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B. Dubrovin, S Nóvikov, A Fomenko • mo erna MÉTODOS DE LA TEORíA DE HOMOLOGíAS EDITORIAL MIR MOSCÚ GEOMETRíA moderno 6 . A. Jl.y5pOBHH . C. n. HOBHKoe , A. T. CDoMeHKo COBPEMEHHAA r EOMETPI-1R METO,O,bl TEOPHH rOMOnOrHA MOCIC8~ . Haylta~ r Jla 8H all p tlAalCII.HII 1iJ"'3Hlto· ",au 'MaTH"ec Ho M IIIlTopa Typbl B. Dubrovin, S Nóvikov, A Fomenko rno M~TODOS DE LA TEORIA DE HOMOLOGIAs EDITORIAL MIR MOSCÚ Traducido del ruso por L. Popova Impt"1l3<l en In IJltSS Ha uenaaellO>1 w.JIoIII" @ 1f8JU.Tell~c1&1l _Hay"" •. rll""l1lll1 lICJ(IlJIIl.rrll rf!rr911"o- >tIlTeMIlTl,.,eelfoii :Jllwil"TypJ~, 198<\ @ traducción al e!lpellol . cditnria¡ Mir. 19111 IHDICE PREFACIO. CAPITUlO l. HOMOlOGIAS y CALCULO COHOMOLOOIAS. RECETAS DE ,u t 1. GruPQ.!l dewbomologíucomo OIUiOS do 185 fo rmas di- ferencia les cerradas. Su invariación homolÓpíeB . . . § 2. Homoto¡r¡a~ de los complejos algebraicos • _ . • • • • , 3. C"mplejw simplicial"". Su, bomoloWlI$ y fohomolo- gi:>s. Clu,flcadó'l d .. las 5uperficil'lS bidimPDS'OMlu c .. rradu !: 4. 0llerllOión de PI'K"dura de cé lula a UIl cSl'ad" topológico. ESpaCIOS cijlulatl,>l. l\"or\,\ma~ sobre r educción de 1\,\5 espacio.! (1)Iulares. Homologíu y o¡-l grup" fundamentd de au¡miilcll!! y a l¡runa! "tras vari .dll.du .•... .. , . . ... .. . i 5. Homol "lt"¡a ~ )' coho",olo¡:ia,s 5;ngu larl"l. Invariación horno- tópIca de ella><. Suc",si6n ox~cla del pu. tTumologia! relalí- Va! •••••• •• i d. Homologías 5lngulul'es de lO!) COmpIC\'''S celul. ros. [.11 comcidellcia de ~lIas eon 115 I>omologiu ee u ' :>.e.s. D,, ~lIdad de Poincaré para 1M bomologías sl ,npliciales ..... .. . § 7. Hon,olo<ria, d~1 produoto dllec!o. Multipliución 1)[1 1118 cobolllolo¡ fu. Cohomologias do 1M H-¡¡gpae ioo ~. de los gl'Upoe de Lle. e<>ht)tn"logiu d~1 grupo un itario .••.. _ ... i 8. Jl<nno logia de productos oblicuo. (~paclos librado'l t 9 . Problema do prolonll'Dción da apl"."adonea, hOll1otoplu y seceion~~. ClulI obslaculi~Mtora d(j la ~ cobornologiu ... § lu. Hom" log¡a~ ~. m~todos de cálculo do los grupo~ hurnot6- pIcos. Teorprna do Gnr lan-SfTre. Operaciones col>ombló¡:lcas. Espacios ' ihu dos v""tor,al~ .... • . . . . .. .. .. § 11. Homolo/{i". y ~n, po l"ndarn~.UI.aI . . • . .. .•. i 12. Cohomo l og¡lI.~ de l.~ superficie.'! do memnnn hiper- elíl.tlcas. Toroa de Jacobi. Geodésicas en los .. 1i1>8<'>id • • poli - 8)1: ala. R~lneióo con los pOI~neialos de 10DU fioit~~ . ... ~¿r!·. ~:f¡~,:!,~:d~d:~ .m.6a .&lm~l~ ~(j ~a~ v.lr~o(~a~e.~ d: ~8.hl~r: í U. lIomologlos cou ~O(OJ , c l fnu>. eo INI h~ et'!l . CAPITULO 2. put-nos CRIlICOS DE LAS FUNCtONH suJo VES y DE LJoS HOMOLOGlJo$ • § 15. Funcionas d o )[0. 5e y complejo. celulares § J G. Desi¡¡uald"dC'! de 1\h'""" . . . . . i 17. Func,6o rogular do¡- Mo"",,·Smnle. A~a ~. S "'p~r¡¡,,I"es: t 18 . Dualidad de I'uiucan! . 1 9 9 " JO " '" " '" '" '" '" '" no m m OS, ' 00 "" 6 Indlo;e t 11'1. Pu"tos crítico. <1" In l uucion .... gUa~"" y c.atugoria de l.u" .... "'k-Shnir"lmaH . . . . . . . . .... 2fl7 i 20. Varoedad"" crítk,u y d~.s,guald~ de!! de ,\lono. funclo- nC5 con sImetría • .• .. 221 § 2\ . Puntos crÍlkos de In l un. iufl al "" y topolo:¡:l~ d<ll e~ p aclo d" l.,. curVM Q,\{.. . . . 228 § 22. Apl iu.e,onos d~J IOONma &o bre el índice 241 § 23. f'robJema per iód ioo del eak"lo de "al;3(io""" .• • 248 § 2". t'lmcio"e" de M" ,"" u 5Q b .... b j "a rlcd~dO'S tridi me" .io- u.o.les y d i .~.amu de Heegard . . . .. .. . . . . 257 § 25. I'N'odlcidad uui tnria d ... Dott ). problemns de vnr iocJón mul~idimcn"ionnLu . .. ..... . .. . 262 ¡ 26. Too.ía d~ M~r;re y aL¡ru,,,,., ll""·i,,,ienl llll ~ n el problr.ma plall() ,Ip " c"prpos 284 CAPITULO ) . C080RDISMOS V UTRUCTURA$ SUAVES.. • • • • 29B i 2,. Núm~ros Ct\ racloris tlcM. Cobordi ~mo • . Ciclos r "ub- var iedadl!!l. Sillu8 ~ura de In. va ri~dad "" . . . . . . . . 298 t 28. ~Sln'cturns sua"<l3 en la e,; let":l I,epladlmen,ional. EL problema de c1llsifh:ac i6n. d~ In vnriedade>l suave/! (i uvarIJn- ~s n<>tm~ L.,s) . Torsl6n. d .. Roidem~ i ! tof Y La hip6tesl' rr1ncl- pal dl' La topolog!a ccmbinatorlO . . . . • 322 \Jibli~r~lia •.... • . . • • •• . . . 334 Suplemento 1. ·haría análogo de la d ~ ~I~[SI' para 1..,. ("nciones mlll l,- lo.m,· •. Algu""~ propl~~adf~ do I" ~ pdreotes i! de PO' S/KI n. ~~-~.. . . -Suplemento 2. PNblc"'" de Pta tc.~". bur~J &Jo<l.'l l' su ~rll elell globalell miolmall'll en II1!I v$[iedadu de fl i~man.n . (A . , ' . fO[llpn[¡o) 353 Ind iea de malllrlU 313 PRlFACIO Tradicional mon te. la teoría de homologias, desempofia u,n papel fundamental en la exposición de los principios de la tO,pología. A parti r de H. Poi ncaré. quien fun dó las bases de 111 topologia . la teorín de homologías 50 considern como una baso inicial de los mé- todos do la topologíA algebrn icn. En la tooria do homotopias sólo el grupo fundamantnl y los uubrirnientos se refieren, por t radición, a es tos prblcipios. Prác ticamente. lodos los manuales clbicos iniciales de topología. (en tre los cuales eL mEljor es. a juicio de 105 autof!'3 , el li bro . Lohrbuch der Topo\(lgie_ de H. Seifort y W. Threl- fall) comienzan con o~pon(lr la Ltloda de homologías de una u otra daso de los complejos. Solo en una eLapa pOSlerior (además, dt'sde el punto de vistn de In teoría de las hornologíps). so consideran la teoría de los IIspncios librados y el problema gonernl sobro la clasi- ficación de las clnses homoWpicas de a pli caciones (teoría de lU5 llOmotopías). Al mismo Liempo, los métodos de la lupologia de var iedad('s ((jlerenciables . que comellzaWIl n deS/l.rrollarso intensiva- monte desdll los años 30 (\Vhnn",y y otros), pllrmiton n'construir por completo la oxposición de los principios fundamentale s d(' la topología moullrna. Do:>s do un !\ltevo punto de vista más próximo al a.nlilisil! clásico, rosuLta primaria la teoría elll illon tal do las varie- dades suavllS para basur en ella luego la teoría de las bOlllOto pías *) y de los t'spaGios ribfndo~ s uo.ves. Más aún, durante los aftos iO se aclaró que precisamBIIL.e tlSLtl complejo ¡le las ideas y de los métodos lopológi(JOS Lien,' nplicllcionl:'S fundllmental<ls en distintn partl:'s do la risica moderna. Por eso los autores consideran GOIllO nocol"arios los materiales d idát;Lkos ,t" topología en primer lugar, precisamente los principios d", la. teorí" de las vRriodltdcs suaves, la leorín de las hOffiotopílts y 105 espacios librados. Estos materiales han sido inc1ui- • 1'". lo "i5l,0, lu prim"nl5 noclone. IIOh,." topología pprten..:icot~ ... Gau~, RiemanJ\ y Poincaré. 5ur:;ieron lamhién sobro lISIa baso. Por .. u ~quel entonr~ re~uhó imposible tal construcc ión de la \opolog!a. Poiucaró ducubrió b teor[,. de homologlu de lo! complejo! ~ implidalea que perml~ió da, complet.· mpnto otra coostruceión ex~ctll d@ lo! fundom~nto~ de tn topl"logfA algebntica , , dos t'l1 el mlHlll~1 de B. A. Dublo,-in. S. P. Nó\' iko\'. A. T. Fom~nko . GIl<.rn.,Lrí" moderno' . par te 11. En "sie liblXl, su ponemos rOlloddO! eSl<Is rnnlcrial\'~ . Lll n'solució" dc prol¡!('mlls más complejos dI:' la misma topologí ll (cálculo d~ los grupos Ilolnotópiros. c1l1s ific!lcI6n de las variedn¡\ús suoves, ctc.), 111 i ll'll3l (IUO numerosas Ilplicocion08 dI) In léc I,ic lI algelJrlli co -topo16~icR 11 lo! problemas de la goometria algt¡brlliCII y d(' l .milisis {ompl'do. ex igc un d"sarroHa dc lIorgo Illcanc". pr .. d~ lI mente dc los mélOOu! de la ~ooríll di' homololl'llIlI. ~: n la II t.,rlltur" espc< ializt:tda /lf l \lll l sobrt' l o pol~ica no h,,}' libros que posi bilit('u <,1 complejo IIpl'<'lldizAje de los método!' do 1M tllono de homolof:ías (m ~u~ npliC/ldonl's inLrlltopológiclI" ~rribll!nt'ucinnadas. J:;l vrcsc.'IIte libro Ue-ut' por obJelo ]I('Ollf p8reia lml'nl~ .. s l /l ¡lIguna. Al (':'( poner l a luo ría de homologí tl ~, lo~ nutore! hnn tr!!.lltUO ole (','Hnr, (HI 1:, ml'dida ,11' lo posible, t.'I lenguajo nhstfll\·to dd álge- brn ho rnológic8 , para ¡¡<lO (\l le-ctor sicmpro tt:mun pr().SCnte quo llú1U()- I O'Ij~~. ciclos y rrontetl) ~ son imlÍ¡;('n('s ¡ cornélrieu contrl'tas. En III~uno! c .. so~, (lOf ejemplo " 11 la partl' dl'dit-ad ll a I ~ :mel'sión (ospfi: t rll¡, estn l i'lILrirción vol untarill IIIl VM 11 Hlguno! rld<'i:lo! en la cxpo~¡d ';¡ n diríd lt's doCl 5"I)(> r;lr . Pero un:! suce ... i,·a l·s po.sle lón de l lenguaje y de- los métodos tI!'1 al¡¡;t'hra )¡omológiclI modl'rlla. ("omo d ... mu .. ~lrll ¡I'I. I'l"p()crlt>n<'ill . lleva 1'1 p!,nr'('~ (h,r{,<,los. c.ompliCllndo In compr~~ión dlll sentido gt'onlétrlcn do lA \I$oríll d(' \lIS hom .. logias . .Algunos m~tod(l!l h¡ndame-nlah.-s de In topologítl nlgt>brnic n moderna (la t&.nicA de- lAS sw: esion('s I'Sp('('. ~rll.l~s )' de III ~ operMiones t"ohomológiclI:<J ~l' hAn ex p\l ~ s I 09 s in tlx pl¡" :. don('~ ('Shau9\¡ \"Il~ C¡!JI' lI evArlon nI .. um~nto!ld vo lu ml'l! !le lA o brn . Rocordamos qut' 1'11'mp1P.O de estos n¡Hodo! se ba!/! 11610 (' 11 la9 propie.llltles rormalmenl¡' nllf\'b.¡¡iras d G In.~ mallo!- tude-!l q ua form a n parw d ... 1'1105. Y no S(' II L;1111IU rOlls\ruceiom·s \,$pli- c:i tn dI' I'S\.ll~ lII/1gniludc.>s. dodas en el proc('so de la argUnl c.> uLad6n. Al fin al dl'l Iibro!H' ~ pll can I( •. ~ métoo.los dc.> la lopología a l¡,:t'br¡¡i~a /tI es tudio d ... IlIs propiedad,,! prof\llld¡¡s d C! tiMes carar leri .'ltlclIlI y es tructuras sllaves en In vnriedadc.>ll. Sl'g(m 111 Id('a do los au tOn'lI , esta obra debe ])(!rmitir e lndu('lc al ¡('clor a .!;\Curr ir a la liVrAlora topológico. moderon . CAP ITULO 1 HOMOLOGIAS y COHOMOLOGIÁS RECE' ÁS DE SU CALCULO § 1, Grupos de cohomologlas como clases de formas diferenciales ce rradas, Su Invarlacl6n homot6pica, Uno de l os más importantes in\'a riant.es llOlllotópicos d .. varie- d~d son sus grupo:'! d,' homolugías ql1e ylI fUeJ'on utilizados on el § tU )' H 24, 25, putLo 11 dol li bro [1] , Pasemos a.horrl fl sus dt:'fini- cion t:'~ sis temáticas. Hay varios métodos parn dolerminar los grupos de homologías . .'\.1 pnll('ipio. examinemos In dt<ltlfmÍnación dI.' las homologíAS por b~ forlllAS difor.mcialcs ( \'éase- ¡ti, pl.r le 11 . ~ 2.~). E."aminC'ffios IHS form as difefoncialC's cC' rrfldllS del grarlo k sobre UlllI variedad JI" ~fl'cQrdl'm"s: d indice Jt muestra ]¡l dilllen~i6n dC' l~ varied nd), qm' 1il'[ll'1I 10n¡Jmen lo la furma : do) ",. O. So llama OXBe,ta (o cohomológicll .~ero) u n a fOl'ma djfect",~iall:ctrlldfl , si w = dw'. dondo w' ('~ ulla forma de g rado k - 1 (n..:ordomos que d (dw') ~ O (111 . parte- r. § 2f». m;p'SlCI6N t "j. Se IImu a grupo (espacI<J Hne .. J) d o- collomolo- gins JI ~ ¡M": IR) el g r upo coei('nt .. de- ladas la ,; r"rma~ cC'rro ¡](ls d(!1 grupo k por el I< uhgrupo de formas c;o;~cl"s, En oLrM pal aLra3 , JI~ (.1/ ": 'R ) soo cllISl'S It", ec¡uivolencia do l:ls forJ1ln~ el'rradas con exactitud b as\.n las (')<,,<'11111: (2) La }Itopi",dad más simplc de los grupos dC' o:,, ¡' 0"1ll1o¡;íll ~ es la sigll)('nh' . • \Vtrl)l.\C'6N 1. Para rUIIlquier mriedad JI" el gruJJ(J Ilo (,11": R) I!S 1111 espacio lillc(,¡ de diml'IIsi6n q, Igual 1/1 I/Ifll,el"o de truUi,t ,'CJllt'I08 (com.pont'lde) de l()li cuales co".sta la mriedud. - 1 J:: nCOll~ rarcmo~ en adelau(.e varj K~ delioicJOn"" d~ grup .... ,le horno- logias }' CGhGlllG!Gguu CGIl unG~ lO Gtros t~ficien te ... YlI que e~ l (U1 ddi,"c iunes U .. \"nn •• } mIsmo res"It,.do (Vf,,"'l ",r.5 :lh.~ju §§ 6. 141. no "' lrod,,,;iIllU' ton~'e n temenle n ,nwio Indice q"'" m" ... " tre ... 1 origen de 1In85 u Qlras ¡'offilJ lo¡::ias. Cap. t R.cela, dol có!culo do homolog;~. mm(,S'I'l1ACION. Las fotmas del gtado O son IuncioJlb8 escala~3 j (x) sobro una variednd. Si la forma del grado O es cerradn, elltonc('s dJ (x) = O. Esto signiHc.l qUQ la [unción J (x) es localmente cons- tante. es decir. es constante en cada troto conexo de la variNlad. Las formas cerradas de grado O son ~implem"mLe un &onjuoto d .. q constanlüs, donde q es el número de trozos. La afirmación queda demostrada. ya que aquí no hay foronas tlxactas. Si hay una aplicación suave do las variedades j; .1/1 - ,11 •• entonce5 está determinada tal apH"ació n de las formas w _ J. ((.0» que d U"(.o» = JO (d(.o)l (fI J. parte r, § 25). Por eso esta delerm in:Hla la aplicnC[óll do Ins gmpos do cohomologias 1"; I1It (JI,; IR.) __ f/~ (Jf ¡: 11\). (3) porquo la.s c.lasos do uquivalellcia pasaD do uno 11 otro (por m(>rl.io de la apHc.ación/· las (ormas corradas quedan cerradas y Il1s eXllctas, exactas). La aplicao.;iún r 115 '10 homomorfis mo do los grupos de coho- mologías. Tiene lugar 01 sigoionto rl>OftEMA 1. Si son dado:u d'J$ aplicflCiorlf':$ SIUWCS y t!!las apl¡radoflt!s .ton h'JII1.r¡t<¡pil:ns. t!lltOIl,("es IIIS aplicaclones de grtlPQS de cohomologías Ir y It coinciden: li "'" /2 : ll~ (.111.; R) __ Hit (M); R). DCMOS'tll.\GIO:-;: Sea dalla una hOoUJLOpía s uave F: ¡lf¡ X 1 __ ,1l~. donrie I es un segru~nto. t .:;;;; f ~ 2 . Y P (x, 1) = J, (x), p (.~. 2) ,;, = l. (x). Cualqu icrfl forrua diferonciatla Q de grado Ir. sobro JI X I puede ser escrita así (Ii) donde (0), os una forma de grndo k qu~ no ~ont¡ene entre las diferen- tiale!! dt. y w~ una forma de ~rarl.o k - L ({lte no contione entre las diferentiale~ al (las coordenadas locales en /ff¡ X 1 se eligen siempre en forma (x'. .. . , xn. l) _ (l:. ll, dondo (Xl • ... . "'~) ~on ~oor donadas locales sobre ;11). 50a (.o) c.ualquicr forma de grado k $Ohm la variedad M •. Entoncl?s, la foroUfl p. ((0) = Q = (.o)¡ + (.0)2 A dt, donde tenernos localmente 1Il2 - ~ a¡, . ' '' .0 (7". t) d:r" A 1, _: • . . •. j~- l § l . C"h"mol"gl •• com" cia ••• d. I"rme< c ..... r.d.t. " Definimos la forma DQ del grado k - t por la sigl.lh¡ute f6rmula (locahnente): oo ~ Z (ja¡' . .. i._ ,{x,t}dt)dX" /\ " < .. . « ~_l I ... /\ d-l-" -' _ J o»:! dt. • (5) DQ .. 5 la f(lrma de grado k - t sobre la variedad MI X l. Tiene lugar el importllnte LimA 1. Es justQ. la fórmula- de la IIhomotopCa f1lgebmi(Q f (Vlfllse el § 2): d (D (F· (w»)) ± D (d (p. (ro))) "" FI (00) -Ji (00). (6) nOIOSTAACION Mostremos q¡U) para c llalq u¡ü rll forma Q sobre }I.(, x { llS justa la lúrmllla dD (Q) ± D (dQJ = Q I,_~ - Q 1, .. \. (7) Calct1l~mos dO (n), dondo Q = (J), + (J)~ 1\ dt . Tf"1l1'm05 Joclll monle. por delinici6n dDQ = 2: 2: ('\' '0." .. ' H • iJrJ t,< ... <'._1 J r dl) dx' 1\ d.cl , 1\ ... /\ (Ú 1._,. D dQ "" D (dw,)+ D (d,~~ I\ dl) = ~ D ( 2: Jo.; •. . .. ¡~ + 2: Jl>j . . . a. J. dl /\ d.cio 1\ .. . 1\ d¿ · ) + + D ( h h ¡¡a" ~7~ 1.-, dJ:P 1\ dI;' 1\ .. . 1\ d .r l. - , 1\ dt) . 1, •. . I~_l P De aquí vemos que dDQ "¡"'( _1)··'Dd!;1 _ ± ::E (h; • . . . ,.(.r, 2) - J,·' .. . <i. La fórmula (7) queda demost rada. S¡ :l110r1l ~l = p. «(0). enlonce~ Q II_~ = ji (w), Q 1,- 1 .... l i «(o). El lema fJttoun ,hw1<lstrlldo. " VohaW"H lo h d",moSlrac.ión dd loort'IMI. SeA dnda 111111 formll t~Tr~ d8 tIl 50bno J{. (es doe lr . uw = U). Entonc,",s ' ¡tone lugar lu 11:1Il.1- d,d 1; ((,,) - f1 ¡ro) = dDP· ,"') ± /}dl.'· (<01). Sin l'tJlLlngo, dF* ((0)) _ F· (dw) = O. Por t!!l() tl' llcmo~ 12 (w) - - j~ (ID) = dDF· (<<1). ~5 dl'C i T, i:l dit.-renda do 195 formas os eXlLcta. Es Lo .s ign ifH:: II. plJr deflllición. que lO! homomorfi.~m os H . H~ (.lft : lt ) _II~ (.11,; R) Y ,;; H~ 1M,: !l) ...... -T H~ (.1f, ; "l. ) ~oitlr "h·" -"Oh10 la~ cJUHCll dc t''1,Ii'' n!cn.:i/l ¡de cohomolo!llas). El tCOTCltnn QUl,¡I¡t d(' lllos trlldo. H('('ord{)lno~(,'¿ase 111 , lIarte 11. § Ji). qua dos "Am,' J odes se lIomlln IIOll1r.lópiclls equivalentes . l<i ex is ten ll\l~ apliclltionl'.S ISlu'""s) 1: .1/, -.l/._ g= .1/._ .11\. quo anlhlls superposic iO)les fe : .11 ....... .1/: y !tI: JI , __ .11, son llOH10túpi~,M 11 las Aphl· nclO nl".~ id~ntic3~ : .1/ , _J/,lor _x) . • I/ , _M,\II_Y). Por f'jllll ' plo , <'1 ""IIfI.:io (,oel íd .. 'O [l" lo el <1;5(:0 lJ~ - = {:E {.t"')I-G; R'}, 9S equivillento JlOlllOtópicllIu('nte a un punto. 0_' La demostrad':'" (,on~¡ste 1'11 qU I! '1" /0 D") ~8t'¡ dcformondo por si hllc¡~ UII punl,... Es to si~ll¡fica csactPllIllotc quo unll Ilpliución fdóntiu 1: ;t" ....... ' '', dondll :T _ Z . olS Ilornotóp,clil a la /lpIiCIlr;ión constaute! R" _ O (en un puuto). n:on.lill .' ~ Los "''IIritdudu }wmot"flf("ll$ <'qujlYlltlllts tit lllm t¡.(u(J It'$ 8"uJIOs JI' rohutllologíll$. olt.'IOS1'n ,(.,(I.~ Scn qUl']asapllcílCIO ILCS!: ,If, __ ,\f •• 8: J1 . - .11, e5lab l e ~eaJl ulla cqll h '/lfencia hODlolÓpica. Considell' ffi (),5. l ll~ .ph~ cae\ones j-: H~ (.1't) _I/t (M,) Y g: l/- (.11,) _ H- (MI)' Como las aplicaciones !g y g! son homotópkll~ /1 lB! idóntic.a.s. los horno- morf ismos UI)· "" g-'- y (,n- "'" ,-c- ~"" tol:ac.tll.mont.e homo morfis- ,nos idénticos tic los gru po.'! do cohoruo l ogln~, .'Il,g,in el tl'orcma 1: t ~ 1-'-: ll ~ (:\I f ) _ n- /1/1), t _,- , -; R~ /.1',)_H· (M,). DI.' :"lul se deduc.." qUI) lo!! Irli.~mos lI()momorfiSlllOs ¡- y gt son isomorfjSl)\O~, ademb. f('(.íproca mouto in"('rs05: r = (g-¡-' . El teo rlJmll (11I~da probado. OB5ERV.\CION. Según el tE'On'ma demo.~ lrlldo , se pu('den dct "r- miLlar los ¡n,VO! do cohomologi.u pllrll todos los aspllc.ios dI.' X, § 1 Cohomologiu como cle.e. do lorml. eenldol " pun, lo~ cuaJes existe una ,'ariedll.d Al => X, l{ue Stl anuda hacia este I!l'<pm·,o . tomando f{~ (X; 'il) _ Ii~ (M": Rj, (8) PQr ejemplo, el 0..-:110 no es una variedad, petO pllra él se puede t1elerminlH los mismos grupos do cohomologías. que. por definición. para un campo il~' (O, U O: ) (\'énse la figura 1) . • 11, • a, ~'jg. L COII.OLMlIO " Los grupal ck co}WmolOgCa9 de 1.1/1 es(XIcw eucUdeo 11'0." O de un di9CQ D~ son ws mJsmos que [,)$ de un punw . es duir, II~ p.~) es trivwl, s i k > O. H U (1\") ... ~ es un espacio lineal uni- dllMrulonal . Do aquí se deduce I!l lIf1mad" i lema ÚO Poin, (ln:; ~ : l o,aIDl~nte. t<n una región cerca de cualquülr punto .soore una \'ari(lrlarl Jlf~, toda fOfma cerrada IJ) (dw = O) os exacla: ú) = dlJ) ' , rtcg ID > O. En ",r<'(Lo. eli jamolO un dis<'o D" en coord~nadas lacalloS con centro 1,)11 " un punto Q: {~(x'" - x~)! ';;;;: e} y empleemos eu el d isco el COfO- .-, lario 1 de que H ' (D~) = O. parn k> O. Para k = 1 {'l [{'ma de Poi ncnre t·S bien conocido del cu rso de análisis motemhico. Para 1-fo"0II1s (iI = f~ df'. d~) = O. h .'nelllQS ,- w = d/? donde Jo' IP) = 5 h d7/'. l)or un c~rni ll() quo ,,~ del PUll_ O to Q al punto P El!] l!i diS<lo D", Calculemos a.hora IlIs coho mologías de "nI! circunferencia S'. AFlIlMAC)ON 3. ÚJ:> IfrupO$ tU: Nhomologw$ ck la d"cu.l!fu~lIciu S' II~ (SI;R) = O. k> 1; (') JJl (S'; ~) = R: H9 (S'; R) = R. DEMOSTnAGION. Es e,"¡donte. que las cohomología.'; de SI son tri- viales (igu~les a. cero), !' i k> 1. Luego, RO (SI) = a. porqlle la c[rcunfel'l.lncia es conexa. Parll cak lllDr un grupo f{' (SI ) introducimos una coordenada 'f'. dondo IP y ~. -'- 2nrt r(!pre~(! ntan un plinto de la eircunferencill pan It (lntl'ro ~ . La forma del grado 1 es una forma del tipoa (Ijl) d<p z= ro, dond!' u ('1') es \lna fundón pefiódica a ('1' + 2n) =- = a (1JI). Siempre dw ... O. ya que la dimensión de la circunferencia e~ ignal 11 1. ¿Cuándo I).'! exacta la forma a (q¡) d'l'? E~lo si¡;:nifica que " «('fI) ¡Ur = dF. donde F ('J') ('., uno [unción lM}riódiCIlI . Es ev hlontc • qUt' F ('fJ = ~ <l {lt,) d'l/' + l·Oll~ t . Así. la funrió n F ('P) es pl'riódiclI " ~ " si l ' ~Io !oí so ('um ple la condición ) a /V) d'l" = O , Ó ~ w "" O. " ,. O" estA mallero. 13 formo tll'. grodo 1¡,) _ a (1Jl) dtp sobre la dI'- cunfrrendn es l'.'tA('tll si y sólo s i ~c cum plu Jo cOlllli cióu ~ 10 _ O. '. P(lt e~o. dos fOI'mos ('1, = a «(JI) d'f' y ro , = b (q,) dq¡ dl'lt'rmimUl la mismll clase de collOmologias cuando y ~Io cuando 1 00, = f CUt. s. t. Asl t enemos IJI {SI: R) .., 1. LII 8Íumadón está delll(lslr/lda.. COROI,A I\I O LoI ¡:rupos de cohO/J1owgfas di! "ti p/41W tJuclfrko ,in el punto R", Q (o $in anillo) son los mismos ym! t ielle la circunferellcia !J ckl tlpfl U· (Rh,Q) _ 0, J.: > 1; ¡JI W,Q) "'" H O (A",Q) = R. (tO) f>mlI:R"AC10!<l. Indiqul'mos un I)li'torlo más de cálculo de coho- mulogíns de una clreunfc reneill. A cada forma /o) (19) - a (fJ') drp le confrontll mos uno forma . m ... dia. :.. : .. ':) "'- -E- J w(tp+ 't) d't _ 2.~ [5 a(tp + 1")d't]dl.jl. " . APIR;\I.~CION l . La forma /o) u ro/¡omológicu ti la forma ¡;,. OC)IOSl'fUC10N. La lorma /o) (cp + 1") ('s inducida por la aplicación 'P-1P+'t de 111. c ircunlerenclu S' en si mi i'!ma. Esta aplicaci6n I'S homotÓpica 11 la idénlica . Por l'$ O ro (qo) -- /o) (ql + 'f). La suma illlegrol para 00 se de t ipo 2.~ ~ (i.\(q/+'T,)6't¡--I>'(J¡l). ~~ 61", _ Itl(q/) . (H) , , Por lo tanto, cada SlUDa integra l de esle tipo I'S cohomoJógicll a "'. La nfi rmaci6n quedn de1Dosl rndll.. La forma ~ es de t ipo ~(~) _ CldfP , '" , o donde cr; .. con~t --o>- l a (1/') dljl. En rea li dlld: -" • '" ~(q» .,, ~ U 4 (q>+1")d'T]dlJ' =- • ~ .. +. z .. - 2~ r 1 'N)d~]'. - ';' [.\ <(jo)",] ••. • • " (E n est\l Citll,! se d¡c\) , quC' I~ forma 11) (q) es ¡ n "nt ¡&nl~ rt's pecto 11 las ro taciones: ÜI (q¡ + 'fD) - W (rr). ) As!' fI t,ada cI&5<l d\! coholuolllgías ::u le co nh .. mtnmos una formo invlHion le (respecto 11 105 fot adoncs) w. es dac,ir , un númoro real. Es ",,, ¡tiente. que est /lo es una corr"spond~nc ' e biunh'oc a. y oblenBmos H I (S I) _ '-l.. i\lb a bajo se mostrará . cómo:se puede generlllh.ot el rnon.mienlo ci t:ado para calculot cohomolo¡íos de 10Ji t'spacios homogéneos com· pac to~ . ,\ I'IUMACh'X ~_ La uurl,dod ori~lltada u1Taoo tk R i,rnann. 111" /tlne un grupo de rohomclogta, Ir' (M") no Irlvial. DEMOS'rRACIO:S . E lI:ominemo.'C un elem ento de volumen R, donde (l tx;a lmente) tenemos: U - V 171 d$1 1\ . . . /\ d ,;". Si el con- junto de Jos dominio.s de coordenlldas local es se elige según la arien- tllción (es decir, todos los J8co hi 8nos dul n fun ciones de la transición son pos ith 'os), entonccs O es la formll de grado 11 dHerllncial , y, con CSO, l €loemos } n > O ("11 vohunen de l. \'ar il'dad .'1'1 ~ ). Es 8\'j· ~; .. dentll que dO = U, porq uu .. 1 grado ue fo rma Q ('9 igual 8 /l . SI fuere n _ dw, Il nlonees lendrÍlurlOS, !egún la fó rmu la de Stokcs ( ", _ \ dw~ \ Q _ O. (12) <l.ü" ,,¡,, ~j" (puC;5lo que M " e., <:errnda. y no lillne fronlf'ra). ObteO(~mos U0 9 con- t radicción. La afirmllción queda demostrada. ODSCR\'"C.IO!'i:. S i ),. vnr iodarl cen orla ,\1" ('jJ no oricn lable (por f' jemplo. M~ = 1 P 2). "Dl onces. 1'1 grupo nn fM"; 5\ ) es t ri",.I; eSÍ(ll'e demostra ra en el § 3. En pa r t icular, un ell'Qlcuto de \'o lumt n Q _ ~ 'TKI W A . 1\ <k" cn 1'1 CIISO del cluuL io c,on un jaco- hi&oo nllgati vo . no Sic' manif icsta como una form" diferencial. SlIa JI . (.11") ..., f 1I~ (Jl" " ) li no sUllla d irccln de grupos do coho- .-. mologJe!. Introduzcamos ¡m el grupo /l" (¡\In) una fJ ~tr uctUrll de anillo . .... rJlHlAc .o,.; . 5. Stall IIlI' w. formtl$ cerrada$. Entonen. lIu formOl toI, 1\ 111; V (w1 + d(,)') 1\ {.I t son rerrOMI V eohomo16gicas. DDt~TR"";lü"'" &ogún 111 fórmula de Lei bniz (v~~se fll . parlo l. § 25). tenemos: d (Ol' 1\ Ol t) - dOl' 1\ w. ± Ol' 1\ dOl. - dú)' /\ (1)1' (HI) Por eso (00 , + dw' ) /\ WI _ W 1 1\ W, + d (Ol' 1\ h);). (14) La lIfirmación q' Jeda domostradl . ,. Conforme a e:<l " ltfirmllción, l' ] plodueLo ex turio r clll In, to rlll llS o.l. l'lcrmiutl cor r~ lIl1n ('n lll' lo ruultipll cllOJ ión 1'11 H. (.tr'). De esln man"rft. obtclIemo.s un flnUlo rk cohomo/ngfa. eh la >XIrI~d..d .II~. Si (0), E 1/" 01"). (0/= E I/q (.lrn). <' 1I 10nC1'5 el II rorl uc-lo 0),0»)2 :10) cncu\ml rll 11" 1.'1 espltei,) l {l'·. ¡,IT"). g ::< LC producto tielll' In s igmcI\lt> pro p io.>llml ,le 1l"licOllnlUU.tividad: 115) .... datemos ,,1 .~ent¡do goometrico d I:! ¡us grupt)!o du coho<noJogi/l.! ; IlIs rlllf¡ n[ciones I'Xflc t .. S la, darllmos en lo.!; si¡uicntO!' plirralos. S i ,un l' S l\nll \'Il.ricdad !lrb it[a~ia y w OS unft forma uu " r nrl!) k cerr ll du, IIlllOIl Cl'l'l sus . inL lIg rllles por cklost son dotofm intnlos. Esto so pU t'u<.! ~o mpronder . por cjllmplo, 1I~1. Sea M~ una va.riedad Cl:!rrada orumtablc "·-d¡ m(' lIi~io " lIl . Como .<'ido • .,n h \'ur iedad :l/" compren- demos. por nhora , una apl ,cación s ,u,,'e f: ." . _ .11" , es dedr, el pllr (M·, (j , DEFJI.: 'C IO~ ! Al p",riodo de In 101"l1n '" Il(>r d ciclo (.U· ,jI lo deno- min;Hf'mo.~ con'" ¡nl .. ¡;oral ) J·w . .. ' SeR I'I·-r' ulln \'a ricd rt d arbil r ann oricntablo con borde M~ z= _ iI{V·. ' . 1::1 borde f'S unl! "ariedlld "errado or ientablll (I':ons is lcnle, posib lt! lncnl..o;, t' n varios ttOzos) . Cuma 'pelk"lIu comprl' ndomo8 Jlna a plicoción P: N· -r l - "''', Ticnu lugar l,l sig uiellte T EOlIU'A s 11) P(wa t'lto.l.quttr t'ldo (.1 f h,f) d perwdo de tu !lwmd rxocw ro _ dú)' n IJ:ool o uro. b) Si ti t'/.t'la lM·, f) es ,wa ¡rOl/lera rh la prllcula (N"+I , F), donde ",. ti Ulla jrontl'ra dl' i\'''~l y ,.. 1M • "'" ,. rn tom:u, ti prrfudo dt cualquirr fQrma crl'rad(l por ta l ('11'/0 l¡\f~, f) ~s Igual a ,~ro. DnlOSTI\ACIO~ ll ) Si 1;1 = dOI'. enlollCOS', ,~egun l o. r,jrmul~ do Stokes, lenemos ~ r ... - ~ ¡ · (dúl')-= ~ d(/·"I')_ ~ , . ( ... ')_0. ( t6) ,-r" M O .\Ik n~l. y8 q Ul:! ll! vnriedlld Al· no tiOlne f rontllra. b) S i ",. 0$ una fren terll de N-- ' (tomnndo en cuentn las o rienlo- ciones) y F I",~ ... /, entonces, se~uTl l . fórmuln de SlokE'S, ~eneUl~ \ ' · w_ ~ dP(w) - { p.(d<u) _ O. .Ii- N~" N~" { I"i I El teorelllo queda demolllrado. MOlIlranu)5. sin demoslrar. IIn importante becl,o : 11; lo! períodos de una fo r lTla cerrada por lodos los ciclOll 80n i~uaJe!I a cero. enlooc.·". l a formll. es exacto (véue "bajo el § 14). " J.JEMPLO. Si ,It" _ S'" es una esfe .. a , entonces . Y· (S") _ O euando k + O, n. DBMostJ\ACION. Si k> n, la anf'lllI.ción e! evidente por definI- ción, Si O < k <" y. (M-, J) es un c iclo cudquiera, ('ntanee!, POl el teoromll de SlIrd «(11 , parle II , § 10), la Imagen t (M k ) no cubro siquier", un pun to Q E S", Por eso. el cielo (M~. f).'Ie encuentra . de hooho , 8" "I:n _ 8"0. Ya .!Iab6ffiOS (lema de POlDellré) que en R" cutdquier forma es OX8cta. Por 630 todos los períodos son iguales 11 aero. si O < k < n. De ahi que H" (S" ) _ O. c uando O < k < 11. Otra conclUllion de Ij5t.o hecho puede ser obtenida del razona- miento análogo al cAlculo de cohomnlogías de la clreunferoncia SI (mis arriba). Utilinndo un grupo de movimientos SO (n. + i) sobre IIDa esfera 8 .1 se puode reduci r cua lquier claso de eohomologias a una CormA cerrada ¡nvnriallta con relación 8 SO (110 + 1) sobro 'la' elIfora S". La forma invarianLoq¡sedeLermina por el valor en un punto de la esfera y en 6!lte punto tiene que IK'r InvarialLte con relación a un scupo estac ionario SO (n) c: SO (110 + t ). Tales form as da (,) no exisllln. excepto 1M dinl ensionos cero y ,. (¡comptll&be5el). De maDera anafaga. c~tculll mQ.~ las cohomol ogíu de grupos de Lio y los espacios simétric~ . Recordemos (,-éase [l). p:1rLo 11. i ti). que IIn uspacio homogé- neo .tf de un grupo O con un ¡rupo do isolrop!a If se l18ma. simélrko, si en 01 grupo G os dada 1111(1 t invnluciónf. os docle. un auLomorfisroo 1: G -O. fI _ 1 tal. 'IU\I I 1" _ 1 (Ins pllntos del subgrll po 11 son Inmóvil .. s respecto al IlI1LoOlvtflsmo 1). Con It.~to. la ecuac ión J (:r.) _ _ :t pUlI los J:: pn.'u:i ,noi Jl 1, da solamentt' lo" l'IeIDl'ntos tlel s ub- grupo ll. Sobro) tal vnr iedad hOlDog6nca ,11 se delerminll In t~imetr(a. 1" con relación 11 ctl~lq "l ~ r plinto x. dondo.s; _ t. L •• al)liCllo;ión.s" de la vArledad.'l1 e n s i mis ma so ,In asi: !(la f( (.t) hU punlo cn" lq ulerll do .1(; hate mos I (..r:) ... 8" (g (z») .. { (g) Ix): s" (z) _ x (c ult.f1do !t = 1); (18) dondo g os un elemonto c llalqlliMa del grupo G que H"túa IllJ Af. f .. o It.pliClICión s" Pllt ll c \ullquicr puntf) z se dll lorminó correcta- monte, al mi~mo tiempo (1,,). O.':! lIna aplicación de u n espacio tan- ¡r¡nte cn 01 punto x respooto 111 origon de las coordenadas (véase fi l. pa rte 11 . t O). En particular , cada grupo compaclo de Lie G es un OII Pacio s imlitrico dp[ ¡:rupo G x G, La IIcción dol grupo G X G se doterln ina a,í: ( t9) La involución f{ lie llo In forlna: r (g. h) "'" (h. gJ . El .subgr"po If ti') UM dlngonal {(R, /,in. La simBtría s" con relación 11 la nnirlnrl dd ¡;:-rupo G. z = e. SI.' detorln!nH por la fó rmuln !I_ (el = :- '. ( ('J') " En cua lq uier espllcio homogéneo se elíg,m tl\ l ~1I lonll8.!l in \'8flll ll- te!! diferencia les, q ue g-f» - w; g es cualquier elomento de G. La d ifo:renc¡ a¡ dI<) de uon formo. invariante ot ra vez se reprl";sent a como UlIo. lo rma ¡ovnia"w: (20) El \lro(lu01u Ül 1 /\ (i)~ de dos fonu¡tS iuvllrja n tea es ¡n"ariauto también: (2 1) Por (os() so ¡Jeleru);n!) el Drli ll o de las forma s Invar illn ll:'!:I dd esp" , e(o homogéneo /lf . Resulta qUIJ para cualquier espacio homogéooo de U D grupo compacto de Lle COlleJO ('1 anillo do cohomologfu puede ser calculado sólo con ayuda do 1l1li formM InyarilUl les. Al mismo tilunpo, para los espacl03 si métrico!> t iene l ugar unll dirmacl6n más fuer te: Tl:O HENA 4. Sea M un npado f:Qmpm;lo simi'lrico fk Uf! grupo COIn- pacto rk ~je G. Kit/Mees; a) rualq¡d~r forma ¡'wariante suure JIJ es (l'l'rurW; b) clUIlquler forma urrada Bo/m' M es (ohonwlógl(Q " la 'nua.- r!ante; e) unn. jormtl lrwarianU (no nulil) nuntu ts cohomoMgiea 11. uro. DI':.\IOSTII AClotl. n) Sen", unR forma iuvaril\Dte del ran¡:<I k. Coo- sídurlllno~ lit fo rma s,::", - ~. Mostremos que ror ma '" es también Invarian te. Por la iguald nd (18) tenem 03: 1"7'. = 1', •• ,,, (T, _ g) (22) En realidad , si /1 _ T~ (x) , 11Iltone6S r,é"T ~ (z) - Tr.T ,. (.e) = ¡",M (x) . , ,,,T.T.(%)_ ~.ET •• (&). I"T. ~ (.1') - T Ih ~) (.tI _. I<" T r ( /I) ... T ' ''.~ (V) · Enton~s . . r;", ,,. Ti!:"" - (.1 .. '.)" CI) =- 6.::n.CI)_ (0). es d .. ~i r. la for ma ~ os ' !lv¡¡r ,allw. C.offiO~" dptc rm in& In oplicndó" sobro un ~paeio Illn~I'" l e 011 " n pun to x . c.n tonccs, ~.I~ _ (-I)-u) l.,. Como I&~ formas (1) y ti) son in\QrIIllllt·';:. la últimil i~ua l t!.d t.~ just ll pua cua lquier ptmtu r: ,~_ (_ 1)·,,, (2::\) Por e80 d~ = (_ 1)A d",. Pero las fo rlll as d", 'Y d", de rango. k + 1 80n tawbién invariantes, mientras que oS: d", -. d:'. Por e~ d~ _( _ 1)A.1 d~ (24) debido a 108 mismos razonamieutos expuestos Arriba (el raniO ele estas formas es jgu:.1 a Ir + t). gn ~oDseeuene ia do,¡ _ O; Ja primera parle del teorema qut'da demostrada. b} Sea cerrada la forma r,) sobra una variooad 111: dr,) _ O. Sobre el grupo G. duhino 11 la compacidad. c,;isle una mótr ico ¡ OVII- rla1l\.o (mhrica de KUHng) (\·¡jase pI, porto 1. § 24 y pa rto IJ § 8). Esta mét rica determinll un elemento invarlanU! do volumen que dcsilifnl'm05 por dp. (g). d.1I (hg) "" d" (g). (25) NormoHt'emo~ UII elemcnto de volumen .wbrp el grupo G11(' tal illallllrll que el \'ol ulliel] d ~' lodo d grupo sao ¡iunl a 1: ~ dfl (g) - 1 126) Detr:>rmln tlomoS por la lorma r,) lo forma (l). ho<"i(>ndo ;;-, ... A r:".od¡1 (g) . (27) Com probemos que la fo rma;;; ('S invatÍll n te y ('ohomoló¡:h' ll n la forma (1). Calculemos lo forma Ti:~. Tendrenl(.!\ 1':;;-; ,.,. J 1';:,(1.1 d!1 (¡¡') - J T:G(~ rl" (h g) .... l 1';.(" di' (g') - ;;;, (28) donde hael'mo.! ti = IIg, t lll ~u~til u(' i ón del "lIrinh)ts es 1'11/1\' 11 e in- verli bh' . Alli, In torma 70 es in vu.rion te. i\los tr(' IJl O~ q ue l/l.! forDuu ;- y '" son cohomoIÓ¡icas. Ln oplinlc ión 1', do 111 vpri~d~d .11 I1n si miSnl.n es homol6piCII 11 la id6nl;';o. Fn "{eeto. sen J! fl) UlII nlrVII en un grupo G, q uo liga un punlo 11 r,oo uno uninlld ,1('1 ~rllpo {('('Corrl('n'lo!l. qul" ('1 grupo G es ren",xo) Entonces. T 111" es Ir! ¡Iomol.opíll bu!lt8r1a. Por eso Ins formas r;(I) ) (1\ son rohomoI6¡:ir~!I (>11 \ irlun (11,1 tco r~' mil 1: T:c.J"'" (0). Por (onsigll icnto. ;;;- J T~.dl l {,) _ f ,. , (1111 &') -" " f d!I(~)"" ,I.I . (2,!)) G o r. La segundll p.rte quodn d,'mDs lr ll.(ln. ~ . c) YalllO!lIl d<:-mostrar lIhora, ¡¡m) 'lIla forllla illvatiauto3o sobru un (,5pado .:ompaclo " imUdco 110 puod(" ,wr co¡'om('>l óll' ica B cero tSl el lo. t"!I no 1111111). Rceorde ruos. qUlI l«Ilore 111. vAriedad M puedll ser introducida una métrica de R¡¡' ml\n n (hu) t¡lIe es invHfil\.nlo con r",IIlO:¡óll 1\ In acción del grupo G (\'lIbo:! iLl. parle 1) , t 8). La ru6trim do Biolllanll .'>Obr() UM vMiod~d d"torrnlll ll el prodllcto BS!.'IIlI\r!le las formas iIO br\! ~Sla var ietl!ul. El cua drado ~r,ah,f de In formA (fJ (.'!j igua l Il ~w, ",)- . {,., /1. lO"', ; , (30) Este ,'aJor s i(' lll pre es m O~'O I' qul' CQI'() si w+O, J~ n e(PClo, si .... ~ , ~J_ ,L: a l , ... i_dT" /1. •. • /l.d.I-. entonces >. <. " - ' - 1 w /\ .. ", - J ,,¡.!. ' •• h'_ J~al, .. . ,,,0,, .. j~ ~/ ¡; dx' /1. ... 11. dr" >0 (»¡¡lIí ,,1) ,'s una malrit, in \'l>t'l;\l a hu, h = unl (11 ,,). " = diro .lf). Sea (JI UIIIl forma invariante. En " ,gor do invariación d I.' 11\ 11)';'- tr ie .. (hu ) tod~ I~ operadorll! T; cOhmll llln con el op-eradtlr • . 1'or '-'!la b form". (O es Invarian te t"mbien y. por c.o lIs igu iom te. e5 ,'eHlI ' da: d_m _ O, S upOtlíflUn09 W = dw·. Gnlon'W~, d (w ' 1\ • ~}) "" dw ' 11. _ (oJ ± ± w' 1\ d _ w = w 1\ • w. Por oso. según 111 f6rmu l ~ di' 5 10l..C9, h 'n"m05 (~"",) _ ~wlI. .. "'_ ,'d(w' lI. _w)_O. ~'I ,;, (3 1) Jo: lI lo,,~es, la fUfmll W ~9 un cero id6ntj~o . El UlOr('llia q ucda tO~:II mnJi Ul ,Iemostrado. Consid lJrelIlOl:l ahora . 11(11005 ejllru p l~. &JIt)l.PI.O t E l toro T" _ H", r . donde r es un retículo enlero numérico en !/l.... ongendrado por 11 vectores linealmente indoprn- dientoa. El toro es un ¡ rOPO de Lle aboli"llo com pacto. Soan :t I • ••.• :t~ coordenad as euclfdeas en IR.n. Todas IR.!! rormas del tipo dr '. 11. . '. 1\ dJ:1. IIOn las fo rmas invarian tes (respe(.lo R los dcsp l at.amíeoto~) sobre :it~. Por oso 011&5 dete.rnlinan 1115 fonnas invorianteos sobre el toro T". Si 1" forllla to <% GI ... . I. (x) dJ:;' 11. . .. . . . 1\ d,tl. sob r ~ el toro es ¡nvarillnte, esto !ignlfica que a " .. , ' . (x+y) -a" . . . I~ (z). (32) 011 dl'Ci r , los coefi cientes de la forma ro son OODSUnte.~· a" ... l. _ cun~ l. (33) i \. Cohomología. como cia.". d. form~< c .. rrada. " Así, cualquier forma invari ante sobro 1'n es una combinación lineal con los coeficientes constantes do lOli! prod\lcttlS exteriores de las formas dx ' • d:r,' , .. . , d:¡;n. DI!DUCC10:;. El anillo de eohomologías del loro H" (1''') es un álgobrll e:derior A (~l' ... , e,.) con las seneratriccs el' .. . , el' do grado :1. Aqul el es una cl ase de cohomologías de la Jorma dx . E.Jr;:~II'LO 2 . Un gnlpa do Lie compacto. Las formas invariantes sobrc G son formas bilaterolmentll irwa ri untes diferencialt's sobro un grupo (respecto a los d~,!;pJ azamielltOll a la izquierda y a la derecha). Considl'rernOS, al principIO, I::ts formas in\'¡lrilln!.es respecto a los desplRzamielllos a l a izquil'rtlll sobre cl grupo G. Demos un ejemplo de una 1-forma in \'ariantl:' respc~to a los desploumienl.os 11 la izquier- da con valores vedorillles quo toma valores en el álgebra de Lio 9 del grupo G : Col (g) = g-' dg. Para un ·grupo matricia l G, dond~ !; = ... ~I ~ )' dg = Idg¡h) el! una matriz con elelll(!l\los dga . q; es tpmuión una matriz d ... las 1-forDHls. W = (w;l<). Otr.:l cooslrucdón de la misma [arma Col no emplea In realización matncial del ~rupo y por eso convi ... no pa ra cualquier grupo G. Sea d Vel\tor ~ lnng(lnl~ del grupo G en un punto g. Achlt1ndo sourc E c.on 111L despla:wmipll lo a la boquierda (Lr .) .. , obtenemos \l1J vector do un f'spnrio tangente en la unidad del grupo, t'S decir , d(,1 úlgobra dI! Lí O) g. T(¡do componente de In [ormt\ OJ 1"5 in\'srinnlc respecto a los des· plazll rni ('lIlOS a la i1.quil'rda: (34) S,;>H 6'.. .• 6'"\' uua haSl' en un espacio de las t-Iorma~ ;OV,\- rinotes respl.'cto a 105 d,' splazamientos a 11\ hquicrda. Pllrll \111 grupo 1J18lrichd E' n calid nd de las formas 6' pueden .ser lomados los compo- oe"le~ de h. forma CIJ _ (oou) ~ g-Idg eSCClliendo entre ellos 105 liocalmonto i¡ldllpeJl(lienles. Por ejcmplo, para un grupo G = SO (n) , donde la matriz (CIJ,) es antisimét.rica. en ca lidad de hase pueden S('c lomadlls las formas 001 _ ' dondC' i < 1,:. LE)f.\ 2. Elllúmera N. a3ea la dimensión del espacio de los t -jorrrws ú¡(l(Jrlantes respeda a las de~plazamientos a la (ZlIuJl'rda. ell igual a la dtlrumsi61t rk 1m grupo. DE¡I1OS,.R ..... r.!~N Cualquíer I-forma iuvariante resp€'C to iI loa des- plazamionlos a 11' izquierda 6 se dl'lermina lotalJUI'nle por su valor sobre Uf! espacio l angclltc en 11\ unidad 0.1.,1 grupo, MiomAs, t'ste ,·alor pu('de ser IlrlJitrario. El Jem~ queda demostrado. OOlIOLAjH" . El espaela de lall t -jarmml tn¡.-urwntcs respecta a ItJs desplrnamie/ltos a la izquierda. coincide con tl I'sparia g*" rk lodllll las ¡unciones lineales sabre el ú'lgebra de Lie 9 del g1llfXJ C. Aqlli el álg('bro etc Lie ·~e con"ideru como \111 espacio l all.l!l' uto en Ja unidltd del ~fUpo. Cap, \ . Recelao d91 cálculo d. homolog •• • LIl ~1A s. Cualquier k-forma lll~'ariantl! rcspl!cto a los desplazamien- W!; a 111. izquierda ((> posee la formlJ (35) (umde UI ,. .. / _ son e¡ITISlafi les. n C~!OnIlAC !OS . gn virtud del l[lma :.1 la forma úl on la I1l1íllad del ll:rupo puodo Sl'r oscrita as í: (" (<1) = íj a" . . , ~O ' L (el A . . . I\O'-(e). (3G) < lo • •• -: I ~ SQgílJlla invn,rinción respecto 11 los d(.'.'iplaln,mll'lllos 1\ la izq ui(' r. la d(l ].1~ formas úl y Oi. la igualdad (:~(¡) toS justa (.'11 c ualqui elr punto dell grupo. ¡;;I lomll queda domostrado. ';Oll o)I,AR/O. El álgebra de las formlls tmxv/./lIIles resperlu /1 /.Q,~ J<,.~ pm:amienws a la izq"ierda fobre el grupo de lAe G es isomorfa rll (i,lgebra exterior A B·) por encIma del espacio s· de mI fu.nciones linell1e¡¡ sobre el álgebra de L/e 9. En otras palabms, esta álgebra coincide NUI un espacio de la4 lune/oMs antlslmétrlcas polilineales sobre el tilgeh/a de Lit", 9. AoJaromo~ qué formas invariltntQ~ respec to 11 los d(\sp!nltlmi('Il- tos a la izqui(lrda son. al mismo tieolJlo. [ormas inyariootl's r(.'speo;:.to I.l los de;¡piuzamientos a la derecha. Señalemos, que con 109 d espla- zamientos n la derecha por h-(. la rorntR W = g-ldg se transforma do la manora s iguiont.e: to¡_ (g }c ' )- ' d (;lIC ') = 1" ,,1.-'. Do aq lIí es jm'lo el LRM A \ La luná6n anlisl mélrlca poIWIlt>a/ 'l' (X,. . . , X~) de A (S·) r8sponde a la forma 1/u)(Jri" nte resp ecto 11 los desplazamientos 4. la derecha si, y s610 si, es ¡Mtll. la Igualdad: (37)pa¡:a cWllquier elenunto h dd grupo G. DEDVCCIQN . El nnillo de cohoruologias de un grup" do Lit' c·om- pacto cone¡¡o G coincide con el anillo A In. (9·) de las funciones antislmétriOIlS poHUneales sobro el liJ gebra de Lie 9 invllriantes rospect.o a los automorfísmos inlAlrioros. Sea (JUll ( , ) significa una forma de KiIling sobre el álgl'bra do Lle 9 tÍel grupo G. Detorminemos la función 3-lineal Q (X, Y, Z) 8Obro el Ugeb~a de Lie g, haciendo Q (X, y , Z)..,. (IX, Y,l Z). (38) § l. Cohamalagl e. ca",", d .... d. fo,," .. ~.".d., Esta forma es nntisimlitrlca, dGbido a la i nvariación de h . forma de KiUing (véase 111. parte I. § 24). Además, en \' ir tud de la igualdad fhX}¡-I, hYh-') = h (X, Y) h- I , 111 forma Q el! invariante rGspecto a los automorfismos interiores dal gr-ll pO G. Por eso es jUlIla la A YIRMACJON e. El grupo lP (G) es no trivial pura cualquier grupo de L/e compacto G con una fo,-m" regular de Kil/ing (e~' dl!Cir, para un grupo no abe/fano). &Jl1MPLO 3. Sea ,11 un ~l!pac i o simetrico del grupo G; lf, un grupo do isotropía. F ij ando un pun to r en la variedad 111. ObUmf)llOS UDa , aplicación G __ M . dond~ un ('lamento del grupo ¡¡ pasa a P (8) = = T # (:.¡:J. Todo ('1 s ubgru po H (y ~ó l o él) pasa al punto 1:. Si ¡o es una ru rma sohre In variedad .Ir. cntonce~ se determ Ina una forni a p . ¡o sobre al grupo G. E&la forma se anula sobre el espacio tangente al subgrupo /l. Cunlquier clll'>C;der"Cha contigua {gH} por el subgrupo H paS3 a un pllnto, at flpticnrSl.\ p. Por eso IR rorma p*l') I.'~ invarian te rcsp(\~IO ... los despl a¡;ll micnto.;l 11 la Ilerecllll con ayn¡lII. de los ele- m('ll1to~ del grupo H . Sea (ol una forruA Jnv"rian to SObl'O In v(lricdad M . Enton~es la fo rma p"¡o sobro 01 grupo G os invarianta respecto n los dl'splaza- mientos n la izqnierd~ . TSORIIMA 6. El "m tilo df W8 forrrllJe inlXlrialllu dífercnclaLts sobre el erpac/o }wl1wgineo .1( del grupo G CO/l el grupo de isotrop(u II es -isomorfo a l álgebra aler/or 1\ IllV «q:/h)*) (II'1uf k I'S el álgeb,," de Lie del sl,bgrupo fr¡, e$ ded/". ,, 1 álgebro. de las funcio/~s an/lR/melrlcas polilíneales sobre g , unuuldus sobre Ji, inlXJnarttep respeetu a (os auto- nw'lismos interiores run ayuda de los elemenws de H. DEloIOSTI\ACION. A rAda forma invariante (¡,) sobre .ir le conrronte- m08 In lorma P*(j) sobre l<I grupo G. LA form a p*¡o l'~ in vn r i~ nte res- pecto a lo~ desplaumi enlos a la iZQuierda y se IIllu la sobre k. por eso determina cit'r to tl lernento d!l 1\ ( g/k)*). LII forma p·w es invllr ia llte tAmbién T<.'specln a lag desplilzllmi",nlos a la derecha en los e l a ru elJlo~ del grupo H. El! su ficiente parll esto, en virtud de h in\'ariar,ión respec.to a los dt'spl o.zaroientos o. la izq uil'rda, que la form a p*¡o sell i nYRrilln to Tt>Specto 11 los automorfismoli interiores en los elementos del grupo H. El t~on:ma qUf'do demostrado. eJE .. \tl'LO 4 Cil lculemoli el anillo de co¡'o motogills de Hit espacio complejo proyeclivo: Cp R = U (n + l )IU O) X U {nJ. (39) CP" es un aspacio compar,to simlitrico. El grupo U (n + t ) también es cone~o y compacto. Por eso, el anillo de eohomologías f:,P" se determina por las lormas inva riantes diferencia les. &a n (lI' , .. " en) coordlonlldas homogéncas sobre CP", es deci r. coordenadas sobre Cn1-"O, deU'rminadas co n exactitud hasta un •• fa ctor completo no nulo. Conaidel'i'mos en C ..... I una Z-forma real difCNIIC: ial (40) A la T('s tricc.ión dI:! ula lorma sobr .. la esfcn SIM+I: ± I ~ II =- f .-l.awbién la designemos por O. La forma n es invariante Tt'SpeclO 111 grupo U (n + t I. Mostremos qUt esta formA se obtiene de cierta fo rma Q ~obre CP"; Q _ p .w. dOllde p: Sl~+t _ c p n es una proyección n:lluTtll. Hay que verifkar que (on lAS ~ranS fOtlllaciones z~-e."!~, dl~ _et.(I/;¡;~+l::~dql), (41) (41') La furm~ Q pMIl el ! s i m¡ .~mll . J:l<'>bn:' In tII lera S .."... donde • ~ t! ? .. 1, !en('IDOS ~¡· d:'·+ ~ ? dtft _ O; por eso '-0 -f ¿; dl· 1\ dz· - -r ~ a:~ 1\ a"i· + + tao¡ /\ h (~ d?< + z· d:A) _ f Z d~· /\ dt.a• Así obtenemos la 2- for mll ill\'arilwtc ÜI sobre el espado !'lirnétrlco ep", Todos sus gradOJ! ext .. rion's w'" soo rBstinlos d" (61'0 cuoooo k ", n, ya que los grados correspondi t'lllt's de la for ma U tam bién son dblinl09 de (~fO (¡verHlq\II':seI). DCDt"CC10~ . El 61¡ebro dI' (ohoJllo!o¡ias U· «(P") del (,lSpllcio oomrlolo proyedivo Cp R conti l'"DIl en I<l ~l 61(1:l'bra de polinomios Clw de la generatril 00 de dim('Dsión 2. odemb, 00" .,.1 = o. Ea el i 4 $(! moa!rar'. que 110 b~y otr09 e1rmentos en H· (( P,,). § 2. HomoloirM de los complejos algebrllcos O,."ISICION l. Se llama complejo (complejo de cadenas o c~ cadMu) un grupo abellaDo e escrito aditiva mente, si: 1) El grupo e se reprll68n ta como UDa suma directa e "'" )! e" t;:. de I\IJJ allbgrupos C. de 1, d imen~ión o del ~r.do k (se dice que el grupo e i'.'J graduAdo). 2) Es dado un operador lineal Olomomorfi ~mo) o: C. _ C.*I tal. que 00 _ O; el homomorfismo a 8um"nta (o reduce) la dimensión en 1 sImultáneamente para todos los k: iJ (C_) c. CH,o[O (Ca) c:: c: C. _,I. Si aCa c:: ac.+ I • se trata de un compl ejo de ceocadenns-, ,SI ac. c. C._lO se t rata de un complejO do 4co.den8Sf, ,. D8flN1CION~. El grupc> k"dimensiona l da homologias H _ (C} del complejo de cadena~ e se denomina gl'Upo coeiente del grupo de cidos k-dimensionales Z. = Ker ó (o sea az_ = O) por un subgrupo de fronteras B ~ = 1m iJ = 8e,,+! (B. e Z,.): H. (e) = Z~/B~ (1} Al grupo de cohomologíllS del compleJo da cocadena~ so lo llamará grupo cociente de los cOt: iclos Z/o. .... Rer a por cafrontarAS B~ = = OC~ _I : (2) Al grupo comple t o de homologí as /J. (e) o dc (,.ohomoIO'gÍIIs- H · (e) se lo lI~maní suma direcla: H .. (e) = ~ HA (C), o H· (e) = ~ ;.o = ~ H~ (e). b. IlHmPLO 1. .El comple jo d" formas d¡f('tcnciales e = ~ C_ .-. soLre la "Iuicdo ¡] fll" es {'OIlI'XO {'on clIdG variNlad ,\1". Aquí e" ~on tod"s las k-rormn~ (>suII\'es) ~ob", 111 variedad M"; ('1 o¡K'rlldor- O: e" -. C/o. +1 ('$ un OPNndor de> In diferendl1dón ('xtt>rior d = a. Laa homologias oc t al cornpkjo sc d¡'Domino!wn en p.1 § t COIIOO1ulc- gills de varicd~d . EJI!.MP LO 2. Se detcrlllÍna un com plejo de las rormos in \'arislltC'3- dUcrcncialcs sobro un grupo de Lia (1 ~oLre uo ..spllcio simétrico. Todal:l csta8 formlls ~Oll c ¡'l'l'iHlll~. PUl' eso e l oIX'rlldor d ...... des 1.ri"ial, o sea, nulo. DIlJ ll'Or(>lllfl 1.4 1".' ded lle,c qUl' las homologíll8 de este- complejo coinc iden (panl IIn t'spacio simétrico) CO I! 19s homQlogias- del complojo de todas las formas diferencillles. En los plirraros s igui('nt<,s ('ncon trnr6mos llJlll ~ ('rie de <,jemplos d l' los compll'jos. Sean dados dos complejos (C" I, ¿¡ILI). (C,ZI. a(2J) . OEFl N1CIOl< 3 El homomorfismo /: C< ll __ el.) quu eons('rva la graduación. se dl'nominn homomorfismo d¡o complejos, s i él e,onmuUl Coo la operaciÓn de las (liferenciall"S: /al\).,., (lfZ)/, f (C~" ) e C:~u. k=O. j , ... (3) Tiene lugar 111 sencilla ",PIRM"'CI6N 1, Un homomorfismo / de los compleju& alg~úllliCf>s, t,¡duce un ho"wmor/isma j de los grupos de homolag ías: /: 1I~ (Ctll , 6(1 ) ~ fldC(l). 61z.1), k o; 0, 1. ... (4) Dl'MO~"I'R"CI6N . E l llOOlOmarfisma f traslada los dclos Z~" a ¡mi· ciclos Zit" y las (rollt el"a ~ B~" a las fronteras B\:' para c,udqllict k. Por l'SO el ut!lí'rmina (orNclaffil;>ole el homomorfis mo de lus g/""pus d~ hon,,,logía~. La nfirma"ión queda dt!muslrnda. . " Cepo 1. Roeet" . d.' dlculo d .. homol"gi .. Por ejemplo. , una aplicAcióa suave de variedades f: M _ N ,del.erruina ulla Ilplico.ci6 n j- de los comple jo3 de las formas difl'nJn- .(';iale~ ~o hl'tl est as variodad o.'l . qUit actúa allado In ver!lo: ,.; e (IV) _ e (JI) . Esta aplicac.ón es lineal y e<>nwlltacla con la diferenclM: r'dw = drro pa~a cualquier forma ID, Por I~'IO r es un homomorfismo. de 'los complejos de fo rmll.!l dif(!renciale~. OEPINIClON " Sean 1: cm __ C(~) , g: e<l) _ e'" do!! bomomor- fismos do los co mplejos a lgehrnillos. E-ilos Jlomomor fisillos sC! llama n (al .. ~bra¡cam~nw) horoolÓp¡co~ . si ('s dad" un hOIDomorfislUo D: e 1 _ __ C(1J lal, ql1~ ). Si lo.'! opcrIlJoro!l 8(1), al l ) ultulUulan (rcdllcon) fa gra •• uaci6n, entonc'-'ll la aplicación D rlldILo!' íilum ~ l1tpJ la graduación:: D(c¡)dc"¡,z21 o D (C:"Jc:C.2; . : (6) " ... IR~IACION 2. Las apltcador¡es h,1<llJlópU'J,s de los w'nplejo¡; i.w.lu· ·ten iguale¡; homr>/norj/¡;/lUu de /06 gru pos de lionwlogias; /_g: H~ (cnl, f1/.I)J _ lh (Cl~) , ó\ ~). (7) Ot:MVI:ITnAC¡ON. Si c. E C1" os lUl ciclo, <JI!\c~ = O, l;\1LtollCe.'l ¡(c.)- g (e ~ ) = Dijl.l )c. ± iJ. : .'Dr. = ± {jf.1JDc., <G sea, / (e.) ~ g (c~) en un grupo do homoJogias lf. (cm, am). La afi rlUación queda UlllUo.'ltrada . Este eje11lplo de la homotopíll algebrak,a IUE! dado al demos lrar 'la illvllria.cióll[UHnolópica de coltomologías en el leorem:l 1 .1. Oh'05 .ej emp l~ 103 !lncontraremos en lo.!! párrafos siguiou~es. DEFlNlCION~. Sea~b. un rango del grupo H. (C. a) . La suma al ternada de l tipo X (CJJ) = :E ( - 1tb.= ~ ( - '1 )h rang ll. (8) • .;0.0 . .. 0 :Se denomina cate.ctorística d o Euler del cllmpltljo (C. al. AFlR/olACIOI'I $. La. caractcri¡;tU:a. de l:.'uler del complc;o (C. a) el Jguo.l al número "gutente: X (C, J, = ~ (-V;rll ng C. . (9) .,. DEMOS'l'RACION. Sea ZII el. rango del grupo do Jos c ielos Z.; Ih. el rango dal grupo de las fro ntera.9 B_ . Elltonces, para ostos r angos tendremos la!:! rolac iones: h~ = "~-~A, (10) 13A = J1lnS'CH ¡-zUI (l t ) i 2. HomoI 09i~. d e lo . complejo •• Ige b ,,,ico. (donde 01 OlHlrltdor (J reduce 1ft graduación). Por e.'lO, bit = !It + '~+I - rang e lt +1 y " La afi\'lnfu; i6n queda dOlllo~LfIl.da, y~ que So = rMlg e G «('.8 ovidente, 'll.ue In uemos~rució'l e.'I justa t fllubién cuando e l operador aumenta la grtlduación en 1). Son G un gmpo abeHano arbitrario (escrito aditi\'amento). Es determinado el com plejo e ® G = :E e t ® G. o sea 01 complejo _;;O() de .• cadenas con coef(cicQws en el grupo Gt . [R ecordemos. que 01 producto t ensorial de dos gru[1<l3 al!elia nos A ® B 8" co mpono dll toda clase de sumas (¡nitns del l ipo ~ al ® b l , al E A, b, E B. mientras que para el símbolo 0 deben cum pli rse las ~ ;gu i entes exi- genciA.l!: (a, + a.) ® b = a, ® b + a. ® b, a ® (b, + b.) = o ® bl +0 ® b~. De aqu í se d4¡¡luce una re lación útil: ma ® b "'" a ® mlJ. donde In 08 cualquior número ontoro. I'IlOllL nMA l. Demustrllc que p ara c ualquier grupo G e3 jus ta la fórmul a G ® Z = G. Cak"llIr el pro!lnct.o tt' lIsorinl du los grupos fin itos cíclicos Z", ® l: n' Domost.rar que d produr:lo teLlSorial de c nalquier gr upo al>~ liuno finito por un grupo Jo los números rea- les (o racionaloll) ('s igual ;,. e.oro. l El oporador () e n lllS rad"nll>; del tipo c~ ® e, rk E Ck , e E G, opera dé'! Sigll icolR modo: á «-~ ® g) = oc" ® g. l':l conti núa Hneal- menlo sobre todo el grupo e ® G. Aq ui os cvidl'oLl' la correlaci6n iJi) = O. La~ llomologías ..¡..,! complejo e ® G se llaman ta mbién nOlllologias úílL cOHlplej'l e CO'I los coeficie nh13 en 01 gru po G y 30 designa n a ~í: ¡¡~ (e ; G) = Jl~ (e oSI (,'). Sean G uo grupo abelinno escrito aditivamanl.e y (C , 8) un com- plejo dI) CadtlnH.1. In LrOLluzcllLnoS un complejo con jugado do cocade- nM, qUII son las fonnu s lineales (homomorfismos) C· eon valor en G. desigtllldo en el á lgebra poe l-l oro (e. G). TelltlmOS tina doscompo- sición na tura l en suma C" = ~ e I (12) Ir. ~ o ,s (C: M)n formas lineales sobre Ca) y (>1 operad or de frc.>lttv-rll d" ('0 /1 - jugado ¡;on a: donu(' ( 13) T('n('lnos o·u· _ Q. Lo1! 1r"\IPO~ di' Co,ll'OlllologílHI ll .. (e·. O·) ¡",hi- tUIIJ men1.(· S(' d l'Sia:"1l1l por JI" (e; Gl y so ¡\(l I1 (1 l1l i nan coho mololIías dd compl cjc. e eOIl "lIlor en G. Sea G _ k IIn rompo (por ej emplo. lO!! nÚUl('ros fllnlp:s k = R. los co mpl t'jo,. k - ( . Jos rocinnnh',. k -- lI.r o el c llmpo fin; t" l·, . - 1.0 do p d(>m('lllo~, d ondl' P os ll1L n(,m~rQ primo) y sea e mI "0111]11 '- )0 de J08 Qsp(tdo~ linc"k 's t [o dJ Dlon~¡'Hl [in;t n C~ soLfll uJl ('°"'110 k. Ticno lugar el 'r LO" ",\I .\ I SOIl lIIu IUlllnt:"le nJlljllgodo$ los cspucios tltll'fll.es "A (C; k) y If . (e): f ll IHlr licuMr , tU", fft'fltll la misma. dllll c" si6n. OI' '''''''TIUC.I('IX SII J}Ollga m o!-. q"(' ,-1 Ufll- rudor {) reduco lo gr"dllll- cló n . Domostr<,.moil, qll" u n c1cmcnlu t!' d(' e: l"S .:oGid o ,'n el l'úO\ - pI ejo C· si, y sólo s i . k'. B~ ) = O. doude DA, c:: CA, l'S un s ubQ-rul'" dí' lrOll ll'r{lS. En \!fP(" o. po ra c-uoJquil'r ('\ C I11 (' II' O -;:A,-t- I dol grupo C~-t-I ubLl'lIdrcmos: O _ (a·c-'. ;A,"¡' ,) - (d' . iJ;.+ ,). P or o lro h"Jo, si (c·\ QC:+ ,) = O (Hl rH I' ua lquier l' letnento c;,+, d I) C" -t-,. onl onc('s lJ·¿' Lo m .. valort'S 11l1los sohr .. cu .. lqu icr 1ll00ml'oto ;::-~~ ,. Así obtcllemo~. qul' un espacio Z· rI(' ('oeidos d('1 complejo C· coincide con un espacio do formas linliHles . q ue se anulll n (, JI un lIubes pacJo de lronlo:-r8s DA,. En v ir~ud de q\lo ca da espacio C. tiene Ulla dimensión fi nita . el c(.mplejo (e·)· co il'c ido ('on el c:omplt'jo C. Por eso tenemos: tUI espacio de d dos Z" q lle ('oinc:ide con t l n l'spat' io de 10fmlUl Iinl'alcs lIobre er. que se nnul nll ('n un s ubl'spado de fron - teras B'. En otrus pal abr as. B' son tOOIlS las forma s lin('d es que so a!'nlbn sobro ZA, . Según lo dl!lJ1os lrado. nd{l ('I ... ml'nto ti' dft e~. donde o·c" = O. determina una form A linE'1I1 w bre ¡!le homologl811 Hk fe ). Adf'mus. In dimE'Miont's de los ~"plldos JI (e; k ) y lJ. (e) I'oi nc iden. 1~ 1 teorema queda demostrado. Vllmos 1I deHlI,r la operación del pr"d ucto 10?morial e ... e(1) ® ® ell ) de dos complE' jos (D' ). (1(1) Y (e,~ . ¡jOSl) . ll ecordemos. q \IO al valor te ll$Orill l .... oSI B d e dos ~spllcio5 llnell.- le.!! A y B con bllSl'S (o , • .. .. a. ). (h, . .. .. h,p) Sil le I"'mará \111 tlIIP8<: lo con base 11 , oSI bJ• t "'" 1. .. .. s. I _ 1 , .• . • p. y lA (Oll - dic ión (",0 , + }'!u~) oSI b _ }.,o, ® b + ' .gOS ® b y a ® O"b, + + '.tb .) "'" ;",0 ® b, + '. ,a ® bt . (Aqlli ' ., y ).~ son el!cl'l larc5. Posi b] omell t(' . ~ 11 t T6tn do C\l 6]t'squi",r g rupos nlll' li anos e~c.J'il(lS a. li_ ,. lL vnrnenw A '1 D; enLonces, A son llnicaUlQnte númoros enteros ( véfls~ la pAgo 27)). Sl'l'I e = ~ e •. dond .... C~=(C(' ) ®C(21).= ~ c;'®q" , (14) p +q-> fJ (c~' ® c~') = (O(1)c~') ® r't+ (- 1 )p r~' @81tJ4" ). (15) Es fá cil verificar, que (Jo = O. T F.OIlCM' .... 2 . SeMI GI l ) y C(1) complejos de espacíos lineales robre cualquter campo k . Para las honwlngEas del valor tensorial /e/lcmos la f6rmuIA siguiente H .([(1)0Cm = S IIp(C'{I)) o H q {C(2J ) ( 16) ,,,- (ser<Í# Importuntes los I:(.IIOS CWl/UU' k = t'I. , L. IQ. Zp) . Pura demosLrar 01 toorf'Olfl pro¡'"rnos. al princ.i¡)io. una afi rma- cIón (Iu ... iH~r. 1..1!M.... Sea e = ~ en 1m complejo de esp'fCio$ linea/.e.~ sobre un ." C(lrnp(! k. Bnlences, en cuda eSfxl/:io e .. se pUllck elegir una base rano- nf(f' (Xn.l ' V .. . J' }I ~.r), e/l la cual ltl lUcl5n fiel operador a se escribe M' (17) I)KII\QS'l'Il.\C,o .... gs .,,,,,,Jcmt.<.' d" los fórr(l ul a~ (1,) que los ~'ector(!s IIn,} ~n fronteres, los \lf'{;toros h" ./ son c ielo~ q uo no se roprC5cntun como frnntor;ls y allí dan unn b"~,, "n 1M homolngíns fl n (e); por [[n . los voc.L.)rc-.s x n.' os !lilA. bus.:. ('1\ u.n (I.'Ipseío de canon al:!, y no son Cic)Ooi. Por <)90. In ¡'iI .~(' qlll1 ncr.osi t Rmos S~ construye fli.ci lmente por inducdón . comollu nrlo pnr el .. s pac io CO• DI':Mowm"'CfI"¡N DEL "TE .... '!.)! ... . Eli jnmos J ~. ~ ba~c-~ c"n6niws (J';;" ' , y',,". h:':') Y (",,~", y: ... . h;tl) ('n todo!J: lo!! espaciol! c;:' y e~" (omitimos l o~ Indioos que numornn I(I ~ " ceVITeS bhicos do "n esp~ci o). Con!!- tn,im(>~ nnn bA$Cl cIln6niClI p,1r:. el csp.1cin C_= ~ C~'0e,"- J> +~-~ El pr imer gropn de JOb" VCC\I)tM (DO ciclo.<;): l'fHl= .r~1I 0 .r,,2); apo _ 1- (.r~ l 0 y~2) + (-1)"""' Y~!I 0 x~~ .¡ . aP'>..,.:tf,,1)0f¡~ZJ; ~M~ (-1)Ph~)0 -¡;~2) ( 18) (por doquier en c!!Las fó rmu!ils y más abajo p + r¡ = k) . La !Jase de fronLuras; b,,'1= !I~I! , 0 J1~: I - ( - IJ'··¡ J.~l l 011~,~); Y"1= I¡~l> ®y\ZI; 'hq "' !I~1\ 0h~~); li po="~ ) ®¡¡~~" (191 .0 Los voolorcs (18), (I~) son ¡incalm.enl., ind(lpendientes (;vcrlfíq"'l·~I) y, para obte ner una bllse t'n ('[ espacio e •. h ny qllQ a fi ad i! los "l'CIOfOS del ti po h~" ® k'l'. p + q - J; . C'lkU!f>mON la ar.c i6n dr>1 opero- dor 8 en 111 base construida. D~'la~ [úrm uh,s (1[,) . (17), oblNI C' mos dI!' IJI1uedin lo quo iJ.(" ,, - b,,'1_o i)apq _ /l"_ lq, aal' ,, - ~',,_,q. DjJ" q=6 1' 'I_' ' iJbp ,/=OIl"" _Üi',,,, _ 06¡,., _ J ("~ ' 0 h;" ) - O. 011 doci r . In baso ",oJllj~ruida es r{,ll lme nte canónica. Dc- tal Dlanf rn. los verlOrM ~' ® h~" con p + q = k formoll una l.uIse en (') Mpa- do J/ ~ (el' ) Q9 e,I,), lo que' d l'lJíamuli d t'r no~lrar. § l . Complejos Ilmplldalel. Sus homologllls y cohomologlas. Clu iflcación de las superficies bidimensionales cerradas FQ fIllUlt'lllos. " hora, o tro I'nloq'll' de la ddinición y d¡>[ l's ~ud!() do l o~ I!rupo~ d., IovlUolog(as y cohomologíus , fluO lI umentA mucho IlIS pos ,bi lic!:u!rs d .. l .... ml,leo de los n" " roo;;. Dl'fiui 'nos "" si nrplcx l/.-dinrtnsioJ!o! (do d imensl(jn n). Un s fm- plex O-d lm .... n~jo lla¡ (',s 1111 pu u lo 1" 01; 11 11 símplex l -d imcn!>ioni\l es un !Jcgn1l'1l lo k'<,," ,I ; .. n ~¡mp l (·.x 2-di n¡clll; ionil l 1.'5 un t r iángu lo IUo(l; .".); Ir " ~ímI.lJ,' " 3 -d¡mcn~ ion " J eS I1 n Ir· lrAedro J a.p: ' O'.lo;~ 1 (Hg. 2). a¡ ' J D ~«' -, . , -. «, • • • O-111M,.· lI:q 4 , . -1-6""" ... • , ,,.,., 4ii",td /·11(_,, · .' ,n'''MI .J.q{ """S'W'IUf PIS". 2. S imple!(. Por inducción. s i un slmplex n-di.(llClls ionnl o" = ra~Cl.. . a "J es tll. d efinido 't se encuc nt rl en un ellPll<'lo n·dimens ion al R~, entono ce" pAra construir un ~rm plu (11. + t)-dllnl'Tl s lonAI. hAY que tomar un v6rtice nuevo " R+ ' r .. er. de es te Ili¡lHpht Tlo H" c:: fi"t l y eXI' minnr el conjunto de todo,s lo~ pu ntos pert ('Tledentes a loS ~g[Jl('nlos que ligan este v¡;rt ice nuevo a R-t1 COII 1011 p .. nl~ del símplex la, " . . a "J" El cuerp(l obtenido será un sh n pl rx In + 1)-dimellsio- na l la , . , . «,,-4-11 _ 0"+1. E n Corma más gr.nC' rol , al !!fmpl ex: n-dim('n~ innal lo «C'nominnre- mos (' lipsula conveXA d el (1l + 1) plllltO ('"érti r e) do un ~llncio eucUdoo. Las CA ros do un sl"mpl('x lI-dimC' nsioll&1 [ a~ " . . a"J son 105 s ím · plex tendIdos en 108 v(irtlces [a, . , , a"_ II . laoa. ' , . a .. . ta,, \. " ". I l. Homol09ia •• ,m.pIlcI.I .... " ... , la , ... a. ft !. Así, 111 t-fsima cara 50 obUI'Il0 al separar el f-6aimo vértice (:ll del ( oojunlo [(:ll ••. aftl. Y elh es opuesta a e~tll' vértl(e: 18 f-és ima CUIt arij' del slmplex OM ea (1, (el ¡·isimo vértice 50 ha separado). Las caras de menor dimensión se obtil'nen. formalml'nte, de UI)- 5ímplex la • ... a~ 1 al &epafar cierto número de cualesquiera vér- tÍ(e5. DB.INIC10N l . La Irontl'ra orientada del slmplex o" "'" [a, .. _ ... a .. 1 es una eomblnadón lineal formal do sus certUI del tipo: 8fJ~ _i¡ [CttI ... a. ,.I_ ): ( _ ni ['10 ••• ~J ••. a:~I _ ro. P or ejemplo, para 105 !tíWl'lex 0-. 1- )' 2-dilllell.!ionales tenemos: fJ 10:.1 = O. (3} dlav'1,l - (o.d-I~I, (4) iJ I ~a. .al l _ /a ,o.,J - (aUnl! + 1"<>0. ,1, (5) De In lig. 2 está daro, qUIJ IlIs carns t lenen sigilos r~gltlore9. 1,PMA I Paro un sfmplc% n-dlmenslonol tü nf lugor la 16rmuw /}{j (a~ ... 0. .. 1 ... o. (6). La demostra<' ió" cOIl ~ i s ' e en el tí !cilio directo. Por ejemplo. para n - 2 tenem05 o (o.oOI,a,l - [a.~I - (<<oo.:..! + (y ,l. 00 {aoOl .a:J _ {latl- (a,J}-{la,l- (<lo]) + {ta..l-la.oJ} _ O. " El c~lculo M :mal6gieo " Mm lo(lo~ Jos 11: 80a"_a (~ (-t)l Or;)I); ,_o '11 esta sumA /lI (lItn arl~' (los vért icl's al. al e~tín sefJ3radoa) se Inclu ye do~ veces-en lo fronte ra uar,í' )' aOrij'- CIJIl .!IIgn05 OpUC$lvS, De,rN1CION l . El campiejo 61mpliciu.i Ni un (Olljunto dll ~jlnpln de dimensi6D arbilrafin qutl 1i('lle la~ Riguil'nt.es propicdlld.·.s: 1) junto con cuahluier slro plcx , .sus (li ras de todas lu di ln~n siones pertenecen n est( conjnoto: 2) dos ~implel: plledon interseeal'Sl1 (tener punto! comunu) IlÓlo por noa cara "litera de Alguna dimensi6n y, con ~~IQ. en no má~ do una cllr~. Un eompl"jo simplící~1 finito se compone de un número finito de ! hnplex. 1~ "U lIwrClnU$ ..tI;) .1l¡: ;1II 1U0do 1011"$ los yútl k,,!S d e 1In complll lo .s iruplld ll¡ fini to a •• a, .... , a.y. E nlonces. los s¡mplex r-di mco- &ion~ 1 la"a., .. !l/,I ~e doterm inan por ciot!.o' 9tlbconjllll~ de l os v,:rtices (:0 lo unuroerllclón dnda. :"<':1 G cualquil'r grupo conmu1.1Ii,·o, dondo! 1(1 ley ti .. grupo so l'.lII:fiho cumo la adición (+). Las cadcn"g ,lo! 111 dimonsión k "'0 u n CO IIII/l l'jo s imp!icial :IOn CO luhinnCH)nc'S finit.19 linellles rorlnales dol t ipo c_ - :E g/o/. donde CI, son difl!l'tlnles shuplo:r; k-dimeosionales , 1l.''icriIOs on la numeración dodo de los vérlic~ de! compleJo: g/o so n elementos arbitrorio9 tllIl grupo G. La adic ióu do las clldenas se deter- mina llsl; ~ i c~ - :E g,O" r'; """ ~ 1:,11,. l'n lolu·ea. c. + cí.. - _ :E (el + C;) 0/. LlUI cadenllS forman un g rolllO obO;l1iIl IlO. J.a (ronlcrll. do 111 Cll tlonll /)r~ e~ IR "adona do la !lÍlulln~¡ó o k - 1, ·detcrmin /lda por la fórtn nln (7) &5 e\'idonte lo (,>r ruoill t'll!gún e l Il'IOI1 I): ai1:, -- Q. Lo" cll::lo! 'son lall13 cnd~uas ,le c~. qllo tk~ = O. l..os ciclos for,nan t~ rubi lÍ n el grupo Z •. Lo:! dc.lo, homológ'cOll a cero (quo WJI rrollteru) son tal(', riclo~ de c •• q ue c. _ *.+1' Esto", ciclo, fornl!l.rl un grupo de lrooterM n •. Ill'p ' NrCrÓN a. Al Iíl'rupu do ]¡o,noloJ:ins H . { .l( . G) de uo CO IO- piOlO si rnplicill l ¡11 lo de RQminaremos con UJI grupo cod ... nW ,Iul grupo Z. do todos los ciclos d o In (t¡'n ~ lI , ión k pllr Ciclos B~ homotó- ¡icos a CCi'ro (dos cic l o~ 500 llqui\'olcMIl.!I si. y sólo si. ,,;, - rí.. _ _ Dc. + ,). Son Hltere&.'\u lus los CII~ G ... e (IlÚl.Dero1 raclonale.!». G - C. ·G __ Z (nümero~ cnteros). G = Z: (residuos por cl módulo 2) y en general , G =- Z", (n.,iduo, por 01 móduln m, e n cspl'Cial. cuan· do In e:I un n íi.Jnero primo y l .. os un CIHOpO). Cuando G - ~ . todos lo! H I (M. R) soo ospacios ¡¡Malos sobre al campo 1, A la -dimensión lit de l espacio f{ , (M. R) S~ la Ha rna /-égilDo nÍlmero !lo BoUi del complejo ,1l, Para un complejo simplicio! finito '0 dete rm ínil la caraclerrst ica 4e E ul &J': si 1. es el nÜtQero de shnplex de dÜllensión ' en un comple jo .Ir. e ntonces la caracter íst ica da Euler del complejo Jll es igual a " , X (M ) = ~. ( - 1) 'V, • ... (6, 'EOIIC.IA t Sean b, lM dinwuUmer fk los upacfos flt (¡lI; R) (",¡meros de Betti), E ntott«1 tenemos la t&!laldad: x(.1f) - S (-1) ' VI - ~ (-1)Jbr -.. o J :'O " DOl05TllACION. UIl grupo de cadenll.'J ¡-dImensionales el 8lJ \.lIl espacio lineal de la dimensión YI_ Por eso la dOluoslradón se dtlduco do la afi rmación 2.3. OIlSll:nVACION. La carar.lorisUco. tle Bular "1. (M)puede ser de ter- minada (véase [U, pa r~tl ll , § 15) como llllO suma dI) singularidades de un ca mpo voctodlll (o do ulla (unciún suave). Obtenemos la post· biUdad de calcular X (M) partiendo d6 las homologills. Determinemos ahora 108 objetos conjugados. Una cO:;/ldenn k-dirncnslonlll r!' I.'! IInA fuoción lineal sobre l as cadellall/,-dimensio- rWO!I con los cooHciontas OOLeros del co mplejo ¡l( con ,-atores en el grupo G. De manerll que la eocadena r!' compara cadll sí.uplex k-di- mensional (JI con un elam\!uto r!' (o/) del ¡tUpO G, a l mismo Hempo ¿. {aulI + bo,~i = ac~ (O"u ) + M' (a,v. o, b, 90n oümeros e nterol. LtI "umll; de e~ t (I,IJ fuodolu's IinealCl! e! olta voz una eocauena, por UlIO l as cocadenas formal! un grupo. Una cofrontera 6¡.A do cualquier cocaden!! '" {>s una cocadona (k + 1)..dimension~1 qu, 111 u !! t~ rfD.inl\ COD la i:ualdad (10) (o 05 _ J . 011 la~ eonootllcio <l % Ildl § 2), dOl\do a, os cua lquillf sim. ple:c d9 la dillleD~ión k + 1. Saii~lem05 qun 66 _ Q. En realidad , 6&" (a,) _ &" (O",) _ ¿o. (J O",) _ O. Lcu cne¡clo! Mn coc.denas c" ta las, que 05c" _ O. Lo!! cocido! equi· valeotO$ (oohomológieos) a cero son de tipo ¿. _ .s¿.-' . IlEJlNICION 4. Un grupo de coho mologías 11" (M; G) mi un grupo eoeio nLe de un gt"ur dI! cociclos por un lJ ubgrupu de cocid OlJ, eQui- valentos a cero (c -.; ¿t'. si ¿o. - c~· - &--1). Un co mplejo de cocadenas se conjuga con un complejo do coca- deoas siluplic iales. Para 01 cnso. Cllando G _ k es un campo . obte- nemOlJ del teoroma 2 . 1 el lJ iguiellt(> COf!OLA RIO. L<u dlme,,-~i(Ulel ele los esptlcio, If / (M; k ) y ni (M; k ). dlJnck k el un. campo. rotlll:;idm. ConsideremOl'l el ClllJO e _ Z '" (residllos d~1 lIlod m), en e~peeild, si In _ P liS UD nÚ1Ilero primo, Clt:lndo G _ Z" ~s liD campo. Sea z E 1ft (.1/; Gl y r una cadena con coeficientes ell tnos. quo da un cielo ;z _ z (mod 111). Tell{lmO!l ¡Ji_mu, ,; o 11 __ • " en las cadenas (,on coeficientes enteros. Si el elemento % cambia en la clase de homologi/lilj % E H w CM, Z ",) . :; _ i + ay + ",1;. eot.ofl- ces obtenewos {Ir IJI qlJlI {j; -m- -;;;- +-;;.-+8z= "';;i'" + {}= - u.+ Ot. Con C!lto. íJu. = O. De mllnerll que :lur¡e el dlOlUomor¡'swl) d I! Boksllt..,i1n 111) 1"(1(.0 correct .... mente deterOlinlldo: i r -z_-;;¡-. donde ,t(modmJ ..... .rE l/,,{Jf; Z ... }. (11) ,. H,(.\f¡ 1 .. )~lIq_".Uj Z). AnUogamt'nt(l, en las cohomologias obt~ndromo~ un homomorfismo 1I~(M;Z",)~}f'I·L(.1J: Z). (12) Arln;llAGlO:<' l . PlIra (ua!quiD" dcmmlo z E /1" (M; Z",) 0.% - O tri H ,_1 (M; Z) d. U 66"' st , Z fe obtiene dfl dln~nw /1 EH" (M: Z) can auuda tU la reducd6n (m6dulo m): % "" /1 (moti m) _ 8.x "'" O. Anáwfllrntntl. en llll cohomoloxE<u : % = Y (ruod 111) _ t'l*z _ O. (AI/II' % E f[Q (M: Z .. ), y E lJ' (M: Z).) D.EIIIOSTIIACI ON. Si .r_y(mOl!m) . '-'1I 1"'ltOS se puede estog'l.'r un " _ _ ,1; cadcnclo.zde manera qUé {)~_o y d • .l' _ -¡¡;-= O 1'0 O' _I (M ;Z ). Por el contrario, s i 8 • .1:_0 en H q_ I (.lI; Z) . en tonces : _8: )XliiI clerla cadena .1:. Supongamos y=;t-mz. Tenemos iJy-O e V (Illod "~) .... 1:. La afirmación queda demosuadu, As!, el coooc-imiento de 8. y 6. nos permite reconocer lall ¡roá- genos de lAS llomo!ogill3 con eodicientes enteros en las bOlJlologl~s de ruod Irl. Otro empleo: lo imagen 8.H, (M. Z",) en Jos grupos H , _t (M. Z) escoge los elementos u , u E JI'_1 (M. Z) talu, que mu _ O (torsión). En efecto, d. (11l3") - /TI. (8.z) - O. por derinici6n. Por el COIl- trario, si mI.> = O parn 1.> E H,_, (M. Z). t'ntonce.s mI.> "'" ¡ji: par!' la cadena con coeHeientos eotrfos i, y teoomos un elemento % - _ i(mad m) tal. que x E H" (M , Z",) y O"X .. 1.>. U U&.IPLO Para /11 _ RP' tenemos ;t: E 1ft ( lRpl, Zt) - Zr. :r + O. Al mismo tiempo, 8.x"¡,, O ('o 1I, ('R PI: Z) -= I v. ,. PRQBLE,.!,\ 1. Pa ra todas las " a riedad@lI no orientables hay lJ1l ciclo IM"I = r IIn el grupo H" (M"', Z,) la l , quo 8.:¡;cfo O Y 1m elemento iJ.z E H " _I (M", Z) de orden 2. y para lascohomologh s, 91 contra rio: tenemO! u E }JI (RP2, Z t) . donde 6.u+ O y tiene el orden 2 en H' (RP·, Z). Sea la variedad M " dividida en simpleJr: y transformada en un complejo simpHeial. Enlonces. se pUf'dl'n determinu y calcular los 8tUP(l5 de homologías v de rohomoJogías. Un símplu sua ve o~ de diW(lDsión k, es un~ i Dmer~ión (encaje) difcrenciable de un slmplex (junto con algún entorno abierto de un simplex en a~ en un l'5pac io R~) en l a variedad }.!". Consld<>remos tml \'oriedlld tr/ungullldo, s i t'I dividirla en un complejo simlllicial con ayuda de los símplcJI: sun'es. Formulemos dos t8MS import81l lu 08 d(, m(ls~rati6n del punto A será dada en ,1 § 6): A. Los grupos de homologlns 'Y de collomologías no df pendt'n do la lriongulad6n de la varil'dod y l on homot6picawt'nl e invariantes. B. P ara G - R los gruPO! de (ohomolag!as roincidfn con lo, que se dl'finieron ~r 1a9 formas diferenciales (\'l-D~e 1'1 § 14). Acl aremos la ultima dirmad6n. ~fan: o·. un slmplo: 51.1"'0 k-dimensional en la vlIJ'iedad .u"; I<) ~ . 1.108 fO lma dir~rc n(ia l de fT. do k. EsUi determ inada 111 int l'gral de lo rorma (oJ~ por ,,1 51m- pIel< o·: (Iú • • o·) - J w •• ,- (la) Si clo. = ~ r.~ es uoa c.adf'na «In cOelieienlf'B rellln; entoocf'S , puede ~er determ inada ]:a integnl de la form a por la cndenn c.: (Iú., e,,) - ~ r, J Iú". (14) . a: EII virtud de ¡a f6rmula de E- to l.:t', (\hfe /11 . Pll lto l . § 2fi) (>5 correcta la Igualdad: (dIJJ • • e) = {r~ , 8c} - J dI<) - J IJJ. o (15) Por eso cualqulH CorOla ccrrada 41. dO lido dI» _ O. dotermina una rnnción lineal sobro l a.!! dUo8 de le,!; homolo¡;:ías ~i mplic i8Iu: ! i el' ct • son c iclo! homol6gicos. l' l _ ct + 8l". eotorn: l'S {(lI, e,) _ (m, et) + (duJ, c') "'" {tú, c~. Cualquier forme exacta (0). <lond a (o) "" dw' , se IITm )e en cU8lq uler eleIo (veriffqucse). " Ul'urccrON. CaJ ... dasl} nI} Mhomologí3S H~ (M; ;q det¡}r- minadas por formas d(fC~Gncilll M. define \lOa func ión l (ucal sO[¡ I'e 1"1 grupo de ho mologías simpl icialBS J{~ (M'o !R.). La afirrunci6n B fo rrnlliada más arriba significa qua así se obtiene cuulquil'r función li neal sobre 01 grupo 1I~ (j~{; IR) Y una forma Cf!rradn no t ri vial {no al(actaj ¡¡ iampra da una forma no t riviol linea l sob~. H_ (M; ~). 3 l'n .1(" UIlII vari¡}dad cont'.'at cerraJa. E s evidente qUIJ su trian- gulaCIón cualquiera (partición en símplex) ticne la, Siguiente pro- piedad; cualqu. iar simplex de di mansión fl - t es una cara jur;tn- ml}nl..e ,le dos simplel( ll-dimension~\ll~ . 1' f:OIHm~ 2 r ierw lugar la ig1WlrJ¡¡d II~(M";Z.J = Z~ (aquí 1'.2 /':S IU' grupo de dos elementos , rt$ulWJ$ (lur el módulo 2), J)I:JIIOSTnACION. Consideremos la (.adcna : == ~ a;', donde la. • adlción se rcaliza por todos los shoplex n-dimensionaIM, con lodo 'ISO, su orien tación as I'lrbitrada. Sobrl) d campo Z, es Justa la igualdnd (le las cadenAS: " iJrs" "'" ~ .r,'-I, (16) .-0 dhndll 0"1- ' ~on CUr¡l !; del !llmplex a". En la !:l llron {JI, = ~ 00;' cncla , símpl", .( (n - ·I)·diruons¡onal se encuentra exactament e d05 veces.. POf l'SO 8: = O. Es evidente que nquí no hay otros ciclos no nulos n-dirn(ms ionales. E l teorema está demostrarla. \" ahora Sl'a la variedad M" OfU:lllarla. A ~'JH lIAC10N 2. Para Ul¡a uaritdad cerrada conexa orientarla U/1 grupo I¡·é$uno de lu/ltwwgCas H" (¡\f~ ; G) es Igual a G (Gcs w¡ W'upo ·cut¡/quiera), DfM"OsTn .... cION E n cada punto de la \'l:Iriedad ,lf n es dl:lda ulJa dase de orientación de las fflpers (jalones) tangentes. Orientemo~ los símplex n-dimensionales en concorrlancia con la orien tación de estos repers, sea que los símpl{jx uf y (J ~ tengan fronte ra por un simplex .a,,-1 (véasela lig. 3 para /l. = 2), Este sí mplex se incln)'e en las fron_ teras {jo',' y {jo~ con signos opuestos. En consecucncia la Mdena [M" I = ~ (J~ (la suma por todos los s¡mple;,; n-dimensionales) es • un ciclo, Es evidente que cualquier otro ciclo n-d¡ luensional se ese.ribe nsi: Z _ g 1M'''!. donde g (lS un ell}lllanlo do un g rupo G, Ya quc no hay fronwra!! n-dimensionales, l a af irmación queda dtl-.(Dostrada. APrR1\UCION a. S~a G == l un grupo eh números enteros, Entonces para una ¡;arledad u rrada conexa no orientada /l.-d¡mensw"al tendremo8: Hn(M",Z) ... O. H,,{M",Z1)=ZI' § l, Homo!ogia. .i"'l"li~iale •. " D~)lOSTRAC1ÓX . Cualquier ciclo n-dimensional debe tener el aspeclo z_ AL a~, dando ;l.."..0 es un número entero y los slmplox , cr1 están orientados de manera conveniente. Si los simplox a'I' y o~ tienen frontera por el s lDlplex 0"-', entonces este s implex ~e Incluyo en aa't y ooN con lo!! !!igno!! opuestos si, y fólo si. Jos simplex 0'1 y a ; ron r)rientados igunlmenle en Jn ,'ariedad kP' (veriflquese). Fig. 3. Por eso oz= O si, y sólo si, eon todos los sfmplex a1 puede ser escogidll la única orientación. es decir, si ID "lIriedlld ]l./" es orlen- tableo La afirmación queda demostradll. eOROLARlO. S t o. {M" ] = ~ al' lo ~um(l dt fados los simplt :r n-di-- , mtnsionales de la variedad 110 orienlable M" (gtncrairiz en el grupo /In (M n , Z.». Entonces <). 1111 ,,1+0 en el grupo Hn_,(M",Z) Y 2a.IM"]-O. Pasamos ahora a Jp triangulación de las variedades suuves bidi- mensionales y a ,¡:u c]asi!icnción con ayuda de lo:! complejos simpU- ciales. Clasifiqu6mos 18s variedades bidimensionales suaves compactas cerradas conel.:IIS. De aquf en adelante vamoa 11 considerar sólo t ale.\! vnri edades, y por eso no ml.'ndonaremos cada H~Z las restricciont:'.'J impuestas 11 la vllriedad. e" uDleradas más arriba. L!;:IIIA ~. Cuolquicr writdad suave bidImensional M' se puede trlangu.lar sua~'tmente (es decir, partir (on cu.n"Os sua~YlS en triángulos ,uaves toles, que dos ttiánculas cualesquiera de ~sla div/sf6n no se illte~ fccan. tierU! /I un Ill/"tict coma", o bien un lado común). DE;\lOSTRACf6.... . Sumergimos (eDClljamos) .~JI en un espado euclídN' de dimensión finilo (V~IH;O [1], parle 11, § '3). EntoMn " C.p. \. Re ce ' •• del c'¡ Ic"lo d. h9rnologia. 1>ohru ¡lfl surgo una m&tri.;a de R ieman n inuucida. Para un t > O liufic iGlll.emenle p~q lle¡¡ Q dos pl1D~OS cualesquiera x, y E ,l,~, par .. los '-'Mies p (x, y) < 8 (p <'5 una di :'Sta ncia sobra M" engoudrada por l a múlri c ~ del Hiernll.nn), se lLRell por la única. geodésica mLÍs corta 1'",. , Vam:ls a rocullrir ,lf" COlillA sistema finito dI! discos de radio < < &12: D" D" . . . , D N , El d[.,c03 DI puodo ser t riangulado 5U8-vern~mte con ayuda do las geodésicas. Para «ifnAdir la triangulación elt Jo:'S disco.'!' 'lue titlnan una ¡nt8rs~ecióll nQ vaeia con D , (por ejem - plo. so bro D 2 ). es s uficieottl notll.f que la geod6sica port.onccienLe 11 DI n Da. COU3~ruida 80t09 0311 Di' tambi';n se presenta como una geod~~ ;ca dt.>3<!o 01 punto de vista del disco D. y por eso la triangu- lación pnedo sor prolon.'lada en el disco D. (anteriormonlo desruo- ntlzando. prohablew9nto, la trianC'lllacion sobre D ,). El prO\!(lSO se .coflclllye dentro d ~ un nÚ Duro fi nito d l pa>Kl9. El lema qlleua dll- llIos trado. Al princ ipio dMCrib~rDo, todos los t i p<.ls do \-ariodado$ bidimen- 5iO'II'1les. La prim~ra sorio os ll 'la tl ~r",ra con g agns JI; ; g es (>.1 g.;lll·ro e fi g. 4. Esfera eDil , asas S' + (r) = Mi (en la fígu ra, t = 3) . do la l!! llpodicie. Por ejemplo, estas variedades aparecen al estud iar las 911 perfic¡e.~ de Hiewnnn do las fundones algebraicas da ti po w = ± ~(el polinomio P" no tiene raíces wúltiples). R ecordo- mos q uo AP, 63 igual al conjunto de los coros de la ecuación w'- _ PU+l (~) = O en CP~ (z, w). Estas variedades se puede rea li zar suavemente en 31.' como lu superficies mostradas en l a fi g. 4 (véase mb dotaUadawente It l. parte 11, § 4). La segunda serie de las variedad(',~ (vamos a designarlns por Jlr,.) se obtiano, si de una oslera S~ so excluyon los disco~ D~ no ¡nter- &eCados de par e n par. y en la fron tora de cada agujerQ recubido.'S8 identifican los pllnt ().~ opue~tos d iametralmente (véase la fi g . 5. a) . Esta operación se llama . pegadura de la osfera S' eon ~ c intas de Moebius,_ En p!lfticular. si ~ = 1. la !'Ju pll rficio An os un plano rea l proyec- tivo RP' (lig. 5, b), !'J i ~ = 2, la !'Juperfício M"", .!le llamará .!Iuper- fiele (bof.ella) do Klei n. Notemos, quo ell [tI. parte 11, § 18, la super- ficia de Klein fue def(nida como UD fa ctor del plano por algún grupo f 3. Homolog'" .i"IP1~;' I ... •• d~ Illovimiento.':! d i$reto. La ('oincidencia de s u realización con ¡\l!_a es evidente de la fi g. 5, e, Apriod tendria dorecho a uoa cdsteoeia iodopcmdiente también una serie t mezclada.: u r.a esfera Sl a la que están unidas g IIsa8 y 1I cintas de UOtobiu~. P~ro esta serie nnezclad llt se contiene ín togra- mente eu la serie ,l·,!. En efooto, c0/l.5ideremo5 S~ o la que están unidas un asa y una ci nta de l'Il o<l bius (véasa la fi ll. 6). Pero para la lIuperficie de Kloin tiene lugar el difeol!\ornsmo reprc~entado en la f'g. 7. De maner a que la pegadura a S Z de un asa. y una ci nta de Moe bius es t'quiva lonte a la pega(h.r" a S" de tres ci ntu de Moebill5 (véase la nI!:. 8). Por consiguiente, en prc~(lnc i a de por lo menos una c inta de Moab iu! cada asa pUII,11j sor reemplazada di feo morfamonto con dos ciotas J e. Moebiul'l. Como v~mos ft demostrarlo riguro.~a monte ahora, las variedades M'. en rea lidad, ~e escrlblln Int.e.q:rll. rnento co n OSIl.S do~ series i nfi- nitas: ,lr; y ¡l1~. Cofl$ideromos l\Un M'" IIrbit ra r ia ("';II~ las res tr iccionl>l'I al prin- cipio de la parte) COIl una t r illngulación ~ua vo (véllSe 01 lem3). Cor- temos JIf'a lo IQrgo de todas las at"i ~tas do lista t r ill.ngulaeiÓn. pon ien- do, do IIn ~ern Q no. on limbos lados de (.ltdn cortt' 105 mismas l e l rll~ (difer ~ olt's pnra distintos cortos) y fija ndo 11I. misma or¡en~ación en ambas orillas del <:o r ..... (v~asl' lo ng. 9). De ZIInoera q ue hornos tral\~form8do .11"'J en un conjunto de lrián- gulos, cuyos lados 03tán IlliIli ignndos con letras y eslÍl dada la direc- ción; Cllda ltolra :so induye !In este conjunto oxactamente dos vec·e', .dumá5. dosletraos ig"A.lI.>' partoll&cen a di leruntu td ángulos. Comen- ..emos un proceso ¡ 'l\'CtSO de 111 pegadura de ,\1', dx igiendo. ~¡ n em bar- go. 'IUI' cada \'el despu6s do pegar un nuevo tr iii ngtl lo a una región ya obtonida, e~ tn últ ima pormane>.ea plan". E, eviden te que. COUlO resul tado de este procedi miento (y de l a~ propiodada.s indicadas de lo tlumeradón ,le log 13do! ) obtendromos ur. POlíiOno plano eooexo, euyo~ lados !lO " cllnnotadnq con let ras y p0geen orie.ntaeJones (e,da letra ,1I 0nellentra D.'CacL,mente dos "ecM). A eslo polígtlno lo deDO- minnmQ.!r pOlígO\lQ rll lldnm~ Lltal (está definido por una triangulación dada 110 uní "ocament.t». lo'i jl'lO O.':I una orientació n sobro un poligono IV y CODfrontémo~le una palabra, que apllreco nllturalmenlu a l rondar l. fro nl l'ra de IV (comenznndQ desde eualqu ior "ér liee): apu ota ndo WJ1lIIl(',ulivaruenlo las [etr .. ~ que numeran los lodos du lV. al mismo t iempo. poniondo oro lo pRlabra la lolra on ,,1 "raJo + 1. ~i la orient.- ei6ro dul lado coi ncide con la Ind n<; itla por In orient ll"¡ón d(' 11'. Y on (.'1 erado - 1. eo 01 enso eontr!lrio. Véaso e l ejempl o en la lig. 10. Asi. Ilemo~ eonfrorlU.do a cada Jl1" (no 1Il1ivoea mente) IO Oll po- labr~ IV '"" a~;a~ : ... II~~; J~ C9 un número pllr de l o~ lado~ de IV; cada letra a .. ~ incluyo ell IV e.~ ac lamente do!; " l'ees. I,o; ~ ta s . palabrns!'
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