Fisica I_Gravitacion_Teoria

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Interacción gravitatoria
H. O. Di Rocco
I.F.A.S., Facultad de Cs. Exactas, U.N.C.P.B.A.
June 15, 2010
Abstract
Tratamos en esta clase de otro de los modelos fundamentales de la
Física toda: el movimiento en campos centrales. En particular, estudi-
aremos el movimiento de los planetas alrededor del sol, sometidos a la
interacción gravitatoria.
1 Interacciones fundamentales; el campo gravi-
tatorio
Como hemos visto en la 1a clase de nuestro curso, desde el punto de vista
más profundo, todas las interacciones1 pueden reducirse tradicionalmente a las
siguientes:
1) gravitatoria
2) electromagnética
3) nuclear débil
4) nuclear fuerte
;
en los últimos años se han uni�cado teóricamente las interacciones 2 y 3),
por lo que podemos pensar, hoy día, en el siguiente cuadro:
gravitatoria
electro-débil
nuclear fuerte
:
La interacción más común que sentimos en la vida diaria, y la que primero
se puso sobre bases teóricas �rmes, fue la gravitatoria. Cronológicamente, a
principios del 1500, Copérnico lanza la hipótesis heliocéntrica, a �nes del mismo
siglo, Brahe comienza y recopila mediciones del movimiento de los planetas;
en base a las mismas, en el período 1600-1620, Kepler enuncia sus tres leyes
del movimiento planetario. Basado en estos antecedentes, más las mediciones
1La fuerza es una medida de la interacción; de cualquier manera, también suele hablarse
de las cuatro fuerzas fundamentales...
1
realizadas por Galileo con el telescopio, en el año 1666 Newton enuncia la ley
de gravitación universal.
CINEMÁTICA: las tres Leyes de Kepler
PRIMERA LEY: los planetas realizan órbitas elípticas alrededor del Sol, que
ocupa uno de los focos,
SEGUNDA LEY: los planetas barren áreas iguales en lapsos iguales (veloci-
dad areal constante),
TERCERA LEY: el cuadrado del período de revolución
�
T 2
�
es proporcional
al cubo del semieje mayor de la elipse: T 2 = kr3:
DINÁMICA: la Ley de Gravitación Universal
Newton postula que la fuerza entre dos masas "puntuales" cualesquiera tiene
la forma
F12 = �
m1m2
r2
u12; (1)
siendo F12 la fuerza que actúa sobre el cuerpo 2 debida a la interacción con
el cuerpo 1, mientras que u12 un versor que apunta del cuerpo 1 al cuerpo 2. El
signo "� " indica que la fuerza es atractiva.
2 Primeras ideas sobre el razonamiento que pudo
haber realizado Newton
Imaginemos que, en primera aproximación, que la órbita (elíptica) ha degen-
erado en una circular. Debido a la 2a ley de Kepler, ello implica que siendo
var = cte; el movimiento será circular uniforme ya que, como hemos visto
dA
dt
=
1
2
r2
d�
dt
:
En el M.C.U.
F = jFj = macp = m!2r = m
�
2�
T
�2
r =
4�2r
T 2
y como T 2 = kr3; para el planeta de masa m
F =
4�2
k
m
r2
: (2)
O sea, con las aproximaciones del caso, resulta que, al menos para órbitas
circulares, de las leyes de Kepler se deduce que debe valer la ec. 2.
2
3 Hipótesis universal
Consideremos el sistema Sol-Tierra; con la convención usada en la ec. 1, la
fuerza sobre nuestro planeta será, en módulo
FST =
4�2
kT
mT
r2
y, análogamente,
FTS =
4�2
kS
mS
r2
:
Con la suposición de que también para las fuerzas "celestes" valen las mismas
leyes que para las fuerzas "terrenales", por el principio de acción y reacción,
FST = FTS ; por lo cual
4�2
kT
mT
r2
=
4�2
kS
mS
r2
=) mT
kT
=
mS
kS
=) mT kS = mSkT
y de�niendo la constante 
, que suponemos universal

 =
4�2
mT kS
=
4�2
mSkT
resulta que los módulos valen
FST =
4�2
kT
mT
r2
=
4�2
mSkT
mSmT
r2
= 
mSmT
r2
y
FTS =
4�2
kS
mS
r2
=
4�2
mT kS
mSmT
r2
= 
mSmT
r2
:
3.1 Masa sobre la super�cie de la Tierra y el sistema
Tierra-Luna
Dejando de lado, por un momento, la distinción entre masa inercial y masa
gravitatoria, y postulando que para un cuerpo extenso como la Tierra, puede
suponerse que actúa como si toda la masa mT estuviese concentrada en el cen-
tro2 , una masa m en su super�cie sufrirá una fuerza
F = 
mTm
r2T
= mg =) g = 
mT
r2T
;
con lo cual tenemos dos números experimentales (g; rT ) cuyo producto gr2T
vale 
mT (
3): Necesitamos algún experimento que nos dé el valor de 
 (o, even-
tualmente, de mT ). Inclusive, para el sistema Tierra-Luna, la fuerza centrípeta
de naturaleza gravitatoria es
FTL = 
mTmL
r2T�L
= mL!
2
LrT�L; 
mT = !
2
Lr
3
T�L;
2Esto puede demostrarse con el Teorema de Gauss, que veremos un poco más adelante.
3El radio terrestre es conocido desde la época de Eratóstenes, al menos.
3
por lo que, del período de rotación de la luna y de la distancia Tierra-Luna,
tenemos otra manera de calcular el producto 
mT : La relación resultante es
gr2T = !
2
Lr
3
T�L
y hoy día todo está en perfecto acuerdo, pero ello no ocurría así en la época de
Newton, donde rT�L no estaba bien determinado.
3.2 Experimento de Cavendish: medición de 
La primera determinación directa de 
 y, por lo tanto, de mT fue debida a
Cavendish en 1798, quién usó una balanza de torsión. Dos esferas pequeñas
(m � 0:05kg) unidas por un asta muy liviana, suspendida en el centro por un
hilo vertical, se colocan cerca de dos esferas mucho mayores (m � 500kg). Las
fuerzas de atracción gravitacionales hacen oscilar la balanza y del período puede
calcularse 
: El valor aceptado actualmente es

 ' 6:67� 10�11m3kg�1s�2
con lo cual
mT ' 5:98� 1024kg:
4 Masas inercial y gravitacional
Hasta ahora hemos usado la palabra masa y el símbolo m con dos signi�ca-
dos distintos. Reproduzcamos aquí lo expresado en la Unidad denominada
Dinámica:
<< Si bien el primitivo concepto de masa estaba vinculado a la cantidad de
materia, la revisión profunda de los conceptos de la Mecánica, comenzados por
Ernst Mach a �nales del siglo XIX, hace que la masa esté vinculada a la noción
de inercia, o sea, la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento
(si está en reposo tiende a permanecer en reposo; si está en movimiento, tiende
a seguir en movimiento). La cantidad de materia es el número de átomos que
contiene un cuerpo dado, mientras que la masa es un concepto más sutil vincu-
lado, como veremos más adelante, al concepto de energía: cualquier sistema que
tiene energía tiene masa. Por lo tanto, un campo electromagnético (digamos, la
luz, las ondas de radio, etc.), al tener energía, tiene masa (aunque un campo
electromagnético no contiene átomos).
En principio, podemos hablar de tres tipos de masa: masa inercial (la ten-
dencia a mantener el estado de movimiento), la masa gravitacional pasiva (que
determina la respuesta a un campo gravitatorio) y la masa gravitacional activa
(que determina cuán efectivo es el objeto en producir un campo gravitatorio).
Los experimentos demuestran que, pese a su diverso signi�cado, los tres atrib-
utos son iguales en magnitud. Mientras que en la teoría de la gravitación de
Newton, la magnitud de la atracción universal es determinada por el producto
de la masa gravitacional activa de un objeto por la masa gravitacional pasiva de
4
otro, en la moderna teoría de la gravitación el papel de la masa gravitacional ac-
tiva es jugado por la energía total (en una dada región del espacio), incluyendo
la así denominada energía en reposo de las partículas. >>
Volviendo al caso de un cuerpo ubicado sobre la super�cie de la Tierra,
deberíamos escribir
mT;GmG
r2T
= mIg ,
con lo cual
g = 
mT;G
r2T
�
mG
mI
�
:
Experimentalmente, se encuentra que g es independiente del cuerpo utilizado
(hierro, madera, etc), con lo cual
mG _ mI :
En el caso de un péndulo simple, hemos encontrado que para ángulos pe-
queños, el período está dado por
T = 2�
s
l
g
;
pero si retrocedemos un poco en la deducción, deberíamos haber puesto, más
adecuadamente
T = 2�
s
mI l
mGg
:
Newton preparó un péndulo en forma de cascarón delgado, en el que puso
diferentes sustancias, teniendo cuidado de tener siempre el mismo peso. Dentro
de la precisión que podía obtener en su tiempo, Newton encontró que T satisfacía
T = 2�
p
l=g; por lo que mG = mI : A principios del S. XX, Eötvos midió con
una precisión de 10�9; encontrando la misma situación.
La TeoríaGeneral de la Relatividad interpreta este hecho (no lo ex-
plica): en una región "pequeña" del espacio es equivalente soportar la fuerza
peso (o sea la atracción gravitatoria, hacia abajo) que estar acelerado hacia
arriba por un ascensor adecuado.
5 Campo Gravitacional
El concepto de campo es uno de los pilares de la Física. El campo es una región
del espacio (acotada o no) donde ocurren fenómenos de algún cierto tipo. Los
campos pueden ser escalares (un campo de temperatura), vectoriales (gravita-
torio, electromagnético, etc.) o de tipo más complicado (campos tensoriales).
La versión elemental más conspicua de este concepto se verá en Electricidad
y Magnetismo pero, básicamente, la idea implica que una masa (o una carga)
puesta en un campo gravitatorio (o electromagnético) responderá de acuerdo al
5
valor (módulo, dirección y sentido) del campo en ese punto, independientemente
de cómo se generó el campo.
Consideremos la ec. 1, escrita en la forma
F12 = �
m1m2
r2
u12 �
�
�
m1
r2
u1
�
m2;
el factor entre (:::) NO depende de la masa #2 y puede llamarse campo
gravitatorio producido por la masa m1 (la masa gravitacional activa) y, entonces
F12 = G1m2; con G1 =
�
�
m1
r2
u1
�
: (3)
Análogamente,
F21 = G2m1; con G2 =
�
�
m2
r2
u2
�
con, obviamente, la propiedad
G1 6= G2:
Si hay N masas discretas, en el punto P
G (P ) =
NX
i=1
Gi =
NX
i=1
�
�
mi
r2i
ui
�
y cuando tenemos una distribución continua de masa, dado que dG = �
�

=r2
�
dmu;
entonces
G (P ) = �
Z
dm
r2
u = �
Z
� (r)
dV
r2
u:
Hemos escrito � (r) y no lo hemos sacado del signo
R
ya que, como en el caso
de los planetas, � no es constante sino que depende de la posición.
6
6 Energía potencial gravitacional
Vamos a ver seguidamente que la fuerza gravitatoria es conservativa.
A
B
m1
ds
F
U
dr
El elemento de trabajo vale
dW = F�ds =� 
m1m2
r2
u1 � ds;
pero u1 � ds =dr; por lo tanto, el trabajo total para que la masa m2 viaje
desde A a B vale
W =
Z B
A
dW = �
m1m2
Z rB
rA
dr
r2
= �
m1m2
�
� 1
rB
+
1
rA
�
= �
m1m2
rA
�
�
�
m1m2
rB
�
= VA � VB : (4)
Vemos que el trabajo depende de los puntos inicial y �nal, NO de la trayec-
toria recorrida.
Con la letra V indicamos la energía potencial,
no el "potencial", al cual llegaremos enseguida.
EJEMPLO 1
Dos masas m1 y m2 se encuentran a una distancia muy grande ("in�nita");
la masa m1 está �ja mientras que m2 tiene una energía cinética inicial Ki =
7
m2v
2
0=2: Calcular la velocidad de m2 cuando se encuentra a una distancia r de
m1:
La energía mecánica total del sistema vale, inicialmente,
Emec = Ki =
m2v
2
0
2
;
cuando las masas se acercan
Emec =
m2v
2
2
� 
m1m2
r
y, por conservación de la energía, simpli�cando m2
/m /2v
2
0
2
=
/m /2v
2
2
�

m1 /m /2
r
;
de donde
v2 = v20 + 2
m1
r
:
EJEMPLO 2
Calcular la velocidad de fuga de un cuerpo de masa m de la Tierra. Este
problema es el inverso del anterior. Al principio, cuando el cuerpo está ligado a
la Tierra
mv2
2
� 
mmT
rT
=
m2v
2
1
2
;
si queremos que, en el in�nito, v1 = 0; la velocidad de fuga
vF =
r
2
mT
rT
:
Con los datos ya conocidos, vF � 11200m=s = 4� 104km=h:
SATÉLITES TERRESTRES
Los satélites terrestres viajan a pequeña altura por sobre la super�cie plan-
etaria (digamos unos 100 km comparados con el radio, del orden de 6370 km);
entonces r � rT : Para un satélite dem = 103kg; calcular la velocidad, el período,
la energía mecánica y la fuerza gravitacional en función de r: Recordamos que
los datos son mT = 5:98e24kg; rT = 6:38e6m; 
 = 6:67e� 11m3kg�1s�2:
Solución
Como la fuerza (centrípeta) vale, en módulo
F = 
/mmT
r2
= /m!2r =
/mv2
r
;
de donde (no olvidar que r � rT )
v =
r
mT
r
;
8
como g = 
mT =r
2
T ; grT = 
mT =rT y por lo tanto la velocidad
v =
p
grT � 7:9� 103m=s:
El período es
T =
2�r
v
=
2�rp

mT
r
= 2�
s
r3

mT
� 5:05� 103s � 84 minutos.
Por último, la energía
Em =
1
2
mv2 � 
mmT
r
= �
mmT
2r
= �1
2
mgrT = �3:14� 1010J:
SATÉLITES GEOESTACIONARIOS
Un satélite que nos parece estacionario (¡a nosotros!) tiene, por lo tanto,
T = 24h = 8:64� 104s; por lo que
T 2 =
4�r3

mT
de donde r = 4:23� 107m
medidos desde el centro de la Tierra.
7 Potencial gravitatorio; relación con la energía
potencial
Así como hemos escrito F12 = G1m2; cuyo signi�cado físico hemos explicado,
podemos escribir la energía potencial V1 = �
m1m2=r en la forma V1 = m2'1;
con
'1 =
V1
m2
= �
m1
r
:
A la magnitud ' (r) se la llama potencial gravitatorio producido por la masa
m1: Es una propiedad que no depende de la presencia (o no) de la masa m2:
Como V1 = �
m1m2=r = m2'1 = m1'2; el trabajo vale W = ��V =
�m2�'1 = �m2
�
'1;B � '1;A
�
: Así como F = � gradV; también resulta que
G = � grad':
En Electromagnetismo, vale la relación similar entre el campo eléctrico E y
el potencial (el potencial se mide en V olts): E =�r':
7.1 Grá�cos de la energía en un campo central
Dado que V = C=r; entonces podemos estudiar cualitativamente los posibles
tipos de movimiento en un campo central
�1=r
9
1 2 3 4 5
­3
­2
­1
0
1
2
r
V
Curvas de energía potencial
Teniendo en cuenta queK = E�V debe ser necesariamenteK � 0; podemos
tener los siguientes casos: para E1 (rojo), K > jV j y para E2 = 0 (verde),
K = jV j ; el movimiento es ilimitado (pensar en el movimiento de una cuenta
de rosario). Para los casos tipo E3 (azul), el movimiento es limitado (órbitas
cerradas).
Demostraremos en la próxima clase que si E > 0; la curva es una hipérbola,
si E = 0; tenemos una parábola mientras que si E < 0; la curva es una elipse
(en el caso límite, una circunferencia).
7.2 Teorema de Gauss; distribución esférica de masa
Este teorema, que NO demostratremos, y que también será de fundamental
importancia en Electromagnetismo, relaciona el campo gravitatorio producido
por las masas encerradas por una cierta super�cie cerrada. Hay una cantidad
importantísima en el Análisis Vectorial, de directa aplicación en Electromag-
netismo y Mecánica de Fluidos, que es el �ujo. Si una cierta super�cie cerrada
S encierra un cierto número de masas (algunas estarán dentro y otras por fuera
de S ), calculamos la cantidad escalar
d� = G � uN dS;
siendo uN un versor normal a la super�cie en cada punto de ésta, que apunta
hacia adentro. La integral, extendida a toda la super�cie es denominada �ujo
del vector G a través de la super�cie cerrada S :
� =
I
d� =
I
G � uN dS:
10
El teorema de Gauss a�rma que el fujo del campo G a través de S es
proporcional a la suma de las masas internas a S :
� = 4�
NX
i=1
mi:
El teorema de Gauss vale exclusivamente para campos que dependen de
r�2: Este teorema permite veri�car fácilmente que el campo producido por
una distribución esférica de masa es equivalente al campo de una masa igual,
puntiforme, colocada en el centro de la distribución.
Sea una esfera de radio R y masa m; y un punto P externo a la esfera; el
campo puede ponerse en la forma
G = �G (r)ur;
con ur apuntando hacia afuera; tomamos como super�cie de integración una
esfera de radio r � R; conteniendo la masa m, por lo que tendremos
� =
I
�G (r)ur � uN dS:
Como ur � uN = �1;
� = G (r)
I
dS = /4 /�r2G (r) = /4 /�
m;
de donde
G (r) = 
m
r2
;
como si m estuviese concentrada en el centro CQD.
8 Determinación de las trayectorias
8.1 Brevísimo repaso sobre las cónicas
Como vamos a ver, bajo la acción de una fuerza dependiente de r�2; las posibles
trayectorias serán secciones cónicas, las que pasamos a recapitular brevemente.
Si tenemos una recta llamada directriz y un punto llamado foco, se de�ne la
excentricidad como
" =
PF
PQ
=
r
d+ r cos �
11
d
d+rcos Θ
Θ
F
P
r
Q
Entonces
"d+ "r cos � = r; "d = r (1� " cos �) ;
de donde se llega a la ecuación polar de las cónicas
1
r
=
1
"d
� 1
d
cos �: (5)
Si " < 1; se tienen elipses (si " = 0 degenera en una circunferencia), si " = 1
tenemos una parábola mientras que si " > 1 la curva será una hipérbola. Para
las elipses, de semiejes a y b; valen las siguientes relaciones
"d = a
�
1� "2�
; "2 = 1�
�
b
a
�2
; b = a
p
1� "2; A = �ab:
De la ecuación anterior a la 5, resulta
r =
"d
(1� " cos �)
con lo que podemos calcular dr=dt; que necesitaremos más adelante. Apli-
cando la regla de la cadena
dr
dt
=
dr
d�
d�
dt
= �r2 sin �
d
d�
dt
: (6)
12
8.2 Teorema de Binet
Recordamos de las clases sobre Cinemática que el movimiento plano, en coor-
denadas polares tiene una aceleración dada por
a =
�
��
r� r
�
�
�
ur +
�
1
r
d
dt
�
r2
d�
dt
��
u� = arur + a�u�;
también vimos que si el campo es central, a� = 0 y entonces r2d�=dt =
L=m = cte: Entonces vale el teorema de Binet, que cambia la dependencia
funcional r (t) por r (�) :
a = � L2
m2r2
�
d2 (1=r)
d�2
+
1
r
�
ur; (7)
en el caso de tratar el problema de dos cuerpos sometidos a su propia inter-
acción, debe cambiarse la masa m por la masa reducida �: Para
F = �
mM
r2
u
resulta entonces, multiplicando la ec. 7 por �
�
mM
/r /2
= � /�L2
� /2 /r /2
�
d2 (1=r)
d�2
+
1
r
�
;
de donde
d2 (1=r)
d�2
+
1
r
= 
�
mM
L2
:
Esta E.D. inhomogénea tiene la forma
d2f
dx2
+ f = cte; con f =
1
r
;
por lo que la solución general será la suma de la solución de la homogénea,
fh = A cos � más la solución de la particular, fp = 
�mM=L2 :
1
r
= 
�
mM
L2
+A cos � (8)
que tiene la misma forma que la ec. 5, con las identi�caciones
A ! �1
d
; 
�
mM
L2
 ! 1
"d
:
9 Magnitudes dinámicas: momento angular y
energía
El objeto de esta sección es relacionar las magnitudes dinámicas E; L con los
parámetros geométricos " y d; el primer resultado que salta a la vista proviene
de la ecuación anterior:
L2 = 
�mM"d: (9)
13
La energía mecánica será la suma de la cinética más la potencial. En coor-
denadas polares
E =
�v2
2
� 
mM
r
=
"
�
2
�
dr
dt
�2
+
�r2
2
�
d�
dt
�2#
� 
mM
r
; (10)
queremos transformar esta expresión en otra, que relacione E también con
los parámetros "; d: Como para una masa reducida �; L = mrv� = mr (rd�=dt) ;
resulta que
d�
dt
=
L
�r2
y, por otra parte,
dr
dt
= �r2 sin �
d
d�
dt
:
Con estos resultados podemos re-escribir los tres términos de la ec. 10. El
primero de ellos
�
2
�
dr
dt
�2
=
�
2
r4
�
sin �
d
�2�
d�
dt
�2
=
/�
2
/r /4
sin2 �
d2
L2
� /2 /r /4
=
1
2
sin2 �
d2
L2
�
:
El segundo resulta
�r2
2
�
d�
dt
�2
=
�r2
2
L2
�2r4
=
L2
2�r2
y el último, de la ec. 9
�
mM
r
= � L2
�"dr
:
Con estos últimos tres resultados, la energía puede expresarse como
E =
1
2
sin2 �
d2
L2
�
+
L2
2�r2
� L2
�"dr
y, como
1
r
=
1
"d
� 1
d
cos �;
1
r2
=
�
1
"d
� 1
d
cos �
�2
puede demostrarse que
E =
L2
2�"2d2
�
"2 � 1
�
=

mM
2"d
�
"2 � 1
�
: (11)
En de�nitiva, con las ecuaciones 9 y 11, tenemos el momento angular y la
energía en término de "; d; para todo tipo de órbitas, cerradas o no.
14
9.1 Órbitas elípticas
Las ecuaciones 9 y 11 pueden especializarse para elipses, recordando el resultado
"d = a
�
1� "2
�
; con lo cual resultan
L2 = 
�mM"d = 
�mMa
�
1� "2
�
mientras que
E =

mM
2a (1� "2)
�
"2 � 1
�
= �
mM
2a
=
V
2
:
Mientras que del valor de L pueden �jarse tanto a como "; la energía sola-
mente permite �jar el semieje mayor, a: Podemos tener elipses diversas, con el
mismo valor de a; pero de distinta ": Esto indica que L y E son magnitudes
independientes y que para cada valor de E podemos tener distintos valores de
L: Esto también ocurre para los átomos hidrogenoides: órbitas con distintas
excentricidades (distintos momentos angulares) pueden tener la misma energía.
9.2 Tercera ley de Kepler
Sabemos que para fuerzas centrales se cumple la 2a ley de Kepler, referida a la
constancia de la velocidad areal; en su momento vimos que
dA
dt
=
1
2
r2
d�
dt
= C =
L
2m
! L
2�
;
si la órbita es cerrada, implica que A = CT; siendo T el período de revolu-
ción:
A =
L
2�
T de donde T =
2�A
L
=
2�
L
�a2
p
1� "2:
Elevando al cuadrado
T 2 =
4�2�2a4
�
1� "2
�
L2
=
4�2�2a4
�
1� "2
�

�mM"d
=
4�2�2a4
�
1� "2
�

�mMa (1� "2) =
4��2a3

mM
y como � = mM=(m+M);
T 2 =
�
4�2

 (m+M)
�
a3;
que tiene la forma T 2 = ka3: El valor de k es prácticamente el mismo para
todos los planetas puesto que el Sol contiene alrededor del 99% de la masa del
sistema solar.
15
9.3 Grá�cos de la energía
Volvamos a la expresión
E =
�
2
�
dr
dt
�2
+
L2
2�r2
� 
mM
r
;
ésta tiene una forma que recuerda el problema 1D, si llamamos energía po-
tencial efectiva a la combinación
Vef =
L2
2�r2
� 
mM
r
:
Una grá�ca cualitativa es de la forma
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
­0.3
­0.2
­0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
r
V(ef)
cuando E > 0; el cuerpo se acerca hasta una cierta distancia y luego se
aleja para siempre; para E = �0:2; el cuerpo está ligado al centro de fuerzas, y
tiene un punto de máximo acercamiento y otro de máximo alejamiento (elipse),
mientras que si E = �0:25, el cuerpo siempre gira a una distancia r0 del centro,
moviéndose en un círculo.
10 Variación de g con la altura (a pequeñas al-
turas)
Hemos visto anteriormente que sobre la super�cie terrestre
g0 = 
mT
r2T
;
16
si ahora queremos saber cómo varía g con la altura, debemos plantear
g = 
mT
(rT + h)
2 =

mT
r2T (1 + h=rT )
2 =
g0
(1 + h=rT )
2
relacionando así, directamente, g con g0: Desarrollando en serie en la variable
h
1
(1 + h=rT )
2 � 1� 2
h
rT
por lo cual
g � g0
�
1� 2 h
rT
�
:
Otra manera de ver lo mismo es tener en cuenta que, siendo
F = 
m1m2
r2
; dF = �2
m1m2
r3
dr
por lo que el cambio relativo
dF
F
= �2dr
r
;
por otro lado, si F = m2g; dF = m2dg; será
dF
F
=
dg
g
por lo que
dg
g
= �2dr
r
:
Integrando ambos miembros
ln
�
g
g0
�
= �2 ln
�
r
rT
�
= � ln
�
r
rT
�2
por lo que, siendo r = r0 + h
g = g0
r2T
r2T + 2rTh+ h
2
= g0
r2T
r2T
�
1 + 2h=rT + (h=rT )
2
� � g0
1 + 2h=rT
� g0
�
1� 2 h
rT
�
;
como antes.
11 Datos sobre la Luna
Teniendo en cuenta que la fuerza gravitatoria entre la Tierra y la Luna es
FTL = 
mLmT
r2TL
;
17
por lo que la aceleración (centrípeta) es
aL = 
mT
r2TL
y que la aceleración de la gravedad sobre la super�cie terrestre vale
g0 = 
mT
r2T
;
podemos comparar
aL
g0
=
r2T
r2TL
:
Como rTL � 60rT ; resulta que aL � 0:0027ms�2: Debe quedar en claro que
ésta NO es el valor de g sobre la luna, que vale gL = 
mL=r
2
L:
También podemos obtener el valor anterior de aL del siguiente análisis:
aL =
v2
rTL
=
!2r2TL
rTL
=
�
2�
TL
�2
rTL;
como TL � 27d 7h 43min � 2360580s; resulta asimismo aL � 0:0027ms�2:
Para comparar gL=g0; planteamos
gL
g0
=

mL=r
2
L

mT =r2T
=
�
rT
rL
�2
mL
mT
;
como rT � 4rL y mT � 81mL; resulta que gL � (16=81) g0 � 0:2g0:
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