3MOVIMIENTOONDULATORIO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE 
INGENIERÍA
TEMA: MOVIMIENTO ONDULATORIO
MSc DÍEZ CHIRINOS CÉSAR MANUEL SEBASTIÁN
Introducción
Muchos experimentamos ondas cuando dejamos caer guijarros
en un estanque. Los cuales cuando impactan la superficie del
agua se crean ondas y se alejan del centro de creación
expandiéndose en círculos hasta llegar a la orilla.
El mundo está lleno de ondas, los dos tipos principales son las
mecánicas; ondas de sonido, ondas de agua; y ondas
electromagnéticas, las cuales no requieren un medio de
transporte. Las clásicas son las de la luz visible, ondas de radio,
señales de televisión, rayos X, entre otros.
Ondas Mecánicas y Ondas Electromagnéticas
Consideremos la industria musical, cada sonido
escuchado en algún concierto en vivo o en la web;
depende de los actores para producir ondas y de los
oyentes en captarlas. Entre producir y detectar, la
información llevada por ondas necesita ser
transmitida, ya sea concierto en vivo en la web o
reproducida en CDs, DVDs, etc.
Tenemos tres tipos de ondas:
Ondas Mecánicas: Las encontramos continuamente,
como las ondas de agua, ondas de sonido y ondas
sísmicas, las cuales necesitan de un medio para su
transporte como agua, air y roca; y además están
gobernadas por las leyes de Newton.
Ondas Electromagnéticas: Aunque las usamos
continuamente las conocemos menos, como la luz
visible y la ultravioleta, radio y televisión, microondas,
rayos X y ondas de radar. Viajan a una velocidad de
299792458 m/s y no necesitan de un medio de
transporte, como las ondas de luz de las estrellas.
Ondas de materia: No son familiares pero muy
utilizadas en la tecnología moderna. Están asociadas
con electrones, protones y otras partículas
fundamentales, inclusive átomos y moléculas. Ya que
constituyen la materia se les denominan ondas de
materia.
Tipos de ondas (Longitudinales y Transversales)
Estas ondas, las longitudinales y transversales, son
ondas que viajan desde un punto hacía otro. Es decir,
se desplazan desde un extremo de una cuerda hacía
el otro, para el caso de la cuerda; o desde un
extremo de una tubería hasta el otro, para el caso de
las ondas de sonido.
Por este motivo se consideran ondas viajeras, ya que
es la onda la que viaja de un extremo a otro en
ambos casos, más no el material (cuerda o aire) por
el que las ondas se mueven.
Ambas pueden tener la misma dirección de
propagación, más no de vibración, ya que para unas
será paralelo a esta dirección y para el otro
perpendicular.
Ondas mecánicas
Las ondas mecánicas que veremos aquí son las que
requieren:
Una fuente de disturbio.
Un medio que sea perturbado.
Alguna conexión física a través de la cual porciones
del medio adyacente puedan influenciarse entre sí.
Veremos que todas las ondas llevan energía; la
cantidad de energía transmitida a través de un
medio y el mecanismo responsable para el
transporte de energía difiere entre caso y caso.
Por ejemplo, la potencia de las ondas oceánicas
producidas por una tormenta es más grande que la
potencia generada por una voz humana singular.
Ondas mecánicas: Características Físicas
Imaginemos que Ud. flota en una balsa en un gran
lago. Suavemente subirá y bajará según el paso de
las ondas, las que podrá ver acercándose
individualmente.
El punto en el que el
desplazamiento del agua de
su nivel normal es el más alto
se llama cresta de la onda. La
distancia entre dos crestas es
la longitud de onda 𝜆.
Figura1: La longitud de onda de una onda es la distancia entre crestas o
canales adyacentes, o cualquier punto comparable adyacente.
Si contamos los segundos entre las llegadas de las
ondas adyacentes, medimos el periodo 𝑇 de las
ondas. Es decir, es el tiempo requerido por dos
puntos idénticos de ondas adyacentes para pasar
por un punto.
A menudo se da la misma información como el
inverso del período, lo que se llama frecuencia 𝑓. Es
decir, el número de crestas o canales adyacentes
que pasan a través de un punto dado en un
intervalo de tiempo unitario.
El máximo desplazamiento de una partícula del
medio es la amplitud 𝑨 de la onda. Para nuestra
onda de agua, este representa la distancia más alta
de una molécula de agua sobre la superficie no
perturbada del agua mientras la onda pasa.
Las ondas viajan con una velocidad específica, que
depende de las propiedades del medio que está
siendo perturbado. Las ondas de sonido viajan a
través a temperatura ambiente en el aire con una
velocidad de unos 343 Τ𝑚 𝑠 , mientras que por
otros medios esta es diferente.
Ondas transversales
En una onda transversal, el desplazamiento del
medio o vibración es perpendicular a la dirección de
propagación de la onda, tal como una piedra que
cae en un estanque o una onda en una cuerda. No
pueden propagarse en gas ni líquido ya que no hay
mecanismo para el movimiento perpendicular.
Figura: Dirección de
propagación de la onda y
dirección de vibración de la
partícula.
La luz y otros tipos de radiación electromagnética
son ejemplos de ondas transversales.
Otros ejemplos son la ondulación en un estanque y
una onda en una cuerda.
Figura2: Una onda transversal realizada
por la caída de una piedra en agua.
Onda en una cuerda tensionada
Una onda enviada a lo largo de una cuerda estirada
y densa es la onda mecánica más simple. Si damos
un tirón singular de arriba abajo a un lado de la
cuerda estirada, una onda en la forma de un pulso
singular viaja a lo largo de la cuerda. Este pulso y su
movimiento puede ocurrir porque la cuerda está
bajo tensión.
Figura3: Un pulso singular es enviado a lo largo de la cuerda estirada.
Los elementos del movimiento son perpendiculares a la dirección de
las ondas.
𝒗
Cuando jalas tu extremo de la cuerda hacía arriba,
esta empieza a jalar hacía arriba en la sección
adyacente de la cuerda por una tensión entre las
dos secciones. Y así las demás secciones empezaran
a jalar hacía arriba una tras otra.
Después cada sección empezará a jalar hacía atrás y
hacía abajo a través de secciones vecinas que están
en el camino. El resultado final es que una
distorsión en la forma de la cuerda se mueve a lo
largo de ella a una velocidad 𝒗.
Si mueve la mano arriba y abajo continuamente en
movimiento armónico simple continuo, una onda
continua viaja a lo largo de la cuerda a velocidad 𝒗.
Figura4: Una onda sinusoidal enviada a lo largo de la cuerda. Un
elemento de cuerda típico se mueve hacía arriba y hacía abajo
continuamente mientras pasa la onda.
Como el movimiento
de su mano es una
función sinusoidal en el
tiempo, la onda tiene
un perfil sinusoidal a lo
largo del tiempo.
Ecuación diferencial
Considere un pulso de onda que viaja a la derecha
con velocidad constante 𝒗 sobre una cuerda larga y
tensa. El pulso se mueve a lo largo del eje 𝑥 (eje de la
cuerda), y el desplazamiento transversal (vertical) de
la cuerda (el medio) se mide a lo largo del eje 𝑦.
En la figura 5a se ve el perfil y posición del pulso en el
tiempo 𝑡 = 0, donde la forma del pulso sea cual sea,
puede representarse como y = 𝑓(𝑥). Es decir, 𝑦, es la
posición vertical de cualquier punto en la cuerda, es
una función definida de 𝑥.
El desplazamiento 𝑦, a veces llamado función de
onda, depende de 𝑥 y 𝑡. Por eso, muchas veces se
escribe 𝑦(𝑥, 𝑡). Considere un punto particular 𝑃 sobre
la cuerda, identificada por un valor específico de su
coordenada 𝑥. Antes de que pulso llegue a 𝑃, la
coordenada de este punto es cero. Cuando la onda
pasa 𝑃, la coordenada 𝑦 de este punto aumenta,
alcanza su máximo y decae.
Entonces, la función de onda 𝑦 representa la
coordenada 𝑦 de cualquier punto 𝑃 del medio en
cualquier tiempo 𝑡.
Figura5: Un pulso de onda uni-dimensional que viaja hacía la derecha
con velocidad 𝒗. a) En 𝒕 = 𝟎, el perfil del pulso está dado por 𝒚 = 𝒇(𝒙).b) En algún momento posterior, el perfil permanece invariable y el
desplazamiento vertical de cualquier punto P del medio está dado por
𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝒗𝒕).
Debido a que la velocidad es 𝒗, el pulso de onda viaja
a la derecha una distancia 𝑣𝑡 en un tiempo 𝑡, figura
5b. Si la forma del pulso no camia con el tiempo,
podemos representar la función de onda 𝑦 para todos
los tiempo después de 0. Medido en un cuerpo de
referencia estacionario con su origen en 0, la función
de onda es:
𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) Eq 1
En el caso que la onda viaje hacía la izquierda, el
desplazamiento de la cuerda es:
𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑣𝑡) Eq 2
Para cualquier tiempo 𝑡, la función de onda 𝑦 como
una función de 𝑥 define una curva que representa el
perfil del pulso en este tiempo. Esta curva es
equivalente a una “instantánea” de la onda en este
tiempo. Para un pulso que se mueve sin cambiar su
perfil, la velocidad del pulso es la misma que la de
cualquier característica sobre el pulso, así como la
cresta.
Si queremos calcular la velocidad del pulso, podemos
calcular cuanto se aleja la cresta en un corto tiempo y
dividir esta distancia por el intervalo de tiempo.
Para seguir el movimiento de la cresta, debemos
sustituir algún valor particular, como 𝑥0, en la Eq 1por
𝑥 − 𝑣𝑡. Independientemente de cómo 𝑥 y 𝑡 cambian
individualmente, debemos hacer que 𝑥 − 𝑣𝑡 = 𝑥0
para mantener la cresta. Sin embargo, esta expresión
representa la ecuación del movimiento de la cresta.
En 𝑡 = 0, la cresta está en 𝑥 = 𝑥0; en un tiempo
posterior la cresta está en 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑑𝑡 . Sin
embargo, en el tiempo 𝑑𝑡, la cresta se ha movido una
distancia 𝑑𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑑𝑡 − 𝑥0 = 𝑣𝑑𝑡. Entonces la
velocidad de la onda es:
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Eq 3
Veamos la solución de la Ecuación de Onda por
separación de variables.
Es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales
parciales lineales, como la ecuación de onda, la
ecuación de calor, entre otras.
Una PDE lineal tiene como solución también la suma
de todas las soluciones posibles.
Idea:
• Suponga que 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑣 𝑥 𝑤 𝑡
• Use PDE para encontrar DE para 𝑣 𝑥 y 𝑤 𝑡
• Resuelva DE y tome
𝑣𝜆, 𝑤𝜆 ⇉ 𝑢𝜆 𝑥, 𝑡 = 𝑣𝜆 𝑥 𝑤𝜆 𝑡
• Use linealidad: tome
𝑢 𝑥, 𝑡 =෍
𝜆
𝑢𝜆 𝑥, 𝑡
resuelve problemas de valor inicial (IVP) y problemas
con valores de contorno.
Ejemplo Ilustrativo 1:
Resuelva: 𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥
• Suponga que 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑣 𝑥 𝑤 𝑡
• Use PDE para encontrar DE para 𝑣 𝑥 y 𝑤 𝑡
𝑢𝑡𝑡 = 𝑣 𝑥 𝑤′′ 𝑡 𝑢𝑥𝑥 = 𝑣′′ 𝑥 𝑤 𝑡
Entonces:
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 ⟺ 𝑣 𝑥 𝑤′′ 𝑡 = 𝑐
2𝑣′′ 𝑥 𝑤 𝑡
Reescribiendo:
𝑤′′ 𝑡
𝑤 𝑡
= 𝑐2
𝑣′′ 𝑥
𝑣 𝑥
= 𝜆
donde 𝜆 es una constante de separación.
• Resuelva DE y tome
𝑣𝜆, 𝑤𝜆 ⇉ 𝑢𝜆 𝑥, 𝑡 = 𝑣𝜆 𝑥 𝑤𝜆 𝑡
𝑤′′ 𝑡 = 𝜆𝑤 𝑡 𝑣′′ 𝑥 =
𝜆
𝑐2
𝑣 𝑥
Este tipo de ecuaciones ya vistas tienen tres posibles
soluciones.
Caso 𝜆 = 0: 𝑤′′ 𝑡 = 0 𝑣′′ 𝑥 = 0
Solución: 𝑤 𝑡 = 𝐴 + 𝐵𝑡 𝑣 𝑥 = 𝐶 + 𝐷𝑡
Solución básica: 𝑤 𝑡 = 1, 𝑡 𝑣 𝑥 = 1, 𝑥
Soluciones básicas de Ecuación de Onda: 1, 𝑡, 𝑥, 𝑡𝑥
Tomando combinaciones lineales:
𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑡 + 𝐷𝑡𝑥
Caso 𝜆 = 𝜔2 > 0:
𝑤′′ 𝑡 = 𝜔2𝑤 𝑡 𝑣′′ 𝑥 =
𝜔
𝑐
2
𝑣 𝑥
Soluciones básicas:
𝑤 𝑡 = 𝑒𝜔𝑡 , 𝑒−𝜔𝑡 𝑣 𝑥 = 𝑒
𝜔
𝑐𝑥 , 𝑒−
𝜔
𝑐𝑥
Soluciones básicas de Ecuación de Onda:
𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑒𝜔 𝑡+ Τ
𝑥
𝑐 , 𝑒𝜔 𝑡− Τ
𝑥
𝑐 , 𝑒−𝜔 𝑡− Τ
𝑥
𝑐 , 𝑒−𝜔 𝑡+ Τ
𝑥
𝑐
Caso 𝜆 = −𝜔2 < 0:
𝑤′′ 𝑡 = −𝜔2𝑤 𝑡 𝑣′′ 𝑡 = −
𝜔
𝑐
2
𝑣 𝑥
Soluciones básicas:
𝑤 𝑡 = cos𝜔𝑡 , sin𝜔𝑡 𝑣 𝑥 = cos
𝜔
𝑐
𝑥 , sin
𝜔
𝑐
𝑥
Soluciones básicas de Ecuación de Onda:
𝑢 𝑥, 𝑡 = cos𝜔𝑡 cos
𝜔
𝑐
𝑥 , cos𝜔𝑡 sin
𝜔
𝑐
𝑥 ,
sin𝜔𝑡 cos
𝜔
𝑐
𝑥 , sin𝜔𝑡 sin
𝜔
𝑐
𝑥
Buscando solucionar ecuaciones tipo 𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥: de
la forma 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑣 𝑥 𝑤 𝑡
Entonces:
𝑤′′ 𝑡 = 𝜆𝑤 𝑡 𝑣′′ 𝑡 =
𝜆
𝑐2
𝑣 𝑡
Hemos encontrado:
1, 𝑡, 𝑥, 𝑡𝑥
𝜆 = 0
𝑒±𝜔 𝑡± Τ
𝑥
𝑐
𝜆 = 𝜔2
cos𝜔𝑡 cos
𝜔
𝑐
𝑥 , cos𝜔𝑡 sin
𝜔
𝑐
𝑥
sin𝜔𝑡 cos
𝜔
𝑐
𝑥 , sin𝜔𝑡 sin
𝜔
𝑐
𝑥
𝜆 = −𝜔2
Función de onda
Considere un pulso de onda que viaja a la derecha
con velocidad constante 𝒗 sobre una cuerda larga y
tensa. El pulso se mueve a lo largo del eje 𝑥 (eje de la
cuerda), y el desplazamiento transversal (vertical) de
la cuerda (el medio) se mide a lo largo del eje 𝑦.
En la figura 5a se ve el perfil y posición del pulso en el
tiempo 𝑡 = 0, donde la forma del pulso sea cual sea,
puede representarse como y = 𝑓(𝑥).
Función de onda
Es decir, 𝑦, es la posición vertical de cualquier punto
en la cuerda, es una función definida de 𝑥.
El desplazamiento 𝑦, a veces llamado función de
onda, depende de 𝑥 y 𝐿. Por eso, muchas veces se
escribe 𝑦(𝑥, 𝑡). Considere un punto particular 𝑃 sobre
la cuerda, identificada por un valor específico de su
coordenada 𝑥.
Antes de que pulso llegue a 𝑃, la coordenada de este
punto es cero. Cuando la onda pasa 𝑃, la coordenada
𝑦 de este punto aumenta, alcanza su máximo y decae.
Entonces, la función de onda 𝑦 representa la
coordenada 𝑦 de cualquier punto 𝑃 del medio en
cualquier tiempo 𝑡.
Ecuación Armónica de una Onda
Si el extremo de una cuerda tensa se mueve de forma
periódica hacía arriba y hacía abajo, se genera una
onda periódica.
Si esta se mueve sobre una cuerda tensa o en
cualquier otro medio, cada punto del medio oscila
con el mismo periodo.
La clase más baja de estas ondas son las ondas
armónicas. Es decir, todas las ondas pueden
describirse como la suma de ondas armónicas.
Ecuación Armónica de una Onda
Si un extremo de una cuerda se sujeta a un diapasón
vibrando con MAS, se produce un tren de ondas
sinusoidales propagándose a lo largo de la cuerda.
La distancia entre crestas se llama longitud de onda 𝜆.
Al propagarse la onda por la cuerda, cada punto se
mueve hacia arriba y hacia abajo (perpendicular a la
dirección de propagación), experimentando un
movimiento armónico simple con la frecuencia 𝑓 del
diapasón.
Por un periodo de tiempo T, la onda se mueve una
distancia de una longitud de onda, de modo que la
velocidad viene dada por:
𝑣 =
𝜆
𝑇
= 𝑓𝜆 Eq 3
La función sinusoidal que describe los
desplazamientos en la figura siguiente es:
𝑦 𝑥 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝛿 Eq 4
Pero 𝑘 =
2𝜋
𝜆
. Para una única onda armónica se elije
𝛿 = 0.
Figura6: Onda armónica en un
instante de tiempo. Fotografía
tomada a alta velocidad del
movimiento.
Para describir una onda que se mueve en el sentido
creciente 𝑥 con velocidad 𝑣, sustituyamos 𝑥 por 𝑥 −
𝑣𝑡 en la Eq 4, e igualamos 𝛿 = 0:
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝑘 𝑥 − 𝑣𝑡 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 − 𝑘𝑣𝑡 =
𝐴 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 Eq 5
Ya que 𝜔 = 𝑘𝑣 = 2𝜋𝑓 y
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 se denomina fase.
Para esta cuerda, en un punto fijo x, la velocidad está
dada por:
𝑣𝑦 =
𝜕𝑦
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
𝐴 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = −𝜔𝐴 cos 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Eq 5
Velocidad transversal
Y la aceleración en este punto:
𝑎𝑦 =
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
Eq 6
Propiedades de las Ondas
De la Eq 3:
𝑣 =
𝜆
𝑇
= 𝑓𝜆
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 2𝜋
𝑥
𝜆
+ 𝛿 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
tenemos:
𝜆: longitud de onda.
𝑇: periodo
𝑓: frecuencia
𝛿: constante de fase
𝜔: frecuencia angular
𝐴: amplitud
Interferencia de Ondas transversales
Imaginemos que tenemos dos ondas sinusoidales de
la misma amplitud y longitud de onda en la misma
dirección a lo largo de una cuerda templada. Se
aplica el principio de superposición.
¿Qué onda resultante se predice para la cuerda?
La resultante depende de la extensión donde las
ondas están en fase (al pasar) una respecto a otra, es
decir, cuanto la formade una onda es desplazada de
otra forma de onda.
Si las ondas están en fase, (los picos y valles de las
dos son exactamente iguales), se combinan para
doblar el desplazamiento de cualquiera de las ondas
actuando sola.
Si están fuera de fase, es decir, el pico de una está
alineado con el valle de la otra, se combinan para
cancelarse ambas, manteniéndose en línea la
cuerda.
En estos casos, las ondas interfieren y el fenómeno
se llama de interferencia; nótese que no se refiere al
desplazamiento de la onda, ni a su viaje.
Sea una onda viajera tensada dada por:
𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 Eq. 7
Y la otra desplazada de esta por:
𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙 Eq. 8
Ambas tienen la misma 𝜔, por tanto la misma 𝑓; el
mismo número de onda angular 𝑘 y la misma 𝜆, y
además, la misma amplitud 𝑦𝑚. También viajan en la
misma dirección positiva con la misma velocidad,
pero desfasadas por 𝜙.
Por el principio de superposición, la suma resultante
es la suma de las dos ondas que se interfieren, y
tienen desplazamiento:
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
𝑦𝑚 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙 Eq. 9
Entonces:
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝑦𝑚 cos
1
2
𝜙 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
1
2
𝜙
Eq. 10
La onda resultante también es una onda sinusoidal
viajera en la dirección positiva 𝑥. Esta onda es la
única que se verá en la cuerda, no la Eq 7 ni Eq 8.
Entonces, la onda resultante difiere de las ondas
interferentes en dos aspectos:
1) La constante de fase es
1
2
𝜙, y
2) Su amplitud es la magnitud entre corchetes de la
Eq 10 (2𝑦𝑚 cos
1
2
𝜙).
Entonces, tendremos tres posibles casos:
Si 𝜙 = 0 𝑟𝑎𝑑, las dos ondas interferentes están en
fase, (Fig 8d):
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
1
2
𝜙 Eq. 11
Veamos un ejemplo.
Figura7: Una onda sinusoidal, 𝑦1 𝑥, 𝑡 , viajando sobre una cuerda en la
dirección positiva del eje 𝒙.
Figura7: Una onda sinusoidal 𝑦2 𝑥, 𝑡 , idéntica a 𝑦1 𝑥, 𝑡 y viajando
sobre una cuerda en la dirección positiva del eje 𝒙.
Figura7: Suma de dos ondas sinusoidales idénticas, 𝑦1 𝑥, 𝑡 y 𝑦2 𝑥, 𝑡 ,
viajando sobre una cuerda en la dirección positiva del eje 𝒙.
Si 𝜙 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 , las dos ondas interferentes están
fuera de fase, (Fig 8e):
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 0 Eq. 12
Veamos un ejemplo.
Figura7: Una onda sinusoidal, 𝑦1 𝑥, 𝑡 , viajando sobre una cuerda en la
dirección positiva del eje 𝒙.
Figura7: Una onda sinusoidal 𝑦2 𝑥, 𝑡 , idéntica a 𝑦1 𝑥, 𝑡 y viajando
sobre una cuerda en la dirección positiva del eje 𝒙.
Figura7: Suma de dos ondas sinusoidales idénticas, 𝑦1 𝑥, 𝑡 y 𝑦2 𝑥, 𝑡 ,
viajando sobre una cuerda en la dirección positiva del eje 𝒙.
Si 𝜙 =
2
3
𝜋 𝑟𝑎𝑑 , las dos ondas interferentes y la
resultante tienen la misma amplitud 𝑦𝑚, (Fig 8f).
Veamos un ejemplo.
Figura7: Una onda sinusoidal, 𝑦1 𝑥, 𝑡 , viajando sobre una cuerda en la
dirección positiva del eje 𝒙.
Figura7: Una onda sinusoidal 𝑦2 𝑥, 𝑡 , idéntica a 𝑦1 𝑥, 𝑡 y viajando
sobre una cuerda en la dirección positiva del eje 𝒙.
Figura7: Suma de dos ondas sinusoidales idénticas, 𝑦1 𝑥, 𝑡 y 𝑦2 𝑥, 𝑡 ,
viajando sobre una cuerda en la dirección positiva del eje 𝒙.
Figura7: Dos ondas sinusoidales idénticas, 𝑦1 𝑥, 𝑡 y 𝑦2 𝑥, 𝑡 , viajando
sobre una cuerda en la dirección positiva del eje 𝒙.
Operaciones trigonométricas básicas
sin 𝐴 + sin𝐵 = 2 sin
𝐴 + 𝐵
2
cos
𝐴 − 𝐵
2
sin 𝐴 − sin𝐵 = 2 cos
𝐴 + 𝐵
2
sin
𝐴 − 𝐵
2
cos 𝐴 + cos𝐵 = 2 cos
𝐴 + 𝐵
2
cos
𝐴 − 𝐵
2
cos 𝐴 − cos𝐵 = −2 sin
𝐴 + 𝐵
2
sin
𝐴 − 𝐵
2
Ondas estacionarias
Ya hemos visto dos ondas sinusoidales de la misma
longitud de onda y amplitud, viajando en la misma
dirección sobre la cuerda tensada.
¿Qué pasaría si viajan en direcciones opuestas?
Figura8: a) Cinco snapshots de la onda viajera a la izquierda en cinco
tiempos en función de 𝑻; b) Cinco snapshots de ondas idénticas a las
anteriores pero viajando en sentido opuesto; c) Cinco snapshots para
las superposiciones de las dos ondas sobre la misma cuerda.
De la figura 8, vemos dos combinaciones de ondas
que viajan en sentido opuesto y, aplicando el
principio de superposición, y la suma de ambas (c).
Una característica destacada de la onda resultante es
que hay lugares sobre la cuerda, llamados nodos
(marcados con puntos), donde esta nunca se mueve.
A mitad de cada nodo están los antinodos, donde las
amplitudes son máximas.
Debido a que nunca los patrones de onda se
mueven; las posiciones de máximos y mínimos son
las mismas.
Para analizar ondas estacionarias, representamos la
combinación de las dos ondas:
𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 Eq. 13
𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚 sin 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 Eq. 14
Por el principio de superposición:
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
𝑦𝑚 sin 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 Eq. 15
Aplicando la misma relación trigonométrica anterior:
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝑦𝑚 sin 𝑘𝑥 cos𝜔𝑡 Eq. 16
La Eq 16 describe una onda estacionaria.
La parte entre corchetes podría verse como la
amplitud de oscilación del elemento de cuerda
localizado en el punto 𝑥, pero siempre se considera
su valor absoluto.
En la onda sinusoidal viajera, la amplitud de la onda
es la misma para los elementos de la cuerda, pero no
en las ondas estacionarias, ya que la amplitud varia
con la posición.
Para la Eq 16, la amplitud es cero para valores de 𝑘𝑥
que nos da sin 𝑘𝑥 = 0. Estos valores son:
𝑘𝑥 = 𝑛𝜋, para 𝑛 = 0, 1, 2, … Eq 17
Además:
𝑥 = 𝑛
𝜆
2
, para 𝑛 = 0, 1, 2, … Eq 18
Como en las posiciones de cero amplitud (los nodos)
de las ondas estacionarias de la Eq 16.
Los nodos adyacentes están separados por Τ𝜆 2.
Para la Eq 16, la amplitud es máxima para valores de
𝑘𝑥 que nos da sin 𝑘𝑥 = 1. Estos valores son:
𝑘𝑥 =
1
2
𝜋,
3
2
𝜋,
5
2
𝜋 = 𝑛 +
1
2
𝜋, para 𝑛 = 0, 1, 2, …
Eq 19
Además:
𝑥 = 𝑛 +
1
2
𝜆
2
, para 𝑛 = 0, 1, 2, … Eq 20
Como en las posiciones de máxima amplitud (los
antinodos) de las ondas estacionarias de la Eq 16.
Los antinodos están separados por
𝜆
2
y están
localizadas en la mitad de los pares de nodos.
Ondas estacionarias: Modos de Vibrar
Considere una cuerda, como la de guitarra o piano,
que es tensada entre dos abrazaderas.
Las ondas pueden viajar a ambos lados de la cuerda.
Sin embargo, ondas estacionarias pueden formarse
en la cuerda por una superposición continua de
ondas incidentes sobre y reflejadas desde los
extremos.
Las condiciones de contorno, vienen fijadas por las
ondas sobre la cuerda: al ser extremos fijos,
necesariamente tienen que tener desplazamiento
nulo y por tanto nodos, según la Eq. 18, que serían
los que determinen la frecuencia de la onda.
Las condiciones de contorno en la cuerda resultan
teniendo una patente natural discreta de
oscilaciones, llamadas modos normales, teniendo
cada uno una frecuencia característica.
Los modos normales de oscilación para una cuerda
como la figura anterior, pueden describirse
imponiendo las condiciones de contorno que
termina en nodos, y estos están separados por
media longitud de onda con antinodos entre ellos.
El primer modo normal que es consistentes con
estos requisitos, se muestran en la parte a) de la
siguiente figura, tiene nodos en sus extremos y un
antinodo en el medio.
Este modo normal tiene las más grande longitud de
onda consistente con nuestras condiciones de
contorno.
Este primer modo normal ocurre cuando la longitud
de onda 𝜆1 es igual a dos veces la longitud de la
cuerda, o 𝜆1 = 2𝐿.
La sección de una onda estacionaria desde un nodo
hasta el siguiente se llama loop. En el primer nodo
normal, la cuerda vibra en un loop.
Enel segundo modo normal, parte b) de la figura, la
cuerda vibra en dos loops. Cuando la mitad izquierda
de la cuerda se mueve hacía arriba, la mitad derecha
se mueve hacía abajo.
En este caso, la longitud de onda 𝜆2 es igual a la
longitud de la cuerda, expresado por 𝜆2 = 𝐿.
El tercer modo normal (parte c de la figura),
corresponde al caso donde 𝜆3 =
2
3
𝐿, y la cuerda
vibra en tres loops.
Generalmente, las longitudes de ondas de los
distintos modos normales para una cuerda de
longitud 𝐿 fija en los extremos es:
𝜆𝑛 =
2
𝑛
𝐿, donde 𝑛 = 1, 2, 3, …
Siendo el índice 𝑛 el enésimo modo normal de
oscilación posible.
Veamos los nodos normales excitados en una
cuerda.
Podemos definir la frecuencia asociada con los
modos de oscilación, mediante la velocidad, que es
la misma para todas las frecuencias:
𝑓𝜆𝑛 =
𝑣
𝜆𝑛
= 𝑛
𝑣
2𝐿
, donde 𝑛 = 1, 2, 3, …
Estas frecuencias naturales también se llaman
frecuencias asociadas cuantizadas con la cuerda
vibrante fija en los extremos.
Como 𝑣 = Τ𝑇 𝜇 para ondas en una cuerda, donde T
es la tensión en la cuerda y es la densidad de masa
lineal, podemos expresar la frecuencia natural de
una cuerda tensa como:
𝑓𝑛 =
𝑛
2𝐿
𝑇
𝜇
𝑛 = 1, 2, 3, …
La frecuencia más baja 𝑓1, que corresponde a 𝑛 = 1,
se llama fundamental o fre3cuancia fundamental y
esta dada por:
𝑓1 =
1
2𝐿
𝑇
𝜇
Las demás frecuencias de los modos normales son
enteros múltiples de la frecuencia fundamental.
Las frecuencias de modo normal que presentan esta
relación entera múltiple forma una serie armónica, y
los modos normales se llaman armónicos.
La frecuencia fundamental 𝑓1 es la frecuencia del
primer armónico, la frecuencia 𝑓2 = 2𝑓1 es el
segundo armónico, y la frecuencia 𝑓𝑛 = 𝑛𝑓1 es la del
𝑛𝑡ℎ armónico.
Otros sistemas oscilantes como el tambor, presentan
modos normales, pero sus frecuancias no se
relacionan por enteros múltiples de una
fundamental.
Ondas estacionarias: Armónicos
Para ciertas frecuencias, la interferencia produce un
patrón de onda estacionaria (o modo de oscilación)
con nodos y grandes antinodos como en la figura 8.
Tales ondas estacionarias producen resonancia, y se
dice que la cuerda resuena en estas frecuencias,
llamadas frecuencias resonantes.
Si la cuerda es oscilada a otras frecuencias, las ondas
estacionarias no están presentes. Entonces, la
interferencia a la izquierda y derecha de las ondas
viajeras resultan sólo en pequeñas (talvez
imperceptible) oscilaciones de la cuerda.
Figura8: Fotografías estroboscópicas revelan
(imperfecto) ondas estacionarias sobre una
cuerda hecha para oscilar por un oscilador en
el extremo izquierdo. El patrón ocurre para
ciertas frecuencias de oscilación.
Sea una cuerda bien tensada entre dos abrazaderas
separadas por una distancia 𝐿 . Para encontrar
expresiones de resonancia de la cuerda, notamos
que un nodo debe existir en cada extremo, porque
cada extremo es fijo y no puede oscilar.
El patrón más simple que tiene estas claves es el de
la figura 9a, que muestra la cuerda en sus dos
desplazamientos extremos (uno sólido y uno
punteado) , juntos formando un itinerario.
Sólo hay un antinodo en el centro de la cuerda. Note
que media longitud de onda se extiende a lo largo de
𝐿, que será la longitud de la cuerda. Entonces, para
este patrón, Τ𝜆 2 = 𝐿. Esta condición nos dice que si
las ondas viajeras a la izquierda y a la derecha
establecen este patrón por su interferencia, estas
deben tener la longitud de onda 𝜆 = 2𝐿.
Figura9: Una cuerda templada entre dos abrazaderas, está hecha para
oscilar en patrones de ondas estacionarias. a) Para una iteración, b)
para dos iteraciones, c) para tres iteraciones.
Un segundo patrón simple que cumple los requisitos
de nodos en los extremos fijos se muestra en la
figura 9b. Presenta tres nodos y dos antinodos y se
dice que presenta dos vueltas. Para las ondas que
van a la izquierda y derecha, deben tener una
longitud de onda λ = 𝐿. Un tercer patrón está en la
figura 9c, tiene cuatro nodos y tres antinodos, y tres
vueltas con una longitud de onda de 𝜆 = Τ2𝐿 3.
En forma general, para cada paso progresivo, el
patrón debe tener un nodo más y un antinodo más
que el paso precedente, y una Τ𝜆 2 debería aparecen
en la longitud 𝐿.
Entonces, una onda estacionaria puede formarse en
una cuerda 𝐿 por una onda con una longitud de
onda igual a los valores:
𝜆 =
2𝐿
𝑛
, para 𝑛 = 0, 1, 2… Eq 21
Las frecuencias de resonancia son múltiples enteros
de la frecuencia de resonancia más baja, f =
2 Τ𝐿 𝜆 = 𝑛 Τ𝑣 2𝐿 que corresponde a 𝑛 = 1.
Entonces, una onda estacionaria puede formarse en
una cuerda 𝐿 por una onda con una longitud de
onda igual a los valores:
𝜆 =
2𝐿
𝑛
, para 𝑛 = 1, 2… Eq 22
El modo de oscilación con esta frecuencia más baja
se llama modo fundamental o primer armónico.
El segundo armónico es el modo de oscilación con
n = 2, el tercero es con 𝑛 = 3 y así sucesivamente.
Las frecuencias asociadas con estos modos suelen
etiquetarse con 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, …
La colección de todos los modos posibles de
oscilación se llama series armónicas, y 𝑛 se llama
número armónico del enésimo armónico.
Ondas Longitudinales
En ondas longitudinales el desplazamiento del
medio es paralelo a la propagación de la onda. Un
ejemplo es una onda en un muelle, o también
sonido de ondas en el aire.
Figura9: Una onda longitudinal realizada por un muelle.
Supongamos que tenemos un serpentín estirado en
dirección horizontal a lo largo del salón, y se le
introduce un pulso introducido al serpentín en el
extremo izquierdo.
La energía se transporta desde la izquierda hacia la
derecha. En este caso, las partículas del medio se
moverán paralelo a la dirección que mueve el pulso.
Esta es una onda longitudinal.
Ondas sonoras en el aire (ondas de presión)
Esta figura muestra como una onda de sonido
puede producirse por un pistón en un largo tubo de
aire. Si mueve el pistón hacía la derecha e izquierda
repentinamente, puede enviar un pulso de sonido a
lo largo del tubo. El movimiento a la derecha del
pistón mueve los elementos de aire consecutivos a
la derecha, cambiando su presión allí; de forma que
continuamente aumenta y disminuye.
Si empuja y jala del pistón con movimiento
armónico simple, como en la figura 3, una onda
sinusoidal viaja a lo largo del tubo. Debido a que el
movimiento de los elementos de aire es paralelo a
la dirección de la onda que viaja, el movimiento es
longitudinal y la onda es una onda longitudinal.
Figura3: Una onda de sonido en una tubería llena de aire por el
movimiento de un pistón.
Pueden viajar a través de cualquier medio material
con una velocidad dependiente del medio. Mientras
estas ondas viajan, las partículas del medio vibran
produciendo cambios en la densidad y presión a lo
largo de la dirección del movimiento de la onda.
Estos cambios producen regiones de alta y baja
presión; si la fuente de las ondas de sonido vibran
sinusoidalmente, las variaciones de presión
también son sinusoidales. Matemáticamente la
descripción de ondas de sonido sinusoidal son las
mismas de las ondas sinusoidales en una cuerda.
Se dividen en tres categorías, que cubren rangos de
frecuencia diferentes.
1. Ondas Audibles: caen en el rango de sensibilidad
del oído humano. Pueden producirse por
instrumentos musicales, cuerdas vocales
humanas, parlantes, …
2. Ondas Infra sónicas: tienen frecuencias por
debajo de nuestro rango audible. Los elefantes lo
utilizan para su comunicación de muchos
kilómetros.
3. Ondas Ultrasónicas: sus frecuencias son mayores
a nuestra percepción. Por ejemplo, el silbato
usado en los perros, o en imágenes médicas.
Ondas sonoras en el aire: Ecuación diferencial
Podemos aplicar lasleyes de Newton a un segmento
de cuerda para deducir una ecuación diferencial
llamada ecuación de onda, que relaciona las
derivadas espaciales de la función 𝑓(𝑥, 𝑡) con sus
derivadas temporales. Consideremos un segmento de
una cuerda con ángulos pequeños 𝜃1 y 𝜃2. La longitud
de onda del segmento es ∆𝑥 y su masa 𝑚 = 𝜇∆𝑥.
𝜃1
𝜃2
𝐹𝑇1
𝐹𝑇2
∆𝑆
Para desplazamientos verticales pequeños
σ𝐹𝑥 =𝐹𝑇2 cos 𝜃2 − 𝐹𝑇1 cos 𝜃1 = 0 Eq. 23
Por lo que las fuerzas son iguales.
En el movimiento vertical:
σ𝐹𝑦 = 𝐹𝑇2 sin 𝜃2 − 𝐹𝑇1 sin 𝜃1 Eq. 24
Además la pendiente de la cuerda con la horizontal 𝑆
es
𝑆 = tan 𝜃 =
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Entonces:
σ𝐹𝑦 = 𝐹𝑇 𝑆2 − 𝑆1 Eq. 25
𝐹𝑇∆𝑆 = 𝜇∆𝑋
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
Eq. 26
Con lo que nuestra ecuación de onda es:
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
Eq. 27
Ondas sonoras en el aire: Función de onda
La función de onda de ondas sonoras en el aire se
obtiene resolviendo la Eq. 27 y se define por:
𝑆 = 𝑠𝑚 cos 𝜔𝑡 Eq. 28
Ondas sonoras en el aire: Ecuación armónica de 
onda
Las variaciones de presión controlan lo que
escuchamos. Si producimos una onda de sonido
periódica en una dimensión, en un tubo largo y
estrecho con gas por medio de un pistón en un
extremo, figura4:
Figura4: Una onda de sonido en una
tubería llena de aire por el movimiento
de un pistón. Las bajas y altas presiones
están remarcadas por colores.
La partes oscuras de la imagen son donde el gas está
más comprimido, por lo que la presión y densidad
están por encima de su valor de equilibrio. Una región
de compresión se forma donde se empuja el pistón
en el tubo. Esta región se llama condensación, se
mueve a lo largo del tubo como pulso, comprimiendo
continuamente la región.
Cuando el pistón se jala, el gas en su frente se
expande, haciendo bajar la presión y densidad a sus
valores de equilibrio. Las zonas de baja presión se
llaman rarefacción y también se propagan a lo largo
del tubo junto con la condensación a la velocidad del
sonido en el medio.
Ondas sonoras en el aire: Amplitud de presión
Si el pistón oscila sinusoidalmente, las regiones de
condensación y rarefacción se forman
continuamente. Como estas regiones viajan a través
del tubo, cualquier volumen pequeño del medio se
mueve con movimiento armónico simple paralelo a
la dirección de la onda.
Si 𝑠 𝑥, 𝑡 es el desplazamiento de un elemento de
volumen pequeño de su posición de equilibrio,
podemos expresar esta función de desplazamiento
armónico como
𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑠𝑚𝑎𝑥 cos 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 Eq 29
donde 𝑠𝑚𝑎𝑥 es el desplazamiento máximo del
medio de la posición de equilibrio.
Ondas sonoras en el aire: Propiedades
𝜆 : La distancia entre dos condensaciones o
rarefacciones sucesivas.
𝑘: número de onda angular.
𝜔: frecuencia angular del pistón.
Interferencia de ondas longitudinales
Analicemos la interferencia para ondas de sonido,
para el caso que dos ondas de sonido puedan
interferir viajando en la misma dirección. Estas
también pueden comportarse como las ondas
transversales. En la figura 5 vemos cómo puede
producirse una interferencia: Tenemos dos fuentes
𝑆1 y 𝑆2 emitiendo ondas de sonido en fase y con la
misma 𝜆, es decir se desplazan de forma idéntica.
Nos interesan las ondas que viajan a través del
punto 𝑃 y 𝑆2 emitiendo ondas de sonido en fase y
con la misma 𝜆, es decir se desplazan de forma
idéntica. Asumamos que la distancia a 𝑃 es más
grande que la distancia entre fuentes para asumir
que las ondas viajan en la misma dirección.
Figura 5: La interface en 𝑷 depende de la
diferencia de la longitud del camino para
llegar a 𝑷.
Si las ondas viajan por caminos de igual longitud
para llegar a 𝑃, entonces estarían en fase. Como el
caso de ondas transversales, estas ondas tendrían
una interferencia constructiva. Sin embargo en la
figura anterior, el camino 𝐿2 es mayor que 𝐿1. Esta
diferencia de longitudes significa que estas ondas
no estarían en fase en 𝑃; es decir, su diferencia de
fase 𝜙 va a depender de la diferencia de las
longitudes de los caminos: Δ𝐿 = 𝐿2 − 𝐿1 .
Para relacionar la diferencia de fase 𝜙 con la
diferencia de longitud del camino, recordamos que
𝜙
2𝜋
=
Δ𝐿
𝜆
Eq 30
Para lo cual 𝜙 =
Δ𝐿
𝜆
2𝜋 Eq 31
Para ondas completamente constructivas es cuando:
𝜙 = 2𝜋𝑚, para 𝑚 = 0, 1, 2, … Eq 32
Es decir para: 
Δ𝐿
𝜆
= 0, 1, 2, … Eq 33
Para ondas completamente destructivas es cuando:
𝜙 = 2𝑚 + 1 𝜋, para 𝑚 = 0, 1, 2, …
Eq 36 
Es decir para: 
Δ𝐿
𝜆
= 0.5, 1.5, 2, . 5… Eq 37
Recordemos que las ondas también pueden producir
interferencia intermedia.
Ondas estacionarias
Consideremos las ondas de sonido producido por
dos speakers ( con la misma frecuencia y amplitud),
frente a frente, así consideramos interferencia en
un punto en el espacio frente a ellos.
Por el principio de superposición, estas ondas
viajeras se combinan, es decir, sí:
𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 Eq. 38
𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 Eq. 39
Ondas estacionarias: Modos de vibrar
La resultante de la suma es:
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 Eq. 40
Y su reducción trigonométrica:
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 sin 𝑘𝑥 cos𝜔𝑡 Eq. 41
Que es la función de onda de una onda estacionaria,
pero no representa una onda viajera.
Esta última ecuación describe un caso especial de
movimiento armónico simple. Cada partícula del
medio oscila con movimiento armónico simple con la
misma frecuencia 𝜔. Pero la amplitud del MAS de
una partícula simple depende de la ubicación 𝑥 de la
partícula en el medio, mientras que la amplitud de
una onda individual 𝐴 no depende de su ubicación.
El mayor desplazamiento de una partícula del medio
tiene un mínimo valor de cero cuando 𝑥 satisface la
condición sin 𝑘𝑥 = 0, es decir:
𝑘𝑥 = 𝜋, 2𝜋, 3 𝜋,…
Como k = 2 Τ𝜋 𝜆:
𝑥 =
𝜆
2
, 𝜆,
3𝜆
2
, … =
𝑛𝜆
2
𝑛 = 0, 1, 2, …
Eq. 42 
Estos puntos de desplazamiento cero se llaman
nodos.
Ondas estacionarias: Armónicos
Las posiciones en el medio donde las máximos
desplazamientos ocurren se llaman antinodos, donde
la condición es: 𝑘𝑥 = ±1, es decir, cuando:
𝑘𝑥 =
𝜋
2
,
3𝜋
2
,
5𝜋
2
,…
Entonces las posiciones de los antinodos es:
𝑥 =
𝜆
4
,
3𝜆
4
,
5𝜆
4
, … =
𝑛𝜆
4
𝑛 = 1,3,5, …
Eq. 43 
Figura 6: Patrones de ondas estacionarias producidas en varios tiempo por ondas de
igual amplitud viajando en sentidos opuestos. Para la onda resultante 𝒚, los nodos
(𝑵) son puntos de desplazamiento cero, y los antinodos (𝑨) son puntos de máximo
desplazamiento.
Figura 7: Fotografía multiflash de una onda estacionaria en una cuerda. El
comportamiento temporal del desplazamiento vertical desde el equilibrio de una
partícula individual de la cuerda está dado por cos𝝎𝒕. Ósea, la partícula vibra a una
frecuencia angular 𝝎.
Intensidad del sonido
Si alguna vez intentó dormir mientras alguien
escuchaba música a alto volumen, sabe que en
ondas sonoras hay otros factores además de los ya
vistos, como la intensidad.
La intensidad 𝐼 de una onda de sonido en la
superficie es el ratio promedio por unidad de área
donde la energía se transfiere por la onda a través o
sobre la superficie. Entonces:
𝐼 =
𝑃
𝐴
Eq. 44
donde 𝑃 es el ratio de tiempo de energía transferida
(potencia) de la onda de sonido y 𝐴 es el área de la
superficie que intercepta el sonido. La intensidad 𝐼 se
relaciona con la amplitud de desplazamiento 𝑠𝑚 de la
onda de sonido por:
𝐼 =
1
2
𝜌𝑣𝜔2𝑠𝑚
2 Eq. 45
Considere un volumen de aire de masa ∆𝑚 y ancho
∆𝑥 frente a un pistón oscilante con una frecuencia 𝜔,
como en la figura.
El pistón transmite energía a estevolumen de aire en
el tubo, y esta se propaga alejándose del pistón por la
onda de sonido. Para evaluar el ratio de de
transferencia de energía por la onda de sonido,
evaluaremos la energía cinética de este volumen de
aire, que está sometido a un movimiento armónico
simple.
Mientras la onda de sonido se propaga desde el
pistón, el desplazamiento de cualquier volumen de
aire frente al pistón Eq. 29 y para conocer su energía
cinética, debemos conocer su velocidad:
𝑣 𝑥, 𝑡 =
𝜕
𝜕𝑡
𝑠 𝑥, 𝑡
𝑣 𝑥, 𝑡 =
𝜕
𝜕𝑡
𝑠𝑚𝑎𝑥 cos 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
𝑣 𝑥, 𝑡 = 𝜔𝑠𝑚𝑎𝑥 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Imaginemos un snapshot en 𝑡 = 0. La energía cinética
de un volumen dado de aire en este tiempo es:
∆𝐾 =
1
2
∆𝑚𝑣2 =
1
2
∆𝑚 𝜔𝑠𝑚𝑎𝑥 sin 𝑘𝑥
2
∆𝐾 =
1
2
𝜌𝐴∆𝑥 𝜔𝑠𝑚𝑎𝑥 sin 𝑘𝑥
2
∆𝐾 =
1
2
𝜌𝐴∆𝑥 𝜔𝑠𝑚𝑎𝑥
2sin2 𝑘𝑥
donde 𝐴 es el área transversal del movimiento del
aire y A∆𝑥 es su volumen. Integrando la expresión
anterior sobre una longitud de onda completa para
encontrar su energía cinética y hacemos disminuir el
volumende aire a un espesor infinitesimal, es decir
∆𝑥 → 𝑑𝑥, tenemos:
𝐾𝜆 = න𝑑𝐾 = න
0
𝜆 1
2
𝜌𝐴 𝜔𝑠𝑚𝑎𝑥
2sin2 𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝐾𝜆 =
1
2
𝜌𝐴 𝜔𝑠𝑚𝑎𝑥
2න
0
𝜆
sin2 𝑘𝑥 𝑑𝑥
Donde:
න
0
𝜆
sin2 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑘
න
0
𝜆
sin2 𝑢 𝑑𝑢
sin2 𝑢 = sin 𝑢 sin 𝑢 =
1
2
cos 𝑢 − 𝑢 − cos 𝑢 + 𝑢
sin2 𝑢 = sin 𝑢 sin 𝑢 =
1
2
1 − cos 2𝑢
Donde:
න
0
𝜆
sin2 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2𝑘
න
0
𝜆
1 − cos 2𝑢 𝑑𝑢
න
0
𝜆
sin2 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2𝑘
න
0
𝜆
𝑑𝑢 +
1
2𝑘
න
0
𝜆
cos 2𝑢 𝑑𝑢
න
0
𝜆
sin2 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2𝑘
ቚ𝑢
0
𝜆
+
1
2𝑘
ቤ
sin 2𝑢
2
0
𝜆
න
0
𝜆
sin2 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2𝑘
ቤ𝑘𝑥 +
sin 4𝑘𝑥
2
0
𝜆
න
0
𝜆
sin2 𝑘𝑥 𝑑𝑥
=
1
2𝑘
𝑘𝜆 +
sin 4𝑘𝜆
2
− 𝑘 0 +
sin 4𝑘 0
2
න
0
𝜆
sin2 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2𝑘
𝑘𝜆 +
sin 4𝑘𝜆
2
Por la Eq. 42 sabemos que sin 4𝑘𝜆 es un nodo, por
tanto vale 0.
Así:
න
0
𝜆
sin2 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝜆
Luego:
𝐾𝜆 =
1
2
𝜌𝐴 𝜔𝑠𝑚𝑎𝑥
2
1
2
𝜆
𝐾𝜆 =
1
4
𝜌𝐴 𝜔𝑠𝑚𝑎𝑥
2𝜆
La energía potencial total para una longitud de onda
tiene el mismo valor que la energía cinética total; así:
𝐸𝜆 = 𝐾𝜆 + 𝑈𝜆 =
1
2
𝜌𝐴𝜔2𝑠𝑚𝑎𝑥
2 𝜆
Como la onda de sonido se mueve a través del aire,
esta cantidad de energía pasa por un punto dado
durante un periodo de oscilación.
Entonces, el ratio de transferencia de energía es:
℘ =
𝐸𝜆
∆𝑡
=
1
2𝜌𝐴𝜔
2𝑠𝑚𝑎𝑥
2 𝜆
𝑇
℘ =
1
2
𝜌𝐴𝜔2𝑠𝑚𝑎𝑥
2
𝜆
𝑇
=
1
2
𝜌𝑣𝜔2𝑠𝑚𝑎𝑥
2
Donde 𝑣 es la velocidad del sonido en el aire.
Definimos la intensidad de onda 𝐼, o la potencia por
unidad de área, como el ratio en el que la energía se
empieza a transportar por el flujos de ondas a través
de una unidad de área perpendicular a la dirección de
viaje de la onda.
Para el presente caso, la intensidad es:
𝐼 =
℘
𝐴
=
1
2
𝜌𝑣𝜔2𝑠𝑚𝑎𝑥
2 Eq. 45
Por tanto, la intensidad de una onda periódica es
proporcional al cuadrado de la amplitud de
desplazamiento y al cuadrado de la frecuencia
angular. Entonces, podemos escribirla en términos de
la amplitud de presión ∆𝑃𝑚𝑎𝑥; por tanto:
𝐼 =
∆𝑃𝑚𝑎𝑥
2
2𝜌𝑣
Nivel de intensidad
La amplitud del desplazamiento en el oído humano
varía desde unos 10−5 𝑚 para el sonido más alto
tolerable hasta unos 10−11 𝑚 para el sonido
detectable más débil, es decir un ratio de 106.
De la Eq. 45, vemos que la intensidad del sonido
varia al cuadrado de su amplitud, entonces el ratio
de intensidades en estos niveles del sistema de
audición humana es 1012.
Nosotros podemos escuchar un rango enorme de
intensidades.
Si expresamos la relación de intensidad por términos
de logaritmos, reducimos la escala a unas pocas
unidades, es decir:
𝛽 = 10 𝑑𝐵 log
𝐼
𝐼0
Eq. 46
Donde 𝑑𝐵 es decibel, la unidad de nivel de sonido.
𝐼0 es una intensidad standard de referencia (𝐼0 =
10−12 Τ𝑊 𝑚2), escogido en base al limite inferior del
rango del oído humano.
Efecto Doppler
Imaginemos un policía aparcado en la carretera
haciendo sonar su sirena a 1000 Hz; si estamos en
reposo cerca, escucharemos la misma frecuencia.
Sin embargo, si tenemos un poco de movimiento
entre ambos, acercándonos o alejándonos,
entonces escucharemos frecuencias distintas.
Esta relación se llama Efector Doppler. Aunque
también se ajusta para ondas electromagnéticas,
incluyendo microondas, ondas de radio, y luz
visible.
Se medirán las velocidades de las fuentes 𝑆 de las
ondas de sonido y un detector 𝐷 de aquellas ondas
relativas a ese cuerpo de aire. Asumamos que 𝑆 y 𝐷
se mueven directamente hacía u opuesto el uno del
otro, a velocidades menores de la del sonido.
En cualquiera de los casos, si uno o ambos se
mueven, la frecuencia emitida y la detectada se
relacionan por:
𝑓′ = 𝑓
𝑣±𝑣𝐷
𝑣±𝑣𝑆
Eq. 47
𝑣: vel. del sonido. 𝑣𝐷: vel. del detector. 𝑣𝑆: vel. De la
fuente.
El signo de la ecuación anterior se determina por:
cuando el movimiento del detector o la fuente es
hacia el otro, el signo debe dar un cambio hacia arriba
en la frecuencia. Si se están alejando, el signo de la
velocidad debe dar un cambio hacía abajo en la
frecuencia.
Figura 8: a) Fuente de sonido 𝑺 moviéndose a velocidad 𝒗𝑺 igual a la velocidad del
sonido. b) Fuente de sonido 𝑺 moviéndose a velocidad 𝒗𝑺 mayor a la velocidad del
sonido. Ambas moviéndose más rápido que su frente de ondas. Cuando la fuente
pasa por 𝑺𝟔, se genera un frente de onda 𝑾𝟔.
𝑥
𝑆
𝒗𝑆
𝑆1 𝑆6 𝑆
𝒗𝑆𝑡
𝒗𝑆
𝑣𝑡
𝑊6
𝜃
𝑊1
𝑥
Superficie de cono Mach
Aplicaciones: Velocidades supersónicas, Ondas de 
choque
Si la fuente se mueve hacía un detector estacionario
con velocidad igual a la de la luz, es decir 𝑣𝑠 = 𝑣. La
ecuación de frecuencia predice que 𝑓′ será
infinitamente grande. Es decir, la fuente se mueve
tan rápido que se mantiene el ritmo con sus frentes
de ondas esféricas, como la figura 8- a sugiere.
Para estas velocidades supersónicas, esta ecuación
no aplica. La figura 8-b representa frente de ondas
esféricas originadas en varias posiciones de la
fuente.
El radio de cualquier frente de onda en esta figura es
vt, donde v es la velocidad del sonido y t es el tiempo
que ha transcurrido desde que la fuente emitió ese
frente de ondas.
Note que todos los frentes de ondas se agrupan en un
sobre en forma de V en las dos dimensiones.
El frente de ondas se extienden en tres dimensiones y
el manojo forma un cono llamado cono Mach.
Las ondas de choque existen a lo largo de la superficie
de este cono, porque el manojo de frentes de ondas
causa un aumento y caída abrupta de la presión del
aire mientras esta superficie atraviesa cualquier
punto.
El semi ángulo del cono, llamado ángulo del cono
Mach es:
sin 𝜃 =
𝑣𝑡
𝑣𝑠𝑡
=
𝑣
𝑣𝑠
Eq. 48
El ratio
𝑣
𝑣𝑠
se llama número Mach. Cuando un avión
particular ha volado a un Mach de 2.3, significa que
su velocidad fue 2.3 veces la velocidad del sonido en
el aire a través del plano de vuelo. El choque de ondas
generado por una aeronave supersónica o proyectil,
produce un estallido de sonido, llamado boom sónico,
en el cual la presión del aire aumenta repentinamente
y luego decrece por debajo de sus condiciones
iniciales.
Un boom sónico puede escucharse de un chicle
grande cuando se rompe rápidamente.
Cuando disparamos un rifle, la bala produce un boom
sónico.
Al final de un movimiento de látigo, su punta se
mueve más rápido que el sonido y produce un boom
sónico pequeño, la grieta del látigo.