Capitulo_7_I_ -ESTRUCTURAS_RETICULADAS

Vista previa del material en texto

ESTRUCTURAS RETICULADAS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos
y Teoría de Estructuras 
A
B
A’’
B’’
A’
B’’
Directriz sin
deformar Directriz
deformada
A
B
A’’
B’’
A’
B’’
Directriz sin
deformar Directriz
deformada
En el cálculo estructuras reticuladas suele despreciarse las 
deformaciones inducidas por los esfuerzos axiles y cortantes. 
Despreciar el primer tipo de esfuerzo equivale a decir que las 
barras de la estructura ni se acortan ni se alargan.
A’’B’’=AB
CONCEPTO DE NUDO EN UNA ESTRUCTURA
FORMADA POR BARRAS
ESTRUCTURAS RETICULADAS
INTRASLACIONALES
CONCEPTO DE ESTRUCTURA INTRASLACIONAL
A
B C
DA
B C
D A
B C
D
P
δ δ
Los nudos no se desplazan, pero las secciones correspondientes sí giran
A
B C
D
P
P
A
B C
A
B CB’ C’
CALCULO DE ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES
a) VIGAS CONTINUAS
P
q M’ M
RA RB RC RD RE
A
B C
E F
G
Viga
A
P B1 M1 C1
M1
B2
M2
C2
E1
G
M2
M’ M3
F
M4E2
P
q M’ M
RA RB RC RD RE
A
B C
E F
G
Incógnitas: M1, M2, M3 y M4
)()(
)()(
)()(
21
21
21
antihoarioantihoario
antihoarioantihoario
antihoarioantihoario
EE
CC
BB
θθ
θθ
θθ
=
=
=
Ecuaciones:
M3 M4
M
034 =−+ MMM
Viga
MM3 M4
M4M3
21
21
21
EEE
CCC
BBB
AA
RRR
RRR
RRR
RR
+=
+=
+=
=
P
q M’ M
RA RB RC RD RE
A
B C
E F
G
A
P B1 M1 C1
M1
B2
M2
C2
E1
G
M2
M’ M3
F
M4E2
B1A M
P
B2 CM
)()(
21
antihoarioantihoario BB θθ =
lEI
blPab
EI
Mloantihorari
EI
Ml
EI
qloantihorari
B
B
6
)(
3
)(
324
)(
2
1
3
+
−=
−=
θ
θ
2
2
4
)(
16 l
blPabqlM +
+=
A B C
q
l l
a b
P
EJEMPLO:
B1A B1A M
ql/2 ql/2 M/l M/l
P
B2 C B2 CM
Pb/l Pa/l M/l M/l
l
M
l
PaR
l
M
l
Pb
l
MqlR
l
MqlR
C
B
A
−↑=
+++↑=
−↑=
2
2
b) SEMIPÓRTICOS
A
B
C
M
2l
l
A
B2
C
M2
M1
B1
B
M2
M1M
( )
( )
EI
lMhorario
EI
lM
lEI
lMhorario
horariohorario
B
B
BB
3
)(
224
2
)(
)()(
1
2
2
2
2
1
21
=
==
=
θ
θ
θθ
21 MMM +=
MMMM
5
3
5
2
12 ==
c) PÓRTICOS
l
B
A D
q
l
EI
Ml
EI
Ml
EI
qlhorario
EI
Mlhorario
horariohorario
B
B
BB
6324
)(
3
)(
)()(
3
2
1
21
−−=
=
=
θ
θ
θθ
20
2qlM =
202
qlXqlY AA ==
M
B2 C
M
B1
M
XA
YA
A
B
A D
C
ql2/20 B
A D
C
ql/20
ql/2
ql/2
ql/20
ql/2
B ql/20
ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES CON ROTULAS
P=20 kN
2 m 1 m 1 m 
A B C D 
L L L
P M = P·L
A B C D 
6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m
20 kN/m 30 kN 50kN.m
10 kN
A
B C M D
E G F
6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m
20 kN/m 30 kN 50kN.m
10 kN
A
B C M D
E G F
L
L/4 3L/4
A
B
C D
M
E
L/8
L
L/4 3L/4
A
B
C D
M
E
L/8
QQ
P
Q1 Q2
P
Barra 1 Barra 2
Q1+Q2=P
P
P
d M=Pd
M
A
B
B
A
M
2 m L=1 m L=1 m 
A C1 C2 D B Q1 Q2 
Q1 Q2 
P 
P=20 kN
2 m 1 m 1 m 
A B C D 
Incógnitas:
1 reacción vertical en A
1 reacción vertical en B
1 reacción vertical en D
1 momento en el 
empotramiento D
4
Ecuaciones de la estática:
(1) Suma de fuerzas verticales nula
(1) Suma de momentos
en un punto igual a cero
(1) Momentos en la rótula de una 
de las partes Igual a cero
3
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
Ecuación adicional: flecha en C1 igual a flecha en C2
P
M=PL
Q
Q Q
Q
A B C1 C2 D
P
M=PL
Q
Q Q
Q
A B C1 C2 D
L L L
P M = P·L
A B C D 
Incógnitas:
1 reacción vertical en A
1 reacción vertical en D
1 momento en el empotramiento A
1 momento en el empotramiento D
4
Ecuaciones de la estática:
(1) Suma de fuerzas verticales nula
(1) Suma de momentos
en un punto igual a cero
(1) Momentos en la rótula de una 
de las partes Igual a cero
3
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
Ecuación adicional: flecha en C1 igual a flecha en C2
A
B1
Q
N B2 C1
M
Q
N
N
Q C2
D
Q
N
A
B1
Q
N B2 C1
M
Q
N
N
Q C2
D
Q
N
L
L/4 3L/4
A
B
C D
M
E
L/8
L
L/4 3L/4
A
B
C D
M
E
L/8 Incógnitas:
1 reacción vertical en A
1 reacción horizontal en A
1 reacción vertical en D
1 reacción horizontal en D
1 momento en el empotramiento A
1 momento en el empotramiento D
6
Ecuaciones de la estática:
(1) Suma de fuerzas verticales nula
(1) Suma de fuerzas horizontales nula
(1) Suma de momentos en un punto igual a cero
(1) Momentos en una de las rótulas, de una de las partes 
de la estructura, igual a cero
(1) Momentos en otra de las rótulas, de una de las partes 
de la estructura, igual a cero
5
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
Ecuación adicional: desplazamiento horizontal de B1 nulo
ESTRUCTURAS RETICULADAS
TRASLACIONALES
Veamos con un ejemplo la filosofía que debemos utilizar para
calcular estructuras traslacionales.
F
AB
C D
ESTRUCTURA REAL ESTRUCTURA DEFORMADA
F
AB
C DC* D*
a a
F
AB
C D
ESTRUCTURA REAL
MB
Sean MC y MD los momentos flectores
que aparecen en las secciones en contacto
con los nudos
Si prescindimos de todas las cargas que actúan y suponemos que las
barras estuviesen conectadas mediante articulaciones (rótulas) 
F
AB
C D
AB
C D
La estructura inicial se ha convertido en un mecanismo con un gdl
AB
C D
El movimiento de este mecanismo viene determinado por un
sólo parámetro, como es el desplazamiento CC*=DD*
C* D*
El valor de este parámetro (CC* ó DD*) no es conocido a priori, pero si lo 
supusiéramos conocido (e idéntico al que se produce en la estructura real “a”) 
tendríamos perfectamente determinados los desplazamientos de los nudos de la 
estructura.
AB
C DC* D*
Si, ahora, una vez que el mecanismo se ha movido de manera que el nudo C (y el 
D) ocupa la posición final que ocuparía en el caso de que estuviésemos 
considerando la estructura real, no estaríamos añadiendo nuevas coacciones al 
sistema porque ya se había movido
a a
Pero, claro, en el caso del mecanismo, las secciones en contacto con la rótula que
exista en un nudo giran diferente, cuando en la estructura real, las secciones de dos
barras coincidentes en un nudo, tendrían que girar lo mismo.
Si, ahora, colocáramos sobre el mecanismo una vez movido, las cargas que actúan
sobre la estructura y, en las secciones en contacto con las rótulas los momentos
flectores que, en la realidad, actúan sobre ellas (MB en B, MC en C* y MD en D*):
AB
C DC*
a a
MB
MC
MD
F
¡Obtendríamos la estructura deformada!
D*
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN8 m
4 m
6 m 2 m
6 m
Veamos un ejemplo:
Deducir las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantesy axiles y los movimientos
De las secciones B y D en la estructura de la figura. 
La sección de las vigas es rectangular de 30 cm de ancho y 40 cm de
canto y el material (hormigón) tiene un módulo de elasticidad de 20 Gpa.
E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN8 m
4 m
6 m 2 m
6 m
2q
2q
2q
2q
E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
¿Podemos simplificar más aún la estructura?
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
F=80 kN
q=20 kN/m 2q
2q
A
B
C C*
B* 
a a
M
M
a
B1* 
A
F=80 kN
M
C*
B2* 
M
q=20 kN/m 2q
2q
=
( ) ( )oantihorarioantihorari ** BB 21
θθ =
a
B1* 
A
F=80 kN
M
C*
B2* 
M
q=20 kN/m 2q
2q
( )
EIEIEI
Moantihorari*B 24
620
6
406
3
6 3
2
⋅
−
⋅
+=θ
( )
816
880
3
8 2
1
a
EIEI
Moantihorari*B
−
⋅
+−=θ
460
83
14
=+ aEIM
E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
80 kN
VA
VE
Tomando momentos en B
de las fuerzas y momentos
que actúan sobre la barra AB
(sentido antihorario positivo):
mkNM
M
⋅−=
=⋅+−⋅−
320
0480880
mkN,,EI ⋅=⋅⋅⋅= 320004030
12
11020 36
460
83
14
=+ aEIM m,a 4880=
Ley de momentos flectores
320 kN.m E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
40 kN.m
320 kN.m
Ley de esfuerzos cortantes
80 kN
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
120 kN
40 kN
Ley de esfuerzos axiles
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
160 kN
Movimientos de la sección B:
El desplazamiento horizontal será 0,488 m, el vertical nulo y el giro:
a
B1* 
A
F=80 kN
M
( ) rad,,
EIEI
oantihorari*B
02430
8
4880
16
880
3
3208 2
1
−=−
⋅
+
⋅
=θ
La sección B gira en sentido horario 0,0243 rad
Movimientos de la sección D:
El desplazamiento horizontal será 0,488 m.
( )
m,,v
rad,
EIEIEI
horario
D
C
026250201310
01310
6
6320
24
620
3
640
2
3
=⋅↑=
−=
⋅
−
⋅
−⋅
=θ
El desplazamiento vertical será suma de:
a) El obtenido si la sección C del dintel no girara: 
mm,
EI
Lqv CD
D 251
320008
220
8
44
1 =
⋅
⋅
=
⋅
↓=
b) El de sólido rígido motivado por en giro de la sección C del dintel:
m,,,vD 0250001250026250 =−↑=
El giro de D será (suma del de la sección C más el causado por la 
sobrecarga que actúa sobre la ménsula:
( ) rad,
EI
,oantihorariD 01220
6
2200130
3
=
⋅
−=θ
q=20 kN/m
P1=60 kN P2=40 kN
A
B
C
D
E
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m
5 m
En el pórtico de la figura, todas las barras tienen la misma rigidez EI=40000 kN.m.
Cuando actúan las cargas indicadas, determinar:
a) Leyes de esfuerzos en la estructura
b) Desplazamiento horizontal en C
A
B
C D
E
Estructura con un grado de traslacionalidad
a
a a
B*
C* D*
A
B
C D
E
a
a a
B* C* D*
M2
M1
M3
M2
M1
B2* C1*
A
B
a
B1*M1
q
M3M2
C2* D1*
a
M3
E
D2*
P1 P2
EI
LM
EI
LP
EI
LMoantihorari
L
a
EI
qL
EI
LMoantihorari
B
B
6163
)(
243
)(
2
2
11
3
1
2
1
+−−=
−+=
θ
θ
Ec.1
EI
LM
EI
LP
EI
LMoantihorari
EI
LM
EI
LM
EI
LPoantihorari
C
C
6163
6316
3
2
22
12
2
1
2
1
+−=θ
+−=θ
)(
)(
Ec.2
L
a
EI
LMoantihorari
EI
LM
EI
LP
EI
LMoantihorari
D
D
−=
−+−=
3
)(
6163
)(
3
2
2
23
2
1
θ
θ
Ec.3
EI
LM
EI
LP
EI
LMoantihorari
L
a
EI
qL
EI
LMoantihorari
B
B
6163
)(
243
)(
2
2
11
3
1
2
1
+−−=
−+=
θ
θ
Ec.1
EI
LM
EI
LP
EI
LMoantihorari
EI
LM
EI
LM
EI
LPoantihorari
C
C
6163
6316
3
2
22
12
2
1
2
1
+−=θ
+−=θ
)(
)(
Ec.2
L
a
EI
LMoantihorari
EI
LM
EI
LP
EI
LMoantihorari
D
D
−=
−+−=
3
)(
6163
)(
3
2
2
23
2
1
θ
θ
Ec.3
¡3 ecuaciones con cuatro incógnitas!
aMMM 321
¡La ecuación que falta la obtenemos aplicando las
ecuaciones de la estática!
A
B
a
B1*M1
q
a
M3
E
D2*
VAHA VEHE
Suma de momentos en B1* igual a cero: Suma de momentos en D2* igual a cero:
0
2
2
1 =−+ LHqLM A
03 =+ LHM E
Junto con: qLHH AE −=− 0
2 3
2
2
1 =+−+ MqLqLM Ec. 4
Resolviendo el sistema de las cuatro ecuaciones con las 4 incógnitas:
ma
mkNM
mkNM
mkNM
061,0
25,156
25,31
75,93
3
2
1
=
⋅=
⋅=
⋅=
q
P1 P2
A
B
C
D
E
106,25 kN.m
31,25 kN.m
43,75 kN.m
156,25 kN.m
Ley de momentos flectores
q
P1 P2
A
B
C
D
E
68,75 kN
31,25 kN
5 kN
55 kN
5 kN
45 kN
31,25 kN
Ley de esfuerzos cortantes
q
P1 P2
A
B
C
D
E
5 kN
31,25 kN
45 kN
Ley de esfuerzos axiles
ESTRUCTURAS RETICULADAS
ATIRANTADAS
AB
C D P
EI
EtAt
L
h/2
AB
C D
=
AB
C D P
AB
F F
F F
∆BA=F.L/ EtAt
P
AB
C D
P
AB
F F
F F
∆BA=F.L/ EtAt
AB
C D
1 1
ESTADO REAL ESTADO FICTICIO
Teorema de reciprocidad:
real
A
ficticio
D
ficticio
A uuPuF
rrr
⋅−=⋅+⋅− 1
real
A
ficticio
D
ficticio
A uuPuF
rrr
⋅−=⋅+⋅− 1
tt
real
A
real
B
real
ABA AE/LFuuu ⋅==−=∆
rrr
tt
real
A AE/LFu ⋅=
r
tt
ficticio
D
ficticio
A AE
LFuPuF ⋅
−=⋅+⋅−
rr
tt
ficticio
A
ficticio
D
AE
Lu
uPF
−
⋅
=
r
r
¡Sólo es preciso resolver
el estado ficticio para
obtener la fuerza en el
tirante!
AB
C D
1 1
ESTADO FICTICIO
h
h
h
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−= Lh
EI
hhhhhhLhhh
EI
u ficticio
A 3
2
3
2
2
1
3
2
2
11 2r
( )hL
EI
LhLhhLhL
EI
v ficticio
A +=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅⋅+⋅⋅↓=
22
1
2
1
( ) ( )hL
EI
hhL
EI
LhL ficticio
B
ficticio
B +=⇒+=⋅
22
θθ
AB
C D
1 1
ESTADO FICTICIO
h
h
h
EI
hhhh
EI
u ficticio
D 63
1
2
11 3
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅⋅=
r
Pero como B gira:
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−=+−=
2326
223 Lh
EI
hhL
EI
h
EI
hu ficticio
D
r( )hL
EI
hficticio
B +=
2
θ
tt
ficticio
A
ficticio
D
AE
Lu
uPF
−
⋅
=
r
r
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−= Lh
EI
hu ficticio
A 3
22r
tt AE
LLh
EI
h
Lh
EI
hP
F
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +⋅−
=
3
2
23
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−=
23
2 Lh
EI
hu ficticio
D
r
F>0, luego el tirante trabaja
a tracción, como habíamos
supuesto