kupdf.com geometria

Vista previa del material en texto

351 
A 
B 
C 
b 
c 
a 
 
 
  
 
Región 
exterior 
Región 
interior 
 
Tema 1: TRIÁNGULOS 
1. DEFINICIÓN: 
Es aquella figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales 
mediante segmentos de recta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notación: Triángulo ABC: 

ABC 
Elementos: 
 · Vértices: A, B y C 
 · Lados: 
AB
, 
BC
, 
AC
 
 · Ángulos Internos: 
 ,,
 
 · Ángulos Externos: 

, 

,

 
 · Perímetro (2P): Es la suma de las longitudes de los lados del triángulo 
 2P = a + b + c 
 · Semiperímetro (P): Es la semisuma de las longitudes de los lados del 
triángulo. 
 
2
cba
P

 
 · Longitudes de los lados: 
cAB 
, 
aBC 
, 
bAC 
 
 
OBSERVACIONES: 
i) Todo triángulo divide al plano en tres subconjuntos de puntos: 
 · Puntos interiores al triángulo 
 · Puntos exteriores al triángulo 
 · Puntos que pertenecen al triángulo 
 
ii) La porción del plano limitado por el triángulo se denomina región triangular. 
 
 
 352 



A
B
C
2. PROPIEDADES FUNDAMENTALES: 
 i) En todo triángulo, la suma de medidas de los 
ángulos internos es 180º 
 
º180 
 
 
 
 ii) En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior 
es igual a la suma de medidas de los ángulos interiores 
no adyacentes a él. 
W: ángulo exterior 
 
 

 
 
 
 iii) En todo triángulo, la suma de medidas de los 
ángulos exteriores considerando uno por cada vértice 
es 360º 
 
 
º360 
 
 
 
iv) En todo triángulo, la longitud de un lado esta 
comprendida entre la diferencia y suma de las 
longitudes de los otros dos lados. (Relación de 
existencia). 
 
 Sea: a > b > c 
 a - b < c < a + b 
 
 v) Relación de correspondencia. En todo triángulo 
el ángulo interior de mayor medida se opone al lado 
de mayor longitud y viceversa. 
 
 
 Si: a > b > c 
 

 > 

 > 

 

 
A
B
C


B
C
A
ac
bA C
B
ac
b



C
B
A
 
 353 
 vi) En un mismo triángulo, a lados iguales se oponen 
ángulos iguales y viceversa. 
 
 Si: AB = BC 
 m 

 A = m 

 C 
 
3. PROPIEDADES DERIVADAS: 
 i) Propiedad: Regla de la mariposa: 
 
 
 
= m + n 
 
 
ii) Propiedad: Regla de la cometa 
 
 
 
 
 
= m + n 
 
 iii) Propiedad: Cuadrilátero cóncavo 
 
 
 x = 
 
 
 
 iv) Propiedad: 
 
 
2
 
x
 
 
 v) Propiedad: 
 
 
 
2
 
x
 
 
A C
B
 

 n
m
 
m
n



x

x
a
a
b
b


x
a a b
b
 
 354 
4. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS 
 4.1. Según sus lados: 
a) Triángulo equilátero: Tiene sus lados de igual longitud. 
 
60º 60º
60º
A
B
C 
 AB = BC = AC 
 

A=

B=

C=60º 
b)Triángulo isósceles: Tiene dos lados de igual longitud. 
 
 

A
B
C
BASE 
 AB = BC 

 AC 
 

A = 

C 

 

B 
c) Triángulo escaleno: No tiene lados de igual longitud. 
 



CA
B
 
 AB 

 BC 

 AC 
 

A 
 
B 
 
C 
 4.2. Según sus ángulos internos: 
a) Triángulo Acutángulo: Es aquel cuyos ángulos internos son agudos. 
 
 

C
B
A
a
b
c
 
 

<90º 

<90º 

<90º 
 
 355 
x

A
B
C

A


C
b
a
c
B



C
B
a
c
b A
60º
A
B
C
x

A
B
C
x
b)Triángulo Rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo recto y dos ángulos 
agudos. 
 
 AC, BC: catetos 
 AB : hipotenusa 
 Se cumple: 
º90
 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
 a2 + b2 = c2 
c) Triángulo Obtusángulo: Es aquel que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos 
agudos. 
 
 Obtuso Agudo Agudo 
 

<90º 

<90º 

<90º 
 
5. PROPIEDADES ADICIONALES: 
 i) Propiedad: 
 
 

ABC. Equilátero 
 AB = BC = AC 
 
 
 
ii) Propiedad: 
 
 x = 90º - 

 
 
 
 
iii) Propiedad: 
 
 
 x = 180º - 2

 
 
 
 356 
A
B
CM N
A
B
CM
A
B
CD

6. LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO 
 6.1. Ceviana: Segmento de recta que une un vértice con un punto cualquiera 
del lado opuesto o de su prolongación. 
 
 BM: Ceviana Interior 
 BN: Ceviana Exterior 
 
 
 
6.2. Mediana: Ceviana que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. 
 
 BM: Mediana 
 AM=MC 
 
 
 
 
 6.3. Altura: ceviana perpendicular al lado al cual es relativa o a su 
prolongación. 
 
 
 
 
 
 

ABC: Acutángulo 

BAC: Obtusángulo 
 
6.4. Bisectriz: Ceviana que biseca al ángulo interior o ángulo exterior. 
i) En el 

ABC: 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C H 
 
 º 
A 
B 
C H 
 
 º 
 
 357 
A
B
C E


A
B
M
L
C
N




x





x

BD: Bisectriz Interior 
ii) En el 

ABC: 
 
 
 BE: Bisectriz Exterior 
 
 
6.5. Mediatriz: Es la recta perpendicular a un 
lado cualquiera, en su punto medio 
En el 

ABC: 
 
:L
 Mediatriz 
 
 
7. ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES: 
 7.1. Angulo formado por dos bisectrices interiores: 
 
X=
2
º90


 
 
 
7.2. Angulo formado por dosbisectrices exteriores: 
 
2
º90

x
 
 
 
 
7.3. Angulo formado por una bisectriz interior y exterior: 
 
2

x
 
 
 
 
 
 
 
 358 
TRABAJO EN EL AULA 
 
01. Según el gráfico calcule θ si 
AB=BD=DE=EF=FC 
 
a) 18º 
b) 20º 
c) 25º 
d) 36º 
e) 24º 
 
 
02. Según el gráfico a+b=200º 
calcule x 
 
a) 130º 
b) 150º 
c) 135º 
d) 140º 
e) 120º 
 
 
03. Según el gráfico, calcule x+y 
 
a) 120º 
b) 160º 
c) 230º 
d) 130º 
e) 150º 
 
 
04. Del gráfico. Calcular x+y 
 
a) 60º 
b) 120º 
c) 80º 
d) 90º 
e) 135º 
 
 
05. Según el gráfico calcule “x” si: 
 
=70º, AP=AQ y HC=QC. 
 
a) 120º 
b) 110º 
c) 125º 
d) 140º 
e) 150º 
 
 
06. En el lado AB de un triángulo 
ABC se ubica el punto P y en la 
región exterior a se ubica el 
punto Q de modo que 
m

ACP=50º, m

PCB=15º, 
m

QPC=60º y AC=PQ=PC; calcule 
la m

AQP. 
 
a) 18º b) 20º c) 25º 
d) 30º e) 35º 
 
 
07. Del gráfico. Calcule “x” si: 
a+b+c+d=260º 
 
a) 115º 
b) 120º 
c) 100º 
d) 110º 
e) 130º 
 
 
08. Según el gráfico calcule (x+y+z). 
 
a) 360º 
b) 270º 
c) 180º 
d) 90º 
e) 45º 
 
 
09. De la figura, calcule “x” 
A
B
CD
E
F

20°
3
36°
b
X
a
x
50°
y 




x
y
a
a+b
b


70°
HP
A Q C
x


a
b c
d
x




x
y
z


 
 359 
 
 
a) 20º 
b) 45º 
c) 30º 
d) 35º 
e) 50º 
 
 
10. Calcule: x+y 
 
a) 160º 
b) 300º 
c) 200º 
d) 220º 
e) 330º 
 
 
 11. En un triángulo ABC, se trazan 
las cevianas interiores BM y BN 
(M
 AN
) tal que: AM=MB; NB=NC; 
m

BAC+m

ACB=4(m

MBN), 
calcular m

MBN 
 
a) 25º b) 20º c) 18º 
d) 24º e) 28º 
 
 
12. En los lados AB y AC de un 
triángulo equilátero ABC, se 
ubican los puntos M y D 
respectivamente de modo que 
m

AMD=90º, luego en la región 
exterior relativa a 
AC
 se ubica el 
punto P; si
ADMP
 = {N}, MP=PD 
y NP=ND. Calcular m

AMN 
 
a) 30º b) 25º c) 20º 
d) 35º e) 15º 
 
 
13. En un triángulo ABC, se ubica 
en la prolongación de 
AB
 y en la 
región exterior relativo a 
BC
 los 
puntos Q y P respectivamente tal 
que 
BP
//
AC
 , m

QBP=m

PBC y 
además AB=6. Calcular el máximo 
valor entero de AC. 
 
a) 9 b) 11 c) 12 
d) 8 e) 10 
 
 
14. Calcular m

CAD, si en un 
triángulo ABC en la región 
exterior relativo al lado AC, se 
ubica el punto D tal que: 
 AC=AD, BC=CD y 
 m

BDA=2(m

BCA)= 20º. 
 
a) 35º b) 40º 
c) 50º 
d) 55º e) 45º 
 
 
15. Calcular el menor valor entero 
de x, siendo el ángulo ABC obtuso. 
 
a) 70º 
b) 69º 
c) 68º 
d) 66º 
e) 67º 
 
 
16. Según la figura calcular x. 
 
a) 46º 
b) 44º 
c) 40º 
d) 45º 
e) 50º 
 
20°
3x
80°
2x
70°
x
40°
60°
x
y
 

3


x
x


 
 360 
17. En el gráfico AP = PM, QN = QC y 
a + b + c + d = 280º, calcular x 
 
a) 120º 
b) 110º 
c) 100º 
d) 115º 
e) 105º 
 
 
18. En un triángulo isósceles ABC 
(AB=BC) se traza la ceviana 
interior CD. Calcular el máximo 
valor entero que toma AC, si DC=6 
y AD toma su máximo valor entero. 
 
a) 10 b) 9 c) 11 
d) 12 e) 8 
 
 
19. Según el gráfico calcular el 
máximo valor entero de x siendo el 
triángulo ABC acutángulo. 
 
a) 66º 
 b) 67º 
c) 68º 
 d) 65º 
 e) 64º 
 
 
20. En un triángulo ABC se ubican 
los puntos M, N y Q en 
ACyBCAB,
 
respectivamente. Si MN=5u, 
NQ=6u MQ=7u. Calcular el mínimo 
valor entero del perímetro de la 
región triangular ABC 
 
a) 19u b) 18u c) 14u 
d) 16u e) 20u 
 
21. Se tiene el triángulo ABC en la 
región interior se ubica el punto P, 
de modo que AB = AP = PC y 
Calcule m

PCB 
 
a) 8º b) 12º c) 9º 
d) 10º e) 18º 
 
 
22. Se tiene el triángulo isósceles 
ABC (AB=BC), en la región 
exterior relativa al lado BC se 
ubica el punto D de modo que 
BC=BD, si la m

BCA toma su 
máximo valor entero par calcule la 
m

ADC. 
 
a) 1º b) 4º c) 2º 
d) 3º e) 6º 
 
 
23. Se tiene el triángulo ABC, en 
el cual se traza la bisectriz 
exterior BD (D en la prolongación 
de
AC
 y en el triángulo CBD se 
traza la bisectriz interior CE si 
BE=6, calcule el mínimo valor 
entero de CE. 
 
a) 5 b) 8 
c) 6 
d) 7 e) 9 
 
24. Del gráfico, calcule x+y 
 
a) 250º 
b) 60º 
c) 70º 
d) 50º 
e) 40º 
A
B
CM N
P
Q
a b
c dx
A
B
C




x
x
y
2
2
2


10°
 2
 
 361 
25. En la figura, calcular “x” 
 
a) 40º 
b) 25º 
c) 50º 
d) 30º 
e) 80º 
 
 
26. En un triángulo ABC, se 
prolonga 
AC
 hasta un punto O, tal 
que la m

ABP+m

BAP=2m

BCP. 
Si: CP=5u. calcular el máximo valor 
entero de 
BC
 
 
a) 4 b) 5 
c) 9 
d) 4,5 e) 6 
 
 
27. En un triángulo isósceles ABC 
(AB=AC) en la prolongación de se 
ubica el punto D, tal que: AD=DC. 
Si m

DAB=15º. Calcular la 
m

ADB 
 
a) 25º b) 30º 
c) 50º 
d) 48º e) 60º 
 
 
28. En un triángulo isósceles ABC 
(AB=AC), se traza la ceviana 
interior
BM
 . Calcular la m

MBC. 
Si AM=MB=BC 
 
a) 30º b) 37º 
c) 36º 
d) 50º e) 72º 
 
 
29. En un triángulo ABC, 
m

ABC=60º y m

ACB=40º; en la 
prolongación de 
BAyAB
 se ubican 
los puntos M y N respectivamente, 
tal que: BM=BC y AN=AC. Calcular 
la m

MCN 
 
a) 100º b) 110º 
c) 120º 
d) 90º e) 130º 
 
 
30. En el lado AB de un triángulo 
isósceles ABC de base 
AC
 el 
punto R: tal que: 
AC=CQ=QR=RP=PB. Calcular la 
m

ABC 
 
a) 10º b) 15º 
c) 20º 
d) 40º e) 30º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




80°
2
x
 
 362 
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR 
 
1. En un triángulo ABC se traza la 
bisectriz interior , tal que 
m

BDA = 72º y m

BDC = 35º. 
Calcular la m

BAD. 
 
A) 56º B) 63º C) 70º 
D) 71º E) 77º 
 
 
2. Si: m + n = 80º; calcular “x” 
 
 
 
3. Calcular “x”; si // . 
 
 
 
A) 20º B) 55º C) 65º 
D) 45º E) 70º 
 
4. En la figura, m

BAC = 80º y 
m

BCA = 40º. Calcular la 
m

DEC. 
 
 
5. Calcular “” 
 
 
6. En un triángulo ABC por E ex 
centro relativo a , se traza una 
paralela a que interseca a 
en M y a en N. Calcular MN, si 
AM = 9 y 
NC = 6. 
 
A) 1 B) 1,5 C) 2,5 D) 3 E) 2 
 
7. En un triángulo ABC, 
m

A = 2m

C. Se traza la 
bisectriz interior . Calcular AD, 
si AB = 6 y BC = 10. 
 
A) 2 B) 4 C) 8 D) 10 E) 6 
 
8. En un triángulo ABC: I es 
incentro, si la m

AIC = 3m

B. 
calcular la m

B. 
 
A) 24º B) 36º C) 54º 
D) 45º E) 30º 
 
9. Por el vértice “B” de un triángulo 
ABC, cuyo perímetro es 16, se 
trazan paralelas a las bisectrices 
interiores de A y C las que 
intersecan a AC en P y Q. Calcular 
PQ. 
A) 8 B) 16 C) 32 D) 18 E) 24 
A) 20º 
B) 30º 
C) 40º 
D) 60º 
E) 45º 
A) 105º 
B) 115º 
C) 100º 
D) 85º 
E) 95ºA) 10º 
B) 12º 
C) 15º 
D) 20º 
E) 18º 
 
 363 
Tema 2: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. 
A C
B

 
D F
E

 
 
Notación: 

ABC 

 

DEF, se lee 

ABC congruente al 

DEF. 
 
CASOS DE CONGRUENCIA: 
Caso 1: A.L.A. (Angulo - Lado - Angulo) 
A C
B
º
D F
E
ººº
 

ABC

 

DEF 
Caso 2: L.A.L. (Lado - Angulo - Lado) 
A C
B
º
D F
E
º
 

ABC 

 

DEF 
Caso 3: L.L.L. (Lado - Lado - Lado) 
 A C
B
D F
E
 

ABC 

 

DEF 
Caso 4: A.L.LMAYOR. (Angulo - Lado - Lado mayor) 
A
B
C D
E
F

 
Si: 90º 

 

 180º 

ABC 

 

DEF 
 
 364 
OBSERVACIONES: 
1. Para la congruencia de dos triángulos existen tres condiciones fundamentales, 
de estas tres condiciones nunca debe falta la longitud de un lado. 
2. Sólo cuando se demuestra que dos triángulos son congruentes, se puede 
afirmar que a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y viceversa. 
3. Dos triángulos rectángulos serán congruentes, si presentan dos pares de 
elementos congruentes, diferentes del ángulo recto. Estos elementos pueden 
ser: 
· Un lado y un ángulo agudo (Caso L. A.) y 
· Dos pares de lados (Caso L.L.) 
 
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
1. Teorema de la bisectriz de un ángulo: 
 Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del 
ángulo. 


O
Q P
A
B
N
M
: Bisectriz del 

 AOB 
QM = QN 
OM = ON 
 

OMQ 

 

ONQ 
2. Teorema de la mediatriz de un segmento 
Todo punto que pertenece a la recta mediatriz de un segmento equidista de 
los extremos del segmento dado. 
A
P
B
M
L 
 

AMP 

 

PMB 
 
 
 
 
 365 
Observación: En todo triángulo isósceles, la altura relativa a la base es 
también mediana, bisectriz y porción o segmento de recta mediatriz. Los 
siguientes triángulos son isósceles. 
 
 
 
3. Teorema de los puntos medios: 
 
A
N
B
C
M
 
AM=MB 
BN=NC 
MN
//
AC
 
2
AC
MN  
4. Teorema de la menor mediana en el triángulo rectángulo 
A
B
CM 
:BM
 Mediana 
AM=MC=BM 
 
 
 
 
 366 
TRABAJO EN EL AULA 
 
01. Según el gráfico calcular 
DE
AB
 
a) 1,5 
b) 1/2 
c) 2,5 
 d) 2/3 
 e) 2 
 
 
02. En el gráfico mostrado 
AB=ND, BM=MC, AN=CD y 
MN=2
3
. Calcular BC. 
 
a) 4,5 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 5,5 
 
 
03. En un triángulo isósceles ABC 
de base BC, en la prolongación se 
ubica el punto P tal que AB=BP y 
m

BAC=2(m

APC), calcular la 
m

APC. 
a) 53º b) 45º c) 37º 
d) 60º e) 30º 
 
 
04. En el interior de un triángulo 
isósceles ABC (AB=BC) se ubica el 
punto P, tal que m

BAP=30º, 
m

ABP=60º+m

PBC y PB=5. 
Calcular PC. 
a) 3,5 b) 4,5 c) 4 
d) 6 e) 5 
 
05. En un triángulo rectángulo ABC 
recto en B se traza la ceviana 
interior 
CN
 tal que: AN=3(NB) y 
m

CAB=2m

NCB. Calcular 
m

NCB. 
a) 22º30´ b) 20º c) 15º 
d) 18º30´ e) 16º3´ 
 
 
06. En un triángulo rectángulo ABC 
la altura 
BH
 mide 8cm. Calcular la 
longitud del segmento que tienen 
como extremos los pies de las 
perpendiculares trazadas por H a 
las bisectrices de los ángulos ABH 
y HBC. 
a) 6cm b) 5cm c) 3cm 
d) 4,5cm e) 4cm 
 
 
07. En la región interior de un 
triángulo isósceles ABC (AB=AC), 
se ubica un punto P tal que 
m

ABC=3 (m

PAC)=3(m

PCB) y 
AP=BC. Calcular m

BAP. 
a) 21º30´ b) 26º30´ c) 18º30´ 
d) 18º e) 22º30´ 
 
 
08. En un triángulo rectángulo ABC 
recto en B se traza la ceviana 
interior AF; tal que: AB=FC y 
m

BAF=m

FCA, calcular 
m

FAC. 
a) 37º/2 b) 15º c) 53º 
A
B
C
D
75º
30º
75º
B
D
C
A
M
N
60º
 
 367 
d) 37º e) 30º 
09. Del gráfico calcular “x”, si 
3(AE)=5(ED) 
 
a) 30º 
b) 37º 
c) 15º 
d) 16º 
e) 45º 
 
 
10. En la región interior y exterior 
relativa a 
BC
 de un triángulo ABC, 
se ubican los puntos P y Q 
respectivamente tal que: 
437
BPQmPBCmQBCm 




 
m

BVAQ=10º, BC=AQ y AB=PC. 
Calcular m

QPC. 
a) 115º b) 105º c) 110º 
d) 120º e) 100º 
 
11. Hallar AC si AM=MC, BG=GM. 
FG=3 
 
a) 6 
b) 9 
c) 12 
d) 15 
e) 18 
 
 
12. En la figura: CM=MB y AB=12. 
Hallar CD 
 
a) 4 
b) 8 
c) 6 
d) 4 
e) 8 
13. En la figura, hallar ME. SI 
AC=8m 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 4,5 
e) 6 
 
 
14. Hallar 
“x” 
 
a) 41º 
b) 37º 
c) 39º 
d) 42º 
e) 51º 
 
 
15. En la figura: AP=BC. Hallar “x” 
 
a) 10º 
b) 15º 
c) 30º 
d) 20º 
e) 40º 
 
16. En al figura mostrada, calcular 
el valor de “

” 
A
B
D

30º+
10º
C
 
 
a) 5º b) 10º c) 15º 
B
D
C
A

E
X



A
B
C
F M
G
A
B
C
D
M30º
45º
A
B
C
E
M


D
A
B
C
78º
81º
Xº
A
B
C
xº70º
P
40°
 
 368 
d) 20º e) 25º 
 
17. En un triángulo ABC, la altura 
BH
 biseca a la mediana 
AM
 en 
“F”. Si: AH=6u y FH=2u, hallar AB. 
a) 10u b) 12 c) 8 
d) 8 e) 5 
 
18. En la figura: AB=BC; BH=12. 
Hallar AD 
 
a) 12 
b) 16 
c) 18 
d) 24 
e) 12,2 
 
 
19. Hallar AB si: MC=6 y AN=NC 
 
a) 4 
b) 6 
c) 5 
d) 8 
e) 7 
 
 
20. Del gráfico: AB=PB y BC=BQ. 
Calcula 
“

”. 
 
a) 30º 
b) 36º 
c) 37º 
d) 45º 
e) 53º 
 
 
21. En el gráfico la recta L es 
mediatriz de 
AC
 , AM=BC y 
3(m

BAC)=2(
m

BCA). 
Calcular x 
a) 40º 
b) 35º 
c) 45º 
d) 44º 
e) 38º 
 
 
22. En la región exterior a un 
triángulo ABC relativo BC se ubica 
el punto P, tal que
BCAP
 = {Q} 
si m

ABP=m

BPA, 
m

ACB=2m

CBQ, BQ=AC, 
AB=10u y PC=7u. Calcule PQ. 
a) 2u b) 2,5u c) 3u 
d) 1u e) 1,5u 
 
 
23. Según el gráfico DE=4u calcule 
el máximo valor 
entero de AE. 
a) 5 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
e) 3 
 
 
24. Interiormente a un triángulo 
ABC se ubica el punto P que 
pertenece a la mediatriz de 
AC
 , 
luego en 
AC
 se ubica el punto Q 
de modo que AB=QC y el triángulo 
BPQ es isósceles de base BQ. 
A
B
DH
45º
C
A
B
M
N

C
3
A
B
3
P

C
Q

A
B
C
L
M
x
E
D
A

 

 
 369 
Calcule la m

PCQ, si la medida 
del ángulo exterior de vértice A 
respecto al triángulo ABC es 100º 
a) 20º b) 35º c) 25º 
d) 30º e) 40º 
 
25. En un triángulo ABC, la medida 
del ángulo exterior en el vértice B 
es 80º, luego se trazan las 
mediatrices de que intersecan al 
lado AC en P y Q respectivamente, 
calcule m

PBQ. 
a) 20º b) 10º c) 25º 
d) 15º e) 30º 
 
 
26. Se tiene el triángulo, ABC 
en
AC
, y en la región exterior 
relativa al lado 
AC
 se ubican los 
puntos M y N respectivamente, 
luego se trazan las 
mediatrices
21 LyL
 de 
MCyAB
, 
21 LL 
= {N}, BC=AM y 
m

MCM=80º, calcule m

ACBa) 10º b) 15º c) 20º 
d) 30º e) 25º 
 
27. Los lados de un triángulo ABC 
miden 8k, 12k y 16k. Se unen los 
puntos medios de sus lados 
formándose un triángulo PQR. 
Hallar el perímetro del triángulo 
que se forma al unir los puntos 
medios de los lados del triángulo 
PQR. 
 
a) 8k b) 9k c) 7k 
d) 10k e) 12k 
 
28. En un triángulo obtusángulo 
ABC, el 

C=13º. La mediatriz de 
AC
 corta a 
BC
 en “Q”. Si AB=QC. 
Hallar la m

A 
a) 20º b) 25º c) 26º 
d) 28º e) N.A. 
 
29. Grafique el triángulo ABC, de 
modo que la m

A=40º y 
m

C=18º; las mediatrices de 
BCyAB
 cortan a 
AC
 en “R” y “Q” 
respectivamente. Hallar la 
m

RBQ. 
a) 46º b) 58º c) 60º 
d) 64º e) N.A. 
 
 
 
 
 370 
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR 
 
1. En un triángulo ABC la medida del 
ángulo exterior en el vértice A es el 
triple de la medida del ángulo C, 
además la mediatriz interseca a 
 en P. Calcular BP, si 
BC – AB = 9. 
 
A) 3 
B) 6 
C) 9 
D) 4 
E) 5 
 
 
2. Él triángulo ABC es isósceles, AB=BC 
y la altura trazada desde C mide 10. 
si P es un punto cualquiera del 
lado , calcular la suma de las 
distancias de P a los lados 
congruentes. 
 
A) 5 
B) 6 
C)8 
D) 10 
E)15 
 
 
3. En la figura AB = 12 y AM = 7, 
calcular PQ 
 
 
A) 4 B) 2 C) 6 
D) 5 E) 3 
 
4. En un triángulo ABC, 
m∢A=105º, m∢C=25º y AB = 9. Si la 
mediatriz de interseca a en 
P, calcular PC. 
 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
 
5. En un triángulo rectángulo ABC, 
recto en B, se sabe que AC=10 y 
m∢C=26,5º. calcular la medida de 
la altura BH. 
 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
 
6. En un triángulo rectángulo, la 
bisectriz interior del ángulo 
agudo mayor a la mediatriz de la 
hipotenusa se intersecan en un 
punto sobre el cateto mayor. 
Calcular la medida de uno de los 
ángulos agudos. 
 
A) 75º 
B) 60º 
C) 53º 
D) 45º 
E) 37º 
 
 
 371 
 
7. En un triángulo ABC, la medida del 
ángulo exterior en A es el triple 
de la medida del ángulo C. La 
mediatriz de interseca a en 
Q tal que: 
23QC
, calcular AB. 
 
A) 3 
B) 
6
 
C) 6 
D) 
23
 
E) 4 
 
 
8. En un triángulo ABC, AB=6 y 
AC=9. Por B se traza 
perpendicular a la bisectriz 
interior . Si N es el punto medio 
de , calcular PN. 
 
A) 2,5 
B) 1 
C) 3,5 
D) 2 
E) 1,5 
 
 
 
9. En un triángulo ABC se traza la 
mediana tal que la 
m∢ABM=50º y m∢MBC=65º. Si 
AB=18, calcular BM. 
 
A) 6 
B) 8 
C) 9 
D) 12 
E) 
36
 
 
 
10. Si AE = EF, DE = 4 y es 
bisectriz del ∢ACB, calcular AC. 
 
 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) 
28
 
E) 12 
 
 
 372 
TEMA 3: POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS 
 
 
POLÍGONO 
 
Definición 
Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos o coplanares, tal que el 
extremo del primero coincide con el extremo del último; ningún par de 
segmentos, se intercepten, excepto en sus extremos y dos segmentos 
consecutivos nos sean colineales. 
 
 
 
Elementos 
Vértices : A, B, C, D,... 
Lados : , , , ,... 
m ∢ internos : , , ,... 
m ∢ externos : x, y, z,... 
Diagonales : , , ,... 
Diagonales medias : , , ,... 
 
Polígono Convexo 
Es cuando tienen todos sus ángulos internos convexos, es decir, mayores que 
cero y menores que 180º. 
 
 
 
Clasificación de los Polígonos Convexos 
 
1. Polígono Equiángulo 
Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes 
 
 
 373 
2. Polígono Equilátero 
Cuando tienen todos su lados congruentes 
 
 
 
3. Polígono Regular 
Cuanto tienen todos sus ángulos internos congruentes y todos sus lados 
congruentes 
 
 
 
Polígonos No Convexos 
Cuando tienen uno más ángulos internos no convexos es decir mayores que 
180º y menores que 360º. 
 
 
Denominación de los Polígonos 
Triángulo ................................................... 3 lados 
Cuadrilátero ............................................. 4 lados 
Pentágono .................................................. 5 lados 
Hexágono................................................... 6 lados 
Heptágono ................................................. 7 lados 
Octógono ................................................... 8 lados 
Nonágono o eneágono............................. 9 lados 
Decágono ................................................. 10 lados 
Endecágono o Undecágono ..................11 lados 
Dodecágono ............................................ 12 lados 
Pentadecágono ....................................... 15 lados 
Icoságono ............................................... 20 lados 
Enégono...................................................... n lados 
 
 
 374 
Propiedad para todo Polígono Convexo 
Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que: 
1. Suma de las medidas de sus ángulos internos: 
. Sm∢i = 180 (n – 2) . 
 
2. Suma de las medidas de sus ángulos externos: 
. Sm∢i = 360 . 
 
3. Diagonales trazadas desde un solo vértice: 
. Di = (n – 3) . 
 
4. Número total de diagonales: 
. 
 
2
3

nnDT
 . 
 
5. Número total de diagonales medias: 
. 
 
2
1

nnDm
 . 
 
6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos 
. 
  
2
21 

vvvnDv
 . 
 
En Polígonos Regulares y Equiángulos 
 
7. Medida de un ángulo interno: 
. 
 
n
ni 2180 
 . 
 
8. Medida de un ángulo exterior: 
. 
n
e
360

 . 
 
 375 
TRABAJO EN EL AULA 
 
01. ¿Cuántas diagonales se pueden 
trazar en un polígono de 23 
lados? 
 
 A) 200 B) 210 C) 220 
 D) 230 E) 240 
 
 
02. ¿Cuántos lados tiene el polígono 
en el cual la suma de las medidas 
de los ángulos interiores es igual 
a 3 240? 
 
 A) 18 B) 19 C) 20 
 D) 21 E) 22 
 
 
03. En el gráfico calcular x 
 
 A) 18 
 B) 20 
 C) 24 
 D) 25 
 E) 30 
 
 
04. En la figura, calcular θ 
 
 A) 15 
 B) 30 
 C) 36 
 D) 25 
 E) 45 
 
 
05. El número de diagonales de un 
polígono es igual a 35. ¿De qué 
polígono se trata? 
 
 A) Pentágono B) Triángulo 
 C) Icosàgono 
 D) Decágono E) Octógono 
 
06. Si los dos polígonos mostrados 
son regulares, calcular x 
 
 A) 100 
 B) 110 
 C) 120 
 D) 150 
 E) 160 
 
07. Calcular el número de lados de un 
polígono regular cuyo ángulo interior 
equivale al triple del ángulo exterior 
 
 A) 8 B) 9 C) 12 
 D) 10 E) 24 
 
08. Si a un polígono de 23 lados se le 
disminuye dos lados, ¿en cuánto 
disminuye el número de diagonales? 
 
 A) 13 B) 19 C) 41 
 D) 26 E) 29 
 
09. La suma de las medidas de los 
ángulos internos de un polígono 
convexo es 1 800. ¿Cuántas 
diagonales se pueden trazar? 
 A) 50 B) 52 C) 54 
 D) 56 E) 58 
 
10. La suma de las medidas de los 
ángulos internos excede a la suma de 
las medidas de los ángulos externos 
en 900. Calcular cuántos lados tiene 
el polígono 
 
 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 
x°
100°30°
120° 140°
70° 40°
x°
2°
2°
°°
°
2°
 
 376 
11. En qué polígono, se observa que el 
número total de diagonales equivale a 
3 veces el número de lados 
 
 A) Nonágono B)Pentágono 
 C) Octógono 
 D) Decágono E) Icoságono 
 
12. ¿En qué polígono convexo, el número 
total de diagonales excede al número 
de lados en 25? 
 
 A) Decágono B) Undecágono 
 C) Pentadecágono 
 D) Tridecágono E) Dodecágono 
 
13. En un polígono regular, el cuadrado 
de la medida del ángulo exterior, es 
igual a 15 veces la medida del ángulo 
interior. Calcular el número de lados 
 
 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 
 
14. Los polígonos mostrados son 
regulares. Calcular “x” 
 
 A) 54 
 B) 48 
 C) 50 
 D) 42 
 E) 45 
 
15. Calcular AC en un octogono 
equiángulo ABCDEFGH 
 AB = 3
2
 y BC = 1, 
 
 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 
 
16. Si el número de lados de un polígono 
aumenta en 2, el a número de 
diagonales aumenta en 15. ¿De qué 
polígono se trata? 
 
 A) Octógono B) Nonágono 
 C) Decágono 
 D) Undecágono E) Dodecágono 
 
17. Los números de lados de dos 
polígonos regulares están en la razón 
de 1 a 2. La diferencia entre las 
medidas de sus ángulos exteriores es 
igual a 36. El polígono de menor 
número de lados es: 
 
 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 
 
18. En un polígono regular ABCDE.......... 
m∢ACE=135. ¿Cuántas diagonales 
tiene ese polígono? 
 
 A) 90 B) 119 C) 44 
 D) 104 E) 135 
 
19. En un Icoságono regular 
ABCDEF......., las prolongaciones de 
EDyAB
se intersectan en “P”. 
Calcular m∢BPD 
 
 A) 100 B) 110 C) 116 
 D) 120 E) 126 
 
20. El polígono mostrado es 
equiángulo, calcular el perímetro 
 
 A) 30 
 B) 29 
 C) 28 
 D) 27 
 E) 26
x°
4
E
C D5
3
D
A F
7
 
 377 
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR 
 
 
1. Hallar la suma de los ángulos internos 
de un eneágono. 
 
Rpta. 
 
 
2. Hallar el número de diagonales de un 
polígono cuyos ángulos internos 
suman 1080º 
 
Rpta. 
 
 
3. ¿Cuántos lados tiene el polígono, si la 
suma total de sus ángulos internos y 
externos es 1 440º? 
 
Rpta. 
 
 
4. Hallar el número de lados de un 
polígono, sabiendo que en él se 
pueden trazar 104 diagonales. 
 
Rpta. 
 
 
5. El número de diagonales más el 
número de vértices es igual a siete 
veces el número de lados. Hallar el 
número de lados. 
 
Rpta. 
 
6. En la figura. 
Calcular xº 
 
 
 
Rpta. 
 
 
7. En la figura. 
Calcular xº 
 
 
 
Rpta. 
 
 
 378 
CUADRILÁTERO 
 
Definición: 
 Es un polígono de 4 lados. 
 
 
 
. x + y + z + w = a + b + c + d = 360. 
 
Clasificación General 
 
 
 
Clasificación de los Cuadriláteros Convexos 
 
1. Trapezoide 
Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos 
 
 
 
2. Trapecios 
Tienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados 
lados no paralelos 
 
 
 
 
 
 379 
Propiedad del Trapecio 
- Mediana de un trapecio 
 
 
 
. 
2
ba
x


 . 
 
- Segmento que une los puntos medios de las diagonales 
 
 
 
. 
2
abx 
 . 
 
3. Paralelogramos 
Aquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual 
medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se 
bisecan. 
 
 
 
 
Propiedades Generales 
1. 
 
. 
2
 
x
 . 
 
 
2. . 
2
 
x
 . 
 
 380 
 
 
3. 
 
 // 
 
PQ = 
RS 
 
 
4. 
 
. 
2
bax 
 . 
 
5. En trapecios isósceles 
 
. 
2
abx 
 . 
 
. 
2
aby 
 . 
 
6. En triángulos 
 
7. En trapecios 
 
 
8. Segmento que une los puntos medios de las bases 
 
Si:  +  = 90º : . 
2
abx 
 . 
 
9. En paralelogramos . x = b – a . 
 
 381 
 
 
10. En paralelogramos 
 
 
. 
422
dcbacbdax 
 . 
 
 
 
 
 
 382 
TRABAJO EN EL AULA 
 
1. Calcular la suma de las medidas de 
los ángulos internos de un polígono 
convexo donde el cociente de su 
total de diagonales y su número de 
lados es “10” 
 
Rpta. 
 
 
2. ¿Cuántos lados tiene el polígono 
convexo cuyo número de diagonales 
es igual al triple de su número de 
vértices? 
 
Rpta. 
 
 
3. Calcular la suma de las medidas de 
los ángulos internos de un polígono 
regular si: 9m ext=5DT. 
 
Rpta. 
 
 
4. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono 
regular, si la suma de las medidas de 
sus ángulos internos es 15/2 de la 
medida de un ángulo externo? 
 
Rpta. 
 
 
5. ¿Cuántos lados tiene aquel 
polígono convexo si al quitarle un 
lado su total de diagonales 
disminuye en 7? 
 
Rpta. 
 
6. En un cuadrado ABCD, se 
construye interiormente el 
triángulo equilátero AED, calcular 
m AEB. 
 
Rpta. 
 
 
7. En un rombo ABCD, AB = 5; 
m A = 53º. ¿Cuánto mide la 
altura relativa a ? 
 
Rpta. 
 
 
8. Calcular “x”, si // 
 
 
Rpta. 
 
 
9. En la figura calcular AD, si // 
 
 
 
Rpta. 
 
 
10. Si ABCD es un romboide y 
AB=18. Calcular “x” 
 
 383 
 
 
Rpta. 
 
 
11. Si ABCD es un romboide. 
Calcular “x” 
 
 
Rpta. 
 
 
12. En la figura, calcular AE. 
 
 
Rpta. 
 
 
13. ¿Cuánto mide el ángulo que 
forman las diagonales de un 
trapecio isósceles, si una diagonal 
mide la suma de las medidas de 
las bases? 
 
Rpta. 
 
14. En la figura, calcular AC. 
 
 
Rpta. 
 
15. Calcular la distancia entre los 
puntos medios de y , si 
// . 
 
 
Rpta. 
 
 384 
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR 
 
1. La medida del ángulo externo de 
un polígono regular es “k” veces el 
interior. Calcular “k” (k  Z). 
 
A) 1 y 3 B) 1 y 2 C) 1 y 4 
D) 2 y 3 E) 2 y 4 
 
2. ¿Cuántos lados tiene aquel 
polígono equiángulo, si la suma de 
las medidas de 7 ángulos internos 
es 1134? 
 
A) 20 B) 25 C) 30 
D) 35 E) 40 
 
 
3. Es un polígono regular ABCDE.... la 
m

ACE = 144. ¿Cuántas 
diagonales medias tiene? 
 
A) 100 B) 150 C) 160 
D) 170 E) 190 
 
 
4. Si el número total de diagonales de un 
polígono regular es igual a 1/3 de la 
diferencia entre su perímetro y el 
número de ángulos rectos a que 
equivale la suma de las medidas de sus 
ángulos internos. Calcular dicho 
perímetro. 
 
A) 70 B) 71 C) 72 
D) 73 E) 74 
5. En el gráfico, calcular “x” 
 
 
A) 75º B) 72º C) 90º 
D) 60º E) 54º 
 
6. En un trapecio ABCD; 
m

A=m

B=90º; las bisectrices 
interiores de los ángulos C y D se 
intersecan en P. Calcular AB, si la 
distancia desde el punto P a es 4. 
 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 16 
 
7. En un rombo ABCD, se traza 
 

 , tal que AH = HD, 
calcular m

C. 
 
A) 30º B) 45º C) 40º 
D) 60º E) 75º 
 
8. En un trapecio ABCD se sabe que: 
m

B = 2m

D; BC = 4; AB = 5. 
calcular la medida de la base 
mayor . 
 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 
 
9. En un romboide ABCD se traza la 
bisectriz (M en ). Si AB = 6, 
calcular la medida del segmento 
que une los puntos medios de y 
. 
A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2
3
 
 
 385 
r
t
P: punto de tangencia
r : radio
T: recta tangente
r
P
t
Tema 4: LA CIRCUNFERENCIA – PROPIEDAD DE TANGENCIA 
 
Concepto: Es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que equidistande un punto fijo llamado: centro, la distancia del centro cualquier punto de la 
circunferencia se llama radio. 
 
 
 
 
 
 
Líneas notables en la circunferencia: 
 
* Radio : r 
 
* 
AB
: CUERDA.- 
 Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Cuando pasa por el 
centro se llama diámetro (cuerda máxima), 
 
* : RECTA TANGENTE.- 
 Es la recta que toca en un sólo punto a la circunferencia. 
r
A
t B
 
 
Teoremas Fundamentales 
 
TEOREMA I 
 
TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE 
Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta 
tangente. 
 
 
 
 
TEOREMA II 
 
 386 
A
B
r
r
0 AP = BP
P
r
A
C
b
a
c B
a + b = c + 2r
 
TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES. 
Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una misma circunferencia, 
los segmentos comprendidos entre los puntos de tangencia y el punto exterior 
son congruentes. 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA III 
 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO FORMADO POR 2 
TANGENTES. 
El segmento que une el vértice del ángulo formado por dos tangentes con el 
centro de la circunferencia, es bisectríz del ángulo. 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA IV 
 
TEOREMA DE PONCELET 
“ En todo triángulo rectángulo: la suma de catetos es igual a la hipotenusa más 
el doble del radio de la circunferencia inscrita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 387 
a + c = b + d
a - c = b - d
A
C
D
b
a c
B
A
B
b
a
C
D
R
S
c
d
Q
P
TEOREMA V 
 
TEOREMA DE PITOT 
“ En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia se cumple que 2 lados 
opuestos suman igual que los otros 2” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA VI 
 
TEOREMA DE STEINER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 388 
TRABAJO EN EL AULA 
 
01. Los lados de un triángulo ABC 
miden AB =3; BC=4 y AC = 5. 
Calcular el radio de la 
circunferencia inscrita 
 
 A) 0,5 B) 0,25 C) 1,25 
 D) 1 E) 0,75 
 
02. Se tiene un cuadrilátero 
circunscrito a una circunferencia. 
Tres lados consecutivos miden 4; 
6 y 8. El cuarto lado mide 
 
 A) 4 B) 6 C) 8 
 D) 5 E) 9 
 
03. AO = OB = BC. Calcular “x” 
x 
T
COA B 
 
 A) 45 B) 53 C) 60 
 D) 37 E) 75 
 
04. Si: CD = 12 y AF = 8, calcular FB. 
A; B; C y D son puntos de 
tangencia 
A
F B
D C 
 
 A) 2 B) 3 C) 4 
 D) 5 E) 6 
 
05. En un triángulo ABC; AB=12; 
BC=15 y AC=18. La circunferencia 
inscrita determina sobre 
func { overline BC} el punto “D”. 
Calcular “BD” 
 
 A) 6 B) 4 C) 3,5 
 D) 5 E) 4,5 
 
06. Calcular “x” si “P” y “T” son 
puntos de tangencia 
P T
x 
r
r
 
 
 A) 100 B) 120 C) 135 
 D) 150 E) 125 
 
07. El perímetro de un triángulo 
rectángulo es 24, la hipotenusa 
mide 10. Calcular el radio de la 
circunferencia inscrita 
 
 A) 1 B) 1,5 C) 2 
 D) 2,5 E) 3 
 
08. Calcular: “r” si en el cuadrilátero 
circunscrito: AD + BC = 22, 
AB = 9 y CF = 8, “F” es punto de 
tangencia 
B
F
C
r
A D 
 
 A) 5 B) 6 C) 7 
 D) 3 E) 4 
 
 
 389 
09. PB = 1 y BC = 24. Calcular PT 
OT
P
B C 
 
 A) 6 B) 7 C) 5 
 D) 4 E) 3 
 
10. AB = 16. Calcular x 
x
10
A
B
T
 
 
 A) 1 B) 1,5 C) 1,25 
 D) 1,75 E) 2 
 
11. En un triángulo ABC sus lados 
miden AB=5; BC=7; AC=8. 
Calcular la medida del segmento 
que une el vértice “A” y el punto 
de tangencia de la circunferencia 
inscrita sobre el lado 
func overline {AC} 
 
 A) 1,5 B) 2 C) 2,5 
 D) 3 E) 3,5 
 
12. “T” es punto de tangencia; 
AT=TC; “O” centro, calcular: “x” 
 
T
A O B C
x 
 
 
 
A) 30 B) 45 C) 37 
 D) 22,5 E) 15 
 
13. Dado un ángulo recto XOY se 
traza una circuferencia tangente 
a func overline {OX} y secante a 
func overline {OY} en A y B. Si 
OA=2 y OB=8, calcular el radio 
de la circunferencia 
 
 A) 3 B) 4 C) 5 
 D) 6 E) 4,5 
 
14. “O” ➞ centro; AO=CF; ∢AOD=78. 
Calcular “x” 
D
A O B C
x 
F
78 
 
 
 A) 39 B) 29 C) 26 
 D) 36 E) 30 
 
15. “P” , “Q” y “R” son puntos de 
tangencia: m∢ABP=36, 
calcular: “x” 
 
 x 
Q
P
36 
B
CRA 
 
 A) 36 B) 48 C) 54 
 D) 27 E) 30 
 
16. Si A, B, P son puntos de 
tangencia, calcular “α” 
 
 390 
B 
P
A
 
 
 A) 30 B) 60 C) 45 
 D) 75 E) 53 
 
 
17 En la figura “O” es centro; A y C 
son puntos de tangencia. Calcular 
“α” si BM=MC 
 
O
A
B M C 
 
 A) 15 B) 12 C) 10 
 D) 18,5 E) 17,5 
. 
18. Calcular el perímetro del 
triángulo OGP si r=8 
 
 A) 8 B) 10 C) 12 
 D) 11 E) 16 
 
19 Del gráfico calcular FE; si 
AB+CD=40 y BC+AD=78 
B
F
C
E
D
A
 
 A) 21 B) 17 C) 20 
 D) 19 E) 18 
 
20. En la figura, calcular: “x” 
x 
 
 
 A) 118,5 B) 123,5 C) 82,5 
 D) 42,5 E) 112,5
 
 391 
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR 
 
01. En la AB = 9, AD = 11 y BC = 5. 
Calcular “CD” 
A
B
C
D 
 
 A) 5 B) 6 C) 7 
 D) 8 E) 9 
 
 
02. En la figura AB = 24, BC = 7 y 
AD = 20, calcular “r” 
DA
C
B
r
 
 
 
 A) 2 B) 3 C) 4 
 D) 5 E) 6 
 
03. La figura muestra a una 
circunferencia inscrita en el 
triángulo ABC. Si: AQ = 4, BQ = 
5 y FC = 7. Hallar el perímetro 
del triángulo ABC. 
A
B
C
Q
F
P 
 A) 16 B) 18 C) 38 
 D) 36 E) 32 
04. La figura muestra a un triángulo 
ABC y a la circunferencia ex – 
inscrita relativa al lado AB. Si AB 
= 8, BC = 12 y AC = 16. Hallar FC. 
A
B
CF 
 
 A) 14 B) 15 C) 18 
 D) 22 E) 36 
 
05. En la figura hallar “ R + r ” . Si 
AB = 15 y BC = 8. 
A
B
C
R
r
 
 
 A) 10 B) 10,5 C) 11,5 
 D) 14 E) 15 
 
06. Según el gráfico calcular “R”. Si 
BC = 6, CD = 5 y AD = 15. 
A
B
C
D
R
 
 
 A) 2 B) 3 C) 4 
 
 392 
 D) 5 E) 6 
07. Calcular AB si el perímetro del 
triángulo PQC es 8. 
A
B
C
P
Q 
 
 A) 4 B) 5 C) 6 
 D) 7 E) 8 
 
 
08. En la figura se cumple que AB + 
CD = 24 y BC + AD = 40; calcular 
PQ. 
A
B
C
P
Q D 
 
 A) 8 B) 9 C) 10 
 D) 11 E) 12 
 
 
09. Del siguiente gráfico. Hallar AB + 
AC. SI TC = 3 y R = 5 AB
C
T
R
53º
 
 
 A) 12 B) 14 C) 16 
 D) 18 E) 20 
 
 
10. Del gráfico adjunto calcular 
AC
+2r. Si BC = 3 y BD = 4. 
A B
C
D
r
90 - 2
 
 
 A) 11 B) 12 C) 13 
 D) 14 E) 15 
 
 
 393 
 Tema 5: CIRCUNFERENCIA - ÁNGULOS 
 
 
DEFINICIONES PREVIAS 
 
1.- Arco de circunferencia. Se denomina arco a una parte de la circunferencia 
compren-dida entre dos puntos de ella. De la figura: 
A B
C 
 
 
 AB: Es el arco menor correspondiente a la cuerda 
AB
. 
 
 ACB: Es el arco mayor correspondiente a la cuerda AB. 
 
 
2.- Medida de una circunferencia. Una circunferencia se puede medir tanto en 
unidades angulares como en unidades lineales. 
 
En unidades angulares.- La medida de una circunferencia es 360°, no interesa 
cuanto mide el radio. 
 
 360°
 
 
 
En Unidades Lineales.-Es igual a 2 por el radio. A mayor radio, 
mayor longitud. 
 
r L = 2 c r
 
 
 
 
 
 394 
TEOREMAS SOBRE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 
 
1) Ángulo Central 
 
A
rad
io
radio
0
O
B
O
m AOB= 
 
 
 
2) Ángulo Inscrito 
 
cuerda
O
A
B
cu
er
da
P
O
m APB= 
2
 
 
 
Corolario I: Todos los ángulos inscritos en un mismo arco tiene igual medida. 
 
 
 
 
Corolario II.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es ángulo recto. 
 
r
A B
AB : Diámetro
 
 
 
 
 
 
 395 
3) Ángulo Semi – Inscrito 
O
cuerda
Tangente
Q
A
P
O
m APQ= 
2
 
 
 
4) Ángulo Ex-inscrito 
O
O
c
u
e
rd
a
Secante
B
P
C
OO
m PBC= 
2
 
 
 
5) Ángulo Interior O
0
O
A
B
OO
m AOB= 
2
 
 
 
6) Ángulo Exterior O
0
O
A
B
D
C
OO
m AOC= 
2
 
 
 
 
 
 396 
CASO PARTICULAR 
 
TEOREMA DEL ÁNGULO CIRCUNSCRITO 
 
 
 
 
Consecuencia Son iguales 
O
O
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O b 
O 
b 
O O 
= 180 
O 
 
 397 
TRABAJO EN EL AULA 
 
01. Si AO@ es centro, calcular Ax@ 
 
10° x°60°
A O B 
 
A) 20 B) 30 C) 40 
D) 15 E) 25 
 
02. Si : AB = CD, calcular Ax@ 
 
A
x°
B
C
D
70°
 
 
A) 30 B ) 25 C) 35 
D) 20 E) 45 
 
03. Calcular Ax@ 
 
60°
x°
160° 
 
A) 30 B) 35 C) 40 
D) 45 E) 60 
 
04. Si: 
DCBD
_
 
_
 
m = m
, calcular Ax@ 
 
D
A
B
C
50°
x°
70°
 
A) 30 B) 15 C) 20 
D) 25 E) 35 
05. Calcular Ax@ 
 
30°
10°
x°
 
 
A) 50 B) 55 C) 45 
D) 40 E) 60 
 
06. Calcular Ax@ 
 
x°
40°
 
 
A) 40 B) 50 C) 60 
D) 70 E) 55 
 
07. Si : BC = CD, calcular Ax@ 
 
A
B
C
D
E
50°
x°
 
 
A) 20 B) 30 C) 24 
D) 34 E) 25 
 
08. Si AO@ es centro, calcular Ax@ 
 
O
30°
x°
 
 
 
 398 
AC
_
 
m
BCAB
_
 
_
 
m = m
A) 30 B) 35 C) 15 
D) 20 E) 25 
09. Si AO@ es centro, calcular Ax@ 
 A O B
x°
20°
 
 
A) 60 B) 65 C) 50 
D) 55 E) 35 
 
10. Si AO@ es centro, calcular Ax@ 
 
A
B
60°
C
D
O x°
 
 
A) 30 B) 15 C) 25 
D) 40 E) 45 
 
11. Si : AB = BD, calcular Ax@ 
 
B
D
A E C
40°
x°
160°
 
A) 25 B) 30 C) 35 
D) 20 E) 15 
 
12. Si AO@ es centro, = 60 si : 
 calcular Ax@ 
 D
A
B
CO
x°
 
A) 30 B) 35 C) 40 
D) 45 E) 15 
13. Si AO@ es centro, calcular Ax@ 
 
A O B
x°
30°
C D
50°
 
 
A) 30 B) 35 C) 25 
D) 60 E) 45 
 
14. Calcular Ax + y@ 
 
80°
20°
40°
y°
x°
 
 
A) 20 B) 30 C) 50 
D) 40 E) 60 
 
15. Calcular Ax@ 
 
4x°
6x°
100°
 
 
A) 15 B) 10 C) 20 
D) 25 E) 30 
 
16. Si AO@ es centro AC = CD, 
calcular Ax@ 
 A O B
D
C
70°
x°
 
 
 
 399 
A) 35 B) 40 C) 45 
D) 50 E) 55 
17. Calcular Ax@ 
 
80°40° x°
 
 
 
A) 60 B) 40 C) 50 
D) 45 E) 55 
 
18. Si : AB = AC, 
DCAD
_
 
_
 
m = m
, 
calcular Ax@ 
 
A
D C
B
60°
x°
 
 
A) 60 B) 30 C) 35 
D) 65 E) 45 
 
19. Si α + β = 80, calcular : 
AB
_
 
m
 
 
A D
B
C
°
E
°
 
 
A) 40 B) 60 C) 70 
D) 80 E) 45 
 
20. Calcular Ax@ 
 
x°
50°
 
 
A) 110 B) 115 C) 120 
D) 125 E) 130 
 
 400 
 
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR 
 
01. Del gráfico mostrado calcular m 
BC. Si m BAD = 4; 
m BAD = m CBD = 40º 
A
B
C
D
P
 
 
 A) 10 B) 20 C) 30 
 D) 40 E) 50 
 
02. Según el gráfico calcular el valor 
de “X” (P, Q, R son puntos de 
tangencia). 
P
R
53º
X
Q
 
 
 A) 15º B) 30º C) 37º 
 D) 53º E) 60º 
 
03. Del gráfico calcular (

+ ). 
 Si m AB = 80º 
A B 
 
 A) 200º B) 220º C) 240º 
 D) 260º E) 230º 
04. Calcular “X” si m AB = 150º (“T” 
es punto de tangencia) 
 
Xº
A
B
T
 
 
 A) 15º B) 20º C) 30º 
 D) 45º E) 60º 
 
05. En la figura Hallar 

 
2 3
 
 
 
 A) 18º B) 20º C) 36º 
 D) 48º E) 72º 
 
06. EN la figura mostrada, Hallar 
“X”. 
X 20º 
 
 A) 30º B) 50º C) 70º 
 D) 80º E) 85º 
 
 
07. En la semicircunferencia hallar 
m AT. Si “O” es centro. 
 
 401 
A
B
C
Q
I
X
100º
A
T
M
B0
20º
 
 
 
 A) 40º B) 20º C) 45º 
 D) 60º E) 80º 
 
 
08. Si AC = 
24
 I: Incentro. 
 Hallar IQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) 2 B) 2
2
 C) 3
2
 
 D) 4 E) 6 
 
 
09. En el gráfico mostrado hallar m 
FBE si m EBD = 30º. 
A
B C
D
EFO
Xº
 
 
A) 15º B) 20º C) 25º 
 D) 30º E) 60º 
 
 
10. En el gráfico mostrado. Hallar el 
valor de “X”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) 80º B) 90º C) 100º 
 D) 110º E) 120º 
 
 
 402 
Tema 6: PROPORCIONALIDAD 
 
 
PROPORCIONALIDAD: 
 
PRINCIPALES TEOREMAS: 
 
1. TEOREMA DE LAS PARALELAS EQUIDISTANTES 
 “Tres o más rectas paralelas y equidistantes determinan sobre 
cualquier recta secante, segmentos congruentes ”. 
 
 Si L1 // L2 // L3 // L4 
 
 Entonces: 
GH FG EF
CD BC AB


 
 
2. TEORIA DE THALES DE MILETO.- 
 “Si tres o más rectas paralelas son cortadas por 2 rectas secantes, los 
segmentos determinados en la primera secante secante son proporcionales a los 
segmentos determinados en la segunda secante”. 
A E
B F
C G
D H
 
 Si L1 // L2 // L3 // L4 
 Entonces 
GH
CD
FG
BC
EF
AB

 
 
 También podría ser: 
FH
EF
BD
AB
GH
EG
CD
AC
 ;
 
Casos Particulares 
 
 403 
m n
AB
F
C
a b
a = b 
m n 
a 
=
 m 
b n 
A) En el Triángulo (
EF
//
AC
) 
B
a m
E F
b n
A C 
CB
AB
n
b
m
a

 
 
 
EA
EB
FC
FB
BA
EB
BC
FB
 ;
 
 
B) En el Trapecio 
 
 
 Si 
ADBCPQ ////
 
 
 Entonces 
DC
AB
n
y
m
x

 
 
3. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR 
 “En todo triángulo, los lados laterales a una bisectriz 
son proporcionales a los segmentos determinados por 
la bisectriz del lado opuesto”. 
 
 
 
4. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR 
 
 404 
 “En todo triángulo una bisectriz exterior determina sobre la prolongación del 
lado opuesto, segmentos proporcionales a los lados laterales a dicha bisectriz”. 
a = b 
m n 
a = m 
b n 
AB
C
c
a b
m
n
 
 
 
5. TEORÍA DEL INCENTRO 
 “En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en 2 segmentos que son 
proporcionales a la suma de las longitudes de los lados laterales y al lado donde 
cae la bisectriz”. 
CI = a + b 
IF c 
I: Incentro del ABC
AB
C
a b
I
F
c
 
 
6. TEOREMA DE MENELAO 
 “En todo triángulo al trazar una recta secante a dos lados pero no paralela al 
tercer lado, se forman seis segmentos consecutivos. Empezando.” 
A
B
C c
a
b
m

n
a.b.c = m.n.Prolongación
 
 
 
 
 405 
 
7. TEOREMA DE CEVA 
 “En todo triángulo al trazar tres cevianas concurrentes, empezando por cualquier 
vértice, se cumple que: El producto de las longitudes de tres segmentos no 
consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres”. 
 
A
B
Cc
a
bm
n
b
a.b.c = m.n.

 
 
 
8. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE UNA BISECTRIZ 
INTERIOR. 
 
 
 
 
 
9. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE UNA BISECTRIZ 
EXTERIOR. 
A
x
B
C
c
a
b
m
n
 
 
B
C
c a
m n
A 
 
 406 
TRABAJO EN EL AULA 
 
 
01. De la figura, calcular el valor de 
Ax@; si: 
 L // L // L 321
 
 
A
B
C
D
E
F
L1
L2
L3
2(x+2)
3(x+1)
12
16
 
 
A) 7 B) 5 C) 9 
D) 8 E) 6 
 
02. De la figura 
BD
 es bisectriz 
del ∆ABC. Calcular AD 
 
A D C
B
96
10 
 
 
A) 4 B) 6 C) 5 
D) 5,2 E) 4,2 
 
03. De la figura calcular: CQ 
 A C Q6
11
8
°
B
°
 
 
 
A) 19 B) 18 C) 16 
D) 15 E) 22 
 
04. De la figura 
AC // MN
, 
AB // DN
, 
3
MB
 = 
4
AM
 y AC=14. 
Calcular DC 
 A D C
M N
B
 
 
A) 8 B) 6 C) 4 
D) 3 E) 9 
 
 
05. De la figura: 
BQ
 es bisectriz 
del ∆ABC, 
AB // QE
. Calcular BE 
 
10E
A Q C
B
4
 
 
 
A) 10/7 B) 20/7 C) 17/5 
D) 37/5 E) 27/5 
 
06. De la figura calcular x, si 
CQ // DE
 
 
 
°°
A
B
C
Q
E
43
x
D
2
 
 
 
 407 
A) 1 B) 2 C) 1,4 
D) 1,2 E) 1,5 
 
07. En la figura L1//L2//L3. AC = 
8; DF = 12, EF-AB=1. Calcular DE 
 
A
B
C D
E
F
L1
L2
L3
 
 
A) 9 B) 2 C) 6 
D) 4 E) 3 
 
08. En la figura AB = 8, AC = 6, BC 
= 7. Calcular BE 
 
M
B
A
C
E
x
 
 
A) 6 B) 5 C) 4 
D) 1 E) 3 
 
09. En un triángulo ABC los lados 
miden AB=8; BC=6; AC=4. Se 
traza la bisectriz exterior del 
ángulo B que corta a la 
prolongación de 
AC
 en AE@. 
Calcular CE 
 
A) 6 B) 10 C) 12 
D) 6
2
 E) 8 
 
10. Se trazan las bisectrices 
BEy BD
 
del triángulo ABC (D en 
AC
 y E en 
la prolongación de 
AC
). Si AB = 4; 
BC = 3; AC= 5. Calcular DE 
 
A) 10,1 B) 110/7 C) 120/7 
D) 13,5 E) 115/7 
 
11. En la figura. Calcular EC: Si 
BE // DN
, 
BC // NE
, AD = 4; DE = 1 
 
N
A D E C
B
 
A) 2 B) 3 C) 3,5 
D) 4,5 E) 1,25 
 
12. Tres rectas paralelas determinan 
en una secante 
S
_
 
 los segmentos 
BCy AB
 en otra secante 
S
_
 

 los 
segmentos 
EFy DE
 si AB=8, 
BC=24 y DF=27. Calcular EF 
A) 20,5 B) 20,25 C) 20,15 
D) 20,1 E) 20,2 
 
13. Si : L1//L2//L3//L4, AB=3, BC=4, 
MN=2x-2, NP=2x+2, PQ=3x-1, 
CD=y. Calcular : x+y 
 
A
B
C
D
M
N
P
Q
L1
L2
L3
L4
 
 
A) 8 B) 10 C) 12 
D) 14 E) 15 
 
14. Si : 
AC // MN
, AM=7, AB=10 y 
CN=MN+2. Calcular MN 
 
M N
B
A C
°
°
 
 
 408 
 
A) 1,5 B) 
2
 C) 2,1 
D) 3 E) 4,2 
 
15. En un cuadrilátero ABCD las 
bisectrices interiores de los 
ángulos AB@ y AD@ y la diagonal 
AC
 son concurrentes . Si AB=15, 
CD=12 y BC = 10, calcular el 
perímetro del cuadrilátero ABCD 
A) 45 B) 46 C) 50 
D) 55 E) 60 
 
16. En un triángulo ABC, por el 
baricentro se traza una paralela a 
AC
 que interseca a 
BC
 en E. Si 
BE=x+4 y EC=x-5. Calcular BC 
 
A) 9 B) 15 C) 18 
D) 24 E) 27 
 
17. En un triángulo ABC : AB-AC=2, 
BC-AB=2 y BC+AC=20. Calcular la 
medida del menor segmento que 
determina en el lado opuesto la 
bisectriz del mayor ángulo 
 
A) 16/3 B) 8 C) 10 
D) 19/3 E) 17/3 
 
18. 
d // c // b // a
, AB = 5, CD = 7, 
EG = 15 y FH=19. Calcular FG 
 
A
B
D
C
E
F
G
H
a
b
c
d
 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 1 E) 5 
 
19. 
AC // PQy AQ // PR
, BR=2, 
RQ=3. Calcular QC: 
 
R
B
P Q
A C 
 
A) 10,5 B) 9,5 C) 8,5 
D) 7,5 E) 6,5 
 
 
 
 409 
Tema 7: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente 
congruentes. 
 
Si dos triángulos son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales. 
 
 
 
Si  ABC ~ MNL 
k
c
n
b
m
a


 
 
k: Razón de semejanza. 
 
 
 
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
 
1er Caso: (A.A) 
Dos ángulos congruentes 
 
A C
ac
b
B
 
 
 
M L
l
N ΔABC ΔMNL

  

 
 410 
2do Caso: (L.A.L.) 
Un ángulo congruente y los lados que lo forman son proporcionales. 
 
 
 
 
 
 
Si: 
M m A m y
n
q
b
c

 
Entonces 
MNQABC 
 
 
 
3er Caso: (L.L.L.) 
Tres lados proporcionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ΔABC ΔMNL
Entonces
A C
c a
b
B
l
nM L
N
m
Si a 
=
 b 
=
 c
 m n l


q 
n M Q 
N 
A C 
c 
B 
b 
 
 411 
TTRRAABBAAJJOO EENN EELL AAUULLAA 
 
01. Del gráfico calcular Ax@. 
 
x 9 4
x
°
°
°°
 
 
A) 3 B) 4 C) 4,5 
D) 6 E) 8 
 
 
02. Los lados de un triángulo miden 
17,19 y 23. Calcular la medida del 
menor lado de otro triángulo 
semejante a él cuyo perímetro es 
177. 
 
A) 26 B) 34 C) 38 
D) 46 E) 51 
 
 
03. En el triángulo ABC se trazan 
las alturas 
AD
 y 
CE
, tal que 
AE=12, BE=3 y BD=5. Calcular 
ACD@. 
 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
 
04. La sombra proyectada por una 
torre es de 60 m. Si la torre tiene 
dos pisos uno de 12 m y otro de 6 
m, )cuánto debe medir la sombra 
que corresponde a cada piso? 
 
A) 36 y 24 m B) 32 y 26 m 
C) 40 y 20 m 
D)36 y 24 m E) 36 y 26 m 
 
05. Si 
MN
//
AC
, calcular Ax@. 
 
A
M
B
N
C
x+2
x-2
3k
5k
 
 
A) 5 B) 7 C) 9 
D) 10 E) 12 
 
06. En un triángulo ABC una recta 
paralela a 
AC
 interseca a 
AB
 y 
BC
 en los puntos AP@ y AQ@ 
respectivamente. Calcular APQ@ si 
AP=2, PB=6 y AC=12. 
 
A) 2 B) 4,5 C) 6 
D) 4 E) 9 
 
 
07. Si AB=8 y BD=6, calcular ABC@. 
 
A
B
D
C°
°
°
 
 
A) 4 B) 4,5 C) 5 
D) 5,5 E) 7,5 
 
08. Un joven 1,60 m de estatura 
está de pie y proyecta una sombra 
de 1,2 m. )Qué altura tendrá un 
poste que en ese instante 
proyecta una sombra de 18 m? 
A) 22 B) 23 C) 24 
D) 25 E) 26 
 
09. Si los lados de un triángulo 
miden 15, 18 y 24 y el lado menor 
 
 412 
de un triángulo semejante al 
primero mide 6. Calcular la medida 
del lado mayor del último triángulo 
 
A) 9,8 B) 9,6 C) 8,5 
D) 8,8 E) 9,5 
 
 
10. Se tiene un trapecio rectángulo 
ABCD mA=mB=90, sobre 
AB
 
se toma AM@ punto medio. 
Calcular AB si BC=4 y AD=9. 
Además mCMD=90 
 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 14 
 
 
11. Se tiene un trapecio SRCM (
RC
: 
base menor) RC=24, SM=30, SR=6 
y CM=10, las prolongaciones de 
MCy SR
 se cortan en AA@. 
Calcular AR + AC 
 
A) 40 B) 24 C) 64 
D) 32 E) 20 
 
 
12. EFGH es un trapecio de base 
menor 
FG
; FG=20 y EH=24, laaltura del trapecio es igual a 18, 
las prolongaciones de los lados no 
paralelos se cortan en AP@. 
Calcular la distancia de AP@ a 
EH
 
 
A) 104 B) 108 C) 106 
D) 102 E) 110 
 
 
13. ABCD trapecio rectángulo 
mA=mB=90 
BDy AC
 se cortan 
perpendicularmente. BC=18 y 
AD=50. Calcular AB 
 
A) 25 B) 30 C) 24 
D) 32 E) 36 
 
 
14. En el gráfico, calcular la longitud 
del lado del menor cuadrado 
 
9
x 6 
 
A) 2 B) 2,5 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
 
15. En la figura 
BM
 es mediana, AP=2 
y PB=4. Calcular AAC@ 
 A
P
B
CM 
 
A) 
34
 B) 4
2
 C) 8 
D) 6
2
 E) 
36
 
 
 
16. En un trapecio rectángulo cuyas 
bases miden 6 y 12. Calcular la 
distancia del punto de 
intersección de las diagonales al 
lado no paralelo menor 
 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 4,5 E) 5,5 
 
 413 
17. En un triángulo ABC : mA=2mC, 
AB=4 y AC=5. Calcular ABC@ 
 
A) 
23
 B) 5,5 C) 6 
D) 
34
 E) 7 
 
 
18. Las bases de un trapecio miden 10 
y 20. Se traza una paralela a las 
bases que dividen a los lados no 
paralelos en segmentos 
proporcionales a 2 y 3 . Calcular la 
longitud de dicha paralela 
 
A) 12 B) 13 C) 14 
D) 15 E) 18 
 
 
19. Los lados de un triángulo 
miden 4; 7 y 10 cm si otro 
triángulo semejante al primero 
tiene un perímetro de 147 cm. 
Calcular la longitud de su lado 
menor 
A) 24 B) 28 C) 30 
D) 32 E) 20 
 
 
20. En la figura PQ = 2; PS = 5 y 
AD = 7. Calcular ABC@ 
 
 
P
Q
B
A
S
C
D 
 
A) 3,5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 7,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 414 
DIVERSIÒN PARA EL HOGAR 
 
01. Si 
AD//BE//CF
; 
EG//AF
; 
2
3
BC
AB

 
también GD = 6. 
 Calcular AG 
A
B
C
F
E
DG
 
 
 Rpta.: 
 
 
02. Calcular el lado del cuadrado 
PQRS. Si AP = 1 y SC = 4. 
A
B
CP
Q R
S 
 Rpta.: 
 
03. Si BC = 4, AD = 9, BM = MA, 
calcular “AB” 
A
B C
D
M
 
 Rpta.: 
. 
04. Calcular HB si 
MN
// 
AC
 AM = 
6 y MH = 2 
A
B
C
M N
H
 
 
Rpta.: 
05. Si AB = 15, AD = 6, DC = 4 y 
AE = 3. Calcular BD 

A
B
C
D
E 
 
 Rpta.: 
 
06. Si “T” es punto de tangencia, AB 
= 9, BC = 4. Calcular TB. 
A
T
C
B
 
 
 Rpta.: 
 
07. De la figura mostrada BC = 8, CD 
= 12, DE = 9. Calcular AB. 
A
B
C
E
D 
 Rpta.: 
 
08. Del gráfico AP = 3 y PC = 2. 
 Calcular QC. 
A
B
CP Q 
 Rpta.: 
 
 415 
Tema 8: RELACIONES MÉTRICAS 
 
A) RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
 
 
 
Elementos de un triángulo Rectángulo. 
 
a y b = Son las longitudes de los catetos 
ACyBC
. 
c = Es la longitud de la Hipotenusa 
AB
 
h = Es la altura relativa a la Hipotenusa. 
m = Es la longitud de la proyección del cateto 
BC
 sobre la hipotenusa. 
n = Es la longitud de la proyección del cateto 
AC
 sobre la hipotenusa. 
 
- Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las 
longitudes de los lados, altura y proyecciones de un triángulo rectángulo. 
 
TEOREMA 1 
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección 
por la hipotenusa”. 
En la figura se cumple que: 
 a = m. c b = n . c 
2 2
 
 
TEOREMA 2 (Teorema de Pitágoras) 
“En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al 
cuadrado de la hipotenusa”. 
 
En la figura se cumple que: 
 
 
 416 
 
 
 
TEOREMA 3 
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es 
igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma”. 
 
En la figura se cumple que: 
 h = m . n
2
 
 
 
TEOREMA 4 
En todo triángulo rectángulo, el producto de catetos es igual al producto de la 
hipotenusa por su altura relativa. 
 
En la figura se cumple que: 
 
 
 
 
 
 
 417 
TEOREMA 5 
“En todo triángulo rectángulo la suma de las inversas de los cuadrados de los 
catetos es igual a la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa”. 
 
En la figura se cumple que: 
 
 1 
+
 1 
=
 1
 a b h
2 2 2
 
 
 
B. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 
 
1) TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 
 Los triángulos que no son rectángulos, son oblicuángulos, luego un triángulo oblicuángulo 
puede ser acutángulo u obtusángulo. 
 
2) COMO RECONOCER SI UN TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO U 
OBTUSÁNGULO 
 
 Se aplican las siguientes propiedades: 
- Es Acutángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo agudo 
siempre es MENOR que la suma de los cuadrados de los otros dos. 
 
< 90 c < a + b
o 2 2 2
 
 
NOTA: Todos los ángulos del triángulo son menores que 90. 
 
 
 
 
 
 418 
- Es Obtusángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo obtuso 
siempre es MAYOR que la suma de los cuadrados de los otros dos. 
 
> 90 c > a + b
o 2 2 2
 
 
NOTA: Un ángulo de los tres ángulos del triángulo es mayor que 90. 
 
3) PROYECCIÓN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO 
 En el triángulo es importante conocer la proyección de un lado sobre otro, para 
ello siempre se traza una altura. 
 
- En el triángulo acutángulo: En el triángulo acutángulo, la proyección de un lado 
sobre otro esta contenido en este último. 
 
 
 
 
- En el triángulo obtusángulo: En el triángulo obtusángulo, para encontrar la 
proyección de un lado sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se 
debe prolongar este último. 
 
 
 
 419 
4) TEOREMA DE EUCLIDES 
 
 TEOREMA 1 
 “En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo Agudo es 
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de 
uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel”. 
 
 Si:  < 90º 
 
TEOREMA 2 
 
“En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a 
la suma de los cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos 
por la proyección del otro sobre aquel” 
 
Si  > 90º 
 
 
 
5) TEOREMA DE LA MEDIANA 
 
 “En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados laterales a una mediana 
es igual al doble del cuadrado de la mediana más la mitad del cuadrado del lado 
donde cae la mediana”. 
 
 Así en la figura: 
 
 
 420 
 “mC”  es la mediana relativa al lado “c”. 
Entonces: 
AB
C
c
M
mc
 
 
 
 
TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA 
 
En todo triángulo, se cumple lo siguiente: 
Si “x” es la proyección de la mediana 
CM
, entonces: 
 
AB
C
c
x
P
a b
M
 
 
 
 
 
2
c
m2ba
2
2
C
22 
 
 421 
TRABAJO EN EL AULA 
 
01. De la figura AB = 12, BQ = 9 y 
AH = HC. Calcular “QC” 
A
B
CH
Q
 
 
 Rpta.: 
 
02. De la figura calcular BQ. SI 
AH = 4, HC = 9 y HQ = 2. 
A
B
H
Q
C 
 Rpta.: 
 
03. Calcular AP, si AB = 12, 
BC = 16, 
AB
 es diámetro de la 
semicircunferencia. 
A
B
CP 
 
 Rpta.: 
 
04. Calcular “”, Si BM = 3MC “O” es 
centro. 
AB
M
C

0 
Rpta.: 
05. Calcular “PQ”, si AP = 4 y BC = 10. 
A
B C
D
PQ
 
 
 Rpta.: 
 
06. En la figura AP = 2, PC = 7, 
calcular “BP”. 
A
B
CP 
 
 Rpta.: 
 
07. En la figura ABCD es un 
cuadrado, calcular “PH” si BH = 
2, HC = 8. 
A
B C
D
P
H
 
 Rpta.: 
 
08. Se tiene un triángulo isósceles 
ABC (BC = AC) cuyos lados AB y 
BC miden 4 y 7 respectivamente, 
calcular la longitud de la 
proyección del lado AB sobre el 
lado AC. 
 Rpta.: 
 
 422 
09. En el gráfico calcule PC , si L // 
BQ
 
AB = 8, QC = 6 y (AP)(PB) = 20. 
A
B C
P
Q
L
 
 
 Rpta.: 
 
10. Se tiene un triángulo ABC, sobre 
AB
se ubica el punto N, tal que 
BM es mediana del triángulo 
ABC la m NMB = 90º y m 
BCA = 2m NMA. Calcule BM, si 
(AB)2 – (BC)2 = 32. 
 
 Rpta.: 
 
11. En un trapecio isósceles ABCD 
 AD//BC
 con centro en A y radio 
AB
 se traza un arco, tal que la 
longitud del segmento tangente 
trazado desde C a dicho arco es 
2
10
 y BC = 4. Calcule la longitud 
de la proyección de 
CD
sobre
AD
. 
 
 Rpta.: 
 
12. Según el gráfico: BF = EA, BC = 
3AL y 25(AL)2 + 9(BE)2 = 100, 
calcule “CO”. 
E
A
B C
L 
Rpta.: 
13. En el gráfico mostrado calcular AE, 
si BT = 20, AF = 4, FC = 5, BC = 25 
y “T” es punto de tangencia. 
A
T
B
E
D
F
C
 
 
 Rpta.: 
 
14. En el gráfico, se cumple: 
(OB)2 + 3(OM)2 =12 Calcular “M”, 
si “O” es centro de la 
circunferencia. 
A B
C
0
M
 
 
 Rpta.: 
 
15. Según el gráfico A y C son puntos 
de tangencia BC = 2BE y (AD)2 + 
(DC)2 = 160, calcule AB. A B C
D
E
 
 
 Rpta.: 
 
 
 423 
16. En un trapecio ABCD 
 AD//BC
, en 
AD
 se ubica un punto M, tal que 
CM//AB
, por M se traza una 
perpendicular a 
AD
, que 
interseca a la prolongación de 
CB
 
en N, Si AB = 13, BC = 6, CD = 15 
y AD = 20. Calcular la relación 
entre las medidas de los ángulos 
ANM y CDA. 
 
 Rpta.: 
 
17. En un triángulo ABC (AB > BC) se 
traza la bisectriz interior DE, 
tal que AC = CE si 
(AC)2 –  
18
4
AB 2

 calcule “BE”. 
 
 Rpta.: 
 
18. Según el gráfico R = 5. Calcule 
NC (P, L, N, son puntos de 
tangencia). 
A
B
C
L
N
P
R
90 - 3 2
 
 
 Rpta.: 
 
19. De la figura calcule “TE”. SI 
BEDC es un rectángulo en el cual 
(r)(DE) = 6 y DN = NB, además 
“T” es punto de tangencia. 
 
T
E D
N
B C
r
 
 
 Rpta.: 
 
20. El gráfico siguiente AB = MH = 8, 
calcule “R”. 
A B
M
H
R
0
 
 
 Rpta.: 
 
 424 
PROBLEMAS PARA LA CASA 
 
01. En la figura r = 3 y R = 4. 
 Calcular “OQ”. 
r
R
 
 
 a) 2
2
 b) 5
2
 c) 3 
 d) 4 e) 5 
 
02. Calcular la medida del lado del 
cuadrado ABCD si NF = 2, 
FM = 3 y “F” es punto de 
tangencia. 
 
A
B C
D
N
F
M
 
 
 a) 3 b) 4 c) 5 
 d) 6 e) 10 
 
03. Si PQRS es un cuadrado y AB = 10. 
Calcular “QR”. 
 
P
Q R
SA B 
 a) 1 b) 2 c) 3 
 d) 
5
 e) 
2
 
04. En la figura calcule PT si TM = 4 (T 
y P son puntos de tangencia). 
M
P
ET 
 
 a) 4
2
 b) 4 c) 2
2 
 d) 5 e) 6 
 
05. En el gráfico calcule AD. Si 3CD 
= 2BC y R = 6. 
 
A
B
D
R
C 
 
 a) 1 b) 2 c) 3 
 d) 4 e) 5 
 
06. Según el gráfico AH = 1, TC = 12. 
Calcule HT (B y T son puntos de 
tangencia). 
 
A
B
CH T 
 
 a) 1 b) 2 c) 3 
 d) 4 e) 5 
 
 425 
07. En el gráfico 2(AN) = 6(NB) = 3(BM). 
Calcule DH, si DB = DM, CN = 3 y 
ND = 11. 
A
C
D
N H
B
M
 
 
 
 a) 11 b) 10 c) 9 
 d) 8 e) 12 
 
08. Según el gráfico calcule 
(MF)2 – (MG)2 si CD = 4 BD = 7, 
sabiendo que ADFG es un 
cuadrado y ABCD es un 
romboide. 
 A
B C
D
G FM 
 
 
a) 11 b) 22 c) 33 
 d) 44 e) 55 
 
 
09. Según el gráfico AOB es un 
cuadrante de centro “O”, calcule 
AT, si TF = 2 y FE = 7 (T, A, F, 
son puntos de tangencia). 
A
B
T
F
0 E 
 
 a) 5 b) 2 c) 2
2 
 d) 3 e) 3 2 
 
 
 426 
Tema 9: RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 
 
1. TEOREMA DE LAS CUERDAS. 
 En una misma circunferencia, si dos cuerdas se cortan se cumple que: el producto de 
las partes de la primera cuerda es igual al producto de las partes de la segunda. 
 
 Si 
AB
 y 
CD
 se cortan en P determinan los segmentos: 
 
 En 
AB
: AP = a; PB = b 
 En 
CD
: CP = c; PD = d 
 
 Luego a.b = c.d . 
 A
a d
c b
BC
D
P
 
 
 
2. TEOREMA DE LOS SECANTES 
 Si desde un punto exterior se trazan dos secantes a una misma circunferencia se 
cumple que: “la primera secante por su parte externa es igual a la segunda, 
también por su parte externa”. 
 
 En la figura se trazan: 
 
 Se han trazado desde P, las secantes 
PA
y 
PC
 
A
P
B
b
a
c
dC
D
 
 PA = a ; PB = b 
 PC = d ; PD = c. 
 Luego a.b = c.d . 
 
 
 
 
 
 427 
3. TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE 
 
 Si desde un punto exterior se trazan una tangente y una secante a una misma 
circunferencia, se cumple que: “la tangente al cuadrado es igual a la secante por su 
parte externa”. 
 
 En la figura 
PA
es la tangente y 
PC
la secante 
 
Si: PA = T; PC = a; PB = b 
 
 
 
Luego T2 = a.b . 
A
B
b
aC
T
P 
 
 428 
TRABAJO EN EL AULA
 
01. Si AB = 10, RC = 4 y CD = 1, 
calcular “DE”. 
A
D EB C
 
 
 Rpta.: 
 
 
02. Si PB = 18, AB = 12, PC = 9, 
calcular “PD”. 
B
A
P
C
D 
 
 Rpta.: 
 
03. Calcular el área de la región 
sombreada. Si AB = 15, FC = 4 y 
CD = 12. 
B F CA D
 
 
 Rpta.: 
04. Si AB = 3, BC = EF = 9 y AD = 2. 
 Calcular FG 
A
B
C
D
E F
G
 
 Rpta.: 
 
05. Una circunferencia tiene 10 cm. 
de radio se traza una cuerda 
AB
 
sobre la cual se ubica un punto 
“M” de modo que los segmentos 
determinados sobre dicha cuerda 
miden 5 y 12. Calcular la 
distancia del punto “M” al centro 
de la circunferencia. 
 
 Rpta.: 
 
06. En la figura hallar “OH” si AP = 
4 y R = 6 (“T” punto de 
tangencia). 
P
T
A H 0 B
R
 
 
 Rpta.: 
 
07. En un triángulo ABC, inscrito en 
una circunferencia, el lado AB 
mide 6, el lado BC = 8 y la altura 
BH = 4; hallar el radio de la 
circunferencia. 
 
 
 429 
 Rpta.: 
08. En la figura mostrada hallar “R” 
si BE = 4, EC = 9. 
A
B
E
C
R
 
 
 Rpta.: 
 
09. Si ABCD es un cuadrado de lado 
igual a 4 y “M” es un punto 
cualquiera en el arco AB. Hallar 
MB si MD = 5. 
A
B C
D
M
 
 
 Rpta.: 
 
10. El diámetro de una 
circunferencia divide a una 
cuerda en dos segmentos que 
miden 2 y 6; hallar la distancia 
del centro de la circunferencia a 
dicha cuerda, si el radio mide 5. 
 
 Rpta.: 
 
11. El diámetro AB de una 
circunferencia se prolonga hasta 
un punto “P” y se traza la recta 
tangente PT; hallar el radio de la 
circunferencia; si se sabe que 
PT = 2
10
 y PB = 4. 
 Rpta.: 
12. Según el gráfico, calcule AB, si: 
BM = 3 y MN = 2. 
A
B
C
DO
M