Capitulo_6_I_ -Matricial_articuladas_Fundamentos

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FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS
MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
ARTICULADAS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos
y Teoría de Estructuras 
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA BIARTICULADA
L
X
Y
x
y
x-y: sistema de ejes locales de la barra
X-Y: sistema de ejes globales de la estructura
Para el cálculo matricial de estructuras de barras es necesario emplear dos sistemas de 
referencia para expresar todas las magnitudes que intervienen. Por tanto, en todo lo que
sigue, supondremos definidos dos sistemas de coordenadas: uno, que denominaremos global,
y que será común para todas las barras de la estructura y, para cada una de las barras de la
estructura, un sistema de referencia (que denominaremos local) en el que el eje x tendrá la 
dirección de la barra y su sentido vendrá definido desde el que consideremos nudo inicio de la
barra al que consideremos nudo final de la misma.
Sistemas de referencia que vamos a utilizar:
δδδσε
L
EANóN
EA
L
E
A
N
LE
==⇒=⇒=
x
y
NN
21
δkNy
L
EAk ==
Planteamiento en ejes locales:
x
y
21
Manteniendo el nudo 2 fijo, veamos qué fuerza es necesaria aplicar en el 
nudo 1 para conseguir un desplazamiento u1 en dicho nudo:
x
y
Nudo 1S’x1
Nudos de la barra y sus desplazamientos:
Emplearemos el símbolo “prima” cuando queramos a magnitudes referidas
a los ejes locales de la barra
x
y
Nudo 1S’x1
S’x1
u’x1
11 '' xx ukS ⋅=
Pero en el nudo 2 aparecerá una fuerza horizontal S’x2 de valor
igual a la anterior pero de signo contrario
S’x2
12 '' xx ukS ⋅−=
Ec. (1)
Ec. (2)
x
y
Nudo 1 S’x2
x
y
Nudo 1
u’x2
Nudo 2
S’x2
Hagamos lo mismo para el nudo 2 manteniendo el nudo 1 fijo:
22 '' xx ukS ⋅= Ec. (3)
21 '' xx ukS ⋅−=
xNudo 1
u’x2
S’x2
y
S’x1
Para equilibrar esta fuerza (S’x2) en el nudo 1 tendrá que actuar 
una fuerza igual y de signo contrario a la anterior, por lo que:
Ec. (4)
x
u’x2
S’x2
y
S’x1
u’x1
Si planteáramos un estado de cargas y de desplazamientos
genéricos sobre la barra que estamos analizando: 
podríamos escribir: 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
2
1
2
1
'
'
'
'
x
x
x
x
u
u
kk
kk
S
S
{ } [ ]{ }'' uKS e=
Matriz de rigidez
del elemento en ejes
locales de la barra
Vector de cargas
en los nudos en
ejes locales
Vector desplazamiento
de los nudos en ejes
locales
CASO DE UNA ESTRUCTURA ARTICULADA DE
DOS BARRAS ALINEADAS
X
Y FX2,uX2
FX1,uX1
21
FX3,uX3
3
1
2
Analicemos, ahora el problema mostrado en la figura:
Si, para cada una de las barras, se considera que su nudo
origen coincide con el nudo de numeración más baja de
la estructura, y su nudo final con el de numeración más
alta, los ejes globales de la estructura y los locales de
cada barra son paralelos. 
21 1
S’x1(= FX1), u’x1
(S’x2)’, u’x2
(S’x2)’’, u’x2
2
S’x3(=FX3), u’x3
32
X
Y
FX2,u’x2
(S’x2)’’,u’x2
2
(S’x2)’, u’x2
EQUILIBRIO DEL NUDO 2:
y
x y
x
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=′
=′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
=
22
11
11
11
2
11
Xx
Xx
x
xX
uu
uu
kk
kk
S
SF
)'(
'
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=′
=′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′=
′
33
22
22
22
33
2
Xx
Xx
xX
x
uu
uu
kk
kk
SF
S ')'(
Ecuación fuerza-desplazamiento para la barra 1 (ejes locales):
Ecuación fuerza-desplazamiento para la barra 2 (ejes locales):
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ′
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
3
2
22
22
3
2
2
1
11
11
2
1
')'(
)'(
X
X
X
x
Y
X
x
X
u
u
kk
kk
F
S
u
u
kk
kk
S
F
Elemento 1
Elemento 2
Como quiera que tenemos tres nudos en este problema
vamos a añadir una línea más a las ecuaciones matriciales
que hemos planteado de manera tal que:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
′
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
′
3
2
1
22
22
3
2
3
2
1
11
11
2
1
0
0
000
')'(
0
000
0
0
0
)'(
X
X
X
X
x
X
X
X
x
X
u
u
u
kk
kk
F
S
u
u
u
kk
kk
S
F
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ′
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
3
2
22
22
3
2
2
1
11
11
2
1
')'(
)'(
X
X
X
x
Y
X
x
X
u
u
kk
kk
F
S
u
u
kk
kk
S
F
Elemento 1
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 2
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+−
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
′+′
3
2
1
22
2211
11
3
22
1
0
0
')'()'(
X
X
X
X
xx
X
u
u
u
kk
kkkk
kk
F
SS
F
Si, ahora sumamos ambas ecuaciones matriciales (proceso
conocido como ensamblaje en el análisis matricial de estructuras), 
tendríamos:
222 Xxx FSS =′′+′
2
FX2,uX2
(S’x2)’’, u’x2(S’x2)’, u’x2
Como el nudo de conexión de las dos barras (nudo 2) debe
estar en equilibrio, debe verificarse que:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+−
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
3
2
1
22
2211
11
3
2
1
0
0
X
X
X
X
X
X
u
u
u
kk
kkkk
kk
F
F
F
Matriz de rigidez de
la estructura
Vector de cargas
exteriores en nudos
Vector de desplazamientos
nodales
Por tanto, podemos plantear en ejes globales de la
estructura:
uKF =
Matriz de rigidez de
la estructura
Vector de cargas
exteriores en nudos Vector de desplazamientos
nodales
Pero la estructura que tengamos que calcular puede ser más
complicada que la que acabamos de ver:
X
Y
X
Y
S’x2,u’x2
S’x1,u’x1
2
1
xy
θ
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
2
2
1
1
2
2
1
1
0000
00
0000
00
y
x
y
x
y
x
y
x
u
u
u
u
kk
kk
S
S
S
S
Sistema de referencia
de la barra
Sistema de referencia
global de la estructura
Relación entre fuerzas en extremos de barra y desplazamientos nodales 
(en ejes locales):
Relación entre las fuerzas en los extremos de barra, en ejes globales, 
y las mismas expresadas en ejes locales. (Paso de ejes globales a locales)
X
Y
SX2
SX1
2
1
xy
θ
SY2
SY1
Y
X
S’x2
S’x1
2
1
xy
θ
S’y1
S’y2
θθ
θθ
θθ
θθ
cossen
sencos
cossen
sencos
222
222
111
111
YXy
YXx
YXy
YXx
SSS
SSS
SSS
SSS
+−=′
+=′
+−=′
+=′
Y
X
S’x2
S’x1
2
1
xy
θ
S’y1
S’y2
θ
θ
sen
cos
=
=
s
c
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
2
2
1
1
2
2
1
1
00
00
00
00
Y
X
Y
X
y
x
y
x
S
S
S
S
cs
sc
cs
sc
S
S
S
S
Vector de fuerzas nodales
en coordenadas locales
Vector de fuerzas nodales
en coordenadas globales
θθ
θθ
θθ
θθ
cossen
sencos
cossen
sencos
222
222
111
111
YXy
YXx
YXy
YXx
SSS
SSS
SSS
SSS
+−=′
+=′
+−=′
+=′
{ } [ ] { } globalesejes
T
localesejes STS =′
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
cs
sc
cs
sc
T T
00
00
00
00
{ } [ ]{ } localesejesglobalesejes STS ′=
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
cs
sc
cs
sc
T
00
00
00
00
{ } [ ]{ }STS ′=
{ } [ ] { }STS T=′
Propiedad importante de la matriz de transformación T
La matriz de transformación T es ortogonal: su inversa 
coincide con su transpuesta
TTT =−1
X
Y
u’x2
u’x1
2
1
xy
θX
Y
uX2
uX1
2
1
xy
θ
uY2
uY1
Relación entre los desplazamientos en los extremos de barra, 
en ejes locales, y los mismos expresados en ejes globales.
u’y1
u’y2
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
2
2
1
1
2
2
1
1
00
00
00
00
Y
X
Y
X
y
x
y
x
u
u
u
u
cs
sc
cs
sc
u
u
u
u
Relación entre los desplazamientos en los extremos de barra, 
en ejes locales, y los mismos expresados en ejes globales.
Vector de desplazamientos
nodales en ejes locales
Vector de desplazamientos
nodales en ejes globales
{ } [ ] { } globalesejes
T
localesejes uTu =′
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
cs
sc
cs
sc
T T
00
00
00
00
{ } [ ]{ } localesejesglobalesejes uTu ′=
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
cs
sc
cs
sc
T
00
00
00
00
{ } [ ] { }uTu T=′
{ } [ ]{ }uTu ′=
{ } [ ] { } globalesejes
T
localesejes uTu =′
{ } [ ] { } [ ][ ] { } globalesejesTe
globalesejes
T
localesejes uTKSTS ==′
{ } [ ][ ] [ ] { } globalesejes
Te
globalesejes uTKTS =
{ } [ ]{ }STS ′=
y, como:
{ } [ ][ ] [ ] { }uTKTS Te=
ó:
[ ] [ ][ ] [ ]Tlocalesejes
e
globalesejes
e TKTK =
{ } [ ] { } globalesejesglobalesejes
e
globalesejes uKS =
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
22
22
22
22
scsscs
csccsc
scsscs
csccsc
kK globalesejes
e
L
EAk =siendo:
P
1
X
Y
2
3
1 2
3
L
L
EJEMPLO:
Número Área
de barra
1 A
2 2A
3 A
1
12
3
1 2
3
2
6
5
4
3
GDL DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
NUDO HORIZONTAL (X) VERTICAL (Y)
1 1 2
2 3 4
3 5 6 
BARRAS NUDO INICIAL NUDO FINAL
1 2 3
2 1 3
3 2 1
GDL’s
CONEXIONES
R X1 , u X1
1
2
3
1 2
3
R Y1 , u Y1
RY3 , uY3
RX3 , u X3
R X2 , u X2
R Y2 , u Y2
Fuerzas y desplazamientos (*) en los nudos de la estructura expresados
en ejes globales 
(*) Se está realizando un planteamiento general en lo que sigue. Si alguna 
componente de fuerza o desplazamiento resultara ser nula, posteriormente 
será anulada. 
1
2
3
1
2
3
R Y1
R Y3 
R X3 
R X2
R Y2
R X1
1
3Xs
1
3Ys
1
3Xs
1
3Ys 2
3Xs
2
3Ys2
3Ys
2
3Xs
2
1Xs
2
1Ys
2
1Ys
2
1Xs
1
2Xs1
2Xs
1
2Ys
1
2Ys
3
2Ys3
2Ys 3
2Xs
3
2Xs
3
1Ys
3
1Ys
3
1Xs
3
1Xs
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
3
1
3
1
2
1
2
00
0000
00
0000
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
kk
kk
S
S
S
S
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
3
3
1
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2222
2222
2222
2222
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
S
S
S
S
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
1
1
2
2
3
1
3
1
3
2
3
2
0000
00
0000
00
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
kk
kk
S
S
S
S
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Relación entre fuerzas y desplazamientos nodales en
ejes globales:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
1
3
1
3
1
2
1
2
0000
000000
0000
000000
000000
000000
0
0
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
u
u
kk
kk
S
S
S
S
Elemento 1
EXPANSIÓN DE LAS RELACIONES ANTERIORES:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
2
3
2
3
2
1
2
1
22
00
22
22
00
22
000000
000000
22
00
22
22
00
22
0
0
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
u
u
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
S
S
S
S
Elemento 2
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
3
2
3
2
3
1
3
1
000000
000000
000000
0000
000000
0000
0
0
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
u
u
kk
kk
S
S
S
S
Elemento 3
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−−
−−
−
−
−−
−−−+
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
+
+
+
+
3
3
2
2
1
1
2
3
1
3
2
3
1
3
3
2
1
2
3
2
1
2
3
1
2
1
3
1
2
1
22
0
22
22
00
22
0000
0000
22
00
22
22
0
22
Y
X
Y
X
Y
X
YY
XX
YY
XX
YY
XX
u
u
u
u
u
u
kkkkkk
kkkk
kk
kk
kkkk
kkkkkk
SS
SS
SS
SS
SS
SS
Sumando las ecuaciones matriciales anteriores:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
+
+
+
+
3
3
2
2
1
1
2
3
1
3
2
3
1
3
3
2
1
2
3
2
1
2
3
1
2
1
3
1
2
1
Y
X
Y
X
Y
X
YY
XX
YY
XX
YY
XX
R
R
R
R
R
R
SS
SS
SS
SS
SS
SSEquilibrio de nudos:
1
2
3
1 2
3
R Y1 , u Y1
RY3 , uY3
RX3 , u X3
R X2 , u X2
R Y2 , u Y2
R X1 , u X1
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−−
−−
−
−
−−
−−−+
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
22
0
22
22
00
22
0000
0000
22
00
22
22
0
22
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
u
u
kkkkkk
kkkk
kk
kk
kkkk
kkkkkk
R
R
R
R
R
R
1
2
3
1 2
3
R Y1 , u Y1
RY3 , uY3
RX3 , u X3
R X2 , u X2
R Y2 , u Y2
R X1 , u X1
P
1
X
Y
2
3
1 2
3
L
L
a) En relación a las fuerzas exteriores (teniendo en cuenta las ligaduras a que se
encuentra sometida la estructura): 
RX1 = 0, pues no hay fuerza exterior aplicada en el nudo 1 según el eje X. 
RY1 = -P, que es la fuerza exterior aplicada a la estructura en ese nudo. 
RY3 = 0, pues el nudo 3 no se encuentra coaccionado en la dirección Y. 
Por tanto, del vector de fuerzas sólo tenemos 3 incógnitas: RX2, RY2, RX3 
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−−
−−
−
−
−−
−−−+
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
22
0
22
22
00
22
0000
0000
22
00
22
22
0
22
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
u
u
kkkkkk
kkkk
kk
kk
kkkk
kkkkkk
R
R
R
R
R
R
P
1
X
Y
2
3
1 2
3
L
L
b) En relación a los desplazamientos: 
uX2 = uY2 =0, por encontrarse impedidos los desplazamientos del nudo 2 
uX3 = 0, por encontrarse impedido el desplazamiento del nudo 3 en la dirección X. 
En resumen, los desplazamientos incógnitas del problema son, también, 3: uX1, uY1, uY3. 
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−−
−−
−
−
−−
−−−+
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
22
0
22
22
00
22
0000
0000
22
00
22
22
0
22
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
u
u
kkkkkk
kkkk
kk
kk
kkkk
kkkkkk
R
R
R
R
R
R
P
1
X
Y
2
3
1 2
3
L
L
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−−
−−
−
−
−−
−−−+
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
22
0
22
22
00
22
0000
0000
22
00
22
22
0
22
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
u
u
kkkkkk
kkkk
kk
kk
kkkk
kkkkkk
R
R
R
R
R
R
P
1
X
Y
2
3
1 2
3
L
L
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−−
−+
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
3
1
1
222
222
222
0
0
Y
Y
X
u
u
u
kkkk
kkk
kkkk
P
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
3
1
1
0
0
0
Y
Y
X
u
u
u
Vector desplazamientos de la estructura (en ejes globales):
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−−
−+
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
0
0
222
222
222
1
3
1
1
P
kkkk
kkk
kkkk
u
u
u
Y
Y
X
Ya podríamos determinar las fuerzas que actúan en los 
extremos de todas y cada una de las barras de la estructura: 
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
Yj
Xj
Yi
Xi
yj
xj
yi
xi
S
S
S
S
cs
sc
cs
sc
S
S
S
S
00
00
00
00
y las reacciones: 
3113
32
12
222 YYXX
YY
XX
ukukukR
ukR
ukR
⋅−⋅+⋅−=
⋅−=
⋅−=
[ ]
[ ] { }
[ ] { } globalesejes
T
localesejes
uT
u
0101
L
1
0101
L
1
u'
u'
u'
u'
0101
L
1
L
u'u'ε
y2
x2
y1
x1
x1x2
−=
−=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
−
=
Cálculo de las deformaciones de cada barra (en ejes locales)
[ ] { }
[ ]{ }
[ ]
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−−=
−−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−=
Y2
X2
Y1
X1
u
u
u
u
L
1
L
1
00
00
00
00
0101
L
1ε
scsc
uscsc
u
cs
sc
cs
sc
globalesejes
globalesejesCálculo de las tensiones y axiles en cada elemento
( ) [ ]{ } globalesejesuscsc −−=−==σ
L
Eu'u'
L
EEε x1x2
Esfuerzo axil:
Tensión:
( ) [ ]{ } globalesejesuscscN −−=−==
L
EAu'u'
L
EAEAε X1X2
¿Cómo ensamblar directamente la matriz 
de rigidez de la estructura?
P
1
X
Y
2
3
1 2
3
L
L
1
12
3
1 2
3
2
6
5
4
3
GDL DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
NUDO HORIZONTAL (X) VERTICAL (Y)
1 1 2
2 3 4
3 5 6 
BARRAS NUDO INICIAL NUDO FINAL
1 2 3
2 1 3
3 2 1
GDL’s
Conexiones ó Incidencias
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
6
5
4
3
00
0000
00
0000
d
d
d
d
kk
kk
F
F
F
F
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
6
5
2
1
6
5
2
1
2222
2222
2222
2222
d
d
d
d
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
F
F
F
F
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
2
1
4
3
2
1
4
3
0000
00
0000
00
d
d
d
d
kk
kk
F
F
F
F
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Relación entre fuerzas en cada gdl (Fi) y los desplazamientos 
en cada gdl (di) en ejes globales:
ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
12
3
1 2
3
2
6
5
4
3 1
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
6
5
4
3
00
0000
00
0000
d
d
d
d
kk
kk
F
F
F
F
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
6
5
2
1
6
5
2
1
2222
2222
2222
2222
d
d
d
d
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
F
F
F
F
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
2
1
4
3
2
1
4
3
0000
00
0000
00
d
d
d
d
kk
kk
F
F
F
F
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Matrices de rigidez de los elementos (en ejes globales):
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0
k 0 -k
0 0
k
SIMÉTRICA
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0
k 0 -k
0 0
k
2/k
2/k 2/k−
2/k 2/k 2/k−
2/k 2/k2/k− 2/k−
SIMÉTRICA
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0
k 0 -k
0 0
k
2/k
2/k 2/k−
2/k 2/k 2/k−
2/k 2/k2/k− 2/k−
k 0
-k
0
0
0
0
k 0
0
SIMÉTRICA
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
k 0 -k
k+ 2/k
2/k 2/k−
2/k 2/k 2/k−
2/k 2/k2/k− 2/k−
k 0 0 0
-k
0
0
0
k+
SIMÉTRICA
Significado físico de la matriz de rigidez
Si consideramos, en general, una matriz de rigidez de la forma:
y la relación carga-desplazamiento:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
F
F
F
d
d
d
kkk
kkk
kkk
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
K
La primera ecuación es:
1313212111 Fdkdkdk =++
Equilibrio de fuerzas 
en el nudo 1
¿Qué sucede si d1=1, d2=0, d3=0 ?
313
212
111
kF
kF
kF
=
=
= Fuerza actuando según el gdl 1 debido a un desplazamiento unidad del gdl 1
Los gdl 2 y 3 se mantienen sin desplazamiento y el gdl 1 
sufre un desplazamiento unidad en la dirección de F1
De manera similar se podría ver qué significado físico 
tienen los otros términos de la matriz de rigidez
Significado de los elementos de las columnas de la matriz K:
Fuerza actuando según el gdl 2 debido a un desplazamiento unidad del gdl 1
Fuerza actuando según el gdl 3 debido a un desplazamiento unidad del gdl 1
ijK = Fuerza actuante en el gdl “i” debida a un desplazamiento
unidad del gdl “j” manteniendo el resto de gdl del sistema
fijos
En general: