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DIBUJOTÉNICO II 1 DIBUJOTÉNICO II ÍNDICE: TEMA VII: INTERSECCIÓN DE PLANOS Y DE RECTA Y PLANO ....3 7.1.: INTERSECCIÓN DE PLANOS....................... ..........................................3 7.2.: INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO................ ...................................5 TEMA VIII: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD......... .............7 8.1.: RECTAS PARALELAS............................. ...............................................7 8.2.: PLANOS PARALELOS............................. ...............................................7 8.3.: RECTA PARALELA A UN PLANO.................... .....................................8 8.4.: RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO............... ...............................8 8.5.: RECTAS PERPENDICULARES....................... .......................................9 8.6.: PLANOS PERPENDICULARES....................... .....................................10 TEMA IX: DISTANCIAS................................ ......................................10 9.1.: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS................... ...................................10 9.2.: DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO............. ..............................11 9.3.: DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA............ ............................11 9.4.: DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS......... .....................12 9.5.: DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS......... .....................12 9.6.: DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN..... ..................12 TEMA X: GIROS Y CAMBIOS DE PLANO DE PROYECCIÓN..... ....13 10.1.: GIROS..................................................................................................13 10.2.: CAMBIOS DE PLANO DE PROYECCIÓN.............. ............................15 TEMA XI: ABATIMIENTOS.............................. ...................................18 TEMA XII: ÁNGULOS.................................. .......................................23 TEMA XIII: VISTAS Y DESARROLLOS DE POLIEDROS....... ..........27 TEMA XIV: INTERSECCIÓN DE POLIEDROS CON RECTAS..... .....30 2 DIBUJOTÉNICO II TEMA VII: INTERSECCIÓN DE PLANOS Y DE RECTA Y PLANO . 7.1. INTERSECCIÓN DE PLANOS: En Sistema Diédrico la intersección de dos planos es una recta (i) cuyas trazas se encontrarán en la intersección de las respectivas trazas de los planos. Con todo, por las dificultades que presentan algunos casos, distinguiremos tres métodos diferentes para solucionar estos problemas. (Nombraremos a los planos implicados en cada método por su número de orden en el alfabeto del plano). 3 DIBUJOTÉNICO II MÉTODO DE INTERSECCIÓN DE TRAZAS DE PERFIL: MÉTODO DE PLANOS AUXILIARES: 4 DIBUJOTÉNICO II 7.2. INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO: En Sistema Diédrico la intersección de una recta y un plano es un punto (“I”) que, cuando el plano es oblicuo (el único no proyectante), habremos de encontrar según el método general que a continuación se explica. Para el resto de los planos también podemos hallarlo directamente en la intersección de la proyección y la traza correspondientes. 5 DIBUJOTÉNICO II CASO PARTICULAR: INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON LOS BISECTORES. 6 DIBUJOTÉNICO II TEMA VIII: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. Estudiaremos seis casos de paralelismo y perpendicularidad entre planos rectas. En los casos señalados con un asterisco habremos de tener especial cuidado pues las condiciones no son directas: 1. RECTAS PARALELAS. 2. PLANOS PARALELOS. 3. RECTA PARALELA A UN PLANO (*). 4. RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO. 5. RECTAS PERPENDICULARES (*). 6. PLANOS PERPENDICULARES (*). 8.1. RECTAS PARALELAS: 8.2. PLANOS PARALELOS: 7 DIBUJOTÉNICO II 8.3. RECTA PARALELA A UN PLANO (*): 8.4. RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO: 8 DIBUJOTÉNICO II 8.5. RECTAS PERPENDICULARES (*): 9 DIBUJOTÉNICO II 8.6. PLANOS PERPENDICULARES (*): TEMA IX: DISTANCIAS. 9.1: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: 10 DIBUJOTÉNICO II Todos los problemas de distancias que estudiaremos en este tema acaban en la determinación de la distancia entre dos puntos o “verdadera magnitud” de un segmento. Dados dos puntos A y B , definidos por sus proyecciones, esta distancia es D y la obtenemos de la forma anteriormente propuesta. Observa que es indiferente trabajar con la diferencia de cotas (d.c.) o de alejamientos (d.a.) y aunque los puntos estén en diferentes cuadrantes actuamos igual (independientemente del signo, + ó -, de estas coordenadas). 9.2: DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO: 9.3: DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: 11 DIBUJOTÉNICO II 9.6: DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN: Este es un problema que solucionaremos solamente en verdadera magnitud no en verdadera posición ya que esto implicaría alargar el trazado hasta obtener el segmento 1-2: 12 DIBUJOTÉNICO II TEMA X: GIROS Y CAMBIOS DE PLANO DE PROYECCIÓN. En geometría descriptiva los Giros y los Cambios de Plano de Proyección son (junto con los Abatimientos ) los tres métodos para la obtención de verdaderas magnitudes (no solo lineales como en el tema anterior). Ambos casos se usan para colocar los elementos (puntos, rectas, planos y cuerpos) en una posición más favorable con respecto a los planos de proyección en los giros moviendo el elemento en el espacio alrededor de un eje y en los cambios de plano, por el contrario, dejando el elemento fijo y variando los planos de proyección. 10.1: GIROS: Un giro queda definido cuando sabemos: 1. Lo que gira (punto, recta, etc), 2. alrededor de qué eje gira, 3. qué ángulo gira y 4. en qué sentido gira. En un ejercicio se nos pueden dar todos los elementos anteriores o escogerlos nosotros para resolver determinado problema. Los ejes usados en los giros son siempre perpendiculares a los panos de proyección, es decir, son rectas verticales o de punta. 13 DIBUJOTÉNICO II Un punto A puede girar en el espacio alrededor de un eje (e) 360o formando la circunferencia (ω) paralela al plano de proyección perpendicular al eje. En el ejemplo el punto A gira un ángulo α en sentido antihorario hasta tomar su nueva posición A1. Una recta también puede girar alrededor de un eje hasta, como en el ejercicio, situarse paralela a un plano de proyección y tener una proyección en verdadera magnitud. Es mejor usar un eje que corte a la recta ya que su punto en común (P) permanece fijo en el giro; después basta con girar otro punto (la traza horizontal de r en el ejemplo). En el siguiente ejemplo solucionamos la verdadera magnitud de un segmento AB mediante un giro con un eje (e) que pasa por su extremo A y el ángulo necesario para situar el segmento paralelo al vertical y tener así su proyección vertical en verdadera magnitud (D). 14 DIBUJOTÉNICO II GIRO DE UN PLANO: Mediante un giro un plano oblicuo (α) puede situarse como proyectante (horizontal o vertical según el eje sea vertical o de punta), lo que sirve para simplificar algunos problemas. El giro de un plano siempre se realiza en dos fases: 1. Giramos una traza alrededor del eje el ángulo pedido o hasta llegar a la posición deseada (en el ejemplo α2 gira hasta situarse perpendicular a la L.T.). 2. Para hallar la otra traza girada (α1) usamos el punto “P” (intersección de α y el eje) y que, sin variar de posición en el giro, ha de seguir perteneciendo al plano. Mediante dos giros sucesivos también podríamos convertir al plano oblicuo α en un plano paralelo a otro de proyección y que las nuevas proyecciones de las figuras situadas en él estén en verdadera magnitud. 15 DIBUJOTÉNICO II 10.2: CAMBIOS DE PLANO DE PROYECCIÓN: Si en los Giros movemos el elemento en el espacio alrededor de un eje hasta que toma una posición más favorable con respecto a los planos de proyección, en los Cambios de Plano de Proyección el elemento no varía y son los planos de proyección los que cambian su posición respecto a él. Los nuevos planos de proyección (vertical u horizontal) que tomemos serán siempre perpendiculares al que mantengamos y, si es necesario hacer más de uno, serán alternativos y sucesivos.Las nuevas líneas de tierra se señalan con dos o tres trazos en sus extremos (situados del lado donde quede la proyección horizontal) según sean del primer o segundo cambio de plano de proyección y también se indica en un extremo H o V sin subíndice (en los planos de proyección originales), sub uno en el primer cambio, sub dos en el segundo, etc... CAMBIO DE PLANO DE PROYECCIÓN DE UN PUNTO: CAMBIO DE PLANO DE PROYECCIÓN DE UNA RECTA: 16 DIBUJOTÉNICO II Con la posibilidad de situar a una de las rectas perpendicular a un plano de proyección y sabiendo que, en este caso, su distancia a otra recta se obtiene fácilmente (ver ilustración espacial), el problema desarrollado en el apartado 9.6. se resuelve mucho más sencillo obteniendo la solución en verdadera magnitud y posición (1-2): CAMBIO DE PLANO DE PROYECCIÓN DE UN PLANO: De esta manera alguno de los problemas que hemos trabajado anteriormente se solucionan más sencillamente mediante cambios de plano. 17 DIBUJOTÉNICO II TEMA XI: ABATIMIENTOS: De los tres métodos de obtención de verdaderas magnitudes utilizados en descriptiva del sistema diédrico el más utilizado es el de Abatimientos . Con ellos podemos determinar la medida real de los elementos situados en un plano a partir de sus proyecciones y, en lo que denominaremos Desabatimientos , hallar las proyecciones diédricas de elementos a partir de su verdadera magnitud. 11.1: ABATIMIENTOS DE UN PLANO OBLICUO: 18 DIBUJOTÉNICO II Para abatir figuras situadas en un plano (y así determinar su verdadera magnitud) podemos usar dos métodos: 1. Por RECTAS DEL PLANO que pasen por cada uno de los puntos y que al abatir junto con el plano nos dan los puntos abatidos y 2. Por AFINIDAD (ortogonal), que es la relación que existe entre las figuras en el espacio y sus proyecciones. 19 DIBUJO TÉCNICO II 11.2: ABATIMIENTOS DE UN PLANO PROYECTANTE HORIZONT AL: 11.3: ABATIMIENTOS DE UN PLANO PROYECTANTE VERTICAL : 20 DIBUJO TÉCNICO II 11.4: ABATIMIENTOS DE UN PLANO DE PERFIL: 11.5: ABATIMIENTOS DE LOS PLANOS HORIZONTAL Y VERTI CAL: 11.6: ABATIMIENTOS DEL PLANO PARALELO A LA LÍNEA DE TIERRA: 21 DIBUJO TÉCNICO II 11.7: ABATIMIENTOS DEL PLANO QUE PASA POR LA LÍNEA DE TIERRA: 22 DIBUJO TÉCNICO II TEMA XII: ÁNGULOS. Los ángulos son otro de los elementos cuya verdadera magnitud podemos determinar aplicando lo que hemos aprendido anteriormente en los abatimientos y así distinguiremos los siguientes casos. 12.1: ÁNGULO DE UNA RECTA CON LOS PLANOS DE PROYECC IÓN: El ángulo de una recta con un plano de proyección es el que forma con su proyección sobre dicho plano. Para determinarlo en verdadera magnitud se abate la recta alrededor de dicha proyección tomada como eje. 12.2: ÁNGULO DE UN PLANO CON LOS PLANOS DE PROYECCI ÓN: El ángulo que forma un plano con el plano horizontal de proyección es el que forma con él cualquier recta de máxima pendiente de dicho plano. Y el que forma con el vertical de proyección es el de sus rectas de máxima inclinación. 23 DIBUJO TÉCNICO II 12.3: ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CORTAN: En general el ángulo entre dos rectas que se cortan se obtiene, en verdadera magnitud, abatiendo el plano que ambas rectas determinan (Figura 1) aunque suele bastar con abatir el punto en común de las rectas alrededor de una de las trazas del plano (Figura 2). Si dos trazas homónimas de las rectas son inaccesibles se usa un plano auxiliar horizontal y abatimos el punto sobre él (Figura 3). 24 DIBUJO TÉCNICO II 12.4: ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN: 12.5: ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS: 25 DIBUJO TÉCNICO II 12.6: ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO: 26 DIBUJO TÉCNICO II TEMA XIII: VISTAS Y DESARROLLO DE POLIEDROS. Los principales sólidos geométricos regulares pueden ser representados mediante sus vistas o desarrollarlos. Desarrollar un sólido es situar todas sus caras en un mismo plano de forma que nos puede servir para construirlo tridimensionalmente. 13.1: VISTAS DE POLIEDROS: 27 DIBUJO TÉCNICO II DODECAEDRO: ICOSAEDRO: 13.2: DESARROLLO DE POLIEDROS: 28 DIBUJO TÉCNICO II 29 DIBUJO TÉCNICO II TEMA XIV: INTERSECCIÓN DE POLIEDROS CON RECTAS. 30