P-XXVIRNAFM008

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El campo estocástico de fondo 
de la electrodinámica estocástica
L. E. Camacho Castillejos, J. Avendaño López
Inst i tuto Pol i técnico Nacional, Departamento de Fís ica, ESFM, CDMX, México
Teléfono (55) 5729-6000 Ext. 55254 E-mai l: luise.camachocast@gmail .com, javel@esfm.ipn.mx
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Para ver el artículo completo: 
Resumen –– En el artículo se revisa el origen del campo estocástico de fondo de la electrodinámica estocástica así como sus principios básicos y su introducción a la electrodinámica clásica
como la condición de frontera asociada a la solución homogénea de las ecuaciones de Maxwell. Posteriormente se construye dicho campo como una superposición de ondas planas
estocásticas y se discuten las propiedades que éste posee. Se demuestra explícitamente que el promedio estadístico del campo estocástico de fondo es cero y se calcula su densidad espectral
que es un invariante de Lorentz. También, por el método de Monte Carlo, se generan simulaciones numéricas del campo estocástico de fondo y se obtienen sus características cicatrices.
Fig. 1. Campo estocástico de fondo con polarización perpendicular al plano 𝑋𝑌,
sobre una región de 80 longitudes de onda de cada lado. El campo estocástico de
fondo es una superposición de 100 000 ondas planas, cada una con orientación
aleatoria de 𝒌 , un corrimiento de fase aleatorio y una amplitud aleatoria
Gaussiana.
Es posible introducir este campo eligiendo
como condición de frontera a aquella que provea
una mejor descripción de la naturaleza. Ya que el
campo magnético 𝑩(𝒓, 𝑡) siempre puede ser
expresado en términos del campo vectorial
𝑨(𝒓, 𝑡)
en donde Φ0 𝒓, 𝑡 y 𝑨0(𝒓, 𝑡) son soluciones a las ecuaciones
homogéneas de Maxwell y estas integrales proporcionan el campo
electromagnético debido a la velocidad finita con que éste se
propaga de la fuente; y es aquí donde la solución homogénea de las
ecuaciones de Maxwell se hace corresponder con el campo
estocástico de fondo.
mientras que el campo eléctrico 𝑬(𝒓, 𝑡) siempre puede ser escrito a
partir de 𝑨(𝒓, 𝑡) y el campo escalar Φ(𝒓, 𝑡)
𝑩 = ∇ × 𝑨, 1
𝑬 = −∇𝜱 −
1
𝑐
𝜕𝑨
𝜕𝑡
. 2
En la norma de Coulomb, 𝛁 ⋅ 𝑨 = 0, la solución general de las
ecuaciones de Maxwell tiene la forma
Φ 𝒓, 𝑡 = Φ0 𝒓, 𝑡 + න𝑑3𝑟´
𝜌 𝒓, 𝑡 − 𝒓 − 𝒓´ /𝑐
𝒓 − 𝒓´
, (3)
𝑨(𝒓, 𝑡) = 𝑨0(𝒓, 𝑡) + න𝑑3𝑟´
𝑱(𝒓, 𝑡 − 𝒓 − 𝒓´ /𝑐)
𝑐 𝒓 − 𝒓´
, (4)
Una vez establecido el aparato matemático que
describe al campo estamos en condiciones de
mencionar algunas características y propiedades
relevantes del mismo:
• Es un campo real, clásico, estocástico y tiene
máximo desorden como una consecuencia
inmediata de su origen.
• Corresponde a la solución homogénea de las
ecuaciones de Maxwell.
• El promedio estadístico del campo es nulo.
• Es homogéneo e isotrópico en todo sistema de referencia
inercial al no haber ninguna posición ni dirección del
espacio privilegiada.
• Tiene una energía media por modo normal igual a ℰ𝑘=
ℏ𝜔/2.
• Su densidad espectral, 𝜌0 𝜔 = ℏ𝜔3/2𝜋2𝑐3 es un
invariante de Lorentz.
• Todas estas características los hacen único y cuyos
efectos solo son apreciables en sistemas en donde los
cambios de la energía asociados con los efectos de la
radiación del campo estocástico de fondo son grandes en
comparación con las otras energías en el sistema.
Con el fin de simular el campo estocástico de fondo se generaron
realizaciones específicas para el desorden de este ensemble, para ello
nos restringimos a una superposición finita de N ondas planas
estocásticas monocromáticas con polarización fija. La amplitud de
los modos sigue una distribución Gaussiana centrada alrededor del
cero y varianza fija mientras que la fase sigue una distribución
uniforme en [0, 2𝜋).
Fig. 2. Mapa de contorno para la misma realización del desorden del campo
estocástico de fondo de la Fig. 1. De izquierda a derecha corresponde a la
componente 𝑥 del campo eléctrico, seguido de la componente 𝑥 y 𝑦 del campo.
magnético.
• A partir de las propiedades físicas que posee el
campo estocástico de fondo vemos que debe
coincidir con lo que se suele considerar como el
vacío.
• Como consecuencia de su propia construcción, el
campo contiene un patrón de cicatrices por cada
subconjunto de modos de frecuencia fija; por lo tanto,
éste está formado por un numero infinito de estas
cicatrices.
• El campo adquiere una importancia vital para la
comprensión y descripción de los sistemas cuánticos y
podría brindar una perspectiva físicamente más
profunda e intuitiva de los mismo.
Ya que en un campo de radiaciónelectromagnética pueden
existir diferentes modos normales es conveniente descomponerlo en
estos, los cuales se propagan a lo largo de diferentes direcciones, en
diferentes frecuencias y exhiben cualquier tipo de polarización. Se
puede expresar el campo como una combinación lineal de ondas
planas estocásticas y como solo es de nuestro interés la componente
estocástica podemos escribir
𝑨 𝒓, 𝑡 = ෍
𝒌,𝜆
2𝜋𝑐2ℰ𝑘
𝜔𝑘
2 ො𝝐𝒌
𝝀𝑎𝒌
𝜆𝑒𝑖(𝒌⋅𝒓−𝜔𝑘𝑡) + 𝑐. 𝑐. . (5)
Se sigue de (1) y (2) que el campo estocástico de fondo puede ser
expresado como
𝑬 𝒓, 𝑡 = ෍
𝒌,𝜆
෨𝐸 𝜔𝑘 ො𝝐𝒌
𝝀𝑎𝒌
𝜆𝑒𝑖(𝒌⋅𝒓−𝜔𝑘𝑡) + 𝑐. 𝑐., (6)
y
𝑩 𝒓, 𝑡 = ෝ𝒖𝒌 × 𝑬, 7
además, para cada vector de onda 𝒌 existen dos direcciones
ortogonales entre sí y al vector de onda, por lo que ො𝝐𝒌
𝝀 es el vector
unitario de polarización anclado y normal al vector de onda 𝒌 y
donde 𝜆 = 1,2 distingue la polarización, que en conjunto
caracterizan a cada modo por 𝒌, 𝜆 y que corresponden a la misma
frecuencia 𝜔𝑘 = 𝑐 𝒌 = 𝑐𝑘. Asimismo ෝ𝒖𝑘 = Τ𝒌 |𝒌| es un vector
unitario en la dirección de propagación y se debe satisfacer que
ො𝝐𝒌
𝝀 ⋅ 𝒌 = 0, ො𝝐𝒌
𝝀 ⋅ ො𝝐𝒌
𝝀′ = 𝛿𝜆𝜆′ . (8)
Nótese que se introducen las cantidades 𝑎𝒌
𝜆 y 𝑎𝒌
∗𝜆 como las
variables estocásticas, de esta manera, el conjunto {𝑎𝒌
𝜆, 𝑎𝒌
∗𝜆}
dota de sus propiedades estocásticas al campo.
La mecánica cuántica es una de las teorías que ha
tenido un gran desarrollo teórico y éxito científico
al tratar de entender con precisión los misterios que
existen a escala atómica pese a los debates y
controversias sobre su significado, aunado a la
impresionante variedad de aplicaciones tecnológicas que se han
podido realizar. Pese a lo anterior, aún no se ha podido explicar
satisfactoriamente la estabilidad atómica así como una serie de
propiedades cuya combinación da origen a los fenómenos
cuánticos. La estocasticidad aparece inevitablemente como una
característica principal y fundamental en la mecánica cuántica,
por lo que tiene sentido analizar un modelo estocástico. Esto se
consigue añadiendo un elemento físico nuevo para proporcionar
una explicación del comportamiento azaroso del electrón, de
esta manera surge una teoría subyacente, la Electrodinámica
Estocástica (EDE). Más que una interpretación, esta teoría
explora la posibilidad de mostrar que las propiedades cuánticas
de la materia y del campo son una propiedad emergente en vez
de intrínseca.
La EDE es la teoría de cualquier partícula, en particular del
electrón, en interacción con el campo de radiación, bajo la
hipótesis de la existencia de un campo electromagnético
estocástico de vacío cuyo origen se debe a que cada partícula
cargada en aceleración emite radiación en forma de ondas
electromagnéticas; consecuentemente, el conjunto de cargas que
pueblan el Universo produce en cada punto del espacio un
complejo campo de fondo que a lo largo del tiempo ha logrado
alcanzar un estado de equilibrio, y cuya naturaleza estocástica es
evidente debido al gran número de fuentes independientes
que lo producen.