ejercicios de puntos rectas y planos I

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1 
 
EJERCICIOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS 
PUNTOS 
 
Ejercicio nº 1.- 
Representa los puntos siguientes: 
 
A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, −3, 1) 
 
 
Ejercicio nº 2.- 
Representa los puntos siguientes: 
 
A(4, −1, 2), B(2, 3, 1) y C(0, 4, 0) 
 
 
 
Ejercicio nº 3.- 
Representa los puntos siguientes: 
 
A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, −1, 3) 
 
 
 
Ejercicio nº 4.- 
Representa los puntos siguientes: 
 
A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, −2, 4) 
 
 
 
Ejercicio nº 5.- 
Representa los puntos siguientes: 
 
A(2, 3, −4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4) 
 
 
 
Ejercicio nº 6.- 
Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos 
A(3, −1, 2) y B(−2, 2, 4) en tres partes iguales. 
 
 
 
Ejercicio nº 7.- 
Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1, −3) respecto de Q(3, 5, 1). 
 
 
 
 
2 
 
 
Ejercicio nº 8.- 
Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados: 
 
A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3) 
 
 
 
Ejercicio nº 9.- 
Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, −1) y B(2, −2, 3). El 
centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, −1). 
 
Halla los otros dos vértices. 
 
 
 
Ejercicio nº 10.- 
Los puntos A(3, 0, 2), B(5, −1, 1) y C(−2, 3, 1) son vértices consecutivos de un 
paralelogramo. Obten el cuarto vértice y el centro del paralelogramo. 
 
 
 
RECTAS 
 
Ejercicio nº 11.- 
a) Investiga la posición relativa de las dos rectas siguientes en el espacio: 
 
La primera está dada por x − 5 = y − 7 = z, y la segunda, por los planos: 
 
 
 
b) Halla si es posible, el punto de intersección. 
 
 
 
Ejercicio nº 12.- 
Consideramos las dos rectas: 
 
 
 
 
 
Halla el valor de d para que las rectas se corten. Halla el punto de intersección para el 
valor de d obtenido. 
 
 
 
 
 
nto.procedimie el Explica 
072
01132
.



=−−
=+−
zy
yx



=−−−
=+++
01
03
zyx
zyx
r :
2
1
2
1
−
+
=+=
+ dzyxs :
3 
 
 
Ejercicio nº 13.- 
a) Estudia la posición relativa de las siguientes rectas: 
 
 
 
b) Comprueba si los puntos A(1, 0, −2) y B(2, −10,−6) pertenecen a alguna de las rectas 
anteriores. 
 
 
 
Ejercicio nº 14.- 
Estudia la posición relativa de las siguientes rectas según los valores de k: 
 
 
 
 
Ejercicio nº 15.- 
Estudia la posición relativa de las rectas r1 y r2: 
 
 
 
Razona la respuesta. 
 
 
 
PLANOS 
 
Ejercicio nº 16.- 
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de: 
 
 
 
y es paralelo al plano que contiene a los puntos: 
 
A(1, 0, −3), B(2, 1, 4) y C(0, 2, 3) 
 
 
 
Ejercicio nº 17.- 
Determina, en función de a, la posición relativa de los siguientes planos: 
 
 
610
1
2
2y
222
42
−
=
−
+
=
−



=+−
=−+ zyxs
zyx
zyx
r ::
32
3y
54
3
2
1 kzyxszyxr −
==
−
=
−
=
− ::





λ−=
λ+=
λ−=



=−+−
=+−+
3
31
3
012
012
21
z
y
x
r
zyx
zyx
r ::





=+
=−
=+−
1
532
02
yx
zx
zyx
( )
( ) ( )





=++−
=+−+−+−
−=−+−
azayx
azayaax
zyxa
212
12
4 
 
 
 
Ejercicio nº 18.- 
Dados los planos: 
 
π: 4x + my + mz = 6 y σ: mx + y + z + 3 = 0 
 
estudia su posición relativa según los valores de m. 
 
 
 
Ejercicio nº 19.- 
a) Halla los valores de m y n para que los siguientes planos sean paralelos: 
 
π1: 2x − y + z − 5 = 0 y π2: mx + ny + 2z + 3 = 0 
 
b) Obtén la ecuación de un plano paralelo a π1 que pase por el punto A(3, −2, 1). 
 
 
 
Ejercicio nº 20.- 
Halla la posición relativa de los siguientes planos según el valor del parámetro a: 
 
 
 
π2: 4x + ay − 2z = 5 
 
 
 
 
RECTAS Y PLANOS 
 
Ejercicio nº 21.- 
Explica cuál ha de ser el valor de m que hace que el tercer plano de la siguiente familia 
contenga a la recta definida por los dos primeros. 
 
Los planos son: 
 
 
 
 
Ejercicio nº 22.- 
Halla la ecuación del plano que contiene a la recta: 
 
 
y al punto P(2, −3, 1). Explica el procedimiento. 





µ+=
µ−λ=
µ+λ−=
π
21
23
1
z
y
x
:





=++
=++
=++
11410
332
2
zymx
zyx
zyx



=+−+
=−+−
043
022
zyx
zyx
r :
5 
 
 
 
Ejercicio nº 23.- 
Nos dan las rectas r, determinada por los puntos A(2, −1, 1), B(0, 1, −1), y s 
determinada por C(2, 0, −1) y D(2, 1, −1). 
 
a) Escribe la ecuación general (o implícita) del plano paralelo a r y s que pasa por el 
origen de coordenadas. 
 
b) Escribe la ecuación general del plano que pasa por B y es perpendicular a r. 
 
 
 
Ejercicio nº 24.- 
Se consideran las rectas: 
 
 
 
y el plano π, que pasa por los puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 2) y C(1, 0, 1). 
 
a) Da la ecuación general o implícita de π. 
 
b) Una de las dos rectas corta a π. Determínala. 
 
c) Comprueba que la otra recta es paralela a π. 
 
 
 
Ejercicio nº 25.- 
Halla la ecuación del plano π que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s, siendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



=−−
=−−



=−+
=−
02
02
012
01
zy
zx
s
zy
x
r :,:
11
20
1
10
83
42 zyxs
zx
zy
r =
−
−
=
−



−=
−=
::
6 
 
SOLUCIONES 
PUNTOS 
 
Ejercicio nº 1.- 
Representa los puntos siguientes: 
 
A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, −3, 1) 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
Ejercicio nº 2.- 
Representa los puntos siguientes: 
 
A(4, −1, 2), B(2, 3, 1) y C(0, 4, 0) 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 3.- 
Representa los puntos siguientes: 
 
A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, −1, 3) 
 
 
 
 
7 
 
Solución: 
 
 
 
 
Ejercicio nº 4.- 
Representa los puntos siguientes: 
 
A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, −2, 4) 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 5.- 
Representa los puntos siguientes: 
 
A(2, 3, −4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4) 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
8 
 
 
Ejercicio nº 6.- 
Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos 
A(3, −1, 2) y B(−2, 2, 4) en tres partes iguales. 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 7.- 
Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1, −3) respecto de Q(3, 5, 1). 
 
 
Solución: 
 
 
 
Llamamos P '(α, β, γ), de manera que: 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 8.- 
Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados: 
 
A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3) 
 
 





=




 ++−−
= 2,
3
1,
3
1
3
42,
3
21,
3
23P
( ) ( ) ( )





=




 ++−−
= 4,
3
2,
3
2
3
422,
3
212,
3
232Q
( )5,9,4'
51
2
3
95
2
1
43
2
2
P










=γ→=
γ+−
=β→=
β+
=α→=
α+
9 
 
Solución: 
 
 
 misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales: 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 9.- 
Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, −1) y B(2, −2, 3). El 
centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, −1). 
 
Halla los otros dos vértices. 
 
 
Solución: 
 
 
 
Llamemos C = (x1, y1, z1) y D = (x2, y2, z2). 
 
C es el simétrico de A respecto de M, por tanto: 
 
 
 
Por otro lado, D es el simétrico de B respecto de M. Así: 
 
 
 
 
 
Los puntos , y están alineados siempre que los vectores y tengan laA B C AB BC
 
23
02
57
5
68
26
−
−
=
−
−
=
−
− a
1452
2
5
=→=−→=
− aaa
( )1,4,1
11
2
1
42
2
0
11
2
3
1
1
1
1
1
1
−−=











−=→−=
+−
=→=
+
−=→=
+
C
zz
yy
xx
( )5,6,0
51
2
3
62
2
2
01
2
2
2
2
2
2
2
2
−=











−=→−=
+
=→=
+−
=→=
+
D
zz
yy
xx
10 
 
 
Ejercicio nº 10.- 
Los puntos A(3, 0, 2), B(5, −1, 1) y C(−2, 3, 1) son vértices consecutivos de un 
paralelogramo. Obten el cuarto vértice y el centro del paralelogramo. 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
(2, −1, −1) = (−2 − x, 3 − y, 1 − z) 
 
de donde: x = −4, y = 4, z = 2 → D(−4, 4, 2) 
 
El centro del paralelogramo es el punto medio de una de las dos diagonales, así: 
 
 
 
 
 
RECTAS 
 
Ejercicio nº 11.- 
a) Investiga la posición relativa de las dos rectas siguientes en el espacio: 
 
La primera está dada por x − 5 = y − 7 = z, yla segunda, por los planos: 
 
 
 
b) Halla si es posible, el punto de intersección. 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
( ):,, Si . que tiene se amo,paralelogr un de trata se Como zyxDDCAB ==





=
2
3,
2
3,
2
1M
nto.procedimie el Explica 
072
01132
.



=−−
=+−
zy
yx
( )
( )


=
•
1,1,1d :dirección Vector
0,7,5 :Punto
: recta, Primeraa)
r

R
r
( )
( ) ( ) ( )


=−×−=
−−→−=−==
•
2,4,62,1,00,3,2d :dirección Vector
3,1,43,4,1 :Punto
: recta, Segunda
s

Szxy
s
cruzan. se o cortan se y tanto, Por paralelos. son no d y d dirección vectores Los sr sr

11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
se cortan. 
 
 
 
Sustituimos en uno de los planos que definen a la segunda recta: 
 
2(5 + λ) − 3(7 + λ) + 11 = 0 → λ = 0 
 
Sustituimos este valor de λ y obtenemos P(5, 7, 0). 
 
 
Ejercicio nº 12.- 
Consideramos las dos rectas: 
 
 
 
 
 
Halla el valor de d para que las rectas se corten. Halla el punto de intersección para el 
valor de d obtenido. 
 
 
Solución: 
 
• Veamos cuáles son las ecuaciones paramétricas de r : 
 
Un punto de r: y = 0 → x = 1, z = −2 → R(−1, 0, −2) 
 
Vector dirección: (1, 1, 1) × (1, −1, −1) = (0, 2, −2) // (0, 1, −1) 
 
 
 
• Ecuaciones paramétricas de s: 
mismo el en no o está , vector el si vemos otro, lo o uno lo ocurre si averiguar Para RS
las por formada matriz la de tedeterminan el osestudiarem ello Para .d y d que plano sr

. y d ,d de scoordenada sr RS

( )3,6,9 −−−=RS
0
123
123
111
6
369
246
111
=−=
−−−
srsrRS y rectas las que implica que lo , y que plano mismo el en está tanto, Por





λ=
λ+=
λ+=
z
7y
5x
:asparamétric en recta primera la Expresamosb)



=−−−
=+++
01
03
zyx
zyx
r :
2
1
2
1
−
+
=+=
+ dzyxs :





λ−−=
λ=
−=
2
1
 : de asparamétric Ecuaciones
z
y
x
r
12 
 
 
Un punto: (−1, −1, −d) 
 
Vector dirección: (2, 1, −2) 
 
 
 
Para que r y s se corten, el siguiente sistema ha de tener solución: 
 
 
 
Si d = 1, las rectas se cortan en el punto (−1, −1, −1), (se obtiene al sustituir λ en las 
ecuaciones de r, o bien µ y d en las ecuaciones de s). 
 
 
Ejercicio nº 13.- 
a) Estudia la posición relativa de las siguientes rectas: 
 
 
 
b) Comprueba si los puntos A(1, 0, −2) y B(2, −10,−6) pertenecen a alguna de las rectas 
anteriores. 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
nos informa sobre la posicioón relativa de r y s. 
 
 
 
 
 
b) Ni A ni B pertenecen a las rectas r y s. 
 





µ−−=
µ+−=
µ+−=
2
1
21
 : de asparamétric Ecuaciones
dz
y
x
s
11
1
0
22
1
211
=→−=−
−=λ
=µ





µ−−=λ−−
µ+−=λ
µ+−=−
ddd
610
1
2
2y
222
42
−
=
−
+
=
−



=+−
=−+ zyxs
zyx
zyx
r ::
( ) ( ) ( )
( )
1Vector dirección: d 2, 1, 1 1, 2, 2 0, 5, 5
a) :
Un punto: si 0 0, 2 2, 0, 0
r
z y x P
 = − × − = − −

= → = = →

( )
( )



−
−−=
0,1,2 :punto Un
6,10,2d :dirección Vector: 2
Q
s

( )0,1,0 −=PQ
PQyd,d vectores los de scoordenada las por formada matriz la de rango El 21

010
62
50
1
010
6102
550
≠=
−
−
⋅=
−
−−
−−
( ) cruzan. se rectas las tanto, Por tres. es ,d,d de rango El 21 PQ

13 
 
 
 
Ejercicio nº 14.- 
Estudia la posición relativa de las siguientes rectas según los valores de k: 
 
 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 15.- 
Estudia la posición relativa de las rectas r1 y r2: 
 
 
 
Razona la respuesta. 
 
 
Solución: 
 
 
 
32
3y
54
3
2
1 kzyxszyxr −
==
−
=
−
=
− ::
( ) ( )
( ) ( )
( )kRS
kSs
Rr
s
r
,3,2
,0,33,1,2d:
0,3,15,4,2d:
−=




=→=
=→=


: y d,d de scoordenada las por formada matriz la de rango el osEstudiarem RSsr

3
1026;26
32
312
542
=→=+−+−=
−
kkk
k
se rectas las tanto por es,dependient elinealment son y d ,d vectores los 
3
1 Si RSk sr

=
cruzan. se rectas las ,
3
1 Si cortan. ≠k





λ−=
λ+=
λ−=



=−+−
=+−+
3
31
3
012
012
21
z
y
x
r
zyx
zyx
r ::
( ) ( ) ( )
( )



−→−==→=
−−−=−×−=
0,1,01,00 si :punto Un
3,5,11,1,22,1,1d :dirección de Vector:
1
1
1 Ryxz
r

14 
 
 
 
 
 
 
sobre la posición relativa de r1 y r2: 
 
 
 
 
 
 
 
PLANOS 
 
Ejercicio nº 16.- 
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de: 
 
 
 
y es paralelo al plano que contiene a los puntos: 
 
A(1, 0, −3), B(2, 1, 4) y C(0, 2, 3) 
 
 
Solución: 
 
El sistema: 
 
 
 
Obtenemos el plano que contiene a A, B y C: 
 
 
 
 
 
−8(x − 1) − 13(y − 0) + 3 (z + 1) = 0 → −8x − 13y + 3z + 11 = 0 
 
 
 
( )
( )


 −−=
0,1,0 :punto Un
3,3,3d :dirección Vector:
2
2
2 R
r

( )0,2,021 =RR
informa nos y d,d vectores los de scoordenada las por formada matriz la de rango El 2121 RR

( ) 01262
33
31
·2
020
333
351
≠=−⋅−=
−−
−−
−=−−
−−−
cruzan. se rectas las tanto, Por 3. es ),d,d( de rango El 2121 RR






=+
=−
=+−
1
532
02
yx
zx
zyx
( )1,0,1
:punto el solución como tiene
1
532
02
−




=+
=−
=+−
P
yx
zx
zyx
( )
( )
( )3,13,8n
6,2,1
7,1,1 −−=×=




−=
= ACAB
AC
AB 
( ) ( ) así: ,1,0,1 por pasa y 3,13,8n normal vector como tiene buscado plano El −−−= P

15 
 
 
Ejercicio nº 17.- 
Determina, en función de a, la posición relativa de los siguientes planos: 
 
 
 
 
Solución: 
 
Estudiamos la posición relativa a partir de los determinantes: 
 
 
 
• a = 1 
 
 
 
• a = −1 
 
 
 
Los tres planos se cortan en una recta. 
 
• a ≠ 1 y a ≠ −1, los tres planos se cortan en un punto. 
 
 
 
Ejercicio nº 18.- 
Dados los planos: 
 
π: 4x + my + mz = 6 y σ: mx + y + z + 3 = 0 
 
estudia su posición relativa según los valores de m. 
 
 
Solución: 
 
Las ecuaciones de los planos son: 
 
 
 
• Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales si m = 2. 
 
( )
( ) ( )





=++−
=+−+−+−
−=−+−
azayx
azayaax
zyxa
212
12
( ) ( )1·11
11
212
112
223 +−=+−−=
−
+−−−
−−
aaaaa
a
aaa
a
corta. los )(1 otro ely 
)3 y (2 escoincident planos dos Tenemos
1
1
1
o
oo





=++−
=++−
=−+−
zyx
zyx
zyx










−−
−−−
→










−−
−−
−−−
→










−−−
−−
−−−
+
⋅+
0000
1002
1113
2004
4008
1113
1111
1331
1113
)1()3(
)1(3)2(
aa
aa



−=++
=++
3
64
zymx
mzmyx
16 
 
En tal caso, las ecuaciones son: 
 
 
 
Los planos son paralelos, pues sus términos independientes no siguen la misma relación de 
proporcionalidad que los coeficientes de las incógnitas. 
 
• Si m ≠ 2, los planos se cortan en una recta, pues el sistema es compatible indeterminado de 
rango 2. 
 
 
 
Ejercicio nº 19.- 
a) Halla los valores de m y n para que los siguientes planos sean paralelos: 
 
π1: 2x − y + z − 5 = 0 y π2: mx + ny + 2z + 3 = 0 
 
b) Obtén la ecuación de un plano paralelo a π1 que pase por el punto A(3, −2, 1). 
 
 
Solución: 
 
a) Si π1 y π2 han de ser paralelos, se tiene que: 
 
 
 
b) El plano buscado ha de ser de la forma: 2x − y + z + D = 0 
 
Si contiene al punto A, debe verificarse: 
 
2 · 3 − 1(−2) + 1 + D = 0 → D = −9 
 
El plano será: 2x − y + z −9 = 0 
 
 
 
Ejercicio nº 20.- 
Halla la posición relativa de los siguientes planos según el valor del parámetro a: 
 
 
 
π2: 4x + ay − 2z = 5 
 
 
 
 
 



−=++
=++
32
6224
zyx
zyx
2,4
1
2
12
−==→=
−
= nmnm





µ+=
µ−λ=
µ+λ−=
π
21
23
1
z
y
x
:
17 
 
Solución: 
 
π1, expresado de forma implícita, es: 
 
2x + 2y − z = 5 
 
Así, tenemos el sistema: 
 
 
 
• Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales si a = 4. 
 
En tal caso, los planos son paralelos, pues sus términos independientes no siguen la misma 
relación de proporcionalidad que los coeficientes de las incógnitas. 
 
• Si a ≠ 4, los planos se cortan en una recta, pues el sistema es compatible indeterminado de 
rango 2. 
 
 
 
RECTAS Y PLANOS 
 
Ejercicio nº 21.- 
Explicacuál ha de ser el valor de m que hace que el tercer plano de la siguiente familia 
contenga a la recta definida por los dos primeros. 
 
Los planos son: 
 
 
 
 
Solución: 
 
Se trata de hallar el valor de m para que el sistema sea compatible indeterminado. 
 
Matricialmente: 
 
 
 
 
recta. Para que el 3er
 
 plano contenga a dicha recta, ha de ser ran(A) = ran(A') = 2. 



=−+
=−+
524
522
zayx
zyx





=++
=++
=++
11410
332
2
zymx
zyx
zyx
  

'
11410
3
2
13
11
2
1
A
A
m 









una de largo lo a cortan se planos primeros dos los nteefectivame ,02
13
11
 Como ≠−=
18 
 
Para estudiar el rango de A' hallamos el determinante siguiente: 
 
 
 
Con todo esto podemos afirmar que ran(A) = ran(A'). Para que este rango sea 2, bastará con 
que |A | = 0: 
 
 
 
Conclusión: Para m = 7, el sistema es compatible determinado. 
 
 
 
Ejercicio nº 22.- 
Halla la ecuación del plano que contiene a la recta: 
 
 
 
y al punto P(2, −3, 1). Explica el procedimiento. 
 
 
Solución: 
 
 
 
1º. Hallamos un punto, R ∈ r. Por ejemplo, haciendo x = 0 obtenemos: 
 
R(0, −1, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
11410
313
211
=
7014281032012
410
132
111
=→=+−=−−−++== mmmm
m
A



=+−+
=−+−
043
022
zyx
zyx
r :
2 . Hallamos d , vector dirección de :r r

º
( ) ( ) ( )7,3,21,3,11,1,2d −=−×−=r

3 . El vector será normal al plano buscado :rRP d×
 
º
( )0,2,2 −RP
( ) ( ) ( )2,14,147,3,20,2,2d −−=−×−=× rRP

( ).177n tomar Podemos −,,

19 
 
4º. El plano pasa por P(2, −3, 1) y es perpendicular a (7, 7, −1). Su ecuación será: 
 
7(x − 2) + 7(y + 3) − 1(z − 1) = 0 → 7x − 14 + 7y + 21 − z + 1 = 0 
 
→ 7x + 7y − z + 8 = 0 
 
 
 
Ejercicio nº 23.- 
Nos dan las rectas r, determinada por los puntos A(2, −1, 1), B(0, 1, −1), y s 
determinada por C(2, 0, −1) y D(2, 1, −1). 
 
a) Escribe la ecuación general (o implícita) del plano paralelo a r y s que pasa por el 
origen de coordenadas. 
 
b) Escribe la ecuación general del plano que pasa por B y es perpendicular a r. 
 
 
Solución: 
 
 
 
Ecuación del plano: 
 
−1x + 0y + 1z = 0 → −x + z = 0 
 
 
 
Ecuación del plano buscado: 
 
1(x − 0) − 1(y − 1) + 1(z + 1) = 0 → x − y + z + 2 = 0 
 
 
 
Ejercicio nº 24.- 
Se consideran las rectas: 
 
 
 
y el plano π, que pasa por los puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 2) y C(1, 0, 1). 
 
a) Da la ecuación general o implícita de π. 
 
b) Una de las dos rectas corta a π. Determínala. 
 
c) Comprueba que la otra recta es paralela a π. 
 
 
Solución: 
 
a) Obtención del vector normal al plano π: 
( ) buscado. plano al larperpendicu vector un es n1,0,1dda)


=−=× sr
( ).1,1,1d normal vector por tiene a larperpendicu plano Unb) −=rr




=−−
=−−



=−+
=−
02
02
012
01
zy
zx
s
zy
x
r :,:
20 
 
 
 
 
Ecuación del plano: 
 
−1(x − 1) + 1(y − 0) + 0(z − 2) = 0 → π: x − y + 1 = 0 
 
b) Hallamos los vectores de dirección de las rectas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por tanto, r corta a π. 
 
 
 
 
 
Por tanto, s es paralela a π o, acaso, está contenida en π. 
 
Hallamos un punto de s: z = 0 → x = 2, y = 2 → S(2, 2, 0) 
 
S no pertenece a π, por tanto, s es paralela a π. 
 
 
 
Ejercicio nº 25.- 
Halla la ecuación del plano π que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s, siendo: 
 
 
 
 
Solución: 
 
El vector de dirección de r se obtiene a partir de los vectores normales a los planos que definen 
la recta r. 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )0,1,1n
1,0,02,0,11,0,1
0,1,12,0,12,1,2 −=×=




−=−=
=−= ACAB
AC
AB 
( ) ( ) ( )2,1,01,2,00,0,1d −=×=r

( ) ( ) ( )1,1,11,1,01,0,1d =−×−=s

:n a paralelo no o es d si Veamos? a corta ¿


rr π
( ) ( ) 010,1,12,1,0nd ≠−=−−= ··


r
:n a paralelo no o es d si Veamos? a corta ¿c)


ss π
( ) ( ) 00,1,11,1,1d =−= ·· ns


11
20
1
10
83
42 zyxs
zx
zy
r =
−
−
=
−



−=
−=
::
( ) ( )3,0,1n,2,1,0n 21 −=−=

( ) ( ) ( )1,2,33,0,12,1,0d =−×−=r

:tanto Por .d y d a larperpendicu es buscado plano al ,n normal, vector El sr


π
21 
 
 
 
Puesto que π contiene a r, localicemos un punto de π a partir de r: 
 
En r, si z = 0, se obtiene y = −4, x = −8. 
 
Por tanto, (−8, −4, 0) ∈ π. 
 
Ecuación de π: 
 
3(x + 8) − 2(y + 4) − 5 (z − 0) = 0 → 3x − 2y − 5z + 16 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )5,2,31,1,11,2,3n −−=−×=
