Clase 1 Giros

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UNIVERDAD NACIONAL DE ASUNCION FACULTAD DE INGENIERIA 
Ingeniería Civil Cátedra de Estructuras 3 2018 
1 Aux. Max Caballero 
 
Clase 1: 
Calcular el DFQ y DMF de la estructura mostrada en la figura. 
 
Datos: Secciones (cm): Módulo de Young (kPA): 
P= 25 kN Columnas (1,3 y 4): 40x60 Eh=2x107 
q= 25 kN/m Vigas (2,5 y 6): 40x100 
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1. Se colocan las incógnitas cinemáticas. 
Para colocar las incógnitas cinemáticas se analizan los nodos de la 
siguiente manera: 
 Si los momentos se encuentran bien definidos en todo el nodo, es 
decir, se tienen valores numéricos a través de la estática, no hay 
incógnitas cinemáticas. 
 Si los momentos no están definidos, entonces se coloca la incógnita 
cinemática en el nodo. 
 
 
2. Se colocan las rigideces de las barras en toda la estructura, para luego 
formar la matriz de rigidez K del sistema: 
Observación: 
𝑟 =
𝐸 × 𝐼
𝐿
 
 
 
 
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Matriz de rigidez K del sistema: 
𝐾 = [
∎ 𝜑1
𝜑1 𝐾11
𝜑2
𝐾12
𝜑3
𝐾13
𝜑2 𝐾21 𝐾22 𝐾23
𝜑3 𝐾31 𝐾32 𝐾33
] 
 
Para calcular la matriz generalmente se sigue el siguiente esquema: 
a) Se analizan como afectan las rigideces de giros propios del nodo donde se 
tenga una incógnita cinemática de giro. 
b) Se analiza cómo se afectan los giros entre ellos, es decir, si hubiera un 
giro en la sección i cómo afectaría a j. 
Calculo de la matriz K del sistema: 
Se dividen todas las rigideces por el módulo de elasticidad y la inercia mayor: 
a) 𝐾11 = 4𝑟1 + 3𝑟2 + 4𝑟3 = 0,588 
𝐾22 = 4𝑟3 + 4𝑟5 = 0,544 
𝐾33 = 3𝑟4 + 4𝑟5 + 3𝑟6 = 0,808 
b) 𝐾12 = 𝐾21 = 2𝑟3 = 0,072 
𝐾13 = 𝐾31 = 0 
𝐾23 = 𝐾32 = 2𝑟5 = 0,2 
 
𝐾 = [
∎ 𝜑1
𝜑1 0,588
𝜑2
0,072
𝜑3
0
𝜑2 0,072 0,544 0,2
𝜑3 0 0,2 0,808
] 
 
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3. Analizamos el estado inicial de tensiones, para eso analizamos cuáles son 
las barras que tienen cualquier tipo de carga en el tramo intermedio, y 
cómo afectan esas cargas a las incógnitas cinemáticas: 
 
Se suman los esfuerzos nodales para formar el vector de tensiones 
iniciales, los momentos en los nodos corresponden a los giros en dichos 
nodos: 
𝑅0 = [
𝑀01 312,5
𝑀02 0
𝑀03 312,5
] nos queda 𝑅0 = [
312,5
0
312,5
] 
 
4. Analizamos las cargas nodales, la característica principal de estas cargas, 
es que las mismas no pertenecen a ninguna de las barras que concurren 
en el lugar donde existe una incógnita cinemática. 
 
𝑅 = [
𝑀1 150
𝑀2 150
𝑀3 0
] nos queda 𝑅 = [
150
150
0
] 
 
 
 
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5. Se calculan las incógnitas cinemáticas: 
𝐾 × 𝑟 + 𝑅0 = 𝑅 
𝐸 × 𝐼𝑧2 × [
0,588 0,072 0
0,072 0,544 0,2
0 0,2 0,808
] × [
𝜑1
𝜑2
𝜑3
] + [
312,5
0
312,5
] = [
150
150
0
] 
Se obtiene la solución: 
𝑟 = [
𝜑1 −0,00051
𝜑2 0,00076
𝜑3 −0,00077
] 
6. Se calculan los esfuerzos finales sobre las distintas barras. 
𝑄 = 𝑄0 + 𝑘 × 𝑟 
El cálculo de las tensiones finales se realiza de la siguiente manera: 
 Se calculan primero los momentos en ambos extremos, para eso se 
analizan cómo los giros afectan a las barras en el extremo que 
estamos analizando. Luego se le suman los momentos iniciales 
calculados. 
 Una vez que se tienen los momentos en ambos extremos de las 
barras, a partir del equilibrio se sacan las cortantes y por 
superposición de efectos se les suman a las cortantes iniciales. 
Barra 1: 
𝑚1 = −4𝑟1 × 𝜑1 = −48,96 
𝑚2 = −2𝑟1 × 𝜑1 = −24,48 
𝑣1 =
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿1
= −12,24 
𝑣2 = −
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿1
= 12,24 
 
 
 
 
 
 
 
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Barra 2: 
𝑚1 = 312,5 − 3𝑟2 × 𝜑1 = 210,5 
𝑚2 = 0 
𝑣1 = 156,25 +
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿2
= 146,05 
𝑣2 = 93,75 −
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿2
= 103,95 
Barra 3: 
𝑚1 = 4𝑟3 × 𝜑2 − 2𝑟3 × 𝜑1 = 48,48 
𝑚2 = −4𝑟3 × 𝜑1 + 2𝑟3 × 𝜑2 = −12,48 
𝑣1 =
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿3
= 6 
𝑣2 = −
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿3
= −6 
Barra 4: 
𝑚1 = −3𝑟4 × 𝜑3 = −55,44 
𝑚2 = 0 
𝑣1 =
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿4
= −9,24 
𝑣2 = −
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿4
= 9,24 
Barra 5: 
𝑚1 = 4𝑟5 × 𝜑2 − 2𝑟5 × 𝜑3 = 100 
𝑚2 = −4𝑟5 × 𝜑3 + 2𝑟5 × 𝜑2 = −104 
𝑣1 =
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿5
= −0,4 
𝑣2 = −
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿5
= 0,4 
 
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Barra 6: 
𝑚1 = 312,5 + 3𝑟6 × 𝜑3 = 158,5 
𝑚2 = 0 
𝑣1 = 156,25 +
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿6
= 16,75 
𝑣2 = 93,75 −
(𝑚1
′ + 𝑚2
′ )
𝐿6
= −16,75 
 
7. Gráficos de los diagramas: 
DMF: 
 
DFQ: 
 
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Ejercicio propuesto: 
 
Datos: Secciones (cm): Módulo de Young (kPA): 
P= 50 kN Vigas (2 y 7): 30x80 Eh=2x107 
H= 20 kN Columnas (1,3,4,5 y 6): 30x50 
q=30 kN/m