cap2

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Caṕıtulo 2
Modelo Matemático,
Aplicación y Análisis.
Nos introducimos en la resolución numérica de ecuaciones en derivadas
parciales, este es uno de los campos de más actividad en la matemática
aplicada actual ya que se refiere a dicretizar gran variedad de problemas que
aparecen en ciencias e ingeniera. Veremos problemas de evolución donde t́ıpi-
camente tenemos una variable ”espacial”, sobre la cual se da condiciones de
contorno y una variable ”temporal”sobre la que se dan condiciones iniciales.
2.1. Problemas de convección difusión tran-
sitorios
Consideramos el dominio Ω ⊂ <n con n = 1 ó n = 2 ó 3 y su frontera
∂Ω ,los problemas de convección difusion se pueden modelar como:

∂c
∂t
+ v.∇c−∇.(ν∇c) + σ(c)c = f en Ω× (0, T ],
c = centrada sobre Γ× (0, T ],
∇c.n = 0 sobre ∂\Γ× (0, T ],
c(x, 0) = c0 en Ω,
(2.1)
En nuestra ecuación modelo tenemos que c(x, t) es la concentración del con-
taminante en el punto x e instante t , v(x) es la velocidad convectiva( o
advectiva ), ν > 0 es el coeficiente de difusividad, σ(c) es el coeficiente de
reacción, f(x, t) es el término fuente, ∇ el operador nabla habitual y T el
19
20 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
tiempo final de análisis. En la ecuación transitoria el término ∂c
∂t
modela la
variación de la concentración con respecto al tiempo; v.∇c es la convección
debido al movimiento del fluido ambiental, ∇.(ν∇c) la difusión (dispersión
de mayor a menor concentración de moléculas de contaminantes),σ(c)c la
reacción no lineal y f la fuente externa. Además consideraremos que tanto la
difusividad ν como la velocidad convectiva v(x) son constantes.En los pro-
blemas de dispersión de contaminantes se realizan diferentes simplificaciones
en las reacciones qúımicas con el fin de obtener una EDP lineal
2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
El proposito de esta sección es ilustrar sobre la aplicación de los méto-
dos numéricos para resolver problemas de la vida real en particular como
podemos usar la ecuación de convección difusión resuelta via diferencias fi-
nitas para la resolución de problems de advección y difusión como el flujo
de nutrientes ; contaminación en los rios o de contaminantes en la atmósfera
a la dinamica de poblaciones, a la economı́a,o al fisioloǵıa respiratoria, etc.
Diremos que un contaminante del aire es aquella componente que está pre-
sente en la atmósfera, a niveles perjudiciales a la vida de los seres humanos,
plantas y animales.
Calcular la distribución de una sustancia qúımica dependiendo del tiempo
a lo largo del eje longitudinal de un reactor rectangular.
Otro ejemplo es el problema donde P (t, x) sea la densidad de población
de una especie de peces en la posicion x y el tiempo t, donde la especie de
peces vive sobre una recta, y el movimiento de los individuos sigue un movi-
miento aleatorio.
La ecuación de Black-Scholes-Merton que es un modelo de valoración
de derivados financieros publicado en el Journal of Political Economy de
mayo/junio de 1973, conocido en el ámbito financiero como el modelo de
Black-Scholes-Merton, y aceptado desde entonces, como uno de los modelos
matemáticos más influyentes en grandes decisiones financieras a nivel mun-
dial.
2.2.1. Modelación del transporte de Solutos en ŕıos
La descripción precisa de transporte de solutos en ŕıos es una componente
escencial en todos los modelos de estudio de la calidad del agua y de predic-
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 21
ción de incidentes de contaminación, los modelos unidimensionales, pueden
describir adecuadamenete los procesos de transporte de solutos en ŕıos, pe-
ro en general los parámetros de los modelos de transporte de solutos deben
estimarse para cada ŕıo en particular. Veremos el problema de:
Flujo de nutrientes en un estuario
Las entradas de los nutrientes a un estuario pueden provenir del aporte
fluvial, del realizado por las aguas subterrneas, a través la atmósfera o por
la entrada de agua de mar.
Aporte fluvial:
los ros transportan una carga de materia soluble y particulada que pro-
vienen de los lixiviados y escorrentas de la cuenca que drenan. Existe una
fuerte correlacin entre las cargas de nitrgeno y fsforo total en los ŕıos con el
uso de la tierra, y especialmente con las prácticas agŕıcolas (Moreau et al.,
1998). Históricamente la carga de nutrientes en los ros ha ido aumentando de
forma paralela al incremento de poblaciones humanas en sus cuencas, como
resultado tanto de las aguas residuales provenientes de los aportes humanos
como de la de animales y al aumento de la aplicacin de fertilizantes en las
tierras de cultivo.
Aporte de aguas subterraneas:
La entrada proveniente de las aguas subterrneas es generalmente desco-
nocida y variabley por consiguiente no se la suele tener en cuenta.
Aporte atmosférico:
La entrada atmosférica es importante principalmente para el nitrógeno
ya que para el fósforo y el silicio, las formas gaseosas de estos compuestos
tienen un papel casi insignificante debido a que no han sido encontradas en
cantidades significativas en el medio natural.
Aporte del mar:
La entrada de nutrientes que aporta el mar al estuario es generalmente
muy baja y suele ser como mnimo, de un orden de magnitud inferior a la del
22 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
ŕıo.
Modelos de nutrientes.
El modelado biogeoqúımico involucra la simulación matemática de varios
constituyentes biológicos y geoqúımicos en un intento de comprender los
ciclos de estos constituyentes y los procesos que afectan sus distribuciones.
Sin embargo, los modelos biogeoqúımicos dependen intŕınsecamente de los
datos, ya que sin ellos, poca aplicabilidad tendrán en la resolución de los
problemas (Gregg, 1997).
Los tipos de modelos biogeoqúımicos actualmente en uso son diversos, y
van desde planteamientos simples hasta complejas investigaciones multidisci-
plinarias con muchoscomponentes. No obstante, generalmente todos contie-
nen un componente biológico de nivel bajo en la cadena trófica (usualmente
fitoplancton representado por la clorofila), al menos un nutriente que es re-
querido para el crecimiento y consumo de nutrientes, y un segundo nivel
trófico (zooplancton o bacterias) para regenerar los nutrientes y consumir la
biomasa fitoplanctónica (Gregg, 1997).
Los estuarios son la mayor fuente de materiales de desecho en el mar. En
muchos casos los estuarios reciben descargas importantes tanto urbanas como
industriales. La mayora de los modelos biológicos desarrollados se encuentran
enfocados con los procesos marinos ordinarios (James, 1978).
Los constituyentes básicos del análisis son los nutrientes, el fitoplancton y
el zooplancton, desarrollándose una ecuación de balance de masas para cada
uno de ellos. La ecuación de balance de masa es de fundamental importan-
cia para explicar los cambios de concentraciones en el ambiente marino. El
concepto se basa (Runker y Bencala 1975) en la suposición de que la acu-
mulación de masa en una unidad de volumen de agua es igual a la diferencia
entre la masa que entra y la que sale de ese volumen de agua, vea la figura.
Acumulacion =masa(entra )-masa( sale ) (2.2)
donde cada término de la ecuación esta expresado en unidades de masa
por tiempo [M/T ]
La ecuación de balance de masa descrita anteriormente se desarrolla con-
siderando los flujos de entrada y salida en un volumen de control. Para sim-
plificarlo se asume que el flujo es espacialmente uniforme, de tal manera que
la velocidad y el volumen no cambian con el tiempo. Finalmente se considera
únicamente que el flujo viaja en dirección x, despreciando los flujos en y y
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 23
Figura 2.1: Volumen de control usado para desarrollar la ecuacion de balance
de masa, considerando únicamente los fujos en la dirección x
en z. Haciendo esto se asume también que la concentración vaŕıa solamente
en sentido del flujo (x) y que la masa del solutoesta uniformemente distri-
buida en la sección transversal del flujo (Fischer 1979). La primera ecuación
describe el cambio de masa con respecto al tiempo, y viene dada por:
Acumulacion =
∆m
∆t
=
∂m
∂t
(2.3)
donde m es la masa y t es el tiempo. Si la masa es igual a la concentración
por el volumen y asumiendo el volumen constante:
Acumulacion =V
∂C
∂t
(2.4)
donde V es el volumen [L3] y C es el la concentración del soluto [M/L3].
El lado derecho de la ecuación (2,1) esta desarrollado considerando el flujo
del soluto a través de las superficies 1 y 2 en la figura El flujo esta definido
como la masa de soluto que atraviesa una unidad de área por unidad de
tiempo. El flujo que entra en el volumen de control es q1 y el que sale es q2.
Cabe notar que q2 es igual al flujo que entra en el volumen de control (q1)
más el cambio del flujo dentro del volumen de control:
q2 = q1 +
∂q
∂t
∆x (2.5)
donde ∆x es la longitud del volumen de control [L] .
Si ahora se consideran los flujos individuales debido a la advección y la
dispersión, el flujo advectivo en el volumen de control (a través de la superficie
1) es igual al producto de la velocidad advectiva, U(L/T ), y la concentración
del soluto en la superficie 1, C1:
24 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
flujo entradaadv = q1adv = UC1 (2.6)
Empleando la ecuacin 2,5, el flujo advectivo que sale del volumen de
control (a través de la superficie 2 ) es:
flujo saleadv = q2adv = UC2 = UC1 + U
∂C
∂x
∆x (2.7)
donde C2 es la concentración del soluto en la superficie 2.
Los flujos debido a la dispersión se desarrollan considerando la ley de
dispersión de Fick, que establece que el flujo de masa debido a difusión mo-
lecular es proporcional al gradiente de concentración, dC/dx .Esta ley puede
ser usada para describir el flujo de masa dispersiva,y esta dada por:
qdisp = −D∂C
∂x
∆x (2.8)
donde D es una constante proporcional conocida como coeficiente de di-
fusión [L2/T ]. El flujo dispersivo que entra y sale del volumen de control
es:
flujo entradisp = q1disp = −D∂C
∂x
|1 (2.9)
flujo entradisp = q2disp = −D∂C
∂x
|2 = −D
[
∂C
∂x
|1 +
∂2C
∂x2
∆x
]
(2.10)
Una ecuación diferencial correspondiente a la ecuacin 2,2 puede ensam-
blarse usando los términos de acumulación y flujo descritos anteriormente,
las ecuaciones 2,4, 2,6, 2,7, 2,9, y 2,10 se combinan para dar:
V
∂C
∂t
=
[
AUC1 − AD
∂C
∂x
|1
]
︸ ︷︷ ︸
entra
−
[
AUC1 + AU
∂C
∂x
∆x− AD
∂C
∂x
|1 − AD
∂2C
∂x2
∆x
]
︸ ︷︷ ︸
sale
(2.11)
donde Aes la sección transversal del flujo [L2]. Puesto que cada flujo esta
especificado en base a una unidad de área, los flujos se multiplican por A
para obtener las unidades usadas en la ecuación 2,2 [M/T ]. Empleando la
relación V = A∆x, la ecuación 2,11 queda simplificada de esta manera:
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 25
∂c
∂t
= D
∂2c
∂x2
− U
∂c
∂x
(2.12)
Esta es la Ecuación de Advección - Difusión unidimensional con coeficien-
tes constantes ( D es constante en el tiempo y en el espacio ) y describe la
variación espacial y temporal de un soluto con concentracin C en un medio
con velocidad U(Runkel y Bencala, 1995).Las ecuaciones anteriores describen
el proceso de difusin molecular.
Estudio de la dinámica de la calidad del agua en un tramo de un
ŕıo
Modelo matemático
Un modelo de calidad del agua adecuado requiere la especificación de
una formulación apropiada de los procesos para tomar en cuenta aspectos
del transporte longitudinal, lateral y vertical. La predicción de la calidad
del agua depende del procedimiento en el cual los procesos fsico-qumicos e
hidrodinmicos sean simulados (Maskell 1991, Calow 1994). Es importante que
los métodos utilizados para representar los diversos procesos, sean apropiados
a la aplicación del modelo. La finalidad de desarrollar un modelo de calidad
del agua es disponer de una herramienta capaz de simular el comportamiento
de los componentes hidrológicos y de calidad del agua de un sistema de
corrientes y realizar con ello estudios de diagnóstico y pronóstico del estado
del sistema en condiciones.
En flujos superficiales con turbulencia homogénea y estacionaria la ecua-
ción unidimensional de dispersión longitudinal se representa por la siguiente
expresión (Taylor, 1954 y Fischer 1979)
∂C
∂t
+ u
∂C
∂x
= K
∂2C
∂x2
donde C es la concentración,u la velocidad media de la corriente, K el coe-
ficiente de dispersión longitudinal,x la distancia, y t el tiempo.
La deducción de la ecuación anterior puede ser hecha como el caso presen-
tado anteriormente. Cuya solución anaĺıtica puede escribirse como (Crank
1956 Fischer,1967,Fetter 1992):
C(x, t) =
Co
2
[
erfc
(
x− ut
2
√
Kt
)
+ exp
(ux
K
)
erfc
(
x+ ut
2
√
Kt
)]
26 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
Donde Co es la concentracion inicial, L es la longitud del cause. Utilizando
un esquema de diferencias finitas expĺıcito en el tiempo y centrado simétri-
camente en el espacio, se puede calcular la concentración para el siguiente
nivel en el tiempo como:
Cm+1
j = Cm
j − α
∆t
∆x
(
Cm
j+1 − Cm
j−1
)
+ β
∆t
∆x2
(
Cm
j+1 − 2Cm
j + Cm
j−1
)
Donde j es el ı́ndice de secciónm ı́ndice de tiempo, y delta denota incremento.
De la ecuación y sustituyendo los números de Courant y Péclet
Cr = α
∆t
∆x
núemero de Courant 0 < Cr ≤ Pe
2
< 1
Pe = α
∆x
β
número de Péclet
λ =
Cr
Pe
= β
∆t
∆x2
1
4
≤ λ <
1
2
El esquema es expĺıcito, y por tanto suceptible de presentar problemas de
estabilidad en la solución. Criterios de estabilidad en funcin de Cr y Pe.
Cm+1
j =
(
λ+
Cr
2
)
Cm
j−1 + (1− 2λ)Cm
j +
(
λ− Cr
2
)
Cm
j+1
El valor de K se obtiene mediante la expresin (González y Martinez, 1990)
K
Ru∗
= 131,35 +
[
0,1022f−0,527
] 1
s
Donde R es el radio hidráulico, u∗ la velociadad al cortante, s la pendiente
del cause y f el factor de fricción de Darcy dado por la relación.
f = 8
[
u∗
u
]2
.
2.2.2. Balance de Masa Unidimensional en un Reactor
Los ingenieros qúımicos utilizan mucho los reactores idealizados en su
trabajo de diseño, pues las experiencias de dichos procesos involucran un
alto costo económico.
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 27
Figura 2.2: Reactor alargado con un solo punto de entrada y salida
En la figura se muestra un reactor alargado de una sola entrada y una
salida: Este reactor puede caracterizarse como un sistema de parámetros
distribuidos. Si se supone que la sustancia qúımica que se va a modelar
está sujeta a un decaimiento ( es decir que la sustancia qúımica decae a una
velocidad que es linealmente proporcional a la cantidad de sustancia qúımica
presente ) de primer orden, y que el tanque esta bien mezclado vetical y
lateralmente, se realiza un valance de masa en un segmento finito de longitud
∆x, como sigue:
v
∆c
∆t
= Qc(x)︸ ︷︷ ︸
flujo de entrada
−Q
[
c(x) +
∂c(x)
∂x
∆x
]
︸ ︷︷ ︸
flujo de salida
− DAc
∂c(x)
∂x︸ ︷︷ ︸
dispersión a la entrada
+DAc
[
∂c(x)
∂x
+
∂
∂x
∂c(x)
∂x
∆x
]
︸ ︷︷ ︸
dispersión a la salida
− Kvc︸︷︷︸
reacción de decaimiento
donde v = volumen (m3). Q = flujo volumétrico ( m3/h), c = con-
centracioń ( moles/ m3 ), D es un coeficiente de dispersión (m2/h). Ac es el
área de la sección transversal del reactor (m2) y K es el coeficiente de de-
caimiento de primer orden (h−1) . Observese que los términos de dispersión
están basados en la primera ley de Fick.
flujo = −D∂c
∂x
Que es análoga a la ley de Fourier para la conduccion del calor. Esta ecuación
especifica que la turbulencia de mezclado tiende a mover la masa desde regio-
28 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
nes de alta hasta las de baja concentración. EL parámetro D , por lo tanto
determina la magnitud de la turbulencia de mezclado. Si ∆x y ∆t tienden a
cero . La ecuación será
∂c
∂t
= D
∂2c
∂x2
− U
∂c
∂x
− kc
Donde U = Q
Ac
es la velocidad del agua que fluye a travéz del reactor.
El balance de masa de la figura por lo tanto, se expresa ahora comouna
ecuación diferencial parcial parabólica .
2.2.3. Densidad de Población
Pondremos por ejemplo el problema donde P (t, x) sea la densidad de
población de una especie de peces en la posicion x y el tiempo t. Supoga-
mos que la especie de peces vive sobre una recta, y el movimiento de los
individuos sigue un movimiento aleatorio. Suponiendo que en el movimiento
aleatorio existe una preferencia de movimiento hacia la izquierda, es decir, la
probabilidad de movimiento hacia la izquierda es a > 0, 5 y la probabilidad
de movimiento a la derecha es b < 0, 5 pero que a− b es muy pequeño.
Tenemos que el camino aleatorio que presenta una población, en la cual los
individuos se movilizan en linea recta, despues de un tiempo ∆ty dando un
paso de igual longitud ∆x. Los peces (los individuos ) deben tomar una de
las dos posibilidades.
I. Ir a la derecha xo + ∆x
II. Ir a la izquierda xo −∆x
Considerando que xo es la posición inicial.
Si consideramos esta dinamica en términos de la concentracion de la pobla-
ción en un tiempo y posicion dada en la misma probabilidad de desición
p+ = b < 0, 5 y p− = a > 0, 5
Tenemos
P (t+ ∆x, xo) = p+P (t, xo + ∆x) + p−P (t, xo −∆x) . . . . . . . . . . . . (∗)
Aplicamos el teorema de Taylor en t, x
P (t+ ∆x, xo) = P (t, xo) +
{
∂
∂t
P (t, xo)
}
∆t+ 1
2
{
∂2
∂t2
P (t, xo)
}
∆t2 − . . .
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 29
Tambien con a > b a+ b = 1
aP (t, xo −∆x) = aP (t, xo)− a ∂
∂x
P (t, xo)∆x+ a
2
∂2
∂x2P (t, xo)∆x
2 − . . . . . .
bP (t, xo + ∆x) = bP (t, xo) + b ∂
∂x
P (t, xo)∆x+ b
2
∂2
∂x2P (t, xo)∆x
2 − . . . . . .
Reemplazando en (∗) tenemos:
P (t, xo) + ∂
∂t
P (t, xo)∆t+ . . . =
= (a+ b)P (t, xo) + (b− a) ∂
∂x
P (t, xo)∆x+ (a+b)
2
∂2
∂x2P (t, xo)∆x
2 + . . . . . .
Es decir tenemos
∂
∂t
P (t, xo)∆t = (b− a) ∂
∂x
P (t, xo)∆x+ (a+b)
2
∂2
∂x2P (t, xo)∆x
2
Nos queda
∂
∂t
P (t, xo) = (b− a)∆x
∆t
∂
∂x
P (t, xo) + (a+b)
2
∆x2
∆t
∂2
∂x2P (t, xo)
∂
∂t
P (t, xo) + (a− b)∆x
∆t
∂
∂x
P (t, xo) = (a+b)
2
∆x2
∆t
∂2
∂x2P (t, xo)
Ahora tomamos
U = (a− b)∆x
∆t
D = (a+b)
2
∆x2
∆t
De donde tenemos la ecuación de Convección Difusión
∂
∂t
P + U ∂
∂x
P = D ∂2
∂x2P
2.2.4. Economı́a. La ecuación de Fisher Black, Myron
Scholes,Robert Merton
En 1973 Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton lograron uno de
los mayores avances en la valuación de opciones hasta ese momento, que es
conocido como el modelo de Black-Scholes, que ha tenido una gran influencia
en la manera en que los agentes valúan y cubren opciones. Ha sido tambien un
punto de referencia para el desarrollo y exito de la ingeniera financiera desde
entonces. La importancia del modelo fue reconocida cuando Robert Merton
y Myron Scholes fueron reconocidos con el Premio Nobel de Economı́a; desa-
fortunadamente Fisher Black fallecio en 1995, quien indudablemente tambien
30 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
hubiera recibido el premio. En este sección presentamos el modelo de Black-
Scholes para la valuación de una opción call Europea sin pago de dividendos.
En primer lugar se mencionan algunas nociones de finanzas y probabilidad,
necesarias para una mejor comprensión de esta sección; posteriormente se
presenta un modelo para el precio de un activo, el cual seŕıa necesario para
poder formular el modelo; en la siguiente sección se presentan los supuestos y
las ideas generales de su deducción y solución en este caso, transformandolo
en el problema clásico de la ecuación del advección difusion; por último se
analiza brevemente la fórmula en algunos casos de interés.
Nociones básicas
Activo. Llamaremos activo a cualquier posesión que pueda producir
benefcios económicos.
Subyacente el tipo de activo que puede ser comprado o vendido. Su
precio de mercado en un instante t se denotará por St
El precio de ejercicio (K) : el precio al que el subyacente debe
ser comprado si la opción se ejerce
Portafolio Un portafolio es un conjunto de activos, que pueden ser
acciones, derivados, bonos, etc.
En la realidad existen costos para realizar operaciones financieras. Estos
costos de transacción pueden depender de si se trata de una transacción de
un activo subyacente o un derivado, de si se trata de una compra o de una
venta, etc.Tambien se usará la llamada tasa de interés libre de riesgo que es
aquella de una inversión ”segura”, libre de riesgo.
Esto en la práctica no es del todo errado, ya que si se analizan activos
y derivados en cortos peŕıodos de tiempo (por ejemplo trimestres), entonces
un bono del estado a veinte años resulta una inversión segura, y hasta es
razonable suponer constante la tasa de ese bono en el corto plazo.
Rentabilidad Se llama aśı a la ganancia relativa de una inversión, es
decir, si llamamos So a la inversión inicial, y ST a lo que se obtiene a un
tiempo T , la rentabilidad R es:
R =
St − So
So
Arbitraje es el proceso de comprar un bien en un mercado a un precio
bajo y venderlo en otro a un precio más alto, con el fin de beneficiarse con
la diferencia de precios. En el caso que nos ocupa, utilizaremos el principio
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 31
de no arbitraje, es decir, no existe la posibilidad de realizar una inversión
sin riesgo y ganar dinero (o por lo menos no más que invirtiendo con la tasa
libre de riesgo). De no ser aśı, existiŕıa claramente una forma de hacer dinero
infinito.
Los hedgers. Los hedgers, replicadores o cobertores son aquellos
agentes que intentan reducir el riesgo al mı́nimo y tratan de no exponer-
se a los cambios adversos de los valores de los activos. En general conforman
portafolios con activos en una posición (compra o venta) y algún derivado
sobre éstos en la otra. Aśı, si el precio del activo se mueve de manera muy
desfavorable, está la opción, por ejemplo, que amortigua la pérdida.
Un mercado eficiente se puede describir mediante dos conceptos: Toda la
información del activo está reflejada en el precio actual. Los mercados res-
ponden inmediatamente a cualquier información nueva acerca de un activo.
Derivado financiero. Un derivado financiero o producto derivado,
o simplemente derivado es un instrumento financiero cuyo valor depende
de otros activos, como por ejemplo una acción, una opción o hasta de otro
derivado. Se llama payoff de un derivado, activo o portafolio al resultado final
de la inversión.
Opciones; call, europea ,americana,put. Opción es un contrato
que le da al dueño el derecho, pero no la obligación, de negociar un activo
predeterminado,llamado también el activo subyacente por un precio deter-
minado K llamado el strike price o precio de ejercicio en un tiempo en el
futuro T , llamada fecha de expiración.
Opción Call Da al dueño el derecho a comprar y una Put el derecho a
vender.
La opción se llama Europea si sólo puede ser ejercida a tiempo T.
Opción se llama americana si puede ser ejercida a cualquier tiempo hasta
la fecha de expiración.
EL playoff de una call es máx{ST − K, 0} ya que si ST > K se ejerce a
K y se vende a ST , lo que da una ganancia de {ST −K}. En el otro caso la
opción no se ejerce y el payoff es 0.
EL playoff de una put, análogamente es máx{K −ST , 0} .El hecho de que
uno tenga el derecho y no la obligación es lo que hace dif́ıcil la valuación de
una opción.
32 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
Probabilidad.
Se conoce como proceso estocástico a un conjunto de variables aleatorias
que dependen de un parámetro, por ejemplo el tiempo, es decir, {X(t)|t > 0}.
Un proceso estocástico Z(.) se llama movimiento browniano o proceso de
Wiener si:
1. Z(0) = 0
2. ∀t > 0;∀a > 0; (Z(t+ a)− Z(t) ∼ N(0; a).
3. ∀t > 0;∀a > 0; (Z(t+ a)− Z(t)sonindependientesde{Z(s)/0 ≤ s ≤ t}
Un proceso de Wiener describe la evolución de una variable con distri-
bución normal. La deriva del proceso es 0 y la varianza es 1 por unidad de
tiempo. Esto significa que, si el valor de la variable es xo al tiempo 0, entonces
al tiempo t es normalmente distribuida con media xo y varianzat .
Un proceso generalizado de Wiener describe la evolución de una variable
normalmente distribuida con una deriva de a y varianza b2 por unidad de
tiempo, donde a y b son constantes. Esto significa que si, como antes, el valor
de la variable es xo al tiempo 0 entonces es normalmente distribuida con
media x0 + at y varianza bt al tiempo t. Puede ser definido para una variable
X en términos de un proceso de Wiener Z como
dX = adx+ bdZ
Un teorema del cálculo estocástico, que será fundamental para la deduc-
ción de la Ecuación de Black-Scholes es el siguiente:
Teorema 5 Lema de Ito
Supongamos que S cumple la siguiente ecuación diferencial estocástica:
dS = Sµdt+ SσdZ
donde Z(t) es un movimiento browniano. Sea V : R2 → R una función
de clase C2 en su dominio, dada por V = V (S; t), entonces se satisface lo
siguiente:
dV =
(
σS
∂V
∂S
dz
)
+
(
∂V
∂t
+ µS
∂V
∂S
+
1
2
σ2S2∂
2V
∂S2
)
dt (2.13)
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 33
Modelo para el Precio de un Activo
Para el precio de un activo, es necesario modelar la llegada de una nueva
información que afecte al precio, bajo el supuesto de que trabajamos en un
mercado efciente, considerando a dicho precio como un proceso estocástico.
El cambio absoluto en el precio del activo no es significativo, sin embargo,
si lo es el retorno, que como ya se ha definido,es el cambio sobre el precio
original:
R =
ST − S
S
Supongamos ahora que en un tiempo t el precio de un activo es S, considere-
mos un tiempo posterior t+ dt, en el cual S cambia a S + dS. El retorno de
un activo es entonces dS
S
. El modelo más común para modelar este retorno
se descompone en dos partes. Una parte es el retorno determinista similar al
retorno libre de riesgo. Esta contribución la podemos plantear como
µdt
donde µ es una medida del crecimiento promedio del precio del activo. La
otra parte modela la aleatoriedad en el cambio del precio de S, en respuesta
a los cambios externos, como noticias inesperadas. Se representa como un
muestreo aleatorio obtenido de una distribución normal con media 0 y agrega
al retorno el término
σdX
donde σ es la volatilidad, que mide la desviación estándar de los retornos y
dX es un movimiento browniano. Juntando los dos términos, obtenemos la
ecuación diferencial estocástica:
dS
s
= µdt+ σdX
Hay que notar que de no existir el segundo término, cuando σ = 0, tendŕıamos
la ecuación
dS
s
= µdt
que da como solución el crecimiento exponencial en el valor del activo
S(t) = Soe
µ(t−to)
donde So es el precio inicial y to es el tiempo inicial. Ahora usaremos el Lema
de Ito para deducir el proceso seguido por lnS cuando satisface la ecuación
34 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
dS
s
= µdt+ σdX .
Definamos
V (S; t) = lnS
con lo que se obtienen las derivadas:
∂V
∂S
=
1
S
;
∂2V
∂s2
= − 1
S2
,
∂V
∂t
= 0
Como suponemos que V satisface el lema de Ito, entonces
dV = Sσ
1
S
dZ +
(
µS
1
S
− 1
2
σ2S2 1
S2
)
dt = σdZ +
(
µ− σ2
)
con µ y σ constantes, por lo que esta ecuación indica que V = lnS sigue
un proceso de Wiener genealizado con tasa de deriva µ − σ2
2
y varianza σ2,
ambas constantes. El cambio en lnS entre el tiempo cero y el tiempo T es,
por lo tanto, una distribución normal con media(
µ− σ2
2
)
T
y varianza
σ2T
esto significa que
LnST ∼ N
(
LnSo +
(
µ− σ2
2
)
T, σ2T
)
donde ST es el precio del activo en un tiempo futuro T y So es el precio
inicial del activo. Esta ecuación nos muestra que lnST tiene distribución
normal. Una variable tiene distribución lognormal si el logaritmo natural de
esta variable está normalmente distribuido.
Deducción de la ecuación de Black-Scholes-Merton
Recordemos un contrato de opciones financieras es un acuerdo que con-
fiere al poseedor el derecho, pero no la obligación, de comprar (call) o vender
(put) un activo financiero en una fecha futura a un precio pactado en el mo-
mento del contrato. El activo objeto del contrato es el activo subyacente, el
precio pactado es el precio de ejercicio (strike) y la fecha ĺımite para ejercer el
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 35
derecho es la fecha de expiración (expiry) o fecha de ejercicio o vencimiento
de la opción. Las opciones son uno de los productos financieros habituales
para cubrir riesgos de carteras de valores.
Ahora veremos la ecuación que modela cualquier derivado financiero en
la forma continua. Enunciaremos los supuestos que vamos a requerir en el
modelo:
1. El precio de un activo sigue un proceso de Wiener log-normal: dS =
Sµdt+ SσdZ
2. La tasa de interés libre de riesgo r y la volatilidad σ del activo se suponen
constantes durante el tiempo que dura la opción.
3. No hay costos de transacción asociados a la cobertura del portafolio.
4. El activo subyacente no paga dividendos durante la vida de la opción.
5. No hay posibilidad de arbitraje. La ausencia de arbitraje significa que
todos los portafolios libres de riesgo deben tener el mismo retorno.
6. La compra y venta del activo puede tomar lugar continuamente.
7. La venta y los activos son divisibles. Asumimos que podemos comprar y
vender cualquier número (no necesariamente entero) del activo subyacente y
que está permitido vender aunque no tengamos posesión, es decir, se trata
de un mercado completo.
Sea V (S; t) el valor de un derivado estilo europeo, en el instante t cuando el
precio del activo subyacente es S > 0 Construiremos un portafolio P libre de
riesgo de la siguiente manera
P =
{
∆ Unidades del activo (Compra)
1 Derivado (Venta )
(2.14)
Cuyo valor es Πu = ∆Su−Vu cuando el valor del activo sube y Πd = ∆Sd−Vd
cuando el valor del activo baja. La estrategia es igual Πu a Πd, es decir,
encontramos un ∆ tal que el portafolio tenga riesgo 0. Entonces , al igualar
nos queda
∆Su − Vu = ∆Sd − Vd
Es decir
∆ =
Vu − Vd
Su − Sd
=
δV
δS
Tomando limite cuando δS → 0 resulta
∆ =
∂V
∂S
36 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
que es la variación del valor del derivado con respecto a S y es una medida
de correlación entre los movimientos del derivado y los del activo subyacente.
En general, el valor del portafolio es Π = ∆S − V , con lo cual
dΠ = ∆dS − sV = ∆(Sµdt+ SσdZ)− dV
Suponemos que V también cumple los supuestos enunciados anteriormen-
te, por lo que satisface las hipótesis del Lema de Ito, aśı que tenemos una
expresión para dV de la ecuación:
dV =
(
σS
∂V
∂S
dZ
)
+
(
∂V
∂t
+ µS
∂V
∂S
+
1
2
σ2S2∂
2V
∂S2
)
dt
de donde obtenemos la ecuación
dΠ = ∆Sµdt+ ∆SσdZ −
(
σS
∂V
∂S
dZ
)
−
(
∂V
∂t
+ µS
∂V
∂S
+
1
2
σ2S2∂
2V
∂S2
)
dt
Separando la parte determińıstica de la estocástica resulta
dΠ =
(
∆σS − σS
∂V
∂S
)
dZ +
(
∆µS − ∂V
∂t
− µS
∂V
∂S
− 1
2
σ2S2∂
2V
∂S2
)
dt
y sustituyendo ∆ = ∂V
∂S
obtenido anteriormente, la ecuación queda única-
mente determińıstica
dΠ = −
(
∂V
∂t
+
1
2
σ2S2∂
2V
∂S2
)
dt
Además, por la hipótesis de no arbitraje, como P es un portafolio libre de
riesgo tenemos que su retorno es igual al de un bono de tasa r
dΠ
Π
= rdt =⇒ dΠ = Πrdt
igualando las dos ultima ecuaciones, llegamos a :
Πrdt−
(
∂V
∂t
+
1
2
σ2S2∂
2V
∂S2
)
dt
Simplificando dt y sustiruyendo Π = ∆S − V = ∂V
∂S
S − V , nos queda
∂V
∂S
Sr − Vr = −∂V
∂t
− 1
2
σ2S2∂
2V
∂S2
Finalmente despejando rV , llegamos a la ecuación de Black-Scholes-Fisher.
∂V
∂t
+
1
2
σ2S2∂
2V
∂S2
+ rS
∂V
∂S
= rV
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 37
Resolución de la ecuación de Black-Scholes -Merton
Obtenemos la solución de la ecuación de Black-Scholes -Merton, para el
caso de una opción Call europea sobre un activo de precio S con precio de
ejercicio K y tiempo de expiración T, Hacemos V=C tenemos:
∂C
∂t
+
1
2
σ2S2∂
2C
∂S2
+ rS
∂C
∂S
− rC = 0
con las condiciones de frotera C(0, t) = 0, C(S, T ) ≈ S si S −→ ∞ ya que
cuando el precio del activo es nulo, también debe serlo el de la opción (es
claro que no se va a ejercer). Y cuando el precio tiende a innito S −K se va
a aproximara S . También recordemos la condición final, es decir, el payoff
de la opción C(S, T ) = max{S −K, 0}
∂C
∂t
+ 1
2
σ2S2 ∂2C
∂S2 + rS ∂C
∂S
− rC = 0 S ∈ (0,∞), t ∈ [0, T 〉,
C(S, T ) = max{S −K, 0} S ∈ (0,∞)
C(0, t) = 0 t ∈ [0, T 〉
C(S, T ) ≈ S t ∈ [0, T 〉;S −→∞
es una ecuación diferencial parabólica con derivada primera respecto al
tiempo y segunda derivada respecto a la variable S. Es una ecuación diferen-
cial backwards: dada una condición final para la ecuación, esta se resuelve
de forma recursiva desde T final hasta to inicial. La unicidad de la solución
se asegura al imponer las condiciones de contorno. Estas son de dos tipos,
condiciones de frontera y condiciones iniciales o finales. Las condiciones de
frontera determinan la solución en los extremos de los valores de S, mientras
que la condición final determina el valor del activo en el instante final. En el
caso de que el activo pueda tomar cualquier valor entre [0,∞) no es necesario
imponer condiciones de contorno. Se consideran los cambios de variables: Nos
concentraremos en las dos primeras ecuaciones de , pues las últimas dos, que
describen el comportamiento de C en los bordes, también se van a satisfacer.
Entonces nuestro modelo queda como sigue:{
∂C
∂t
+ 1
2
σ2S2 ∂2C
∂S2 + rS ∂C
∂S
− rC = 0 S ∈ (0,∞), t ∈ [0, T 〉,
C(S, T ) = max{S −K, 0} S ∈ (0,∞)
(2.15)
Para resolver esta ecuación, hagamos primero los cambios de variables
x = ln
(
S
K
)
τ(t) =
σ2(T − t)
2
C(S, t) = Kv(x, τ)
38 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas
∂C
∂t
= −σ
2K
2
∂v
∂τ
∂C
∂S
=
K
S
∂v
∂x
∂2C
∂S2
= −K
S2
∂v
∂x
+
K
S2
∂2v
∂x2
Como τ(T ) = 0, tambien tenemos una condición iniciaal para v a partir de
la condición final deC
C(S, T ) = Kv(x, 0)entonces v(x, 0) = max{ex − 1, 0}
Sustituyendo estas relaciones en la ecuación de Black-Scholes se obtiene:
{
σ2
2
∂v
∂τ
= −σ2
2
∂v
∂x
+ σ2
2
∂2v
∂x2 + r ∂v
∂x
− rv x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2
2
〉
v(x,=) = max{ex − 1, 0} x ∈ R
Y si hacemos k = 2r
σ2 el modelo queda
{
∂v
∂τ
= σ2
2
∂2v
∂x2 + (k − 1) ∂v
∂x
− rv x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2
2
〉
v(x, 0) = max{ex − 1, 0} x ∈ R
Hacemos otro cambio de variables
v(x, τ) = eαx+βτu(x, τ)
. Eligiendo adecuadamente las funciones α y β, la ecuación se transforma
en la ecuación de advección difusión. Las derivadas parciales respecto a las
variables x y τ son:
∂v
∂x
= eαx+βτ
[
αu+
∂u
∂x
]
∂2v
∂x2
= eαx+βτ
[
α2u+ 2α
∂u
∂x
+
∂2u
∂x2
]
∂v
∂τ
= eαx+βz
[
βu+
∂u
∂τ
]
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 39
Sustituyendo en la ecuación anterior y dividiendo entre el término eαx+βτ y
ordenando se obtiene:
∂u
∂τ
= (2α+ k − 1)
∂u
∂x
+
∂2u
∂x2
+ [(k − 1)α− k − β]u
Ahora elijamos α y β para que se anule u, tenemos
(k − 1)α− k − β = 0 y − 1 = 2α+ (k − 1)
α =
−k
2
β = −k
2 + k
2
y aśı la ecuación queda{
∂u
∂τ
+ ∂u
∂x
= ∂2u
∂x2 x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2
2
〉
u(x, 0) = max{e 2−k
2
x − e
−k
2
x, 0} x ∈ R
(2.16)
40 2.3. Existencia y unicidad
2.3. Existencia y unicidad
En esta sección veremos la prueba de la existencia y unicidad de la so-
lución en de la ecuación asociada al problema escalar de advección difusión
transitorio.
∂u
∂t
−∇.(β∇u) + α.∇u = f
Donde
β =

β1,1 0··· 0
β2,2··· 0
...
. . .
...
0 0··· βn,n
 ; βi,i > 0; α = (α1 · · ·αn)
Pero en nuestro caso α y β son constantes y Ω ∈ Rn , entonces la ecuación
de advección difusión transitoria se puede escribir aśı
∂u
∂t
− β∆u+ α.∇u = f en Ω× (0, T ],
u(x, t) = 0 en
∑
= Γ× (0, T ],
u(x, t) = u0(x) en Ω,
(2.17)
2.3.1. Existencia y unicidad de la solución de la Ecua-
ción Parabólica
Problema
Conocidas las funciones f : Q→ R y uo : Ω → R encontraremos u : Q→
R tal que 
∂u
∂t
− β∆u+ α.∇u = f en Ω× (0, T ],
u(x, t) = 0 en
∑
= Γ× (0, T ],
u(x, t) = u0(x) en Ω,
(2.18)
La función u : Q→ R es solución debil del problema cuando:
i) u ∈ L2(0, T,H1
o (Ω))
ii) ∂
∂t
(u′(t), v)− (β∆u(t), v) + (α.∇u(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈ H1
o (Ω)
en el sentido de D′(0, T )
iii) u(0) = uo c.s. en Ω
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 41
Teorema 6 Existencia y Unicidad
Dados uo ∈ H1
o (Ω) y f ∈ L2(0, T, L2(Ω)) existe una única solución u : Q→ R
tal que
i) u ∈ L2(0, T,H1
o (Ω))
ii) ∂
∂t
(u′(t), v)−(β∆u(t), v)+(α.∇u(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈ H1
o (Ω) en D′(0, T )
iii) u(0) = uo c.s. en Ω
Existencia de la solución
Observación
Podemos observar que de (i) u ∈ Co([0, T ], L2(Ω)) tiene sentido u(0)
Problema aproximado
Multiplicando la ecuación por ϕ y luego integrando tenemos:∫
Ω
∂u
∂t
ϕ−
∫
Ω
β∆uϕ+
∫
Ω
α.∇uϕ =
∫
Ω
fϕ
Además usando el teorema de Grenn tenemos
−
∫
Ω
β∆uϕ =
∫
Ω
β∇u∇ϕ−
∫
Γ
β
∂u(s)
∂n
ϕ(s)ds︸ ︷︷ ︸
0
tenemos:
(u′, ϕ) + (β∇u,∇ϕ) + (α.∇u, ϕ) = (f, ϕ)
Sea {wk}una base ortonormal deVm ⊂ H1
0 ⊂ L2 ∪Vmdenso en H1
0 (Ω)yL2(Ω)
(∇wi,∇wj) = 0 si i 6= j (wi, wj) =
{
1 para i = j
0 para i 6= j
Tenemos
um(t) =
m∑
i=1
gi,m(t)wi
42 2.3. Existencia y unicidad
Se tiene el sistema aproximado.{
(u′m(t), wj) + (β∇um(t),∇wj) + (α.∇um(t), wj) = (f, wj)
um(0) = u0m → u0 en H1
0 (Ω)
Se tiene
(
m∑
i=1
g′i,m(t)wi, wj
)
+
(
m∑
i=1
gi,m(t)β∇wi,∇wj
)
+
(
m∑
i=1
gi,m(t)α.∇wi, wj
)
= (f, wj)
m∑
i=1
g′i,m(t) (wi, wj)+β
m∑
i=1
gi,m(t) (∇wi,∇wj)+
m∑
i=1
gi,m(t) (α.∇wi, wj) = (f, wj)
(∇wi,∇wj) =
{
ai,i para i = j
0 para i 6= j
(α.∇wi, wj) = bi,j
tenemos lo siguiente
g′i,m(t) + βgi,m(t)ai,m + (b1,j, · · · , bm,j) . (g1,m, · · · , gm,m) = (f, wj) = Fj
g′1,m
g′2,m
...
g′m,m
+β

a1,1 0··· 0
a2,2··· 0
...
. . .
...
0 0··· am,m


g1,m
g2,m
...
gm,m
+

b1,1 b1,2··· b1,m
b2,1 b2,2··· b2,m
...
. . .
...
bm,1 bm,2··· bm,m


g1,m
g2,m
...
gm,m
 =

F1
F2
...
Fm

Denotando
−−−→
gm(t)=

g1,m
g2,m
...
gm,m

−−−→
Fm(t)=

F1(t)
F2(t)
...
Fm(t)

Am=β

a1,1 0··· 0
a2,2··· 0
...
. . .
...
0 0··· am,m

Bm=

b1,1 b1,2··· b1,m
b2,1 b2,2··· b2,m
...
. . .
...
bm,1 bm,2··· bm,m

Tenemos que nuestra ecuación se escribe aśı:
−−−→
g′m(t) + (Am +Bm)
−−−→
gm(t) =
−−−→
Fm(t)
−−−→
g′m(t) + Cm
−−−→
gm(t) =
−−−→
Fm(t)
−−−→
gm(0) = −−→g0,m
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 43
por el teorema de carateodory existe solución
−−−→
gm(t) t ∈ [0, tm〉
Por lo tanto existe solución um(t) t ∈ [0, tm〉
Estimativas
Tambien tenemos
(u′m(t), wj) + (β∇um(t),∇wj) + (α.∇um(t), wj) = (f, wj)
De aqui se tiene que:
(u′m(t), u′m(t)) + (β∇um(t),∇u′m(t)) + (α.∇um(t), u′m(t)) = (f, u′m(t))
|u′m(t)|2 + 1
2
∂
∂t
|β∇um(t)|2 + (α.∇um(t), u′m(t)) = (f, u′m(t))
|u′m(t)|2 + 1
2
∂
∂t
|β∇um(t)|2 = (f, u′m(t))− (α.∇um(t), u′m(t))
|u′m(t)|2 + 1
2
∂
∂t
|β∇um(t)|2 ≤ |(f, u′m(t))|+ |(α.∇um(t), u′m(t))|
|u′m(t)|2 + 1
2
∂
∂t
|β∇um(t)|2 ≤ |f ||u′m(t)|+ |α.∇um(t)||u′m(t)|
|u′m(t)|2 + 1
2
∂
∂t
|β∇um(t)|2 ≤
√
2|f | |u
′
m(t)|√
2
+
√
2|α.∇um(t)| |u
′
m(t)|√
2
|u′m(t)|2+ 1
2
∂
∂t
|β∇um(t)|2 ≤ (
√
2|f |)
2
2
+
(
|u′m(t)|√
2
)2
2
+
(
√
2|α.∇um(t)|)
2
2
+
(
|u′m(t)|√
2
)2
2
|u′m(t)|2 + 1
2
∂
∂t
|β∇um(t)|2 ≤ |f |2 + |u′m(t)|2
4
+ |α.∇um(t)|2 + |u′m(t)|2
4
1
2
|u′m(t)|2 + 1
2
∂
∂t
|β∇um(t)|2 ≤ |f |2 + |α||∇um(t)|2
integramos de 0 a t ; 0 ≤ t ≤ tm ≤ T
∫ t
0
1
2
|u′m(t)|2 +
∫ t
0
1
2
∂
∂t
|β∇um(t)|2 ≤
∫ t
0
|f |2 + |α|
∫ t
0
|∇um(t)|2
44 2.3. Existencia y unicidad
∫ t
0
1
2
|u′m(t)|2 + 1
2
|β∇um(t)|2 − 1
2
|β∇um(0)|2 ≤
∫ t
0
|f |2 + |α|
∫ t
0
|∇um(t)|2
∫ t
0
1
2
|u′m(t)|2 + 1
2
|β∇um(t)|2 ≤ 1
2
|β∇um(0)|2 +
∫ t
0
|f |2︸ ︷︷ ︸
constante
+ |α|
∫ t
0
|∇um(t)|2
∫ t
0
1
2
|u′m(t)|2 + 1
2
|β∇um(t)|2 ≤ C + |α|
∫ t
0
|∇um(t)|2
Por el lema de Gromwall, tenemos :
∫ t
0
1
2
|u′m(t)|2 +
1
2
|β∇um(t)|2 ≤ C
usando la desigualdad de Poncare
|um(t)| ≤ co|∇um(t)| ≤ C
Aśı tenemos que
(um) es acotado en L2(0, T,H1
0 (Ω))
(u′m) es acotado en L2(0, T, L2(Ω))
Por lo tanto existen subsucesiones de (um) y (u′m) en L2(0, T,H1
0 (Ω)) y en L2(0, T, L2(Ω))
respectivamente, que denotaremosde la misma manera.
um → u debil en L2(0, T,H1
0 (Ω))
u′m → χ debil en L2(0, T, L2(Ω))
Debemos probar que:
χ = u′
tenemos que
um → u debil en L2(0, T,H1
0 (Ω)) = W es decir∫ t
0
∫
Ω
um(x, t)v(x, t)dxdt→
∫ t
0
∫
Ω
u(x, t)v(x, t)dxdt
tomamos v(x, t) = w(x)θ(t) donde θ ∈ D(0, T ) w ∈ L2(Ω)
Entonces se tiene que:∫ t
0
(um(t), w(x)) θ′(t)dt→
∫ t
0
(u(t), w(x)) θ′(t)dt
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 45
Tambien se tiene:∫ t
0
(u′m(t), w(x)) θ(t)dt→
∫ t
0
(χ,w(x)) θ(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . (∗)
Pero de lo anterior∫ t
0
∂
∂t
(um(t), w(x)) θ(t)dt = −
∫ t
0
(um(t), w(x)) θ′(t)dt→ −
∫ t
0
(u(t), w(x)) θ′(t)dt
∫ t
0
∂
∂t
(um(t), w(x)) θ(t)dt→
∫ t
0
∂
∂t
(u(t), w(x)) θ(t)dt
∫ t
0
∂
∂t
(um(t), w(x)) θ(t)dt︸ ︷︷ ︸→
∫ t
0
(u′(t), w(x)) θ(t)dt
∫ t
0
(u′m(t), w(x)) θ(t)dt→
∫ t
0
(u′(t), w(x)) θ(t)dt . . . . . . . . . . . . (∗∗)
Por unicidad del ĺımite de (*) y (**) se tiene∫ t
0
(u′m(t), w(x)) θ(t)dt =
∫ t
0
(χ,w(x)) θ(t)dt∀w ∈ L2(Ω),∀θ ∈ L2(Ω)
Se tiene que χ = u′
Además tenemos que∫ t
0
(β∇um(t),∇v(x)) dt→
∫ t
0
(β∇u(t),∇v(x)) dt∫ t
0
(α.∇um(t), v(x)) dt→
∫ t
0
(α.∇u(t), v(x)) dt∫ t
0
(um(t), v(x)) dt→
∫ t
0
(u(t), v(x)) dt
Además las soluciones aproximadas um satisfacen:
(u′m(t), w) + (α.∇um(t), w) + (β∇um(t),∇w) = (f, w) m > 1,∀w ∈ Vm
Luego
(u′m(t), w)+(α.∇um(t), w)+(β∇um(t),∇w) = (f, w) m > 1,∀w ∈ ∪∞m=1Vm
Integrando∫ t
0
(u′m(t), w) z(t)dt+
∫ t
0
(α.∇um(t), w) z(t)dt+
∫ t
0
(β∇um(t),∇w) z(t)dt =
∫ t
0
(f, w)z(t)dt
donde z ∈ L2(0, T ) w ∈ ∪∞m=1Vm z, w ∈ L2(0, T,H1
0 (Ω))
46 2.3. Existencia y unicidad
Pasando al ĺımite tenemos:∫ t
0
(u′(t), w) z(t)dt+
∫ t
0
(α.∇u(t), w) z(t)dt+
∫ t
0
(β∇u(t),∇w) z(t)dt =
∫ t
0
(f, w)z(t)dt∫ t
0
[(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w)− (f, w)z(t)] z(t)dt = 0 ∀ ∈ L2(0, T )
tenemos:
(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w)− (f, w) = 0 ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm
(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w) = (f, w) ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm
tenemos
(u′(t), w)+(α.∇u(t), w)−(β4u(t), w) = (f, w) ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm . . . . . . . . . . . . (α)
(u′(t) + α.∇u(t)− β∆u(t), w) = (f, w) ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm
u′(t) + α.∇u(t)− β∆u(t) = f(t)
Nos falta ver que u(0) = u0
Para esto tenemos que:
(u′m(t), w)ψ(t) + (α.∇um(t), w)ψ(t) + (β∇um(t),∇w)ψ(t) = (f, w)ψ(t)∫ t
0
(u′m(t), w)ψ(t)+
∫ t
0
(β∇um(t), w)ψ(t)+
∫ t
0
(β.∇um(t),∇w)ψ(t) =
∫ t
0
(f, w)ψ(t)
Integrando por partes
−
∫ t
0
(um(t), w)ψ′(t) + (um(t), w)ψ(t)|t0 +
∫ t
0
(β∇um(t),∇w)ψ(t) +
∫ t
0
(α.∇um(t), w)ψ(t) =
=
∫ t
0
(f, w)ψ(t)
−
∫ t
0
(um(t), w)ψ′(t)− (um(0), w)ψ(0) +
∫ t
0
(β∇um(t),∇w)ψ(t) +
∫ t
0
(α.∇um(t), w)ψ(t) =
=
∫ t
0
(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗ ∗ ∗)
Pero
ψ ∈ C ′([0, T ]);ψ(T ) = 0
2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 47
um(0) = u0m → u0 en H1
0 (Ω) ⊂ L2(Ω)
tambien u0m → u0 en H1
0 (Ω)
entonces u0m → u0 en L2(Ω)
tenemos que (u0m, w) → (u0, w) ∀w ∈ L2(Ω) pues
|(u0m, w)− (u0, w)| = |(u0m − u0, w)| ≤ |u0m − u0| |w| < ε
Pasando al ĺımite (***)
−
∫ t
0
(u(t), w)ψ′(t)− (u(0), w)ψ(0) +
∫ t
0
(β∇u(t),∇w)ψ(t) +
∫ t
0
(α.∇u(t), w)ψ(t) =
=
∫ t
0
(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗′)
Además de (α)
(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w) = (f, w)
integrando∫ t
0
(u′(t), w)ψ(t)+
∫ t
0
(α.∇u(t), w)ψ(t)+
∫ t
0
(β∇u(t),∇w)ψ(t) =
∫ t
0
(f, w)ψ(t)
integrando por partes
−
∫ t
0
(u(t), w)ψ′(t) + (u(t), w)ψ(t)|t0 +
∫ t
0
(α.∇u(t), w)ψ(t) +
∫ t
0
(β∇u(t),∇w)ψ(t) =
=
∫ t
0
(f, w)ψ(t)
−
∫ t
0
(u(t), w)ψ′(t)− (u(0), w)ψ(0) +
∫ t
0
(α.∇u(t), w)ψ(t) +
∫ t
0
(β∇u(t),∇w)ψ(t) =
=
∫ t
0
(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗∗′)
Comparando de (∗′) y (∗∗′) tenemos u(0) = u0
48 2.3. Existencia y unicidad
Unicidad de la solución

∂u
∂t
− β∆u+ α.∇u = f en Ω× (0, T ]
u(x, t) = 0 en
∑
= Γ× (0, T ]
u(x, t) = u0(x) en Ω
Sean v; z soluciones de la ecuación anterior, tenemos que w = v − z Será so-
lución de la sgte ecuación:
∂w
∂t
− β∆w + α.∇w = 0 en Ω× (0, T ]
w(x, t) = 0 en
∑
= Γ× (0, T ]
w(x, t) = 0 en Ω
Tenemos que
(w′, w(t))− (∆w,w(t)) + (∇w,w(t)) = 0
1
2
∂
∂t
|w(t)|2 + (β∇w,∇w(t)) + (α.∇w,w(t)) = 0
∂
∂t
|w(t)|2 + 2(β∇w,∇w(t)) = −2(α.∇w,w(t))
∂
∂t
|w(t)|2 + 2(β∇w,∇w(t)) ≤ 2|α.∇w||w(t)|
∂
∂t
|w(t)|2 + 2 |β| |∇w(t)|2 ≤
√
|β||∇w(t)| 2|α|√
|β|
|w(t)|
∂
∂t
|w(t)|2 + 2 |β| |∇w(t)|2 ≤ |β| |∇w(t)|2 + |α|2|∇w(t)|2
|β|∫ t
0
∂
∂t
|w(s)|2 + 2 |β|
∫ t
0
|∇w(s)|2 ≤
∫ t
0
|β| |∇w(s)|2 +
∫ t
0
|α|2|∇w(s)|2
|β|
|w(t)|2+|β|
∫ t
0
|∇w(t)|2 ≤ 0+
∫ t
0
|α|2|∇w(s)|2
|β| y por el lema de Gronwel tenemos
0 ≤ |w(t)|2 + |β|
∫ t
0
|∇w(t)|2 ≤ 0et
De aqui se tiene que w = 0
entonces v = z es decir la solución es única