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CONCEPTOS BÁSICOS DEL CÁLCULO ESTRUCTURAL Prof. Carlos Navarro Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras MODELO DEL MATERIAL Mientras no digamos los contrario, supondremos que el material del que está realizada la estructura muestra un comportamiento elástico-lineal hasta rotura MODELO DE DEFORMACIÓN Mientras no digamos los contrario, supondremos que consideramos la hipótesis de pequeñas deformaciones PRINCIPIO DE SUPERPOSICION q q P P + = Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto: WU = ENERGÍA INTERNA, ELÁSTICA O DE DEFORMACIÓN Trabajo externo y energía de deformación La mayoría de los métodos energéticos en el cálculo de estructuras se basan en el Principio de la conservación de la energía, que establece que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema estructural, We, coincide con la energía de deformación que almacena dicho sistema, Ui. We = Ui • Trabajo de una fuerza exterior Ui Energía interna L F δ x F P Cuando la fuerza F se incrementa desde cero hasta un valor final F = P, la elongación de la Barra resulta ser ∆: δ FdxdWe = ∫= x e FdxW 0 ∫ ∆ δ = 0 )( dxxPWe δ= δ = ∆ PxPUe 2 1) 2 ( 0 2 xPF δ = El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las dirección de las mismas, por supuesto). Si entre las cargas aplicadas existiera algún momento, bastaría con tener en cuenta que: - donde se dijera fuerza se debería decir momento - donde se dijera desplazamiento se debería decir giro - donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas) se debería escribir W=Mθ. ∑ = ⋅= n 1i ii dF 2 1W Fi di i i∆ r d P W=1/2 P.d M W=1/2 M.θ θ EJEMPLOS: 2 F1 F2 1 2 1 F1F2 ∆1 d1∆2 d2 α 2211 2 1 2 1 dFdFUW rr +== ¡Las reacciones en el empotramiento (fuerzas y momento) no producen Trabajo, pues la sección sobre la que actúan no sufre movimientos! ds z x y NN G ds z x y NN dsds z x y NN G ds duzds duz ds EA Nds E dsduz === σ ε DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO AXIL ¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a esfuerzo axil? ds z x y NN G ds z x y NN dsds z x y NN G ds duzds duz ds AE Nds E dsdu z === σε ds EA NduNdU z 2 2 1 2 1 =⋅= LA HIPÓTESIS DE NAVIER (FLEXIÓN) Una cara de cualquier rebanada, que era plana antes de deformarse la pieza, sigue permaneciendo plana una vez que la pieza se ha deformado. )( )( tracción I CGM compresión I AGM x x C x x A = = σ σ ds EI AGM ds E dsAB x xA AA === σ ε '2 ds EI CGM ds E dsCD x xC CC === σ ε '2 ds EI M CG CD AG ABd x xx 22 === θ ds EI Md x x x =θ DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO FLECTOR x y G h 2 h 1 σ1= Μx h1 Ιx σ2= Μx h2 Ιx Mx SECCION ALZADO LATERAL Canto x y G h 2 h 1 σ1= Μx h1 Ιx σ2= Μx h2 Ιx Mxx y G x y G h 2 h 1 σ1= Μx h1 Ιx σ1= Μx h1 Ιx σ2= Μx h2 Ιx σ2= Μx h2 Ιx Mx SECCION ALZADO LATERAL Canto σC σA C AHipótesis de Navier ¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a momento flector? ds EI Md x x x =θ ds EI MdMdU x x 2 2 1 2 1 =⋅= θ ds z x y Qy G dsds z x y Qy G ds γ duy ds γ duy ( )ν τ γ + = == 12 EG ds G dsdu m y c y m Q Ω τ = El área a cortante Ωc depende de la geometría de la sección y, en general, se puede escribir como: Ωc=Ω/k. Para el caso de una sección rectangular k=6/5 (para el caso de una sección circular, por ejemplo, k=10/9) ds G Q dsdu c y y Ω == γ DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO CORTANTE ¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a esfuerzo cortante? ds z x y Qy G dsds z x y Qy G ds γ duy ds γ duy ds G Q dsdu c y y Ω == γ ds G Q duQdU c y yy Ω =⋅= 2 2 1 2 1 ds z x y Mz GMz dsds z x y Mz GMz ds ωdz dsds ωdz ds GK M dsd z z == ωθ DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO TORSOR ds z x y Mz GMz dsds z x y Mz GMz ds ωdz dsds ωdz ds GK M dsd z z == ωθ ¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a momento torsor? ds GK M dMdU z zz 2 2 1 2 1 =⋅= θ ds GK M dMdU z zz 2 2 1 2 1 =⋅= θ ds G Q duQdU c y yy Ω =⋅= 2 2 1 2 1 ds EI MdMdU x x 2 2 1 2 1 =⋅= θ ds EA NduNdU z 2 2 1 2 1 =⋅= En resumen: Axil Flector Cortante Torsor ¿Qué energía interna se almacena en una pieza cargada en la que aparecen todos los tipos de esfuerzos en todas las secciones de la pieza? A B s ds ds GK )s(M G )s(Q EI )s(M AE )s(NU B A z c y x ∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + Ω ++= 2222 2 1 La variable “s” del integrando indica que los esfuerzos pueden variar a lo largo de la pieza en función del valor de dicha variables ¿Podríamos calcular ya los desplazamientos en algún elemento estructural simple que se encuentre cargado? Supongamos que nos piden los desplazamientos (horizontal y vertical) del extremo B de la ménsula de la figura sometida a la carga inclinada que se indica: F 45º L A B La carga anterior puede descomponerse en sus dos componentes: A B 2 2 1 FF = 2 2 2 FF = A B 2 2F Ley de axiles Ley de cortantes A B 2 2F A B LF 2 2 Ley de flectores EA LF dz EA F w L B 2 2 2 2 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ A B’ WB z VB c L c B G LF dz G F v Ω = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ω = ∫ 2 2 2 2 0 z y dVB ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zLdz EI zLF zLdz EI zMzLddvB −⋅ − = =−⋅=−⋅= 2 2 θ ( ) 3 2 2 2 2 3 0 2 L EI F dzzL EI F v L B ⋅=−= ∫ A B z y z y A B z y L-zz A B ¿Qué cuantía tienen esos desplazamientos? Supongamos una viga en ménsula de sección cuadrada de 20 cm2 de hormigón (E=20 GPa y ν=0,2) y de longitud 4 m. Supongamos F=20 kN. A=0,04 m2 I=1,33.10-4 m4 Ωc=A/1,2=0,0333 mwB 5 9 1007,7 04,01020 42 220000 −⋅= ⋅⋅ = mvB 4 9 1004,2 0333,01033,8 42 220000 −⋅= ⋅⋅ = mvB 227,0 3 4 1033,11020 2 220000 3 49 =⋅ ⋅⋅⋅ = − Desplazamiento según el eje de la viga Flecha debida a cortante Flecha debida a flexión ¡Los desplazamientos debidos a flexión son mucho más grandes que los debidos a los esfuerzos axil y cortante! A B 2 2F Ley de axiles Ley de cortantes A B 2 2F A B LF 2 2 Ley de flectores A B’ WB z VB z y dVB ( ) 2 2 2 2 00 L EI F dz EI zMdd LL B ⋅=== ∫∫ θθ A B z y z y A B z y L-zz A B ¿Cómo podríamos calcular el giro de la sección B? ¡No gira! ¡No gira! F 45º L A B EL TEOREMA DE CASTIGLIANO i j d F U = ∂ ∂ APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO A ESTRUCTURAS RETICULADAS Problema de la aplicación del Teorema de Castigliano: Este teorema sólo proporciona desplazamientos y giros en aquellas secciones de la pieza en las que actúa una fuerza o un momento, respectivamente. Es decir, si en una sección deseamos determinar el giro que experimenta no podemos aplicar (como hemos hecho antes) este teorema. Para solventar esta dificultad, podemos proceder cómo se indica a continuación: Obtener el giro en la sección B aplicando el Teorema de Castigliano P P M Estado auxiliar (ficticio) de cargas que se propone (además del ya existente): A B P.L A B M P Mz [ ]∫ = = +−= Lz z x dzM)zL(P EI U 0 2 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅+⋅ ⋅ +⋅= L EI ML EI MPL EI P U xxx 2232 2 2 32 1 L EI ML EI P M U xx B ⋅+⋅= ∂ ∂ = 2 2 θ Si M=0 2 2L EI P x B ⋅=θ (Los momentos flectores los consideraremos positivos si producen un giro en las rebanadas que induzcan un giro horario en B) Cómo vamos a utilizar el teorema de Castigliano a lo largo de este curso A B s ds ds GK )s(M G )s(Q EI )s(M AE )s(NU B A T cx ∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + Ω ++= 2222 2 1 ds P )s(M GK )s(M P )s(QG )s(Q P )s(M EI )s(M P )s(N AE )s(N P Uv B A TT cx ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ Ω + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = P de sentido y dirección la en carga de unidadpor torsor momento del Variación P de sentido y dirección la en carga de unidadpor cortante esfuerzo del Variación P de sentido y dirección la en carga de unidadpor flector momento del Variación P de sentido y dirección la en carga de unidadpor axil esfuerzo del Variación = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ P )s(M P )s(Q P )s(M P )s(N T P v Es práctica habitual, en el cálculo manual de vigas y estructuras reticuladas, despreciar los efectos en los movimientos de una pieza causados por los esfuerzos axil y cortante. Por otra parte, si la estructura es plana, y las cargas a las que se ve sometida están contenidas en el plano de la estructura, no aparecen momentos torsores en la misma. Por todo esto, la expresión del Teorema de Castigliano que utilizaremos será la que se deriva del ejemplo siguiente: P M=1 Estado 0 (estado real) Estado I (estado auxiliar) Veamos cómo aplicar esto último al problema que acabamos de analizar A B P.L A B M P 1 z dz)z(M GK )z(M)z(Q G )z(Q)z(M EI )z(M)z(N AE )z(NB A I T TI c I x I B ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + Ω ++= 0000 θ En el sentido del momento auxiliar unidad [ ][ ] x Lz z x B EI PLdzzLP EI 2 11 2 0 =∫ −=θ = = )( FÓRMULAS DE NAVIER-BRESSE Desplazamiento inducido por los giros de las rebanadas Desplazamiento inducido por los propios de las rebanadas Desplazamiento sólido rígido Suma de giros de las rebanadas Giro sólido rígido FÓRMULAS DE NAVIER-BRESSE X Y Z A B z x y P X Y Z A B z x y X Y Z A B z x y P ∫ ∫ ∫ ∧++∧+= += B A B AABAAB B AAB rdudruu d rrrrrvv rrr θθ θθθ PBr = r PIEZA PLANA CON CARGAS EN SU PLANO Qx = Mz = My = 0 Mx = M Qy = Q ux = θy = θz = 0 uy = v uz = w θx = θ Y Z A B Esfuerzos y desplazamientos en ejes locales: Giros y desplazamientos en ejes globales: Criterios de signos: Giros Momentos ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ ∫ −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω − Ω +−+= −−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω + Ω +−+= −= B A B B A c ABAAB B A B B A c ABAAB B AAB dsYY EI MdY G QdZ E NYYww dsZZ EI MdZ G QdY E NZZvv ds EI M θ θ θθ ∫−= B AAB ds EI Mθθ A B A B A B ds EI M ds EI M A BAθ Aθ A B Z Y B Z Y A θA θA(YB- YA) θA(ZB- ZA) ? ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω − Ω +−+= −−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω + Ω +−+= B A B B A c ABAAB B A B B A c ABAAB dsYY EI MdY G QdZ E NYYww dsZZ EI MdZ G QdY E NZZvv θ θ A B Z Y VA VA WA WA ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω − Ω +−+= −−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω + Ω +−+= B A B B A c ABAAB B A B B A c ABAAB dsYY EI MdY G QdZ E NYYww dsZZ EI MdZ G QdY E NZZvv θ θ A Z Y N N α ds B α ds E N Ω dz E Nds E N Ω =⋅ Ω αcos dy E Nds E N Ω =⋅ Ω αsen Alargamiento por axil A Z Y Q Q α ds B α ds G Q cΩ dy G Qds G Q cc Ω −=⋅ Ω − αsen dz G Qds G Q cc Ω −=⋅ Ω αcos ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω − Ω +−+= −−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω + Ω +−+= B A B B A c ABAAB B A B B A c ABAAB dsYY EI MdY G QdZ E NYYww dsZZ EI MdZ G QdY E NZZvv θ θ A B A B ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω − Ω +−+= −−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω + Ω +−+= B A B B A c ABAAB B A B B A c ABAAB dsYY EI MdY G QdZ E NYYww dsZZ EI MdZ G QdY E NZZvv θ θ A Bds EI M Z Y ZBZ Y YB ( )dsZZ EI M B −− ( )dsYY EI M B − PIEZA RECTA CON CARGAS EN SU PLANO 00 ==== BA yydydzds ( ) ( ) ∫ ∫∫ ∫ Ω += −− Ω +−θ+= −θ=θ B AAB B A B B A c ABAAB B AAB dz E Nww dzzz EI Mdz G Qzzvv dz EI M Cortante Flexión Ejemplo: Determinar la flecha en B BA ww = ( )( )∫∫ − − − Ω − = B A B A c B dzzl EI zLPdz G Pv ( ) lz 0z 3 c B 3 zL EI P G PLv = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −− Ω −= EI3 PL G PLv 3 c B − Ω −= P A B PLey de cortantes A B P.l Ley de flectores c h x y c tetancor B G PLv Ω −= EI3 PLv 3 flexión B −= ( ) ( )ν+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= ⋅ ν+ = Ω = Ω = 1 L h6,0 L 2,1 ch 12 E ch 12 1E3 LG EI3 EI3 PL G PL v v 2 2 3 2 c 3 c flexión B tetancor B Si hacemos, por ejemplo, L/h = 50, ν=0,2, el cociente anterior resulta ser 0,000288. La flecha debida al cortante es despreciable (0,03%) frente a la de flexión. Pero, ¿qué sucede en la práctica? En Resistencia de Materiales y en Cálculo de Estructuras se suele despreciar la contribución a los desplazamientos y giros debidos a los esfuerzos axil y cortante. Esto, de ninguna manera, quiere decir que dichos esfuerzos sean nulos en la pieza. Pieza recta con cargas en su plano despreciando las deformaciones inducidas por esfuerzo cortante y esfuerzo axil ( ) ( ) AB B A BABAAB B AAB ww dzzz EI Mzzvv dz EI M = −−−θ+= −θ=θ ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ∫∫ ∫ Ω += −− Ω +−θ+= −θ=θ B AAB B A B B A c ABAAB B AAB dz E Nww dzzz EI Mdz G Qzzvv dz EI M A B y z q l A B ql2/2 M=q.(l-z)2/2 ( ) ( ) EI8 Lqdz EI2 zLqdz EI2 zLMv 4 B A 3 B AB ⋅ = −⋅ = −⋅ =⇓ ∫∫ ( ) ∫ ∫ = − ==θ B A l 0 32 B EI6 qldz EI2 zlqdz EI M EJEMPLO: ¿Flecha y giro en B? Ley de momentos flectores: Otras aplicaciones en problemas isostáticos: Determinar giros en vigas apoyadas l MA B l MA B θA A B θBθA A BA B θB horariosentidoen EI Ml EI Ml EI l l M l AA 623 . 2 3 =⇒+−= θθ L MA B M/l M/l MA B M/l M/lM/L M/L ( ) ( ) ∫ ∫ = −+− −=−= B A L AAB dz EI zL L MM dz EI zM 0 θθθ z Sentidos positivos: giros Momentos flectores( ) ( ) ( ) EI MLdzzL EI z L M LdzzL EI zMLvv B A L AAAB 6 0 2 0 −=−−⋅=−−⋅+== ∫ ∫θθ EI ML A 6 −=θ )( )()/()( oantihorari MporproducidooantihorarilMporproducidooantihorarioantihorari A BBB θ θθθ + ++= EI Mloantihorari EI Ml EI Ml EI Mloantihorari BB 3 )( 62 )( =⇒−+−= θθ APLICACIÓN A PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS y A B z l M A B M A+ B R A B M A+ B R 0=+=↑ IIestado B Iestado BB vvv ( ) EI lMdz EI zlMv B A Iestado B 2 2 ∫ −= − −=↑ EI Rlv IIestado B 3 3 =↑ l MR EI Rl EI lM 2 30 32 32 =⇒=+− ( ) ( ) AB B A BABAAB B AAB ww dzzz EI Mzzvv dz EI M = −−−θ+= −θ=θ ∫ ∫ ECUACIONES DE NAVIER-BRESSE PARA UNA PIEZA RECTA CON CARGAS EN SU PLANO DESPRECIANDO LA CONTRIBUCION A LOS MOVIMIENTOS DE LOS ESFUERZOS CORTANTES Y AXILES TEOREMAS DE MOHR PRIMER TEOREMA DE MOHR ( ) ( ) B B A A B B A A B A BA B A M dz EI Mv v z z z z dz EI w w θ = θ + ⇑ =⇑ − θ − − − = ∫ ∫ ∫=− B AAB dz EI Mθθ A B Ley de momentos flectores A’ B’ Directriz deformada Directriz sin deformar θB θA θB-θA A B Ley de momentos flectores A’ B’ Directriz deformada Directriz sin deformar θB θA θB-θA “El ángulo girado por la directriz entre dos secciones A y B de una pieza prismática recta de sección constante es igual al área del diagrama de momentos flectores entre ambas secciones dividido por el producto EI” EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL PRIMER TEOREMA DE MOHR ¿Giro en B? A B P.l ( ) EI PL EI PLL AB 2 2 1 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =−θθ 0 P (horario) SEGUNDO TEOREMA DE MOHR ( ) ( )∫ −−−−=↑↑ B A BABAAB dzzz EI Mzzvv θ A’ B’ Directriz deformada A B Directriz sin deformar z y dz zB-z vB vA θA.(zB-zA) B’’ B’’’ A’ B’ Directriz deformada A B Directriz sin deformar z y dz zB-z vB vA θA.(zB-zA) B’’ B’’’ “La distancia, en dirección perpendicular a la directriz sin deformar, entre un punto B’ de la directriz deformada a la recta tangente a la directriz deformada en otro (A) es igual al momento estático del área de momentos flectores entre las secciones A y B respecto del eje perpendicular a la directriz sin deformar que pasa por el punto B, dividido por el producto EI” A B y z q L . G 3/4(L) ql 2/2 EI ql EI l/lq.l vB 8 4 32 3 1 4 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =↓ EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL SEGUNDO TEOREMA DE MOHR ¿Flecha en B? EL DIBUJO DE LA DEFORMADA A ESTIMA P=20 kN 2 m 1 m 1 m A B C D A B C D 15 kN·m 5 kN·m DACB Ley de flectores C A B D 294,9 kN.m 237,3 kN.m 28,5 kN.m 71,5 kN.m 63,9 kN.m 3,84 m 7,68 m C A B D 294,9 kN.m 237,3 kN.m 28,5 kN.m 71,5 kN.m 63,9 kN.m 3,84 m 7,68 m OTRO EJEMPLO: Generalización al caso de puntos angulosos en la directriz. Primer teorema Movimientos en barras prismáticas: Teoremas de Mohr (Cont.) P’ E C A B P P’’ E C A B D A1 A2 A3 A4 Sentidos positivos (por ejemplo): girosMomentos flectores ( ) ( ) ( ) ( )DECDBCAB A EI A EI A EI A EI A 4321 −++=θ AB C h L EI P PL PL A A1 + A2 + EI hLPL EI h)PL( EI L)PL( A ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =+= 22 1 θ Ejemplo de aplicación: determinar el giro experimentado por la sección A (positivo si horario) Generalización al caso de puntos angulosos en la directriz. Segundo teorema Movimientos en barras prismáticas: Teoremas de Mohr (Cont.) E C D B A δ h dδA α Caso a): el eje δ no corta a la directriz ∫∫∫ === dsMf EI ds EI M ffd f f A 1 θδ ds EI M ffdd f A == θδ C dS G G’ B A f fG’ dδA=(h dθ).cosα dδΑ δ α h α f =h.cos α dδA= PL PL A A1 A2 G2 G2’ G1 G1’ u v AB C h L EI P ( ) ( )[ ] EI )hL(PL LhPLLPL EI v,´G.distAv,´G.distA EI vA + =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅⋅+⋅=⋅+⋅= 3 3 2 2 111 2 2 2211 ( ) EI PLhhPLh EI u,´G.distA EI uA 22 11 2 2 22 ==⋅= Ejemplo de aplicación: determinar los desplazamientos en la sección A Generalización al caso de puntos angulosos en la directriz. Segundo teorema Movimientos en barras prismáticas: Teoremas de Mohr (Cont.) Caso b): el eje δ corta a la directriz C D B A δ E C D B A δ +-=- ++=+ -+=- -+=- ++=+ ++=+ E Sentidos positivos (por ejemplo): girosMomentos flectores δA E C B A P L 2L L E C B A PL PL PL PL + +++ + + = = = =+ + + - - + δ EI PLLLPLLLPLLLPLLLPL EIA 33 3 2 2 1 3 2 2 12 3 2 2 11 =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=δ Ejemplo de aplicación: determinar el desplazamiento según la dirección δ de la sección A TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE MAXWELL-BETTI “En un sólido elástico el trabajo realizado por un sistema de cargas I al aplicar otro sistema de cargas II, es idéntico al trabajo realizado por el sistema de cargas II al aplicar el sistema de cargas I” Sobre la ménsula que se observa en la figura pueden actuar, separadamente, los sistemas de cargas distintos 1 y 2 que se recogen en la figura. Suponiendo constante el producto EI, determinar el valor de la flecha en C correspondiente al sistema 2 de cargas. Ejemplo L/2 L/2 P A C B L/2 L/2 MA C B SISTEMA 1 SISTEMA 2 L/2 L/2 P A C B L/2 L/2 MA C B L/2 L/2 P A C B L/2 L/2 MA C B SISTEMA 1 SISTEMA 2 EI MLv EI LP MvP horarioMvP sistema C sistema C sistema B sistema C 82 2 2 2 2 2 12 ↓=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅↓=⋅ ⋅↓=⋅ −− −− )(θ ARCOS: PIEZAS DE DIRECTRIZ CURVA x y P B θ R.cosθ A R R.cosθ P P cosθP sen θ PR cosθ π/2 - θ P θ R M = PRcosθ Momentos flectores P θ R Esfuerzos cortantes Q = P sen θ P θ R Esfuerzos axiles N = P cos θ Leyes de esfuerzos x y P B θ Rcosθ A R Desplazamientos horizontal y vertical de la sección B (despreciando los movimientos inducidos por esfuerzos axil y cortante): x y PuB vB B P θ R M=PRcosθ Ley de momentos flectores Utilizando Navier-Bresse: ( ) ( ) ( ) EI cosPRcosR EI McosRdv dB θ θθθθ 22 === debido al giro dθ de una rebanada genérica: ( )∫ θθ∫ =θ↓= ππ 2 0 222 0 22 11 RdPR EI dsPR EI vB coscos Utilizando Castigliano: ( )∫ θθ=∫= ππ 2 0 2 2 0 2 2 1 2 RdPR EI ds EI MU cos ∫ θθ= ∂ ∂ ↓= π 2 0 221 RdPR EIP UvB cos Desplazamiento vertical vB Desplazamiento horizontal uB ( ) EI )sen(cosPR )sen(R EI M)sen(Rdu dB θθ θθθθ − = =−=−= 1 11 2 ∫ −= 2 0 2 11 π θθ ds)sen(cosPR EI uB r Utilizando Navier-Bresse: debido al giro dθ de una rebanada genérica: Utilizando Castigliano: ∫ θ−θ= ∫= π π 2 0 2 0 0 11 1 dssenRPR EI dsMM EI u I B )(cos r 1 θ R(1-senθ) x y PuB vB B P θ R M=PRcosθ R(1-senθ) Ley de flectores Estado 0 Ley de flectores Estado I Giro de la sección B (θB) Utilizando Navier-Bresse: Utilizando Castigliano: x y PuB vB B P θ R M=PRcosθ Ley de flectores Estado 0 Ley de flectores Estado I M=1 1 ∫∫∫ === 2 0 2 0 2 0 11 πππ θθθ dscosPR EI Mds EI dB ( )∫ ⋅⋅θ= =∫ ⋅=θ π π 2 0 2 0 0 11 1 dsPR EI dsMM EI I B cos Deformación de una rebanada Tratamiento de las cargas térmicas B B´ F´FE E´ A´ A C D D´C´ ∆T2 ∆T1 ds c dθ/2dθ/2 )( 12 TT c dsd ∆−∆ α =θ B C D 120ºC 80ºC 100ºC 100ºC c=canto 45º Barras de directriz recta 2 12 TTdsFFEE ∆+∆ α=+ ´' Alargamiento o acortamiento: Giro: Tratamiento de las cargas térmicas (Cont.) Barras de directriz curvilínea sometidas a una variación uniforme de temperatura “El movimiento en una dirección definida por un vector, del extremo de una barra curvilínea en ménsula se obtiene multiplicando el coeficiente de dilatación por el incremento de temperatura y por la proyección de la directriz de la viga en la dirección u”. LTdscosTcos)Tds(U A B A BA ⋅∆=∆=∆= ∫∫ αθαθα )( T∆ A B δA1 1´ 1 1´ δδ θ θ U )( T∆ APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO A ESTRUCTURAS ARTICULADAS PROBLEMA PROPUESTO Determinar, para la estructura articulada de la figura, los desplazamientos horizontal y vertical que sufre el nudo 3. NOTA: Considérese que E=200 GPa y A=1.200 mm2 1 3 4 2 1 2 3 4 5 84 kN 35 kN 1 3 4 2 1 2 3 4 5 84 kN 35 kN ESTADO 0 Resolvemos la estructura, obteniéndose los siguientes esfuerzos axiles: -66,0-79.19612,00300,0min 70,084.00012,00565,7max Tracción17,521.00012,00300,0435 Compresión-29,2-35.00012,00500,0424 Tracción70,084.00012,00400,0323 Tracción17,521.00012,00400,0312 Compresión-66,0-79.19612,00565,7211 σ [N/mm2] N0 [N][cm2][cm] Notas Tensión axial Esfuerzo axilÁreaLongitudNudo final Nudo inicialNum Información sobre los elementos 1 3 4 2 1 2 3 4 5 1 kN Desplazamiento horizontal del nudo 3 ESTADO I En este estado, sólo la barra 2 trabaja, haciéndolo a un exfuerzo axil de tracción de valor N 1I= 1 kN. Los axiles en el resto de barras es nulo. m mmkNEA LNNu i ii iI ii 00035,04 )(101200)/(10200 121 2626 0 2 =⋅ ×⋅× ⋅ == −∑r Desplazamiento vertical del nudo 3 ESTADO II 1 3 4 2 1 2 3 4 5 1 kN -0,6-71412,00300,0min 0,81.00012,00565,7max Tracción0,442912,00300,0435 Compresión-0,6-71412,00500,0424 Tracción0,81.00012,00400,0323 Tracción0,442912,00400,0312 Compresión-0,5-60612,00565,7211 σ [N/mm2] NII [N][cm2][cm] Notas Tensión axial Esfuerz o axilAreaLongitudNudo final Nudo inicialNum Información sobre los elementos Resolvemos la estructura para el caso de carga II, obteniéndose los siguientes esfuerzos axiles: m mmkNEA LNNv i ii iII ii 0033146,0)3429,0215)714,0()35(4184 4429,021657,5)606,0()196,79(( )(101200)/(10200 1 2626 0 2 =⋅⋅+⋅−⋅−+⋅⋅+ +⋅⋅+⋅−⋅− ×⋅× =↓= −∑ Estructura deformada: 1− 0.357− 0.286 0.929 1.571 2.214 2.857 3.5 4.143 4.786 5.429 6.071 6.714 7.357 8 1− 0 1 2 3 4 5 Estructura deformada Barras a compresión Barras a tracción Estructura sin deformar y deformada [m] [m ]
