que determina la dinámica del sistema completo será
dρ̂
dt
= −i
[
Ĥ, ρ̂SB
]
, (1-10)
con ρSB la matriz densidad del sistema SB, sin embargo, como esta ecuación involucra una
gran cantidad de grados de libertad y lo único que deseamos es tener información respecto
1.2 Sistemas cuánticos abiertos 11
al sistema S, se realiza una traza parcial sobre los grados de libertad del entorno, y para
facilitar un poco los cálculos se imponen las siguientes aproximaciones:
1. Separabilidad: En t = 0 no hay correlaciones entre el sistema S y el entorno B, i.e.
en t = 0 el estado del sistema se puede expresar en términos de un producto tensorial
directo entre la matriz densidad del sistema ρ̂ y el entorno ρ̂B, ρ̂SB = ρ̂⊗ ρ̂B.
2. Aproximación de Born: Las correlaciones entre el sistema S y el entorno B son
relevantes solamente hasta segundo orden.
3. Aproximación de Markov: El baño térmico es grande y se encuentra en equilibrio
termodinámico; por lo que cualquier perturbación causada por el sistema S en el baño
es despreciable. Esto es ρ̂(t) = ρ̂(t)⊗ ρ̂B.
4. Aproximación de onda rotante: Se considera una interacción SB pequeña, por lo
que se pueden despreciar los términos anti-rotantes Âib̂ij y †i b̂
†
ij.
Con esto, la ecuación de Von-Newmann queda
dρ̂
dt
= −i[ĤJC , ρ̂]− i
〈
[ĤSB, ρ̂SB]
〉
B
, (1-11)
y expandiendo el segundo término hasta segundo orden:
dρ̂
dt
= −i[ĤJC , ρ̂]− i
〈
[ĤSB, ρ̂SB(t = 0)]
〉
B
−
〈
[ĤSB(t),
∫ t
0
dt′[ĤSB(t′), ρ̂SB(t′)]
〉
B
. (1-12)
En esta ecuación el término i
〈
[ĤSB, ρ̂(t = 0)]
〉
B
se hace cero debido a la aproximación de
separabilidad, quedando
dρ̂
dt
= −i[ĤJC , ρ̂]−
∫ t
0
dt′
〈
[ĤSB(t), [ĤSB(t′), ρ̂SB(t′)]
〉
B
. (1-13)
El desarrollo de esta integral se presenta en el apéndice A y deriva en la conocida ecuación
maestra del sistema
dρ̂
dt
= −i[ĤJC , ρ̂] +
γi
2
∑
j
DÂj(ρ̂) +
Pi
2
∑
j
D†j (ρ̂), (1-14)
en donde DÔ(ρ̂) = (2Ôρ̂Ô†− Ô†Ôρ̂− ρ̂Ô†Ô) es el superoperador de Lindblad, que da cuenta
del efecto del entorno sobre el sistema; γi son las tasas de disipación y los términos Pi, las
tasas de bombeo incoherente.
Adicionalmente, a estos términos decoherentes, existen otros dos mecanismos que serán de
gran importancia en la presente tesis, el desfase dipolar y el acople mediado por fonones, los
cuales serán explicados a continuación.
12 1 Marco Teórico
1.2.1. Desfase dipolar
El mecanismo de desfase dipolar da cuenta de la aleatorización en la fase cuántica que surge
de los acoples sistema-reservorio. Su efecto suele ser nulo a bajas temperaturas (del orden de
los 4K), pero llega a tener un papel determinante cuando se trabaja a altas temperaturas
(∼ 50K) o altos bombeos. Para tenerlo en cuenta en el sistema, se introduce la interacción
entre el QD y dos reservorios térmicos (R), los cuales vendrán descritos por los hamiltonianos
y matrices densidad
ĤR =
∑
j
ω3,j b̂
†
3,j b̂3,j + ω4,j b̂
†
4,j b̂4,j, (1-15)
ĤSR =
∑
j,k
(k1jkb̂
†
3,j b̂3,kσ̂σ̂
† + k2jkb̂
†
4,j b̂4,kσ̂
†σ̂),
ρ̂R = B,
B = =∏
j,k
χj,ke
−
b̂
†
j,k
b̂j,kωj,k
KBT , (1-16)
con ωjk las frecuencias asociadas a los modos de cada reservorio, KB la constante de Boltz-
man, T la temperatura, χj,k = 1−e−
ωj,k
KBT , y kijk la constante de interacción entre el QD y los
j-ésimos y k-ésimos modos. En este caso se procede de igual forma a realizar la traza parcial
sobre los grados de libertad del reservorio, sin embargo, al analizar el valor medio
〈
ĤSRB
〉
se evidencia que este no es cero, lo cual impide que en la ecuación 1-12 se desprecie el segun-
do término del lado derecho. Para solucionar esto se le sumará al hamiltoniano anterior el
término constante
〈
ĤSRB
〉
= n̄(ωj,k, T ) (con n̄ la distribución de Bose-Einstein). Con esto,
el hamiltoniano de interacción sistema-entorno queda
ĤSR =
∑
j,k
k1jk(b̂
†
3,j b̂3,k − n̄δj,k)σ̂σ̂†
+
∑
j,k
k2jk(b̂
†
4,j b̂4,k − n̄δj,k)σ̂†σ̂, (1-17)
con δj,k la función delta de Krönecker. El desarrollo de la integral de la ecuación 1-13 para
el caso del desfase dipolar es tratado con detalle en el apéndice B, en donde se muestra que
el término que se le adiciona a la ecuación maestra para dar cuenta de este mecanismo de
aleatorización de fase es
dρ̂
dt
∝ γd
2
(σ̂zρ̂σ̂z − ρ̂), (1-18)
con σ̂z = (σ̂†σ̂ − σ̂σ̂†)/2.
1.2.2. Interacción mediada por fonones
El último mecanismo de acople con el entorno que se incluirá en la presente tesis es la in-
teracción radiación-materia mediada por fonones, la cual ha sido introducida la literatura
1.3 Propiedades ópticas y cuánticas del modelo Jaynes-Cummings 13
en los últimos años para explicar por qué bajo grandes disonancias se observaba un acople
fuerte entre la cavidad y el punto [54, 53, 44]. Cada grupo teórico utilizó una ruta diferente
para derivar este acople, sin embargo lo que hay detrás de todas las propuestas es simple y
puede ser expuesto brevemente.
Aunque el modelo Jaynes-Cummings se basa en un mecanismo de acople resonante, se sabe
que en el experimento casi nunca se logra establecer esa condición exacta, normalmente hay
por lo menos una pequeña disonancia entre ellos, que puede conllevar a la emisión o absorción
de fonones acústicos. Estos tendrían un papel determinante fuera de la resonancia, pues son
precisamente esos fonones los que mediarían el acople, es decir, la diferencia energética entre
los fotones de la cavidad y el QD será compensada por la emisión o absorción de un fonón
acústico. Estos fonones provienen tanto de la red del QD, como de la excitación externa, que
suele ser no resonante con la frecuencia del QD. Dicha interacción fonónica es modelada por
medio del hamiltoniano
Ĥθ−S =
∑
i
gθi
(
b̂†i + b̂i
) (
âσ̂† + â†σ̂
)
, (1-19)
en donde gθi es la constante de acople fonónico y b̂i los operadores de aniquilación de cada uno
de los modos fonónicos. Al hacer la traza parcial sobre este hamiltoniano (ver apéndice A)
quedan dos términos efectivos en la forma de Lindblad, que son
γθ
2
Dâσ̂†(ρ̂) =
γθ
2
(2âσ̂†ρ̂â†σ̂ − â†âσ̂σ̂†ρ̂− ρ̂â†âσ̂σ̂†) (1-20)
Pθ
2
Dâ†σ̂(ρ̂) =
Pθ
2
(2â†σ̂ρ̂âσ̂† − ââ†σ̂†σ̂ρ̂− ρ̂ââ†σ̂†σ̂); (1-21)
Donde el valor de las tasas Pθ y γθ puede ser encontrado a partir de las expresiones
γθ = 2πD(∆)gθ(∆)2(1 + n̄)
Pθ = 2πD(∆)gθ(∆)2n̄, (1-22)
siendo el mecanismo Pθ el que involucra una transferencia de excitación del QD a la cavidad
y el mecanismo γθ de la cavidad al QD; D(∆) la densidad de estados fonónicos y n̄ la
distribución de Bose-Einstein. Sin embargo, hasta la fecha no se ha realizado ningún estudio
sistemático que determine cuál es la dependencia real que tienen D(∆) y gθ(∆) de los
parámetros físicos del sistema como la temperatura, la disonancia, el bombeo incoherente y
algún otro parámetro microscópico del sistema.
1.3. Propiedades ópticas y cuánticas del modelo
Jaynes-Cummings
Al incorporar en el modelo de Jaynes-Cummings la pérdida de fotones por los espejos de
la cavidad κ
2
Dâ(ρ̂), la emisión espontánea γ
2
Dσ̂(ρ̂) (que por ser por lo menos un orden de
14 1 Marco Teórico
magnitud menor a las pérdidas de la cavidad suele ser despreciada) y el bombeo incoherente
al punto cuántico P
2
Dσ̂†(ρ̂), se puede escribir la ecuación maestra del sistema como
dρ̂
dt
= −i[ĤJC , ρ̂] +
κ
2
Dâ(ρ̂) +
γ
2
Dσ̂(ρ̂) +
P
2
Dσ̂†(ρ̂). (1-23)
Su solución puede darse en el tiempo o de forma estacionaria, y permite encontrar el com-
portamiento tanto de los observables del sistema, como de sus propiedades cuánticas.
Dentro de los observables y cuantificadores que se suelen calcular para caracterizar los sis-
temas de la cQED, los más usados por la valiosa información que otorgan, son la función
de correlación de segundo orden, el espectro de emisión, el entrelazamiento y la tomografía
cuántica.
La función de correlación de segundo orden es definida como
g(2)(τ) =
〈
â†(t)â†(t+ τ)â(t+ τ)â(t)
〉
〈
â†(t)â(t)
〉2 , (1-24)
y permite caracterizar los fotones emitidos por el sistema en algún instante t (suele ser el
estado estacionario t → ∞), pues si g(2)(0) > g(2)(τ > 0) se tiene que éstos vienen agrupa-
dos y si por el contrario g(2)(0) < g(2)(τ > 0), se presenta desagrupamiento de los fotones
emitidos. Además, una evidencia contundente de que el sistema presenta comportamientos
no clásicos es que g(2)(0) < 1. Si se tiene un sistema láser g(2)(0) = 1, una fuente térmica
g(2)(0) = 2 y finalmente si se tiene una fuente se estados comprimidos g(2)(0) ≥ 3. Como
medida complementaria a la g(2) se suelen considerar el número medio de fotones
〈
â†â
〉
y la
inversión de población 〈σ̂z〉.
Por otro lado, y de forma complementaria al cálculo de la g(2), se encuentra el cálculo del es-
pectro de emisión fotoluminiscente, definido a partir del teorema de Wiener-Khintchine [57]
como la transformada de Fourier de la función de correlación de fotones a dos tiempos:
S(ω) = Re ĺım
t→∞
∫ ∞
0
〈
â†(τ)â(0)
〉
e−iωτdτ. (1-25)
De aquí, la función de correlación
〈
â†(τ)â(0)
〉
puede ser calculada haciendo uso de la conocida
formula de regresión cuántica [58], que establece que si un conjunto de operadores {Ôl}
satisfacen las ecuaciones dinámicas
d
dτ
〈Ôl(τ)〉 =
∑
k
Mlk〈Ôl(τ)〉, (1-26)
entonces se cumplirá para cualquier operador Ô(0) la relación
d
dτ
〈Ôl(τ)Ôl(0)〉 =
∑
k
Mlk〈Ôl(τ)Ôl(0)〉. (1-27)
1.3 Propiedades ópticas y cuánticas del modelo Jaynes-Cummings 15
Para el caso del espectro de emisión de la cavidad el conjunto cerrado de operadores (para
la variedad n-ésima) será
Ô
[n]
1 ≡ â†Gn = |G, n〉 〈G, n− 1| ,
Ô
[n]
2 ≡ σ̂†n = |X,n− 1〉 〈G, n− 1| ,
Ô
[n]
3 ≡ â†Xn = |X,n− 1〉 〈X,n− 2| ,
Ô
[n]
4 ≡ ζ̂†n = |G, n〉 〈X,n− 2| . (1-28)
Téngase en cuenta que este conjunto de operadores es cerrado siempre y cuando se trunque
la base del sistema, es decir, se considere una variedad de excitación máxima nmax para la
torre de estados, de tal forma que se asegure convergencia de los resultados para los pará-
metros establecidos.
En la Fig. 1-3(a)-(c) se muestra el cálculo del espectro de emisión para tres valores di-
ferentes de la disonancia QD-cavidad, en donde se logran identificar los picos de emisión de
las dos primeras variedades de excitación, siendo los picos de la primera variedad los domi-
nantes. También se logra apreciar que al variar la disonancia se ven favorecidas diferentes
transiciones, y cómo éstas van cambiado su posición espectral y su ancho de línea. Por otro
lado, al graficar la posición espectral de los picos de emisión como función de la disonancia,
panel (d), se recupera en gran medida lo que se había pronosticado en la Fig.1-2 a partir
de la resta de autovalores. Sin embargo, esta concordancia no siempre es tan buena, es po-
sible encontrar divergencias importantes cuando el bombeo es alto, κ es del orden de g, o se
consideran mecanismos decoherentes como el desfase dipolar o el acople mediado por fonones.
Para realizar un análisis exhaustivo a las transiciones del sistema, se pueden calcular los
autovalores y autovectores de la matriz Mlk. Sus autovalores λ(n) están relacionados con las
posiciones espectrales de los picos ω(n)y con sus anchos de línea Γ(n) por medio de la relación
λ(n) = Γ(n) + iω(n). (1-29)
Además, sus autovectores Uj para j = 1, 2, 3, 4, representan las transiciones vestidas del
sistema (transiciones |n±〉 → |n− 1±〉), por lo que el cálculo de los coeficientes de expansión
en la base de las transiciones desnudas (Eq. 1-28)
Uj
n =
∑
i,n
Cj
i,nÔ
[n]
i , (1-30)
es de gran ayuda cuando se quiere caracterizar la decoherencia inducida por algún mecanis-
mo no hamiltoniano.
16 1 Marco Teórico
1296 1298 1300 1302 1304
(a)
1296 1298 1300 1302 1304In
te
ns
id
ad
(u
ni
d.
ar
b.
)
(b)
1296 1298 1300 1302 1304
ω/g
(c)
1296 1298 1300 1302 1304
ω/g
−4
−2
0
2
4
∆
/g
(d)
Figura 1-3.: Espectro de emisión para ω/g = 1300, γ/g = 0, P/g = 0,05, κ/g = 0,1 y (a)
∆ = −0,5, (b) ∆ = 0, (c) ∆ = 0,5; junto con la gráfica de las posiciones espec-
trales de los picos como función de la disonancia (d). Los picos provenientes de
transiciones de la primera variedad son graficados en línea interrumpida azul,
los provenientes a las transiciones internas de segunda variedad en línea roja
y los provenientes de las transiciones externas en línea-punto verde.
1.3 Propiedades ópticas y cuánticas del modelo Jaynes-Cummings 17
−20 −10 0 10 20
∆/g
0
0.1
N
(a)
|G0〉|X0〉|G1〉|X1〉|G2〉|X2〉
〈X2|
〈G2|
〈X1|
〈G1|
〈X0|
〈G0|
(b)
−0.50
−0.25
0.00
0.25
0.50
Figura 1-4.: (a) Negatividad en el estado estacionario como función de la disonancia. (b)
Tomografía de la matriz densidad para ∆/g = 2. Los parámetros utilizados
son ω/g = 1300, γ/g = 0, P/g = 0,1, κ/g = 0,1.
Por otro lado, la caracterización de las propiedades cuánticas de los sistemas de la cQED sue-
le hacerse por medio de la medición (o identificación) del entrelazamiento o por medio de la
tomografía cuántica. Para el caso del entrelazamiento cuántico, los criterios de medida están
establecidos solamente cuando el sistema está compuesto por dos QDs (Concurrencia), por
un QD y un sistema de tres niveles o por dos sistemas de tres niveles, pero para el caso de un
sistema cavidad-QD, solo hay establecidos testigos. Uno de los testigos del entrelazamiento
que ha probado ser más confiable es el criterio de Peres, también conocido como negatividad,
el cual concuerda con la concurrencia (C) en el caso límite de tener dos sistemas QD-QD.
Caso en el cual la negatividad deja de ser testigo y pasa a ser medidor del entrelazamiento.
El criterio de Peres establece que cuando dos sistemas son separables (no entrelazados) los
autovalores de la transpuesta parcial de la matriz densidad que describe el sistema son todos
positivos, por lo que el entrelazamiento puede medirse (testificarse en el caso de sistemas
multinivel) con base en que tan negativos son dichos autovalores, en particular por medio
de la expresión N = 4
∑
n
(
max
{
0, ρXn,Gn+1 −√ρGnGnρXn+1Xn+1
})2 [59].
En la Fig. 1-4 (a) se muestra el entrelazamiento estacionario para un sistema cavidad-QD
como función de la disonancia, se aprecia como en resonancia el entrelazamiento se hace
nulo, pero una vez se comienza a sacar el sistema de la resonancia, éste rápidamente alcanza
un valor máximo, el cual decrece para disonancias muy altas. Si se hiciera una medida de
la entropía del sistema (grado de mezcla), mediante cuantificadores como la entropía lineal,
o la entropía de Von Neumann SV , se encontraría que para el caso resonante el sistema se
encuentra máximamente mezclado.
18 1 Marco Teórico
Finalmente, la tomografía de la matriz densidad es una representación pictórica de esta
(experimentalmente puede ser determinada haciendo uso de medidas interferométricas) en
donde cada elemento de la matriz densidad, tanto población como coherencia, es represen-
tado por un cuadrado, y el valor de cada elemento determina el color y tamaño del cuadrado.
En el panel (b) se muestra la tomografía de la matriz densidad en el estado estacionario
para el caso en que el entrelazamiento es máximo. Esta muestra que la dinámica se encuen-
tra concentrada fundamentalmente en la primera variedad, además que por el valor de la
disonancia escogida el estado |X0〉 será el más probable.
1.4. Solución cerrada a la ecuación maestra de
Lindblad sin ganancia
Los observables que se mostraron en la sección anterior pueden ser calculados para caracte-
rizar cualquier sistema de la cQED una vez se conozca la solución a la ecuación
dρ̂
dt
= Lρ̂, (1-31)
donde L es el generador del mapeo conforme, también llamado Liouvilliano del sistema
(operador de Liouville); e incorpora tanto la información del hamiltoniano como de todos
los términos de acople con el reservorio. El principal problema de solucionar esta ecuación
cuando en el sistema se considera por lo menos un modo de campo electromagnético, es que
su dimensión es infinita. Por lo que si se desean tener expresiones analíticas para la dinámica
o el problema de autovalores asociado, es necesario hacer alguna aproximación o reescritura
del mismo.
Una de las aproximaciones más usadas es la de un fotón (o un número bajo de fotones);
ésta permite reducir la dimensionalidad del sistema pero restringe mucho el análisis que se
puede hacer del mismo, pues se desprecian todos los efectos colectivos y la fenomenología que
surja debido a variedades de excitación superiores a la primera, siendo su rango de aplicación
limitado al caso Px ∼ 0.
Otra forma de abordar el problema es por medio de hamiltonianos no hermíticos, mediante
los cuales solo se recupera parte del efecto de los términos de Lindblad asociados con la disi-
pación (no se pueden tener en cuenta los mecanismos de desfase dipolar o de acople mediado
por fonones). Además que su precisión, tal como se verá en el capítulo 3, se restringe al caso
en que las tasas de disipación son muy bajas.
El último enfoque, desarrollado por J.M. Torres [60], permite encontrar la solución al pro-
blema de autovalores de forma cerrada sin emplear ninguna aproximación. Este se basa en
1.4 Solución cerrada a la ecuación maestra de Lindblad sin ganancia 19
expresar el Liouvilliano del problema infinito-dimensional en términos de infinitos Liouvillia-
nos finito-dimensionales. Sin embargo, éste exige la preservación de la variedad de excitación
por parte de los mecanismos no hamiltonianos i.e. se pueden tratar de forma exacta los
mecanismos de desfase dipolar y el acople mediado por fonones, pero se debe despreciar el
efecto del bombeo y considerar los mecanismos disipativos de forma no hermítica.
Con el propósito de hacer uso de éste enfoque en los capítulos 4 y 5, se considerará el
hamiltoniano efectivo no hermítico (NHEH) descrito por la ecuación maestra
dρ̂
dt
= −i[ĤJC , ρ̂ ]− i{K̂, ρ̂}+
γθ
2
Dσ̂†â (ρ̂) +
Pθ
2
Dσ̂↠(ρ̂) ≡ Lρ̂, (1-32)
donde K̂ = −iγxσ̂†σ̂/2− iκâ†â/2 es la parte no hermítica del hamiltoniano que responde por
la pérdida de fotones de la cavidad y la emisión espontánea. Nótese que salvo el bombeo, se
incluyen todos los mecanismos físicos que involucra el modelo exacto; y además, se garan-
tiza la preservación de la variedad de excitación, requisito fundamental para particionar el
Liouvilliano en sub-espacios, y así tener un conjunto de Liouvillianos Ln,m que satisfagan la
ecuación de autovalores
Ln,mUn,m = λn,mUn,m, (1-33)
donde λn,m y Un,m son los autovalores y autovectores del sub-espacio que relaciona las
variedades n y m, y Ln,m su respectivo Liouvilliano, que como se muestra en el apéndice C,
toma la forma
Ln,m =


2(κ+γ)−(m+n)(κ+Pθ)
2
−ig√m ig
√
n γθ
√
nm
−ig√m −2i∆−mγθ−nPθ−κ(m+n)+(γ+κ)
2
0 ig
√
n
ig
√
n 0 2i∆−nγθ−mPθ−(m+n)κ+(γ+κ)
2
−ig√m√
nmPθ ig
√
n −ig√m − (κ+γθ)(m+n)
2

 .
(1-34)
Siendo además, la matriz densidad del sistema expresada como
ρ̂ =
∑
n,m,α,β
%α,βn,m |n− α, α〉 〈m− β, β| , (1-35)
donde el último término puede ser escrito como una matriz 2 × 2 con los elementos consti-
tuyentes %α,βn,m.
El caso que nos interesa estudiar en la tesis es m = n − 1, que corresponde a las transi-
ciones del sistema a un solo fotón. La base en la que se expande el n-ésimo sub-espacio esla
20 1 Marco Teórico
base de operadores del teorema de regresión cuántico (Eq. 1-28); por lo que el Liouvilliano
Ln,n−1 cumple la relación la relación 1-29 y viene dado por
Ln,n−1 =


2(κ+γ)−(2n−1)(Pθ+κ)
2
−ig
√
n− 1 ig
√
n
√
n(n− 1)γθ
−ig
√
n− 1 (γx+2κ)−n(Pθ+2κ)−(n−1)γθ+4i∆
2
0 ig
√
n
ig
√
n 0 (γx+2κ)−(n−1)Pθ−n(γθ+2κ)−4i∆
2
−ig
√
n− 1√
n(n− 1)Pθ ig
√
n −ig
√
n− 1 (1−2n)(γθ+κ)
2

 .
(1-36)
2. Control de puntos cuánticos dobles
a través de asistencia fonónica a la
interacción
En el presente capítulo se estudiará la influencia de la asistencia fonónica al tunelamiento y
el desfase dipolar en las propiedades ópticas y cuánticas de dos QDs verticalmente alineados.
Al ser un sistema de baja dimensionalidad se logran obtener resultados analíticos, funda-
mentales para el entendimiento del mecanismo de acople fonónico en sistemas más complejos.
Se encuentra que el acoplamiento mediado por fonones redistribuye las poblaciones del
sistema, afecta fuertemente las propiedades ópticas y fortalece sus coherencias; lo cual se
contrapone a lo que sucede cuando se presenta un mecanismo de desfase dipolar.
A partir de los resultados presentados en este capítulo se está preparando un artículo para
publicación.
2.1. Sistema físico
Como en el sistema de estudio no hay presencia de campos eléctricos externos que alteren
las bandas energéticas de los semiconductores, la dinámica estará gobernada por excitones
directos (espacialmente definidos). Cada excitón directo involucra el acople Coloumbiano
fuerte entre un electrón de la banda de conducción y un hueco pesado de la banda de
valencia (del mismo QD). Además, como es posible ajustar la polarización del láser para que
concuerde con los auto-estados de los excitones, se considerará que ellos poseen espín fijo.
Así, la base de estados desnuda contendrá los estados |GG〉 = |G〉 ⊗ |G〉, que involucra los
dos puntos vacíos, el estado |GX〉 = |G〉 ⊗ |X〉, con el primer QD vacío y el segundo con un
excitón directo, el estado |XG〉 = |X〉 ⊗ |G〉, con el primer QD con un excitón directo y el
segundo vacío y finalmente el estado |XX〉 = |X〉 ⊗ |X〉, con ambos puntos con un excitón
directo. Adicionalmente, al estar suficientemente cerca el uno del otro, se presentará una
transferencia de excitación entre los estados |GX〉 y |XG〉, de forma que el hamiltoniano
que describe el sistema sea (~ = 1)
Ĥ = ωaσ̂
†
aσ̂a + (ωa + ∆) σ̂†b σ̂b + VBσ̂
†
aσ̂aσ̂
†
b σ̂b + g
(
σ̂aσ̂
†
b + σ̂†aσ̂b
)
, (2-1)
22 2 Control de puntos cuánticos dobles a través de asistencia fonónica a la interacción
donde ωa es la frecuencia del primer QD, σ̂a (σ̂b) el operador de Pauli de bajada para el
primer (segundo) QD, ∆ la disonancia entre QDs, VB el corrimiento biexcitónico, que por
simplicidad y sin pérdida de generalidad va a ser considerado cero, y g la constante de acople
entre los QDs, la cual puede deberse a interacción Förster o acople por tunelamiento.
2.2. Resultados
2.2.1. Influencia sobre las propiedades ópticas
Si se omite la influencia del entorno, el sistema permanecerá en uno de los cuatro autoestados,
el estado biexcitónico |XX〉, el vacío |GG〉 o uno de los dos estados entrelazados, que son
|+〉 =
2g√
4g2 + (∆ + Ω)2
|GX〉 − ∆ + Ω√
4g2 + (∆ + Ω)2
|XG〉
|−〉 =
2g√
4g2 + (∆− Ω)2
|GX〉 − ∆− Ω√
4g2 + (∆− Ω)2
|XG〉 , (2-2)
con Ω2 = 4g2 + ∆2. Es de notar que en este caso, la resonancia (∆ = 0) es la condición
que más favorece al entrelazamiento, pues implica que los dos autoestados |+〉 y |−〉 son
estados máximamente entrelazados. Además, en el espectro de emisión se apreciarán dos
picos espectrales, uno de ellos en la frecuencia ωa+ωb
2
+ Ω
2
, originado por las transiciones
|XX〉 → |−〉 y |+〉 → |GG〉, el otro en la frecuencia ωa+ωb
2
− Ω
2
, proveniente de las transiciones
|XX〉 → |+〉 y |−〉 → |GG〉. No obstante, la presencia de mecanismos disipativos afectarán
ambos, el entrelazamiento y el espectro de emisión, razón por la cual se hace necesario
estudiar el sistema cuántico a partir de la ecuación maestra, la cual al escribirla en la forma
de Lindblad toma la forma
dρ̂
dt
= −i[Ĥ, ρ̂] +
γ
2
Dσ̂a(ρ̂) +
P
2
Dσ̂†b (ρ̂) +
γd
2
Dσ̂z(ρ̂) +
γθ
2
Dσ̂aσ̂†b (ρ̂) +
Pθ
2
Dσ̂†aσ̂b(ρ̂) (2-3)
Aquí se han considerado los mecanismos de emisión espontánea del primer QD (γ), un bom-
beo incoherente al segundo QD (P ), desfase dipolar al segundo QD (γd) y asistencia fonónica
a la interacción (γθ y Pθ). El efecto físico de cada mecanismo sobre la torre de estados des-
nudos se muestra en la Fig 2-1. Vale la pena mencionar que en el esquema no aparece el
mecanismo γd, debido a que éste no afecta directamente las poblaciones del sistema. Ade-
más, la introducción del acople mediado por fonones se ha hecho de forma análoga a como se
hace para sistemas cavidad-QD (ver sección 1.2.2), pero en este caso modela la transferencia
asistida por fonones de excitación entre los QDs.
Inicialmente se estudiarán las propiedades espectrales del sistema por medio del espectro
de emisión total Sa(ω) + Sb(ω) =
∫∞
−∞
〈
σ̂†a(τ)σ̂a(0)
〉
e−iωτdτ +
∫∞
−∞
〈
σ̂†b(τ)σ̂b(0)
〉
e−iωτdτ , y
por medio del análisis de las posiciones espectrales de sus picos ωn = Im[λn] y anchos de
2.2 Resultados 23
Figura 2-1.: Torre de estados desnudos del sistema con los procesos físicos involucrados de
forma esquemática.
línea Γn = Re[λn]. En particular los índices se han establecido de forma que n = 1, 2 sean
las transiciones de mayor energía.
Para el caso en que g >> γ y g >> P se pueden obtener expresiones analíticas mane-
jables para los anchos de línea y las posiciones de los picos. Para la condición límite en que
γd = 0 se tendría
ω1,3 =
ωa + ωb
2
± µ+
4
√
1
2
− θ2 − 4Ω2
2µ2
+
(2-4)
ω2,4 =
ωa + ωb
2
± µ−
4
√
1
2
− θ2 − 4Ω2
2µ2
−
(2-5)
Γ1,2 =
γθ + Pθ
4
∓ µ+
4
√
1
2
+
θ2 − 4Ω2
2µ2
+
(2-6)
Γ3,4 =
γθ + Pθ
4
∓ µ−
4
√
1
2
+
θ2 − 4Ω2
2µ2
−
, (2-7)
y para el caso γd 6= 0 y Pθ = γθ:
ω1,2 =
ωa + ωb
2
+
µ+
4
√
1
2
− 2(γ2
d − 2Ω2)
µ2
+
(2-8)
ω3,4 =
ωa + ωb
2
− µ−
4
√
1
2
− 2(γ2
d − Ω2)
µ2
−
(2-9)
Γ1,3 =
2γd + γθ + Pθ
4
± µ+
4
√
1
2
+
2(γ2
d − Ω2)
µ2
+
(2-10)
Γ2,4 =
2γd + γθ + Pθ
4
± µ−
4
√
1
2
+
2(γ2
d − Ω2)
µ2
−
, (2-11)
24 2 Control de puntos cuánticos dobles a través de asistencia fonónica a la interacción
donde Ω =
√
4g2 + ∆2 es la frecuencia de Rabí, θ = γθ − Pθ el desequilibrio fonónico de
tunelamiento entre QDs y µ2
± =
√
((θ ± 2γd)2 − 4Ω2)2 + 16(θ ± 2γd)2∆2.
Se aprecia que el efecto de la asistencia mediada por fonones depende fuertemente del des-
equilibrio entre γθ y Pθ, siendo el caso θ = 0 el trivial, esto es, un ensanchamiento espectral
sin afectar la posición de los picos de emisión. Por esto, la presente tesis se centra fundamen-
talmente en el análisis del caso θ 6= 0. En los paneles (a) y (b) de la Fig. 2-2 se muestran
los anchos de línea como función de γθ/g y γd/g. Se aprecia que el ensanchamiento espectral
se presenta el doble de rápido para el caso del desfase dipolar y que a partir de cierto valor
los anchos de línea dejan de crecer linealmente con los términos disipativos; dos de ellos
aumentan rápidamente para contribuir al fondo de emisión y los dos restantes se reducen.
Vale la pena resaltar que tal como se ve en las ecuaciones 2-6 y 2-7, 2-10, 2-11, las transi-
ciones que reducen su ancho de línea después del valor crítico no son las mismas. Esto es
un factor determinante que permite distinguir unívocamente el efecto de cada mecanismo
desde el punto de vista óptico; pues aunque ambos inducen decoherencia y el espectro en
resonancia tiende a mostrar un solo pico de emisión para valores muy altos de γθ y γd, lo
observado fuera de la resonancia es diferente: El mecanismo mediado por fonones permite
apreciar dos picos de emisión, cada uno presente en la frecuencia desnuda de un QD y el
desfase solo un pico de emisión en la frecuencia del primer QD, tal como puede apreciarse
en los paneles (c) y (d). La razón de tal comportamiento puede evidenciarse si se analizan
los coeficientes de expansión (ver Eq. 1-30) de las dos transicionesque reducen su ancho de
línea, las cuales se han nombrado T ↓1 y T ↓2 por motivos de simplificación. Sus respectivos
autovectores se escriben en la base de transiciones desnudas como
T↓1 = B1 |GX〉 〈GG|+B2 |XG〉 〈GG|+B3 |XX〉 〈GX|+B4 |XX〉 〈XG| (2-12)
T↓2 = C1 |GX〉 〈GG|+ C2 |XG〉 〈GG|+ C3 |XX〉 〈GX|+ C4 |XX〉 〈XG| . (2-13)
En los paneles (e) y (f) se muestra el valor absoluto de dichos coeficientes como función de
de γθ/g, y en los paneles (g) y (h) como función de γd/g. Aquí se aprecia que la interacción
mediada por fonones es un mecanismo de decoherencia parcial, pues en lugar de afectar las
transiciones de uno de los dos puntos como lo hace el desfase dipolar, que genera un gran
ensanchamiento de todas las transiciones del primer QD, el mecanismo fonónico genera que
las transiciones del sistema tiendan a ser las transiciones desnudas que no involucran el es-
tado |XG〉. Esto es, se afecta solo una de las transiciones de cada QD.
Esta fenomenología expuesta es corroborada experimentalmente por medio de los espec-
tros de emisión, de los cuales se han graficado cinco casos particulares en los paneles (i)-(m).
El panel (i) muestra el caso en el que los mecanismos fonónicos son nulos y se aprecia cla-
ramente el doblete espectral, como evidencia del acople fuerte entre QDs; el panel (j) y (k)
muestran los casos en que γθ/g = 2, γd/g = 0 y γθ/g = 0, γd/g = 2, respectivamente. Aquí se
2.2 Resultados 25
0 5 10
γθ/g
−1
0
1
(I
m
[λ
n
]
−
ω
a
)/
g
(c)
0 10
−1
0
1
γd/g
(d)
0 5 10
γθ/g
0
5
R
e[
λ
n
]/
g
(a)
0 10
5
γd/g
(b)
0
10−1 101
γθ/g
(e)
(f)
10−1 101
γd/g
1
|B
n
|2
(g)
0
|C
n
|2
(h)
1
0
−1 0 1
(ω − ωa)/g
In
te
n
si
d
ad
(u
n
id
.
ar
b
.)
Sa + Sb
(i)
−2.5 0.0 2.5
Sa + Sb (j)
−0.15 0.00 0.15
Sa + Sb (l)
−2.5 0 2.5
(ω − ωa)/g
Sa + Sb (k)
−0.15 0 0.15
(ω − ωa)/g
Sa + Sb (m)
Figura 2-2.: Los anchos de línea Γ1, Γ2, Γ3 y Γ4 son mostrados como función de γθ en el panel
(a) con línea roja, línea-punto gruesa azul, línea interrumpida gruesa negra y
línea gruesa verde, respectivamente. En el panel (b) se muestran los mismos
anchos de línea pero como función de γd. Las posiciones espectrales de los picos
ω1, ω2, ω3 y ω4 son mostradas en el panel (c) y (d) con la misma convención de
colores y como función de γθ y γd, respectivamente. En los paneles (e)-(h) se
muestran los coeficientes |Cn|2 y |Bn|2 como función de γθ y γd. El coeficiente
con n = 1 aparece con línea interrumpida gruesa verde, n = 2 con línea negra,
n = 3 con línea gruesa azul y n = 4 con línea interrumpida gruesa roja. El
espectro de emisión se muestra para ∆/g = 0,1, P/g = 0,001, γ/g = 0,001,
Pθ = 0 y en el panel (i) γθ = γd = 0, en el panel (j) γθ/g = 2, γd = 0, en el
panel (k) γθ = 0, γd/g = 2, en el panel (l) γθ/g = 100, γd = 0 y en el panel (m)
γθ = 0, γd/g = 100. Además como guía visual se muestra una línea punteada
en los paneles (a)-(d) en γθ/g = 2 y γd/g = 2, respectivamente; en los paneles
(j),(k) en E1− y E1+ y en los paneles (l),(m) en 0 y ∆/g.
aprecia cómo al aumentar los mecanismos γθ y γd se incrementa el ancho de línea de los picos
de emisión, siendo además el acople mediado por fonones el mecanismo que más preserva el
anticruce propio del acople fuerte. Finalmente, el caso mostrado en los paneles (i), (m) es el
límite en que los mecanismos decoherentes dominan la dinámica del sistema. Se aprecia que
el acople mediado por fonones induce dos picos, cada uno en la frecuencia desnuda de un
26 2 Control de puntos cuánticos dobles a través de asistencia fonónica a la interacción
QD, y el desfase dipolar uno solo en la frecuencia desnuda del primer QD.
La diferencia entre el efecto de ambos mecanismos sobre el sistema puede ser entendida
más a fondo por medio del cálculo del entrelazamiento y la mezcla, para esto, en la Fig 2-3
(a) se muestra la concurrencia QD-QD en el estado estacionario como función de la disonan-
−20 −10 0 10 20
∆/g
0
0.1
0.2
0.3
C
(a)
0 2 4 6 8 10
tg
0.0
0.5
1.0
(c)
−20 −10 0 10 20
∆/g
0.0
0.5
1.0
S
V
(b)
10−1 100 101 102 103 104
tg
0.0
0.5
1.0
(d)
Figura 2-3.: La concurrencia y la entropía de Von Neumann en el estado estacionario son
mostrados en los paneles (a),(b) y su evolución en los paneles (c),(d) (esta-
bleciendo el estado inicial |G0〉 para la dinámica). Para todos los casos se ha
establecido γd = γθ = 0 en línea roja, γd = 0, γθ/g = 7 en línea interrumpida
negra y γd/g = 2, γθ = 0 en línea-punto azul. Además γ y P son establecidos
como en el panel anterior.
cia para los tres casos, el disipativo sin desfase dipolar ni asistencia fonónica en línea roja,
sin desfase dipolar pero con γθ/g = 7 en línea interrumpida negra, y sin asistencia fonónica y
γd/g = 2 en línea-punto azul. Se observa como el desfase dipolar atenta fuertemente contra el
entrelazamiento, haciendo que este sea nulo para cualquier valor de disonancia entre QDs, y
por el contrario la asistencia fonónica, a pesar de ser un mecanismo en principio decoherente,
hace que el entrelazamiento pase de ser nulo cerca de la resonancia a tomar su valor máximo.
Esto se da porque la asistencia fonónica hace que el sistema reduzca fuertemente su grado de
mezcla para todas las disonancias, como se observa en el panel (b) de la misma gráfica, en
donde se aprecia además, como el desfase dipolar genera un estado máximamente mezclado
2.3 Sumario y conclusiones 27
en el sistema. Un análisis a la evolución temporal de la concurrencia (panel (c)), deja ver que
tanto el efecto del desfase dipolar como el de la asistencia fonónica es bastante rápido, pues
antes de dos periodos, la decoherencia ya ha hecho nulo el entrelazamiento y la asistencia
fonónica lo ha llevado a su valor asintótico, es decir, se eliminan las muertes súbitas del en-
trelazamiento QD-QD. Adicionalmente, al analizar la entropía (panel (d)) como función del
tiempo se evidencia que el desfase dipolar acelera la mezcla del sistema y el acople mediado
por fonones la retarda.
Para finalizar el estudio del efecto de éstos mecanismos en el sistema, se analiza la inversión
de población de los QDs y la tomografía cuántica de la matriz densidad. En particular, la
inversión de población en el estado estacionario como función de γθ/g y γd/g se muestra
en el panel (a) de la Fig. 2-4 para cada uno de los dos puntos. Se aprecia claramente que
ambos mecanismos generan una redistribución de las poblaciones, pues
〈
σ̂†aσ̂a
〉
→ −0,5 y〈
σ̂†b σ̂b
〉
→ 0,5, cuando γd o γθ son altos; sin embargo, para evidenciar esta fenomenología
con el desfase dipolar, el valor que debe tomar γd es tres ordenes de magnitud mayor al valor
que debería tomar γθ. La razón de esta diferencia se puede entender al analizar la tomografía
de la matriz densidad del sistema en el estado estacionario. Esta se calcula para el caso de
referencia (sin desfase y sin acople fonónico, panel (b)) y para cada uno de los dos meca-
nismos en los valores en que la inversión de población se encuentra aproximadamente en su
punto de inflexión (en los paneles (c) y (d), respectivamente). En el panel (b) se observa
que en ausencia de estos dos mecanismos se presenta una distribución equiprobable de las
poblaciones, y las coherencias relacionadas con la interacción son no nulas. En el panel (c)
se aprecia que fruto de la redistribución de las poblaciones que genera el acople mediado por
fonones, se fortalecen las coherencias del sistema relacionadas con la interacción, pero por el
contrario, en el panel (d) se observa que la redistribución de las poblaciones es solamente un
efecto secundario de la decoherencia inducida al primer QD, esto debido a que sin haberse
dado la redistribución completa de las poblaciones, todas las coherencias son nulas.
2.3. Sumario y conclusiones
En el presente capítulo se ha realizado el estudio exhaustivo de la influencia de la asistencia
mediada por fonones en un sistema de dos puntos cuánticos dobles verticalmente alineados,
el cual sirve como un primer acercamiento a los sistemas más complejos que se abordarán
en la presente tesis.Se encontró que cuando no hay desequilibrio entre Pθ y γθ, se incrementan los anchos de línea
del espectro de emisión, pero no se afectan las posiciones espectrales. Sin embargo cuando el
desequilibrio es grande, se induce una redistribución en las poblaciones del sistema que ge-
nera una afectación selectiva a las coherencias. Esto hace que su influencia en el espectro sea
28 2 Control de puntos cuánticos dobles a través de asistencia fonónica a la interacción
10−2
10−2
100
100
102
102
104
104
106
106
γd/g
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
In
ve
rs
ió
n
de
p
ob
la
ci
ón
(a)
γθ/g
|GG〉|GX〉|XG〉|XX〉
〈XX|
〈XG|
〈GX|
〈GG|
(b)
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
|GG〉|GX〉|XG〉|XX〉
〈XX|
〈XG|
〈GX|
〈GG|
(c)
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
|GG〉|GX〉|XG〉|XX〉
〈XX|
〈XG|
〈GX|
〈GG|
(d)
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
Figura 2-4.: (a)
〈
σ̂†aσ̂a
〉
en el estado estacionario como función de γθ/g y γd/g en línea
gruesa verde y roja, respectivamente; y
〈
σ̂†b σ̂b
〉
en el estado estacionario como
función de γθ/g y γd/g en línea interrumpida negra y línea-punto azul, res-
pectivamente. Se muestran líneas punteadas en γθ/g = 3 y γd/g = 1000 como
guía. Tomografía de la matriz densidad para (b) γd = γθ = 0, (c) γd = 0,
γθ/g = 3 y (d) γd/g = 1000, γθ = 0.
parcialmente similar al del desfase dipolar, pues ambos mecanismos generan una reducción
del acople efectivo, destruyendo el splitting cuando se establece condición de resonancia. Sin
embargo, la asistencia fonónica no genera mezcla en el sistema, sino que por el contrario,
la reduce e induce entrelazamiento en resonancia, lo hace constante desde cortos tiempos
y permite que en la emisión del sistema se observen dos picos estrechos en la frecuencia
2.3 Sumario y conclusiones 29
desnuda de cada QD. Todo esto debido a que la asistencia fonónica en lugar de afectar todas
las coherencias del sistema (como sucede con el desfase), fija la condición de excitación de
uno de los puntos (selecciona las transiciones permitidas).
3. Estudio de la confiabilidad de los
hamiltonianos no hermíticos para
modelar sistemas cuánticos
abiertos
En el presente capítulo se estudiará la confiabilidad de enfoques no hermíticos para modelar
sistemas cuánticos abiertos, pues en los capítulos 4 y 5 se utilizará un modelo simplificado
no hermítico para analizar a profundidad el efecto de la interacción mediada por fonones en
el sistema cavidad-QD. Se encuentra que, aunque en algunos regímenes de parámetros su
descripción es bastante aproximada al modelo exacto, en general se presentan discrepancias
importantes tanto en los observables del sistema como en la dinámica de las poblaciones y
coherencias. Se plantea un método para corregir las fallas del enfoque no hermítico y garan-
tizar la preservación de la probabilidad, el cual se prueba con diferentes tipos de disipación
y bombeo, tanto lineal como no lineal, diferentes condiciones iniciales y se compara con otro
enfoque de corrección muy usado en la literatura, llamado método no hermítico de la mecá-
nica cuántica (NHQM) [61].
A partir de los resultados presentados en este capítulo se han publicado tres artículos en
la revista Optik. Esto en colaboración con el docente Ph.D. Edgar A. Gómez de la Univer-
sidad del Quindío. La referencia de los artículos es
S. Echeverri-Arteaga, H.Vinck-Posada, E.A. Gómez, Optik 171, 413 (2018)
S. Echeverri-Arteaga, H.Vinck-Posada, E.A. Gómez, Optik 174, 114 (2018).
S. Echeverri-Arteaga, H.Vinck-Posada, E.A. Gómez, Optik 180, 505 (2019)
3.1. Sistema físico
El sistema en el que se estudiará la confiabilidad del enfoque NHEH será en el sistema
cavidad-QD, que viene descrito por la ecuación maestra
dρ̂
dt
= HĤJC
(ρ̂) +
κ
2
Dâ(ρ̂) +
η
2
Dââ(ρ̂) +
γx
2
Dσ̂(ρ̂) +
Pa
2
Dâ†(ρ̂). (3-1)
3.2 Resultados 31
donde ĤJC es el hamiltoniano de Jaynes-Cummings (Ec. 1-1), el superoperador HX̂ se define
para un operador genérico X̂ como HX̂(·) = i(·X̂† − X̂·), el superoperador de Lindblad
D· (ρ̂), tal como se introdujo en la sección 1.2, y además de los ya mencionados mecanismos
de pérdida (lineal) de fotones por los espejos de la cavidad (κ) y emisión espontánea (γx),
se considera el bombeo incoherente de fotones a la cavidad (Pa) y la pérdida no lineal de
fotones (η).
3.2. Resultados
3.2.1. Estudio de la disipación a partir del hamiltoniano efectivo
no hermítico
En esta sub-sección se estudiará la confiabilidad del NHEH en el modelo JC disipativo sin
bombeo, teniendo como condición inicial un estado de Fock. La inclusión de estos mecanismos
disipativos de forma efectiva se hace al adicionar al hamiltoniano del sistema los términos [62]
K̂ = − i
2
κâ†â− i
2
γxσ̂
†σ̂, (3-2)
con lo que la ecuación maestra del sistema toma la forma
dρ̂
dt
= HĤ(ρ̂), (3-3)
con el hamiltoniano no hermítico Ĥ = ĤJC + K̂. Es de notar que debido a que el modelo JC
preserva la variedad de excitación, la solución de la Ec. 3-3, es la solución dinámica para la
n-ésima variedad en donde se encuentra la condición inicial, esto es, un sistema diferencial de
tan solo cuatro ecuaciones acopladas, pues cualquier otro elemento de la matriz densidad es
cero para todo instante de tiempo. Por motivos de comparación se calcula el número medio
de fotones y el entrelazamiento por medio del criterio de Peres [63]. La elección particular
es dada porque para la primera cantidad solo se necesita la información de las poblaciones,
pero para la segunda de las coherencias.
Una comparación entre los resultados exactos (Eq. (3-1) y los obtenidos por medio del
NHEH (Eq. 3-3) es mostrada en la Fig. (3-1) como función del tiempo. En el panel (a),(c)
se muestra el número medio de fotones y la negatividad para la condición inicial en el estado
ρGn,Gn con n = 20, y en el panel (b),(d) en el estado ρGn,Gn con n = 2. Estos resultados
dejan en evidencia el fallo del NHEH para describir observables del sistema, incluso para un
número bajo de fotones, que es donde la divergencia respecto al modelo exacto es menor.
Estos fallos en el modelo NHEH son debidos a que tan solo la variedad en la que se establece
la condición inicial posee dinámica no trivial. Esto se ilustra en la Fig. 3-2(a),(b), donde se
hace evidente la concordancia entre el modelo exacto y el modelo NHEH para las poblaciones
32 3 Estudio de la confiabilidad de los hamiltonianos no hermíticos
0
10
20
〈â
† â
〉
(a)
0
0.2
0.4
N
(c)
0 10 20 30 40 50
tg
0
1
2
〈â
† â
〉
(b)
0 1 2 3 4 5
tg
0
0.2
0.4
0.6
0.8
N
(d)
Figura 3-1.: Evolución del número medio de fotones en los paneles (a),(b) y de la negativi-
dad en los paneles (c),(d). Los resultados exactos son mostrados en línea negra
y los basados en el modelo NHEH con línea gruesa verde. Los cálculos numé-
ricos mostrados en los paneles (a),(c) tienen como condición inicial el estado
ρGnGn(0) = 1 con n = 20, mientras que la condición inicial para los paneles
(b),(d) es ρGnGn(0) = 1 con n = 2. Los parámetros usados en las simulaciones
son: κ/g = 0,1, γx/g = 0,01, ωc/g = 1300, ωx/g = 1300.
ρGn,Gn (panel superior), ρXn−1,Xn−1 (panel inferior) y la parte imaginaria de la coherencia
ρGn,Xn−1 para n = 20, sin embargo se aprecia como la población ρGn,Gn para n = 0 (panel
(c)) se desvía significativamente del cálculo exacto (lo mismo se apreciaría para cualquier
otra variedad n 6= 20).
Esta divergencia del modelo NHEH puede ser coregido por medio de un método iterati-
vo que aquí llamaremos NHEH corregido. Para esto se asume que el estado inicial se fija en
la variedad nmax > 0, cuya dinámica cuántica es gobernada por
dρ̂(t)
dt
[nmax]
= HĤ(ρ̂(t)[nmax]), (3-4)
con Ĥ el hamiltoniano no hermítico definido arriba. El super-índice [n] indica que las ecua-
ciones dinámicas deben ser resueltas solo para la variedad n-ésima como función del tiempo.
Para hallar la dinámica de las subsecuentes variedades debe ser solucionada la ecuación
dρ̂(t)
dt
[nmax−j]
= HĤ(ρ̂(t)[nmax−j]) +
κ
2
Câ(ρ̂(t)[nmax−j+1]) +
γx
2
Cσ̂(ρ̂(t)[nmax−j+1]), (3-5)
3.2 Resultados 33
0
0.5
1
ρ
G
n
G
n (a)
0 0.5 1 1.5 2
tg0.0
0.5
ρ
X
n
−
1
X
n
−
1
0 0.5 1 1.5 2
tg
-0.2
0
0.2
I
m
[ρ
G
n
X
n
−
1
] (b)
0 50 100 150
tg
0
1
ρ
G
n
G
n
(c)
Figura 3-2.: (a) Poblaciones ρGnGn (panel superior), ρXn−1Xn−1 (panel inferior) y (b) par-
te imaginaria de la coherencia ρGnXn−1 con n = 20. La condición inicial
ρGnGn(0) = 1 con n = 20 ha sido usada. (c) Población ρGnGn con n = 0.
Los resultados exactos son mostrados en línea negra y los basados en el mode-
lo NHEH con línea gruesa verde. Los parámetros de simulación son los mismos
de la Fig. 3-1.
para j = 1, 2, 3, ..., nmax. El superoperador introducido CÔ(·) = Ô · Ô† transfiere la pobla-
ción perdida por cada variedad n a la variedad n−1. Un aspecto importante de éste método
iterativo es que de forma natural recupera, variedad por variedad, la preservación de la traza.
Este algoritmo de corrección puede entenderse más fácilmente por medio del diagrama de
flujo presentado en la Fig. 3-3, donde se aprecia que cada sistema de ecuaciones a solucionar
es 2 × 2 y que la preservación de la traza es recuperada de forma gradual por medio del
superoperador C.
Una comparación entre los cálculos exactos y el método de corrección propuesto es mostrado
en la Fig. 3-4. En particular son graficadas las poblaciones y coherencias para la variedad
n = 10 y una condición inicial ρGnGn(0) = 1 con n = 20. No se muestra el resultado del mo-
delo NHEH pues la evolución es trivial, esto es, ρGnGn(t) = ρXn−1Xn−1(t) = ρGnXn−1(t) = 0
para todo instante de tiempo, y por el contrario el modelo corregido recupera perfectamente
la dinámica para todo el dominio temporal, inclusive de las variedades de excitación alejadas
de la condición inicial. La consecuencia directa de esto es la perfecta reproducción de los ob-
servables del sistema, tal como se puede apreciar en la Fig. 3-5 (a) para el número medio de
fotones y en el panel (b) para la evolución del entrelazamiento, el cual no depende solamente
de las poblaciones del sistema, sino que involucra las coherencias del sistema cuántico. Se
observa que la corrección al NHEH logra reproducir tanto la dinámica asintótica como las
oscilaciones del transiente (que se muestra en el recuadro del panel (a) para el número medio
de fotones) en un sistema puramente disipativo.
34 3 Estudio de la confiabilidad de los hamiltonianos no hermíticos
Inicio
nc = nmax
Solucionar dρ̂(t)
dt
[nc]
= HĤ(ρ̂(t)[nc])
¿nc = −1?
Solucionar dρ̂(t)
dt
[nc]
= HĤ(ρ̂(t)[nc]) + κ
2Câ(ρ̂(t)[nc+1]) + γx
2 Cσ̂(ρ̂(t)[nc+1])
nc = nc − 1
Fin
Si
No
Figura 3-3.: Diagrama de flujo que representa el modelo NHEH corregido en ausencia de
bombeo.
0
0.1
ρ
G
n
G
n (a)
0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0
tg
0
0.1
ρ
X
n
−
1
X
n
−
1
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15
tg
-0.02
0
0.02
I
m
[ρ
G
n
X
n
−
1
] (b)
Figura 3-4.: (a) Poblaciones ρGnGn (panel superior), ρXn−1Xn−1 (panel inferior) y (b) parte
imaginaria de la coherencia ρGnXn−1 con n = 10. Aquí la condición inicial
utilizada fue ρGnGn(0) = 1 con n = 20. Los resultados exactos son mostrados en
línea negra y los basados en el modelo NHEH corregido con línea interrumpida
roja. Los parámetros de simulación son los mismos de la Fig. 3-1.
3.2 Resultados 35
0 10 20 30 40 50
tg
0
10
20
〈â
† â
〉
(a)
0 1 2 3 4 5
tg
0
0.2
0.4
N
(b)
0 2 4
10
15
20
Figura 3-5.: Evolución del número medio de fotones en el panel (a) y de la negatividad en
el panel (b). El recuadro en el panel (a) muestra el comportamiento a cortos
tiempos. Los resultados exactos son mostrados en línea negra y los basados
en el modelo NHEH corregido con línea interrumpida roja. Los parámetros
de simulación son los mismos de la Fig. 3-1. Además la condición inicial es
ρGnGn(0) = 1 con n = 20.
3.2.2. Disipación y bombeo incoherente a través del NHEH.
En la presente sección se emprenderá un procedimiento que, hasta lo que se investigó, no se
encuentra en la literatura, la incorporación de bombeos incoherentes por medio de hamilto-
nianos no hermíticos. Para hacer esto, se considerarán los siguientes términos
K̂ = − i
2
κâ†â− i
2
γxσ̂
†σ̂ − i
2
P ââ†. (3-6)
En particular, los dos primeros fueron introducidos en la subsección anterior para dar cuenta
de la disipación, y el tercero es el término propuesto para modelar el bombeo incoherente de
fotones a la cavidad. Sin embargo, éste puede ser entendido como un término de disipación
adicional debido a que modela la pérdida de fotones de las variedades bajas, la cual, al con-
siderar un enfoque de ecuación maestra exacta, es transferida a las variedades de excitación
superiores. A partir de este nuevo hamiltoniano, la ecuación de movimiento del sistema será
dρ̂(t)
dt
[n]
= HĤ(ρ̂(t)[n]), (3-7)
con Ĥ = ĤJC+K̂ el operador hamiltoniano no hermítico, y la ecuación que se debe solucionar
para corregir la dinámica del sistema con bombeo será por lo tanto:
dρ̂(t)
dt
[nmax−j]
= HĤ(ρ̂(t)[nmax−j]) + (1− δ0,j)
(κ
2
Câ(ρ̂(t)[nmax−j+1]) +
γx
2
Cσ̂(ρ̂(t)[nmax−j+1])
)
+ (1− δj,nmax)
P
2
Câ†(ρ̂(t)[nmax−j−1]), (3-8)
donde j = 0, 1, 2, . . . , nmax. A diferencia del caso anterior, la inclusión del bombeo exige que
esta corrección sea dada de forma iterativa, es decir, el algoritmo de corrección que debe ser
36 3 Estudio de la confiabilidad de los hamiltonianos no hermíticos
Inicio
nc = nmax
Solucionar dρ̂(t)
dt
[nc]
= HĤ(ρ̂(t)[nc]) + P
2 Câ†(ρ̂(t)[nc−1])
¿nc = 0?
Solucionar dρ̂(t)
dt
[nc]
= HĤ(ρ̂(t)[nc]) + κ
2Câ(ρ̂(t)[nc+1]) + γx
2 Cσ̂(ρ̂(t)[nc+1]) + P
2 Câ†(ρ̂(t)[nc−1])
nc = nc − 1
Solucionar dρ̂(t)
dt
[nc]
= HĤ(ρ̂(t)[nc]) + κ
2Câ(ρ̂(t)[nc+1]) + γx
2 Cσ̂(ρ̂(t)[nc+1])
¿Hay convergencia en el valor de ρ̂(t)[nc]?
Fin
Inicio
Si
No
Si
No
Figura 3-6.: Diagrama de flujo que representa el modelo NHEH corregido en presencia de
bombeo.
implementado para corregir la dinámica es el mostrado en la Fig. 3-6. Este es el esquema
de corrección más general, pues es el que se utilizará cuando la condición inicial del sistema
es arbitraria, cuando se tienen términos de disipación no lineales e incluso para la corrección
del espectro de emisión.
La comparación entre el modelo NHEH (sin corrección) y los resultados exactos se muestra
en la Fig. 3-7. Específicamente se observa la evolución del número medio de fotones en el
panel (a) y la negatividad en el panel (b) como función del tiempo. Los cálculos exactos son
mostrados en línea negra y los obtenidos por medio del NHEH (Eq. 3-7) con línea gruesa
3.2 Resultados 37
0 1 2 3 4 5
tg
0
1
2
3
4
5
〈â
† â
〉
(a)
0 1 2 3 4 5
tg
0.0
0.2
0.4
N
(b)
Figura 3-7.: Evolución del número medio de fotones en el panel (a) y de la negatividad
en el panel (b). Los resultados exactos son mostrados en línea negra y los
basados en el modelo NHEH con línea gruesa verde. La condición inicial es
ρGnGn(0) = 1 con n = 5 y además de los parámetros mostrados en la Fig. 3-1
se ha establecido Pa/κ = 0,5.
verde. Vale la pena destacar que las divergencias con el resultado exacto son en este caso
mucho más marcadas que el caso disipativo, tanto en el transiente como en el estado esta-
cionario. Para clarificar la causa de esto, vale la pena considerar nuevamente la dinámica
de las poblaciones y coherencias de la variedad en que se fija la condición inicial, por medio
del modelo NHEH y del exacto, esto se muestra en los paneles (a) y (b) de la Fig. 3-8,
respectivamente. Se aprecia que aunque a cortos tiempos se reproduce la dinámica de las
0
0.5
1
ρ
G
n
G
n (a)
0 5 10
tg
0.0
0.5
ρ
X
n
−
1
X
n
−
1
0 5 10
tg
-0.2
0
0.2
I
m
[ρ
G
n
X
n
−
1
] (b)
0 50 100 150
tg
0
0.1
0.2
0.3
0.4
ρ
G
n
G
n
(c)
Figura 3-8.: (a) Poblaciones ρGnGn (panel superior), ρXn−1Xn−1 (panel inferior) y (b) par-
te imaginaria de la coherencia ρGnXn−1 con n = 5. Aquí la condición inicial
utilizada fue ρGnGn(0) = 1 con n = 5. (c) Población ρGnGn con n = 0. Los
resultados exactos son mostrados en línea negra y los basados en el modelo
NHEH con línea gruesa verde. Los parámetros de simulación son los mismos
de la Fig. 3-7.
poblaciones y coherencias,