CALCULO VECTORIAL solucionario

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE 
IBARRA - ECUADOR 
2009 
CÁLCULO VECTORIAL 
Louis Leithold-EC7; capítulos 9, 10 y 11 
Arnaldo Pillajo y Ernesto Palacios 
 
(También hay disponible una versión .docx) vlad_palacios@hotmail.com 
EJERCICIOS 9.1 
 
En los ejercicios 1 a 10, dibuje la gráfica de las ecuaciones para métricas y obtenga una 
ecuación cartesiana de la grafica. 
 
1. 
4 cos ; 4 sin ; 0, 2x t y t t
 
2 2 2 2
16 cos 16 sin 16x y t t
 
 
 
2. 
4 cos ; 4 sin ; 0,x t y t t
 
2 2 2 2
16 cos 16 sin 16; 0x y t t y
 
 
3. 
1 1
4 cos ; 4 sin ; ,
2 2
x t y t t
 
2 2 2 2
16 cos 16 sin 16; 0x y t t x
 
 
4. 
9 cos ; 4 sin ; 0, 2x t y t t
 
2 2
2 2
cos sin 1
81 16
x y
t t
 
 
5. 
4 cos ; 25 sin ; 0, 2x t y t t
 
2 2
2 2
cos sin 1
16 625
x y
t t
 
 
6. 
1 1
4 cos ; 25 sin ; ,
2 2
x t y t t
 
2 2
2 2
cos sin 1; 0
16 625
x y
t t x
 
 
7. 
1 1
4 sec ; 25 tan ; ,
2 2
x t y t t
 
2 2
2 2
sec tan 1, 0
16 81
x y
t t x
 
 
8. 
1 3
4 tan ; 9 sec ; 0, ,
2 2
x t y t t
 
2 2
2 2
sec tan 1, 0
81 16
y x
t t x
 
 
9. 
3 2 ; 4x t y t
 
2 3 2 8 2 11x y t t
 
 
10. 
2 5; 1x t y t
 
2 2 5 2 2 7x y t t
 
 
 
 
 
 
En los ejercicios 11 16, calcule 2
2
;
dy d y
dx dx
 sin eliminar el parámetro. 
 
11. 
2
3 , 2x t y t
 
2
2
4 4
;
3 9
dy dy
dy t d ydt dt
dx dxdx dx
dt dt
 
 
12. 
2
1 , 1x t y t
 
2
2 3
1 1
;
2 4
dy dy
dy d ydt dt
dx dxdx t dx t
dt dt
 
 
13. 
2
, ln | |
t
x t e y t t
 
ln | 1 |
2
t
dy
dy tdt
dxdx te t
dt
22
32 3 2
2 ln | 1 | 4 2
;
2
t
dy
t t t td y dt
dxdx t e t
dt
 
 
14. 
2
, 1 cos
t
x e y t
 
2 2
4
2
sin sin cos
;
2 2 4
t
t
dy dy
e t t tdy d ydt dt
e
dx dxdx dx
dt dt
 
 
15. 
cos , sinx a t y b t
 
2
2 2 3
cot ;
csc
dy dy
dy b d y bdt dt
t
dx dxdx a dx a t
dt dt
 
 
16. 
cosh , sinhx a t y b t
 
2
3
2 2
coth ; csc
dy dy
dy b d y bdt dt
t h t
dx dxdx a dx a
dt dt
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En los ejercicios 17 a 21, para la grafica de las ecuaciones para métricas (a), obtenga las 
rectas tangentes horizontales y verticales, y (b) determine la concavidad 
 
17. 
2 2
4 4 ; 1 4x t t y t
 
a) 
8 4; 8
0; 4 0
1
dx dy
t t
dt dt
dy dx
dt dt
x
 
 
b) 
2
32
8 1
;
8 4 1
1
2
dy
dy t d ydt
dxdx t dx
t
dt
 
 
18. 
2 2
,x t t y t t
 
a) 2 1; 2 1
0; 2 0
1
4
dx dy
t t
dt dt
dy dx
dt dt
y
 
 
b) 
2
32
2 1 1
;
2 1 1
2
2
dy
dy t d ydt
dxdx t dx
t
dt
 
 
19. 
3
2 , 4x t y t
 
2
8 4
6 3
0
dy
dy tdt
dxdx t t
dt
x
 2
2 4
2
9
d y
dx t
 
 
20. 
2 3
2 ; 3x t y t
 2
2
2
4 ; 9
9
4
9
16
dx dy
t t
dt dt
dy
t
dx
d y
dx t
 
 
21. 2
3 3
3 3
, ; 1
1 1
t t
x y t
t t
 
3 3
2 2
3 3
3 1 2 3 2
;
1 1
t t tdx dy
dt dtt t
 
 
 
22. Trace la hoja de Descartes del ejercicio 21 en la graficadora y determine la 
porción de la hoja generada cuando (a) 
1t
;(b) 
1 0t
;(c) 
0t
. 
 
 
 
23. Obtenga una ecuación cartesiana de la hoja de Descartes del ejercicio 21. 
3 6 3 2
3 3
3 2 3 3
3 3
27 27 27 3 3
3 3
1 11 1
t t t t t
x y xy
t tt t
 
 
24. Un proyectil se desplaza de modo que las coordenadas de su posición en 
cualquier instante t están dadas por las ecuaciones para métricas 
2
60 ; 80 16x t y t t
. Dibuje la trayectoria del proyectil y verifique la gráfica en 
la graficadora. 
 
25. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por 
las ecuaciones para métricas 
2 sin ; 5 cosx t y t
 , para el cual 
1
3
t
. 
5 sin 5
tan
2 cos 2
dy
tdy dt
t
dxdx t
dt
 
5
3
2
dy
dx
 
 
26. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por 
las ecuaciones para métricas 
1 3 sin ; 2 5 cosx t y t
 para el cual 
1
6
t
 
5 sin 5
tan
3 cos 3
1 5
1 3
2 2
1 5
2 5 3 ; 3
2 9
tdy
t
dx t
x
dy
y
dx
 
 
27. Calcule 2 3
2 3
; ;
dy d y d y
dx dx dx
 en el punto de la cicloide que tiene ecuaciones (2) para el 
cuál y alcanza su valor máximo cuando x esta en el intervalo cerrado 
0, 2 a
. 
sin
1 cos
tdy
dx t
 2
22
1
1 cos
d y
dx a t
 3
33 2
2 sin
1 cos
td y
dx a t
 
 
28. Demuestre que la pendiente de la recta tangente a la cicloide que tiene 
ecuaciones (2) en 
1
t t
 es 
1
1
cot
2
t
 Después, deduzca que la recta tangente 
es vertical cuando 
2t n
, donde n es cualquier número entero. 
 
1 cos ; sin
sin 1
cot
1 cos 2
dx dy
a t a t
dt dt
tdy
t
dx t
 
2
1
lim cot
2t a
t
 
 
29. Calcule el área de la región sombreada limitada por el eje x y un arco de la 
cicloide que tiene las ecuaciones (2). 
 
22 2
2
0 0
2
2
0
2
1 cos
1
1 2 cos 1 cos 2
2
3
a a
A ydx a a t dt
a t t dt
a
 
 
30. Determine el centroide de la región del ejercicio 29. 
 
32 2
3
0 0
3
2
2 3 3
0
1 1
1 cos
2 2
5
1 3 cos 3 cos cos
2 2
5
6
a a
x
x
M ydx a t dt
a
t t t dt a
M
y a
A
 
 
31. La ecuaciones para métricas para la trocoide son 
sin ; cosx at b t y a b t
(a) si a>b>0, demuestre que la trocoide no tiene 
ninguna recta tangente vertical. Trace la trocoide en la graficadora para 
,t
 si (b) a=3 y b=1, y (c) a=1, b=3. Dibuje la que muestra la pantalla de la 
graficadora. Verifique que para el dibujo del inciso (b) donde a>b, la trocoide no 
tiene ninguna recta tangente vertical mientras que el inciso (c) donde a<b, la 
trocoide tiene dos rectas tangentes verticales. 
 
 
 
 
 
 
32. Una hipocicloide es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de 
radio B que rueda dentro de una circunferencia de radio b que rueda dentro de 
una circunferencia fija de radio a, a>b. Si el origen está en el centro de la 
circunferencia fija , A(a,0) es uno de los puntos en los que el punto P hace 
contacto con la circunferencia fija, B es el punto móvil de tangencia de las dos 
circunferencias, y el parámetro t es el numero de radianes del ángulo AOB, 
demuestre que las ecuaciones para métricas de la hipocicloide son 
cos cos
a b
x a b t b t
b
y 
sin sin
a b
y a b t b t
b
 
 
33. Trace en la graficadora la hipocicloide del ejercicio 32 si (a) a=6 y b=2 para
,t
 (b) a=12 y b=2 
,t
. Dibuje lo que muestra la pantalla de la 
graficadora. ¿Cuántas cúspides tiene la hipocicloide en cada caso? 
 
 
34. Trace en la graficadora la hipocicloide del ejercicio 32 si (a) a=8 y b=7 para 
8 , 8t
 (b) a=8 y b=3 
4 , 4t
. Dibuje lo que muestra la pantalla de la 
graficadora. ¿Cuántas cúspides tiene la hipocicloide en cada caso? 
 
 
35. Si a=4b en el ejercicio 32, se tiene una hipocicloide de cuatro cúspides. (a) 
Demuestre que las ecuaciones para métricas de esta curva son 
3 3
cos ; sinx a t y a t
. Trace en la graficadora la hipocicloide de cuatro 
cúspides si (b) a=4 para 
,t
, y (c) a=8 para 
,t
. Dibuje lo que 
muestra la pantalla de la graficadora. 
 
3 3 3
3 3 3
3 cos cos 3 3 cos 4 cos 3 cos 4 cos cos
3 sin sin 3 3 sin 3 sin 4 sin 4 sin sin ,,
x b t t b t t t b t a t
y b t t b t t t b t a t t
 
 
36. (a) A partir de las ecuaciones para métricas del ejercicio 35, obtenga una 
ecuación cartesiana de la hipocicloide de cuatro cúspides. (b) Utilice la ecuación 
cartesiana del inciso (a) para dibujar la grafica de esta hipocicloide. 
 
3 3
2 / 3 2 / 3 2 / 3 2 2 / 3 2
2 / 3 2 2 2 / 3
2 / 3 2 / 3 2 / 3
cos ; sin
cos sin
cos sin
x a t y a t
x y a t a t
a t t a
x y a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37. En el ejercicio 44 de la sección 7.3, se definió la tractriz como la curva tal que la 
longitud del segmento de toda recta tangente desde el punto de tangencia al 
punto de intersección con el eje x es una constante positiva a. En ese ejercicio se 
obtuvo la ecuación cartesiana de la tractriz 
2 2
2 2
ln
a a y
x a a y
y
 
 
(a) Demuestre que las ecuaciones para métricas de la tractriz son 
tanh ; sec
t t
x t a y a h
a a
 
a) 
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
sec ; sec 1 sec tanh tanh
tanh
ln ln tanh ln cosh sinh tanh
sec
t t t t t
y a h a y a a h a h a a
a a a a a
t
a a
a a y t t t ta
x a a y a a a a
ty a a a a
a h
a
/
ln tanh tanh
t a t t
a e a t a
a a
 
b) 
4a
 
 
38. Demuestre que el parámetro t de las ecuaciones para métricas de la tractriz ( vea 
el ejercicio 37) es la intercepción x de la recta tangente. 
 
2 2
2
1
tanh ; sec
1 sec tanh
tanh
tanh sec
sec tanh
t t
x t a y a h
a a
dx t t
h
dy a a
tdx
y t t adt
x x x y t a a h t
dy dy t ta a
h
dx dt a a
 
 
 
EJERCICIO 9.2 
 
En los ejercicios 1 a 14, calcule la longitud de arco exacta de la curva definida por el 
conjunto dado de ecuaciones para métricas. Trace la curva en la graficadora y observe si 
la longitud de arco aparente que se muestra en la grafica apoya la respuesta. 
 
1. 
2 21 1
, ; 0; ; 1
2 2
x t t y t t t a t
 
1 1 1 12 22 2 2 2
0 0 0 0
1
2 2
0
1 1 2 2 2 1
1 1 2
2 1 ln 1 1 ln 1 2
2 2 2
L x y dt t t dt t dt t dt
t t t t
 
 
2. 
2
3 , 2 ; 0 3x t y t t a t
 
3
3 3 3 1 / 2 3 / 2
2 2 2 2 2
0 0 0
0
6 1 3 1 2 1
20 10 2
L x y dt t t dt t t 
 
3. 
2 2
2 , 2 ; 0 2x t t y t t t a t
 
2 2 12 22 2 2
0 0 0
2
2 2
0
2 2 2 2 2 2 1
1 1
2 2 1 ln 1 2 10 2 ln 2 5
2 2
L x y dt t t dt t dt
t t t t
 
 
4. 
3 2
, 3 ; 2 0x t y t t a t
 
0 02 22 2
2 2
8
4 3 / 2
2 2
8
4
3 6 3 4
3
4 4 16 2 8
2
L t t dt t dt
L t dt t
 
 
5. 
2 3
2 ; 2 ; 1 ; 2x t y t t t
 
2
2 2 2 3 / 2
2 2 2 4 2 2 3 / 2 3 / 2
0 0 0
0
2
16 36 2 4 9 4 9 40 13
2
L x y dt t t dt t t dt t
; cosh ; 0 ; 3x t y t t t
 
3 3 3 3
2 2 2
00 0 0
1 sinh cosh sinh sinh 3L x y dt t dt t dt t
 
 
 
6. 
2 2
3 ; 4 ; 0; ln | 5 |
t t
x e y e t t
 
ln 5 ln 5 ln 5 ln 5
2 2 4 4 2 2
00 0 0
36 64 10 5 120
t t t t
L x y dt e e dt e dt e
 
 
7. 
2 2
3; 3 1; 4x t y t t t
 
44 4 4
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
4 36 40 10 15 10L x y dt t t dt t dt t
 
 
8. 
cos ; sin ; 0; 1
t t
x e t y e t t t
 
11 1 1
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 cos sin 2 2 2 1
t t t
L x y dt t t e dt e dt e e
 
 
 
 
 
9. 
ln sin ; 1; ;
6 2
x t y t t t
 
/ 2/ 2 / 2
2 2
/ 6 / 6 / 6
csc ln csc cot ln 2 3L x y dt t dt t t
 
 
10. 
1 21
tan ; ln 1 ; 0; 1
2
x t y t t t
 
2 1
1 1
2 2 2
2
0 0 2 0
1
ln 1 ln 1 2
1
t
L x y dt dt t t
t
 
 
11. 
2 cos sin ; 2 sin cos ; 0;
3
x t t t y t t t t t
 
2 / 3
2 2 2 2 2 2
0 0
1
2 cos sin
9
L x y dt t t t dt
 
 
 
 
 
12. 
4 sin 2 ; 4 cos 2 ; 0;x t y t t t
 
2 2 2 2
00 0 0
64 cos 2 64 sin 2 8 8 8L x y dt t t dt dt t
 
 
 
13. 
cos ; sin ; 0;
t t
x e t y e t t t
 
2 2
0 0 0
2 2 2 1
t t
L x y dt e dt e e
 
 
 
 
 
 
En los ejercicios 15 a 22, utilice NINT en la graficadora para obtener un valor aproximado 
con cuatro dígitos significativos de la longitud de arco de la curva definida por las 
ecuaciones para métricas dadas. 
 
14. 
2
2, 4 ; 0 3x t y t t t a t
 
3 3 22 2
0 0
1 8 1 39.194 39.19L x y dt t dt
 
 
15. 
2
2 3 , 2 1; 1 2x t t y t t a t
 
2 2 22 2
1 1
4 3 4 9.223L x y dt t dt
 
 
16. 
3 cos , 2 sin ; 0
2
x t t t a t
 
/ 2 / 2 2 22 2
0 0
3 sin 2 cos 3.966L x y dt t t dt
 
 
17. 
2 sec , 3 tan , 0
4
x t y t t a t
 
/ 4 / 4 222 2 2
0 0
2 sec tan 3 sec 3.138L x y dt t t t dt
 
 
18. 
3
8 tan , 6 sec ,
4
x t y t t a t
 
/ 4 2 22 2 2
0 3 / 4
8 sec 6 sec tan 8.462L x y dt t t t dt
 
 
19. 
, ln , 1 5
t
x e y t t a t
 
2
5 5 2
2 2
1 1
1
145.8
t
L x y dt e
t
 
 
20. 
2 2
4 , 4 , 4 4x t y t t t a t
 
4 4 2 22 2
4 4
2 2 4 55.31L x y dt t t dt
 
 
21. 
3
3 , 4 , 1 1x t y t t a t
 
1 1
2 2 4
1 1
9 144 10.96L x y dt t dt
 
 
 
 
 
22. Calcule la longitud de la hipocicloide completa de cuatro cúspides 
3 3
cos ; sinx a t y a t
 
/ 2 / 2 / 2
2 2 2 2 2 2 2 2
00 0
4 9 cos sin cos sin 6 sin 6L x y dt a t t t t dt a t a
 
 
23. Calcule la longitud de un arco de la cicloide 
sin ; 1 cosx a t t y a t
 
2
2
2 2
2 2
0 0
0
1
4 sin 2 sin
2 2
2 sin 4 cos 8
2 2
t
a t a
t t
L x y dt a dt a a
 
 
24. Calcule la longitud de la tractriz 
tanh ; sec
t t
x t a y a h
a a
 desde t=a a 
t=2ª 
2 2 22
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1 sec sec tanh tanhL x y dt a h t t t dt a t dt
 
22
1 1
tanh ln cosh ln cosh 2 ln cosh 1a t dt a t a
 
 
25. Determine la distancia recorrida por una tachuela clavada en la llanta de una 
rueda de bicicleta si su radio es de 40cm y la bicicleta recorre una distancia de 50
m. 
2 2
2 2 2 2
0 0
2 2
0 0
2
0
62.5 62.5 0.4 1 2 cos cos sin
1
25 2 2 cos 25 2 1 cos
2
50 sin 200
2
L x y dt t t t
t dt t dt
t
dt
 
 
26. (a) Demuestre que la curva definida por las ecuaciones para métricas 
sin ; cos ;x a t y b t a b
 es una elipse. 
(b) Si C es la longitud de la elipse del inciso (a), demuestre que 
/ 2
2 2
0
4 1 sinC a k tdt
 donde 2 2
2
2
1
a b
k
a
. Esta integral se denomina 
integral elíptica y no puede evaluarse exactamente en términos de funciones 
elementales. 
 
a) 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
sin cos
1
x y
t t
a b
x y
a b
 
 
b) / 2 / 2 / 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
/ 2 / 2
2 2 2 2 2 2
0 0
2 2
2
2
4 4 cos sin 4 1 sin sin
4 sin 4 1 sin
1
C x y dt a t b t dt a t b t dt
a a b t dt a k t dt
a b
k
a
 
 
 
27. (a) Utilice la fórmula del ejercicio 27(b) y NINT en la graficadora para determinar 
la longitud de la elipse definida por las ecuaciones para métricas. 
5 sin ; 4 cosx t y t
 
(b) Trace la elipse en la graficadora. Apoye la respuesta del inciso (a) 
determinando los perímetros del rombo inscrito y del rectángulo circunscrito en 
la elipse y mostrando que la longitud de la elipse está entre estos dos perímetros. 
 
a) 
 
 
/ 2
2 2
0
2 2
2
2
2 2
2
/ 2
2
0
4 1 sin
5; 4
5 4 9
25 25
9
4 5 1 sin 28.36
25
C a k t dt
a b
k
a
a b
k
C t dt
 
 
b) 
 16 25 41 4 41 25.6
4 5 9
4 * 9 36
 
 
EJERCICIOS 9.3 
 
 
En los ejercicios 1 a 4, ubique los puntos que tienen el conjunto dado de coordenadas 
polares. 
 
1. 
a) 
3,
6
 
b) 
2
2,
3
 
c) 
1,
 
d)5
4,
4
 
e) 
11
5,
6
 
 
2. 
 
a) 
4,
3
 
b) 
3
3,
4
 
c) 
7
1,
6
 
d) 
3
2,
2
 
e) 
5
5,
3
 
 
3. 
 
a) 
1,
4
 
b) 
5
3,
6
 
c) 
1,
4
 
d) 
5
3,
6
 
e) 
1
2,
2
 
 
4. 
 
a) 
2
5,
3
 
b) 
7
2,
6
 
c) 
2
5,
3
 
d) 
7
2,
6
 
e) 
5
4,
4
 
En los ejercicios 5 y 6, obtenga las coordenadas cartesianas rectangulares de los puntos 
cuyas coordenadas polares se indican. 
 
5. 
a) 
3,
 
3 cos , 3 sin º 3, 0 º
 
 
b) 
3
2 ,
4
 
3 3 2 2
2 cos , 2 sin , 1,1
4 4 2 2
 
 
c) 
2
4,
3
 
2
4 cos , 4 sin 2, 2 3
3 3
 
 
d) 
7
1,
6
 
3 1
cos , sin ,
6 6 2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
a) 
2,
2
2 cos , 2 sin 0, 2
2 2
 
b) 
1,
4
1 1
cos , sin 2 , 2
4 4 2 2
 
c) 
7
2,
6
5 5
2 cos , 2 sin 3 ,1
6 6
 
d) 
7
2,
4
7 7
2 cos , 2 sin 2 , 2
4 4
 
En los ejercicios 7 y 8, obtenga un conjunto de coordenadas polares de los puntos cuyas 
coordenadas cartesianas rectangulares se proporcionan. Considere r>0 y 
0 2
 
 
7. 
a) 
1, 1
 
1
2
7
tan 1 2
4
7
2 ,
4
r
 
 
b) 
3 ,1
 
2
1 3
tan
63
3
2,
6
r
 
 
c) 
2, 2
 
1
2 2
tan 1
4
2 2 ,
4
r
 
 
d) 
5, 0
 
5,
 
 
 
 
8. 
a) 
3, 3
 
1
3 2
tan 1
7
3 2 ,
4
r
 
 
b) 
1, 3
 
2
2
tan 3
3
2
2,
3
r
 
 
c) 
0, 2
 
1
2
2 3
tan
0 2
3
2,
2
r
 
 
d) 
2, 2 3
 
1
4
4
tan 3
3
4
4,
3
r
 
 
En los ejercicios 9 a 12, obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la 
ecuación polar indicada. 
 
9. 
2
2 sin 2r
 
2
2 sin 2 4 sin cosr r
 
2
4 2 2
4 sin cos 4r r r x y xy
 
 
10. 
2
cos 2 10r
 
2 2 2
2 2
cos sin 10
10
r
x y
 
 
 
11. 
cos 1r
 
1x
 
 
12. 
2 sin 3r
 
4 3 3 3
2 32 2
2 2 2
2
2 2 2 2 3
4 4 2 2 2 3 0
6 sin 8 sin 3
6 sin 8 sin
6 sin 8 sin
sin
6 8
2 6 2
r
r r r
r r r r
r x y
r y
x y x y y y
x y x y x y y
 
 
EJERCICIOS 10.1 
 
En los ejercicios 1 a 4, (a) dibuje la representación de posición del vector A y también la 
representación particular que pasa por el punto P, (b) Calcule el módulo de A. 
 
1. 
3, 4 ; 2,1A P
 
 
a) 
 
Sea 
,Q x y 2 3 5
1 4 5
x x
y y
 
5, 5Q
 
 
 
b) 
2 2
3 4A
2 2
3 4 9 16 25 5 5A A
 
 
2. 
2, 5 ; 3, 4A P
 
 
a) 
Sea 
,Q x y 3 2 5
4 5 9
x x
y y
 
5, 9Q
 
 
 
b) 
2 2
2 5 4 25 29 29A A
 
 
 
 
 
3. 
1
, ; 2,
2
A e P e
 
 
a) Sea 
,Q x y
 2 2
1 1
2 2
x e x e
y e y e
 
1
2,
2
Q e e
 
 
 
 
b) 2
2 2 21 1 1
2 4 4
A e e A e
 
 
4. 
4, 0 ; 2, 6A P
 
a) Sea 
,Q x y
 
2 4 6
6 0 6
x x
y y
 
6; 6Q
 
 
 
 
b) 
2 2
4 0 16 4A A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En los ejercicios 5 y 6 obtenga la medida exacta en radianes del ángulo director del 
vector. En el inciso (c) aproximadamente la medida a centésimos del radian. 
 
5. 
( ) 1; 1a
 
3; 0b
 
5; 2c
 
 
(a) 
 
1 7
tan 1;
1 4
 
 
 (b) 
 
 
0
tan 0;
3
 
 
 (c) 
 
 
 
2 2
tan 0, 4; arctan 0.38
5 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
3;1a
 
0; 4b
 
3; 2c
 
 
(a) 
 
 
1 1
tan ;
63
 
 
(b) 
 
 
4 1
tan ;
0 2
 
 
(c) 
 
 
2 2
tan ; arctan 2.55
3 3
 
 
En los ejercicios 7 a 10, obtenga el vector A que tiene al segmento dirigido 
PQ
como 
una representación. Dibuje 
PQ
 y la representación de posición de A 
 
7. 
3, 7 ; 5, 4P Q
 
 
5 3; 4 7 2, 3v PQ
 
 
8. 
5, 4 ; 3, 7P Q
 
 
3 5; 7 4 2, 3A
 
 
9. 
5, 3 ; 0, 3P Q
 
 
0 5; 3 3 5, 6v PQ
 
10. 
2 , 0 ; 0, 0P Q
 
 
0 2 ; 0 0 2 , 0v PQ
 
En los ejercicios 11 a 14 determine el punto S de modo que 
PQ
 y 
RS
sean 
representantes del mismo vector 
 
11. 
2, 5P
; 
1, 6Q
; 
3, 2R
 
 
1, 6 2, 5 3, 2 4, 3S
 
 
12. 
2, 0P
; 
3, 4Q
; 
4, 2R
 
 
3 2 4, 4 0 2 3, 2S
 
 
13. 
0, 3P
; 
5, 2Q
; 
7, 0R
 
 
5, 2 0, 3 7, 0 12, 5S
 
 
14. 
1, 4P
; 
2, 3Q
; 
5, 2R
 
 
2, 3 1, 4 5, 2 2, 9S
 
 
En los ejercicios 15 y 16, calcule la suma del par de vectores e ilústrela geométricamente 
 
15. 
2, 4 , 3, 5a
 
3, 0 , 4, 5b
 
(a) 
2, 4 3, 5 2 3, 4 5 1, 9
 
(b) 
3, 0 4, 5 3 4, 0 5
 
 
16. 
0, 3 , 2, 3a
 
2, 3 , 2 , 1b
 
(a) 
0, 3 2, 3 0 2, 3 3 2, 6
 
(b) 
2, 3 2 , 1 2 2 , 2
 
 
En los ejercicios 17 y 18, reste el segundo vector del primero e ilustre la diferencia 
geométricamente. 
 
17. 
3, 4 , 6, 0a
 
1, , 3, 2b e e
 
(a) 
3, 4 6, 0 3 6, 4 0 9, 4
 
(b) 
1, 3, 2 1 3, 2 4,e e e e e
 
 
18. 
0, 5 , 2, 8a
 
3, 7 , 3, 7b
 
(a) 
0, 5 2, 8 0 2, 5 8 2, 3
 
(b) 
3, 7 3, 7 0
 
 
En los ejercicios 19 y 20, determine el vector o escalar si 
2, 4 , 4, 3 , 3, 2A B C
 
 
19. 
a A B
 
b C B
 
7c A B
 
(a) 
2, 4 4, 3 6,1A B
 
(b) 
2 2
3, 2 4, 3 7, 5 7 5 74C B
 
(c) 
2 2
7 7 2, 4 4, 3 14, 28 4, 3 10, 31 10 31 1061A B
 
20. 
a A B
 
b C
 
2 3c A B
 
(a) 
2, 4 4, 3 2 4, 4 3 2, 7A B
 
(b) 
2 2
3, 2 3 2 13C
 
(c) 
22
2 3 2 2, 4 3 4, 3 4,8 12, 9 16, 1 16 1 257A B
 
En los ejercicios 21 a 24, obtenga el vector o el escalar si 
2i+3jA
 y 
4i jB
 
 
21. 
5a A
 
6b B
 
c A B
 
d A B
 
(a) 
5 2i+3j 10i+15j
 
(b) 
6 4i j 24i+6j
 
(c) 
2i+3j 4i j 6i+2jA B
 
(d) 
2 2
6i+2j 6 2 36 4 40 2 10d A B
 
 
22. 
2a A
 
3b B
 
c A B
 
d A B
 
(a) 
2 2i+3j 4i 6j
 
(b) 
3 4i j 12i 3 j
 
(c) 
2i+3j 4i j 2i+4jA B
 
(d) 
2 2
2i+4j 2 4 4 16 20 2 5A B
 
 
23. 
a A B
 
5 6b A B
 
5 6c A B
 
 
5 6d A B
 
(a) 
22 2 2
2i+3j 4i j 2 3 4 1 13 17A B
 
(b) 
5 2i+3j 6 4i j 10i 15 j 24i+6j = 14i 21j
 
(c) 
2 2
5 6 14i 21j 14 21 96 441 637 7 13A B
 
(d) 
22 2 2
5 6 5 2 3 6 4 1 5 13 6 17A B
 
 
24. 
a A B
 
3 2b B A
 
3 2c B A
 
 
3 2d A B
 
(a) 
22 2 2
2i+3j 4i j 2 3 4 1 13 17A B
 
(b) 
3 2 3 4i j 2 2i+3j 12i 3j 4i 6 j 8i 9 jB A
 
(c) 
2 2
3 2 8i 9 j 8 9 64 81 145B A
 
(d) 
2 2 2 2
3 2 12i 3j 4i+6 j 12 3 4 6 153 52 3 17 2 13A B
 
 
En los ejercicios 25 y 26 
4i+2jA
, 
i+3jB
 y 
C=5i j
 
 
25. Obtenga 
(a) 
5 2 2A B C
 
 
5 4i+2j 2 i+3j 2 5i j -20i+10j 2i 6 j 10 2 j
 
 
20 2 10 i+ 10 6+2 j 28i 6 j
 
 
(b) 
5 2 2A B C
 
 
2 2
28 6 784 36 820 2 205
 
 
26. Determine 
(a) 
3 2B A C
 
 
3 i+3j 2 4i+2j 5i j 3i+9j 8i 4 j 5i+j 6 j
 
 
(b) 
3 2B A C
 
 
2
6 j 6 6 
En los ejercicios 27 y 28
A 8i+5j
 y 
B 3i j
 
 
27. Determine un vector unitario que tenga la misma dirección que 
A+B
 
 
 
A+B= 8i+5j 3i j 11i+4j
 
 
2 2
A+B 11 + 4 121 16 137
 
 
11 4
U= i j
137 137
 
 
28. Obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección que 
A B
 
 
 
A B= 8i+5j 3i j 5i+6j
 
 
2 2
A B 5 + 6 25 36 61
 
 
5 6
U= i j
61 61
 
 
En los ejercicios29 a 32, exprese el vector dado en la forma 
cos i+sin jr
, 
donde 
r
 es el modulo y es el ángulo director. También obtenga un vector unitario que 
tenga la misma dirección. 
 
29. 
3i 4 ja
 
2i 2 jb
 
 
(a) 
22
3 4 9 16 25 5r
 
 
3 4
U = i j
5 5
 
 
(b) 
2 2
2 i j 2 1 1 2 2r
 
 
2 2 1 1
2i 2 j=2 2 i+ j 2 2 cos i+sin j
2 2 4 4
 
 
2 2
U= i j
2 2
 
 
30. 
8i 6 ja
 
2 5i 4 jb
 
 
(a) 
8 6
8i 6 j=10 i+ j
10 10
 
 
4 4
U = i j
5 5
 
(b) 
1 2
2 5i 4 j=6 5i+ j
3 3
 
 
1 2
U = 5i+ j
3 3
 
 
31. 
4i 4 3 ja
 
16ib
 
 
(a) 
2
2
4i 4 3 j 4 4 3 16 48 64 8r
 
 
1 1 2 2
4i 4 3 j=8 i+ 3 j 8 cos i+sin j
2 2 3 3
 
 
1 1
U = i+ 3 j
2 2
 
 
(b) 
2
16i 16 16r
 
 
16i=16 i+0j 16 cos i+sin j
 
 
U = i
 
 
32. 
3i 3 ja
 
2 jb
 
 
(a) 
22
3i 3 j 3 3 3 2r
 
 
1 1 7 7
3i 3 j=3 2 i j 3 2 cos i+sin j
4 42 2
 
 
1 1
U= i j
2 2
 
 
(b) 
2
2j 2 2r
 
 
1 1
2 j=2 0i j 2 cos i+sin j
2 2
 
 
U=j
 
 
33. Si 
A 2i j
, 
B 3i 2 j
 y 
C 5i 4 j
. Determine los escalares 
h
y 
k
tales que 
C A Bh k
 
 
 
5i 4 j= 2i j 3i 2 j 2 3 i+ 2 jh k h k h k
 
 Planteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema 
 
 
2 3 5
2 5
h k
h k
 
2
3
h
k
 
34. Si 
A 5i 2 j
, 
B 4i 3 j
 y 
C 6i 8 j
 determine los escalares 
h
y 
k
 tales 
que 
B C Ah k
 
 
 
4i 3 j= 6i 8 j 5i 2 j 6 5 i+ 8 2 jh k h k h k
 
 
 Planteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema 
 
6 5 4
8 2 3
h k
h k
 
1
4
1
2
h
k
 
 
35. Si 
A i 2 j
,
B 2i 4 j
,
C 7i 5 j
, demuestre que C no puede expresarse en 
la forma 
A + Bh k
, donde 
h
y 
k
 son escalares. 
 
 
7i 5 j= i 2 j 2i 4 j 2 i+ 2 4 jh k h k h k
 
 
 Planteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema 
 
 
2 7
2 4 5
h k
h k
 
2 4 14
2 4 5
h k
h k
 
 
36. Dos fuerzas de 340lb y 475lb forman entres si un ángulo de 34.6º y se aplican a 
un objeto en el mismo punto. Calcule (a) el módulo o intensidad de la fuerza 
resultante, y (b) el ángulo que forma la resultante con la fuerza de 475lb con 
aproximación de decimos de grado. 
 
(a) 
 
1 2
A 475, 0 475lb
B , 340lbb b
 el ángulo entre A y B es 34.6 º 
 
 
1
340 cos 34.6 280b
 
 
2
340 sin 34.6 193b
 
 
 
A+B= 475, 0 280,193 755,193
 
 
2 2
A+B 755 193 779
 lb 
 
(b) 
 
193
tan 0, 2556
755
 
 
1
tan 0, 2556
 
14.3º
 
 El ángulo y la resultante es 779 lb ; 
14.3º
 
 
37. Dos fuerzas de 60lb y 80lb forman entre si un ángulo de 30º y se aplican a un 
objeto en el mismo punto. Obtenga (a) el módulo o intensidad de la fuerza 
resultante, y (b) el ángulo que forma la resultante con la fuerza de 60 lb con 
aproximaciones en grados. 
 
(a) 
 
A 60, 0
La fuerza 
 
1 2
B , 80lbb b
 
 
1
2
80 cos 30 69.3
80 sin 30 40
b
b
 
 
2 2
A+B= 60, 0 69.3, 40 129.3, 40
A+B 129.3 40 135.3
 
 
 
(b) 
 
40
tan 0, 309
129.3
 
 
1
tan 0, 309
 
17 º
 
 
38. Una fuerza de 22 lb y otra de 34 lb se aplican a un objeto en el mismo punto y 
forman un ángulo entre si. Si la fuerza resultante es de 46 lb. Determine con 
aproximación de grados. 
 
 
A 34, 0
 
 
B 22 cos , 22 sin
 
 
2 2 22
46 A+B 34 22 cos 22 sin
 
 
2 2
34 2 34 22 cos 22
 
 2 2 2
46 34 22
cos
2 34 22
 
 
cos 0, 3182
 
71, 4º
 
 
39. Una fuerza de 112 lb y otra de 84 lb se aplican a un objeto en el mismo punto, y la 
fuerza resultante es de 162 lb. Determine el ángulo formado por la resultante y la 
fuerza de 112 lb con aproximación de decimos de grados. 
 
 
112a A
 
 
84b B
 
 
162c A B
 
 2 2 2 2 2 2
112 162 84
cos 0.874
2 2 112 162
a c b
ac
 
 
29 .6
 
 
40. Un avión tiene una velocidad al aire de 350 mi/h. Para que el curso real del avión 
sea el norte, su enfilamiento debe ser 340º. Si el viento sopla del oeste, (a) ¿cuál 
es la rapidez del viento? (b) ¿Cuál es la velocidad a tierra del avión? 
 
 
1 2
1
2
O B ;
450º 340º 110º
350 cos 110 119.7
350 sin 110 119.7
0.328, 9
b b
b
b
C

 
(a) 
 
1
119.7BC b
 
(b) 
 
2
O C 328.9b

 
 
41. En el avión que tiene una velocidad al aire de 250 mi/h, el piloto desea volar al 
norte, si el viento sopla hacia el esta a 60 mi/h, (a) ¿Cuál debe ser el enfilamiento 
del avión? (b) ¿Cuál sería la velocidad a tierra si el avión volase en este grupo? 
 
(a) 
1 60
360º sin 360º 13.9º 346º .1
250
 
(b) 
2 2
250 60 242.7 /v mi hr
 
 
42. Una lancha puede desplazarse a 15 nudos con respecto al agua. En un río, cuya 
corriente es de 3 nudos hacia el oeste la lancha tiene un enfilamiento hacia el 
sur. ¿Cuál es la velocidad de la lancha con respecto a tierra y cual es su curso? 
 
 
2 2
15 3 15.30v
Nudos 
 Curso 
1 3
180 tan 191.31
15
 
 
43. Un nadador con una velocidad de nado de 1.5 mi/h con respecto al agua, parte de 
la rivera sur de un río y se dirige al norte directamente a través del río, si la 
corriente del rio fluye hacia el oeste a 0.8 mi/h. (a) ¿En que dirección va el 
nadador? (b) ¿Cuál es la velocidad del nadador con respecto a tierra? (c) Si la 
distancia a través del río es de 1 milla, ¿Qué tan lejos, rio abajo, el nadador 
alcanza la otra orilla? 
 
(a) 
1 0.8
tan 28.1
1.5
 
(b) 
2 2
1.5 0.8 1.7v
 
(c) 
0.8
0 .53
1.5
 
 
44. Suponga que el nadador del ejercicio 43 desea llegar al punto ubicado 
directamente al norte a través del rio. (a) ¿En que dirección debe dirigirse el 
nadador? (b) ¿Cuál será la velocidad respecto a tierra del nadador si elige esta 
dirección? 
 
Sea el punto 
1 2
,OB b b
 y la dirección 
1
2
0.8 1.5 cos
0.8
cos 0.5333
1.5
1.5 sin 122.2 1.27
b
b
 
 
(a) 
450 122.2 327.8
 
(b) La velocidad relativa 
1 .27
 
 
45. Demuestre que si A es cualquier vector y c es cualquier escalar, entonces 0(A)=0 
y c(0)=0 
 
 
1 2
A= ,a a
 
 
1 2 1 2
0A=0 , 0 , 0 0a a a a
 
 
0 0, 0 0, 0 0, 0 0c c c c
 
 
46. Demuestre el teorema 10.1.8(ii) 
 
 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
A+ B+C = , , , , ,a a b b c c a a b c b c
 
 
1 1 1 2 2 2
,a b c a b c
 
 
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2
, , , A+Ba b c a b c a a b b c c C 
 
47. Demuestre el teorema 10.1.8 (iii) y (viii). 
 
 
1 2
A= ,a a
 
 
1 2 1 2 1 2
A+0= , 0, 0 0, 0 ,a a a a a a
 
 
1 2 1 2 1 2
1A=1 , 1 ,1 , Aa a a a a a
 
 
48. Demuestre el teorema 10.1.8 (iv). 
 
 
1 2
A= ,a a
 
 
1 2
-A= ,a a
 
 
1 1 2 2
A+ A , 0, 0 0a a a a
 
 
49. Demuestre el teorema 10.1.8 (v) 
 
 
1 2
A= ,a a
 
 
1 2 1 2 1 2 1 2
A= cd , cd , cd da , da da , da c dAcd a a a a c c c
 
 
50. Demuestre el teorema 10.1.8 (vii) 
 
 
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
A= , , , , ,c d c d a a c d a c d a ca da ca da ca ca da da
 
1 2 1 2
, , A+dAc a a d a a c
 
 
51. Sean 
A= 2,-5
, 
B = 3 ,1
 y 
C= -4,2
 
(a) Calcule 
A+ B+C
 e ilustre geométricamente. 
 
 
A+ B+C 2,-5 3,1 -4,2 2, 5 1.3 1, 2
 
 
(b) Calcule 
A+B C
 e ilustre geométricamente. 
 
 
A+B 2,-5 3,1 -4,25, 4 4, 2 1, 2C
 
 
52. Se dice que dos vectores son independientes si y solo si sus representaciones 
de posición no son colineales. Además, se dice que dos vectores A y B forman 
una base para el espacio vectorial 
2
V
 si y solo si cualquier vector de 
2
V
 puede 
expresarse como una combinación lineal A y B. Se puede demostrar un teorema 
que establece que dos vectores forman una base para el espacio vectorial 
2
V
si 
son independientes. Muestre que este teorema se cumple para los dos vectores 
2, 5
y 
3, 1
 haciendo lo siguiente: (a) verifique que los vectores son 
independientes mostrando que sus representaciones de posición no son 
colineales; y (b) verifique que los vectores forman una base al mostrar que 
cualquier vector 
1 2
i+ ja a
 puede expresarse como 
2i+5 j 3i jc d
, donde c y 
d son escalares. Sugerencia: exprese c y d en términos de 
1
a
y 
2
a
 
 
(a) 
A= 2, 5
 
OA
 
 
B= 3, 1
 
OB
 
 
(b) 
1 2
2 5 3 2 3 5a b c d c d c di j i j i j i j
 
 
1
2
2 3
5
a c d
a c d
 
 
 
1 2
3 2 3 5 17a a c c c
 
 
1 2
5 2 5 3 2 17a a d d d
 
 
1 2
1
3
17
c a a
 
1 2
1
5 2
17
d a a
 
 
 
 
 
 
 
53. Consulte las dos primeras oraciones del ejercicio 52. Se puede demostrar un 
teorema que afirma que dos vectores forman un teorema que afirma que dos 
vectores forman una base para el espacio vectorial 
2
V
solo si son 
independientes. Muestre que este teorema se cumple para los vectores 
3, 2
y 
6, 4
efectuando lo siguiente: (a) verifique que los vectores son dependientes 
(es decir no son independientes) probando que sus representaciones de 
posición son colineales; (b) verifique que los vectores no forman una base 
tomando un vector particular y demostrando que no puede expresarse en la 
forma 
3i 2 j 6i+4jc d
, donde c y d son escalares (es decir, no generan el 
espacio vectorial). 
 
 
C i j
 
 
c dC A B
 
 
3 2 6 4 3 6 2 4c d c d c di j i j i j i j
 
 
3 6 1
2 4 1
c d
c d
 
6 12 2
6 12 3
c d
c d
 
 
54. Un conjunto de vectores 
1 2 3
, , , ...,
n
V V V V
se dice que es linealmente 
dependiente si y solo si existen escalares 
1 2 3
, , , ...,
n
k k k k
no todos cero, tales 
que 
 
1 1 2 2 3 3
...
n n
k k k kV V V V
 
 Demuestre que si 
1
3 2V i j
, 
2
4V i j
, 
3
2 5V i j
, entonces 
1 2
,V V
y 
3
V
Son linealmente dependientes. 
 
 
3 2 4 2 5 3 2 2 4 5 0a b a b a bi j i j i j i j
 
 
3 2
2 4 5
a b
a b
 
3
14
a
, 
19
14
b
 
 
55. Sean 
PQ
 una representación del vector A , 
QR
 una representación del vector 
B
, 
RS
 una representación del vector 
C
. Demuestre que si 
PQ
 ,
QR
 y 
RS
 son 
los lados de un triangulo, entonces 
0A B C
. 
 
 
PQA V

, 
QRB V

, 
RSC V

 
 
PQ QR RSV V V
  
 
 
0PQ QR RS PR RS PSA B C V V V V V V
     
 
 
56. Demuestre analíticamente la desigualdad del triángulo para vectores: 
A B A B
 
 
 
1 2
,a aA
; 
1 2
,b bB
; 
1 1 2 2
,a b a bA B
 
 
2 22 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2 2a b a b a a b b a a b bA B
 
 
2 22 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 2a a b b a b a b a b a bA B
 
2 2
1 1 2 2
2 a b a bA B
 
 
 
2 2
1 2 2
0a x b a x b
 
 
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
2 0a a x a b a b x b b
 
 
1 1
0a k b
 
2 2
0a k b
 
 
1 1
b ka
 
2 2
b ka
 
 
1 1 2 2
2 a b a b
 
2 2 2 2
1 2 1 2
4 0a a b b
 
 
2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b
 
 
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b
 
 
22 2 2 2 22 2 2 2
1 2 1 2
2 2a a b bA B A B A B A B A B
 
 
A B A B
 
 
57. Explique la diferencia entre magnitud vectorial y magnitud escalar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 10.2 
 
En los ejercicios 1 a 5, los puntos A y B son vértices opuestos de un paralelepípedo que 
tiene sus caras paralelas a los planos coordenados. En cada ejercicio, (a) dibuje la 
figura, (b) obtenga las coordenadas de los otros seis vértices, (c) calcule la longitud de la 
diagonal AB. 
 
1. 
0, 0, 0 ; 7, 2, 3A B
 
7, 2, 0 , 0, 0, 3 , 0, 2, 0 , 0, 2, 3 , 7, 0, 3 , 7, 0, 0b
 
2 2 2
7 0 2 0 3 0 49 4 9 62c AB
 
 
2. 
1,1,1 3, 4, 2A B
 
1,1, 2 , 1, 4,1 , 1, 4, 2 , 3,1,1 , 3,1, 2 , 3, 4,1b
 
2 2 2
3 1 4 1 2 1 4 9 1 14c AB
 
 
3. 
1,1, 2 2, 3, 5A B
 
2,1, 2 , 1, 3, 2 , 1,1, 5 , 2, 3, 2 , 1, 3, 5 , 2,1, 5b
 
2 2 2
2 1 3 1 5 2 9 4 9 22c AB
 
 
4. 
2, 1, 3 4, 0,1A B
 
2 2 2
4 2 0 1 1 3 3AB
 
 
5. 
1, 1, 0 ; 3, 3, 5A B
 
3, 1, 0 , 3, 3, 0 , 1, 3, 0 , 1, 3, 5 , 1, 1, 5 , 3, 1, 5b
 
2 2 2
3 1 3 1 5 0 4 16 25 45 3 5c AB
 
 
6. El vértice opuesto al rincón de una sala está a 18 pie al este, 15 pie al sur y 12 pie 
por arriba del primer. (a) Dibuje la figura; (b) determine la longitud de la diagonal 
que une dos vértices opuestos; (c) obtenga las coordenadas de los ocho vértices 
de la sala. 
 
(a) 
 
 
 
(b) 
 
 
2 2 2 2 2 2
18 15 12 3 6 5 4 3 77d
 
 
En los ejercicios 7 a 11, determine (a) la distancia no dirigida entre los puntos A y B, y (b) 
el punto medio del segmento de recta que une a A con B 
 
7. 
3, 4, 2 ; 1, 6, 3A B
 
 
(a) 
2 2 2
3 1 4 6 2 3 4 4 1 9 3AB
 
(b) 
1
3 1 2;
2
x
 
1
4 6 5;
2
y
 
1 5
2 3
2 2
z
 
 
8. 
4, 3, 2 ; 2, 3, 5A B
 
 
(a) 
2 2 2 2 2 2
2 4 3 3 5 2 6 6 7 11AB
 
(b) 
1
4 2 1
2
x
; 
1
3 3 0
2
y
; 
1 3
2 5
2 2
z
 
 
9. 
1
2, 4,1 ; , 2, 3
2
A B
 
 
(a) 2
2 21 9 1 13
2 4 2 1 3 36 4 169
2 4 2 2
AB
 
(b) 
1 1 1 1 5
2 , 4 2 , 1 3 , 1, 2
2 2 2 2 4
 
 
10. 
1
2, , 5 ; 5,1, 4
2
A B
 
 
(a) 2
2 21 9 1 23
5 2 1 4 5 49 81 529
2 4 2 2
AB
 
(b) 
1 1 1 1 3 1 1
2 5 , 1 , 5 4 , ,
2 2 2 2 2 4 2
 
 
11. 
5, 2,1 ; 3, 7, 2A B
 
 
(a) 
2 2 2
5 3 2 7 1 2 64 25 9 98 7 2AB
 
(b) 
1 1 1 9 1
5 3 , 2 7 , 1 2 1, ,
2 2 2 2 2
 
 
 
 
 
12. Demuestre que los tres puntos 
1, 1, 3 ; 2,1, 7
y 
4, 2, 6
son los vértices de 
un triangulo, y calcule su área. 
 
 
2 2 2
2 1 1 1 7 3 21AB
 
 
2 2 2
4 2 2 1 6 7 6BC
 
 
2 2 2
4 1 2 1 6 3 27AC
 
 
2 2 2
AB BC AC
 
21 6 27
 
 Área 
2
bh
 
21 6 3 14
2 2
 
 
13. Se dibuja una recta que pasa por el punto 
6, 4, 2
 y que es perpendicular al 
plano 
yz
. Obtenga las coordenadas de los puntos de la recta que estan a una 
distancia de 10 unidades del punto 
0, 4, 0
. 
 
 
, 4, 2x
 
 
2 2 2
0 4 4 2 0 10x
 
 
2
4 100x
 
 
2
96x
 
 
4 6x
 
4 6 , 4, 2
 y 
4 6 , 4, 2
 
 
14. Resuelva el ejercicio 13 si la recta se dibuja perpendicularmente al plano 
xy
. 
 
El punto 
6, 4, z
 es 10 unidades de 
0, 4, 0
 
2 2 2 2
6 0 4 4 0 10z
 
2
36 100z
 
2
64z
 
8z
 
6, 4, 8
 y 
6, 4, 8
 
 
15. Demuestre que los tres puntos 
3, 2, 4 , 6,1, 2
 y 
12, 3, 6
 son colineales 
empleando la fórmula de la distancia 
 
 
3, 2, 4A
 
6,1, 2B
 
12, 3, 6C
 
 
2 2 2
6 3 1 2 2 4 81 1 4 86AB
 
 
2 2 2
12 3 3 2 6 4 81 1 4 86AC
 
 
2 2 2
12 6 3 1 6 2 324 4 16 344 2 86BC16. Determine los vértices del triángulo cuyos lados tienen los puntos medios en 
3, 2, 3 , 1,1, 5 , 0, 3, 4
 
 
Sean los puntos medios 
3, 2, 3D 1,1, 5E
 
0, 3, 4F
 
Los puntos vértices del triangulo 
3, 2, 3 , 1,1, 5 , 0, 3, 4A B C
 
FA DE
 
a f e d
 
3, 2, 3 0, 3, 4 1,1, 5 4, 2, 6a d e f
 
3, 2, 3 0, 3, 4 1,1, 5 2, 0, 4b d e f
 
3, 2, 3 0, 3, 4 1,1, 5 4, 4, 2c d e f
 
4, 2, 6 2, 0, 4 4, 4, 2A B C
 
 
17. Para el triángulo que tienen vértices 
2, 5, 3 1, 7, 0A B
 y 
4, 9, 7C
calcule (a) la longitud de cada lado, y (b) los puntos medios de 
cada lado. 
 
 
(a) 
 
2 2
2 1 5 7 3 0 9 144 9 162 9 2AB
 
 
2 2 2
2 4 5 9 3 7 36 196 16 248 2 62AC
 
 
2 2 2
1 4 7 9 0 7 9 4 49 62BC
 
 
(b) 
 
1 1 1 1 3
2 1 , 5 7 , 3 0 ,1,
2 2 2 2 2
AB
 
 
1 1 1
2 4 , 5 9 , 3 7 1, 2, 5
2 2 2
AC
 
 
1 1 1 5 7
1 4 , 7 9 , 0 7 , 8,
2 2 2 2 2
BC
 
 
18. Demuestre el teorema 10.2.6. 
 
 
1 1 2
P P P P
  
 
1 2 1
p p w p p
 
 
1 2
1p w p wp
 
 Sea 
1
2
w
 
 
1 2 1 2 1 2
1 2
1
, ,
2 2 2 2
x x y y z z
p p p
 
 
19. Demuestre que cualquier ecuación de la forma 
2 2 2
0x y z Gx Hy Iz J
 puede expresarse en la forma 
2 2 2
x h y k z l k
. 
 
 
2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1
4
4 4 4 4
x Gx G y Hy H z lz l G H I j
 
 
 2 2 2
2 2 21 1 1 1
4
2 2 2 4
x G y H z L G H I J
 
 
 
2 2 2
1x h y k z K
 
 Cuando 
 
1 1 1
, ,
2 2 2
h G k H L
 
 
2 2 21
4
4
K G H L J
 
 
En los ejercicios 20 a 25, determine la gráfica de la ecuación. 
 
20. 
2 2 2
8 6 25 0x y z y z
 
 
2 2 2
8 16 6 9 25 16 9x y y z z
 
 
2 22
4 3 50x y z 
 
21. 
2 2 2
8 4 2 4 0x y z x y z
 
 
2 2 2
8 16 4 4 2 1 4 16 4 1x x y y z z
 
 
2 2 2
4 2 1 25x y z 
 
 
 
22. 
2 2 2
3 2 0x y z x y z
 
 
2 2 21 1 9 1 1 9
3 2
4 4 4 4 4 4
x x y y z z
 
 2 2 2
1 1 3 3
2 2 2 4
x y z
 
 
23. 
2 2 2
6 9 0x y z z
 
 
22 2
3 0x y z 
 
 
24. 
2 2 2
8 10 4 13 0x y z x y z
 
 
2 2 2
8 16 10 25 4 4 13 16 4x x y y z z
 
 
2 2 2
4 5 2 32x y z
 
 
25. 
2 2 2
6 2 4 19 0x y z x y z
 
 
2 2 2
6 9 2 1 4 4 19 9 1 4x x y y z z
 
 
2 2 2
3 1 2 5x y z 
 
 
En los ejercicios 26 a 28, obtenga una ecuacion de la esfera que satisfase las 
condiciones iniciales. 
 
26. Uno de los diámetros es el segmento de la recta que tiene extremos en 
6, 2, 5
y 
4, 0, 7
. 
 
 
1 1 1
, ,A h k l
 y 
2 2 2
, ,B h k l
 
 
, ,P x y z
 
 
APB
 
 2 2 2
AP BP AB
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1
x h y k z l x h y k z l h h k k l l
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 0x h h x h h y k k y k k z l l z l l
 
6, 2, 5
 
4, 0, 7
 
6 4 2 0 5 7 0x x y y z z
 
 
27. Es concéntrica con la esfera que tiene la ecuación 
2 2 2
2 8 9 0x y z y z
, 
y tiene radio 3. 
 
 
2 2 2
2 1 8 16 9 1 16x y y z z
 
 
2 22
1 4 26x y z
 
 
28. Contiene los puntos 
0, 0, 4
, 
2,1, 3
 y 
0, 2, 6
y su centro se encuentra en el 
plano 
yz
. 
 
 
2 2 2
Gx Hy Lz J x y z
 
 El centro es en el plano 
yz
 entonces 
0G
 
 
2 2 2
Hy Lz J x y z
 
 
 
0, 0, 4 4 16
2,1, 3 3 14
0, 2, 6 2 6 40
I J
H I J
H I J
 
 Resolviendo el sistema 
 
 
12J
 
7I
 
5H
 
 
 
2 2 2
5 7 12x y z y z
 
 
En los ejercicios 29 a 34, 
1, 2, 3A
, 
4, 3, 1B
, 
5, 3, 5C
, y 
2,1, 6D
. 
 
29. Calcule 
a. 
5A B
 
1, 2, 3 5 4, 3, 1 1, 2, 3 20, 15, 5 21, 13, 2
 
 
b. 
7 5C D
 
7 5, 3, 5 5 2,1, 6 35, 21, 35 10, 5, 30 25, 26, 5
 
 
c. 
7 5C D
 
 
7 5, 3, 5 5 2,1, 6 7 25 9 25 5 4 1 36 7 59 5 41
 
 
30. Calcule 
a. 
2A C
 
 
2 1, 2, 3 5, 3, 5 2, 4, 6 5, 3, 5 7, 7,1
 
 
b. 
2A C
 
2 2 2 2 2 2
2 1 2 3 5 3 5 2 14 59
 
 
c. 
4 6 2B C D
 
4 4, 3, 1 6 5, 3, 5 2 2,1, 6 16, 12, 4 30, 18, 30 4, 2, 12 10, 32,14
 
d. 
4 6 2B C D
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 3 1 6 5 3 5 2 2 1 6 4 26 6 59 2 41
 
 
31. Calcule 
a. 
3 8C D A
 
5, 3, 5 3 2,1, 6 8 1, 2, 3
5, 3, 5 6, 3,18 8, 16, 24 19, 16, 1
 
 
b. 
A B C D
 
 
1 4 9 16 9 1 3, 4, 1
 
 
2
14 26 3, 4, 1 2 7 13 3, 4, 1
 
 
2 91 3, 4, 1 6 91, 8 91, 2 91
 
 
32. Calcule 
a. 
3 2 12A B C D
 
3 1, 2, 3 2 4, 3, 1 5, 3, 5 12 2,1, 6
3, 6, 9 8, 6, 2 5, 3, 5 24, 12, 72
 
14, 3, 56
 
 
b. 
A C B D
 
 
2 2 2
1 2 3 14A
 
2 22
4 3 1 26B
 
 
14 5, 3, 5 26 2,1, 6 5 14 2 26 , 3 14 26 , 5 14 6 26
 
 
33. Determine los escalares a y b tales que 
 
0a bA B C D
 
 
 
1, 2, 3 4, 3, 1 5, 3, 5 2,1, 6 0, 0, 0a b
 
 
5, 1, 2 7, 2,11 0, 0, 0a b
 
 Formando un sistema 
 5 7 0
2 0
2 11 0
a b
a b
a b
 Resolviendo el sistema se tienen 
0 0a b
 
 
34. Determine los escalares a, b y c tales que 
 
a b cA B C D
 
 
 
1, 2, 3 4, 3, 1 5, 3, 5 2,1, 6a b c
 
 
 Formando un sistema 
 4 5 2
2 3 3 1
3 3 5 6
a b c
a b c
a b c
 Resolviendo el sistema se tienen 
141 16 67
, ,
129 129 129
a b c
 
 
En los ejercicios 35 a 38, determine los cosenos directores del vector 
1 2
P PV
 y 
verifique las respuestas al mostrar que la suma de sus cuadrados es 1. 
 
35. 
1 2
3, 1, 4 ; 7, 2, 4P P
 
 
1 2
7 3, 2 1, 4 4 4, 3, 8P PV
 
 
1 2
16 9 64 89P PV
 
 
4 3 8
cos , cos , cos
89 89 89
 
 
2 2 2
cos cos cos 1
 
 
16 9 64
1
89 89 89
 
 
36. 
1 2
2, 6, 5 ; 2, 4,1P P
 
 
 
1 2
2 2, 4 6,1 5 4, 2, 4P PV
 
 
1 2
16 4 16 6P PV
 
 
2 1 2
cos , cos , cos
3 3 3
 
 
2 2 2
cos cos cos 1
 
 
4 1 4
1
9 9 9
 
 
37. 
1 2
4, 3, 1 ; 2, 4, 8P P
 
 
 
1 2
2 4, 4 3, 8 1 6, 1, 7P PV
 
 
1 2
36 1 49 86P PV
 
 
6 1 7
cos , cos , cos
86 86 86
 
 
2 2 2
cos cos cos 1
 
 
36 1 49
1
86 86 86
 
 
38. 
1 2
1, 3, 5 ; 2, 1, 4P P
 
 
 
1 2
2 1, 1 3, 4 5 1, 4, 1P PV
 
 
1 2
1 16 1 18 3 2P PV
 
 
1 2 1
cos 2 , cos 2 , cos 2
6 3 6
 
 
2 32 2
1
36 36 36
 
 
39. Utilice los puntos 
1
P
y 
2
P
del ejercicio 35 y obtenga el punto 
Q
 tal que 
1 2 1
3P P P QV V
 . 
 
1 2 1
3 4, 3, 8 3 3, 1, 4P P P Q x y zV V
  
 
13
3 9 4
3
3 3 3 0
4
3 2 8
3
x x
y y
z z
 El punto es 
13 4
, 0,
3 3
Q
 
 
40. Utilice los puntos 
1
P
y 
2
P
del ejercicio 38 y obtenga el punto 
R
 tal que 
1 2
2P R P RV V
  
 
 
1 2 2
2 2 2r P r P r P
 
 
1 2
3 2 1, 3, 5 2 2, 1, 4 5,1,13r P P
 
 
5 1 13
, ,
3 3 3
R
 
 
41. Dados 
1
3, 2, 4P
 y 
2
5, 4, 2P
 , determine el punto 
3
P
 tal que 
1 2 2 3
4 3P P P PV V
  
 
3
, ,P x y z
 
 
1 2 2 3
4 3P P P PV V
  
 
4 5 3, 4 2, 2 4 3 5, 4, 2x y z
 
 
32, 8, 24 3 15, 3 12, 3 6x y z
 
 Formando un sistema 
 3 15 32
3 12 8
3 6 24
x
y
z
 Se tiene 
17
3
x
, 
4
3
y
, 
6z
 
 
3
17 4
, , 6
3 3
P
 
 
42. Dados 
1
7, 0, 2P
 y 
2
2, 3, 5P
, determine el punto 
3
P
tal que 
1 3 2 3
5P P P PV V
 3 1 3 2
5P P P P
 
 
3 2 1
4 5P P P
 
 
3 2 1
1 1
5 3, 15, 27
4 4
P P P
 
 
3
3 15 27
, ,
4 4 4
P
 
 
En los ejercicios 43 y 44, exprese el vector en términos de su modulo y de sus cosenos 
directores. 
 
43. 
6 2 3a i j k
 
 
Sea 
, ,
 la dirección del ángulo del vector. 
a b cV i j k
 
cos
a
V
 
cos
b
V
 
cos
c
V
 
 
cos cos cosV V i j k
 
 
 
 
36 4 9 49 7A
 
 
6 2 3
cos cos cos
7 7 7
 
 
6 2 3
7
7 7 7
A i j k
 
 
 
2 3b i j k
 
 
 
4 1 9 14A
 
 
2 1 3
14
14 14 14
A i j k
 
 
44. 
2 2a i j k
 
 
 
4 4 1 9 3A
 
 
2 2 1
3
3 3 3
A i j k
 
 
 
3 4 5b i j k
 
 
 
9 16 25 50 5 2A
 
 
3 4 5
5 2
5 2 5 2 5 2
A i j k
 
En los ejercicios 45 y 46, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de 
1 2
P PV
 
 
45. 
1
4, 1, 6a P
 y 
2
5, 7, 2P
 
 
 
1 2
5 4, 7 1, 2 6 1, 8, 4P PV
 
 
1 2
1 64 16 81 9P PV
 
 
1 8 4
, ,
9 9 9
U
 
 
 
1
2, 5, 3b P
 y 
2
4, 7, 5P
 
 
 
1 2
4 2, 7 5, 5 3 2, 2, 2P PV
 
 
1 2
4 4 4 12 2 3P PV
 
 
1 1 1
, ,
3 3 3
U
 
 
46. 
1
3, 0, 1a P
 y 
2
3, 8, 1P
 
 
 
1 2
3 3, 8 0, 1 1 6, 8, 0P PV
 
 
1 2
36 64 0 100 10P PV
 
 
3 4
, , 0
5 5
U
 
 
 
1
8, 5, 2b P
 y 
2
3, 9, 4P
 
 
 
1 2
3 8, 9 5, 4 2 5, 4, 2P PV
 
 
1 2
25 16 4 45 3 5P PV
 
 
5 4 2
, ,
3 5 3 5 3 5
U
 
 
En los ejercicios 47 y 48, demuestre la propiedad si 
,A B
 y 
C
son tres vectores 
cualesquiera de 
3
V
 y 
c
 es cualquier escalar. 
 
47. 
1 2 3
, ,a a aA
 
1 2 3
, ,b b bB
 
 
a) 
A B B A
 
 
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
, , , ,a b a b a b b a b a b aA B B A
 
 
b) Existe un vector 
0
 en 
3
V
 para el cual 
0A A
 
 
0 0, 0, 0
 
 
1 2 3 1 2 3
0 0, 0, 0 , ,a a a a a aA A
 
 
c) Existe un vector 
A
 en 
3
V
 tal que 
0A A
 
 
1 1 2 2 3 3
, , 0, 0, 0 0a a a a a aA A
 
 
d) 
c c cA B A B
 
 
 
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
, , , ,c c a b a b a b c a b c a b c a bA B
 
 
1 1 2 2 3 3
, ,ca cb ca cb ca cb
 
 
1 2 3 1 2 3
, , , ,ca ca ca cb cb cb c cA B
 
 
48. 
 
1 2 3
, ,a a aA
 
1 2 3
, ,b b bB
 
1 2 3
, ,c c cC
 
 
a) 
A B C A B C
 
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
, , , , , , , , , ,a a a b b b c c c a a a b c b c b cA B C
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , , ,a b c a b c a b c a b c a b c a b c
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , , , , , , , , ,a b a b a b c c c a a a b b b c c c
 
A B C
 
 
b) 
cd c dA A
 
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , , , , ,cd cd a a a cd a cd a cd a c da c da c daA
 
1 2 3
, ,c da da da c dA
 
 
 
c) 
c d c dA A A
 
1 2 3 1 2 3
, , , ,c d c d a a a c d a c d a c d aA
 
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
, , , , , ,ca da ca da ca da ca ca ca da da da
 
1 2 3 1 2 3
, , , ,c a a a d a a a c dA A
 
 
49. Demuestre mediante geometría analítica que las cuatro diagonales que unen los 
vértices opuestos de un paralelepípedo se bisecan mutuamente. 
 
 
 
50. Si P, Q, R y S son cuatro puntos del espacio tridimensional y A, B, C y D son los 
puntos medios de 
PQ
, 
QR
, 
RS
 y 
SP
, respectivamente, demuestre mediante 
geometría analítica que 
ABCD
 es un paralelogramo. 
 
Si 
, , ,P Q R S
 
3
R
 
, , ,A B C D
 corregir 
PQ
, 
QR
, 
RS
 y 
SP
 
 
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
a b c dp q q r r s s p
 
1
2
AB b a r p c d DC
  
 
51. Demuestre mediante geometría analítica que las cuatro diagonales de un 
paralelepípedo rectangular tienen la misma longitud. 
 
0, 0, 0 , , , , , , 0 , , 0, 0 , 0, , , , 0, , 0, , 0a b c a b a b c a c bA B C H G E F
 
 
2 2 2 2 2 2
0 0 0a b c a b cAB
 
2 2 2 2 2 2
0 0 0a b c a b cCH
 
2 2 2 2 2 2
0 0 0a b c a b cDG
 
2 2 2 2 2 2
0 0 0a b c a b cEF
 
 
 
 
 
 
 
 
52. Se dice que tres vectores en 
3
V
 son independientes si y solo si sus 
representaciones de posición no están en un plano; también se dice que tres 
vectores 
1 2
,E E
 y 
3
,E
 forman una base para el espacio vectorial si y solo si 
cualquier vector de 
3
V
puede expresarse como una combinación lineal de 
1 2
,E E
 
y 
3
,E
 . Se puede transformar un teorema que establece que tres vectores 
forman una base para el espacio vectorial 
3
V
 si son independientes. Muestre que 
este teorema se cumple para los tres vectores 
1, 0, 0 , 1,1, 0
y 
1,1,1
 haciendo 
lo siguiente: 
a
 Verifique que los vectores son independientes demostrando que sus 
representaciones de posición no son coplanares; 
b
verifique que los vectores 
forman una base probando que cualquier vector 
A
 puede expresarse como 
1, 0, 0 1,1, 0 1,1,1r s tA
 
10
 
Donde 
,r s
y 
t
 son escalares. 
c
Si 
6, 2, 5A
 determine los valores 
particulares de 
,r s
y 
t
, tales que cumple (10) 
 
 
 
53. Consulte el ejercicio 52. (a) Verifique que los vectores 
2, 0,1 , 0, 1, 0
 y 
1, 1, 0
 forman una base para 
3
V
 al demostrar que cualquier vector puede 
expresarse como 
2, 0,1 0, 1, 0 1, 1, 0r s tA
 
11
 
Donde 
,r s
y 
t
 son escalares. (b) Si 
2, 3, 5A
 determine los valores 
particulares de 
,r s
y 
t
, tales que cumple (11) 
 
a) 
Sea 
, ,a b cA
 
2, 0,1 0, 1, 0 1, 1, 0 , ,r s t a b c
 
2
2
2
r t a
s t b
r c
t a c
s c a b
 
 
, , 2, 0,1 2 0, 1, 0 2 1, 1, 0a b c c c a b a c
 
 
b) 
 
2, 3, 5a b c
 
 5
2 5 2 3 9
2 2 5 12
r
s
t
 
 
 
 
54. Refiérase al primer enunciado del ejercicio 52. Se puede demostrar un teorema 
que afirma que tres vectores de 
3
V
 forman una base para el espacio 
3
V
solo si 
son independientes. Muestre que este teorema es válido para los tres vectores 
1 2
1, 0,1 , 1,1,1F F
 y 
3
2,1, 2F
 realizando lo siguiente: (a) Verifique 
que 
1 2 3
, ,F F F
 no son independientes al demostrar que sus representaciones de 
posición son coplanares: (b) verifique que los vectores no forman una base 
probando que no todo vector de 
3
V
puede expresarse como una combinación 
lineal de 
1 2 3
, ,F F F
 (es decir no generan el espacio vectorial) 
 
 
a) 
3 1 2
F F F
 
 
b) 
1, 0,1 1,1,1 1,1,1 , ,r s t a b c
 
2
2
r s t a
s t b
r s t c
 
 
55. Demuestre el teorema 10.2.14 
 
31 2
1 1
1
aa a
U i j k A U A
A A A A A
 
Por que 
1
0
A
 
 
 
 
56. Si las medidas en radianes de los ángulos directores de un vector son iguales, 
¿cuál es la medida de cada uno? 
Explique como llego la respuesta. 
 
 
2 2 2
cos cos cos 1
 
 
2 1
cos
3
1
cos
3
 
1 1
cos
3
 
 
 
EJERCICIOS 10.3 
 
En los ejercicios 1 a 4 calcule 
A B
 
 
1. 
a) 
1, 2 , 4, 3A B
 
1, 2 4, 3 1 4 2 3 10
 
 
b) 
2 , 3A i j B i j
 
2 3 2 1 1 3 1i j i j
 
 
2. 
a) 
1 1 5 4
, , ,
3 2 2 3
A B
 
1 1 5 4 1 5 1 4 1
, ,
3 2 2 3 3 2 2 3 6
 
 
b) 
2 ,A i B i j
 
2 2 1 0 1 2i i j
 
 
3. 
a) 
2 1 3 1 3 1
, , , , ,
5 4 2 2 5 2
A
 
2 1 3 1 3 1 2 1 1 3 3 1 2
, , , ,
54 2 2 5 2 5 2 4 5 2 2 5
 
 
b) 
3 2 , 3A j k B i j k
 
3 2 3 0 1 3 1 2 3 9j k i j k
 
 
4. 
a) 
4, 0, 2 , 5, 2, 1A B
 
4, 0, 2 5, 2, 1 4 5 0 2 2 1 18
 
 
b) 
3 2 , 6 7 2A i j k B i j k
 
3 2 6 7 2 3 6 2 7 1 2 6i j k i j k
 
 
5. Demuestre que 
1, 0i i i k
 y 
0j k
 
1, 0, 0 1, 0, 0 1 1 0 0 0 0 1
1, 0, 0 0, 0,1 1 0 0 0 0 1 0
0,1, 0 0, 0,1 0 0 1 0 0 1 0
i i
i k
j k
 
6. Demuestre que 
1, 0j j k k
e 
0i j
 
0,1, 0 0,1, 0 0 0 1 1 0 0 1
0, 0,1 0, 0,1 0 0 0 0 1 1 1
1, 0, 0 0,1, 0 1 0 0 1 0 0 0
j j
k k
i j
 
 
En los ejercicios 7 a 10, demuestre el teorema para vectores de 
3
V
 
 Sea 
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , , , , , , ,a a a b b b c c cA B C
 
 
7. Teorema 10.3.2(i) 
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
, , , , , , , ,a a a b b b a b a b a b b a b a b a b b b a a aA B B A
 
 
8. Teorema 10.3.2(ii) 
1 2 3 1 1 2 2 3 3
, , , ,a a a b c b c b cA B C
 
 
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
a b c a b c a b c
a b a c a b a c a b a c
a b a b a b a c a c a c
A B A C
 
 
9. Teorema 10.3.3(i) 
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
, , , ,c c a a a b b b c a b a b a bA B
 
 
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
, , , ,
c a b c a b c a b
ca b ca b ca b
ca ca ca b b b cA B
 
 
10. Teorema 10.3.3(ii), (iii) 
 
Teorema 10.3.3 (ii) 
0 0A
 
1 2 3 1 2 3
0 0, 0, 0 , , 0 0 0 0a a a a a aA
 
 
Teorema 10.3.3 (iii) 
2
A A A
 
22 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , , , , ,a a a a a a a a aA A A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En los ejercicios 11 y 12, si es el ángulo entre 
A
 y 
B
, calcule 
cos
 
 
11. 
a) 
4, 3 , 1, 1A B
 
 
4 3 1A B
 
16 9 5
1 1 2
A
B
 
1 1
cos 2
105 2
A B
A B
 
 
b) 
5 12 , 4 3A i j B i j
 
 20 36 16
25 144 13
16 9 5
16 16
cos
13 5 65
A B
A
B
A B
A B
 
 
12. 
a) 
2, 3 , 3, 2A B
 2 3 3 2 6
4 9 13
9 4 13
6 6
cos
1313 13
A B
A
B
A B
A B
 
 
b) 
2 4 , 5A i j B j
 2 0 4 5 20
4 16 20 2 5
0 25 5
20 2
cos 5
52 5 5
A B
A
B
A B
A B
 
 
13. Determine el valor de k tal que la medida en radianes del ángulo entre los 
vectores del ejemplo 2 sea 
1
4
 
3 2 , 2 kA i j B i j
 
 
 
1
cos
4
A B A B
 
 
2
2 2
2
1
6 2 13 4 2
2
72 48 8 52 3
5 48 20 0
5 2 10 0
2
10
5
k k
k k k
k k
k k
k k
 
 
14. Sean 
2kA i j
 y 
6kB i j
 , donde k es un escalar. Obtenga el valor de k tal 
que 
A
 y 
B
 sean ortogonales. 
 
A
y
B
 son ortogonales 
2
0 2 6 12k k ki j i j
 
12 2 3
 
 
15. Sean 
5 kA i j
 y 
6kB i j
, donde k es un escalar. Obtenga el valor de k tal 
que (a) 
A
y
B
 sean ortogonales, y (b) 
A
y
B
 sean paralelos. 
 
a) 
A
y
B
 son ortogonales 
0 5 6 0 0k k k
 
 
b) 
 
2
5 6
5
6
5 6
a
a k k
a k
ak
a
A B
i j i j
 Ningún valor de k 
 
16. Determine el valor de k tal que los vectores del ejercicio 14 tengan direcciones 
opuestas. 
 
2 , 6k kA i j B i j
 
2 6 6
1
6 2
3
1 0
1 0 0
c
k c k ck c
c c
k ck
c k
c k
A B
i j i j i j
 
 
 
 
 
17. Si 
8 4A i j
 y 
7 6B i j
, calcule (a) la proyección escalar de 
A
sobre 
B
, y 
(b) el vector proyección de 
A
sobre 
B
. 
8 7 4 6 80
64 16 4 5
49 36 85
A B
A
B
 
 
a) 
80
85
B
A B
A
B
 
b) 
2
80 112 90
7 6
85 17 17
B
A B
A B i j i j
B
 
 
18. Para los vectores del ejercicios 17, (a) obtenga la proyección escalar de 
B
 sobre 
A
 y, (b) el vector proyección de 
B
 sobre 
A
. 
 
a) 
80
4 5
4 5
A
A B
B
A
 
b) 
80
8 4 8 4
80
A
A B
B A i j i j
A
 
 
19. Determine la componente del vector en la dirección del vector 
5 6A i j
 en la 
dirección del vector 
7B i j
 
 
B
A 35 6 29 29
2
1049 1 50
A B
B
 
 
20. Para los vectores 
A
y
B
 del ejercicio 19, calcule la componente de en la 
dirección de 
B
 en dirección de 
A
. 
 
5 6 7 5 7 6 1 29
5 6 25 36 61
A
i j i jA B
B
A i j
 
 
En los ejercicios 21 a 26, 
4, 2, 4 ; 2, 7, 1 ; 6, 3, 0A B C
 y 
5, 4, 3D
 
 
21. Obtenga 
a) 
A B C
 
4, 2, 4 2, 7, 1 6, 3, 0 4, 2, 4 8, 4, 1 32 8 4 44
 
 
b) 
A B C D
 
4, 2, 4 2, 7, 1 6, 3, 0 5, 4, 3 8 14 4 30 12 0
 
26 18 468
 
 
c) 
A D B C
 
4, 2, 4 5, 4, 3 2, 7, 1 6, 3, 0
20 8 12 12 21 0 40 9 31
 
 
d) 
D B A D A B
 
5, 4, 3 2, 7, 1 4, 2, 4 5, 4, 3 4, 2, 4 2, 7, 1
 
10 28 3 4, 2, 4 20 8 12 2, 7, 1
41 4, 2, 4 40 2, 7, 1
164, 82,164 80, 280, 40 84,198,124
 
 
22. Obtenga 
a) 
A B A C
 
4, 2, 4 2, 7, 1 4, 2, 4 6, 3, 0
8 14 4 24 6 0 44
 
 
b) 
A B B C
 
4, 2, 4 2, 7, 1 2, 7, 1 6, 3, 0
8 14 4 12 21 0 26 9 234
 
 
c) 
A B C B C D
 
4, 2, 4 2, 7, 1 6, 3, 0 2, 7, 1 6, 3, 0 5, 4, 3
26 6, 3, 0 9 5, 4, 3 201, 42, 27
 
 
d) 
2 3 4A B C D
 
8, 4, 8 6, 21, 3 24, 12, 0 5, 4, 3 2,17, 5 19, 16, 3 295
 
 
23. Calcule (a) 
cos
si es el ángulo entre 
A
y 
C
; (b) la componente de 
C
en la 
dirección de 
A
; (c) el vector proyección de 
C
 sobre 
A
 
 
4, 2, 4 6, 3, 0 24 6 0 18
16 4 16 6
36 9 0 45 3 5
A C
A
C
 
 
a) 
18 1
cos
56 3 5
A C
A C
 
b) 
2
18
4, 2, 4 2,1, 2
36
A
A C
C A
A
 
 
24. Determine (a) 
cos
 si es el ángulo entre 
B
 y 
D
; (b) la componente de 
B
 
en la dirección de 
D
; (c) el vector proyección de 
B
sobre 
D
. 
 
2, 7, 1 4 49 1 54
5, 4, 3 25 16 9 50
2, 7, 1 5, 4, 3 2 5 7 4 2 1 1 41
B
D
B D
 
 
a) 
41 41
cos 3
9054 50
B D
B D
 
b) 
41 41
2
1050
D
B D
B
D
 
c) 
2
41 41 82 123
5, 4, 3 , ,
50 10 25 50
D
B D
B D
D
 
 
25. Obtenga (a) la proyección escalar de 
A
sobre 
B
;(b) el vector proyección de 
A
sobre 
B
. 
 
4, 2, 4 2, 7, 1 8 14 4 26
4 49 1 54 3 6
A B
B
 
 
a) 
26 13
6
93 6
B
A B
A
B
 
b) 
2
26 26 91 13
2, 7, 1 , ,
54 27 27 27
B
A B
A B
B
 
 
26. Calcule (a) la proyección escalar de 
D
 sobre 
C
; (b) el vector proyección de 
D
 
sobre 
C
. 
 
6, 3, 0 5, 4, 3 30 12 0 18
36 9 0 3 5
C D
C
 
 
a) 
18 6
5
53 5
C
C D
D
C
 
b) 
2
18 12 6
6, 3, 0 , , 0
45 5 5
C
C D
D C
C
 
 
 
 
 
 
 
27. Calcule la distancia del punto 
2, 1, 4
 a la recta que pasa por los puntos 
3, 2, 2
 y 
9, 6, 6
. 
 
2
1,1 6
1 1 36 38
V AP
V AP


 
2
12, 4, 4
144 16 16 176
V AB
V AB


 
12 4 24 16V AP V AB
 
 
 
2
2
256 402 1
38 4422
176 11 11
d
V AP V AB
V AB
V AB
 


 
 
28. Determine la distancia del punto 
3, 2,1
 a la recta que pasa por los puntos 
1, 2, 9
 y 
3, 6, 3
. 
 
3, 2,1 1, 2, 9 2, 0, 8
4 0 64 68
3, 6, 3 1, 2, 9 4, 8, 12
c
AP
AP
AB



 
8 0 96 88 22
16 64 144 4 14 14
AB
AP AB
AD AP
AB
 


 
2 2 484 234 1
68 1638
14 7 2
d c a
 
 
29. Pruebe, empleando vectores, que los puntos 
2, 2, 2 , 2, 0,1 , 4,1, 1
y 
4, 3, 0
son vértices de un rectángulo. 
 
2,1,2
0, 2, 1 2,1, 2 0
V BC V AD
V AB V AD
 
 
 
 
30. Demuestre, utilizando vectores que los puntos 
2, 2, 2 , 0,1, 2 , 1, 3, 3 , 3, 0,1
 son los vértices de un paralelogramo. 
 
1, 2, 1AD CB
 
ADBC
 es paralelogramo 
 
 
 
 
 
31. Determine el área del triangulo cuyos vértices son 
2, 3,1 , 1, 2, 3 , 3, 1, 2
 
 
2
2
2
2
3, 1, 2 9 1 4 14
5, 4,1 25 16 1 42
15 4 2 21
V AB
V AP
V AP V AB


 
2
2
2
1
2 2
bh
V AP V AB
A V AB V AP
V AB
 
 

 
2 2 21
2
V AP V AB V AP V AB
    
21 7 7
14 42 21 2 6 9 3
2 2 2
 
 
32. Demuestre, empleando vectores, que los puntos 
2,1, 6 , 2, 4, 5 , 1, 2,1
 
son los vértices de un triángulo rectángulo, y determine el área del triángulo. 
 
2, 4, 5 2,1, 6 4, 3, 1
1, 2,1 2,1, 6 1, 3, 5
AB
AC


 
4 1 3 3 1 5 0AB AC
  
Área 
1 1 1 1
16 9 1 1 9 25 26 35 910
2 2 2 2
AB AC
  
 
33. Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto 
inicial sea el punto 
2, 4
, y que sean tangentes a la parábola 
2
y x
 en ese 
punto. 
 
2
2
2 4
y x
y x
y
 
1, 4 1, 4
1 16 17
U
 
 
34. Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto 
inicial sea el punto 
2, 4
, y que sean normales a la parábola 
2
y x
 en ese 
punto. 
 
2
2
y x
y x
 1tan
4
cos sini j
 
4 1 4 1
17 17 17 17
i j i j
 
 
 
 
 
 
35. Si 
3 5 3 , 2 3 , 2 4A i j k B i j k C i j k
, obtenga la componente de 
B
 en la dirección 
2A C
. 
 
2 3 5 3 2 2 4 7 11A C i j k i j k i j k
 
2 1 14 33 46 46
19
2 571 49 121 171
B A C
A C
 
 
36. Calcule los cosenos de los ángulos del triángulo que tiene vértices en 
0, 0, 0 , 4, 1, 3 , 1, 2, 3A B C
. 
 
3, 3, 0 9 9 0 3 2
1, 2, 3 1 4 9 14
4, 1, 3 16 1 9 26
a
b
c
BC
AC
AB



 
 
2 2 2
14 26 18 11 11
cos 91
2 1822 14 26 14 26
b c a
bc
A
 
2 2 2
18 26 14 5 5
cos 13
2 262 132 3 2 26
a c b
ac
B
 
2 2 2
18 14 26 1 1
cos 7
2 142 72 3 2 14
a b c
ab
C
 
 
37. Un vector 
F
 representa una fuerza que tiene una intensidad de 
8lb
 y su 
dirección esta determinada por el ángulo cuya medida en radianes es
1
3
. 
Determine el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto (a) a lo largo 
del eje 
x
 desde el origen hasta el punto 
6, 0
, y (b) a lo largo del eje 
y
desde el 
origen hasta el punto 
0, 6
. La distancia se mide en pies. 
 
1 1
8 cos sin 4 4 3
3 3
F i j i j
 
a) 
1
6, 0 4, 4 3 6, 0 24W F
 
b) 
2
0, 6 4, 4 3 0, 6 24 3W F
 
 
 
 
 
 
38. Un vector 
F
 representa una fuerza una intensidad de 
10 lb
 y su dirección esta 
determinada por el ángulo cuya medida en radianes es 
1
4
. Calcule el trabajo 
realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el punto 
0, 2
 hasta el 
punto 
0, 5
. La distancia se mide en pies. 
 
1 1 1
10 cos sin 5 2 10 2 7 35 2
4 4 2
W F D i j j
 
 
39. Un vector 
F
 representa una fuerza una intensidad de 
9 lb
 y su dirección esta 
determinada por el ángulo cuya medida en radianes es 
2
3
. Determine el trabajo 
realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el origen hasta el punto 
4, 2
. La distancia se mide en pies. 
 
2 2 9 9
9 cos sin 3
3 3 2 2
F i j i j
 
9 9
4, 2 , 3 4, 2 18 9 3 2.41
2 2
W F
 
 
40. Dos fuerzas representadas por los vectores 
1 2
F F
 actúan sobre una partícula 
ocasionando que se desplace a lo largo de una recta desde el punto 
2, 5
 hasta 
el punto 
7, 3
. Si 
1
3F i j
 
2
4 5F i j
, y si las intensidades de las fuerzas 
se miden en libras y la distancia en pies, calcule el trabajo realizado por las dos 
fuerzas al actuar juntas. 
 
7, 3 2, 5 5 2D b a i j
 
1 2
3 4 5 4 5 2 1 5 4 2 13W F F D i j i j D i j i j
 
41. Si una fuerza tiene la representación vectorial 
3 2F i j k
, calcule el trabajo 
realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el 
punto
1
2, 4, 3P
hasta 
2
1, 3, 5P
. La intensidad de la fuerza se mide en libras 
y la distancia en pies. 
 
1 2
3 2 3 7 2 9 14 2 25P PW F V i j k i j k
 
 
 
 
 
 
 
 
42. Si una fuerza tiene la representación vectorial 
5 3F i k
, calcule el trabajo 
realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el 
punto 
1
4,1, 3P
 hasta el punto 
2
5, 6, 2P
. La intensidad de la fuerza se mide 
en libras y la distancia en pies. 
 
5 3 5, 6, 2 4,1, 3 5, 0, 3 9, 5, 1 42W F D i k
 
 
43. Un vector 
F
 representa una fuerza que tiene una intensidad de 
10 lb
, y los 
cosenos directores de 
F
 son
1
cos 6
6
 y 
1
cos 6
3
. Si la fuerza desplaza 
un cuerpo a lo largo de una recta desde el origen hasta el punto 
7, 4, 2
, 
calcule el trabajo realizado. La distancia se mide en pies. 
 
1 1
cos 6 , cos 6
6 3
 
2 2
21 1
6 6 cos 1
6 3
 
21 2 1
cos 1 cos 6
6 3 6
1 1 1
10 6 6 6
6 3 6
F i j k
 
 
44. Si A y B son vectores diferentes del vector cero, demuestre que el vector 
cA B
 
es ortogonal a B si 
2
c
A B
B
. 
2
0
0
0
c
c
c
A B B
A B B B
A B B
 
2
c
A B
B
 
 
45. Si 
12 9 5A i j k 4 3 5B i j k
, emplee el resultado del ejercicio 44 para 
determinar el valor del escalar c de modo que el vector 
cB A
 sea ortogonal a 
A
. 
 
2
4 3 5 12 9 5 48 27 25 100 2
144 81 25 250 250 5
c
i j k i j kB A
A
 
 
 
 
 
 
46. Para los vectores del ejercicio 45, utilice el resultado del ejercicio 44 a fin de 
calcular el valor del escalar d de modo que el vector 
dA B
sea ortogonal a 
B
 
 
2
4 3 5 12 9 5 48 27 25 100
2
16 9 25 50 50
c
i j k i j kB A
B
 
 
47. Demuestre que si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces los vectores 
B A A B
 y 
B A A B
 son ortogonales. 
 
2 2 2 2
0
B A A B B A A B B A B A A B A B
B A A B
 
 
48. Demuestre que si A y B son dos vectores cualesquiera diferentes del vector cero 
y 
C B A A B
, entonces el ángulo entre A y C tiene la misma medida en 
radianes que el ángulo entre B y C 
 
A B
U V
A B
 
C A B
D
A B A B
 
1
2
1
cos
1
cos
U U VUD UV
U D D D
V U VVD UV
V D D D
 
 
49. Demuestre que dos vectores diferentes del vector cero son paralelos si y solo si 
la medida en radianes del ángulo entre ellos es 
0 o
. 
 
kB A
 
2
2 2
cos 1
0
kk k
k k k
a a
AA A A AA B
A B A A A A
 
2
2 2
cos 1
2 1 2 1 0
0
A B
A B
A B A A A B B B
A B A BA B
A B
A B
B
B A
A
 
50. Demuestre, mediante análisis vectorial, que las medianas de un triangulo son 
concurrentes, es decir coincides en un punto. 
 
Las medianas del triangulo 
ABC
en el punto. 
2 2 1 1 1 1 1
1
3 3 2 2 3 3 3
g a b c a b c
 
 
51. Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de recta que une los 
puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su 
longitud es la mitad de la longitud del tercer lado. 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
PQ q p a c a b c b BC
  
 
52. Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de recta que une los 
puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a los lados 
paralelos del trapecio ysu longitud es la mitad de la suma de las longitudes de 
los lados paralelos. 
 
1 1
2 2
OE OA OD
   y 1 1
2 2
OF OB OC
   
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
EF OF OE OB OC OA OD
OB OA OC OD
      
   
 
1 1
2 2
AB DC
  
kDC AB
  
1 1 1
1
2 2 2
k kEF AB AB AB
    1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1
2
k k
k k
EF AB AB
AB AB AB AB
AB DC
  
   
 
 
 
53. La ley de refracción de Snell trata sobre la luz que atraviesa de un medio, tal 
como el aire, a otro medio más denso, tal como el agua. La ley establece que la 
parte del rayo luminoso que pasa por el medio más denso será refractado 
(“desviado”) hacia la normal. Observe la figura adjunta donde 
1
 es el ángulo de 
incidencia y 
2
 es el ángulo de refracción. De la ley de Snell. 
1 2
sin sin
 
 
Donde es el índice de refracción del medio más denso. Demuestre que si A es 
un vector unitario a lo largo del rayo incidente, B es un vector unitario a lo largo 
del rayo refractado, F es un vector unitario en la interface y N es el vector normal 
unitario en la interface como se muestra en la figura, entonces 
0A F B F
 
 
 
 
 
54. Demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwarz: Si A y B son dos vectores 
cualesquiera, entonces 
A B A B
 
Donde la igualdad se cumple si y solo si existe un escalar c tal que 
cA B
, es 
decir, A y B son paralelos. 
 
0xA B
 
xB A
 
2 2
2 22
2 2 2 22 2
0 2
2
2 4 0
x x x x x
x x
A B A B A B A A A B B B
A A B B
A B A B A B A B A B A B
 
 
55. Demuestre el siguiente teorema: si A y B son dos vectores cualesquiera, 
entonces 
2 2 2
2A B A A B B
 
 
2 2 2
2 2A B A B A B A A A B B B A A B B
 
 
56. Demuestre el teorema de Pitágoras: 
 
2 2 2
A B A B
 
Si y solo si A y B son ortogonales. 
 
 
2 2 2 2 2 2
0 2A B A A B B A B A B A B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57. Demuestre la ley del paralelogramo: si A y B son dos vectores cualesquiera, 
entonces 
2 2 2 2
2 2A B A B A B
 
¿Cuál es la interpretación geométrica de esta identidad? 
Sugerencia: observe la figura adjunta que muestra el paralelogramo determinado 
por las representaciones de los vectores A y B. 
 
 
 
 
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
A B A B A B A B A B A B
A A A B B B A A A B B B A A B B A B
 
 
58. Demuestre la identidad de polarización: si A y B son dos vectores cualesquiera, 
entonces 
2 2
4A B A B A B
 
¿Cuál es la interpretación geométrica de esta identidad? 
Sugerencia: consulte la figura del ejercicio 57. 
 
 
2 21 1
4 4
A B A B A B A B A B A B
 
 
1 1
2 2 4
4 4
A A A B B B A A A B B B A B A B
 
 
59. En la teoría electromagnética, en ocasiones es necesario realizar lo siguiente: si 
E y H son dos vectores dados, escriba E como la suma de dos vectores 
1
E
 y 
2
E
tales que 
1
E
sea paralelo a H y 
2
E
sea ortogonal a H. Defina y 
2
E
en esta 
situación. 
 
1 2H
E H
E E H
H
 Es paralelo a 
H
 
2 H
E E E
 Es ortogonal a 
H
 
 
 
 
 
 
60. La notación vectorial junto con el producto punto pueden emplearse para 
almacenar datos. Por ejemplo, suponga que una compañía de inversiones vende 
acciones de los tipos X, Y y Z. Sean 
1 2 3
, ,a a a
 las componentes del vector A, 
respectivamente, las cantidades de acciones X, Y y Z vendidas un día específico. 
Sean 
1 2 3
, ,s s s
las componentes del vector S, respectivamente, las cantidades de 
dólares de los precios de venta de las acciones X, Y y Z en ese día. Entonces, si 
R dólares es el ingreso total obtenido por las tres acciones en ese día, 
R A S
. 
Calcule el ingreso total obtenido por la venta de las tres acciones cada día de la 
semana, donde A y S se proporcionan en la tabla 1. Nota: puesto que una 
compañía no esta limitada a comerciar solo tres acciones, este ejemplo puede 
generalizarse para comercializar n acciones donde los vectores A y S tiene cada 
uno n componentes, de modo que 
1 2 3 1 2 3
, , , ..., , , , ...,
n n
a a a a s s s sA S
 , y 
1 1 2 2 3 3
...
n n
a s a s a s a sA S
 
 
 
 
Lunes 
250,180, 310 25.50,16.80, 54.55 $26, 309.50
 
Martes 
185, 210, 215 27.50,14.60, 61.25 $21, 322.25
 
Miercoles 
400,120,180 21.20, 21.50, 66.50 $23, 030.00
 
Jueves 
355,165, 200 23.40,18.50, 62.30 $23, 819.50
 
Viernes 
370,145, 240 22.60,19.10, 61.75 $25, 951.50
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 10.4 
 
 
En los ejercicios 1 a 6, obtenga una ecuación del plano que contenga al punto P y tenga 
al vector N como vector normal. 
 
1. 
3,1, 2 ; 1, 2, 3P N
 
1 3 2 1 3 2 0
3 2 2 3 6 0
2 3 1 0
x y z
x y z
x y z
 
 
2. 
3, 2, 5 ; 6, 3, 2P N
 
6 3 3 2 2 5 0
6 18 3 6 2 10 0
6 3 2 34 0
x y z
x y z
x y z
 
 
3. 
0, 1, 2 ; 0,1, 1P N
 
0 0 1 1 1 2 0
1 2 0
3 0
x y z
y z
y z
 
 
4. 
1,8, 3 ; 7, 1,1P N
 
7 1 8 3 0
7 2 0
x y z
x y z
 
 
5. 
2,1, 1 ; 3 4P N i j k
 
1 2 3 1 4 1 0
2 3 3 4 4 0
3 4 3 0
x y z
x y z
x y z
 
 
6. 
1, 0, 0 ;P N i k
 
1 1 0 0 1 0 0
1 0
x y z
x z
 
 
En los problemas 7 y 8, determine una ecuación del plano que contenga los tres puntos. 
 
7. 
3, 4,1 ; 1, 71, ; 1, 2, 5
 
1
1 1 3
2
2 2 3
3
:
3
: 7
:
a b c d
E
F E E
E
F E E
E
 
3 4
2 16 4
92 24
5 2
2 5
a b c d
b c d
c d
b c d
a b c d
 
3 2 6
; ;
23 23 23
d d d
a b c
 
3 2 6
0
23 23 23
3 2 6 23 0
d d d
x y z d
x y z
 
 
8. 
0, 0, 2 ; 2, 4,1 ; 2, 3, 3
 
1
0 2 1 0 2 1 0 0 1 0 0 2
0 0 2 1
4 1 1 2 1 1 2 4 1 2 4 1
0 4 1 1
3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3
2 3 3 1
x y z
x y z 
 
7 14 28 0x z
 
2 4 0x z
 
 
En los ejercicios 9 a 14, dibuje el plano y obtenga dos vectores unitarios normales al plano. 
 
9. 
2 2 6 0x y z
 
El vector normal del plano es 
2 1, 2 4 1 4 3
 
Los vectores unitarios 
2 1 2 2 1 2
, , ; , ,
3 3 3 3 3 3
 
 
10. 
4 4 2 9 0x y z
 
4, 4, 2 16 16 4 6
 
2 1 2 2 1 2
, , ; , ,
3 3 3 3 3 3
 
 
11. 
4 3 12 0x y z
 
4, 3, 12 16 9 144 13
 
4 3 12 4 3 12
, , ; , ,
13 13 13 13 13 13
 
 
12. 
2 4 0y z
 
0,1, 2 0 1 4 5
 
1 5 2 5
0,1, 2 0, ,
5 55
 
 
13. 
3 2 6 0x z
 
3, 0, 2 9 0 4 13
 
3 2 3 2
, 0, ; , 0,
13 13 13 13
 
 
14. 
5z
 
5z
 
0, 0,1 ; 0, 0, 1
 
 
En los ejercicios 15 a 20, obtenga una ecuación del plano que satisfaga las condiciones 
indicadas. 
 
15. Perpendicular a la recta que pasa por los puntos 
2, 2, 4 ; 7, 1, 3
, y contiene 
al punto 
5,1, 2
. 
2, 2, 4 ; 7, 1, 3A B
 
5, 3, 7V AB

 
5,1, 2
 
5 3 1 7 2 0
5 3 7 14 0
x y z
x y z
 
 
16. Paralelo al plano 
4 2 1 0x y z
 y contiene al punto 
2, 6, 1
. 
4 2 0x y z d
 
4 2 2 6 1 0 5
4 2 5 0
d d
x y z
 
 
17. Perpendicular al plano 
3 7 0x y z
 y contienen los puntos 
2, 0, 5 0, 2, 1
 
El vector normal al plano es 
1, 3, 1
 
, , 1, 3, 1 0a b c
 
3 0
2, 0, 5 ; 0, 2, 1
2, 2, 6
a b c
A B
V AB

 
2 2 6 0a b c
 
 
Resolviendo el sistema 
3 0
2 2 6 0
a b c
a b c
 se tiene 
2a c b c
 
2 2 0 5 0
2 1 0
c x c y c z
x y z
 
 
 
18. Perpendicular a cada uno de los planos 
0; 2 4 5 0x y z x y z
 y 
contiene al punto 
4, 0,