CAP. 5

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- 115 -
CAPITULO V
TERMODINAMICA
- 116 -
Es el conjunto de un gran número de partículas diminutas o puntuales, de simetría 
esférica, del mismo tamaño y de igual volumen, todas del mismo material. Por tanto son 
partículas indistinguibles, todas contenidas en un recipiente de gran dimensión 
comparación con el tamaño de las partículas.
El estado de las partículas en conjunto, contenidas en un recipiente se describe muy 
bien por medio de la ecuación de estado del gas ideal:
 ………. (5,1)
En la ecuación:
P : es la presión en 1Pa = 1N-m-2 ó en 1atm = 101,3kPa = 14,7lb-in-2
V : es el volumen en 1m3 = 106cm3 = 103Lit = 35,3ft-3 = 61,024 103in3
T : es la temperatura en 1K (Kelvin)
n : es el numero de moles en mol
R : es la constante universal de los gases, su valor es:
R = 8,314 J-(mol-K)-1 = 1,986 cal-(mol-K)-1 = 82,07 10-3 Lit-atm
N : es el número de partículas que conforman el gas
k : es la constante de Stefan-Boltzmann, su valor es:
Siempre que el gas este contenido en un recipiente hermético y pase del estado 1 al 
estado 2, la ecuación (1) se puede reescribir como:
 …………. (5,2)
5.1 EL GAS IDEAL
5.2 ECUACIÓN DE ESTADO
- 117 -
EJERCICIO: Un volumen de 1 de oxígeno gaseoso a º40 y a la presión de 
76 se dilata hasta que su volumen es de 5.1 y su presión es de .80
Encontrar el número de moles de oxígeno en el sistema y su temperatura final.
SOLUCIÓN: del problema se tiene
:,5.1,80
,313º40,1,76
22
111
Aplicando la ecuación de los gases ideales, se tiene:
2039.0
313
.
.
082.0
11
Como no cambia la cantidad de moles entonces la ecuación que dá lugar para 
determinar 2 es:
494
313
176
5.180
2
2
1
11
22
2
2
22
1
11
EJERCICIO: Un cilindro de 1 de altura con diámetro interior de 12.0 contiene gas 
propano /1.44 que se usará en una varillada. Inicialmente el tanque se 
llena hasta que la presión manométrica es de 6103.1 y la temperatura es .º22 La 
l C
Hgcm l Hgcm
nlVHgcmp
KCTlVHgcmp
Odemolesn
K
Kmol
latm
latm
n
TR
Vp
nTRnVp
T
KT
K
lHgcm
lHgcm
T
T
Vp
VpT
T
Vp
T
Vp
m m
molgM
Pax C
==
====
( )
=
´
=
=Þ=
( )
( )
=
=
=Þ=
( )=
- 118 -
temperatura del gas se mantiene constante mientras el se vacía parcialmente 
hasta que la presión manométrica es de .105.2 5 Calcule la masa de propano que se 
gastó.
SOLUCIÓN: Del problema se tiene
:,105.2
,295º22,103.1
,12.0,1,/101.44
5
2
1
6
1
3
Aplicando la ecuación de los gases ideales:
Ahora la masa de propano que se gastó será:
21
2
2121
4
Reemplazando valores, 
213.0
105.2103.1
4
112.0
295314.8
101.44 56
23
Pax
propanomPaxp
KCTPaxp
mdmhmolKgxM
TR
MVp
m
TR
M
mVpTRnVp
pphd
TR
M
pp
TR
VM
p
TR
VM
p
TR
VM
mpropano
Kgm
PaxPax
mm
K
x
m
propano
Kmol
J
mol
kg
propano
=
===
=== -
=
=®=
( )
( )-=
-=-=
( )
( ) ( )
=
-´=
-
-
p
p
- 119 -
Po otro lado, del modelo cinético molecular del gas ideal, la energía cinética molecular 
(Kcm) del gas ideal a una temperatura T es:
 ……… (5,3)
 En la ecuación: 
NA = 6,022 1023moleculas/mol, es el numero de Avogadro.
k = 1,3806 10-23 J-(molécula-K)-1, es la constante de Stefan-Boltzmann
Como el número de moléculas o de partículas es , entonces la energía cinética 
molecular Kcp de cada partícula de masa m, es igual a:
 ……… (5,4)
Dado que las partículas del gas ideal solo tienen energía cinética, entonces la energía 
interna (U) del gas ideal es igual a la energía cinética molecular de todas las partículas 
del gas ideal, esto es:
 ……… (5,5)
EJERCICIO: Determine el volumen que ocupa 1mol de gas ideal a la temperatura de 
20ºC y a la presión P = 101,3kPa.
SOLUCIÓN: Para usar la ecuación de estado del gas ideal debemos expresar la 
temperatura en kelvin y dado que 1Pa = 1J/m3, se tiene: 
5.3 ENERGÍA CINÉTICA MOLECULAR
5.4 ENERGÍA INTERNA DEL GAS IDEAL
- 120 -
Por tanto el volumen de 1mol de gas ideal en estas condiciones es:
EJERCICIO: Determine la energía cinética molecular de 1mol de gas ideal a la 
temperatura de 20ºC. ¿Cuál es la energía cinética molecular de una partícula en este mol 
de gas ideal?
SOLUCIÓN: La energía cinética molecular para 1mol se puede calcular a partir de la 
ecuación:
La energía cinética de una sola partícula, se puede hallar dividiendo la energía cinética 
molecular Kcm entre el número de partículas en 1mol de gas ideal. Esto es:
También se puede hallar el mismo resultado, usando la ecuación (4), esto es:
EJERCICIO: En un día de verano, si la temperatura del aire cambia de 17ºC (en la 
mañana) a 27ºC (al medio día) ¿Cuál es el cambio de energía interna que experimenta 
1mol de aire, suponiendo que se puede considerar como gas ideal?
- 121 -
SOLUCIÓN: del problema el cambio de temperatura resulta de: 
Por tanto la variación de energía interna del gas es:
EJERCICIO: Supongamos que el aire de masa molecular M = 28.8x10-3kg/mol, es un 
gas ideal, cuya temperatura de 20ºC es aproximadamente constante desde la costa hasta 
la sierra en el Perú. Determine la presión atmosférica en el cruce de ticlio (punto más
alto de la carretera central) que se encuentra a 4880m sobre el nivel de mar. 
SOLUCIÓN: La presión del aire (atmosfera) disminuye con la altura, por tanto, si 
consideramos la ecuación diferencial de la hidrostática para el aire cuya densidad es ? se 
puede escribir:
Considerando que para el aire vale la ecuación de estado del gas ideal, se tiene:
Se tiene la densidad ? como función de la presión, reemplazamos en la ecuación 
anterior y se tiene:
- 122 -
En la que es la presión atmosférica a nivel del mar. Resolviendo la 
integral se obtiene la presión P como función de la altura H, esto es:
Por tanto la presión atmosférica en ticlio es:
EJERCICIO: Un matraz contiene 1 de oxigeno a la presión absoluta de 10 y a la 
temperatura de .º47 Al cabo de cierto tiempo se encuentra que, a causa de un escape, 
la presión ha descendido a 8/5 de su valor inicial y la temperatura ha bajado a .º27
(a) ¿Cuál es el volumen del matraz? (b) ¿Qué peso de oxigeno se ha escapado entre las 
dos observaciones? 
SOLUCIÓN: (a) Si : volumen del matraz y dado que:
º27,25.610
8
5
,º47,10,1
22
112
De la ecuación de estado del gas ideal despejamos el volumen:
082.0
10
320082.0
/32
1
(b) :'
2
peso de oxígeno que se ha escapado, Calculando el número de moles de ,2 a 
. se tiene:
20208.0300082.0
082.025.6
2
g atm
C
C
V
CTatmatmp
CTatmpgmO
lV
atm
K
molg
g
p
TRnV Kmol
latm
Om O
cteV
Odemol
K
latm
TR
Vp
n
Kmol
lamtO
( ) ===
===
=
´
´==
-
=
( )( )
( )( )
===
-
-
- 123 -
334.0
666.0320208.0
2
22
EJERCICIO: El vapor de benceno 66 tiene una masa molecular de 
.1029.1 25 Calcúlese la energía cinética media de traslación de u molécula de 
vapor de benceno a º100 y la velocidad cuadrática media de las moléculas a la 
misma temperatura.
SOLUCIÓN: La energía cinética media de traslación de una molécula está dado por:
2
3
2
1 2
21
23
1072.7
37310381.1
2
3
2
3
Despejando la rapidez y evaluando:
/11.346
1029.1
37310381.133
25
23
Cuando el volumen del recipiente que contiene a un gas ideal se expande y cambia 
desde un valor inicial Vi hasta otro valor final Vf entonces el gas ideal dentro del 
recipiente ha efectuado un trabajoque se define por:
 … (5,6) 
En la ecuación:
gm
g
mol
g
molMnm
O
OO
HC
Kgx
C
TKvmK Bmt
molecula
J
t
Kmolecula
J
Bt
xK
KxTKK
smv
Kgx
Kx
m
TK
v
m
Kmolecula
J
B
m
=
=÷
ø
ö
ç
è
æ==
( )
-
( ) ==
( )
-
-
=
==
( )
=
== -
-
5.5 TRABAJO DEL GAS IDEAL
- 124 -
P : es la presión del gas, expresado en Pa = N/m2 = J/m3
dV : es el cambio diferencial de volumen, expresado en m3 
W : es el trabajo, expresado en J (Joule)
EJERCICIO: Determine el trabajo efectuado por un gas ideal contenido en un 
recipiente hermético cuando pasa de un estado inicial a otro estado final en una 
expansión isobárica.
SOLUCIÓN: En una expansión isobárica el gas ideal se expande a presión constante 
por lo que trabajo efectuado por el gas es:
 …(5,7)
Note: El trabajo isobárico es positivo si hay un aumento de volumen (Vf > Vi) y el 
trabajo isobárico es negativo si hay una disminución de volumen (Vf < Vi) 
EJERCICIO: Una muestra de gas se expande de 31 0.1 y 401 a 
3
2 0.4 y 102 a lo largo de la trayectoria en el diagrama de la 
figura que se muestra. Luego se comprime de nuevo a 1 a lo largo ya sea de la 
trayectoria o la . Calcule el trabajo neto realizado por el gas para el c lo completo 
a lo largo de (a) la trayectoria y (b) la trayectoria .
5.6 TRABAJO ISOBARICO
mV Pap
mV Pap B Vp
V
A C
BA BC
= =
= =
- 125 -
SOLUCIÓN:
10,4,40,1 2
3
21
3
1
(a) : Trayectoria BA
045
414031040
2
1
32
133221
(b) : Trayectoria BC
045
411031040
2
1
14
144221
EJERCICIO: Determine el trabajo efectuado por un gas ideal contenido en un 
recipiente hermético cuando pasa de un estado inicial a un estado final en una expansión 
isotérmica.
SOLUCIÓN: En una expansión isotérmica el gas ideal se de a temperatura 
constante por lo que trabajo efectuado por el gas es:
 … (5,8)
PapmVPapmV
netoW
WJW
WWWW
neto
neto
netoW
WJW
WWWW
neto
neto
====
( ) ( )
( )=-=\
-++=
++=
®
®®®
( ) ( )
( )==\
-++=
++=
®
®®®
5.7 TRABAJO ISOTERMICO
- 126 -
Note: El trabajo isotérmico es positivo si hay un aumento de volumen (Vf > Vi) y el 
trabajo isotérmico es negativo si hay una disminución de volumen (Vf < Vi) 
EJERCICIO: 0.5 mol de un gas monoatómico ideal a -23ºC se expande 
isotérmicamente hasta triplicar su volumen. Halle el trabajo efectuado por el gas.
SOLUCIÓN: Del problema T = -23ºC = 250K, por tanto el trabajo es:
EJERCICIO: Determine el trabajo efectuado por un gas diatomico ideal contenido en 
un recipiente hermético cuando pasa de un estado inicial a un estado final en una 
expansión adiabática. 
SOLUCIÓN: En una expansión adiabática el gas ideal se expande de modo que la 
presión y el volumen están relacionados por la ecuación:
De este modo el trabajo efectuado por el gas es:
5.8 TRABAJO ADIABATICO
- 127 -
 … (5,8)
EJERCICIO: Un mol de un gas ideal diatomico se 
deja expandir a lo largo de la recta que va de 1 a 2 
en el diagrama de la figura que se muestra. A 
continuación se comprime isotérmicamente desde 2 
hasta 1. Calcular el trabajo total realizado sobre el 
gas durante este ciclo.
SOLUCIÓN: El trabajo total realizado sobre el gas durante este ciclo, será:
1221 ( )
.25.175.112321
2
1
21 ( )
Calculando la temperatura :
./.082.01
231
5.280
0
12 ln (Proceso isotérmico)
23
5.11
ln5.280082.0112
.94.1512
 
( )
Vp
WWWtotal
latmW
T
Kmollatmmol
latmT
Rn
Vp
TTRnVp
KT
V
V
TRnQW f
l
lKmolW Kmol
latm
latmW
®® +=
( )( ) =-+=®
( )
( )
=
=Þ=
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
==®
( )( ) ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=®
-=®
a
b
g
- 128 -
Reemplazando ( ) y ( ) en ( ):
74.132
.1
325.101
.31.1.94.15.25.17
EJERCICIO: El diagrama de la figura que se muestra representa procesos 
realizados por 3 de un gas ideal monoatómico. El gas está inicialmente el 
punto A. Las trayectorias AD y BC representan 
procesos isotérmicos. Si el sistema evoluciona 
hasta el punto C a lo largo de la trayectoria AEC. 
Determinar: (a) Las temperaturas inicial y final. 
(b) El trabajo realizado por el gas. (c) El calor 
absorbido por el gas.
SOLUCIÓN: (a) Aplicando la ecuación de los gases ideales:
./.082.03
01.44
2.65 (Temperatura inicial)
Además,
./.082.03
201
3.81 (Temperatura final)
b g a
JW
latm
JlatmlatmlatmW
total
total
Vp
moles
Kmollatmmoles
latm
T
Rn
Vp
TTRnVp
A
A
KTA
Kmollatmmoles
latm
T
Rn
Vp
TTRnVp
C
C
KTC
=\
=-=
( )
( )
=
=Þ=
=\
( )
( )
=
=Þ=
=\
- 129 -
(b) El trabajo realizado por el gas, será:
.1
325.101
.99.15
01.42010
62.1 ( )
(c) Aplicando la primera ley de la termodinámica:
 ( )
Calculando :
97.601
.1
325.101
.941.5
2.653.81
.
.
082.03
2
3
2
3
97.601 ( )
Reemplazando ( ) y ( ) en ( ):
31062.197.601
22.2 (Calor absorbido por el gas)
Es consecuencia de la ley de la conservación de la energía en un proceso de expansión 
de un gas. Establece lo siguiente: 
. Esto es:
 … (5,9)
( )
=
-=D+=
+=
=\
+D=
D
( )
( ) ( )
==D
-=D
-=D
=DÞ
+=
=\
latm
JlatmW
llatmVpW
WWW
AEC
AEC
ECAEAEC
KJWAEC
AECAEC WUQ
U
J
latm
JlatmU
K
Kmol
latm
molesU
TTRnU
AEC
AEC
ACAEC
JU AEC
JxJQAEC
KJQ AEC
a
b
g
a g b
5.9 PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
En todo proceso termodinámico de expansión o 
contracción el calor ? Q absorbido o cedido siempre es igual al trabajo ? W mas el 
cambio de la energía interna ? U que experimenta la sustancia de trabajo
- 130 -
En la ecuación:
? Q : es el calor absorbido o cedido, expresado en Joule (1J)
? W : es el trabajo efectuado, expresado en Joule (1J)
? U : es la energía interna, expresada en Joule (1J) 
EJERCICIO El gas se expansiona isotérmicamente hasta que su volumen es de y 
su presión Se calienta entonces a volumen constante hasta que su presión es de 
(a) Representar este proceso en un diagrama y calcular el trabajo realizado 
por el gas. (b) Determinar el calor absorbido durante este proceso.
SOLUCIÓN: (a) Del diagrama se observa 
que el trabajo realizado por el gas es igual al 
área bajo la curva:
 
.-
(b) Aplicando la primera ley de la termodinámica:
- 131 -
EJERCICIO: Una mol de gas ideal mono-atómico se calienta de modo que la 
temperatura varía con la presión según la ley: donde es una constante. Si la 
temperatura cambia de a determinar el trabajo realizado por el gas.
SOLUCIÓN: Aplicando la ecuación del gas ideal tenemos, 
 
Además, 
El diagrama para este proceso será:
El trabajo realizado por el gas es igual al área bajo la curva:
EJERCICIO Un mol de aire está encerrado a la presión atmosférica en 
un cilindro mediante un pistón a la temperatura de El volumen inicial ocupado por 
el gas es Determinar el volumen de gas después de suministrarle el calor 
equivalente a 
.-
- 132 -
SOLUCIÓN: De la ecuación del gas ideal, se tiene:
Además, 
Reemplazando esta ecuación en la del volumenEJERCICIO Dos moles de un gas ideal inicialmente a una temperatura de y a 
una presión de se comprime en forma isotérmica a una presión de 
Determinar: (a) El volumen final del gas. (b) El trabajo realizado por el gas. (c) El calor 
transferido.
SOLUCIÓN: (a) Teniendo en cuenta la ecuación,
:
.-
- 133 -
Reemplazando valores se tiene,
(b) El trabajo realizado por el gas,
(c) Por la primera ley de la termodinámica,
EJERCICIO En una expansión isoterma, un gas ideal a una presión ial se 
expansiona hasta duplicar su volumen inicial. (a) Hall su presión después de la 
expansión. (b) Luego el gas se comprime adiabática y cuasi estáticamente hasta su 
volumen original, en cuyo momento su presión vale El gas, ¿es monoatómico, 
diatomico o poli-atómico?
SOLUCIÓN: (a) El diagrama será: 
Teniendo en cuenta la ecuación,
.-
- 134 -
(b) Por definición:
 (Proceso adiabática)
 
 
 (Gas diatómico)
EJERCICIO La eficiencia de una máquina de Carnot es de La máquina absorbe 
de calor por ciclo de una fuente caliente a Determine: (a) El calor liberado 
por ciclo. (b) La temperatura de la fuente fría.
SOLUCIÓN: (a) Por definición,
Reemplazando valores,
 
(b) Por definición, 
Reemplazando valores,
 
.-
- 135 -
EJERCICIO Dos moles de un gas monoatómico ideal experimenta una expansión 
isotérmica desde a a una temperatura de ¿Cuál es la variación 
de entropía del gas?
SOLUCIÓN: Para una expansión isotérmica reversible de un gas ideal tenemos,
 ( 
Entonces, 
Donde,
EJERCICIO Si la capacidad calorífica del gas nitrógeno a presión constante varia con 
la temperatura de acuerdo a 
Determine el cambio de entropía de un mol de nitrógeno al calentarlo de a 
 a presión de 
SOLUCIÓN: Teniendo en cuenta, la ecuación,
Entonces, 
.-
.-
- 136 -
EJERCICIOS DE TERMODINAMICA
1. Un tanque de 1 de volumen contiene 1 de gas nitrógeno a .290 Otro 
tanque de igual volumen a igual temperatura contiene 1 de gas oxígeno. (a) ¿Cuál es 
la presión en cada tanque? (b) Si se bombea el gas oxígeno en el tanque de nitrógeno, 
¿Cuál es la presión producida por la mezcla de los dos gases? Suponga que la 
temperatura permanece constante a .290
2. Tres vasijas aisladas de volúmenes iguales , se conectan mediante tubos delgados 
que pueden transferir gas, pero no calor. Inicialmente todas las vasijas se llenan con el 
mismo tipo de gas a una temperatura 0 y presión .0 Entonces la temperatura de la 
primera vasija se duplica y la temperatura de la segunda vasija se triplica. La 
temperatura de la tercera vasija permanece invariable. Determinar la presión del 
sistema en función de la presión inicial .0
3 Dos moles de un gas ideal monoatómico tienen una presión inicial 21 y un 
volumen inicial .21 Se obliga al gas a realizar el siguiente proceso cíclico: Se 
expansiona isotérmicamente hasta que tiene un volumen de .42 Luego se calienta 
a volumen constante hasta que su presión vale .23 Finalmente se enfría a 
presión constante hasta que vuelve a su estado inicial. (a) Dibujar este ciclo en un 
diagrama . (b) Calcular el calor absorbido o cedido por el gas durante este ciclo en 
. Considere:
2
5
,
2
3
,
.
.
082.0 y .325.101.1
litro g K
g
K
V
T p
p
p
atmp
LV
LV
atmp
Vp
Joules
RCRC
Kmol
Latm
R pV JoulesLatm
. =
=
=
=
=== =
- 137 -
4. El diagrama de la figura, muestra dos trayectorias a lo 
largo de las cuales una muestra de gas se puede llevar del 
estado al estado , donde .0.3 1 La trayectoria 1 
requiere que energía igual a 110.5 se transfiera al gas 
como calor. La trayectoria 2 requiere que energía igual a 115.5 sea transferida al gas 
como calor. ¿Cuál es la razón ?12
5.- Un matraz contiene 1 de oxigeno a la presión absoluta de 8 y a la temperatura 
de .º47 Al cabo de cierto tiempo se encuentra que a causa de un escape, la presión ha 
descendido a 8/5 de su valor inicial y la temperatura ha bajado a .º27 (a) ¿Cuál es el 
volumen del matraz? (b) ¿Qué peso de oxigeno se ha escapado entre las dos 
observaciones? 
6.- Sobre un mol de gas ideal se realiza un ciclo cerrado, 
como se muestra en el diagrama . Las temperaturas en 
los estados 1 y 3 son 1 y 3 respectivamente. Encontrar el 
trabajo que realiza el gas durante el ciclo, sabiendo los 
estados 2 y 4 se encuentran en una isoterma.
7. Un volumen de 1 de oxígeno gaseoso a º40 y a la presión de 76 se 
dilata hasta que su volumen es de 5.1 y su presión es de .80 Encontrar el 
número de moles de oxígeno en el sistema y su temperatura final.
Vp
a b VVb
Vp
Vp
pp
g atm
C
C
pV
T T
l C Hgcm
l Hgcm
=
-
- 138 -
8. Un cilindro de 1 de altura con diámetro interior de 12.0 contiene gas propano 
/1.44 que se usará en una varillada. Inicialmente el tanque llena hasta 
que la presión manométrica es de 6103.1 y la temperatura es .º22 La 
temperatura del gas se mantiene constante mientras el tanque se vacía parcialmente 
hasta que la presión manométrica es de .105.2 5 Calcule la masa de propano que se 
gastó.
9.- Un mol de un gas ideal diatomico se deja expandir 
a lo largo de la recta que va de 1 a 2 en el diagrama 
de la figura que se muestra. A continuación se 
comprime isotérmicamente desde 2 hasta 1. Calcular 
el trabajo total realizado sobre el gas durante este 
ciclo.
10.- El diagrama de la figura que se muestra 
representa procesos realizados por 3 de un 
gas ideal monoatómico. El gas está inicialmente 
en el punto A. Las trayectorias AD y BC 
representan procesos isotérmicos. Si el sistema 
evoluciona hasta el punto C a lo largo de la trayectoria AEC. Determinar: (a) Las 
temperaturas inicial y final. (b) El trabajo realizado por el gas. (c) El calor absorbido por 
el gas.
- m m
molgM
Pax C
Pax
Vp
Vp
moles
( )=
- 139 -
11.- Un gas ideal inicialmente a la presión 0 experimenta una expansión libre 
(adiabática, sin trabajo externo) hasta que su volumen final sea el triple de su volumen 
inicial. (a) Calcular la presión del gas después de la expansión libre. (b) El gas es luego 
comprimido lento y adiabáticamente hasta su volumen original, la presión después de la 
compresión es .3 0
3 Determinar si el gas es monoatómico, diatomico o poli-atómico. 
(c) Como se compara la energía cinética media por molécula en los estados inicial y 
final.
12.- Cuatro moles de argón se encuentra 
inicialmente a la temperatura de º27 y 
ocupan un volumen de .40 El gas se expande 
primero a presión constante hasta duplicar el 
volumen y después adiabáticamente hasta que 
la temperatura vuelve a su valor inicial. (a) Dibuje un diagrama para este proceso 
termodinámico. (b) ¿Cuál es el calor total suministrado durante el mismo? (c) ¿Cuál es 
la variación total de la energía interna del argón? (d) ¿Cuál es el trabajo total realizado 
por el gas? (e) ¿Cuál es el volumen final?
13.- Durante cada ciclo, una máquina de Carnot extrae 100 de energía de un foco a 
,400 realiza un trabajo y elimina calor en otro foco a .300 Calcular la variación 
de entropía de cada foco en cada ciclo y demostrar que la variación de entropía del 
universo es cero en el caso de este proceso reversible.
p
p
C
l
Vp
J
K K
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