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STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 Capítulo 3: Ecuaciones básicas y concepto de flujo de fluidos Ejercicio 3-6 Una tubería lleva aceite, densidad relativa 0,86, a V = 2 m/s por un tubo de 200 mm de diámetro interior. En otra sección el diámetro es de 70 mm. Encuéntrese la velocidad en esta sección y el flujo de masa en kilogramos por segundo. Resolución 1 2 Aceite, dens. rel. 0,86 Como la densidad no cambia y el flujo es permanente, podemos aplicar la ecuación de continuidad, es decir 2211 AVAV = entonces 2 1 12 A AVV = reemplazando 2 2 2 2 2 )70( )200(2 4 )70( 4 )200( 2 mm mm s m mm mm s mV =× × = π π V2 = 16,33 m/s El caudal másico será ρρ 22AVQm == • 3 2 100086,0 4 )07,0(33,16 m kgm s mm ××××=• π s kgm 03,54=• Ejercicio 3-30 MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 1 En la figura, se descarga aceite de una ranura bidimensional en el aire como se indica en A. En B el aceite se descarga por debajo de una puerta al piso. Despreciando todas las pérdidas, determínese las descargas en A y B por pie de ancho. ¿Por qué difieren? STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 A B Aceite, dens. rel. 0,86 10 2 Resolución Como el flujo es permanente e incompresible, podemos aplicar la ecuación de Bernoulli, es decir g vzP g vzP 22 2 2 2 2 2 1 1 1 ++=++ γγ Para A, reemplazando g vzPzP AAatmatm 2 2 0 ++=+ γγ g vzz AA 2 )( 2 0 =− )(2 0 AA zzgv −×= )0,00,11(174,322 2 ftfts ftvA −×= s ftvA 60,26= Por continuidad AAA vAQ = s ftftQA 60,2600,2 ×= QA = 53,21 ft3/fts Para B, reemplazando g vzPzP BBB atm 2 2 0 ++=+ γγ g vzzPP BBBatm 2 )()(1 2 0 =−+−γ MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−××= )()(12 0 ABatmB zzPPgv γ STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −+×−××= )00,000,11()00,142,62( 42,62 1174,322 3 3 2 mftftft lb ft lbs ftvB s ftvB 37,25= Por continuidad BBB vAQ = s ftftQB 37,2500,2 ×= QB = 50,37 ft3/fts Las descargas difieren porque la sección A esta sometida a la presión atmosférica y la sección B a la presión hidrostática. Ejercicio 3-31 Despreciando todas las pérdidas, determínese la descarga en la figura. Agua Aceite dens. rel. 0,75 3 ft 4 ft 4 in . Resolución Para utilizar la ecuación de Bernoulli el fluido debe ser uniforme, por lo que se plantea una altura equivalente AAWW hh γγ = W A W A hh γ γ=' WW A A W Shh Sh == γ γ reemplazando fthW 00,375,0 ×= MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 3 fthW 25,2= STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 Agua 6, 25 1 2 Planteando la ecuación de Bernoulli, tenemos g vzP g vzP 22 2 2 2 2 2 1 1 1 ++=++ γγ Reemplazando g vz 2 2 2 1 = 12 2 zgv ××= ft s ftv 25,6174,322 22 ××= s ftv 05,202 = Por continuidad 222 vAQ = s ft in ftinQ 05,20) 00,12 00,100,4( 4 2 2 ××= π Q2 = 1,75 ft3/s Ejercicio 3-33 Despreciando todas las pérdidas, encuéntrese la descarga por el medidor Venturi de la figura. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 4 STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 Agua Aire 20 0 m m 30 0 m m 15 0 m m 1 2 Resolución Planteando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, tenemos g vzP g vzP 22 2 2 2 2 2 1 1 1 ++=++ γγ Agua Aire 20 0 m m 30 0 m m 15 0 m m 1 2 Datum h1 h2 D z reemplazando g v g vzzPP 22 )( 2 1 2 2 21 21 −=−+− γγ )( 2 1)()(1 21 2 22121 vvg zzPP −=−+−γ Por la ley del menisco γγ 2112 hhPP +−= 2121 )( 1 hhPP −=−γ MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 5 con respecto al datum STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 21 200 hmmhz +=+Δ zhmmh Δ−+= 21 200 reemplazando 2221 200)( 1 hzhmmPP −Δ−+=−γ zmmPP Δ−=− 200)(1 12γ reemplazando en la ecuación de Bernoulli )( 2 1)(200 21 2 221 vvg zzmmz −=−++Δ− )( 2 1)(200)( 21 2 22121 vvg zzmmzz −=−++− )( 2 1200 21 2 2 vvg mm −= Por la ecuación de continuidad 21 QQ = 2211 vAvA = 2 1 2 1 vA Av = reemplazando )(( 2 1200 222 1 2 22 2 vA Av g mm −= )1( 2 200 2 1 2 2 2 2 A A g vmm −= = − ×= )1( 2002 2 1 2 2 2 A A mmgv = − ×× = ) )00,300( 4 )00,150( 41( 2,0806,92 2 2 2 2 mm mm m s m v π π s mv 29,22 = 222 vAQ = s mmQ 29,2)15,0( 4 2 2 π= Q2 = 0,04 m3/s MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 6 STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 Ejercicio 3-50 Para un flujo de 1500 gpm y H = 32 ft en la figura, calcúlense las pérdidas a través del sistema en carga velocidad, KV2/2g. V Hγ = 55 lb/ft3 6 in. diám Resolución Por continuidad el caudal es el mismo en todas las secciones, entonces s ft gal s ft galQ 3 3 34,3 min 83,448 00,1 min 1500 == Por definición de caudal dd vAQ = d d A Qv = reemplazando s ft in ftin s ft vd 02,17 ) 00,12 00,100,6( 4 34,3 2 3 = × = π en términos de carga de velocidad tenemos ft g v s ft s ft d 50,4 174,322 )02,17( 2 2 22 =×= Planteamos la ecuación de Bernoulli g vzP g vzP 22 2 2 2 2 2 1 1 1 ++=++ γγ MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 7 reemplazando STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 g vK g vPHP ddatmatm 22 22 ++=+ γγ ( )K g vH d += 1 2 2 Las pérdidas serán 1 2 2 −= g v HK d 1 50,4 00,32 −= ft ftK K = 6,11 Ejercicio 3-51 En la figura las pérdidas hasta la sección A son 5 v21/2g y las pérdidas de la boquilla son 0,05 v22/2g. Determínese la descarga y la presión en A. H = 8,00 m. V D1 = 150 mm Agua 50 D2 = 50 mm A H Resolución V D1 = 150 mm Agua 50 D2 = 50 mm A H 0 BDatum MECÁNICA DE LOS FLUIDOSCAPÍTULO 3 8 STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 Planteamos la ecuación de Bernoulli entre 0 y B g vzP g vzP 22 2 2 2 2 2 1 1 1 ++=++ γγ reemplazando g vK g vPHP BBB atmatm 22 22 ++=+ γγ ( )BB Kg vH += 1 2 2 ( )BB K Hgv +××= 12 ( )05,01 00,8806,92 2 +××= m s mvB s mvB 22,12= Por continuidad BA QQ = BBA vAQ = ( ) s mmQA 22,1205,04 2π= QA = 0,024 m3/s Por otro lado ( )BA B A K Hg A Av +××= 122 2 2 Planteamos la ecuación de Bernoulli entre 0 y A g vzP g vzP 22 2 2 2 2 2 1 1 1 ++=++ γγ reemplazando g vK g vPHP AAAAatm 22 22 ++=+ γγ ( ) 2 2 1 A AA v g KPH ++= γ reemplazando ( ) ( )⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +×× ++= BA BAA K Hg A A g KPH 1 2 2 1 2 2 γ H A A K KPH A B B AA ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ++= 2 2 1 1 γ MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 9 Despejando STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + +−= 2 2 1 11 A B B A A A A K KHP γ ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + +−××= 2 2 3 15,0 4 05,0 4 05,01 00,51100,800,9806 m m m m NPA π π PA = 28,64 KPa Ejercicio 3-53 El sistema de bombeo mostrado en la figura debe tener presión de 5 psi en la línea de descarga cuando la cavitación es incipiente en la entrada de la bomba. Calcúlese la longitud del tubo desde el depósito a la bomba para esta condición de operación si la pérdida en este tubo se puede expresar como (V12/2g)(0,003L/D). ¿Qué potencia esta siendo suministrada al fluido por la bomba? ¿Qué porcentaje de esta potencia se está usando para vencer pérdidas? Lectura del barómetro 30 inHg 6 in. diám. 2 in . d iá m P 10 ft Agua 68 ºF 4 in. Tubo de descarga Resolución 6 in. diám. 2 in . d iá m P 10 ft Agua 68 ºF 4 in. Tubo de descarga 1 2 3 4 Datum MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 10 STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 Planteamos la ecuación de Bernoulli entre 3 y 4 g vzP g vzP 22 2 4 4 4 2 3 3 3 ++=++ γγ reemplazando g vzP g vzP atm 22 2 4 4 2 3 3 3 ++=++ γγ ( ) γ334 2 4 2 3 22 Pzz g v g v −−=− ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−=− γ 3 34 2 4 2 3 2 Pzzgvv Como z4 = z3 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛−×=− γ 32 4 2 3 2 Pgvv Por continuidad 43 QQ = 4433 vAvA = 4 3 4 3 vA Av = reemplazando ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛−×=− γ 32 4 2 42 3 2 4 2 Pgvv A A ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛−×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − γ 32 42 3 2 4 21 Pgv A A ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛−× = 1 2 2 3 2 4 3 4 A A P g v γ ( ) ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × −×× = 1 00,4 4 00,2 4 42,62 00,1 00,14400,5 174,322 2 2 3 2 2 2 2 4 in in ft lb ft in in lb s ft v π π s ftv 46,314 = MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 11 STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 Por continuidad 43 QQ = 4433 vAvA = 4 3 4 3 vA Av = ( ) ( ) s ft s ft in in v 86,746,31 00,4 4 00,2 4 2 2 3 == π π Por continuidad 32 QQ = 3322 vAvA = 3 2 3 2 vA Av = ( ) ( ) s ft s ft in in v 49,386,7 00,6 4 00,4 4 2 2 2 == π π Planteamos la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 g vzP g vzP 22 2 2 2 2 2 1 1 1 ++=++ γγ reemplazando g v D L g vzPP 2 003,0 2 2 2 2 2 2 21 +++= γγ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − D L g vzPP 003,01 2 2 2 2 21 γγ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − = 1 2 003,0 22 2 21 g v zPP DL γγ La presión en 1 es la indicada en el barómetro, es decir inHgP 301 = ft in ftinP Hg 50,2 00,12 00,1301 =×=γ ftftPSP WHg 92,3357,1350,211 =×== γγ De tabla C.2 página 568 de (Mecánica de los fluidos, Streeter) MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 12 ftP W 79,02 =γ STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − × −−×= 1 174,322 )46,3( 1079,092,33 003,0 00,12 00,100,6 2 2 s ft s ft ftftftin ftin L L = 20554,17 ft La potencia suministrada por la bomba será t WP = t mgHP = gHmP •= QgHP ρ= QHP γ= HAvP 22γ= ft in ftin s ft ft lbP 00,10 00,12 00,100,6 4 49,342,62 2 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ×= π P = 247,74 lb.ft s El porcentaje utilizado para vencer las pérdidas será 100 22 003,0 2% 2 2 2 2 2 2 × ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = g v g v D L g v P 100 1003,0 1 × ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = D L P %80,0100 1 5,0 17,20554003,0 1 =× ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +× = ft ft P %P = 0,80 % MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 13 STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 Ejercicio 3-87 Despreciando todas las pérdidas, determínese las componentes x e y necesarias para mantener la Y en su lugar. El plano de la Y es horizontal. 6 in . diá m 12 in. diám 18 in. diám 45° 60 ° 20 ft³/s H2O 12 ft8 ft³/s 10 lb/in² Resolución Por definición de caudal 111 vAQ = 1 1 1 A Qv = s ft in ftin s ft v 32,11 00,12 00,100,18 4 00,20 2 3 1 = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ × = π 2 2 2 A Qv = s ft in ftin s ft v 29,15 00,12 00,100,12 4 00,12 2 3 2 = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ × = π 3 3 3 A Q v = s ft in ftin s ft v 74,40 00,12 00,100,6 4 00,8 2 3 3 = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ × = π MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 14 STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 6 in . diá m 12 in. diám 18 in. diám 45° 60 ° H2O v3 = 40,74 ft/s A3 P3A3 v2 = 15,29 ft/s A2 P2A2 v1 = 11,32 ft/s A1 P1A1 10 lb/in² Planteamos la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x, entonces ( ) dAvvF scxext •××∫=∑ ρ Las fuerzas externas en x son ( ) xanclajexextFAPAPF +×+×−=∑ º60cosº45cos 3322 La integral sobre la superficie de control en x es º0cosº60cosº0cosº45cos 333222 AvvAvvdAvvsc ××−××=•××∫ ρρρ Igualando º0cosº60cosº0cosº45cosº60cosº45cos 3332223322 AvvAvvFAPAP xanclaje ××−××=+×+×− ρρ Para conocer las presiones planteamos Bernoulli entre 1 y 2 g vzP g vzP 22 2 2 2 2 2 1 1 1 ++=++ γγ reemplazando g vP g vP 22 2 22 2 11 +=+ γγ g v g vPP 22 2 2 2 112 −+= γγ ( )222112 2 vvgPP −+= γ MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 15 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ × +×= 22 2 3 2 2 22 29,1532,11 174,322 42,62 00,1 00,14400,10 s ft s ft s ft ft lb ft in in lbP STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 22 80,1337 ft lbP = Planteamos Bernoulli entre 1 y 3 g vzP g vzP 22 2 3 3 3 2 1 1 1 ++=++ γγ reemplazando g vP g vP 22 2 33 2 11 +=+ γγ g v g vPP 22 2 3 2 113 −+= γγ ( )232113 2 vvgPP −+= γ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ × +×= 22 2 3 2 2 23 74,4032,11 174,322 42,62 00,1 00,14400,10 s ft s ft s ft ft lb ft in in lbP 23 05,46 ft lbP −= reemplazando º60cosº45cosº0cosº60cosº0cosº45cos 3322333222 ×−×+×−×= APAPAvvAvvF xanclaje ρρ =××+××+× ×××−××××= º60cos20,005,46º45cos78,080,133720,0 74,4094,1º60cos74,4078,029,1594,1º45cos29,15 2 2 2 2 2 3 2 3 ft ft lbft ft lbft s ft ft slug s ftft s ft ft slug s ftF xanclaje FanclajeX = 682,82 lb Planteamos la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección y, entonces ( ) dAvvF scyext •××∫=∑ ρ Las fuerzas externas en y son ( ) yanclajeyext FsenAPsenAPAPF +×−×−=∑ º60º45 332211 La integral sobre la superficie de control en x es º0cosº60º0cosº45º180cos 333222111 AvsenvAvsenvAvvdAvvsc ×+×+×=•××∫ ρρρρ Igualando º0cosº60 º0cosº45º180cosº60º45 333 222111332211 Avsenv AvsenvAvvFsenAPsenAPAP xyanclaje ×+ ×+×=+×−×− ρ ρρ despejando º60º45 º0cosº60º0cosº45º180cos 3322 11333222111 senAPsenAP APAvsenvAvsenvAvvF xyanclaje ×+×+ −×+×+×= ρρρ MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 16 reemplazando STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 =××+××+ ××−××××+ ××××+×××−= º6020,005,46º4578,080,1337 77,1 00,1 00,14400,1020,074,4094,1º6074,40 78,029,1594,1º4529,1577,132,1194,132,11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 senft ft lbsenft ft lb ft ft in in lbft s ft ft slugsen s ft ft s ft ft slugsen s ftft s ft ft slug s ftF yanclaje FanclajeY = –1433,89 lb Ejercicio 3-100 En la figura, un chorro, ρ = 2 slugs/ft3 es desviado por un álabe 180º. Se supone que la carreta no tiene fricción y está libre para moverse en una dirección horizontal. La carreta pesa 200 lb. Determínese la velocidad y la distancia viajada por la carreta 10 s después que el chorro es dirigido contra el álabe. A0 = 0,02 ft2; V0 = 100 ft/s. V1 V0 A0 Resolución V1 V0 A0 V0 A0 El diagrama vectorial de velocidad será a la entrada V1 V0 V0-V1 y a la salida MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 17 V1 V0 V0-V1 STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 Planteamos la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x, entonces ( ) dAvvF scxext •××∫=∑ ρ La integral sobre la superficie de control en x es ( ) ( ) ( ) ( ) º0cosº180cos 0101001010 AvvvvAvvvvdAvvsc −××−−−××−=•××∫ ρρρ ( ) ( ) ( ) ( ) 0101001010 AvvvvAvvvvdAvvsc −××−−−××−−=•××∫ ρρρ ( ) 02102 AvvdAvvsc ××−×−=•××∫ ρρ Las fuerzas externas en x son ( ) carroxext amF =∑ ( ) dt dvmF xext =∑ Igualando ( ) 02101 2 Avvdt dvm ××−×−= ρ ( )21102001 22 vvvvAtmv +−××−=Δ ρ 2 10100 2 001 2222 vAvvAvAt mv ××−×××+××−=Δ ρρρ 02222 200100 2 10 =××+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ×××−Δ+×× vAvvAt mvA ρρρ 000,100002,00,22 00,1002002,00,22 00,10 174,32 00,200 002,00,22 2 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛×××+ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ××××−+××× s ftft ft slugs v s ftft ft slugs s s ft lb vft ft slugs 000,80038,1508,0 1 2 1 =+−× lbvs slugsv ft slug Por báscara v1 = 96,11 ft/s Como supusimos la aceleración constante planteamos 2 2 1 atx = s s fttvt t vx 00,1011,96 2 1 2 1 2 1 1 21 === x = 480,57 ft MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 18 STASSI, MAURO JOSÉ AÑO 2007 Ejercicio 3-123 Determínese el ángulo del álabe requerido para desviar la velocidad absoluta de un chorro 130º. u = 50 ft/s V0 = 130 ft/s θ Resolución u = 50 ft/s V0 = 130 ft/s 130 α ( )uvvalabe −= 0 s ft s ft s ftvalabe 00,8000,5000,130 =−= Por teorema del seno 00,5000,80 βθ sensen = 48,0º130625,0 00,80 00,50 =×== sensensen θβ ( ) º60,2848,0 == arcsenβ Por propiedad del triángulo º39,21º60,28º130º180º180 =−−=−−= θβγ Finalmente º39,21º180º180 −=−= γα α = 158º 36’ 20’’ MECÁNICA DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 19
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